Исследование процессов гидродинамики, тепло- и массообмена в модели выращивания кристаллов методом Чохральского тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ.

IЛ. Предмет исследования

1.2. Состояние Еопроса

2. ПОСТАНОВКА ЗДЦАЧИ.

2.1. Математическая модель процессов гидродинамики и теплообмена на основе уравнений Навье-Стокса (приближение Буссинеска)

2.2. Математические модели переноса примеси

2.3. Критериальное уравнение и диапазон изменения параметров

3. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

3.1. Метод конечных разностей

3.2. Метод конечных элементов

3.3. Некоторые сведения о программной реализации . методов.

3.4. Тесты численных решений

4. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ.

4.1. Вращение кристалла

4.2. Противовращение кристалла и тигля

4.3. Особенности течения в двойном тигле

4.4. Влияние изотермического течения на распределение примеси.

5. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ.

5.1. Тепловая конвекция

5.2. Некоторые эффекты совместного действия тепловой конвекции и вращения кристалла

5.3. Особенности течения и теплообмена при совместном действии тепловой конвекции и противовращения кристалла и тигля.

5.4. Влияние неизотермичности течения на распределение примеси.Х

5.5. О выборе параметров для выращивания кристаллов методом Чохральского

I.I. Предмет исследования

Совершенные кристаллы находят все большее применение в технике, будучи основой для создания интегральных схем ЭВМ, лазерных установок, фотоприемников и средств связи. Одновременно повышаются требования к совершенству кристаллов и увеличивается объем их производства. Большинство кристаллов выращивается из расплава методами Бриджмена, бестигельной зонной плавки и методом Чохральского. Последний является самым распространенным промышленным методом получения кристаллов полупроводниковых, оптических, драгоценных и многих других кристаллов.

Совершенство кристаллов зависит от состава расплавленной массы и процессов тепло- и массообмена на стадии предшествующей кристаллизации (см. Лодиз, Паркер [i] ). Кристаллы различаются по физическим свойствам и температуре кристаллизации, что приводит к отличиям в установках и параметрах выращивания различных материалов одним и тем же методом, например, методом Чохральского. Одной из важных особенностей процессов роста для различных материалов является характер подвода тепла, его величина и ориентация по отношению к фронту кристаллизации и силе тяжести, что приводит к существенно различным структурам движения расплава, интенсивности тепло- и массообмена и, в свою очередь, оказывает различное влияние на макро- и микроструктуру кристаллов.

Вопросы термодинамики и фазового равновесия при росте кристаллов, а также влияние на процесс кристаллизации движения расплава рассмотрены в книге Rose.nQ&tg&i'a [2] . Обзоры возможных механизмов движения при выращивании кристаллов из расплава даны в работах Cattuik&ts'Q [з] и Острача [4].

Движения при росте кристаллов разделяются условно на вынужденные, создаваемые подводом механической энергии извне, естественно-конвективные, связанные с действием движущих сил, возникающих вследствие неоднородности расплава (в поле силы тяжести) и, наконец, движения, вызванные специально создаваемыми полями массовых сил (электромагнитные силы). Важную роль в перемешивании расплава играет естественная конвекция, вызванная неоднородностью расплава и обусловленная неравномерностью нагрева и непрерывным изменением концентрационного состава. При этом наличие свободной поверхности и возникновение на ней градиентов сил поверхностного натяжения на счет имеющейся неоднородности распределения температур и концентрации примесей, может являться причиной поверхностных механизмов движения (термокапиллярная и капиллярно-концентрационная конвекция).

Особенности выращивания кристаллов методом Чохральского рассмотрены Конаковым и др. [б] , Шашковым [б] , а такпоказана схема выращивания кристаллов кремния методом Чохраль

Метод Чохральского заключается в вытягивании кристалла с помощью затравки из тигля, заполненного жидким расплавленным металлом; для обеспечения тепловой и осевой симметрии применяется вращение кристалла и тигля (см. рис. I). В зависимости от материала имеются аппаратурные отличия в методе Чохральского. Например, для выращивания кристаллов кремния с температурой кристаллизации 1420°С используют кварцевый тигель с резистивным нагревом и вращение тигля для тепловой симметрии %и£еА/Ьек ,

Hu4et [?] . Выращивание гранатов осуществляется из металлических тиглей (платина, иридий) с индукционным же ского по данным работы Zi/Jkktuzt 'а 'а нагревом и благодаря хорошей теплопроводности тигля не требует специального вращения тигля ( MattUCd [б] ). Упомянутое отличие вызвано более высокой температурой кристаллизации гранатов (1730°С)и необходимостью использовать дорогостоящие, но обладающие таким важным свойством металлические тигли. Другие аппаратурные отличия имеются при выращивании методом Чохральского разлагающихся в обычных условиях материалов, таких как арсенид галлия. В последнем случае для изоляции расплава от внешней среды на поверхность расплава помещают тонкий слой жидкого флюса, который предотвращает интенсивное разложение в период выращивания (см.,например, книгу Шашкова [б] ). В ряде случаев совершенство кристаллов повышается при программированном периодическом изменении скорости вращения кристалла в период выращивания (см. работу &!ш£'SjMu&fet-kkuw^Aacft'Q

9] ), а также при использовании дополнительного внутреннего тигля (см. работу ^Qli&ikQ [l0] ).

Общей задачей технологии является получение совершенных кристаллов с однородной по объему монокристаллической структурой и заданными свойствами (электропроводность, оптические и акустические свойства). На устойчивость монокристаллического роста оказывает влияние кривизна фронта кристаллизации, являющаяся основной технологической характеристикой при получении,например, таких материалов, как арсенид галлия, гадолиний-галлиевые гранаты. Другой важной характеристикой, определяющей однородность электропроводимости, оптических и акустических свойств, является распределение примесей в выращенных кристаллах. Наибольшее значение последний фактор имеет для полупроводниковых материалов (кремний,германий), использующихся для изготовления больших и сверхбольших интегральных схем (БИС, СБИС), а также кристаллов гранатов для лазерной техники, оптические свойства которых зависят от уровня содержания и распределения примесей.

Наряду с разработкой технологии получения новых материалов в технологической практике существует тенденция к усовершенствованию существующих в настоящее время установок для увеличения объема и габаритов выращиваемых кристаллов. При этом увеличиваются диаметр и длина монокристаллических слитков. Наибольшее продвижение в этом направлении достигнуто при выращивании крупных монокристаллов кремния, диаметром 150-200 мм и длиной I-I.5 м. Важное значение при этом приобретают результаты математического и лабораторного моделирования, использование которых, наряду с опытом и интуицией специалистов, занимающихся выращиванием кристаллов, позволяет наметить рациональные пути для усовершенствования установок выращивания и выбора технологических параметров.

Обзоры зарубежных работ,выполненных к 1981 г. по моделированию гидродинамических процессов для метода Чохральского, даны LaH^JPoLs'cut [il] и H(/t£e. [12] . В этих работах обсуждаются методические вопросы моделирования, а также приводятся данные параметрических исследований отдельного и совместного влияния различных механизмов движения (вращение кристалла и тигля, тепловая, термокапиллярная конвекция и т.д.).

К числу основных направлений численных исследований следует отнести поиск эффектов температурного и концентрационного расслоения и выявление благоприятных факторов для роста кристаллов (см. работы Дубовик, Никитин, Полежаев, Федюшкин [13] и Lan^^OiS р-4] ); а также разработку специализированного математического обеспечения для программированного ведения процесса выращивания ( ICUn. и др. [I5J ). Важным направлением параметрических исследований является также изучение влияния изотермических течений расплава, вызванных вращением кристалла и тигля, позволяющее перейти от простых форм движений к более сложным, возникающим в неизотермическом расплаве. Отметим, что этот предельный случай имеет также самостоятельное практическое значение и в условиях невесомости, где гравитационная составляющая отсутствует. Перспективы и конкретные установки для выращивания кристаллов методом Чохральского в космосе рассмотрены в работе Венцля и др. [16] .

В диссертации отражено современное состояние работ по моделированию метода Чохральского с учетом советских и зарубежных данных и численно исследуются процессы гидродинамики, тепло- и массообмена в расплаве. Основное внимание уделяется методическим вопросам, связанным с разработкой адекватных математических моделей и численных методов, сопоставлением результатов расчетов с данными лабораторных и технологических экспериментов, а также исследуются основные закономерности изотермического и неизотермического течения расплава, его влияния на теплообмен и распределение примесей в объеме и в особенности в подкристальной области. На основе проведенных исследований предлагаются пути рационального выбора технологических параметров для выращивания совершенных кристаллов.

1.2. Состояние вопроса

1.2Л. Вопросы моделирования

К началу работы автора над диссертацией в 1977 г. имелось небольшое количество публикаций по моделированию гидродинамических процессов для метода Чохральского. Недостатком большинства предшествующих работ являлось использование математических моделей, основанных на записи исходных уравнений в приближении пограничного слоя, имеющих ограниченный диапазон применимости и не учитывающих всей совокупности гидродинамических параметров (см. Конаков и др. [б] ). Наибольшее продвижение в разработке более полной модели на основе стационарных уравнений Навье-Стокса было достигнуто в работах Kofayashi , d-uguMi [I?] Однако расчеты, проведенные в этих работах, были выполнены для небольшого диапазона малых чисел Рейнольдса и Грасгофа. Основными механизмами, учитывавшимися в расчетах, были вынужденное движение, вызываемое вращением кристалла (тигля) и тепловая гравитационная конвекция, которые не соответствовали режимному диапазону параметров выращивания кристаллов. Отметим также, что в рамках этой стационарной модели нельзя было исследовать нестационарные и колебательные режимы течения и теплообмена, наблюдаемые на практике. Упомянутые недостатки были связаны с ограниченными возможностями применявшейся конечно-разностной методики в целом, аналогичной методике Госмена и др. [18] .

Первые шаги в исследовании изотермических течений расплава при противовращении кристалла и тигля в режимном диапазоне параметров на основе численного решения нестационарных уравнений Навье-Стокса были сделаны LQtt^AoLS'cut [19] . Однако это был единичный расчет и других данных по параметрическим исследованиям не было. По лабораторному моделированию были выполнены работы, дававшие лишь качественное представление об изотермическом течении расплава при вращении кристалла, тигля, например, Туровский, Мильвидский [20] , (hiudhzts , Mssau [2l] , Гришин, Ремизов, Казимиров, Федулов [22] , а также работы, содержащие экспериментальные профили скоростей для изотермических течений -Конаков, Третьяков [23] , и количественные данные о положении поверхности, разделяющей потоки двухвихревого течения при совместном действии вращения кристалла и тепловой конвекции ShiYOJtl [24] . Однако выбор водных растворов в качестве модельной жидкости и красящих веществ, плавающих шариков для визуализации, не позволяет считать эти эксперименты в достаточной мере количественно точными из-за значительного влияния капиллярно-концентрационных механизмов на поверхности жидкости.

Недостатком предшествующего этапа работ являлось также отсутствие сопоставлений данных численного и лабораторного моделирования для метода Чохральского. В этом отношении наиболее интересна работа <fi£onso [25] , содержащая результаты такого сопоставления для близкой задачи - течение изотермической жидкости при вращении крышки в цилиндрическом сосуде.

Отметим, что в предшествующий период методические вопросы численного исследования течений при действии тепловой конвекции в диапазоне больших чисел Грасгофа разрабатывались Грязно-вым, Полежаевым [26] . Основными элементами методики этих авторов являлись: численное решение нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса в (ш переменных на основе аппроксимации по неявной разностной схеме; новый способ аппроксимации граничных условий для функции вихря на основе подправления функции тока в приграничных узлах; монотонная аппроксимация конвективных членов по схеме Самарского [27] и итерационное решение уравнения для функции тока с использованием оптимальных итерационных параметров, определенных по Васшпрессу (см. ссылку в работе Федоренко [28] ). Несколько позже эта методика была усовершенствована для расчета турбулентных режимов конвекции в работе Дайковского, Полежаева, Федосеева [29] . В упомянутых работах также проведены тесты численных решений и сопоставления с данными лабораторного моделирования тепловой конвекции в вертикальных слоях и показана эффективность численной методики при расчете нестационарных режимов в широком диапазоне чисел Грасгофа. Другие разностные схемы и методы решения рассмотрены также в книге Роуча [30] . Рассмотрим работы, появившиеся в период 1977-1984 гг, соответствующий работе автора над диссертацией.

В последние годы методы численного решения значительно усовершенствованы, в связи с чем появились возможности параметрических исследований, превосходящие в отдельных случаях возможности физического моделирования (см. книгу Пасконова, Полежаева, Чудова [31] ). Поэтому все большее значение приобретает проверка адекватности математической модели реальной физической модели. Такая проверка в особенности важна потому, что в реальных условиях при больших числах Рейнольдса и Грасгофа течение теряет симметрию, становится неустойчивым; при этом могут существенную роль приобретать трехмерные эффекты, достоверное описание которых в настоящее время еще затруднительно. Для построения количественных моделей процессов гидродинамики, тепло- и массообмена и распространения их на реальный диапазон режимных технологических параметров важное значение имеют достоверные данные по основным теплофизическим свойствам питающей среды. Обзоры данных, относящихся к расплавам полупроводниковых кристаллов, содержатся, в частности, в работе Глазова, Регеля [32] .

В упомянутый период число работ по моделированию гидродинамических процессов для метода Чохральского резко возросло. Наряду с работами по усовершенствованию метода конечных разностей (МКР) разрабатывался метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий учесть геометрические особенности течения в сложных областях с фазовым переходом на границе кристалл-расплав, а также разрабатывались полуаналитические методы решения уравнений Навье-Стокса, позволяющие получить точное численное решение для течений вращающейся жидкости.

Метод конечных разностей (МКР). В работе Ремизова, Смирнова [33] рассмотрено влияние течения изотермического расплава при малых числах Рейнольдса ^20, вызванное вращением кристалла и тигля, на распределение легирующей примеси при условии её подпитки на стенках тигля. Ограничение по числу Рейнольдса было вызвано использованием этими авторами методики Госмена и др. [18] и связанными с ней вычислительными трудностями, не позволившими авторам достигнуть режимного диапазона параметров. В работех Люмкиса, Мартузане, Мартузана [34] , Старшиновой, Фрязинова [35] рассматриваются нестационарные постановки задач, что,в принципе,открывает возможности перехода к диапазону режимных параметров, соответствующих росту объемных монокристаллов большого диаметра. В работъ Мiok2&oic'a и др. [36] рассмотрены нестационарные режимы с переменной во времени скоростью вращения тигля. При расчетах распределения примеси в работах Ремизова, Смирнова [33] , Старшиновой, Фрязинова [35] уравнение конвективной диффузии рассчитывается отдельно от уравнений движения, что возможно в пренебрежении концентрационной конвекцией. Построение консервативных конечно-разностных схем для данного класса задач рассматривается в работах Фрязинова [38] и LabtfSois'ci [39] .

Численное исследование течений при числах Re МО® и Gt связано с преодолением значительных методических и вычислительных трудностей в связи с гидродинамической неустойчивостью и переходом к турбулентности. Только в недавнее время, причем лишь для моделей более общего назначения получены нестационарные численные решения, имеющие стохастические характеристики (Дайковский, Полежаев, Федосеев [29] - тепловая конвекция в вертикальном слое, Шуман, Грецбах, Кляйзер [40] - тепловая конвекция в горизонтальном слое, задача Рэлея-Бенара). Методика и комплекс программ,предназначенные для такого рода исследований, описаны в работе Бунэ, Грязнова, Дубовика, Полежаева [41] (см.также Пасконов, Полежаев, Чудов [3l] ).

Методика численного решения уравнений Навье-Стокса на нерегулярных конечно-разностных сетках предложена Фрязиновым [42] ; совместное решение уравнений Навье-Стокса и уравнений фазового перехода (задача Стефана) выполнено в работе Бакировой, Фрязино-ва [43] для вертикального метода Бриджмена. Учет гидродинамики в подкристальном столбике расплава для метода Чохральского выполнен Старшиновой, Фрязиновым [35] . Отметим, что метод конечных разностей благодаря универсальности и сравнительной простоте реализации для задач с прямолинейными границами получил наибольшее распространение. Однако, наряду с упомянутыми преимуществами, имеются трудности при распространении этого метода на задачи с границами сложной формы. Поэтому в последнее время все большее внимание уделяется разработке метода конечных элементов, который отличается от метода конечных разностей специальным выбором аппроксимирующих функций,вариационной формулировкой задачи и возможностью проводить расчеты для сложных областей течения.

Метод конечных элементов (МКЭ). Наибольшее распространение МКЭ получил только в последнее время благодаря появлению современных ЭВМ, обладающих достаточно большим быстродействием и оперативной памятью и позволяющих эффективно решать более сложные системы алгебраических уравнений. Последнее является особенно важным ввиду того, что решение задач методом конечных элементов сводится к решению алгебраической системы уравнений с разреженной матрицей ленточного типа, что значительно усложняет процесс решения по сравнению с МНР, где матрица имеет трех-диагональную структуру, эффективно разрешаемую формулами прогонки. Вопросы численного решения больших разреженных систем уравнений рассматриваются в книге Джоржа, Лю [44] , где основное внимание уделяется предварительной подготовке структуры и оптимизации ширины ленты матрицы.

Теоретические основы использования метода конечных элементов в механике жидкости изложены в книге Коннор, Бреббиа [45] , где рассматриваются вопросы аппроксимации функций на конечных элементах, предлагаются различные вариационные формулировки уравнений МКЭ, а также анализируется точность численных решений и приводятся результаты решения этим методом задач гидродинамики. Консервативные формулировки уравнений МКЭ рассматривались в работах JespVLSGto- [46] »Lez ,Gtj2sfu?>Chan'a,£ап1 [47] . Совместное решение уравнений Навье-Стокса и уравнений фазового перехода (задача Стефана), а также исследование их влияния на распределение примесей выполнено в работе 'q г

Q [48] для вертикального метода Бриджмена. Отметим, что в этой работе на основе параметрических исследований МКЭ значительно продвинуто исследование вопросов концентрационного расслоения и радиальной неоднородности распределения примеси на фронте кристаллизации.

В работе Полежаева, Федосеева [49] разработана методика численного решения задач гидродинамики, тепло- и массообмена по МКЭ. Основными элементами этой методики являются: аппроксимация компонент скорости квадратичными и давления - линейными базисными функциями; вариационная формулировка уравнений МКЭ по методу Галеркина и решение алгебраической системы уравнений фронтальным методом (см. работу Hooct'Q [50] ). Большое внимание в работе Полежаева, Федосеева [49] уделено разработке программ для генерации сетки конечных элементов и вопросам оптимизации ленточной структуры матрицы для системы алгебраических уравнений. Кроме этого, в этой работе содержатся данные сопоставления результатов, полученных по МКЭ и МКР, для некоторых задач гидродинамики и делается вывод об эффективности метода конечных элементов.

Применительно к методу Чохральского в работе Ch-ooh&i'a s W&ut&tS'ct и др.[51] по МКЭ проведены расчеты изотермического и неизотермического течения в случае прямолинейных границ области течения. В этой работе рассмотрено течение при отдельном вращении кристалла, противовращении кристалла и тигля, а также при отдельном и совместном действии тепловой конвекции и вращении кристалла в диапазоне изменения числа Рейнольдса до

3 7

10 , числа Грасгофа до 10 при малом значении числа Прандтля о равным 10 . Основное внимание эти авторы уделили сопоставлению результатов расчетов с известными численными решениями, полученными по МКР, и установили удовлетворительное совпадение с этими данными для стационарных течений. Кроме этого, при рас

С гу четах тепловой конвекции для чисел Грасгофа ^ 2x10 , 10 этими авторами обнаружены колебательные режимы течения, связанные с неустойчивостью течения в пограничном слое вблизи боковой стенки тигля. Анализ температурных полей в кристалле на основе численного решения по МКЭ уравнения теплопроводности совместно с уравнениями фазового перехода выполнен в работе VJiMiOins'Q , ReucSS^'i- О [52] . Отметим, что на данном этапе возможности моделирования метода Чохральского на основе МКЭ используются не полностью. Например, в упомянутых работах отсутствуют данные расчетов в областях более сложной геометрии, имеющие важное практическое значение (двойной тигель, формообразователь в расплаве).

Другие методы. Наибольшее значение иэ небольшого числа аналитических решений уравнений Навье-Стокса для моделирования течения в модели метода Чохральского имеет решение для течения, вызванного вращением бесконечного диска в неограниченной жидкости, приведенное в книге Бетчеллора [53] . Это решение на предшествующем этапе использовалось для анализа процессов теплообмена в пограничном слое вблизи вращающегося кристалла (см. книгу Конакова, Веревочкина, Горяинова и др. [5] ). В последнее время в связи с появлением более адекватных математических моделей метода Чохральского на основе численного решения полных уравнений Навье-Стокса аналитические решения стали использоваться для тестов численных решений, получаемых по МКР и МКЭ. Например, в работах МеМ.ог Ъ , Скар/^е. , S tokQg 'а [54] , Козельской, Люмкиса [55] получены аналитические решения для течения жидкости между бесконечными вращающимися дисками. При этом точное решение в случае дисков, вращающихся в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями, использовано Козельской, Люмкисом [55] для тестов различных аппроксимаций функции вихря на границе области.

Отметим, что важную роль при теоретическом изучении процессов гидродинамики и тепломассообмена при росте кристаллов могли бы играть методы теории устойчивости, позволяющие проводить более полное параметрическое исследование. Однако они, как правило, применяются лишь в простейших случаях при наличии той или иной периодичности или симметрии течения (см.,например, Ckandtaszkka*L. [56] , Гершуни, Жуховицкий [57] ). Некоторые частные случаи течения вращающейся жидкости в замкнутой области рассмотрены в книге Гольдштика [60] . Таким образом, для численного исследования течения в модели метода Чохральского являются особенно важными данные лабораторных экспериментов по устойчивости течений, являющиеся в настоящее время единственным критерием адекватности математической модели.

Лабораторное моделирование. В последнее время по лабораторному исследованию гидродинамических процессов для метода Чохральского также появился ряд новых работ. Наряду с качественным изучением структуры течения при действии различных механизмов движения, в том числе таких, как термокапиллярная конвекция, ранее не учитывавшейся при анализе экспериментальных данных (см. {э/иЪОкч [24] ), в этих работах начато систематическое количественное изучение характеристик течения и теплообмена. Вопросы лабораторного моделирования применительно к методу Чохральского и конкретные результаты измерений и визуализации течения с помощью модельных жидкостей рассмотрены в работах Jon&S 'а [59] , 'а , Sok&a&e ,

SckatntQnH'ct , Saku^ikziss 'а [60] , 'а ,

I&Mf'a , P&sk&f'Q [61,62] , Бердникова, Борисова [63] и Бердникова, Борисова, Данченко [64] .

Добиться равенства критериев подобия в лабораторной модели и в реальной технологической установке даже с точностью до порядка крайне трудно, с одной стороны, в связи с тем, что параметры, которые могли бы изменяться в моделирующей установке, входят в критерии подобия в различной степени, с другой стороны, в связи с сильным отличием в свойствах веществ.Например, использовавшаяся в ряде работ замена расплава германия (вязкость

V ^ 1.3хЮ~® см^/сек, число Прандтля Рч = 0.016, число Шмидта Sc? =10) водой комнатной температуры ( р = Ю"2 см2/ сек, Рг = 7, So =1000) приводит к существенному нарушению подобия тепловых и концентрационных полей в ввде различий в числах Р% и &Q . Если не принимать во внимание это обстоятельство и пытаться реализовать лишь динамическое подобие (подобие полей скорости), то для сохранения равенства чисел Рейнольдса требуется увеличить характерный размер модели, пропорционально корню из вязкости, но при этом может нарушится равенство чисел Грасгофа и т.д. В настоящее время распространенным методом экспериментального исследования стало так называемое "частичное " моделирование,наиболее продвинутое в работах Бердникова, Борисова [63] , Бердникова, Борисова, Панченко [б4] для изотермических течений, вызванных отдельным вращением кристалла, в которых также начато изучение неизотермических течений при совместном действии вращения кристалла и тепловой гравитационно-капиллярной конвекции.

Из близких работ, имеющих значение для тестов численных решений, отметим лабораторные и численные исследования изотермического течения жидкости, заключенной в цилиндрический сосуд и приводимой в движение противовращением этого сосуда и крышки на поверхности жидкости ftljkstw , Heijst # [бб] , а также количественные данные, содержащиеся в работе Watn-fo'ZHQSci, Fow&is , PiacseJc 'а , Lee [бб] , где изучены нестационарные течения жидкости, вызванные ускоренным вращением цилиндрического сосуда ( Spt-H- - up ). Применительно к методу Чохральского теоретические оценки нестационарного течения изотермической жидкости для режима 5/9up сделаны в работе Howniix 'о , Go^fstsiK 'а [67] .

1.2.2. Изотермические течения

Вращение кристалла. Течение при вращении бесконечного диска в неограниченной жидкости описывается автомодельным решением (см. книгу Бэтчеллора [53] ). Это течение в диапазоне существования ламинарного движения представляет собой одновихревую циркуляцию, при которой жвдкость перемещается от оси в радиальном направлении за счет действия центробежных сил вблизи поверхности диска и одновременно поступает в осевую область к диску из глубинных слоев. При этом вблизи поверхности образуется пограничный слой, толщина которого имеет порядок <Г~1/Х>/ЛК В случае диска конечных размеров определяющим критерием является число Рейнольдса, отнесенное к Rk -радиусу диска (кристалла) Re -J2K'RK/V 'Rk , здесь 9- кинематическая вязкость жидкости, -Г2/С - угловая скорость вращения диска (кристалла) .

При увеличении этого числа течение теряет устойчивость и при некотором его критическом значении (точнее, в некотором его диапазоне) происходит переход к неупорядоченному турбулентному режиму движения, физической причиной которого является неустойчивость пограничного слоя, образующегося на поверхности диска (кристалла). Эти явления изучались преимущественно для задач турб©машиностроения (см. книгу Дорфмана [ев] ). Наблюдаемый в экспериментах на воздухе переход к турбулентному режиму соответствует значению числа Рейнольдса /?e^3xI0^. Отсюда критический радиус, соответствующий переходу к турбулентности, при типичной скорости вращения = (1-2) см/сек для расплава кремния имеет порядок (12-16) см или диаметр =(24-32) см, что превышает размеры кристаллов, выращиваемых из расплава.

Однако значительно более ранние проявления неустойчивости изотермического течения расплава связаны с замкнутостью области и образованием внутренних вторичных течений в ядре. Насколько может быть сложна внутренняя структура изотермических течений, вызванных вращением границ при больших числах Рейнольдса, видно из результатов исследования двух наиболее изученных и ставших классическими задач: о движении жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами (так называемое, цилиндрическое течение Куэтта) и о движении жидкости между вращающимися сферами (сферическое течение Куэтта). В обоих случаях достаточно хорошо изучены теоретически и экспериментально как основное (т.е. стационарное и ламинарное) течение, реализующее при сравнительно малых числах Рейнольдса, так и структуры переходных и турбулентных режимов при различных определяющих параметрах (см.например, обзор Яворской, Беляева [б9] ).

Усложнение течения, вызванного вращением диска, происходит при осевом ограничении области за счет введения еще одного соос-ного диска, а также при радиальном ограничении за счет введения вертикальной поверхностной пленки или твердого кожуха. В последнем случае масштабы течения и его интенсивность становятся зависимыми также от геометрических размеров и конфигурации области. В случае, когда течение жидкости происходит в цилиндрическом сосуде и вызвано вращением диска, полностью закрывающего поверхность жидкости (вращающаяся крышка), численные решения для диапазона малых чисел Рейнольдса (до 400) получены Рао [70] по МКР и для несколько больших значений (до 1.5хЮ3) по МКЭ в работе Bat-Уоверк'а , &<вгок'а , So&zn'a [71] в В упомянутых работах содержится сопоставление результатов расчетов с аналитическими решениями для вращающихся дисков, а также в работе 'а $ 'й , о [71] использованы возможности МКЭ и исследованы особенности течения в областях сложной формы. Для больших чисел Рейнольдса (до 3x10^) расчеты по МКР проведены в работе *№onso [25} где получено хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Изотермическое движение расплава в модели метода Чохральского все еще недостаточно изучено, несмотря на значительное число работ, в которых оно рассматривалось. Недостатком большинства из упомянутых работ является отрывочный характер результатов, узкий диапазон режимных параметров, в первую очередь числа Рейнольдса, что представляет интерес при выращивании кристаллов большого диаметра. Некоторые качественные вопросы перемешивания при вращении кристалла выяснены при экспериментах на модельных жидкостях в работах (httutfats'a , MtSSW

21] , Конакова, Третьякова [23] , SkLlOKi [24] , а также в последнее время в работах Mic/be&clc. и др. [36] , Уоп£$'а [59] , ke&tyaski [72] , /Co&paski % [73] , относящихся к случаю изотермического течения при вращении кристалла в тигле. В работе kcdayctski , dtiZuKfi

73] показано, что при Reк >40 вплоть до H/R* ~ I течение непосредственно у поверхности диска близко соответствует автомодельному течению в пограничном слое. Наиболее подробно экспериментальные данные при отдельном вращении кристалла представлены в работах 'О , iZiztr'a , Pesk&tr'e

6l] , Бердникова, Борисова [63] , Бердникова, Борисова, Данченко [64] .

Вращение кристалла и тигля. Додробные визуальные наблюдения движения жидкости в этих режимах выполнены в известной работе CatUrhhzte'oi , MtSSCW [21] . Характерной особенностью в режимах совместного вращения кристалла и тигля является образование одно-двухвихревой структуры течения, зависящей от знака и величины параметра Пт/П к . Режимы изовращения и противовращения при малых числах при параметрах, соответствующих экспериментам QwftM'UbeXS 'йг , j/abdQK [21] , рассматривались в работе M-io/ie^C-^ 'й и др. [Зб] . Режим противовращения довольно подробно изучался методами численного моделирования. Расчеты при числах Рейнольдса ReK ^10®, представляющие наибольший практический интерес, выполнены на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса в работах LQh.aJlpLs'3 [19] , Люмкиса, Мартузана, Мартузане

34] , где получена в общих чертах сходная структура течения и обнаружены колебания скоростей потока. Однако вопросы устойчивости течений этого типа требуют более подробного экспериментального исследования подобно тому, как это делалось в работе Бердникова, Борисова [бЗ] в случае вращения кристалла.

1.2.3. Неизотермические течения

Тепловая конвекция. В поле силы тяжести помимо механизмов движения, связанных с вращением кристалла и тигля, на структуру течения оказывает наибольшее влияние тепловая гравитационная конвекция. Если рассматривать тепловую гравитационную конвекцию отдельно от остальных видов конвекции, что, по-видимому, возможно лишь методами численного моделирования, то следует отметить, что в методе Чохральского тепловая конвекция возникает за счет разности температур между нагреваемыми стенками тигля и поверхностью кристалл-расплав, отводящей тепло. Дополнительное действие тепловой конвекции существенно изменяет масштабы и интенсивность течения, вызванного отдельным действием противовращения кристалла и тигля (см. для сравнения работы kolctyaslu Оз], ксЯауав^ , Uti&t*fL [74]), При этом тепловая конвекция зависит от температурного профиля на стенках тигля, интенсивности теплообмена на поверхности расплава, чисел Грасгофа, Прандтля и геометрических параметров. Однако отдельному изучению этого важного механизма движения в литературе уделено мало внимания и только в работе Ctocheifa^ WOLfUts'Q [51] , появившейся в последнее время,рассмотрена структура и устойчивость тепловой конвекции при P*t =10"^, чисс ту ле Грасгофа 2x10 и 10 . При этом однако были фиксированы граничные условия: равномерность распределения температур на стенках тигля и кристалле, а также теплоизоляция поверхности расплава. Как уже упоминалось, в этой работе при (гЧ- ^"2x10^ обнаружены колебательные режимы течения и теплообмена.

Тепловая конвекция и вращение кристалла. В работе KoSaya$kl [74] рассматривались стационарные режимы взаимодействия при небольших числах Re^ 4 200 и при различных значениях параметра Q г/Re , в зависимости от которого существуют и три характерных режима. При G*t/Re. <<1 преобладает течение, связанное с вращением кристалла. Его особенностью является ограниченный подвод тепла к поверхности кристалла в связи с оттеснением конвекции, поэтому изотермы в подкристальной области вогнуты внутрь расплава. При ffx/Re. I преобладает тепловая конвекция, в связи с чем увеличивается теплоотвод к кристаллу от дна и боковых стенок тигля, и изотермы в подкристальной области вогнуты внутрь кристалла. Наконец, в третьем промежуточном- режиме действие конвекции и вращения кристалла уравновешивается в том смысле, что изотермы в подкристальной области прямолинейны. о

При увеличении числа Рейнольдса до 10 и выше характер взаимодействия между вынувденной и тепловой конвекцией принципиально изменяется; при этом могут появиться области более ранней неустойчивости по сравнению с картой изотермического вращения. Например, в работе Latt^^ClS[75] колебательный характер течения и теплообмена обнаружен при равномерном нагреве тигля и вращении кристалла Re = 7.9хЮ3, (?*- =9.4хЮ6,^ =2.8, ///£V=0.6I,М<-/^7 = 0.бб. При этом уменьшение до - 0 или увеличение числа Грасгофа до

Gt = 4.7x10 приводит к стабилизации течения. Возможной причиной неустойчивости течения при промежуточных значениях числа Грасгофа может быть колебательный характер взаимодействия вращения кристалла и донного нагрева . тигля, играющий в этом диапазоне параметров более существенную роль, чем боковой нагрев. Увеличение числа Грасгофа связано с увеличением вклада бокового нагрева и стабилизацией течения.

Профилированный нагрев стенок тигля. В реальных установках выращивания кристаллов фактическое распределение температур неоднородно по границам области. Даже при наличии преимущественно донного или. бокового нагрева, как правило,, выделяются локально перегретые и переохлажденные участки. В таких условиях структура движений ещё более усложняется и требует рассмотрения каждого случая нагрева в отдельности. Экспериментальное исследование влияния условий нагрева тигля на распределение температур в расплаве неодим-галлиевого граната выполнено в работе Заварцева, Иванова, Папина и Тимошечкина [76] , где показана существенная зависимость температурного поля от положения и размеров индуктора, осуществляющего электромагнитный нагрев. Несмотря на наличие ряда работ по численному моделированию в условиях,приближенных к реальным (см. Старшинова, Фрязинов [35] , [78] ) до настоящего времени в этой области гидромеханики отсутствует какое-либо единое понимание свойств движений и закономерностей теплообмена.

Термокапиллярные эффекты. Закономерности развития термокапиллярных течений при одновременном действии тепловой конвекции (боковой нагрев в цилиндрической области) представлены в работе Полежаева [79] . Установлено, что при одинаковой интенсивности этих движений имеется существенное различие в их масштабах. Влияние тепловой конвекции охватывает всю область течения, в то время как основная интенсивность термокапиллярных движений сосредоточена вблизи свободной поверхности. Обзор измерений конвекции применительно к методу Чохральского без вращения кристалла и тигля дан в работе Бердникова, Борисова [бЗ] . Характерным в этом случае является наличие колебаний поля температуры, имеющих разнообразный характер от высокочастотных неупорядоченных с периодом 3-5 сек до регулярных низкочастотных с периодом 1-2 минуты. Эти колебания объясняются неустойчивостью тепловой гравитационной конвекции, что иллюстрируется богатым фактическим материалом. Отсылая за деталями к упомянутым работам, отметим, что во многих случаях здесь, по-видимому, играет роль не только тепловая конвекция. Чтобы действительно убедиться в этом, нужны данные о влиянии различных составляющих в методе Чохральского в отдельности. В работах Schw^Se. и др. [60] экспериментально продемонстрировано существенное влияние термокапиллярной конвекции в геометрии и при температурных условиях, типичных для метода Чохральского.

Термокапиллярное движение для жидкостей (у которых коэффициент поверхностного натяжения убывает с увеличением температуры) направлено от нагретой стенки тигля вдоль свободной поверхности к кристаллу и, по-видимому, играет преобладающую роль в слое толщиной около 0.1 см у поверхности жидкости. Эта зона весьма существенна из-за непосредственной близости к подкристальной области. Числа Марангони Мп. , отнесенные к разности температур между кромкой кристалла и стенкой могут составлять до с fi

10 -10 , причем в эксперименте значительные колебания температур наблюдаются при fin^ 10^. Вместе с тем термокапиллярный ( и родственный ему капиллярно-концентрационный) механизм весьма чувствителен к температурно-концентрационному состоянию поверхности жидкости. Отсутствие таких данных, и по-видимому-» неконтролируемый характер этих условий делают интерпретацию экспериментальных данных о конвекции в расплаве затруднительной.

В этом отношении преимуществом обладает метод численного моделирования, позволяющий отдельно рассмотреть влияние термокапиллярной конвекции. Например, в работе LcXbiG^ols'ci [80] выполнена сравнительная оценка интенсивности течения расплава германия ( Pt = Ю"2) в условиях нормальной и пониженной гравитации: Qt = 3.8хЮ7и (?t - 3.8xI03 при Мк*1С)4- ПРИ этом получено, что в условиях микрогравитации интенсивность течения на 23% меньше, чем при нормальной гравитации?и на 17% больше интенсивности отдельного действия тепловой конвекции при нормальной гравитации. Отсюда следует, что масштаб и интенсивность термокапиллярной и тепловой конвекции сравнимы, что дополняет выводы работы Полежаева [79] на случай комбинированного (бокового и донного) нагрева стенок тигля.

Режимы взаимодействия тепловой и термокапиллярной конвекции с вращением кристалла и тигля весьма мало изучены и требуют дополнительного параметрического исследования и проверки по экспериментальным данным в контролируемых условиях. Как уже упоминалось, в работе LdH.Cj£0Lsb [80] начаты численные параметрические исследования, учитывающие реальный профиль температур на стенках тигля, влияние тепловой, термокапиллярной конвекции, противовращения кристалла и тигля при больших значениях параметров: J4n & 5.3x10^, Gt = 2.5x10^ * 2.7x10^, Рг = 0.08, Re = 3.9xI03 * I.3xI04 иХ?7-Д^ -0.68. при этом автором обнаружена сложная многовихревая картина течения,имеющая колебательный во времени характер. Однако сложность течения и недостаточное количество параметрических расчетов не позволили автору дать полную интерпретацию причины появления и основных характеристик колебательных режимов.

Колебательные режимы и способы их стабилизации. Колебательные режимы неизотермических течений исследовались на установках выращивания кристаллов Wl&QOx'QAJ » Funnel [81], Степченковым, Голубенковым [82] , Степченковым, Голубенковым, Добрыниным [83] ; лабораторное моделирование проведено в работе Pe.sk&ir'a , Мко&нг'а [&] .

В натурных условиях при выращивании кристаллов из небольших загрузочных масс расплава W'daox , FuMmet

8l] исследовали влияние вращения кристалла и тигля на амплитудно-частотные характеристики пульсаций температур в расплаве и установили стабилизирующую роль увеличения скорости вращения тигля, дополнительное вращение которого позволяет уменьшить эти пульсации. Однако эксперименты, проведенные в условиях выращивания кристаллов кремния из больших загрузочных масс расплава, в работах Степченкова, Голубенкова [82] , Степченкова, Голубенкова и Добрынина [83] показали, что амплитуда колебаний при увеличении скорости вращения тигля в диапазоне йт/йк =0-25-0.7 и Re = 2.0x10^ не только не уменьшается, а может увеличиваться {0*t - 2x10^, Pi-10"2). В лабораторных условиях колебательные режимы при совместном действии вращения кристалла и тепловой конвекции исследованы в работе P&slt&w'Q, jYll^O^w'Q , l&i&lf Q [б2] , где установлены различные амплитудно-частотные зависимости пульсаций для разных точек расплава (подкристальная область, центральная и пристеночная области течения).

Стабилизация температурных осцилляций на основе симметризации тепловых полей путем использования в условиях выращивания тепловых труб рассмотрена в работе ^attLn. 'ot , WlИ 'й э Oattuikgts'fi [84] . Другой способ стабилизации течения связан с уменьшением неустойчивости течения за счет тепловой конвекции путем понижения уровня расплава в тигле и использования двойного тигля с подпиткой(см./&'^£# [10] ). Применительно к тиглям простой прямоугольной формы и без учета течения и теплообмена во внешнем тигле расчеты проведены в работах 'q (85] , Старшиновой [вб] .

1.2.4. Влияние течения расплава на основные технологические характеристики

Влияние на кривизну фронта кристаллизации. Структурное совершенство кристаллов в значительной степени зависит от кривизны фронта кристаллизации в период выращивания и является наилучшим в случае поддержания плоской формы фронта (см в] ). На кривизну фронта кристаллизации влияет структура гидродинамических потоков в тигле, зависящая от соотношения интенсивностей тепловой и вынужденной конвекции. Вплоть до настоящего времени в технологической практике распространены некоторые качественные критериальные оценки соотношения центробежных и подъемных сил в тигле, применимость которых должна быть ограничена ввиду того, что они не учитывают изменения некоторых других существенных параметров (уровня расплава, отношения Rk/Rt » теплообмена на поверхности расплава, капиллярных механизмов конвекции и др.). Эти оценки строятся на основе отношения числа Грасгофа, характеризующего интенсивность тепловой конвекции, к квадрату числа Рейнольдса, характеризующего интенсивность вынужденного движения за счет вращения кристалла ( Caviuthjzts [87] , , Whlf/Ut [88] и MlS^t. и др. [89] ). Отметим, что неудовлетворительная точность упомянутых качественных оценок обусловливает поиски других критериев, которые однако основываются на не вполне адекватных гидродинамических моделях, в частности, модели течения мезвду коаксиальными цилиндрами ( [90] ).

Влияние на однородность распределения примесей в кристалле. Систематическое изучение влияния течения на распределение легирующих примесей на основе решения полных уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением переноса примеси начато в последние несколько лет и было ограничено по числу Пекле Ю^.

Имеются обширные экспериментальные данные по осевому и радиальному распределению примесей в кристаллах, выращиваемых методом Чохральского, полученные на основе измерения удельного электросопротивления или по травлению, наиболее полно представленные в книгах fco&e.n&e^et'cu [2] , Шашкова [б] , содержащих также ссылки на многие оригинальные исследования.

Расчеты радиальной неоднородности на основе стационарных уравнений пограничного слоя представлены в книге Конакова и др. [5] и работе Wt ison. [91J . В работе Ремизова [92] решены двумерные уравнения конвективной диффузии в подкристальной области при использовании полей скорости, полученных на основе уравнений пограничного слоя, однако было выяснено, что распределение примесей в кристалле существенно зависит от распределения примеси на границе гидродинамического пограничного слоя-Дальнейший шаг с использованием полей скоростей на основе решения стационарных уравнений Навье-Стокса сделан в работе Ремизова, Смирнова [ЗЗ] , где рассчитано радиальное распределение примеси на фронте кристаллизации (в постановке, соответствующей заданной подпитке расплава примесью на стенках тигля при медленном изотермическом вращении ( R& ** 20)). Методика расчета нестационарной задачи о распределении легирующей примеси, сводящая исходную задачу к последовательности стационарных задач, предложена в работе Старшиновой, Фрязинова [37] . В конкретных расчетах выявлены отчетливо выраженные максимумы в радиальном распределении примеси в зонах разветвления основного и подкристаль-ного циркуляционных течений.

Наряду с задачей получения кристаллов с равномерным распределением легирующей примеси,не менее важной является задача о равномерном и заданном содержании кислорода в кристаллах кремния большого диаметра. Повышенный интерес к кислороду в кремнии, с одной стороны, объясняется тем, что кислород оказывает исключительно сильное влияние на качество выращенных монокристаллов и приборов, изготовляемых на их основе, а с другой - тем, что подавляющее большинство современных приборов микроэлектроники изготавливается из монокристаллов, выращиваемых методом Чохральского, содержание кислорода в которых вследствие использования то о кварцевого тигля достигает 1.5-2. ОхЮ1 см .

В работе Ремизова, Сальник [93] экспериментально исследовано влияние вращения кристалла на радиальное распределение кислорода в кристаллах, а также в работе Сальник, Макеева, Ермолаева, Мильвидского [94] установлена зависимость содержания кислорода в кристаллах от ширины свободной поверхности и поверхности контакта расплава с тиглем. Расчеты содержания и распределения кислорода в кристаллах выполнены в работе Смирнова,Стар-шиновой, Фрязинова [95] , где однако нет сопоставлений с экспериментальными данными по распределению кислорода.

1.2.5. Выводы по обзору литературы и краткое содержание диссертации

Рост числа публикаций по численному моделированию гидродинамических процессов для метода Чохральского в 1977-1984 гг. сопровождался появлением новых конечно-разностных методик на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса, позволяющих проводить исследования в режимном диапазоне параметров выращивания кристаллов; разработкой метода конечных элементов, позволяющего проводить исследования в областях со сложными границами, а также разработкой и использованием для тестов приближенных методов, позволяющих получить точное решение. Расширение возможностей численного моделирования позволило перейти к расчетам термокапиллярных эффектов, структуры течения при ускоренном и замедленном вращении кристалла и тигля, а также параметрическим исследованиям в режимном диапазоне параметров выращивания кристаллов и сопоставлениям с появившимися в последнее время данными по лабораторному моделированию метода Чохральского.

Однако в упомянутых работах вплоть до настоящего времени остаются нерешенными вопросы, связанные с количественной проверкой адекватности численных решений по данным лабораторного моделирования; вопросы устойчивости течений, а также ввиду многопараметрической обусловленности задачи остается неисследованным влияние таких важных факторов, как температурное профилирование на стенках тигля, изменение скоростных режимов врашения кристалла и тигля, зависимость течения и теплообмена от отношения радиуса кристалла и тигля, вопросы, связанные с влиянием течения на распределение примесей (кислород, легирующая примесь) и т.д.

Весь период работы автора над диссертацией можно разделить на два следующих этапа: 1977-1980 гг. и I98I-I984 гг. На первом этапе (1977-1980 гг.) была разработана математическая модель гидродинамических процессов для метода Чохральского и численная методика на основе МКР, выполнены тесты численных решений путем сопоставления с данными, полученными по другим разностным схемам, и данными лабораторного эксперимента WtitSL-Hztnasb и др. [бб] . В это же время исследовано влияние отдельных механизмов движения и начато параметрическое изучение изотермических и неизотермических течений. На втором этапе (I98I-I984 гг.) была усовершенствована конечно-разностная методика: осуществлен переход к расчетам с двойной точностью, уменьшены затраты машинного времени и повышены аппроксимационные свойства решения (аппроксимация вихря на границе полной области, введение релаксации по граничным условиям для вихря); разработана математическая модель метода Чохральского на основе МКЭ; проведены тесты с аналитическими и численными решениями; выполнены сопоставления с данными лабораторного эксперимента; проведены параметрические исследования изотермических и неизотермических течений в широком диапазоне параметров; исследовано влияние течения расплава на теплообмен и распределение примесей; предложены пути рационального выбора технологических параметров, которые были апробированы в заводских условиях и дали положительные результаты.

Результаты диссертационной работы докладывались на 38-й, 39-й конференциях Латв. гос. университета (Рига, 1978 и 1979); УШ и IX Всесоюзных семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (Томск, 1979; Ленинград, 1982); семинаре Института теплофизики СО АН СССР (Новосибирск, 1979); У1 Международной конференции по росту кристаллов (Москва, 1980); Ш и 1У Университетских школах "Нелинейные задачи гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 1980 и 1982); I-Ш Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Москва,1979; Пермь, 1981; Черноголовка, 1984); У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981); Научно-технических семинарах в Гиредмете (Москва, 1980, 1981, 1983); семинаре Института кристаллографии АН СССР (Москва, 1981); УП Всесоюзной школе "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Рига, 1982); 1-м Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование процессов затвердевания металлов и сплавов" (Новосибирск, 1983); семинаре ИТР завода ОХМЗ (Подольск, 1984); семинарах Института проблем механики АН СССР (Москва, 1984).

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах [96 - III] и применялись в Институте проблем механики АН СССР при проведении плановых работ по комплексной проблеме ГКНТ СССР (шифр 0.09.11), договору о социалистическом содружестве с ИТФ СО АН СССР. Результаты диссертации используются в

ГИРЕДМЕТё' и ОХМЗ МЩ СССР, НИИМВ МШ СССР, ИТФ СО АН СССР при проведении технологических и лабораторных экспериментов с целью выбора оптимальных параметров выращивания кристаллов. Комплекс программ по методу конечных разностей внедрен в ИФИ АН Арм. ССР и используется при параметрическом исследовании технологических режимов. В приложении приведены документы о внедрении результатов диссертационной работы в ИФИ АН Арм. ССР и на заводе ОХМЗ МЦМ СССР,

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.И, Полежаеву за постоянное внимание и помощь в работе.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для исследования процессов гидродинамики, тепло- и массообмена в модели метода Чохральского разработаны и реализованы в виде комплексов программ на ЭВМ EC-I04Q, 1055 метод конечных разностей и метод конечных элементов. Методом конечных разностей проведена серия параметрических расчетов в диапазоне режимных параметров, достигающих больших значений по числам Рейнольдса, Грасгофа, Марангони; Re ^З.ЗхЮ4, бч. ^З.ЗхЮ8, Afe^5.IxI04. Исследованы особенности технологических режимов выращивания кристаллов кремния большого диаметра. Методом конечных элементов исследованы особенности изотермических течений в тиглях сложной формы (двойной тигель).

2. Выполнена проверка точности численных решений и установлено их количественное совпадение с аналитическими решениями и данными других численных работ. Установлено, что при больших значениях режимных параметров ) приемлемая точность при использовании разработанных методов достигается в случае достаточно подробных сеточных разбиений (61x81, 81x81) и сгущении узлов в областях больших градиентов функций.

Выполнена проверка адекватности математической модели по данным лабораторных экспериментов. Данные эксперимента по изменению окружной компоненты скорости во времени в случае мгновенного ускорения вращения контейнера с жидкостью а также данные для стационарных изотермических течений, вызванных вращением кристалла, удовлетворительно согласуются с численными результатами. При больших числах Рейнольдса Re = I

57x10") обнаружена значительная устойчивость стационарного течения по сравнению с экспериментом. Установлено качественное совпадение с имеющимися экспериментальными данными для неизотермического течения, вызванного вращением кристалла и действием тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции. Результаты параметрического исследования согласуются с данными технологических измерений распределения примесей (кислорода и фосфора) в выращенных кристаллах.

3. Выполнено параметрическое исследование изотермического течения расплава при отдельном вращении кристалла, противовращении кристалла и тигля, а также исследованы особенности течения в двойном тигле. Изучено влияние изотермического течения на распределение и содержание примеси' (кислорода) на поверхности кристалла (фронте кристаллизации).

При отдельном вращении кристалла установлены масштабы течения и его интенсивность в зависимости от числа Рейнольдса, глубины жидкости и радиуса кристалла. Определена граница появления вторичных вихрей в подкристальной области, обнаружен колебательный характер установления стационарного режима течения после мгновенного увеличения скорости вращения кристалла при числах Рейнольдса Re &I240 и

При противовращении кристалла и тигля обнаружена граница появления двухвихревого стационарного течения при малых числах . Рейнольдса, а также определены его масштабы и интенсивность в зависимости от значений параметров Rk/Rt ,йт/Лки Re. При малых значениях -О Л обнаружена зависимость структуры течения от начальных данных и показано, что увеличение абсолютной величины этого параметра от12^^,=-0.5 до приводит лишь к уменьшению интенсивности подкристального вихря при сохранении двухвихревой структуры течения. При больших значениях числа Рейнольдса

Re =1 .57хЮ4 и!27/^=-0.5 обнаружены слабые колебания границы, разделяющей два вихря, связанные с неустойчивостью течения в области встречи двух потоков вблизи поверхности жидкости.

Особенностью течения в двойном тигле при отдельном вращении кристалла, изовращении и противовращении кристалла и двойного тигля ( Re = 100, -0Л) является преобладание во внутреннем тигле циркуляции, вызванной вращением кристалла, независимо от величины зазора для подпитки на его дне. Получено, что наибольшее содержание кислорода в кристалле соответствует основному одновихревому течению, вызванному отдельным вращением кристалла, и наименьшее - течению с вторичными вихрями при больших числах Рейнольдса, а также течению при противовращении кристалла и тигля.

4. Выполнено параметрическое исследование неизотермического течения расплава при отсутствии и наличии вращения кристалла и тигля. При отсутствии вращения течение вызвано действием тепловой и термокапиллярной конвекции, структура и интенсивность которой определена в зависимости от распределения температур на стенках тигля и значения параметров Bi , Ot. t Мп. .

При совместном действии вращения кристалла и тепловой конвекции исследовано влияние параметров на структуру двухвихревого течения и положение "точки встречи" двух потоков на поверхности расплава. Установлено, что значительное влияние термокапиллярной конвекции ( Mft = 5.1x10 ) приводит к смещению7"точки встречи" двух потоков в подкристаль-нуто область. На основе обобщения результатов численного моделирования при боковом и равномерном нагреве стенок тигля для различных чисел Прандтля ( Pt = 0.02, 0,5, 2,8 и 15), а также с учетом теоретических и экспериментальных данных построена графическая зависимость положения " точки встречи" потоков для широкого диапазона изменения параметров

Re , 6 ч , Мъ .

Исследованы особенности тепловой конвекции при противовращении кристалла и тигля. Установлено значительное влияние изменения характера нагрева тигля и чисел 6% , &L t Мн* на структуру вторичных течений в подкристальной области; в случае донного нагрева ячейковый характер тепловой конвекции способствует образованию интенсивной подкристальной циркуляции при увеличении числа Рейнольдса. При больших значениях числа Рейноль

4 8 дса Re - 2x10 и flr/fif -0.5, Gx. - 2x10 обнаружено дробление основного течения и появление малоамплитудных колебаний температур в расплаве.

Изучено влияние неизотермичности течения на перенос примесей в расплаве и обнаружена наибольшая радиальная однородность распределения примесей на поверхности кристалла в случае боль

0 3 4 ших чисел Рейнольдса ( ске = 8.8x10 и 2.1x10 ) и донном нагреве тигля, что согласуется с данными технологических экспериментов.

На основе результатов диссертационной работы даны рекомендации по рациональному выбору режимных параметров для выращивания совершенных кристаллов методом Чохральского»

5. Разработанные численные методы, комплексы программ и выполненные параметрические исследования открывают пути решения более широкого класса нелинейных задач конвекции, тепло-и массообмена вращающихся жидкостей в различных технологических, технических и геофизических приложениях.

1. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М., Мир, 1974, - 540 с.

2. Ros&i&e.ig&t F. fundawetrfa^s с/ ez^stcU gww-kk Т: Mactoscopie a^d -бголз/жг^ c&PLce-pts. в/эъиг^гг J ёгъёсп. fttuSeg&tv-Л/его Yow , -fJd/d.

3. Cavtuih&ts y.R. сс>а1;ес&£?/г, UuSta-^^tiesx&fepctni it? ^z&su-

4. PuS&gk&c/ Lsi: Ръг/wiaitCotL. О/

5. State watebb^ eds, IV. R. IVUe^y^ R.A. ItfeiKt, KB; p. y-^fy

6. Острач С. Влияние гидродинамики на рост кристаллов, Теоретические основы теплопередачи, т. 105, IP I, 1983, с. 89-107

7. Конаков П.К., Веревочкин Г.Е., Горяинов Л.А. и др. Тепло-и массообмен при получении монокристаллов. М., Металлургия, 1971, 239 с.

8. Skee£ ft. А'иМеъ кыш-Зкааг И.usLHf* /?С/?Т. -У. &>сосо£А, к ; p. J?/- <296

9. Я. e/ou-g-Zz. aoH.tot.uiet tizaktU^ue. У,1. Qtouotkj 13V-3V311. в W. В. (2onisec.tL.oh- in. Cs^ockta^^ 4.*C0uu~tk. pknSL&oG/Iej^tc, oaJl Hycfborfy/ta/pfLeS^ И I, nSg 4,

10. Нич£&. Ъ.Т.Х ConiH&tii*- ul Ht&Pt

11. Дубовик К.Г., Никитин С.А., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Гидродинамические эффекты температурного и концентрационного расслоения. В кн.: Проблемы вязких течений. Новосибирск: ИТПМ . СО АН СССР, 1981, с. 55-64.14. / ' ' 'яьоагъУ1. Я J,

12. K.N. ? къа* / ^ вмЬамя P., SckwL< ttxe Cvnsfdu <3iwL{<£#i;LOJ<. Qhj^ fiteurfb. ?<f dLQwetez SL&'OOH* eitfstaZ, X ^gzcLttoe/uzfiff. и.r, /9?б , p. 1*6-6 //fp

13. Ее-нцль X., Мика К., Ыюллер-Крумбхаар X., Юльхор В. Выращивание кристаллов в космосе. М.: Всес. центр переводов

14. НТЛ, 1976, Перевод !•" Ц 86967, - 193 с.17. ko-fayeskl MJ J<u%u/ui Т. вош/д-u-tatLOH^e analysis of the. LK а сьись^^г,

15. Госман А.Д., Пан B.M., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольф- ■ штейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М., Мир, 1972, 323 с.19> W. Е. % iff Оси. е/ С%оск. la&S/eL <6и£кг иг # pctiXtwziez

16. У Qiy&tat (Z^Lotk., 1/.4Л; 399

17. Туровский Б.М., Мильвидский М.Г. Моделирование процесса перемешивания расплава'при выращивании кристаллов по методу Чохральского. Кристаллография, т. б, вып. 5, 1961, с. 759-762.

18. Cattuikeis y./?tJ Nassau fc. /^ui^fc/ua io boiatiopt. tfuiCn^. Czoak

19. Ci^siae fft&cotL, У. P/iyS., К 69j v/e /9*?, p. fJOf-rJ-f/

20. Гришин В.П., Ремизов О.А., Казимиров И.И., ФедулоЕ Ю.П. Некоторые особенности гидродинамики при выращивании кристаллов кремния методом Чохральского. Научные труды ГИРВДМЕТа, 1975, с.П-19.

21. J2on.so О, у, <Ste.Qot# -€anti,ncii йп, а. Sixt'tiOH.Q'L^ ~t&Hj<r usL-бк. а 8/эйLt&/*f.1. У. /Иее/г.^ p.

22. Грязнов В.JI., Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции. М.: ИПМ АН СССР, 1974, Препринт № 40, - 70 с.

23. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977, 653 с.28; Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. УМН, т. ХХУШ, вып. 2, 1973, с. 121-182.

24. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Численное моделирование переходного и турбулентного режимов конвекции на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса. М.: ИПМ АН СССР, 1978, Препринт Г 101, - 65 с.

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., Мир, 1980, 616с.

26. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М., Р1аука, 1984, -285 с.

27. Регель А.Р., Глазов В.Л. Физические свойства электронных расплавов, М., 1980, 295 с.

28. Ремизов И.А., Смирнов В.А. Численный анализ распределения легирующих примесей при выращивании монокристаллов методом Чохральского. Физ. хим. обраб. матер., 3, 1980, с. 4955.

29. Ломкие Е.Д., Мартузан Б.Я., Мартузане Э.Н. Численные исследования нестационарных гидродинамических и тепловых процессов в методе Чохральского. Изв. АК СССР, сер. физ.,2, 1980, с. 373-377.

30. Старшинова И.В., Фрязинов И.В. Численные исследования гидродинамических и тепловых процессов получения монокристаллов по методу Чохральского. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1982, Препринт tf 52. - 21 с.

31. Mieke£aia Saktetct Раи& ^ tatk /С., WzMii Н., lAik^J И/, . лш/ det Hati J.suwU'CtfticH^ of fatceaf CV/VSZ&L&H. Ik ike, c£c?s<sica& CgocAw£<sk?i in. JCRT1. Cttu* CJ6/PI 1. ZCtystat v. 53, 3W-3M

32. Старшинова И.В., Фрязинов И.В. Постановка и численное исследование задачи о распределении легирующей примеси в процессе получения монокристаллов методом Чохральского. -М.: ШМ им. М.В.Келдыша All СССР, 1982, Препринт № 94, -27 с.

33. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах в переменных вихрь-функция тока момент вращения. - М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АК СССР, 1980, Препринт120, 30 с.

34. W.B. во/^вегляtwe fdtveztfutes fot sy/wettCe wrfk /tyetL. Ih, //э/э£ М&ек. сиъе/ r.Jlf; /9?/; p. 3^-333

35. Шуман У., Гретцбах Г., Кляйзер JI. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений. В кн.: Методы расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984, е.-103-226.

36. Бакирова О.И., Фрязинов И.В. Метод совместного решения задачи Стефана и уравнений Навье-Стокса. М.:

37. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1981, Препринт Г* 103. -28 с.

38. Джорж А., Ли Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М., Мир, 1984, 333 с.

39. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов вмеханике жидкости. JI., Судостроение, 1979. 263 с.

40. Уев/эегзел & с. Лъати/а s /veiA&rf is а. ^iH^lie. те/клх/,

41. X PhgS., у. fe, WW, Я ЗГЗ-ЗУ0

42. Але Oresko P.M., вкяъ S.T, Sa/ti R. A. jf do/iY/5^tcgotc a/ av^sez^tftC^e. /ог finite- /Ьгжи^а&ен-Я trf Мл in,(юил/дЛбсъеч Sto^ej at ^ua/ion^s, —

43. Ptoa, $ Int. вон/, /ini/е Си1. P. J/63 ~ Mf

44. CAtfHf. С.У.; ёъоьои, R./j. Rarfiai S^iefatic?^ induce*/ /tatuta<£ (Юли^а/Со*.

45. So£u/ inte.l/aae in. жъ&са-ё$<U?u)t/i. у P^wtiL И 63 S?f3ft. ЗУЗ '

46. Полежаев В.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики, тепло и массообмена. М.: ИПМ АН СССР, 1981, Препринт № 160, - 72 с

47. Mood P. pU?Ktq£ f&tofiWHc fat. t^SfiMwcttia /nettle. In.fr. X J/isw. /Wedi.v.JC; Я

48. Съоекяi M X , Outers Р.У^ F. Г. ? Уо^ан. J, S. Tutiiz е^гж&ъ г яСюи^аёссж1. У. Фыки-Уи, и /S3- /^r

49. МивёСа/ъсв (?,, f?euss&*i P.E Heat ttarvstei lh. вШсок. ayf<sta£

50. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, М., Мир, 1973,- 758 с.

51. Мее&г G.I., вАаррЬ. Р.Х, Stok-es И к-. (Ри. <f£<?u) Setupегн^. a wfatu*^ a^utf siaic/iex. X. Рви La fyec^.j v.31, /96 pJ

52. Гершуни Г.З., Пуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., Наука, 1972, 392 с.

53. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск, Наука, 1981,- 366 с.

54. Уои££ ff.^.W. rfn. е^^егицгн-ta^ &a?de£ о/ гin- pt&toik. - 154 60. R^Sakwa-Se. J, ан^/6cnw£"6k£iss f. Ех/эеяииенгбз он. Si/o^cut^,-/u^i /яш/ж. latuы зой/тОе^я foi aty&'fa^-ftbowtk. 1. Mi. fes. J p.62. PesAer P.; МкяЯ?* К,

55. W и -ZattCL £ turfing of Ayoft&c/y/LawCcs иъ kip/i t&u/z&'z-atu'w. fot

56. Бердников B.C., Борисов В.JI. Экспериментальное моделирование гидродинамики расплава при выращивании монокристаллов методом Чохральского. В кн.: Теплообмен при кристаллизации и конденсации металлов. Новосибирск: ИТш СО АН СССР, 1981, с. 96-106.

57. Яаке/га. Hay'ji &J.F. /etcoeen. гЬюо finite ZoirartLk^. rfijxg e^&g&s&y Sy CL cy&jtrfzx-У Явий/ А/геА., К /9УЗ, /я Ш

58. Valutas J.fFc?cv&&!MW, Piaesz* 8 lee S.P/. eo&d-cotis tu^^ i1. У. A/eeA.j к ft. ^

59. UewcoCtZ J.} ikttL tmt&safr&sz, a/ ike Sft-iH и ft t/wasi^wtaiiof^ tec/uLL&sd. -У (Lt^^a^ (P^UJ к , ft- W- 3JJ. *

60. Дорфман л.А. Численные методы в газодинамике турбомашин. Л., Энергия, 1974, 270 с.

61. Яворская И.М., Беляев Ю.П. Конвективные течения во вращающихся слоях. Итоги науки и техники, сер. МЯТ, т. 17, 1982, с. 3-85.

62. Рею И. P. M*f/™e<u,cci£ go&fUotL e/iAe. Nairi&t Stores eatsa iu?^ /ft f&puss In. ike tfLsx- jp&tetw.1. Ptys. и. If ft. 471. yoseftk Р^ УУ. asttf So^/t. J.e^bveni 0/ гlAe Mfcie* 1к±. X jVusu. Afeak. Y.ftj fff/jz.

63. M So/uftutatlc?^^ зСк/и^я^с?*, ^ -ike /£oco1. X и ft.73. kbSa^ax/il ^ 77 -e Scales a&cstf'&zj'74. fco-SatfasAl JS /Yya^po/^a/u^es o^tдыЫА iztr a/b^/ £/ft£ «и. 75. Effe&t а/ гike, Su^asiCyon. In Ьяг^ё./ а*и>и>-6/ь1. X Сг^з-Ш , к ^ , p,

64. Заварцев Ю.Д., Иванов М.А., Папин Ю.М., Тимошечкин М.И. Формирование тепловых полей в расплаве при выращивании методом Чохральского. М.: ФИЛИ гол. П.Н.Лебедева, 1983, Препринт № 197, - 10 с.

65. Биберин В.И., Старшинова И.Б., Титюник Л.Н. Влияние температурного поля расплава на устойчивость монокристаллического роста арсенида галлия. Науч. тр. ШРЕДМЕТа, 1982, т.112, с. 28-34.

66. W.E. J pa^ubtuetet sensiiLo-ity

67. Stucfy /ог С&РОАЪЯ'ВЗ/СС of SL£lqch1. X QiystaZ J И 3 p. /9

68. Полежаев В.И. Термокапиллярная конвекция в цилиндрическом сосуде при заданном подводе тепла. В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. М.: МГУ, 1971,с. 175-213.

69. W.E. Slmu^atCon. о/^ У e^taA P^oLoi/v; и j

70. Wi£t>c>x W. /?., Fu&rtset i.fr,1. Q^OLot/L

71. Степченков B.H., Голубенков Б.10. Исследование тепловых условий и конвективных потоков в расплавах кремния большой массы. -. Электронная техника, сер. Материалы, вып. 6(167), 1982, с. 44-47.

72. Степченков В.Ы., Голубеннов Б.Ю.,Добрынин А.В. Исследование вынужденной конвекции в расплавах кремния большой массы.-Электронная техника, сер. Материалы, вып. 7(168), 1982,с. 25-28.

73. Маг-tut. Е.Р, WtttJ.F., Стъм'Уиъ*? У. Р.

74. Jpp£ce.atLOtL о^ CL /Э-С/ЭА C^ockta^s^CtObotJb .

75. У. -Уи. Е&>с±ърс./и>и<. Soa, и. tee, S9S9j85> kKE.

76. C-ZoaktaзСёСв&м. at w&Pt taiio.eitftilLcU 69

77. Старшинова И.В. ■ Процессы тепло- и массопереноса в расплаве при выращивании монокристаллов по Чохральскому. Диссерт. канд. тех. наук. - М., 1983, - 210 п.с. с илл.

78. CQvufthzts У /р. J'-gcou -6wl.$Uloks aL^af inte^^CLe^ gka/d-e.s Си.1. V oxide a^&to^s:

79. У. G^ia^ CbowtLj К > , p ff-Zo

80. WlZsok- P J яги> За&к at г

81. P+Uyut, } анис/ S&ioktat a/s&^^^cfiion CL^tfixbt -/ъот

82. Ремизов И.А. Численное моделирование концентрационных полей легирующей примеси в расплаве при выращивании монокристаллов методом Чохральского. Физ. хим. обраб. матер., № I, 1980, с. 38-44.

83. Ремизов О.А., Сальник З.А. Влияние гидродинамики расплава на содержание и характер распределения кислорода в монокристаллах кремния, выращенных методом Чохральского. Электронная техника, сер. Материалы, вып. 3, 1980, с. 37-45.

84. Сальник З.А., Макеев Х.И., Ермолаев С.Н., Мильвидский М.Г., Содержание кислорода в монокристаллах кремния, выращенных по методу Чохральского. Изв. АК СССР, Неорг. матер., т.20, 1984, с. I8I-I88.

85. Смирнов В.А., Старшинова И.В., Фрязинов И.В. Анализ распределения кислорода в расплаве кремния. Кристаллография,т. 29, № 3, 1984, с. 560-566.

86. Полежаев В.И., Простоыолотов А.И. Численное моделирование процессов гидродинамики и тепломассообмена при выращивании кристаллов по методу Чохральского. В кн.: 6 Ме?вдунар, конф. по росту кристаллов: Расш. тез. докл., т.II. - М., 1980, с. 231-232.

87. Полежаев В.И., Дубовик К.Г., Никитин С.А., Простомолотов А.И., Федюшкин А.И. Конвекция при росте кристаллов в земных условиях и невесомости. в кн.: б Междунар. конф. по росту кристаллов: Расш. тез. докл., т. II. - М., 1980, с. 267-269.

88. Простомолотов А.И. Гидродинамика и тепломассообмен в модели выращивания кристаллов по методу Чохральского. В кн.: Пятый Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докл. - Алма-Ата, 1981, с. 296.

89. Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Исследование процессов гидродинамики и'тепломассообмена при выращивании кристаллов методом Чохральского. Изв. АН СССР, сер. МЗКГ, № I, 1981, с. 55-65.

90. Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Расчет течения и тепломассообмена при выращивании кристаллов по Чохральскоцу. В кн.: Проблемы вязких течений, Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1981, с. 179-183.

91. Ю2. Po&iz/wyev- KL, %) и Spoils к. £; ^,1. J. /.} PzdyuskkiLK. Д. /eoHjf&etioit. о/иьгии^, fib&coirk. он. Zcydk,

92. CLn-tf in. 8pet ее,. -У Сгу^аЛ Gwwttv, /э-.

93. Иванов Ю.Б., Подливаев И.Ф., Простомолотов А.И. Применение метода коллокации для расчета гидродинамики бестигельной зонной плавки. В кн.: Матем. модел. физич. установок. М., Энергоиздат, 1981, с. 10-20.

94. Подливаев И.®., Простомолотов А.И. Численный расчет течения расплава при бестигельной зонной плавке. В кн.: Матем. модел. физич. установок. М.: Энергоиздат, 1981, с. 53-60.

95. Дубовик К.Г., Никитин С.А., Полежаев В.И., Простомолотов А.И., Федющкин А.И. Конвективные процессы в невесомости и их значение в задачах космической технологии. В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982,с. 61-72.

96. Бердников B.C., Простомолотов А.И. Исследование гидродинамики в модели выращивания кристаллов методом Чохральского.

97. В кн.: Математическое моделирование процессов затвердевания металлов и сплавов: Тез. докл. Всес. конф. Новосибирск: НГУ, 1983, с. 104-105.

98. Простомолотов А.И., Простомолотова И.И. Численное исследование течений вязкой вращающейся жидкости методом конечных элементов. М., 1984. - 65 с. - Рукопись предст. ИПМ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 3 мая 1984, № 2884-84 деп.