Решение сопряженной задачи гидродинамики и теплообмена в устройствах Чохральского для выращивания кристаллов кремния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Основные выводы диссертационной работы следующие:

1) На основе метода конечных объемов разработан и реализован программный пакет для решения уравнений Навье-Стокса для гипозвуковых течений, дополненных уравнением теплопереноса и уравнениями транспорта скалярных величин. Данные уравнения используются без изменений для решения задач течения и теплообмена в несжимаемых жидкостях. В рамках единого программного кода уравнения рассматриваются в стационарной и нестационарной формулировках, в двумерной и трехмерной системах декартовых координат и в цилиндрической системе координат для решения осесимметричных задач. Аппроксимации диффузионных и нестационарных слагаемых были выполнены со вторым порядком точности, при аппроксимации конвективных слагаемых использовано несколько способов: противопоточные методы 1-го и 3-го порядка, центральные разности 2-го и 4-го порядков точности, а также учет нелинейности распределений гидродинамических величин вдоль элемента поверхности.

2) Программный комплекс был адаптирован к задачам сопряженного теплообмена и течения при росте кристаллов по методу Чохральского, реализованы следующие возможности: постановка граничных условий на криволинейной границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, постановка граничного условия с учетом лучистого теплообмена, алгоритмы перестройки расчетной сетки для нахождения геометрии фронта кристаллизации.

3) Программный код был успешно протестирован на задачах течения в плоском канале и трубе, в кубической и цилиндрической полостях, на модельной задаче течения расплава по методу Чохральского. Для задачи течения в канале было показано, что применение высоких порядков аппроксимации конвективных слагаемых с учетом нелинейности распределений гидродинамических величин вдоль элемента поверхности позволяет получать численно на неортогональных сетках данные, совпадающие с аналитическим решением.

4) Для задачи течения в цилиндрической полости при подогреве снизу были получены и проанализированы данные по эволюции нестационарной трехмерной конвекции к развитому турбулентному течению. Для различных чисел Рэлея (Ra=104-108) были оценены диапазоны применимости прямого численного моделирования (DNS) и метода моделирования крупных вихрей (LES) с использованием расчетных сеток с количеством ячеек порядка 100000.

5) В рамках осесимметричной квазистационарной постановки была разработана сопряженная модель течений расплава, газа и глобального теплообмена в ростовом узле для выращивания кристаллов кремния методом Чохральского. Впервые исследовано воздействие ламинарного течения газа на турбулентное течение расплава. Течение расплава рассматривалось в рамках осреднения по Рейнольдсу (RANS) с использованием к-£ модели турбулентности Чена. Исследовано влияние расхода газа на структуру и турбулентные характеристики течения расплава при различных скоростях вращения тигля.

6) С использованием метода LES разработана 3D нестационарная модель турбулентного течения расплава и сопряженного теплообмена в зоне кристаллизации, включающей расплав, тигель и кристалл. Данная модель была успешно верифицирована путем сравнения данных расчетов с экспериментальными данными по тепловым пульсациям в расплаве, температуре тигля и расплава, геометрии фронта кристаллизации.

7) Изучены характеристики трехмерного течения расплава при росте кристаллов кремния диаметрами 100 и 300 мм. Показано, что для большинства ростовых режимов, несмотря на вращение тигля и кристалла, турбулентная конвекция имеет преимущественно естественно-конвективную природу, при этом в подкристальной области ее свойства сходны с конвекцией Рэлея-Бенара.

С помощью 3D нестационарной модели было исследовано влияние изменения скорости вращения тигля на структуру и характеристики турбулентного течения расплава. Было обнаружено, что без вращения тигля в расплаве наблюдается единое пульсирующее макродвижение, имеющее аналогию с течением в цилиндрической полости. При малых и умеренных скоростях вращения естественная конвекция носит зонный характер, т.е. особенности течения в подкристальной области сильно отличаются от особенностей течения на периферии расплава. При наибольших скоростях вращения тигля интенсивное естественно-конвективное движение локализуется под кристаллом, а вдоль тигля заметно формирование экмановского пограничного слоя, при этом на периферии расплава активизируется новый источник гидродинамических пульсаций - бароклинная неустойчивость, что приводит к слабому росту кинетической энергии турбулентности.

С использованием данных LES был произведен анализ турбулентного теплопереноса в расплаве путем вычисления кинетической энергии турбулентности разрешаемых вихревых структур и моментов пульсаций температуры. При этом было выявлено, что распределение кинетической энергии турбулентности в расплаве, рассчитанное в рамках RANS подхода, не воспроизводит реальной интенсивности турбулентного перемешивания в различных частях расплава, а лишь приблизительно предсказывает средний уровень кинетической энергии турбулентности в расплаве в целом. Вычисление моментов температурных пульсаций для различных скоростей вращения тигля показало, что турбулентный теплоперенос в расплаве носит сложный зонный характер и может быть значителен в направлениях, ортогональных к градиенту осредненной температуры, что объясняет причины недостаточной точности классического изотропного RANS подхода к расчетам турбулентного течения расплава.

Заключение

1. Артемьев В.К., Гинкин В.П. (1998), "Численное моделирование трёхмерной естественной конвекции", Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, Т.З. с.38-40.

2. Бердников B.C., Полежаев В.И., Простомолотов А.И. (1985), "Течение вязкой жидкости в цилиндрическом сосуде при вращении диска", Изв. АН СССР. МЖГ N 5 с.33-40

3. Верезуб Н.А., Леденев А.К., Мяльдун А.З., Полежаев В.И., Простомолотов А.И. (1999), "Физическое моделирование конвективных процессов при выращивании кристаллов методом Чохральского", Кристаллография, Том 44, №6 с. 1125 -1131.

4. Верезуб Н.А., Простомолотов А.И. (2000), "Исследование теплопереноса в ростовом узле процесса Чохральского на основе сопряженной математической модели", Москва МИСиС, Материалы Электронной Техники, 3 с.28-34

5. Евстратов И.Ю. (2002), "Моделирование теплопереноса излучением при росте кристаллов по методу Чохральского", Отчет по внутреннему проекту, ООО Софт-Импакт с. 1-14

6. Иванов Н.Г. (2000), "Трехмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля", Дис. канд. физ.-мат. наук., СПб, СПбГТУ, 218с.

7. Колмогоров А.Н. (1941), "Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса", Докл. АН СССР, Том 30, №4. с.299-303.

8. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. (1989), "Внутренние течения газовых смесей", М. "Наука", 368с.

9. Лойцянский Л.Г. (1978), "Механика Жидкости и Газа", М. "Наука",736с.

10. Мильвидский М.Г. (1986), "Полупроводниковые материалы в современной электронике", М. Наука 144с.

11. Мюллер Г. (1991), "Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности", Пер. с англ., М. Мир 143с.

12. Никитин Н.В., Полежаев В.И. (1999), "Трёхмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чохральского", Известия РАН. МЖГ., №3. с.26-39

13. Никитин Н.В., Полежаев В.И. (1999), "Трёхмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского", Известия РАН. МЖГ., №6. с.81-90

14. Полежаев В.И., Простомолотов А.И. (1981), "Исследование процессов гидродинамики и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом Чохральского", Изв. АН СССР. МЖГ, N 1 с.55-65

15. Полежаев В.И. (1990), "Математическое моделирование процессов гидромеханики и тепломассообмена при выращивании кристаллов и разделении веществ", В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов., М.: Наука, с.8-26

16. Полежаев В.И., Бессонов О.А., Никитин С.А. (1998), "Структура и устойчивость трёхмерных конвективных течений", Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, Т.З. с.120-123

17. Флетчер К. (1991), "Вычислительные методы в динамике жидкостей", В 2-х т., Т.1., Пер. с англ., М. Мир, 502с.

18. Флетчер К. (1991), "Вычислительные методы в динамике жидкостей", В 2-х т., Т.2., Пер. с англ., М. Мир, 552с.

19. Шашков Ю.М. (1982), "Выращивание монокристаллов методом вытягивания", М. Металлургия, 312с.

20. Basu В., Enger S., Breuer M., Durst F. (2000), "Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method" J. Crystal Growth, Vol. 219, p. 123-143

21. Bogaert N., Dupret F. (1998), "Dynamic global simulation of the Czochralski process I and II", J. Crystal Growth, Vol.171, p.65-76

22. Bornside D., Kinney Т., Brown R., Kim G. (1990), "Finite element -Newton method for the analysis of Czochralski crystal growth with diffusive-grey radiative heat transfer", Int. J. for Numerical Methods in Engineering 30, p.133

23. Bottaro A., Zebib A. (1989), "Three-dimensional thermal convection in Czochralski melt", J. Crystal Growth., Vol. 97, p.50-58

24. Brandon S., Derby J. (1992), "A finite element method for conduction, internal radiation, and solifidication in a finite axisymmetric enclosure", Int. J. Num. Meth. Heat. Fluid 2, p.299

25. Brown R., Kinney Т., Sackinger P., Bornside D. (1989), "Toward an integrated analysis of Czochralski growth", J. Crystal Growth 97, p.99

26. Buckle U., Schafer M. (1993), "Benchmark results for the numerical simulation of flow in Czochralski crytal growth", J. Crystal Growth, v. 126, p.682-694

27. Bystrova E.N., Kalaev V.V., Smirnova O.Y., Yakovlev E.V., Makarov Yu.N. (2003), "Prediction of the melt/crystal interface geometry in liquid encapsulated Czochralski growth of InP bulk crystals", J. Crystal Growth, 250/1-2, p. 189-194

28. Caldwell D.R., Van Atta C.W., Helland K.N. (1972), "A laboratory study of the turbulent Ekman layer", Geophys. Fluid Dyn., 3, p.125-160

29. Chien K.-Y. (1982), "Predictions of channel and boundary-layer flows with low-Reynolds-number turbulence model", AIAA Journal 20, p.33-38

30. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. (1997), "Strongly turbulent Rayleigh-Benard convection in mercury: comparison with result", J. Fluid Mech. 335, p.l 11-140

31. Derby J.J., Brown R.A. (1986), "Thermal-capillary analysis of Czochralski and liquid encapsulated Czochralski crystal growth : I. Simulation", J. Crystal Growth 74, p.605-624

32. Derby J.J., Brown R.A. (1986), "Thermal-capillary analysis of Czochralski and liquid encapsulated Czochralski crystal growth : II. Processing strategies", J. Crystal Growth 75, p.227-240

33. Doormaal J.P., Raithby, G.D. (1984), "Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows," Numerical Heat Transfer, vol. 7, p. 147-163

34. Dornberger E., von Ammon W., Van den Bogaert N., Dupret F. (1996), "Transient computer simulation of a CZ crystal growth process", J. Crystal Growth 166, p.452-457

35. Dornberger E., Virbulis J., Hanna В., Hoelzl R., Daub E., von Ammon W. (2001), "Silicon crystals for future requirements of 300mm wafers", Journal of Crystal Growth, vol. 229, p. 11-16

36. Dupret F., Nicodeme P., Ryckamans Y., Wouters P., Crochet M.J. (1990), "Global modeling of heat transfer in crystal growth furnaces", Int. J. Heat Mass Transfer 33, p. 1849-1871

37. Dupret F., Van den Bogaert N. (1994), in: D.T.J. Hurle (Ed.), "Handbook of Crystal Growth, Modelling Bridgman and Czochralski Growth", Vol. 2B, North-Holland, Amster

38. Egorov Yu.E., and Zhmakin A.I. (1998), "Numerical simulation of low-Mach number gas mixture flows with heat and mass transfer using unstructured grids", Comput. Materials Sci., Vol. 11, p.204-220

39. Enger S., Garbner, Miiller G., Breuer M., Durst F. (2001), "Comparison of measurements and numerical simulations of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon", Journal of Crystal Growth 230, p. 135-142

40. Ferziger J.H., Peric M. (1999), "Computational Methods for Fluid Dynamics", Springer, 39lp.

41. Fusegi Т., Hyun J.M., Kuwahara K., Farouk B. (1991), "A numerical study of three-dimensional natural convection in a differentially heated cubical enclosure", Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 34, №6, p.1543-1557

42. Hintz P., Schwabe D., Wilke H. (2001), "Convection in a Czochralski crucible Part 1: non-rotating crystal", Journal of Crystal Growth 222, p.343-355

43. Hurle D., Joyce G., Ghassempoory M., Crowley A., Stern E. (1990), "The dynamics of Czochralski growth", J. Crystal Growth 100, p. 11-25

44. Hwang C., Chen K., Lin S. (1995), "On the nonlinear dynamic process in Czochralski crystal growth", J. Crystal Growth, 147, p.390-398

45. Grabner O., Miihe A., Miiller G., Tomzig E., Virbulis J., von Ammon W. (2000), "Analysis of turbulent flow in silicon melts by optical temperature measurement", Mater. Sci. Eng. В 73, p.130-133

46. Grabner O., G. Muller , J. Virbulis , E. Tomzig , W.v. Ammon (2001), "Effects of various magnetic field configurations on temperature distributions in Czochralski silicon melts", Microelectronic Engineering 56, p.83-88

47. Janssen R.J. A, Henkes R.A.W.M., Hoogendoorn С ,J. (1993), "Transition to time-periodicity of a natural convection flow in a 3D differentially heated cavity", Int. J. Heat Mass Transfer., Vol. 36, p.2927-2940

48. Jarvinen J., Nieminen R., Tiihonen T. (1997), "Time-dependent simulation of czochralski silicon crystal growth", Journal of Crystal Growth 180, p.468-476

49. Jones J.E., Cai Z., McCormick S.F., Russell T.F. (1997), "Control-Volume mixed Finite Element methods", NASA Contractor Report 201663, ICASE Report No. 97-16

50. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. (1988), "Direct observation by X-ray radiography of convection of molten silicon in the Czochralski growth method", J. Crystal Growth., Vol. 88, p.365-370

51. Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. (1993), "Ordered structure in non-axisymmetric flow of silicon melt convection", J. Crystal Growth., Vol. 126, p.435-440

52. Kalaev V.V., Evstratov I.Yu., Makarov Yu.N., Smirnov E.M., Zhmakin A.I. (2000), "Numerical modeling of Czochralski silicon crystal growth", ECCOMAS-2000, September 11-14, Barcelona, Spain, CD-ROM Proceeding, N677, 9p.

53. Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Smirnov E.M. (2001), "Modeling of turbulent melt convection during Czochralski bulk crystal growth", TSFP-2, Stockholm, Sweden, June 27-29, Proceedings, Vol. 3, p. 381-386

54. Kalaev V.V., Zhmakin A.I., Smirnov E.M. (2002a), "Modeling of turbulent melt convection during Czochralski bulk crystal growth", Journal of Turbulence, vol. 3, N 013, http://jot.iop.org/. 12p.

55. Kalaev V.V., Zabelin V.A., Makarov Yu.N. (2002b), "Modeling of oxygen transport and point defect formation during CZ Si growth", Solid State Phenomena 82-84, p.41-49

56. Kalaev V. V., Evstratov I. Yu., Makarov Yu. N. (2003a), "Gas flow effect on global heat transport and melt convection in Czochralski silicon growth", J. Crystal Growth, 249/1-2, p.87-99

57. Kalaev V.V., Lukanin D.P., Zabelin V.A., Makarov Yu.N., Virbulis J., Dornberger E., von Ammon W. (2003c), "Calculation of bulk defects in CZ Si growth: impact of melt turbulent fluctuations", J. Crystal Growth, 250/1-2, p.203-208

58. Kimura Sh., Terashima K. (1997), "A review of measurement of thermophysical properties of silicon melt", Journal of Crystal Growth 180, p.323-333

59. Kinney T. A., Brown R. A. (1993), "Application of turbulence modeling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon", Journal of Crystal Growth 132(3-4), p.551-574

60. Kishida Y., Tanaka M., Esaka H. (1993), "Appearance of a baroclinic wave in Czochralski silicon melt", J. Crystal Growth., Vol. 128,p.75-84

61. Machida N. Suzuki Y., Abe K, Ono N., Kida M„ Shimizu Y. (1998), "The effects of argon gas flow rate and furnace pressure on oxygen concentration in Czochralski-grown silicon crystals", J. Crystal Growth 186, p.362-368

62. Machida N., Hoshikawa K., Shimizu Y. (2000),"The effects of argon gas flow rate and furnace pressure on oxygen concentration in Czochralski silicon single crystals grown in a transverse magnetic field" J. Crystal Growth 210, p.532-540

63. Mihelcic M., Wingerath K., Pirron C. (1984), "Three-dimensional simulation of the Czochralski bulk flow", J. Crystal Growth, Vol. 69. p.473-488

64. Mihelcic M., Wingerath K. (1989), "Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth", J. Crystal Growth, Vol. 97, p.42-49

65. Miyahara S., Kobayashi N., Fujiwara Т., Kubo Т., Fujiwara H. (1990), "Global heat transfer model for Czochralski crystal growth based on diffuse-gray radiation", J. Cryst. Growth 99, p.696

66. Mundrane M., Zebib A. (1994), "Oscillatory buoyant thermocapillary flow", Phys. Fluids, v. 10, p.3294-3305

67. Miiller G. (1988), "Convection and Inhomogenities in Crystal Growth from the Melt", Crystals Vol. 12, Springer, Berlin

68. Miiller G. (1998), "Melt Growth of Semiconductors", Materials Science Forum, Vols. 276-277, p.87-108

69. Miiller G., Ostrogorsky A. (1994), "Convection in Melt Growth", Handbook of Crystal Growth, Vol. 2, North-Holland, Amsterdam, Chapter 13

70. Miiller G., Miihe A., Backofen R., Tomzig E., Ammon W.v. (1999), "Study of Oxygen transport in Cz-growth of silicon" Microelectr. Eng. 1, p.135-142

71. Nikitin N., Polezhaev V. (2001), "Direct simulations and stability analysis of the gravity driven convection in a Czochralski model", Journal of Crystal Growth 230, p.30-39

72. Peric M. (1985), "A Finite-Volume Method for the Prediction of Three-Dimensional Fund Flow in Complex Ducts," PhD Thesis, University of London

73. Rhie, C.M., and Chow, W.L. (1983), "Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation," AIAA Journal, vol. 21, p.1525-1532

74. Takeshita Т., Segawa Т., Glazer J.A., Sano M. (1996), "Thermal turbulence in mercury", Phys. Rev. Lett. 76, p. 1465-1468

75. Tomzig E., Ammon W., Dornberger E., Lambert U., Zulehner W. (1999), "Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals", Microelectronic Engineering., Vol. 45, p.l 13-125

76. Trie E., Betrouni M., Labrosse G. (1998), "Accurate solutions of natural convection flow of air in a differentially heated cubic cavity", In:

77. Computational Fluid Dynamics'98, K.D. Papailiou et al (Eds). John Wiley & Sons, p.979-982

78. Saad Y. (1995), "Iterative Methods for Sparse Linear Systems", PWS, Minnesota

79. Sackinger P., Brown R., Derby J. (1989), "A finite element method for analysis of fluid, heat transfer and free interfaces in Czochralski crystal growth", Int. J. of Numerical Methods in Fluids 9, p.453

80. Seidl A., Muller G., Dornberger E., Tomzig E., Rexer B, Ammon W. (1998), "Turbulent melt convection and its implication on large diameter silicon Czochralski crystal growth", Electrochem. Soc. Proc., Vol. 98-1. p.417-428

81. Scheel H. J. (2000), "Historical aspects of crystal growth technology", Journal of Crystal Growth 211, p. 1 -12

82. Sinno Т., Brown R.A., Ammon W., Dornberger E. (1998)," Point defect dynamics and the oxidation-induced stacking-fault ring in Czochralski-grown silicon crystals", J. Electrochem. Soc. 145-1, p.302-318

83. Smagorinsky J. (1963), "General circulation experiments with the primitive equations", Mon. Weather Rev. 91, p.99

84. Spalart P.R., Allmaras S.R. (1993), "A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows", AIAA Paper 92-0439

85. Spalart P.R. (2000), "Strategies for turbulence modelling and simulations", International Journal of Heat and Fluid Flow 21, p.252-263

86. Verzicco R., Camussi R. (1997), "Transitional regimes of low-Prandtl thermal convection in a cylindrical cell", Phys. Fluids, Vol. 9, No 5, p.1287-1295

87. Virzi A. (1993), "Numerical study of Czochralski silicon full process thermokinetics", Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 1, p.693

88. Vizman D., Grabner O., Miiller G. (2001), "Three-dimensional numerical simulation of thermal convection in an industrial Czochralski melt: comparison to experimental results", Journal of Crystal Growth 233, p.687-698

89. Vizman D., Grabner O., Miiller G. (2002), "3D numerical simulation and experimental investigations of melt flow in an Si Czochralski melt under the influence of a cusp-magnetic field", Journal of Crystal Growth 236, p.545-550

90. Voronkov V.V., Falster R. (1998), "Vacancy-type microdefect formation in Czochralski silicon", J. Cryst. Growth 194, p.76-88

91. Wagner C., Friedrich R. (1997), "Turbulent flow in idealized Czochralski crystal growth configurations", Notes on Num. Fluid Mech., Vieweg., Vol.60, p.367-380

92. Wang C., Zhang H., Wang Т.Н., Ciszek T.F. (2003), "A continuous Czochralski silicon crystal growth system", Journal of Crystal Growth 250, p.209-214

93. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Baros Y., Hibiya T. (1993), "The baroclinic flow instability in rotating silicon melt", J. Crystal Growth., Vol. 128. p.288-292

94. Weidman P.D. (1976), "On the spin-up and spin-down of a rotating fluid. Part 2. Measurements and stability", J- Fluid Mech. 77, p.709-735

95. Wheeler A. A. (1990), "Four test problems for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth", J. Crystal Growth, Vol. 102. p.691-695

96. Wilcox D.C. (1994), "Turbulence Modeling for CFD", DCW Industries, La Canada, CA

97. Wolfshtein M. (1969), "The velocity and temperature distribution in one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient", Int. J. Heat and Mass Transfer 12, p.301-318

98. Zebib A., Homsy G.M., Meiburg E. (1985), "High Marangoni number convection in a square cavity", Phys. Fluids, vol. 28, p.3467-3476

99. Zulehner W. (2000), "Historical overview of silicon crystal pulling development", Material Science and Engineering В., vol. 73, p.7-15