Исследование сильного изгиба слоистого стержня применительное к оценке деформации высокотемпературрного сверхпроводящего кабеля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 г *• л -1

1,1 ,1

2 | ДПР На правах рукописи

РАТРУТРиад Али

ИССЛЕДОВАНИЕ СИЛЬНОГО ИЗГИБА СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОЦЕНКЕ ДЕФОРМАЦИИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО КАБЕЛЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Челябинск - 1998

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор М.А. Ильгамов

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.С. Жернаков

кандидат технических наук, доцент В.Б. Порошин

Ведущая организация: Институт механики Уфимского научного

центра Российской академии наук

Защита состоится г^оссх^я- \ 998 р. в_час на заседании дис-

сертационного совета Д 053.13.01 при Южно-Уральском государственном университете по адресу: 454080, г.Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Южно-Уральского государственного университета

Ваш отзыв в двух экземплярах, скрепленных гербовой печатью, просим направлять по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76, Южно-Уральский государственный университет, ученый совет. Тел. (351-2) 39-91-23.

Автореферат разослан " / " шуилл 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В.М. Кононов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Темпы развития электроэнергетики характеризуются в среднем удвоением и даже утроением выработки электроэнергии за каждые десять лет. Это неизбежно сопровождается соответствующим ростом мощностей электростанций и передаваемых по линиям электропередачи потоков электроэнергии.

Среди новых идей, выдвинутых в последние годы в области технологии передачи электроэнергии, особого внимания заслуживает идея использования явления сверхпроводимости.

В течение нескольких последних десятилетий разрабатывались конструкции низкотемпературных сверхпроводящих кабелей, охлаждаемых жидким гелием при температуре 4°К. Имеется множество проектов и экспериментальных исследований электромагнитных, тепловых и механических свойств таких кабелей.

Исследования и разработки сверхпроводящих кабелей (СПК) резко возросли в связи с получением в последние годы материалов, обладающих свойством сверхпроводимости при температурах жидкого азота 77°К (высокотемпературная сверхпроводимость). Они были вызваны тем, что расходы на передачу энергии по высокотемпературным СПК оцениваются в среднем в 30 раз меньше, чем по низкотемпературным.

Высокотемпературные сверхпроводящие кабели представляют собой сложное инженерное сооружение (рис. 1, 2). В настоящее время исследования их тепловых и электромагнитных свойств ведутся широким фронтом. К сожалению, исследования их механического поведения и прочностных свойств неизвестны. В частности, сверхпроводящий кабель, как всякий кабель, при монтаже и эксплуатации может быть подвержен сильному изгибу. Однако, для сверхпроводящего кабеля имеется достаточно жесткое ограничение на его искривление. Существует максимальная кривизна упругой линии, при превышении которой может наступить механическое повреждение, например, в результате складкообразования наружной оболочки.

Обычно рассматривается сильный изгиб стержня сосредоточенными силами и моментами, в том числе, приложенными к его концам. Такая постановка задачи пригодна для расчетов упругих элементов приборов, некоторых конструктивных элементов машин и аппаратов.

Внешняя оболочка Сверхпроводник Диэлектрик Медная труба

Канал для жидкого азопга

Рис. 1

Внешняя оболочка Вакуумная изоляция

"Возвратная" линия жидкого Ы2

Пространственник

Проводник Связка ^ Опора Рис.2

Особенность сверхпроводящего кабеля состоит в том, что его напряженно-деформированное состояние определяется не только сосредоточенными силами и моментами, приложенными в отдельных точхах пролета и на его концах, но и собственным весом трубок и жидкости, а также влиянием давления и скорости течения жидкого азота, термических и электромагнитных эффектов.

В данной диссертации не рассматриваются термические и электромагнитные эффекты, они порождают значительные силы, действующие г

плоскости поперечного сечения, одинаковые и самоуравновешенные по всей длине кабеля. Поэтому изучение действия этих сил на конструкцию составляет главным образом, предмет плоской теории упругости ( термоупругости, электромагнитоупругости и т.д.).Влияние на изгиб этих сил относительно мало. Принимаются следующие допущения: изгиб происходит в упругой области, при этом упругая линия нерастяжима, поперечное сечение кабеля не деформируется, остается плоским и перпендикулярным к упругой линии, жидкость предполагается идеальной и несжимаемой. Изгиб происходит в одной плоскости и кручение отсутствует. Такая схема может быть применима также для расчетов трубопроводов и шлангов.

Цель работы. Целью работы является:

- построение модели сильного изгиба одиночного высокотемпературного сверхпроводящего кабеля-проводника (рис.1), справедливой для любых углов поворота поперечного сечения.

- разработка приближенной процедуры решения нелинейной задачи при определенных ограничениях на угол поворота.

- проведение параметрического анализа сильного изгиба одиночного проводника.

Научная новизна.

1. Построена модель сильного изгиба стержня, состоящего из концентрических слоев с разными механическими свойствами, с учетом сил веса слоев и протекающей в канале жидкости, а также ее давления и скорости течения. Полученные системы нелинейных уравнений для случаев вертикального и горизонтального начальных положений стержня.

2. Дана классификация задач сильного изгиба в зависимости от преобладающего влияния на изгиб либо граничных условий, либо одновременно с ними силовых факторов, распределенных по пролету кабеля. Рекомендованы методы, которые могут быть применены при решении указанных классов задач.

3. Разработан приближенный метод решения системы нелинейных уравнений основанный на сочетании метода Бобного-Галеркина и разложения в ряды тригонометрических функций. Показаны его преимущества по точности по сравнению с существующими методами применимость для решения более сложных задач с учетом весовых факторов.

4. Аналитические и численно установлена зависимость изгиба, устойчивости, закритичного поведения, соответствующих углов поворота сечения, формы упругой линии, внутренних силовых факторов от внешних сосредоточенных сил и моментов, опорных устройств, соответствующих весов, скорости движения и давления в жидкости в центральном канале.

Достоверность. Область применения приближенного метода решения устанавливается путем сравнения результатов с точными решениями отдельных задач. В частности, приближенные результаты сравниваются с точным решением нелинейной задачи о выпучивании невесомого стержня под действием продольной сжимающей силой.

Практическая ценность. Построенная модель изгиба слоистого стержня и разработанный приближенный метод решения задачи сильного изгиба и полученные при этом результаты представляют собой определенный е.клад в разработку методов расчета, используемых при проектировании сверхпроводящих кабелей. Результаты диссертации могут быть использованы в Энергетическом институте имени Кржижановского (г.Москва), в С. Петербургском физико-техническом институте РАН, Казанском филиале МЭИ, Институте новых материалов (г.Уфа).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах и итоговых научных конференциях Института механики и машиностроения КНЦ РАН (Казань, 1995-1997), Института механики УНЦ РАН (1997), XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1995), II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996), VII Международной Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (Казань, 1997), VII Международном семинаре по физике сегнетоэлектриков (Казань, 1997), Международной конференции Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа и машиностроении (Казань, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит 113 страниц и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 108 наименовании, в том числе 1 таблицу и 16 рисунков.

6

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы и формулируются цели и задачи диссертации.

В первой главе составлен обзор доступной литературы по широкому кругу вопросов сверхпроводящих кабелей. Здесь разбирается комплекс основных проблем, имеющих отношение к теме. Рассматриваются электромагнитные процессы, конструкционные особенности, некоторые технико-экономические проблемы проектирования. Даются оценки дальности передачи и режимов работы СПК. Определяются минимально необходимые исследования круга вопросов, возникающих при проектировании, монтаже и эксплуатации. Рассматриваются термодинамические, гидродинамические процессы и напряженно-деформированное состояние сверхпроводящих кабелей.

В второй главе рассматривается задача по определению жесткости на растяжение-сжатие и на изгиб одиночного и трехфазного высокотемпературных сверхпроводящих кабелей, схемы которых показаны на рис. 1, 2. Наиболее существенным допущением является гипотеза о неизменности поперечного сечения (и взаимного расположения элементов) при растяжении и изгибе кабеля.

В этой главе определяются следующие параметры: - жесткость на растяжение-сжатие проводника, Js- момент инерции всего сечения проводника, Д.- его изгибная жесткость, Е5 приведенный модуль упругости и у приведенный коэффициент Пуассона по всему сечению проводника. Необходимость знания последнего возникает, например, при определении растягивающих сил в проводнике под действием давления в его канале.

Далее принимается, что в случае трехфазного проводника (рис. 2) оси проводников в сечении кабеля являются вершинами равностороннего треугольника. При этом не учитывается относительно малая жесткость нитей (или пленки), стягивающих все три проводника к центральной проволоке, а также опор.

При принятых допущениях центр тяжести всего сечения совпадает с центром тяжести центральной проволоки и с центром внешних оболочек (вакуумной оболочки). Для данного случая определяются: К- жесткость на растяжение-сжатие и JZc - общий момент инерции всего сечения трехфазного кабеля относительно оси г, проходящей через центр тяжести се-

чения. Главное упрощение, достигнутое в силу принятых выше допущений, состоит в том, что жесткость О при изгибе кабеля в любой плоскости остается неизменной.

При рассмотрении изгиба принимаются следующие допущения: изгиб происходит в упругой области, при этом упругая линия нерастяжима, поперечное сечение кабеля не деформируется и остается плоским и перпендикулярным к упругой линии, жидкость идеальная и несжимаемая. Рассматривается изгиб в одной плоскости, кручение отсутствует.

Основная система нелинейных уравнений записывается относительно угла поворота в (угла между касательной к упругой линии и осью X, рис. 3 (а)). В поперечном сечении "сухого" кабеля действуют осевая и перерезывающая силы 7\ф, изгибающий момент М (рис. 3 (Ь)), причем

М = йй91й5

где Б - приведенная изгибная жесткость кабеля, йв/¿Б - местная кривизна, 5 ■ лагранжева координатная линия вдоль упругой линии, Х,У - эйлеровы координаты в плоскости изгиба.

Кроме того, на элемент с18 действуют сила веса йёБ самих трубок и сила (¡Б со стороны жидкости, обусловленная ее удельным весом у,

давлением р, плотностью р, скоростью движения V, углом поворота и кривизной упругой линии (рис. 3, (с), (с!)). Сила со стороны жидкости равна

Q¡=YFS 5П10 + (р0 + рУ2 + ухУ^йв/йБ), (1)

где Е- - площадь поперечного сечения канала.

Проектируя на оси X и У все силы, действующие на элемент ¿Б, и вводя безразмерные параметры (£ - характерная длина) з = 5/1, х = Х/Ь, у = У/Ь,

М1 , 712 СЦ2

т - ——, г =-, о = -——, (2)

£> ГУ О 1 £

гЗ /2 г,и2Р.12

сь3 _ _ ур^

Е э ,£р~ о ' - й ,£г~ п

получаем следующую систему уравнений

ds

(¿COS0+ <7 sin б) + Qf sin 04- £ = О,

ds

(;tsmâ-qcose)-qf cos0-0,

q = d2d/ds2, dx/ds - cosd, dy/ds = sin#

-> \ Y 4-► dY

\ s

X \ в <-

\\dS

n r

dX V

e + dOy,

(a)

M + dM Q + dQT + dT

Qt dS.''

(c)

rF.dS

p + dp

(d)

Рис. 3

Уравнение для определения угла в имеет вид d2d/ds2 - [a-£s-h(s)}sm0+[b + g(s)]cose = O, (4)

где а, Ь - константы, определяемые из граничных условий, g(s), h(s) - интегралы вида

s s

g(s)= ¡qf cos в ds, h(s)= ¡qfsin6ds . (5)

. 0 0 Из последних двух уравнений (3) получаем эйлеровы координаты фиксированной точки упругой линии кабеля, по которым можно определить ее форму

s s

x=fcostfds + c, у = Jsin£Ms + d, (6)

0 0 где end- константы, определяемые из кинематических условий.

Приведенные выше соотношения (1)-(6) справедливы для кабеля, занимающего в ненапряженном состоянии вертикальное положение. Можно обобщить их на случай, когда кабель занимает начальное наклонное положение под произвольным углом Oq от вертикали. При j$01 > 45 ° удобнее пользоваться уравнениями, выведенными при отсчете угла начального наклона от горизонтали. Получена соответствующая система уравнений.

Разрешающее уравнение относительного прогиба W в случае малых углов поворота сечения по сравнению с единицей (x~s, y~w, Э ~ dw/dx « 1) имеет вид

d3w г / \ -\dw

— -[a-ep-ev-(e + er)x\— = -b. (7)

Оно справедливо для вертикально расположенного кабеля.

Линейное уравнение изгиба горизонтально расположенного кабеля имеет вид

о

d w 1 \dw

-[а-ер ~ £V)~T- = ~Ь + [Е + £у)х . (8)

йхг Г -Р

Оно значительно отличается от уравнений (7), которое представляет собой при Ь = 0 уравнение на собственные значения.

При пренебрежении весами трубки и жидкости (е - £у = 0) из

обоих уравнений (7) и (8) следует соотношение между безразмерными параметрами

г + £Р + е„ = я2, (9)

2 /

где Г — / й - безразмерна)! сжимающая сила. Внутреннее давление и движение жидкости, также как и сжимающая сила г, могут приводить к потере устойчивости прямолинейной формы кабеля. Неустойчивость имеет место также для растянутого концевой силой -г кабеля, если 2

Ср + Ег)>Г + Я .

Может быть предложена следующая классификация задач в теории сильного изгиба сверхпроводящего кабеля:

1. Изгиб определяется преимущественно граничными условиями, а влияние на него сил веса кабеля и жидкости, а также внутреннего давления и скорости движения жидкости мало

е/ат ~ег/ат~£р/ат~£и/ат«1,

где ат- наибольшее значение констант а и Ь, фигурирующих в уравнении (4). В этом случае для решения системы нелинейных уравнений можно применять метод малого паралютра, принимая за него £. При этом для сверхпроводящих кабелей отношения £у¡£, £р/£, £ь/е ко"

нечны и меньше единицы. Уравнение первого приближения для (4)

й2в!йз2 -аътв + Ьсо50 = О (10)

отделяется от уравнений (6). Решение его в эллиптических интегралах для многих случаев граничных условий известно (Попов. Теория и расчет гибких упругих стержней, Москва, Наука, 1986).

2. Влияние на изгиб, как граничных условий, так и сил веса, давления и скорости движения жидкости соизмеримо. В этом случае решение может быть получено только численными методами. Если максимальный угол поворота сечения не превышает 2л/3, то приближенное аналитическое решение может быть получено путем сочетания метода Бубнова-Галеркина и разложения сложных тригонометрических функций и их произведений в ряды.

Более подробно остановимся на указанной процедуре решения. Для сравнгния различных приближенных решений с точными рассмотрим изгиб вертикального кабеля с шарнирным закреплением нижнего конца (5 = У) и шарнирным скользящим по вертикали верхним концом (5 = 0) без учета собственных весов, внутреннего давления и скорости движения жидкости, когда (/*- осевая сила, приложенная к верхнему концу, рис. 4) а--г, Ь=0, Е=еу =ер=£1)=0.

Точное решение уравнения

й2в/йз2 +г$,тв=0. (11)

описывается с помощью полных эллиптических интегралов первого и второго рода. Приближенные значения прогиба середины пролета (з = / / 2) и опускание верхнего конца (¿=0) определяются формулами Мизеса-Койтера

2 /2

где к, = л О / Ь - критическая сила.

На рис. 5 и на рис. 6 приведены также результаты, рассчитанные по формулам (12). Можно сделать вывод, что формулы (12) удовлетворительны до относительных прогибов, составляющих величину 0.3, и до относительного осевого перемещения конца - 0.4.

20

0.0

I I I | 7 Г Г !" Г I I I I | » I 1 I I ГТЧ I | 1 I Г"1

0.2

0.4 Рис.5

0-6 = 0.5)

Х(5=0)

Рис. 6

Переходя к полной системе уравнений (4), (5), (6) необходимо отметить, что она не имеет решения в замкнутой форме. Поэтому можно попытаться искать приближенные решения путем сочетания метода Бубнова-Галеркина и представление членов уравнения изгиба с использованием разложений

ыв = в-±в3+-^в5-...,со = ..... (13)

Прежде чем применить эту процедуру к системе уравнений (4), (6), испытаем ее на уравнении (11) и сравним с точными и приближенными решениями (12). В качестве аппроксимирующей функции в задаче, показанной на рис. 4, примем

в = 0осо$яз . (14)

Производя интегрирование (11) по методу Бубнова-Галеркина с учетом (14), имеем

где 1 ¡{Од) - функция Бесселя первого порядка. На рис.4 цифрой 2 указано решенле (15). Оно близко к точному (кривая 1) даже при значительных углах Од поворота сечения 5 = 0.

Теперь проведем интегрирование того же уравнения (11) по методу Бубнопа-Галеркина с привлечением выражения (14) и разложения Бт в в степенной ряд по (13). С сохранением трех членов разложения в (13) находим

тг2 в2 й4

г 8 192 '

Соотношение (16) совпадает в точности с (15), если в последнем взять первые три члена разложения функции Бесселя На рис. 4

приведены кривые, соответствующие соотношению (16) (кривая 3), а также при сохранении в нем только первых двух членов в правой части (кривая 4).

Из графика видно, что решение (16) удовлетворительно до углов поворота сечения 9о —110-120^, а то же решение (16) с двумя членами

разложения в правой части- до в0 - 70 - 80°. Таким образом, решение (16) удовлетворительно при значениях г -15 -20, когда прогиб достигает своих наибольших значений (около 0.4). Также могут быть рассчитаны опускание верхнего конца кабеля и его максимальный прогиб

т = (17,

Результаты расчетов приведены на рис. 4-6. Из них следует, что предлагаемое решение не уступает по точности известным приближенным решениям, а по некоторым параметрам - намного превосходит их. Поэтому в более сложных задачах вполне оправдано применение изложенной процедуры решения.

В той же главе рассматривается задача о продольном изгибе вертикального кабеля. Отличие новой задачи состоит в том, что теперь учитывается влияние собственного веса кабеля, а также давления и скорости движения жидкости в канале.

В общем, виде эта задача весьма сложна. Поэтому будем ограничиваться рассмотрением случаев, когда максимальный угол поворота сечения достигает порядка единицы (0-1).

При этих ограничениях, уравнению (4) можно придать вид

£

+

О

2 0-

йэ 0 I

^Егв + {£р+£и + Егх)^£^5- (18)

О

Характерно, что влияние давления и скорости жидкости сказывается суммарно (в (18) фигурирует сумма £р + £и ).

В данной задаче для угла поворота сечения принимаем функцию

¿^Я/Соэда + ^соз^лз. (19)

Такая функция является удовлетворительной в случае относительно короткого пролета кабеля (£, еу не сильно превосходят величины 10),

когда имеет место глобальное выпучивание. Для длинного пролета кабеля или труб под преобладающим действием их веса характерна локальная потеря устойчивости с образованием коротких волн в нижней сжатой части кабеля. В этом случае подход должен быть несколько изменен. В (19) второй член учитывает несимметричность формы изгиба относительно сере-

15

дины пролета, обусловленной действием собственного веса всего кабеля. В дальнейшем принимается ~ 0].

После интегрирования (18) по методу Бубнова-Галеркина с учетом (19) имеем следующие алгебраические уравнения относительно 0/, в2

в31[2г + {1 + 5/Згс2)£+(1 + 5/ж2)£у+10{£р + £и)) + +/69,Ы2 - Г - (1/2 - IIп2 ) (£ + £г ) -(£р + *„ )) + +(64/9 л2 )в2(5е + ег) = 0, (20)

в3, (4¡£ + 56£г)-225в,(£ + £г)~ -225Ы/2)2 в 2 (8 л2-2г-£-£г/2-£р-£и) = 0. При £=0, £у=0 система (18) распадается на два независимых уравнения. При этом линейное уравнение относительно в1 дает соотношение (9) для критического значения параметров при симметричной форме потери устойчивости. Из последнего уравнения (20) следует критическая комбинация для несимметричной формы

2г + £р+Еи=8т12.

Численное решение системы нелинейных уравнений (20) приведено на рис. 7 (для в,) и на рис. 8 (для в 2), где указаны значения параметров £, £у, £р+£и. Кривая 1 на рис. 7 соответствует кривой 4 на рис. 4. Это

следует из того, что решение уравнения (4) проводится с сохранением в разложениях (13) двух первых членов при £=£у = 0, £р + £и = 0. Поэтому

привгденное решение справедливо в пределах 0 < в, < 70°, а при дальнейшем увеличении угла в, оно все более отклоняется от точного решения, .<ак это видно из рис. 7.

При относительных весах £~1, £у~1 (кривые 2 и 3 на рис. 7) решение мало отличается от случая невесомого кабеля. С увеличением относительного веса одни и те же углы поворота в1 образуются при меньших значениях концевой сжимаемой силы г (кривая 4). При £~10, £у~10

(кривая 5) изогнутое состояние равновесия кабеля возможно только при растягивающей концевой силе (отрицательное значение г).

10

0

-10

Рис.7

г

20

10

0

-10

-10 -5 0 5 в7

Рис. 8

Таким образом, выпучивание происходит при растянутой верхней части кабеля (за счет растягивающей концевой силы) и при сжатой нижней части (за счет веса кабеля). Что касается влияния параметра £р+£0,

то при его значениях порядка единицы решение также мало отличается от случая £р + £1) = 0. С увеличением значения этого параметра растут и углы поворота сечения кабеля.

1 -е = 0; ег=0; ер + £„=0

2-е = 0.5\ ег =*0;ер+£„=0

3-е = 0.5\ £, -=0.1; £р + £„ =0.2 * /1

---—--

4-е = 5; ег =0;ер + Ес=0 / 5

5-Е = 15; Ег=10\£р+е„=0

-----~~ ^

0 20 40 60 80 100 120 в,

21

4/

/ 3 1

5 \

у' 1 -£ = 0\£ = 0;£р+£1,=0

/ 2-£-0.5 £г=0;£р+£а=0

/ 3-£ = 0.5 £г=0.1;£р + £„=0.2

4 -£ = 5\£г=0 \£р+£1,=0

5 - £ = 15 ; ег = 10 ; £р + £„ = 0

Из сравнения кривых на рис. 7 и 8 видно, что принятая выше оценка \Э2 ~ д] является справедливой. Ввиду того, что в2<0, несимметричная составляющая в (19) уменьшает углы поворота сечения у верхнего конца (при 5 = 0 ) и увеличивает у нижнего конца (при 3 = 1).

г

20

10

О

-10

0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 у($ = 05)

Рис. 9

По аналогии с рис. 7 и 8 на рис. 9 и 10 приводятся зависимости параметров нагрузки г, прогиба середины кабеля у(з — 0.5) и опускания его верхнего конца х(з = 0). В отношении влияния на решение параметров £, £у, £р+ £и справедливы утверждения, приведенные выше. Это вытекает из того, что основным членом, описывающим сильный изгиб, является функция 6] СОЭЛУ.

Прогиб в середине пролета определяется формулой

Так как в2 <0, то учет второго члена в (19) приводит к уменьшению у(0.5) по сравнению со случаем невесомого кабеля.

1 -£ = 0;£г=0-,£р + £1,=0 г2

2-£ = 0.5; £г = 0 ; £р+£„ =0

3 —£• = 0.5; £г = 0.1; £р + £и = 0.2 1 __

4-е = 5\ ег=0\ ер + еи=0

5-е = 15\ег=10 \£р + £ь=0 /5

Рис. 10

Формы упругой линии показаны на рис. 11. Так как решение при

в >70 — 80° начинает отклоняться от точного, то изображенная форма

кабеля для в = 120° представляет собой лишь качественную картину выпучивания.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 У

Рассматривается также изгиб горизонтального сверхпроводящего кабеля длиной £ защемленного в двух опорах с возможностью перемещения н осевом направлении (Рис. 12). Через кабель протекает жидкость удельным весом у под давлением рд и со скоростью V. Давление рд поддерживается на уровне опорных устройств. К середине пролета прикладывается статическая сосредоточенная сила Р, под действием которой происходит подъем пролета.

Величина горизонтального смещения в опоре зависит от внешней силы Р, от жесткости опорного устройства В и определяется в процессе решения.

До приложения внешней силы кабель деформирован под действием собственного веса и веса содержащейся в нем жидкости, провисает между двумя опорами, т.е. прогибы направлены в сторону положительной оси У (Рис. 12). После приложения внешней силы и по мере ее увеличения положение кабеля приближается к горизонтальному и затем прогибы принимают отрицательные значения. Принимаем, что в сечениях 5 = 0,1 осевая сила на концевое сечение со стороны жидкости отсутствует.

Рис. 12

Введем обозначения:

t(0) =

T(0)L2 D

Р-

BL D '

где 7(0) - осевая сила на кабель со стороны опорного устройства в сечениях S = 0,1. Принимаем, что Т(0) = BXq, где Xq - смещение конца кабеля. В данной задаче разрешающее уравнение имеет вид

й2е йв2

- [а - Л($)]зт в + [Ь - гз + ^^акб» = 0, (22)

причем в интегралах (5) /1(5) и ¿(я) функция

qf = -£у СО50 + (б-р + Еу + ЕуУ^йв/йз).

Граничными условиями задачи являются

9 = 0, у = 0, * = *(0), (5 = 0,/).

Найдено решение в двухчленном приближении разложений (13). В частности, горизонтальное смещение кабеля в опорах и наибольший прогиб равны

( л2\

в2

^т-у

_П= _во

5 - о У шах ~ 21 Л

1-

%

(23)

где приближенное значение максимального угла поворота равно (при

ер=Е„=0,Р = 0)

в0 =

6пс

\2е*-е-£г}

1-

1 | ^е-е-е^

/2 л-0

(24)

Численные значения продольной силы, эйлеровых координат упругой линии, максимальных значений прогиба, осевого перемещения концов

(23) и т. д. определяются по приближенному выражению (24) при задан*

ных значениях безразмерных параметров £ , £, £р, £у, р. Основные результаты и выводы

1. Составлен обзор доступной литературы по низкотемпературным и высокотемпературным сверхпроводящим кабелям с целью использования этих данных в дальнейшем для постановок задач в механике сверхпроводящих кабелей. Приводятся сведения об их конструкции, размерах, применяемых материалах, свойствах криогенной жидкости, режимах функционирования, действующих силах, технико-экономических показателях и т.д. Сделан вывод, что изгиб сверхпроводящего кабеля приближенно может быть описан с использованием известных допущений при рассмотрении изгиба тонких стержней.

2. Построена модель сильного изгиба стержня, состоящего из концентрических слоев с разными механическими свойствами, основанная на

допущении о нерастяжимости его упругой линии и неизменности поперечного сечения. При этом учтены силы веса слоев и протекающей в канале жидкости, а также ее давления и скорости течения.

3. Получено система нелинейных уравнений сильного изгиба для случаев вертикального и горизонтального начальных положений кабеля относительно угла поворота поперечного сечения, на величину которого предварительно не накладываются какие-либо ограничения.

4. Дана классификация задач сильного изгиба в зависимости от преобладающего влияния на изгиб либо граничных условий, либо одновременно с ними силовых факторов, распределенных по пролету кабеля. Рекомендованы методы, которые могут быть применены при решении указанных классов задач.

5. Разработана процедура решения, сочетающая метод Бубнова-Галеркина и разложения сложных тригонометрических функций в степенные ряды, аргументами в которых служат искомые углы поворота сечения. Результаты этого метода сравниваются с решением нелинейной задачи о выпучивании стержня продольной сжимающей силой, допускающей точное решение. Показана удовлетворительная точность решения задачи с

помощью указанного метода вплоть до углов поворота 70 — 80°, если

применяются двухчленные разложения, и до 120", если применяются трехчленные разложения.

6. Развитый метод применен для решения более сложных задач о за-критическом поведении и силовом изгибе кабеля. В них учитывается действие сжимающей (растягивающей) концевой силы, собственных весов кабеля и жидкости, а также давления и потока жидкости в канале. Ввиду сложности этих задач решение ограничивается максимальными углами

поворота сечения до 60 — 70".

7. Дан параметрический анализ изгиба кабеля в зависимости от собственных весов, комбинации внутреннего давления и скорости потока жидкости, концевой сжимающей или растягивающей силы.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 .Ильгамов М.А., Ратрут P.A. Жесткостные характеристики сверхпроводящих кабелей //Труды 17-ой Международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1996. С.124-129.

2.Ратрут Р.А. Сильный изгиб сверхпроводящего кабеля. //Тезисы докладов II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань, 1996, с. 19.

3.Ратрут Р.А. Послекритическое поведение сверхпроводящего кабеля. //Тезисы докладов VII Международной Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 1997, с. 157.

4.Ratrout R.A. Elastic properties of high temperature superconducting cable. // VII International seminar on ferroelastic physics , Kazan, 1997, p.l 1.

5.Ильгамов M.A, Ратрут Р.А. Уравнения сильного изгиба одиночного кабеля. Начальное положение - вертикальное. //Международная конференция модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа и машиностроении. Казань, 1997, с. 195-200.

6.Ilgamov М.А., Ratrourt R.A. Large deflection of superconducting cable //Int. J. of Nonlinear Mechanics (в печати).