Численное моделирование гидродинамики расплава и теплообмена в методе Чохральского тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Винокуров Владислав Викторович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ РАСПЛАВА И ТЕПЛООБМЕНА В МЕТОДЕ ЧОХРАЛЬСКОГО

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О ДЕК 2012

Новосибирск - 2012

005047560

005047560

Работа выполнена в ФГБУН Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН

Научный доктор физико-математических наук, с'.н:с. руководитель: Бердников Владимир Степанович • ''.'-■>•■

Официальные Черных Геннадий Георгиевич, ' " ' оппоненты: доктор физико-математических наук,- профессор, ФГБУН Институт вычислительных технологий СО РАН, г.н.с.

Зудов Владимир Николаевич,

доктор физико-математических наук,' с.н.с., ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, в.н.с. '■'■ '

Ведущая ФГБУН Институт проблем механики им; А.Ю.Ишлинского

организация: (г. Москва)

Защита состоится 12 декабря 2012 г. в 09:30 на заседании диссертационного совета Д 003.053.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, Проспект Академика Лаврентьева, 1, ИТ СО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН

Автореферат разослан_2012г.

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 630090, Новосибирск-90, Проспект Академика Лаврентьева 1, Ученому секретарю совета. Факс:(383)330-84-80

Ученый секретарь ^ ^ __В.В.Кузнецов

диссерта1 д.ф.-м.н.

диссертационного совета х/

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Получение качественных монокристаллов (МК) - сложная многопараметрическая задача, положительное решение которой во многом зависит от понимания того, как организованы процессы тепло- массопереноса в ростовой камере и в составной части теплового узла, в системе тигель-расплав-кристалл. В большинстве работ по моделированию метода Чохральского численными методами представлены весьма ограниченные данные о структуре течений расплавов, локальных и интегральных процессах тепло-массообмена. В справочной литературе содержится мало данных об условиях роста монокристаллов в реальных технологических условиях. Практически отсутствуют сведения об особенностях структуры конвективных течений и их влиянии на локальные характеристики тепло-массообмена.

С целью выработки критериев оптимизации технологических параметров необходим комплексный подход к исследованиям, которому следует данная работа: изучение эволюции локальных (тепловые потоки, распределения температуры, скорости в характерных сечениях) и интегральных (изолинии функции тока, интегральные тепловые потоки) характеристик при различных геометриях, теплофизических свойствах расплава и критериях подобия. Очевидно, что численное моделирование необходимо в настоящее время дополнить и согласовать с физическим экспериментом, необходимым как для лучшего понимания процесса, так и для получения реперных точек для численного моделирования и проверки его адекватности. Работа посвящена актуальной фундаментальной проблеме - исследованиям структуры течений, локальных и интегральных тепловых потоков в режимах тепловой гравитационно-капиллярной (ТГКК), вынужденной (ВК) и смешанной конвекции (СК) в методе Чохральского. Численно исследованы ламинарные режимы в диапазоне чисел Прандтля (Рг) от 0,05 до 2700 и определены области существования разных типов течений в зависимости от значений чисел Грасгофа (вг), Марангони (Ма) и Рейнольдса (Яе), что является одним из условий прогнозирования благоприятных технологических параметров при которых образуются качественные кристаллы.

Актуальность темы работы подтверждена поддержкой грантами РФФИ и интеграционными проектами СО РАН.

Целью работы является численное исследование гидродинамики расплавов и теплообмена в методе Чохральского, получение данных о пространственных формах течений, распределениях температуры и скорости, радиальных локальных тепловых потоках в режимах ТГКК, термокапиллярной (ТКК), вынужденной и смешанной конвекции; изучение зависимости локальных характеристик пограничного слоя на фронте кристаллизации (ФК), радиальных распределений локальных тепловых потоков от значений критериев подобия (Рг, в г, Ма и Яе) и геометрических параметров системы тигель-кристалл. В частности:

1. Исследовать относительный вклад сил плавучести, термокапиллярного эффекта и центробежных сил в формирование структуры течения.

2. Изучить влияние геометрии и свойств жидкости,(Рг) на структуру течения, локальный и интегральный теплообмен. ■ • <

3. Численно получить данные о пространственной форме течений, распределениях температуры и скорости, радиальных локальных тепловых потоков, в том числе для непрозрачных жидкометаллических сред, недоступных для экспериментальных исследований.-

4. Численно воспроизвести на качественном и, количественном уровне экспериментально наблюдаемые режимы свободной, ■ вынужденной и смешанной конвекции в широком диапазоне чисел Рг, Ог, Ма и Яе.

Научная новизна

Впервые в широком диапазоне чисел йг и-Ма численно исследована структура течения и конвективный теплообмен при значениях чисел Рг=0,05-2700. Изучены режимы термогравитационной, термокапиллярной, и тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной, и смешанной конвекции.

Установлен относительный вклад сил плавучести, термокапиллярного эффекта и центробежных сил в формирование структуры течения в методе Чохральского.

Впервые численно воспроизведены экспериментально наблюдаемые (в ИТ СО РАН) пространственные формы течения, поля температуры и скорости в ламинарных режимах. Полученные критические значения чисел Яе, соответствующие различным стадиям развития подкристальной особенности и распаду вихря, появлению рециркуляционной . зоны, совпадают с экспериментальными значениями.

Установлено влияние относительных радиуса и высоты слоя расплава и значений Рг на локальные и интегральные . характеристики течения и теплообмена.

Установлено то, что в режиме ТГКК при одинаковых значениях Яа < 5-Ю4 структура течения, размерные поля температуры, скорости и тепловые потоки и числа Нуссельта (N11) слабо зависят от величины числа Рг при 16 < Рг < 2700.

Используя выводы о том, что в области чисел Прандтля 16 <Рг <2700 структура течения и теплообмен слабо зависят от величины числа Рг, данные о локальных и интегральных характеристиках для расплава с одним числом Рг можно применить для расплавов с другими числами Рг, находящимися в вышеуказанном диапазоне.

Показано, что в жидких металлах (Рг=0.05) конвекция вносит равноценный вклад в конвективную теплопередачу при значениях числа Яа примерно в 500 раз больших, чем для жидкостей с Рг от 16 до 2700.

Впервые численно определены критические значения чисел Яе, зависящие от чисел вг и Ма, при которых под вращающимся кристаллом возникает центробежное течение, затем распад вихря и рециркуляционная зона.

Впервые показано, что для жидкостей в широком диапазоне чисел Прандтля 0,05 < Рг < 2700 наблюдается универсальный процесс формирования центробежного течения под вращающимся кристаллом и наличие границы встречи потоков свободноконвективной и центробежной природы; с ростом Яе граница встречи потоков смещается вдоль свободной поверхности от кромки кристалла к стенке тигля.

Практическая ценность

Результаты численных исследований полезны для специалистов, занятых ростом кристаллов различного применения, и используются технологами при разработке и совершенствовании реальных технологий в институтах СО РАН: неорганической химии, геохимии, минералогии и петрографии.

Полученные диапазоны параметров, соответствующие плоским подкристальным изотермам и наиболее однородным радиальным распределениям тепловых потоков, позволяют предложить наиболее оптимальные технологические параметры для получения кристаллов с плоскими фронтами кристаллизации.

На защиту выносятся:

1. Результаты численных исследований структуры ТГКК, СК, ВК и конвективного теплообмена в термогидродинамических системах, подобных методу Чохральского в диапазонах параметров: 0,25 < Н/Ят < 2; 1,29 < 11т/11к < 2,76; 0,05 < Рг < 2700;0 < вг < 105; 0 < Яе < 5000.

2. Результаты сравнительного анализа численных результатов с экспериментально наблюдаемыми режимами течения жидкости при ТГКК, ВК иСК.

3. Результаты численного исследования относительного вклада сил плавучести, термокапиллярного эффекта и центробежных сил в формирование структуры течения, в локальную и интегральную теплоотдачу.

4. Результаты численного исследования влияния величины числа Прандтля Рг на структуру течения, размерные профили температуры и скорости, локальные тепловые потоки (ц).

5. Результаты численных исследований зависимости числа Ке от Ог и Ма, при которых в режимах смешанной конвекции фронт кристаллизации становится наиболее плоским.

Достоверность

Достоверность численных расчетов обеспечена сравнениями с расчетами, полученными при помощи схем высокого порядка точности, и с решениями тестовых задач. Выводы и общие положения, сформулированные в диссертации, опираются на сравнения с экспериментальными результатами, полученными в ИТ СО РАН.

Личный вклад автора 1 ■■¡■-■.

Автору принадлежит: 1) написание и отладка программ, численная реализация поставленных задач. 2) графическое оформление и представление полученных численных результатов; 3) участие в планирование экспериментальных исследований в реперных режимах, обработка данных и сравнительный анализ результатов физического и численного эксперимента. .

Апробация работы

Результаты исследований докладывались на конференциях различного уровня: на 3-м и 4-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1996,2000), на ежегодных Российских конференциях «Кремний» (2000-2011); на 1-й Азиатской конференции по росту кристаллов и технологиям (Япония, Сендай, 2000); на международных конференциях «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 1995-2006); на сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИМПРИМ, Новосибирск, 1998, 2000); на конференции Singlecrystal growth and heat & mass transfer (Обнинск, 2001-2005); на Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2002-2005); на Международном симпозиуме по актуальным проблемам физической гидродинамики (Новосибирск, 1999); на Российских конференциях «Тепломассообмен и гидродинамика в закрученных потоках» (Москва, 2005, 2008, 2011); на Международной конференции «Проблемы в тепловой конвекции» (Пермь, 2003); на 5-й Международной конференции АПЭП-98 (Новосибирск, 1998); на 11-13 Национальных конференциях по росту кристаллов (Москва, 2004—2008); на Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2006, 2010); на 10-й всерос. школе-конференции молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики» (Новосибирск, 2008); на семинаре по численным методам в механике жидкости и газа Института проблем механики РАН по руководством профессоров Полежаева В.И.и Чудова JI.A. (Москва, 2002); на семинарах ИТ СО РАН под руководством чл.- корр. РАН Алексеенко C.B.

Исследования проводились по планам фундаментальных исследований ИТ СО РАН по темам №№ Гос. per. 0120.0 408646; Гос. per. 0120.0 408652 и при поддержке РФФИ, гранты №№ 97-01-00760а; 99-01-00544а и 02-01-00808а, 05—01—00813а (руководитель: д.ф.-м.н. Бердников B.C.); в рамках интеграционных проектов СО РАН№№ 36-1997 (руководители: чл.-корр. РАН К.К. Свишатов и д.ф.-м.н. А.Л. Асеев, ИФП СО РАН); 49 - 2000 и 155 - 2003 (руководитель: д.ф.-м.н. Бердников B.C.); 55 - 2000 и 156 - 2003 -(руководитель: д.ф.-м.н. Непомнящих А.И., ИГХ СО РАН), 34-2009 -(руководитель: академик Александров К.С., ИФ СО РАН).

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 48 работах, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 11 в сборниках трудов

международных и национальных конференций, в 34 тезисах докладов (частично представленных в списке).

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Материал изложен на 252 страницах, включая 4 таблицы и 99 рисунков. Основные результаты и выводы сформулированы в конце каждой главы. В конце работы представлены общие заключения и список цитируемой литературы, состоящий из 154 наименований. ,, •

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации в целом, сформулированы цели численных исследований, показана научная новизна полученных результатов, кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе содержится обзор литературы и описание состояния технологии, физического. и численного моделирования технологических режимов вытягивания кристаллов из расплавов методом Чохральского, а также аналитических исследований ко времени начала данной работы и в процессе ее выполнения. Сделан вывод, что теплофизические процессы в методе Чохральского было исследованы недостаточно. В большинстве ранних работ по численному моделированию были представлены весьма скудные данные о структуре течений, а в справочной литературе практически отсутствовали сведения о локальных характеристиках тепло-массообмена в системах, подобных методу Чохральского.

Вторая глава содержит постановку задачи и описание методики численного решения. Приведены различные методы решения стационарного уравнения для функции тока, а также различные аппроксимации уравнений переноса и граничных условий. Исследованы зависимости численного решения от размерности сетки. Обоснована оптимальность сетки 160x160 узлов.

Контейнер, содержащий расплав, имеет цилиндрическую симметрию, фиксированные прямолинейные границы (рис. 1). Фронт кристаллизации (4) -плоский и расположен на уровне свободной поверхности расплава (3). Для скорости на жестких границах выполняются условия прилипания. На свободной поверхности расплава ставится условие баланса тангенциальной компоненты силы, обусловленной градиентом поверхностного натяжения и сил

трения в режимах ТКК и ТГКК: = = в режиме ТГК на

як-

-ят-> I

Рис. 1

свободной границе отсутствуют трение и деформация. Холодный кристалл и горяча боковая стенка тигля изотермичны. На дне тигля и на свободной поверхности расплава ставятся условия теплоизоляции.

Исходная система безразмерных уравнений смешанной конвекции в приближении Буссинеска и в предположении осевой симметрии полей движения и температуры в переменных вихрь, функция тока, температура, азимутальная скорость имела вид:

да да , да Уа 1 д\У2 _ 1 Г <аЛ Ог дв[ д1 дг д: г г д: ~ Ке^ г2) Ис2 дг'

3\У „ <3\У СЛУ 1 УЛ

-+ 1/-+¥-+-= — --;

д1 дг д: г Яе^ г2)

2 дц/ дв „58 „ее 1 А.

Аш---— = га; — + и— + У— =-Д0;

г дг д1 дт дг Рг-Яе

В качестве масштаба длины использован радиус кристалла - Як; масштаб температуры - ДТ, перепад температуры между стенкой тигля и моделью кристалла; масштаб скорости в режимах термогравитационной и термокапиллярной конвекции — у/Як, в режимах вынужденной и смешанной конвекции масштаб скорости — <Г2КЯК.

В систему входят четыре критерия подобия: число Грасгофа Ог,; число Марангони Ма, число Прандтля Рг, и число Рейнольдса Яе:

Млт.К?. Мя = Г-^Вк.лт. Рг=*

= Ма=--—-ДТ, Рг = —, Яе

V \ дТ) ац а V

Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения, ц, V - коэффициенты

динамической и кинематической вязкости, а — коэффициент

температуропроводности. Математическая запись условий для всех элементов

границы, имеет вид:

Дно тигля (1):

(// = 0, ^ = 0, \У=0, — = 0, г=0, 0<г<Кт/Як; дг дг

Боковая поверхность (2):

ц/ = 0, ^=0, W=0, <9 = 1, 0<г<Н/Ик, г=Ят/11к; дг

Свободная поверхность (3):

Ма дв д\У _(] дв Рг- Яе дг' дъ ' дг Фронт кристаллизации (4):

у/ = 0, д = „ „ , —=0, — = 0, г^Н/Як, 1<г<ат/Кк

ц/ = 0, — = 0, W=r, 0 = 0, г=Н/Кк, 0<г< 1; д:

Ось симметрии (5):

с)й

1// = 0, со = О, W=0, — = 0, 0<г<Н/Як, г=0; дг

Система уравнений решалась методом конечных разностей на равномерной сетке. Для аппроксимации производных использовались центральные разности. Использовалась стандартная схема Писмена-Рекфорда переменных направлений. Стационарное уравнение для функции тока ц/ заменялось нестационарным и на каждом временном шаге делались внутренние итерации

до достижения условия гпах | у/**1 -^|<10 8. Схемы имеют второй порядок аппроксимации.

Были исследованы различные способы численного счета: 1) аппроксимация уравнений для IV, 0 и со (центральными разностями; монотонной аппроксимацией Самарского); 2) решение уравнения для функции тока (методом переменных направлений; методом БПФ); 3) аппроксимация вихря на твердой границе (по двум приграничным значениям цг, приграничным значениям ц/ и со; с релаксацией вихря на границе и без нее со\"г^ = а/(1//"*\со"*]) + (\-а)со\"г, 0<а<1); 4) Использование различных сеток: п = 16, 40, 80, 160, 320. Обоснована оптимальность сетки 160x160 узлов.

Третья глава содержит результаты исследования термогравитационной

конвекции. Исследования

проведены в диапазонах параметров: Н/Ят = 0.25. 0.7, 1.0, 2.0; Яг/Як = 1.29, 2.76; Рг = 16, 0 < вг < 3*105; Рг = 50, 0 < Сг < 3.5* 105; Рг = 2700, 0 < вг < 8 000; Рг=0.05, 0 <Ог< 4,7*10б.

Вначале была изучена эволюция структуры течения с ростом числа йг в случае жидкости с Рг = 16, представленная на рис. 2.

Здесь и дальше в подобных случаях показана только правая часть осесимметричных полей изолиний: слева изолинии функции тока, справа изотермы. Данная геометрия области, характерна для технологических условий вытягивания монокристаллов парателлурита, реализована при физическом моделировании и выбрана в качестве тестовой [211]: Н/Яг= 0,7, Ят/Як= 2.76. Уже при практически ничтожных перепадах температуры в системе четко прослеживается формирование устойчиво стратифицированного ядра. Так при вг = 100 эффект температурного

Ог=78275, тах=51.17

Рис.2

расслоения в системе ярко выражен и изотермы в ядре жидкости горизонтальны.

Даже слабая ТГК приводит к перераспределению тепловых потоков относительно режима теплопроводности. Локальные тепловые потоки ц(г) на ФК с ростом вг имеют все более выраженный максимум на кромке кристалла (рис. 3).

10 -

-—вг = 78274 = 41272 ■•■ Сг = 5835 ■--йг-бОО ---•Ог=ЮО Рг=16 —- 10 — 0г = 0

12

Ыи

16 -14 -12 -10 -864 -20 -

—о— |>г-0 05, Консч.рпм. - о- Рг- 0 05. Комл. рюн. $ • 'А- - Рг Н», К'онеч разн. у -V-Рг-16. Ма™34240 / —О— Рг»50

Иг»2/00 Я <5

,■3

* -Ал-®.-"' -а»

4 о^Г^««*»^

Рис.3

ргши| гтшгтам ГТЯЯ^ птаугтш гшутм[ ггни

10 ' 10° 10' 102 10® 10' 105 10е Ю'Ог Рис. 4

Исследовано влияние высоты слоя расплава и Рг на структуру течения, локальный и интегральный теплообмен (рис. 4). С уменьшением высоты слоя расплава до Н/Ят = 0,25, в области малых чисел вг < 2000 распределения температуры близки к характерному для режима теплопроводности. С ростом Сг конвекция начинает играть все более существенную _ роль. Переход к режиму

Рг=0.05, Сг=4,744,000 пограничного слоя и к

Рис.5 устойчивой стратификации

жидкости в ядре происходит при Н/Ят = 0,25 при числах Ог на три порядка выше, чем при высотах слоя в диапазоне 0.7< Н/Ят< 2. При ОгИёет значения локального теплового потока тем меньше, чем меньше высота слоя расплава.

На рис. 4 представлены зависимости интегральных коэффициентов теплоотдачи от числа Рэлея (Яа) для расплавов с различными числами Рг. При одинаковых числах Яа пространственная форма течения, тепловые потоки и числа Нуссельта (N11), размерные поля температуры и скорости слабо зависят от величины Рг при 16 < Рг < 2700. Результаты расчетов интегрального теплообмена обобщаются в виде зависимости: Ыи=(0.55±0.01) х Яа02. При

10

одинаковых значениях чисел Яа конвекция в жидком металле (Рг=0.05, рис.5) начинает вносить сопоставимый вклад в теплообмен между нагретой боковой поверхностью и кристаллом при числах Яа больших примерно в 500 раз в сравнении со значениями для расплавов с 16 < Рг < 2700 (рис. 4). При низких значениях С]г поле температуры в жидком металле не отличается от режима теплопроводности, но при больших числах вг интенсивная конвекция приводит к устойчивой стратификации ядра, аналогичной наблюдаемой при больших числах Рг (рис.5). Отличие полей изотерм в подкристальной области (рис.2, рис.5) приводит к существенному отличию радиальных распределений локальных тепловых потоков (рис.3, рис.6): в жидком металле в подкристальной области в режиме ТГК проявляется высокая молекулярная

теплопроводность, а в жидкости с Рг=16 конвективное течение формирует тонкий тепловой пограничный слой.

Четвертая глава содержит результаты исследования

термокапиллярной конвекции,

возникающей из-за перепада температуры между нагретой стенкой тигля и холодной кромкой кристалла в условиях теоретической невесомости. Исследования проведены в диапазонах параметров: Н/Ят = 0.25. 0.7, 1.0, 2.0; Кт/Як= 1.29, 2.76; Рг = 16, 0 < Ма < 103; Рг = 50, 0 < Ма < 105; Рг = 2700, 0 < Ма < 2-104; Рг=0.05, 0 < Ма < 5-103. Термокапиллярная конвекция имеет приповерхностный характер. Активная сила, обусловленная термокапиллярным эффектом, действует только вдоль свободной поверхности и под холодную поверхность кристалла горячая жидкость от стенки тигля попадает по инерции. Но даже при относительно малых значениях Ма течение захватывает практически весь объем жидкости. Вдоль стенки тигля жидкость вытягивается из глубины за счет неразрывности. За счет сил вязкого трения в движение вовлекаются глубинные слои жидкости. Главная особенность профиля скорости: максимум радиальной компоненты скорости находится на свободной поверхности расплава и существенный градиент по нормали к поверхности. В режиме ТКК с ростом Ма формируется своеобразный «тепловой мешок» под свободной поверхностью, откуда идет

Т~

0,0

I

0,2

'-1-г"

0,4 Рис. 6

0,6

Т"

0,8

д

120 -I 100 8060 -40 20 0

•Ма= 10 100 1000 10000 23756 34240

■ /

0,0

Т" 0,2

1 |-г

0,4 Рис. 7

Т~ 0,6

0,8

~Г" 1,0

поток тепла под холодный диск и в язык холодной жидкости, вытягиваемой со дна вдоль стенки тигля. Т.е. структура поля температуры с ростом Ма сильно отличается от наблюдаемой в режиме ТГК, для которого с ростом перепада температуры характерным становится горизонтальное расположение изотерм в ядре и его устойчивая стратификация по плотности. Это сопровождается более резким, чем в режиме ТГК всплеском локального теплового потока на кромке кристалла (рис. 7).

Исследовано влияние относительных высоты расплава, радиуса и Рг на локальные и интегральные характеристики. Приповерхностный характер ТКК проявляется особенно наглядно при большой высоте слоя расплава Н/Ят= 2. С уменьшением высоты слоя расплава до Н/Кт= 0,25 в области малых чисел Ма распределения температуры, как и в режиме термогравитационной конвекции, близки к характерному для режима теплопроводности.

Пятая глава содержит результаты моделирования тепловой гравитационно-

капиллярной конвекции в диапазонах параметров: Н/Ят = 0,25; 0,7; 1,0; 2,0; Ят/Як = 1,29; 2,76; Рг = 16; 0 < вг < 3-105; Рг = 50, 0 < вг < 3,5-105; Рг = 2700; 0 < вг < 8000; Рг = 0,05; 0 < йг < 4-106; при фиксированных значениях Ма. ТГКК развивается в неизотермических объемах жидкости, находящейся в поле тяжести, при наличии свободной поверхности.

Стартовым материалом для исследования ТГКК являются результаты расчетов ТГК, ТКК и экспериментальные исследования, выполненные в ИТ СО РАН с 1975 года. В численных исследованиях ТГКК использован простой методический прием. Первоначально выполнены исследования термокапиллярной конвекции при тех же параметрах, что и в экспериментальных исследованиях ТГКК (рис. 8, йг=0). Затем в расчетах «включается» поле тяжести и увеличивается число вг при постоянном значении числа Марангони. Наиболее подробно численное моделирование гидродинамики и теплообмена выполнено для жидкости с Рг=16. Результаты исследования эволюции структуры течения с ростом Ог представлены на рис. 8. С приближением числа вг к значениям, заданным в экспериментальных исследованиях, конфигурация изолиний функции тока качественно все в большей мере соответствует экспериментально наблюдаемым траекториям движения визуализированной жидкости (рис. 9).

На рис. 10 представлены распределения локального теплового потока на кристалле при Сг=41270, Ма=34240. Распределения локальных тепловых потоков на фронте кристаллизации и температуры вдоль свободной

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 Сг=5000, Ма=34240, шах=42.45 Рис. 8

поверхности в режимах ТГКК и ТКГ практически совпадают, кроме области вблизи кромки кристалла, а значения в режиме ТКК существенно отличаются.

Сравнение распределений локальных тепловых

потоков q(r) позволяет сделать выводы: 1) термокапиллярный эффект и термокапиллярная

конвекция вносят вклад в локальный теплообмен только на кромке кристалла. На радиальные тепловые потоки на фронте

ч 160

140

120

100

80 .

60 •

40 ■

20 -

0

-йг= 0

--- 1000

..... 3000

----- 5000

------ 7000

...... 41272

Ма=34240

0.8

1,0 г

Рис. 9

кристаллизации термокапиллярная добавка практически не влияет; 2) режим ТГКК также не является оптимальным из-за сильной радиальной неоднородности

распределений Т(г) и Снижение вклада термокапиллярного эффекта в интенсификацию общего

меридионального течения с ростом числа Грасгофа отражается на зависимости интегрального

теплообмена от Ог при заданном значении Ма.

0,4 Рис. 10

На рис. 4 показана зависимость безразмерного коэффициента теплоотдачи -числа Нуссельта Ыи от Сг при Ма=34240. При Сг=0 №=3,80 и полностью определяется термокапиллярной конвекцией. С ростом йг значения N11 асимптотически стремятся к значениям, определяемым термогравитационной конвекцией. Приведенные данные подтверждают, что в совместной конвекции (ТГКК) основным механизмом генерации течения являются силы плавучести.

Впервые воспроизведены экспериментально наблюдаемые пространственные формы течения, поля температуры и скорости в ламинарных режимах тепловой гравитационно-капиллярной конвекции. На рис. 9 представлено сравнение изолиний функции тока для режима Рг = 16, вг = 30 400, Ма = 19 236. В целом, получены достаточно хорошие совпадения численных и экспериментальных данных, что позволяет говорить об адекватности численной модели и методики решения.

Шестая глава содержит результаты моделирования вынужденной конвекции, возбуждаемой вращающимся диском, расположенным на свободной поверхности жидкости. Исследования проведены для фиксированной геометрии Н/Як = 0.7; Ят/Як = 2.76 и в диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Яе < 4

ООО. Изучена эволюция структуры течения с ростом числа Яе. С ростом Яе в закрученном восходящем потоке под фронтом кристаллизации появляется особенность. При увеличении числа Яе происходит «распад» основного вихря и появляется стационарное рециркуляционное течение внутри осевого восходящего закрученного течения. Термин «распад» вихря, относится к возмущению, характеризующемуся возникновением на оси вихря внутренней критической точки, за которой расположена прилегающая к оси ограниченная область возвратного течения. Замкнутая, изолированная от стенок, рециркуляционная зона появляется при Яе = 1250 (в эксперименте 1240). Эта зона расположена на

Максимальный размер она

имеет при Яе = 1980. С ростом числа Яе циркуляционная зона уменьшается вплоть до режима с Яе = 3690, который является границей стационарного течения.

Впервые воспроизведены экспериментально наблюдаемые пространственные формы течения в ламинарных режимах изотермической вынужденной конвекции. На рис. 11 представлены результаты сравнения численных и экспериментальных данных для геометрии Н/Ят = 1.0, Ят/Тк = 2.73 при Яе = 1380. В целом, получены достаточно хорошие совпадения численных и экспериментальных данных, что позволяет говорить об адекватности численной модели и методики решения.

Седьмая глава содержит результаты моделирования смешанной конвекции. Исследования проведены в диапазонах параметров: Рг=16, 0.47 < Н7ЯТ < 0.7, 1.11 < Ят/Як < 6.67, 0 < вг < 5835, Ма < 4870, Яе < 600; при Рг=45.6, 0,3 < Н/Я^.

< 2,5, 1,11 < Я /Я < 6,67, 0 < вг < 3280, Ма < 7017, Яе < 200; при Рг=0.05, Н/Я т К т

=0,7, Ят/Як = 2,76, 0 < вг < 5-105, Ма < 615, Яе < 5000. Стартовым режимом для

исследования смешанной являлся режим свободной конвекции. Изучена эволюция пространственных форм течения (ПФТ) с ростом чисел Яе при заданных начальных значениях чисел вг и Ма (или перепада температуры).

После включения вращения кристалла пространственная форма базового ТГК течения деформируется и пороговым образом проходит ряд качественных стадий изменения: 1) при малых значениях Яе - режим подавляющего влияния

закрученного потока, который её обтекает, имеет обратное

направление течения в центре. В реальных технологических условиях подобная «застойная

зона» будет ловушкой-накопителем примеси.

оси

восходящего

ТГКК;

Рг—16, Gr=2000, Ма=1669 Рис. 12

Re=3000

Pr=0.05, Gr=168 340, Ma=207 (Dt=4.28) Рис. 13

Re=150

Re=400

2) режим примерно равноценного вклада свободной конвекции и вынужденной конвекции, при этом под вращающейся поверхностью формируется центробежное течение, размеры которого увеличиваются с ростом Яе; 3) режим полного подавления ТГКК вынужденной конвекцией (рис. 12).

Профили температуры вдоль свободной поверхности на 2-й стадии при достижении критического значения числа Яе, зависящего от геометрии и перепада температуры, состоят из двух частей: первая «холодная» часть профиля определяется центробежной конвекцией, вторая «горячая» — тепловой гравитационно-капиллярной конвекцией.

По сравнению с режимами свободной конвекции, при включении равномерного вращения модели кристалла и по мере роста Яе распределения тепловых потоков на ФК существенно изменяются.

После возникновения центробежного течения с ростом Яе тепловые потоки становятся все более однородно распределенными вдоль всего ФК, за исключением небольшой области около самой кромки кристалла. С точки зрения оптимизации технологии выращивания совершенных монокристаллов

замечательной особенностью обладают режимы, когда граница встречи свободноконвективного и вынужденного потоков оттеснена от кромки кристалла, но свободная конвекция еще полностью не подавлена. В этом режиме наиболее однородные радиальные распределения локальных тепловых потоков и плоские изотермы в подкристальной области (рис. 14). При Рг = 16, вг = 2000, Ма = 1669 этот режим соответствует значениям Яе = 150-160.

Зависимости интегральных потоков тепла через ФК представлены на рис. 15,16. В отличие от режимов тепловой гравитационно-капиллярной конвекции, где с ростом вг наблюдается монотонный рост интегрального потока тепла, при небольших числах Яе наблюдается монотонное уменьшение теплового потока к ФК. С ростом Яе средний тепловой поток уменьшается до момента развития устойчиво существующего подкристапьного вихря центробежной природы.

Начиная с Яе = 50, по мере того, как развивается центробежная конвекция, наблюдается монотонный рост интегрального теплового потока. Этот рост продолжается вплоть до полного подавления свободной конвекции.

При смешанной конвекции при Рг = 0.05 (рис. 13) с ростом числа Рейнольдса пространственная форма течения становится похожа форму течения сред с Рг = 16, но после достижения критических значений Яе, зависящих от вг и Ма, при которых центробежное течение занимает всю подкристальную область расплава.

ч

45 -

40 -

35 -

30 -

25 -

20 -

15 _

10 -

5 -

0 -

-5

I ' I 1 I 1 I 1 I 1 I

0.0 0,2 0.4 0,6 0.8 1,0 Рис. 14

После этого с ростом Яе центробежный вихрь растет в осевом направлении и имеет универсальную, не зависящую от числа Рг форму.

Впервые численно определены критические значения чисел Яе для случая Рг = 0,05, когда в подъемной закрученной струе появляется сначала одна, а затем две рециркуляционные зоны в режимах смешанной конвекции (рис. 13).

В режимах смешанной конвекции (после включения вращения кристалла в исходных режимах ТГКК) впервые воспроизведены экспериментально наблюдаемые в прозрачных средах пространственные формы течения, поля температуры и скорости в ламинарных режимах смешанной конвекции.

ВЫВОДЫ

В заключении представлены основные результаты работы:

1) Разработан, отлажен и оттестирован пакет программ для численного исследования термогравитационной, термокапиллярной, тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной и смешанной конвекции расплавов в методе Чохральского. Во всех режимах конвекции исследована структура течения и конвективный теплообмен в диапазоне чисел Прандтля: 0,05 < Рг < 2700.

Ыи 12 • 10 ■

6 -4 -

2

—О—0г-200. Ма = 167 - о- 2000, 1670 „ .-д.- 3500, 2920 п/ '"

/ ¿г*

л5 ¿®г

100

т

Ыи

2,5

2,0

д

—о—Ог= 84170, Ма=Ю3.5 к-о- 168340, 207 - л- - 500000, 615

Ь> \ о н

Ч о □ \

Ч

А

•д.

'ЛДа-АА.ДеЙАД.ЛД-д

.5- V

'оо-оспа190

50 100 150 200 Рис. 15

Яс

I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 1 1

0 1000 2000 3000 4000 5000

Яе

Рис. 16

2) Показано, что в режимах термогравитационной конвекции при числах Рэлея

4

Я.а < 5x10 пространственная форма течения, тепловые потоки и числа Нуссельта (N11), размерные поля температуры и скорости слабо зависят от

величины числа Рг при 16 < Рг < 2700. Результаты расчетов интегрального

0.2

теплообмена обобщаются в виде зависимости: Ыи = (0.55±0.01)Яа . При Рг = 0,05 конвекция начинает вносить сопоставимый вклад в конвективную теплопередачу при числах Яа больших примерно в 500 раз в сравнении со значениями для расплавов с 16 < Рг < 2700.

3) Впервые .. воспроизведены экспериментально наблюдаемые пространственные формы течения в ламинарных режимах свободной, вынужденной и смешанной конвекции. Получено совпадение критических значений чисел Re, соответствующих распаду закрученного потока к вращающейся поверхности и появлению рециркуляционной зоны, с экспериментальными значениями.

4) В режимах тепловой гравитационно-капиллярной конвекции изучен относительный вклад сил плавучести и термокапиллярного эффекта. Показано, что на фоне термогравитационной конвекции термокапиллярный эффект и термокапиллярная конвекция вносят вклад в локальный теплообмен только на кромке кристалла. Термокапиллярное течение, имеющее по своей физической природе приповерхностный характер, даже при относительно малых значениях Ma захватывает практически весь объем жидкости.

5) В режимах смешанной конвекции при числах Рг=0,05 впервые определены критические значения чисел Re, зависящие от чисел Gr и Ma, при которых возникает распад вихря и возникновение рециркуляционной зоны.

6) Впервые показано, что для расплавов с числами Прандтля 0.05 <Рг< 2700 существует универсальное свойство: при заданных относительных радиусах кристалла и высоте слоя расплава и фиксированном перепаде температуры (числа Gr, Ma) существует режим вращения кристалла (число Re), при котором радиальное распределение локального теплового потока будет максимально однородным.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев C.B. Теплообмен в классическом методе Чохрапьского // Инженерно-физический журнал, т. 74, N 4, Минск, 2001, с. 122-127 (Из списка ВАК).

2. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов. Влияние режимов конвективного теплообмена в системе тигель-расправ-кристалл на форму фронта кристаллизации в методе Чохральского // Тепловые процессы в теплотехнике. М: 2011. Т 4,N 4, С. 177-186 (Из списка ВАК).

3. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов, В.А. Марков Общие закономерности конвективного теплообмена в системе тигель-расплав-кристалл в методе Чохральского и их влияние на формы фронта кристаллизации // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 641-643 (Из списка ВАК).

4. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев C.B. Физическое и численное моделирование конвективных процессов при вытягивании монокристаллов из расплавов // Тр. 5-ой междунар. конф. АПЭП-98, Новосибирск, т. 3, с. 53-61.

5. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев C.B. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Тр.IV Минского междунар. форума «Тепломассообмен ММФ-2000» Минск, 2000, т.1, ч.2, с. 12-16.

6. Бердников B.C., Винокуров В.В., Гапонов В.А*. Влияние числа Прандтля на теплообмен в методе Чохральского // Тр. УПМеждунар. конф. «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, Новосибирск, 2000, с 66-69.

7. Бердников B.C., Винокуров В.В. Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского //Тепломассообмен ММФ-2000. Конвективный теплообмен. Т. 1, Ч. 2. - Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АНБ, 2000.-С. 12-16.

8. V.S. Berdnikov, V.V. Vinokurov, V.A. Vinokurov, V.A.Gaponov. Mixed convection flow of the melt and heat transfer during Czochralskicristal growth // Proceedings of the Fifth Int. conf. «Single crystal growth and heat & mass transfer», 0bninsk-2003, 22-26 September, pp. 43-67.

9. Бердников B.C., Винокуров B.A., Винокуров B.B., Гапонов B.A. Влияние гидродинамики расплава на форму фронта кристаллизации в методе Чохральского // Сб. трудов У1Междунар. конф. «Рост монокристаллов и тепломассоперенос» 25-30 сент.2005г., г.Обнинск, т.1, с.3-21.

10. B.C. Бердников, В.А.Винокуров, В.В.Винокуров, В.А. Гапонов. Теплообмен в режимах тепловой гравитационно-капиллярной конвекции в варианте метода Чохральского с неподвижным тиглем // Труды 4-й Российской национальной конференции по теплообмену. М: Изд. дом МЭИ. 2006. Т.З, С. 63-66.

11. B.C. Бердников, В.А.Винокуров, В.В.Винокуров, В.А. Гапонов. Смешанная конвекция в методе Чохральского с неподвижным тиглем // Труды 4-й Российской национальной конференции по теплообмену. М: Изд. дом МЭИ. 2006. Т 3, С. 76-80.

12. Бердников B.C., Винокуров В.В. Численное моделирование смешанной конвекции в методе Чохральского // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск. 2008. С.59 - 62.

13. Винокуров В.В. Смешанная конвекция в методе Чохральского // 10-я Всерос. Шк.-конф. молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики». Новосибирск, 2008. С. 41-43.

14. Бердников B.C., Винокуров В.В, Гапонов В.А.. Структура течений тепловой гравитационно-капиллярной природы в моделях метода Чохральского // Тез.докл. 3-го Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Новосибирск, 1998, с. 85-86.

15. Berdnikov V.S., Vinokurov V.V., Panchenko V.I., Solov'ev S.V. Phisical and numerical investigation of convection during Czochralski crystal growth // Intern. Symposium Actual Problems of Physical Hydroaerodynamics (Novosbirsk, Russia, 19-23 April 1999), pp 92-93.

16. Винокуров В.В. Исследования зависимости структуры свободноконвективного течения в методе Чохральского от числа Прандтля // Сб. тез. VIBcepoc. гонф. молодых ученых, Новосибирск, 2000, с. 18-20.

17. Бердников B.C., Винокуров В.В., Захаров В.П. Физическое и численное исследование теплообмена в классическом методе Чохральского // 2-я Рос. Конф. «Кремний-2000», М.: МИСИС, 2000, с 134.

18. BerdnikovV.S., VinokurovV.V., GaponovV.A., MarkovV.A..Complex simulation of crystal pulling from the melt // Proceeding of 5_th Inter. Conf. Single Cryst. Growth and Heat Mass Tranafer, Obninsk, 2001, vol 1, pp 80-106.

19. Винокуров B.B. Винокуров B.A. Гапонов B.A. Физическое и численное моделирование гидродинамики и теплообмена в методе Чохральского // Совещание по росту ¡кристаллов, пленок и дефектам структуры кремния «Кремний-2002», Тез.докл., с.27.

20. Бердников B.C., Винокуров В.В., Винокуров В.А., Гапонов В.А. Экспериментальное и численное моделирование гидродинамики и теплообмена в системе тигель-расплав-кристалл классического метода Чохральского // 3-я Рос.конф. «Кремний-2003», М.:МИСИС, 2003, с. 42-44.

21. V.S. Berdnikov, V.V. Vinokurov, V.A. Vinokurov, V.A.Gaponov. Thermal gravitational-capillary convection in Czochralskicristal growth method with motionless crucible // Int. conf. «Advanced problems in thermal convection»; 24-27 November 2003; Abstracts; Perm-2003, c. 31-32.

22. Бердников B.C., Винокуров B.B., Винокуров B.A., Гапонов B.A. Гидродинамика и конвективный теплообмен при вытягивании кристаллов методом Чохральского . из расплавов с различными теплофизическими свойствами // «Кремний-2004», Иркутск, 5-9 июля 2004г., тез.докл. совещания, с.62.

23. V.S. Berdnikov, V.V. Vinokurov, V.A. Vinokurov, V.A.Gaponov. Mixed convection flow of the melt and heat transfer in a Czochralskimotionless crucible // Second Conference Of The Asian Consortium For Computational Materials Science «ACCMS-2», Novosibirsk, Russia, July 14-16, 2004, Novosibirsk, 2004, pp 89.

24. Бердников B.C., Винокуров B.B., Винокуров B.A., Гапонов B.A. Смешанная конвекция жидкостей с различными числами Прандтля в методе Чохральского с неподвижным тиглем // XI нац. конф. по росту кристаллов НКРК-2004, М.: ИК РАН, с.58.

25. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Структура течения и теплообмен в режимах смешанной конвекции в методе Чохральского при равномерном и реверсивном вращении кристалла // Тез.докл. Второй Российской конф. «Тепломассообмен и гидродинамика в закрученных потоках» 15-17 марта 2005г. г.Москва, с.174-175.

26. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Зависимость формы фронта кристаллизации от гидродинамики расплава и локального теплообмена при вытягивании кристаллов методом Чохральского // Тезлекций и докл. III Российской школы ученых и молодых специалистов по физике, материаловедению и технологии получения кремния и приборных структур на его основе «Кремний. Школа-2005». 4-7 июля 2005г. г.Москва с.128-129.

27. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов Эволюция формы фронта кристаллизации с ростом угловой скорости вращения кристалла в методе Чохральского // Тез.докл. 4-й Рос. конф. по физике, материаловедению и физико-химическим основам технологий получения

легированных кристаллов кремния и приборных структур на их основе (Кремний 2007). М.: МИСиС, 2007. С.74.

28. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов Теплообмен в режимах смешанной конвекции в методе Чохральского при равномерном вращении кристалла // Тез.докл. 3-й междунар. конф. «Тепломассообмен в закрученных потоках». М: Изд. дом МЭИ. 2008. С. 217218.

29. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов Теплообмен в режимах тепловой гравитационно-капиллярной конвекции и форма фронта кристаллизации в методе Чохральского // Тез.докл. 13-й Нац. конф. по росту кристаллов. М.: ИК РАН, 2008. С.106.

30. B.C. Бердников, В.А. Винокуров, В.В. Винокуров, В.А. Гапонов. Зависимость формы фронта кристаллизации от теплообмена в режимах смешанной конвекции в методе Чохральского // Тез.докладов 13-й Национальной конф. по росту кристаллов. М.:ИК РАН, 2008. С.129.

31. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Зависимость пространственной формы течения и теплообмена от геометрии системы «тигель-расплав-кристалл» в методе Чохральского // Тез.докл. 6 междунар. конф. «Кремний - 2009», 7-10 июля 2009 г- Новосибирск: 2009. - С. 63-64.

32. Vladimir S. Berdnikov, Pavel V. Antonov, Viktor A. Vinokurov, Vladislav V. Vinokurov, Vladimir A. Gaponov, Anton N. Dyadchenko, Konstantin A. MitinHeat transfer in variants of Bridgman method and Czochralski technique at obtaining of ingots and single crystals of solar-grade silicon. Conference of АРАМ, 19-21 August 2011, National TsingHua University, Hsin Chu, Taiwan.

33. Бердников B.C.,Винокуров B.A., Винокуров B.B., Гапонов В.А. Исследования влияния числа Прандтля на конвективный теплообмен в методе Чохральского в режимах смешанной конвекции при равномерном вращении кристаллов. Тез.докл. VIII Международной Конференции («Кремний-2011»). МИСИС, Москва. 5-8 июля 2011г, с. 32.

Подписано к печати 26.10.2012 г. Заказ № 53 Формат 60/84/16. Объем 1 уч.-изд.л. Тираж 140 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 Технологические эксперименты по изучению гидродинамики и теплообмена в расплаве.

1.2 Физическое моделирование.

1.3 Численное моделирование и аналитические исследования.

1.4 Выводы по главе.

Глава 2. Постановка задачи и методика численного моделирования.

2.1 Методика численного решения.

2.2 Выбор методики численного решения уравнений конвекции.

2.3 Расчеты по международному тесту A.A. Wheeler.

2.4 Выводы по главе.

Глава 3. Результаты исследований термогравитационной конвекции.

3.1 Влияние геометрии.

3.2. Влияние величины числа Прандтля.

3.3 Сравнение с компактными разностями.

3.4 Выводы по главе.

Глава 4. Термокапиллярная конвекция.

4.1 Влияние геометрии.

4.2 Влияние величины числа Прандтля.

4.3 Выводы по главе.

Глава 5. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция.

5.1 Влияние геометрии.

5.2 Влияние величины числа Прандтля.

5.3 Сравнение с экспериментами.

5.4 Выводы по главе.

Глава 6. Результаты исследований вынугаденной конвекции.

6.1 Расчет давления.

6.2 Сравнение с экспериментами.

6.3 Выводы по главе.

Глава 7. Результаты исследований смешанной конвекции.

7.1 Результаты расчетов. Случай Рг=16.

7.2 Случай Рг=0.05.

7.3 Случай Рг=45.6.

7.4 Сравнение с экспериментами.

7.5 Выводы по главе.

Диссертационная работа посвящена исследованиям структуры течения тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной и смешанной конвекции в геометриях, подобных классическому варианту метода Чохральского. Метод Чохральского - один из основных промышленных методов получения совершенных (бездислокационных) монокристаллов (МК) из расплавов. Получение качественных МК - сложная многопараметрическая задача, положительное решение которой во многом зависит от понимания специалистами-технологами как правильно организовать процессы тепло- массопереноса в ростовом тигле-контейнере на протяжении всего технологического процесса. Локальные тепловые потоки и структура течения вблизи фронта кристаллизации (ФК), распределение и концентрация примесей в этой зоне, термоупругие напряжения в кристалле в реальных технологических условиях в основном определяются гидродинамикой расплава, обусловленной совместным действием массовых и поверхностных сил: плавучести, центробежных, Ко-риолиса, сдвига, электромагнитных, термо- и концентрационно-капиллярных, лапласовских и трения. Для выбора оптимальных технологических параметров управления процессом выращивания кристаллов изначально необходимо понимать процессы гидродинамики и тепломассопереноса в тигле и правильно оценивать относительный вклад каждой из выше перечисленных сил в формирование структуры течений расплава.

По технологическим особенностям метода Чохральского можно выделить два варианта процесса. Первый - кристаллы вытягиваются в условиях больших градиентов температуры и правильной цилиндрической формы или максимально близкой к ней. Второй вариант - так называемый низкоградиентный способ выращивания кристаллов разработан в ИНХ СО РАН и активно внедряется в технологическую практику вытягивания не только оксидных, но и полупроводниковых, щелочногалоидных и других монокристаллов. Еще один нюанс, подтверждающий актуальность настоящей работы заключается в том, что в начале монокристаллы новых материалов (после их синтеза и проверки их лазерных, оптических или других полезных свойств) выращиваются небольших диаметров. И только после отработки технологии вытягивания монокристалла начинается процесс получения кристаллов больших диаметров. Поэтому исследования ламинарных режимов течения в методе Чохральского остается и в настоящее время актуальной научно-технологической проблемой. При выращивании кристаллов небольших диаметров или низкоградиентным способом в тигле формируется ламинарное течение расплава. При переходе к выращиванию кристаллов больших диаметров течения расплавов, в основном, имеют трехмерный, турбулентный и нестационарный характер. Кристаллы для оптоэлектроники (парателлурит, калий-титанил фосфат/арсенат КТР/КТА, борат бария ВВО и др.), кристаллы материалов для лазерной техники (гранаты, александрит, окислы алюминия и титана и др.) и полупроводниковой техники (кремний, германий, соединения А3В5 и др.) при получении новых марок кристаллов до настоящего времени выращиваются относительно малых диаметров (до 3 дюймов). Поэтому изучение ламинарных режимов течения расплавов в подобных системах представляет большой практический интерес. Эти режимы - исходные при исследованиях ламинарно-турбулентного перехода. Результаты численных исследований таких систем представлены в диссертации.

В предшествующих экспериментальных работах, выполненных в институте Теплофизики СО РАН, были определены критические значения чисел Грасгофа и Рейнольдса, при которых происходит переход от ламинарного течения к нестационарному и турбулентному. Экспериментальное изучение условий перехода и выявление областей существования разных типов течений, выявление их связи с числами Грасгофа, Марангони и Рейнольдса является одним из условий прогнозирования благоприятных технологических параметров, при которых образуются качественные кристаллы. Численные исследования, результаты которых представлены в данной работе, дополняют экспериментальные данные в части подробного изучения эволюции локальных характеристик пограничных слоев с ростом чисел Грасгофа, Марангони и Рейнольдса.

В большинстве работ по моделированию метода Чохральского численными методами представлены весьма ограниченные данные о структуре течений, локальных и интегральных характеристиках расплава. В основном приводится небольшое число разрозненных графиков, а в справочной литературе имеется информация практически только о зависимостях средних значений коэффициентов теплоотдачи от чисел Грасгофа (или чисел Рэлея) для простейших геометрий теплообменных поверхностей. В то же время, практически отсутствуют важные сведения о локальных характеристиках тепло-массообмена, характеризующие особенности структуры конвективных течений. В связи с этим, для более полного понимания гидродинамики расплава и теплообмена в тигле, в области близкой к фронту кристаллизации, с целью выработки критериев оптимизации технологических параметров необходим комплексный подход к исследованиям, который реализован в данной работе: изучена эволюция локальных (тепловые потоки, распределения температуры, скорости в характерных сечениях) и интегральных (изолинии функции тока, интегральные тепловые потоки) характеристик при различных геометриях, теплофизических свойствах расплава и критериях подобия. Также совершенно очевидно, что численное моделирование необходимо в настоящее время дополнить тщательно выполненным лабораторным экспериментом, необходимым как для лучшего понимания процесса, так и для получения реперных точек для численного моделирования и проверки его адекватности. С развитием космических полетов, в условиях невесомости особенно велика роль термокапиллярных явлений на свободной поверхности (связанных с зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры).

Актуальность работы подтверждена тем, что она неоднократно была поддержана грантами РФФИ и интеграционными проектами СО РАН, которые прошли серьезную экспертизу.

Цель работы

На основании выводов по обзору литературы (с учетом того, что часть публикаций появилась в процессе выполнения данной работы с 1996 года) сформулируем цель нашего исследования: получение данных о структуре течений (пространственная форма течения, распределения температуры и скорости, радиальные распределения локальных тепловых потоков) при моделировании тепловой гравитационно-капиллярной и смешанной конвекции (ТГКК и СК) при росте монокристаллов методом Чохральского в случае однородного бокового (при адиабатическом дне) нагрева стенок тигля. Изучение эволюции локальных характеристик пограничного слоя и появления предпосылок неустойчивости пограничного слоя на фронте кристаллизации и поведения локальных тепловых потоков к нему, определение порога перехода к нестационарному течению в пограничном слое.

Численно воспроизвести экспериментально наблюдаемые формы течения на качественном и количественном уровне в режимах свободной, вынужденной и смешанной конвекции в широком диапазоне чисел вг, Ма и Яе.

Провести сравнительный анализ локальных и интегральных характеристик для выяснения влияния геометрии, теплофизических свойств жидко-стей(существенно различные числа Прандтля) на структуру течения и теплообмен.

Получить информацию о локальных и интегральных характеристиках течения, недоступных для экспериментальных исследований.

Исследовать относительный вклад сил плавучести, термокапиллярного эффекта и центробежных сил в формирование структуры течения.

Изучить эволюцию локальных характеристик пограничного слоя и выявить появление предпосылок развития неустойчивости пограничного слоя на фронте кристаллизации, поведение локальных тепловых потоков, определение порога перехода к нестационарному течению в пограничном слое.

Научная новизна:

1. Впервые исследован относительный вклад сил плавучести и термокапиллярного эффекта в формирование структуры течения. Впервые выполнен комплексный подход к численным исследованиям в системах, подобных методу Чохральского, для выяснения влияния геометрии и свойств расплава на структуру течения и теплообмен. Для режимов свободной, вынужденной, смешанной конвекции построены подробные локальные (распределения скоростей и температуры в характерных сечениях, локальные тепловые потоки) и интегральные характеристики (изолинии функции тока, интегральные числа Нуссельта, давление).

3. В режиме термогравитационной конвекции для чисел Рэлея <5*10^ структура течения и теплообмен не зависят от величины числа Прандтля Ргпри 16<Рг<2700. Обнаружены отличия в структуре течения для жидких металлов (Рг=0.05) относительно жидкостей с большими числами Рг.

4. Воспроизведены экспериментально наблюдаемые режимы течения жидкости при свободной, вынужденной и смешанной конвекции. Сопоставлены пространственные формы течения, поля температуры и скорости. Совпадают с экспериментальными значения чисел Рейнольдса, соответствующие различным стадиям развития подкристальной особенности и распаду вихря, появлению рециркуляционной зоны.

5. Систематизированы результаты по влиянию теплофизических свойств расплава (Рг), увеличение диаметра растущего кристалла и высоты тигля на гидродинамику и теплообмен в тигле.

Практическая значимость работы:

1. Полученные в работе систематические численные результаты имеют фундаментальное значение для понимания гидродинамики расплава и теплообмена в термодинамических системах, подобных методу Чохральского. Исследования проведены в рамках проектов, поддержанных РФФИ и интеграционных проектов СО РАН; их результаты используются технологами при разработке и совершенствовании реальных технологий в институтах СО РАН: неорганической химии, геохимии, минералогии и петрографии.

2. Используя выводы о том, что в области чисел Прандтля 16<Рг<2700структура течения и теплообмен не зависят от величины числа Рг, данные о локальных и интегральных характеристиках для расплава с одним числом Рг можно применить для расплавов с другими числами Рг, находящимися в вышеуказанном диапазоне.

3. Показано, что теплофизические свойства жидкого металла настолько отличны от оксидных соединений, что невозможно получить подобные структуру течения и теплообмен в исследованных выше диапазонах чисел йг и Ма.

4. Полученные результаты по комплексному расчету локальных тепловых потоков на фронте кристаллизации позволяют предложить наиболее оптимальные технологические параметры для получения кристаллов с минимальными термоупругими напряжениями.

5. В настоящее время идет отработка вариантов наземно-космической технологии получения крупногабаритных совершенных монокристаллов. Анализируя полученные численные результаты и данные об относительном вкладе сил плавучести и термокапиллярного эффекта в формирование структуры течения можно утверждать, что вытягивание монокристаллов в невесомости со свободной поверхности, в режиме ТКК менее технологично, чем в поле тяжести.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты численных исследований теплообмена и структуры тепловой гравитационно-капиллярной, смешанной и вынужденной конвекции в термодинамических системах, подобных методу Чохральского.

2. В режиме термогравитационной конвекции для Рэлея Яа<5* Ю^ структура течения и теплообмен не зависят от величины числя Прандтля Ргпри 16<Рг<2700. Обнаружены отличия в структуре течения для жидких металлов (Рг=0.05) относительно жидкостей с большими Рг. Высокая теплопроводность металлов на фоне развитой конвекции вносит основной вклад в теплообмен в системе даже при очень больших числах Ог.

3. Исследование относительного вклада сил плавучести и термокапиллярного эффекта в формирование структуры тепловой гравитационно-капиллярной конвекции, в локальную и интегральную теплоотдачу.

4. Сравнение численных результатов с экспериментально наблюдаемыми режимами течения жидкости при свободной, вынужденной и смешанной конвекции.

Достоверность

Выводы и общие положения, сформулированные в диссертации, опираются на обширные сравнения с экспериментальными результатами, полученными на экспериментальных установках в лаборатории. Достоверность численных расчетов также обеспечена сравнениями с расчетами, полученными методами высокого порядка точности, и с решениями тестовых задач.

Личный вклад автора заключается: 1) в разработке и отладкепакета про-граммдля численного исследования термогравитационной, термокапиллярной, тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной и смешанной конвекции расплавов в методе Чохральского; 2) в участии в планировании экспериментальных исследований в реперных режимах; 3) в анализе и графическом оформлении полученных результатов, формулировке выводов и заключения по диссертации.

Апробация работы

Результаты исследований докладывались на конференциях различного уровня: на 3-м и 4-м Минском международном форуме по тепло- и массооб-мену (Минск, 1996,2000), на ежегодных Российских конференциях «Кремний» (2000-2011); на 1-й Азиатской конференции по росту кристаллов и технологиям (Япония, Сендай, 2000); на международных конференциях «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 1995-2006); на сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИМПРИМ, Новосибирск, 1998, 2000); на конференции Singlecrystal-growthandheat&masstransfer (Обнинск, 2001-2005); на Сибирском теплофизи-ческом семинаре (Новосибирск, 2002-2005); на Международном симпозиуме по актуальным проблемам физической гидродинамики (Новосибирск, 1999); на Российских конференциях «Тепломассообмен и гидродинамика в закрученных потоках» (Москва, 2005, 2008); на Международной конференции «Проблемы в тепловой конвекции» (Пермь, 2003); на 5-й Международной конференции АПЭП-98 (Новосибирск, 1998); на 11-13 Национальных конференциях по росту кристаллов (Москва, 2004-2008); на Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2006, 2010); на 10-й всерос. школе-конференции молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики» (Новосибирск, 2008); на семинаре по численным методам в механике жидкости и газа Института проблем механики РАН по руководством профессоров Полежаева В.И.и Чудова JI.A. (Москва, 2002); на семинарах ИТ СО РАН под руководством чл.- корр. РАН Алексеенко C.B.

Исследования проводились в рамках грантов РФФИ № 97-01-00760а; № 99-01-00544а и № 02-01-00808а (руководитель: д.ф.-м.н. Бердников B.C. ИТ СО РАН); в рамках интеграционных проектов СО РАН № 97-36 (руководители: чл.-корр. РАН К.К.Свишатов и д.ф.-м.н. А.Л.Асеев ИФП СО РАН); № 2000-49 (руководитель: д.ф.-м.н. Бердников B.C. ИТ СО РАН); № 2000-55 (руководитель: чл.-корр. РАН Асеев ИФП СО РАН), № 2003-155 (руководитель: д.ф.-м.н. Бердников B.C. ИТ СО РАН); № 2003-156 (руководитель: д.ф.-м.н. Непомнящих А.И. ИГХ СО РАН).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации - 252 страница, включая 99 рисунков. Библиография состоит из 154 наименований.

7.5 Выводы по главе

Исследована смешанная конвекция в ламинарном осесимметричном режиме в диапазонах параметров: при Рг=16, 0.47 < НУЯТ < 0.7, 1.11 < Ят/Як < 6.67, 0 < Ог < 5835, Ма < 4870, Яе < 600; при Рг=45.6, 0,3< Н/Ят<2,5,

1,11<Я/Я <6,67, 0 < вг < 3280, Ма < 7017, Яе < 200; при Рг=0.05, Н/Я =0,7, т К т

Я Л1 =2,76, 0 < вг < 5-105, Ма < 615, Яе < 5000. т к

В режимах смешанной конвекции (после включения вращения кристалла в исходных режимах ТГКК) впервые воспроизведены экспериментально наблюдаемые пространственные формы течения, поля температуры и скорости в ламинарных режимах смешанной конвекции. Впервые численно определены критические значения чисел Яе, зависящие от чисел Ог и Ма, при которых возникает под вращающимся кристаллом центробежный вихрь, стадии полного подавления свободной конвекции, формирования и распада вихря. При числах Рг=0,05 обнаружено возникновение рециркуляционной зоны в режимах смешанной конвекции.

Впервые показано, что с ростом угловой скорости вращения кристалла при положении границы встречи потоков свободноконвективной и центробежной природы на кромке кристалла, структура течения не зависит от числа Рг и имеет универсальный характер.

Впервые показано, что для расплавов с числами Прандтля 0.05 < Рг < 45,6 существует универсальное свойство: при заданных относительных радиусах кристалла и высоте слоя расплава и фиксированном перепаде температуры (числа Ог, Ма) существуют режимы вращения кристалла (число Яе), при котором радиальные распределения локального теплового потока будут максимально однородным. Соотношения чисел Ог, Ма, Яе зависят от Рг и для каждого из значений Рг в свою очередь зависят от Н/Ят и Ят/Як

Рисунок 7.2 — Изолинии функции тока (слева) и изотермы (справа), Рг=16, Сг=2000, Ма=1669:а) Яе=70; б) Яе=130; в) Яе=170; г) Яе=250.

213

0,2

0,1

0,0

Яе=10 Яе=20 Яе=30 Яе=42 Яе=50 Т 0

0,8 0,60,40,20,0

1,5

1,0

0,5

0,0

V/ т 0

10

10 г

10

20 а)

Т"

20 б)

20 в)

30

30

30

40 г>мм

40 г' мм

40 г» мм

Рисунок 7.3 - Профили азимутальной компоненты скорости, Рг=16, Сг=2000, Ма=1669:а) в сечении х=Н/4; б) в сечении г=Н/2; в) в сечении 2=ЗН/4.

---Яе=10 Яе=20

-----Яе=30

------Яе=40

-Яе=50

-Яе=50

-----Яе=40 Яе-ЗО

--------Яе=20

Яе=10

Рисунок 7.8 - Изолинии функции тока (слева) и изотермы (справа), Рг=0.05, Ог=168 340, Ма=207:а) Яе=1 120; б) Яе=2 ООО; в) Яе=3 ООО.

0,0

0,5 а) г

1,0 Яе=0

---Яе=10

Яе=24

-----Яе=44

------Ле=100

-- Яе=200

1,0 I

1,2 Т

1,4

В)

1,6

1,8

Рисунок 7.13 - Режим Кт/Ят=\.94, Н/Ят=0.7, Рг=45.6, 0г=3280, Ма=3165: а) радиальное распределение локального теплового потока на фронте кристаллизации: б) радиальное распределение температуры на свободной поверхности расплава; в) скорость вдоль свободной поверхности расплава.

Рисунок 7.14 - Физический лабораторный эксперимент. Кт/Кк=1,94, Нт/Ят = 0.7, Рг=45.6, Ог=4748, Ма=4590, Яе=91.3. а) б)

Рисунок 7.15 - Сравнение численных расчетов с экспериментом. 11т/Кк=1,94, Нт/Ит = 0.7, Рг=45.6, Ог=4748, Ма=4590, Яе=91.3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении представлены основные результаты работы:

1) Разработан, отлажен и оттестирован пакет программ для численного исследования термогравитационной, термокапиллярной, тепловой гравитационно-капиллярной, вынужденной и смешанной конвекции расплавов в методе Чохральского. Во всех режимах конвекции исследована структура течения и конвективный теплообмен в диапазоне чисел Прандтля: 0,05< Рг <2700.

2) Показано, что в режимах термогравитационной конвекции при числах Рэ4 лея Яа < 5x10 пространственная форма течения, тепловые потоки и числа Нуссельта (N11), размерные поля температуры и скорости слабо зависят от величины числа Рг при 16 < Рг < 2700. Результаты расчетов интегрального

0.2 теплообмена обобщаются в виде зависимости: Ки=(0.55±0.01)Яа . При Рг=0,05 конвекция начинает вносить сопоставимый вклад в конвективную теплопередачу при числах Яа больших примерно в 500 раз в сравнении со значениями для расплавов с 16 < Рг < 2700.

3) Впервые воспроизведены экспериментально наблюдаемые пространственные формы течения в ламинарных режимах свободной, вынужденной и смешанной конвекции. Получено совпадение критических значений чисел Яе, соответствующих распаду закрученного потока к вращающейся поверхности и появлению рециркуляционной зоны, с экспериментальными значениями.

4) В режимах тепловой гравитационно-капиллярной конвекции изучен относительный вклад сил плавучести и термокапиллярного эффекта. Показано, что на фоне термогравитационной конвекции термокапиллярный эффект и термокапиллярная конвекция вносят вклад в локальный теплообмен только на кромке кристалла.

5) В режимах смешанной конвекции при числах Рг=0,05 впервые определены критические значения чисел Яе, зависящие от чисел вг и Ма, при которых возникает распад вихря и возникновение рециркуляционной зоны.

1. Бердников B.C., Кирдяшкин А.Г. Структура свободноконвективых течений в горизонтальных слоях при различных граничных условиях // Структура пристенного пограничного слоя (вынужденное течение, тепловая конвекция). Сб. науч. тр. Новосибирск, 1978. С.5-45.

2. Бердников B.C., Борисов B.JI. Экспериментальное моделирование гидродинамики расплава при выращивании монокристаллов методом Чохраль-ского // Тепло-массообмен при кристаллизации и конденсации металлов: Сб. науч. тр. Новосибирск, 1981, С. 96-106.

3. Бердников B.C., Борисов B.JL, Панченко В.И. Экспериментальное моделирование гидродинамики и теплообмена при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Теплофизические явления при кристаллизации металлов: Сб.науч.тр. Новосибирск, 1982. С. 77-92.

4. Бердников B.C., Борисов B.JL, Панченко В.И., Простомолотов А.И. Моделирование гидродинамики расплава при выращивании кристаллов методом вытягивания // В кн.: Теплофизические процессы при кристаллизации и затвердевании. Новосибирск, 1984, С. 66-83.

5. Бердников B.C., Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Течение вязкой жидкости в цилиндрическом сосуде при вращении диска // Изв. АН СССР. МЖГД985, N 5, С.33-40.

6. Бердников B.C., Панченко В.И. Некоторые характеристики смешанной конвекции в лабораторной модели метода Чохральского // В кн.: Теплофизика кристаллизации веществ и материалов. Новосибирск, 1987, С. 5-15.

7. Бердников B.C., Борисов В.Л., Марков В.А., Панченко В.И. Моделирование гидродинамики расплава при вытягивании кристаллов с коническим фронтом и кольцевого сечения // В кн.: Теплофизика кристаллизации веществ и материалов. Новосибирск, 1987, С. 16-33.

8. Бердников B.C., Панченко В.И., Соловьев C.B. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в методе Чохральского // Теплофизика кристаллизации и высокотемпературной обработки материалов. Новосибирск; 1990, С. 162-199.

9. Бердников B.C., Панченко В.И., Соловьев C.B. Конвективный теплообмен в режиме смешенной конвекции на модели метода Чохральского // Там же С. 199-221.

10. Бердников B.C., Артемьев В.К., Гинкин В.П. Численное исследование конвективного теплообмена на модели метода Чохральского // Москва, 1994, 1-я российская нац. конф. по теплообмену, т.2 Свободная конвекция, С. 26-30.

11. Бердников B.C., Панченко В.И., Соловьев C.B. Теплообмен в системе тигель-расплав-кристалл при получении монокристаллов методом Чохральского // Тепломассообмен ММФ-96. Минск: АНК «ИТ МО им. A.B. Лыкова» НАНБ. 1996. Т 11. С. 146-150.

12. Бердников B.C. Винокуров В.В., Гапонов В.А. Влияние числа Прандтля на теплообмен в методе Чохральского // Труды VII Международной конференции «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, Новосибирск, 2000, С. 66-69.

13. Бердников C.B., Винокуров В.В., Захаров В.П. Физическое и численное исследование теплообмена в классическом методе Чохральского // 2-я Российская конференция «Кремний-2000», М.: МИСиС, 2000, С. 134.

14. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев C.B. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Тепломассообмен ММФ-2000. Конвективный теплообмен. Т. 1, Ч. 2. Минск: ИТМО им. A.B. Лыкова АНБ,2000, С. 12-16.

15. B.C. Бердников, В.В Винокуров, В.И. Панченко, С.В Соловьев. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Инженерно-физический журнал, 2001, Т. 74, № 4, С. 122-127.

16. Бердников B.C., Винокуров В.А. Винокуров В.В. Гапонов В.А.

17. Экспериментальное и численное моделирование гидродинамики и тепло230обмена в системе тигель-расплав-кристалл классического метода Чо-хральского // 3-я Российская конференция «Кремний-2003», М.: МИСис, 2003, С. 42-44.

18. Бетчелор Д. Введение в динамику жидкости // М.: Мир, 1973, С. 758.

19. Буденкова О.Н., Васильев М.Г., Руколайне С.А., Юферев B.C., Калаев

20. B.В. Численное моделирование сложного теплообмена при вытягивании кристаллов германата висмута из расплава методом Чохральского // Третья российская национальная конференция по теплообмену. Сборник трудов. Москва, 2002, т.6, С. 234-237.

21. Бессонов O.A., Полежаев В.И. Нестационарные неосесимметричные течения в гидродинамической модели метода Чохральского при больших числах Прандтля. // Изв. РАН, сер. Механика жидкости и газа, N5, 2011,1. C. 16-32.

22. Верезуб H.A., Простомолотов А.И. Тепловая оптимизация условий выращивания монокристаллов кремния на установке «Редмет-90М» // Материалы электронной техники, 2010, № 4, С. 22-25.

23. Верезуб H.A., Простомолотов А.И., Мильвидский М.Г. Моделирование тепловых процессов и дефектообразования при выращивании и термообработке бездислокационных монокристаллов и пластин кремния // Материалы электронной техники, 2008, № 3, С. 49-53.

24. Верезуб H.A., Простомолотов А.И., Мильвидский М.Г. Моделирование и оптимизация конструкции теплового экрана в установке «Редмет-90М» для выращивания монокристаллов кремния большого диаметра // Материалы электронной техники, 2008, № 4, С. 43-48.

25. Вильке К. Т. Выращивание кристаллов // Л.: Недра, 1977, С. 600.

26. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости // М.: Наука, 1972, С. 392.

27. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л.: Гидрометеоиздат, 1975, С. 304.

28. Конаков П.К., Веревочкин Г.Е., Горяинов Л.А. и др. // Тепло- и массооб-мен при получении монокристаллов. М.: Металлургия, 1971, С. 240.

29. Конаков Ю. П., Третьяков Г. А. Экспериментальное исследование скоростного поля расплава при вытягивании монокристаллов. // В кн.: Труды МИИТ, м., Транспорт, 1967, вып. 254, С. 18-24.

30. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике // Новосибирск: Наука, 1982, С. 280.

31. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. Физматгиз, 1959.

32. Лейбович С. Распад вихря // Механика. Вихревые движения жидкости. Москва, 1979, т. 21, С. 161-196. ' 1

33. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов: Пер. С англ. // М.: Мир, 1974, С. 542.

34. Математическое моделирование. Получение монокристаллов и полупроводниковых структур // Сборник статей. М.: Наука, 1986, С. 198.

35. Мори ( Mori I.). Влияние свободной конвекции на вынужденное ламинарное конвективное течение над горизонтальной плоской пластиной // Труды Амер. об-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 1961, № 4, С. 111-115.

36. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности // М.: Мир, 1991. С. 143.

37. Никитин Н.В., Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского // Успехи механики, 2003, том 2, № 4, С. 63-105.

38. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чохральского // Изв. РАН, сер. Механика жидкости и газа, N3, 1999, С. 93104.

39. Полежаев В. И. Гидродинамика, тепло- и масообмен при росте кристаллов // Итоги науки и техники, сер. МЖГ, 1984, т. 18, С. 198-268.

40. Полежаев В.И., Бунэ A.B. и др. Математическое моделирование конвективного теплообмена на основе уравнений Навье-Стокса // М.: Наука, 1987.

41. Полежаев В.И., Простомолотов А.И.' Исследование гидродинамики и теплообмена при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 1981, № 1, С. 55-65.

42. Ремизов И.А. Численное моделирование концентрационных полей легирующей примеси в расплаве при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Физ. и химия обработки материалов, 1980, № 2, С. 38-45.

43. Ремизов И.А., Смирнов В.А. Численный анализ распределения легирующих примесей в расплаве при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Физ. и химия обработки материалов, 1980, № 3, С. 49-55.

44. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем // М.: Наука, 1971.

45. Свойства элементов: Справ, изд. В 2-х кн. Кн. 1 // Под ред. Дрица М.Е. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Металлургия, ГУП «Журнал Цветные металлы», 1997. С. 432.

46. Старшинова И.В. Численный анализ распределения температур в расплаве при выращивании монокристаллов методом Чохральского // Физ. и химия обработки материалов, 1980, № 2, С. 46-51.

47. Старшинова И.В., Фрязинов И.В. Численное исследование гидродинамических и тепловых процессов получения монокристаллов по методу Чохральского // Ин-т прикл. мат. АН СССР. Препр., 1982, № 52, С. 21.

48. Степченков В. Н., Голубенков Б. Ю. Исследование тепловых условий и конвективных потоков в расплавах кремния большой массы // Электронная техника, сер. Материалы, 1982, вып. 6 (167), С. 44-47.

49. Таиров Ю. М., Цветков В. Ф. Технология полупроводниковых и диэлектрических материалов // Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1990, С. 423.

50. Туровский Б. М., Мильвидский М. Г. Моделирование процесса перемешивания расплава при выращивании кристаллов по методу Чохральского // Кристаллография, 1961, т. 6, вып. 5, С. 759-762.

51. Фалькевич Э.С., Пульнер И.Ф., Червоный И.Ф., Шварцман Л.Я. Технология полупроводникового кремния // М.:Металлургия, 1992, С. 408.

52. Цветков Е.Г., Томиленко А.А., Хран'енко Г.Г., Юркин A.M. Исследование включений и причин их появления при выращивании кристаллов бората бария // Кристаллография, 2000, т.45, № 4, С. 762-767.

53. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания // М.: Металлургия, 1982, С. 312.

54. Шашков Ю. М., Гришин В. П. Об осевых градиентах температуры при выращивании монокристаллов кремния методом Чохральского // Докл. АН СССР, 1968, т. 179, № 2, С. 404-406.

55. Шашков Ю. М., Гуревич В. М. Исследование теплового поля расплава при выращивании монокристаллов кремния методом Чохральского // Докл. АН СССР, 1989, т. 187, № 1, С. 146-148.

56. Шашков Ю. М., Степанова Г. М. Колебания фронта кристаллизации при выращивании кремния методом Чохральского // Докл. АН СССР, 1968, т. 179, №4, с. 840-845.

57. Шашков Ю. М., Степанова Г. М., Никитин В. М. Колебания фронта кристаллизации при выращивании кремния методом Чохральского // Изв. АН СССР, сер. физ., 1969, т. 33, № 12, С. 2017-2020.

58. Шидловский В.П. Структура течения вязкой жидкости вблизи кромки вращающегося диска // Прикл. матем. и мех., 1977, т. 41, вып. 3, С. 464472.

59. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем. М.: Наука, 1969, 742 с.

60. Alimpiev A.I., Merkulov А.А., Solntsev V.P., Tsvetkov E.G., Pestryakov E.V., Matrosov V.N. Growth and crystal structure of the BeAl6O.0 singl crystals // J. Crystal Growth, 2002, Vol.237-239, pp. 884-889.

61. Berdnikov V.S., Vinokurov V.V., Gaponov V.A., Markov V.A. Complex simulation of crystal pulling from the melt // Proceedings of the Fourth International Conference «Single crystal growth and heat and mass transfer», Obninsk-2001, Vol. l,pp. 80—106.

62. Berkowski M., Iliev K., Nikolov N., Peshev P., Piekarczyk W. On the conditions of formation of a flat crystal/melt interface during Czochralski growth of single crystal // J Crystal Growth, 1987, v. 83, pp. 507-516.

63. Bornside D.E., Kinney T.A., Brown R.A. Minimization of thermoelastic stresses in Czochralski grown silicon: application of the integrated system model // J. Crystal Growth, 1991, v. 108, pp. 779-805

64. Bottaro A., Zebib A. Three-dimensional thermal convection in Czochralski melt // J Crystal Growth, 1989, v. 97, pp. 50-58.

65. Brandie C. D. Growth of 3" diameter Gd3Ga5Oi2 crystals // J. Appl. Phys., 1978, v. 49, № 3, pp. 1855-1858.

66. Brandie C. D. Flow transitions in Czochralski oxide melt // J. Crystal Growth, 1982, v. 57, pp. 65-70.

67. Brandie C.D. Simulation of fluid flow in Gd3Ga5Oi2 melts // J. Crystal Grows, 1977, v.42, pp. 400-404

68. Brice I. C., Bruton T. M., Hill O. F., Whiffin P. A. C. The Czochralski growth of Bi12Si02o crystals // J. Crystal Growth, 1974, v. 24/25, pp. 429-431.

69. Brice J. C., Whiffin P. A. C. Solute striae in pulled crystals of zinc tungstate // Brit. J. Appl. Phys., 1967, v. 18, pp. 581-585

70. Brice I. C., Whiffin P. A. C. Changes in fluid flow during Czochralski growth // J. Crystal Growth, 1977, v. 38, pp. 245-248.

71. Brown R.A., Kinney T.A., Sackinger P.A. and D.E. Bornside. Toward an integrated analysis of Czochralski growth // J. Crystal Growth, 1989, v. 97, pp. 99115.

72. Brown R.A., Kinney T.A., W. Zhou, D.E. Bornside Large- scale simulation of the Czochralski growth of silicon crystals // Proceed. 10-th Intern. Heat Transfer Confer., Brigton,UK, v.l, pp. 189-203.

73. Brown G.L., Lopez J.M. Axisymmetric vortex breakdown. Part 2. Physical mechanisms // J. Fluid Mech., 1990, vol. 221, pp. 553-576

74. Buckle U. and Schafer M. Benchmark results for the numerical simulation of the flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal growth. 1993. V.126. pp. 682-694

75. Burton I. Q., Prim R. C., Slichter W. P. The distribution of Solute in Crystals Grown from the Melt. Part I. Theoretical // J. Crystal Growth, 1981, v. 51, pp. 195-202

76. Capper P., Elwell D. Crucible rotation and crystal growth in the Czochralski geometry // J Crystal Growth, 1975, v. 30, pp. 352-356.

77. Carruthers I. R. Thermal convection instabilities relevant to crystal growth from liquids // In.: Preparation and Properties of Solid State Materials, v. 3, New-York; Basel: Marsel Dekker, 1977, pp. 1-121

78. Carruthers I. R. Origins of convective temperature oscillations in crystal growth melts // J. Crystal Growth, 1976, v. 32, pp. 13-26

79. Carruthers I. R. Flow transitions and interface shapes in the Czochralski growth of oxide crystals // J. Crystal Growth, 1976, v. 36, pp. 212-214.

80. Carruthers I. R. Radial Solute Segregation in Czochralski Growth // J. Electro-chem. Society, 1967, v. 114, № 9, pp. 959-962.

81. Carruthers I. R., Nassau K. Nonmixing Cells due to Crucible Rotation during Czochralski Crystal Growth // J. Appl. Phys., 1968, v. 39, № 11, pp. 52055214.

82. Chatterjee A., Sun D., Prasad V. Three dimensional simulation of low pressure and lec high pressure Czochralski growth // Heat and Mass Transfer-2000, pp. 799-804.

83. Cockayne B., Gates M. P. Growth Striations in Vertically Pulled Oxide and Fluoride Single Crystals // J. Mater. Science, 1967, v. 2, pp. 118-123

84. Cockayne B., LentB., Roslington J. M. Interface shape changes during the Czochralski growth of gadolinium gallium garnet single crystals // J. Mater. Science, 1976, v. 11, pp. 259-263

85. Cockayne B., Roslingston I. M. The dislocation-free growth of gadoliniumgallium garnet single crystals // J. Mater. Science, 1973, v. 8, pp. 601-605.

86. Crochet M.I., Wouters P.I., Geyling F.T., Jordan A.S. Finite-element simulation of Czochralski bulk flow // J Crystal Growth, 1983, v. 65, pp. 153-165.

87. Derby J.J., Brown R.A. Thermal-capillary analysis of Czochralski and liquid encapsulated Czochralski crystal growth : II. Processing strategies // J Crystal Growth, 1986, v. 75, pp. 227-240.

88. Enger S., Basu B., Breuer M., Durst F. Computation of buoyancy-driven flow in a Czochralski crucible // Heat and Mass Transfer-2000, pp. 583-588.

89. Escudier M.P. Observation of the flow produced in a cylindrical container by rotating endwall // Experiments in Fluids 2, 1984, pp. 189-196.

90. Fultz D., Long R. R., Owens G. V., Bohan W., Kaylor R., Weil I. Meteorological Monographs, 1959, v. 4, № 21. 1

91. Fultz D. Symposium on Rotating Fluid System, La Jolla, 1966, Quoted in ref.l 1, pp. 296-298.

92. Goss A. I., Adlington R. E. The effects of seed rotation on silicon crystals // Marconi Review, 1959, v. 22, № 132, pp. 18-36.

93. Hintz P., Schwabe D., Wilke H. Convection in Czochralski crucible. Part I: non-rotation crystal // J. Crystal Grows, 2001, v. 222, pp. 343-355.

94. Hintz P., Schwabe D., Wilke H. Convection in Czochralski crucible. Part II: rotation crystal // J. Crystal Grows, 2001, v. 222, pp. 356-364.

95. HurleD. T. I. Convective transport in melt growth systems //- J. Crystal growth, 1983, v. 65, pp. 124-132.

96. Jones A.D.W. An experimental model of the flow in Czochralski grows // J. Crystal Grows, 1983, v. 61, pp. 235-244.

97. Jones A.D.W. Flow in a model Czochralski oxide melt // J. Crystal Grows, 1989, v. 94, pp. 421-432.

98. Jones A.D.W. Spoke patterns // J. Crystal Grows, 1983, v.63, pp. 70-76.

99. Jones A.D.W. The temperature field of a model Czochralski melt // J. Crystal Grows, 1984, v. 69, pp. 165-172.

100. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Natural and forced convection of molten silicon during Czochralski single crystal growth // J Crystal Growth, 1989, v. 94, pp. 412-420.

101. Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Smirnov E.M. Modeling of turbulent melt convection during Czochralski bulk crystal growth // Journal of Turbulence, 2002, vol.3, №13, pp. 1-12.

102. Kim K. M., Witt A. F., Gatos H. C. Crystal Growth from the Melt under Destabilizing thermal Gradients // J. Electrochem. Science, 1972, v. 119, №9, pp. 1218-1226.

103. KimuraH. Flow transitions in simulated Czochralski method with tetrade-cane (Q4H30) instead of Bi,2Si02o // J. Crystal Growth, 1986, v. 78, pp. 19-23.

104. Kinney T.A., Brown R.A. Application of turbulence modeling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon//J. Crystal Growth, 1993, v. 132, pp. 551-574.

105. Kobayashi N., Arizumi T. Computational analysis of the flow in a crucible // J Crystal Growth, 1975, v. 30, pp. 177-184.

106. Kobayashi N. Computational simulation on the melt flow during Czochral-ski growth // J Crystal Growth, 1978, v. 43, pp. 357-363.

107. Kobayashi N., Arizumi T. Computational studies on the convection caused by crystal rotation in a crucible // J Crystal Growth, 1980, v. 49, pp. 419-425.

108. Kobayashi N. Difficulties encountered in Czochralski growth of some oxide single crystals // J. Crystal Growth, 1981, v. 55, pp. 339-344.

109. Kobayashi N. Hydrodynamics in Czochralski growth computer analysis and experiments // J Crystal Growth, 1981, v. 52, pp. 425-434.

110. LamprechtR., Schwabe D., Scharmann A., Schultheiss E. Experiments on buoyant, thermocapillary and forced convection in Czochralski configuration // J. Crystal Growth, 1983, v. 65, pp. 143-152.

111. Langlois W.E. Digital simulation of Czochralski bulk flow in a parameter range appropriate for liquid semiconductors // J Crystal Growth, 1977, v. 42, pp. 386-399.

112. Langlois W.E. Effect of the buoyancy parameter in Czochralski bulk flow in garnet growth // J Crystal Growth, 1979, v. 46, pp. 743-746.

113. Langlois W.E. Digital simulation of Czochralski bulk flow in microgravity // J Crystal Growth, 1980, v. 48, pp. 25-28.

114. Langlois W.E. A parameter sensitivity study for Czochralski bulk flow of silicon // J Crystal Growth, 1982, v. 56, pp. 15-19.

115. Langlois W.E. Czochralski bulk flow of silicon at large aspect ratio // J Crystal Growth, 1983, v. 63, pp. 67-69.

116. Lopez J.M. Axisymmetric vortex breakdown. Part 1. Confined swirling flow // J. Fluid Mech., 1990, vol. 221, pp. 533-552

117. Mihelchic M., Wingerath K. Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth // J Crystal Growth, 1989, v. 97, pp. 42-49.

118. Miller D. C., Valentino A. I., Shick L. K. The effect of melt flow phenomena on the perfection of Czochralski grown gadolinium gallium garnet // J. Crystal Growth, 1978, v. 44, pp. 121-134.

119. Miyazawa I., Mori I., Homma S., Kitamura K. Interface shape transitions in Czochralski grown IAG crystal // Mat. Res. Bull., 1978, v. 13, pp. 675-680.

120. Miyazawa I., Mori I., Homma S., Kitamura K. Interface shape transitions in the Czochralski growth of Dy3Al50i2// J- Crystal Growth, 1978, v. 43, pp. 541542.

121. Miyazawa S. Fluid flow analysis in a Czochralski simulation // J. Crystal Growth, 1981, v. 53, pp. 636-638.

122. Morizane K., Witt A. F., Gatos H. C. Impurity Distributions in Single Crystals // J. Electrochem. Society, 1966, v. 113, № 16 pp. 51-54.

123. Nikitin N., Polezhaev V. Direct simulations and stability analysis of the gravity driven convection in a Czochralski model // J. Crystal growth. 2001, V.230, pp. 30-39.

124. Nikolov V., Iliev K., Peshev P. Simulation studies on the hydrodynamics in high-temperature solutions for crystal growth. I Forced convection // Mat. Res. Bull., 1982, v. 17, pp. 1491-1498.

125. Nikolov V., Iliev K., Peshev P. Simulation studies of the hydrodynamics in high-temperature solutions for crystal growth. II Free convection // Mat. Res. Bull., 1983, v. 18, pp. 9-17.

126. Pimputkar S., Ostrach S. Convective effects in crystals growth from melt // J. Crystal Growth, 1981, v. 55, pp. 614-646.

127. Polezhaev V.I., Bessonov O.A., Nikitin N.V., Nikitin S.A. Convective interaction and instabilities in GaAs Czochralski model // J. Crystal growth. 2001. V.230. pp. 40-47.

128. Polezhaev V.I., Emelianov V.M., Gorbunov A.A., Soboleva E.B. Near-critical convection in ground-based and microgravity environments // Experimental Thermal and Fluid Science. 2002. V.26. pp. 101-108.

129. Robertson D.S. A study of the flow patterns in liquids using a model Czochralski crystal growing system // Brid. J. Appl. Phys., 1966, v. 17, pp. 10471050. 1 '

130. Sackinger P.A., Brown R.A. and Derby J.J. A finite element method for analysis of fluid flow, heat and transfer1 and free surface interfaces in Czochralski crystal growth // Int. J. Numm Meth. Fluids, 1989, v. 9, pp. 453-502

131. Schwabe D. Buoyant-thermocapillary and thermocapillary convective instabilities in Czochralski systems // J. Crystal Grows, 2002, v.237-239, pp. 18491853.

132. Shikori K. Simulations of Czochralski growth on crystal rotation rate influence in fixed crucibles // J. Crystal Growth, 1977, v. 40, pp. 129-138.

133. Spohn A., Mory M., Hopfmger E.J. Experiments on vortex breakdown in a confined flow generated ry a rotating disc // J. Fluid Mech., 1998, vol.370, pp. 73-99.

134. Takagi K., Fukazawa T., Ishii M. Inversion of the direction of the solidliquid interface on the Czochralski growth of GGG crystals // J. Crystal Growth, 1976, v. 326, pp. 89-94.

135. Teitel M., Schwabe D., Yu A., Gelfgat. Experimental and computational study of flow instabilities in a model of Czochralski growth // J. Crystal Growth, 2008, v. 310, pp. 1343-1348.

136. Wheeler A.A. Four test problems for the numerical simulation of the flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Grows, 1990, v. 102, pp. 691-695.

137. Xiao Q., Derby J.J. Three dimensional melt flow in Czochralski oxide growth: high-resolution, massively parallel, finite element computations // J. Crystal Growth. 1995, V.152, N 3, pp. 169-181.1. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

138. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев С.В. Физическое и численное моделирование конвективных процессов при вытягивании монокристаллов из расплавов // Тр. 5-ой междунар. конф. АПЭП-98, Новосибирск, т. 3, с. 53-61

139. Винокуров В.В. Исследования зависимости структуры свободноконвек-тивного течения в методе Чохральского от числа Прандтля // Сб. тез. VI В серое. гонф. молодых ученых, Новосибирск, 2000, с. 18-20.

140. Бердников B.C., Винокуров В.В., Захаров В.П. Физическое и численное исследование теплообмена в классическом методе Чохральского // 2-я Рос. Конф. «Кремний-2000», М.: МИСИС, 2000, с 134

141. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Tp.IV Минского междунар. форума «Тепломассообмен ММФ-2000» Минск, 2000, т.1, ч.2, с. 12-16

142. Бердников B.C., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Влияние числа Прандтля на теплообмен в методе Чохральского // Тр. VII Междунар. конф. «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей, Новосибирск, 2000, с 66-69

143. Бердников B.C., Винокуров В.В. Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского //Тепломассообмен ММФ-2000. Конвективный теплообмен. Т. 1, Ч. 2. Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АНБ, 2000. - С. 12-16.

144. Berdnikov V.S., Vinokurov V.V., Gaponov V.A., Markov V.A. Complex simulation of crystal pulling from the melt // Proceeding of 5th Inter. Conf. Single Cryst. Growth and Heat Mass Tranafer, Obninsk, 2001, vol 1, pp 80-106

145. Бердников B.C., Винокуров B.B., Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского // Инженерно-физический журнал, т. 74, N 4, Минск, 2001, с. 122-127

146. Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А., Адрианова A.M., Скобликов С.В., Коврижных Л.С. Теплообмен в различных методах получения совершенных объемных монокристаллов // Тез. докл., XXVI Сибирский тепло-физический семинар, Новосибирск, 2002, С.43-44

147. Винокуров В.В. Винокуров В.А. Гапонов В.А. Физическое и численное моделирование гидродинамики и теплоЬбмена в методе Чохральского // Совещание по росту кристаллов, пленок и дефектам структуры кремния «Крем-ний-2002», Тез. докл., с.27

148. V.S. Berdnikov, V.V Vinokurov, V.A. Vinokurov, V.A.Gaponov

149. Mixed convection in Czochralski cristal growth method with motionless crucible // Int. Conf. «Advanced problems in thermal convection»; 24-27 November 2003; Abstracts; Perm-2003, pp. 33-34

150. Бердников B.C., Винокуров В.В., Винокуров В.А., Гапонов В.А. Комплексное моделирование естественной конфекции в методе Чохральского снеподвижным тиглем // XI нац. конф. по росту кристаллов НКРК-2004, М.: ИК РАН, с.57.

151. Бердников B.C., Винокуров В.В., Винокуров В.А., Гапонов В.А. Смешанная конвекция жидкостей с различными числами Прандтля в методе Чо-хральского с неподвижным тиглем // XI нац. конф. по росту кристаллов НКРК-2004, М.: ИК РАН, с.58.

152. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Комплексное моделирование естественной конвекции в методе Чохральского с неподвижным тиглем // Тез. докл. XI Нац. конф. по росту кристаллов. 14-17дек.2004г., г.Москва, с.57

153. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Смешанная конвекция жидкостей с различными числами Прандтля в методе Чохральского с неподвижным тиглем // Тез. докл. XI Нац. конф. по росту кристаллов. 14-17дек.2004г., г.Москва, с.58.

154. B.C. Бердников, В.А.Винокуров, В.В.Винокуров, В.А. Гапонов. Смешанная конвекция в методе Чохральского с неподвижным тиглем // Труды 4-й Российской национальной конференции по теплообмену. М: Изд. дом МЭИ. 2006. Т 3, С. 76-80.

155. Бердников B.C. , Винокуров В.В. Численное моделирование смешанной конвекции в методе Чохральского // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск. 2008. С.59 62.

156. Винокуров В.В. Смешанная конвекция в методе Чохральского // 10-я Всерос. Шк.-конф. молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики». Новосибирск, 2008. С. 41-43.

157. Бердников B.C., Винокуров В.А., Винокуров В.В., Гапонов В.А. Зависимость формы фронта кристаллизации от скорости вращения кристалла в методе Чохральского // Тез. докл. 6 междунар. конф. "Кремний 2009", 71 Оиюля 2009г - Новосибирск: 2009. - С. 73-74.