Магнитоупругая устойчивость токонесущих стержней, пластин и цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ргб о»

- 8 МА» ®

и ч и и исюиъг^изь (•ъивГ'вта

РЫи^р^ лршЦтЬрп^

чцаирзиъ <<ЦР6Ъ рцчоизь

эдииъеивип этьг-р, итьгь ьч «ииьизьь яцаиъиьы^ ттгишшиэчичиь чиашътвзгт.е

иши!шж)[)шшр;я1Бр 01 02.04 ^Ь^прйшдЦлп иф&п аи1П<3(1[1 вЬ|!зшО;;!|Ш

|>|<ш-йш^ьйл1>л|1!4ш1(1и& чяЬ'Лпп!» ^ртшцшб шцтрбшЬр

ЬшщашЬ шлЬйш^лтг.'.р;^

иьпиичсг

ЬРЬЧЦЪ 1995р.

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ

Ил кравах рукояпса

КАЗАРЯН ПАРЕН 6ДГРАТ0ВМЧ

МЛГИНТОУПРУГАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОКОНЕСУЩИХ СТЕРЖНЕЙ, ПЛАСТУН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

С * в * я ■ л т к - 01.02.04 - Маммнмд твердого д*^юрнерг«п1ого тал:

АВТОРЕФЕРАТ

двесвртАцяя на совскднм« ст»е*пз дакжм

ф4э*№>-м*т«матаческях наук

ЕРЕВАН 1995г.

Работа выполнена в Институте механики HAH РА

Официальные оппоненты: -- академик HAH РА АМБАРЦУМЯН С .А.

_ — доктор физико-математических наук, профессор КИСЕЛЕВ М.И. -- доктор физико-математических наук, ГРИГОРЯН Э.Х.

Ведущая организация: -- Институт прикладных проблем механики и математики HAH Украины (г. Львов).

-Г У/—

Защита диссертации состоится " мая 1995г. в — часов на заседании специализированного Совета Д 005.23*01 при Институте механики HAH РА по адресу:. Ереван, пр. Баграмяна 246.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики HAH РА. ✓ *

Автореферат разослан —vtz- апреля 1995г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор технических наук, профессор КИРАКОСЯН P.M..

Оо.цая характеристика работы

Актуальность проблемы. Проблемы p^yaioiVniBoc. и токонесущих констру ;ций, обусловленном взаимодеисчпием электрического тока с cock, -ценным магнитным полем, с внешними магнитным» полями являвтея новыми в области механики твердого деформируемого тела. Эти исследования,являющиеся частью научного направления -теории члес. роупругости, получили отдельное развитие в силу широкого использования токонесущих элементов конструкций в •"овремекной технике. Упругие тонкостенные конструкции с транспортным током применяются, в частности, в магнитах, создающих сильные мап./тлые поля, в устройствах типа "Токамчк", в транспортных устройствах на магнитной подушке, в магнитогидродинамических генераторах прямого преобразования теплочой энергии в рлектрическув, в приборах измерителей злектрома! «итных полей и т.д.

Обзор состояния проблемы.

Теоретические исследования,относящиеся к токонесущим упругим конструкциям в основном относятся ■ к модельным зада'^м конструкции типа тонких с-ержней, пластин и оболочек. В обзоре диссертации отражены в работы тесно связанные с проблемами устойчивости 'токонесущих те::. Различные проблемы общей теории зле ■•.■[•ромагни'гоунругости освещены в' обзорах: С. А. Амбарцумян 'Некоторые проблемы электромагнитоупругости' (Механика, ЕГУ, в.7,1989); Кудрявцев Б. А , Партон В.З. ' Магнитотермоупругость' "ВИНИТИ, Итоги науки и техники. 1381); (ВИНИТИ, Итоги науки и техники, 1981); AmbarIsumian S. A.'Magnetoelasticity of Thin Plai.es and Chel 1 ' С Appl Kech. Rev 198ñ); Moon F. 'Problems in Magneto Solid Mechanics' (Mech. Today, 5 , 1982). Ряд опубликованных за последнее время монографий Амбарцумян С. А, Багдасарян т.е., Белубекян М.В. 'Магнитоупругость тонких оболочек и пластин'(197:); Бчликирев М. К , Гияинский И. А. 'Волны в пьезокристаллах' (198?); Бурак Я.И. , Чекурин В.Ф.'Физико-механические поля в полупроводниках'(1987); Гринченко В.Т..Улитко А.Ф, Шульга H.A. 'Электроупругость'

(1989); Гузь А.Н., Махорт Ф. Г. 'Акустоэлектромагнитоупругость'

(1990); Короткина М. Р. ' Электромагнитоупругость' ■ С1988);

Подстригач Я.С., Бурак Я.И..Кондрат В.Ф.,'МагнитотермоупругосТь электропроводных тел' (1982); Саркисян .В. С. .Саркисян С. 0. ' Асимптотические методы в Механике твердого тел?'( на армянском яз.1989); Н.А. Шульга, Болкисев A.M. "" 'Колебания пьезоэлектрических тел' (1990) были посвящены установлению и развитию различных физических и математических моделей взаимодействия деформируемого тела с электромагнитными, температурными полями; новым прикладным аспектам механики связанных полей, решение различного класса задач, имегщих научнув и практическую значимость. •

К первому исследованию по устойчивости токонесущего тела следует отнести работу Леонтовича М. А. , Иафранова В. Д. , где на Примере гибкого стержня,без учета изгибной жесткости, показана возможность потери устойчивости. В работах Долбина Н. И.,Морозова А. И. для упругого стержня с поверхностным током получены зависимости фаз'овой скорости длинноволновых изгибных воОлн от плотности тока. Получены критические значения силы тока, превышение которых приводит к неустойчивости. Для конечно проводящего стержня ChatLopadhyay S. Moon F. теоретически' и экспериментально показали, "что стержень , с током может быть1 неустойчивым. *

A. A.F. \yar> de-Ven исследовал на устойчивость упругое кольцо с током. Показано,что кольцо является устойчивым относительно возмущений в его плоскости.' ; ,

P. Wolfe изучил равновесные нелинейные состояния токонесущей упругой нити во внешнем продольном магнитном поле. Ток в нити предполагался малым. На основе нелинейных уравнений статики упругой нити получены нетривиальные равновесные бифуркационные состояния, устойчивость которых изучена. Определены значения силы Ампера, при которых нить является неустойчивой. В работах P.Wolfe, Seidman T.J. на примере гиперупругого токонееуцего стержня, находящегося во внешнем магнитном поле, параллельном току, проведен анализ бифуркационных нелинейных статических состояний. Как ' следствие,! из приведенного анализа получены значения критической силы Ампера, при которых стержень пространственно неустойчив. Результаты этого исследования представляют. собой обобщение задачи, впервые рассмотренной в {18}, на случай: стержня, изготовленного из гиперупругого материала типа Коссера.

К первым работам по устойчивости и колебаниям прямоугольных пластин с током относятся исследования Белубекяна М. В. , в которых 'приводятся постановка, общие уравнения и граничные условия. Выведены основные уравнения статической устойчивости для пластинки бесконечных размеров. Показана возможность потери упругой устойчивости пластинки, обусловленной электромагнитным самовоздейстием. Явление потери устойчивости токонесущей пластинки при относительно сильном токе С сипа тока 4 ка ) обнаружил в лабораторных условиях Moon Г.

Ряд посЛедований посвящен вопросу поведения пластин с током во внешнем магнитном поле. Без учета эффектов самовоздействия Багдасарян Г.Е. , Белубекян М. В. исследовали1 задачу колебаний и устойчивости консольной пластинки-полосы с достаточно слабым током, находящейся -во внешнем поперечном магнитном поле. Получено соответствусщее значение критической . сипы Ампера. Экспериментально потеря •устойчивости такой пластинки наблсдалась Овакимяном Р. Н. и • было ртмечено хорошее согласование данных эксперимента с теоретическими результачами. Лизарев А. Д. провел теоретическое исследование положительно определенной краевой задачи устойчивости пластинки с током, находящейся во внешнем поперечном магнитном поле, при других граничных условиях.

Вопросы устойчивости волн модуляции в нелинейных пластинах, находящихся во внешнем магнитном поле изучены в работах Вагдоева А. Г. .Мовсисяна Л. А.

Исследование устойчивости цилиндрических оболочек с током впервые было проведено Овакимяном P.A. Для. цилиндрической оболочки, по направление образующих которой течет поверхностный электрический ток,. была показана возможность потери упругой устойчивости, обусловленной начальным кольцевым схимаввдш усилием, вызванным собственным магнитным давлением. Для этих оболочек в дальнейшем Агеевым А.Н., Киселевым М. И., Овакимяном Р.Н. было исследовано явление флаттера, устойчивость системы двух коаксиальных оболочек с током. Киселев М. И. в гидродинамическом приближении рассмотрел "распространение1 деформаций и возмущений магнитного поля в сверхпроводящей линии токопровода коаксиальной системы упругих оболочек, охлаждаемых потоками криогенной жидкости.

Нага К., Moon F: рассмотрели вопрос выпучивания соленоидального

иагнита (конечной оболочки), создавшей сильные магнитные поля. Магниты представляет собой систему связанных между собой сверхпроводящих токонесущих упругих колец,. В рамках модели упругих стержней проведено теоретическое исследование и получено критическое значение силы тока, хорошо согласующееся с экспериментам. •

Для тороидальной оболочки, на которую намотана катушка с током. Овакимяном Р. Н. на основе беэмоментной теории оболочек определено напряженно-деформированное состояние. Показано \чествование в оболочке сжимавших усилий, что свидетельствует о возможной потере ее упругой устойчивость.

Эь птриментальное исследование устойчивости сверхг.рсчодящих v:")yntx круговых и тороидальных катушек с током проведено в работах Moon F. , Swanson С.

Г) работах Мольченко Л. В., Григоренко Я М. на основе • ис;енных методов изучено напряженное состояние гибких токонесущих кольцевых 1Ь истин ч цилиндрически,t оболочек, нь' одяшчхся под действием ьнстационарых чагрузок:

К исследованиям'по устойчивости токонесущих тонких тел тесно примыкает работы, отнооящ еся к поведению сверхпроводящих тонки* тел, помещенных во внешнее магнитное поле. При помещении саерхйронодящего те ч во внешь -* ran .ггкое fic-ле в его

прип'черлностном слое возникает экранирую...... токи, создающие

такие магнитные поля, которые складываясь с внешним полем дают нуль в толще сверхпроводника. Вследствие этого на поверхности сверх ,; юдника возникает магнитное давление. Сущее--чокание начального - магнитного .. давления, _ а также возмущенных лектронагчитных нагрузок, обусловленных реформацией уела'," делает схожими процессы поведения с -ерхпроводннла при наложении внешнего магнитного поля с процессами, имеющими место в упругих тел-;х с транс.ю; гны'- ти^ом. 5агдас..рян Г.Е. , МкртчЗГн П. А. исслел-""" поведение све[ <проводящ.ей цилиндрической оболочки в поперечном магнитном попе. Установлена возможность потери устойчивости оболочки. Ими же изучена устойчивость сферических оболочек в стационарном магнитном поле. Багдасарян Г. Е. показал, что при помощи внешнего магнитного поля можно бесконтактно передат! вынужденные- колебания • одной сверхпроводящей пластины к другой, параллельно распололенно» сверхпроводящей .пластинк-. Васильевым Л.Г. дана формулировка

вопроса существования и единственности краевой математической задачи колебаний упругой оболочки со сверхпроводящим покрытием, помеченной во внешнее магнитное поле. Левитин М. Р. рассмотрел малые колебания тонкой сверхпроводящей оболочки з магнитном поле; особое внимание было уделено построение линеаризированных уравнений и оценкам собственных частот.

Обзор работ по устойчивости токонесутт х тонк".х тел приведен в работе [И 1.

Цель и задачи диссертации состоят: в построении • h изучении модельных задач устойчивости токонесущих упругих тел типа стержней, пластин и цилиндрических оболочек, как в магнитном поле протекающих по ним электрических токов, так и в магнитпых полях, создаваемых внешними источниками; в азработке и применении точных, приближенных физических и математических методов решения связанных задач магнитоупругости; в изучении специфики электромагнитных нагрузок, действующих'на токонесущие тела; в расширении класса и положена проблем статический и динамической устойчивости в механике деформируемого тела; выявлению новых эффектов, имеющих место в токонесущих системах.

Научная новизна. Построены нелинейные уравнения •статики и выведены линейные уравнения. устойчивости

пространственно-криволинейных гибких стержней, находящихся под действием электромагнитных нагрузок следящего характера, обусловленных взаимодействием тока стержней с внешним магнитным полем. На ряде конкретных примеров ' установлена бозможность потери упругой устойчивости пространственной формы (первоначальная плоская ось стержня становится кривой двоякой кривизны). Обнаружен эффект хаотических колебаний (странного аттрактора) в закритической стадии натянутой гибкой нити, с переменным током,, находящейся во внешнем параллельном а оку стационарном магнитном поле.

Для пластинки-полосы с объемным током разработан метод определения возмущенных электромагнитных полей, основанный на введении понятия комплексного магнитного поля. В рамках динамических уравнений плоской теории упругости выявлено, .что сверхпроводящий слой с током может быть неустойчив. Показано, что упругий слой, по сверхпроводящим внешним покпытиям которого

течет ток одинаковой силы' и противоположного направления является устойчивым.

Выведены уравнения устойчивости токонесущих оболочек с учета как начального напряженного состояния, так и возмущенног состояния, обусловленного деформацией оболочки. В рамка линейных связанных уравнений для оболочки, по образующи которой течет ток, так и для оболочки с азимутальным токо (соленоид) получены критические значения плотности тока, пр которых имеет место потеря устойчивости. Показано, что оболочк с током, создашдя в своей внутренней области мультипольно магнитное поле Соднородное и дипольное), может быт неустойчивой. Дана постановка математической модел "бессиловой" оболочки с током, когда векторы.начального тока собственного. магнитного поля линейно зависимы, и показан возможность потери ее упругой устойчивости.

Аппробацкя результатов. Материалы диссертации докладывались н следуоцих научных мероприятиях:

—~ Конференция молодых ученых и специалистов Института А Армении (Ереван-1980);

---- Всбсоозные симпозиумы "Теоретические вопросу

магнитоупругости"- (Цахкадзор-1984,Ереван-1989);

----.Всесосзная конференция по механике неонородных структур

(Л^вов-1983); *

---- Польская конференция по механике твердого тела

(Варшава-1984); ' .

---- Региональные конференции "Динамические задачи механик

сплошной среды" С Дивноморск-1988, Геленджик-1990);

---- .Всесоюзное совевдние-семннар ". . Инженерно-физически

проблемы новой техники" (Московская обл. Звенигород,1990)

---- Семинар "Волновые процессы" Института механики АН Армении

под руководством Амбарцумяна С. А.; Белубекяна М.В. ^ (Ереван-1990);

---- Семинар отдела "Физико - механические поля". Институт;

прикладных проблем механики и математики АН Укр.ССР; под руководством Бурака Я. И. (Львов-1990);

--- Обадй семинар Института механики АН Армении под

руководством Агаловяиа Л. А. (Ереван-1991);

мультаты диссертации включались в программы и были ]убликованы в материалах следующих международных мероприятий: ?ждународный конгресс по теоретической и прикладной механике Е>ранция-1988); международный симпозиум "Электромеханические ¡аимодействия в деформируемых твердых телах и структурах" 1пония-1986); международный симпозиум "Механическое >делирование новых электромагнитных материалов" СШвеция-1990); Ьльская конференция по механике твердого тела" Созубник-1990).

'бликации.По теме диссертации опубликована 21 работа.

'руктура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех 1ав, заключения й списка литературы. Общий обьем составляет И стр. , из них 16 стр. введения, 4 стр. заключения, 14 стр. шска литературы из 133 наименований. Имеется 12 рисунков,

таблиц: ,

Содержание работы

____токоиесупшх____стержней

во .внешнем магнитном.поле. параграфе 1 формулируется основные нелинейные уравнения •атики гибких стержней с током,, находягшхея .во внешнем 1гнитном поле неизменного направления. Стержень является [ектропроводным и неферромагнитным; ток в стержне считается [абым, чтег позволяет не учитывать собственное магнитное поле, щуцированное вследствие подвижности твердого тела ектромагкитное поле, а также возможные слабые температурные яя, обусловленные джоулевым теплом, не принимаются во имание. Единственной силой, действующей на стержень, штается сила Ампера. Для описания деформации стержня вводится движная система координат п1 , Т)г ,т)з с ортами , ег, ез стко связанная с поперечными сечениями стержня. Ось т)1 правлена вдоль касательной к осевой линии стержня. В процессе формации вектор электрического тока будучи всегда направлен оль касательной к осевой линии запишется' в виде I =3 в .

. О О I

ндеромоторная сила Ампера Ро=ЛоСе1* В0) будет представлять1

-io-

собой следящую силу, зависящую от вектора ei, положение которого определяется деформацией стержня. Представляя в дальнейшем разложение векто; s индукции магнитного поля по векторам базиса подвижной системы, в проекциях на связанные оси имеем В г В К е..

о от km к

Для проекции силы Ампера полуют

F: j s „В к m,k,s=l,3 (/)

S . о site on ICR

В (}) Хки есть э'»ыенты матрицы поворота М, о предел я еще й деформацию стержня н каждой ее точке, esmk есть символ Леви -Чевичо. Выражение си.и CD вход-.- в. качестве электромагнитной нагрузки в нелинейные уравнения пространственно-криволинейных стержней. Приводятся общие замкнутые уравнения в проекциях на связанные оси, выраженные через неизвестные углы поворота определяющие матрицу М. ,

В параграфе 2 рассмотрена задача устойчивости токонесущего кругового кольца радуса R . Стержень находится во внешнем магнитном поле с вектором индукции Во, 'перпендикулярным к плоскости оси С г) ;т) недеформированного кольца В = - В е

'OI о* х * о о зо

С индекс ноль относится к недеформированному состоянию ). Получены следующие раздельные линеаризированные уравнения устойчивости:

а) плоская деформация

в'"*' в" + J В K'D-'e"= О CP)

3 I О О . I л

б) пространственная деформация

CD + D )о' +D 0 - D в = О (3)

1 г v. у I II

(D + D )в"+ D b''-'d 8 + J BR fl' = О С4)

1 21 Р. г оо у

( Dj есть жесткость кольца при кручении,' , D( - жесткости кольца при изгибе, штрих означает дифференцирование пс центральному углу)

Для критической силы Ампера, соответствующей плоском деформации, имеем следующую формулу

CJ В ).= 3D R С 5)

О О • 3

совпадающую с известным соотношением устойчивости кольца, находящегося под действием следящей нагрузки С .нагрузка после деформации остается ормальной к о-, и кольца ). Для пространственной деформр'.чи имеем соотношение

9D П

(] в ) = —'—2--(б:

° ° ** T.'CiD; + Da) аналогичное соотношен; > задач!; устойчивости плоской формы изгиба кольца, нагруженного радиальной "мертвой" нагрузка i. Для стержней, у г.оторчх значения главный центральных мсиентов созпадают (D = D ), имеем (J B )_> С J В )„ и ,

г з о о * со

следовательно, дня этих стержней имеет место пространственная потеря устойчивости. u частности, ля кольца с круговым поперечным сечением, иь/отовленцрго из меди с параметра; г г= 1.5 мм (радиус поперечного сеч'-ия), ¡?=0.2м. , с током 20ам. (плотность тока j -i. Г "Овам./м2) имее.ч критическое значение инлу-ч.ш, В<((=0.9йтл.

В параграфе 3 изучена стойчивссть токонесущего кольца в окружном магнитном поле. Вектор индукции магнитного поля имеет вид BQ= BQeio. Для рассшатриваегой задачи имеем следующее кри"--ческа., значение для силы Ампера, при -Л'торой имеет место потеря пространственной формы упругой устойчивости

5 =

_ D

СЛ В ) = - V 1 г-3- С7)

00 R3 + D

Для медного кругового стержня с параметрами г= 1.5 10"3м., 0. ?м. , 1 »и силе тока 3 =40 ам. имеем В =1.32 тл. Отметим, что

- о о

для кзадратчого поперечного сечения критическая сила Ампера с болыи >й точностью равна соответствующей силе тока кольца кругог.ого сечения, когда площади поперечных сечений равны. В параграфе 4 исследована устойчивость плоской формы изгиба стержня с т.жом б поперечном магнитном поле. Для консольного стержня прямоугольной вытянутой узкой формы (Ь>>а)- получена соответствующая формула, которая совпадает с известной формулой устойчивости стержня при действии механической распределенной

-м-

нагрузки неизменного направления. Для медного стержня ( параметрами Ь=2см, а-0.2см., 60см. при силе тока бОам. плоская форма изгиба является неустойчивой при значенш индукции В = 1.9 тл .

В параграфе 5'рассмотрен тонкий стержень кругового сечения I прямой осью, по которому течет ток. Стержень находится В1 внешнем магнитном поле с вектором индукции параллельным току. Вывод нелинейных уравнений приводится в неподвижной декартово системе координат'С х, у, z ). Получено следующее уравнени устойчивости

♦ а м- = о се

дх* ° йх

где УСх) есть комплексный прогиб, V = I/ + ¿V-, I) и V есть маль упругие леремещения стержня в двух взаимно перпендикулярнь плоскостях (х,2), Су.г), X. = 47 В.1:*(пЕг*')~1 , ([.-длина

" о о о ' "

г-радиус поперечного, сечения).

Для различных самосопряженных краевых задач получе> трансцендентные уравнения, определявшие собственные числа Хо. В частности, для заделанного и шарнирно-опертого стержн« имеем соответственно

сое2х = совХ сИ^Зх + уЗ ыпХ зк/Зх С!

Для шариирно-опертого стержня с параметрами г = 1.6 Ю'3«., I 0.66 и.. Е- 0.87 10" па. Ииееи следующие критические значен J ш = 80 ам., В = 2.71 тл.

о» — — о» ■ . .

Отметим, что для стержня с приведенными параметрами явлен неустойчивости, обусловленное самовоздействием при отсутств внешнего магнитного ноля , имеет место при ^^ 4000 ам. В параграфе 6. рассмотрена устойчивость аналогичного стер.*н один из . кондов которого является свободным, а др> ч>я кон закреплен (консоль) Показано, что краевая задача устойчивое является иесамосопряхенной, а статический подход Эйле приводит к выводу об устойчивости прямолинейной фор равновесия. В дальнейшем эта- задача рассмотрена на оснс динамического подхода. Построена соответствующая согряхень краевая задача и вопрос определения частоты сведен

>ассмотренив функционала, составленного из функций,

удовлетворяющих граничным условиям-прямой и сопряженной краевых )адач. Из условия стационарности этого функционала определено сритическое значение силы Ампера.

i параграфе 7 рассмотрена устойчивость упругого стержня с током i неоднородном магнитном поле, создаваемом параллельно расположенными на равном расстоянии от ,него жесткими токонесущими стержнями С задача трех стержней). Токи в стержнях гмеют одинаковые направления. В этой системе в начальном состоянии действующая на упругий стержень сила А:.:пера равна 1улю.Если стержень вывести из состояния равновесия, то на него 5удет действовать сила,зависящая от его прогиба. На основе-нелинейных уравнений получены линейные уравнения устойчивости цля стержней с различными параметрами и определены критические ;илы токов.

3 параграфе 8 рассмотрена задача нелинейных хаотических

колебаний токонесуюей нити (струны) во внешнем магнитном поле. Исследована гибкая нить ,по которой 'течет ток Jq. Нить находится в однородном магнитном поле Bq параллельном току, растянута силой Tq и закреплена в неподвижных точках. Получено следующее уравнение нелинейных колебаний нити

И^Н^П'"- " ва ] =« 7

CÍO)

и = 0 ; при s = 0; L

В cío) u=y(s)+Lz(s); ; y(s);z(s)- поперечные перемещения

в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях, ш-линейная плотность материала нити, г) коэффициент конструкционного демпфирования.

В линейном приближении, когда сила тока и магнитное поле постоянны во времени, показано, что нить неустойчива, при JqBo > 2пТд1Г'. Методом разделения, переменных получено также решение линейной задачи.

Далее изучен вопрос возникновения в нити хоотических колебаний в случае, когда ток в нити есть периодическая функция от времени - Jg = Jo> + J^cosut. Аппроксимируя функции u(s, i)

посредством и = An(.l')un(.^.J, где и - 1-ехр ; я) есть

ортогона.- ные функции, удовлетворяющие граничным условиям С п -целые числа) и ограничивая ь одномодовым приближением метода Галеркина, получим следупп'.ую динамическую нелинейную неавтономную диссилативную систему второго порядка С А = X ).

X = X ; X = X - :<■» + ДХ оъ-Cßr) - аХ Ci/)

» г г 1 1 1 1 г

В f/O а, ß, 0, т есть безразмерные параметры. При получении этой системы принято условие JQß0 > 2177^1"1 . что соответствует знаку плюс перед переменной X в правой части второго уравнения. С физической точки зрения это означает, что мы ограничиваемся поиском хаоса в закритической стадии нити. Общая.схема исследования СИ) заключается в следующем. Сначала исследуется невозмущенная система (а=/3=0) на фазовой плоскости С Х,.Хг) . Далее с помощью теоремы о центральном многообразии рассматриваются возмущения, а затем доказывается существование в фазовой плоскости гомоклинической структуры и, как следствие, наличие "странного аттрактора" в притягивающем множестве, что свидетельствует о возможности появления хаотического движения. Для оценки критических параметров -хаоса нолучен критерий, который через физические параметры задачи записывается так

oz о ^ Ol ^

ЛА 4т) у «„. . „ /~гт~

7Г / Г~

ы

- lj g'-

С12) ..

Cn = 1)

При выполнении неравенства С1?) в системе возникают хаотические (непредсказуемые) колебания Пусть нить растянута силой 2.12 н. Сила тока равна 40 ам. , индукция магнитного поля - 1.00 тл. , длина нити - 0.5 м. , т) = 10~и где есть наименьшая собственная частота линейных колебаний нити. Тогда при отношении частот электрического тока и ь>о, равном ш / шо= 0.55, для значений J > 0.19 ам. могут иметь место хаотические

ог .

голебания.

.....

В параграфе 9 дана постановка задачи устойчивости токонесущей пластинки-полосы. Пластинка является проводящей и не обладает пьезоэлектрическими 1! ферромагнитными свойствами. Пластинка находится но внешней среде, свойства которой отождествляются со свойствами вакуума. Вдоль бесконечного размера- пластинки течет равномерно ¡«определенный по толщине стационарный электрическии тон с плотностью ) . Общая постановка задачи устойчивости пластинки идентична постановке задачи устойчивости оболочки.

Поведение пластинки (оболочки) описывается следующими линеаризированными уравнениями : •

1) Уравнения равновесия "

11 Уг ()Г

Ь Си,у,ы) = г<г + 2 ( —* + —у)>бг

' бх бу (О)

- а

а

£ (и,и,и) = Г Г ' бг С

х, у х, у

-а

где. Ь есть обычные операторы уравнений устойчивости пластин (оболочек), для которых справедлива гипотеза-недеформируемых нормалей; и, у есть продольные перемещения, ы - поперечное перемещение срединной поверхности пластинки (оболочки);

, Г есть проекции вектора пондеромоторкой. электромагнитной силы ... >

= 4 [ С1»" + Л"-С]

а 5)

(с- электродинамическая постоянная)

В уравнения С13-14) входят также значения невозмущённой пондеромоторной силы Го= с"'(^о*Но).

2) Уравнения Максвелла относительно начального' магнитного поля

rol н"" = -Д ; div if = о

' о С о

rol rfu = 0 ; div Hu = 0 CÍ6) -

о о

H15' = H"' пр.! y = + a ; Z" — + d

о о ' ' '

где 2a - ширина , 2d - толщина ютинки-полосы. 3) Уравнения ' Максвелла относительно возмущенного . электромагнитного поля во- внутренней' занимаемой пластинкой (оболочкой) области tfsy, и внешних областях tí1 *

rol h's) = ; div h'8> = 0

rol e's> = 0 ; div e'8> = 0

(17)

\ rol h' ' ' = С ; • ..di«hu,= 0

rol ein= 0 ; diu e<u = 0

где связь вектора плотности j^®' с вектором электрическго поля e<s>-нами принимается на основе закона Ома для неподвижных сред j'tB> = 0B<S> (a-коэффициент электропроводимости). Вообще-говоря, • ту связь следует задавать на основе закона Ома для медленно чвихуцихся сред j = а (е+ и «. H ), где и есть вектор упру» их перемещений. Однако, как показано Белубекяном И. В., индуцированное электромагнитное поле, обусловленное подвижностью (скоростью - и) упругого тела для токонесущих пластин является пренебрежимо малыми и его учет не существенен при определении критических параметров неустойчивого состояния. Уравнения С13- Î7) связаны между собой'посредством нелинейных граничных условий на возмуценных поверхностях пластины tf" n Z/e> "

(С + »о" = 0;

ст

где N. - веьтор ьнешнен нормали к возмущенным поверхностям пластинки.

В случае, когда возмущен1' ; ье зависят от координаты х с ось х направлена вдоль беск'-чечнегс раги<-.ра пластинки), на основе метода- комплексного лредставг.ения возмущенное магнитное пог -определяется■следующим образом

Н = Н + I К = 0 ; е = С

¿1 гГ + + 2) с; - у) +, на - ¿) 1

п = - И -—-----—---:-1 ыс?)с1;

с Д.. с; - у)г+ Cd г2)г С? - у)2+.(^ -г)г J

ГСайдены также- решения краевой ¿зада .и €151 для ; обственного магнитного поля Но и начальное магните упругое усилие 7 , обусловленное взаимодействием ч'ока пластин!--' с магнитным полем. На основе (19) уравнение устойчивости пластинки-полосы име-'зт вид

с!4 и

17"

- *

Г ФС? -уж?«? - яыСу) -26 Гт — 1

Чу

= с

ФС?) ='Д-Ча С1- 4йаГг5 -г^С^Мб2)-1 ;

сго^

То = 21п2 -П+уПпП+у4* - С1гу)1пС1+у) ■

X =6^ а*С1 - 1>г}£~'сГгс~2 ; Су ч у / а ; ы ч и / а)

В Г^ЭД) 5 = <2/а есть отношение толщины пластинки к ширине, Е -модуль упругости, V - коэффициент Пуассона.

В параграфе- 10 • на ■ основе уравнения С20) для шарнирно-опертой пластинки с помощю метода Галеркина получены значения критической плотности электрического тока, при которых пластинка-полоса теряет устойчивость. В частности, для медной

пластинки толщины 2й = 0.2 см при б = 0.01, <5 = 0.005 имеем ,/ов= 3.9 ка/смг; ]оЩ= 158.1 а/смг. Дана оценка погрешности известной модели пластинки бесконечного размера. Показано, что для широкого класса тонких пластин учет .начального усилия То является несущественным.

В параграфах 11, 12' исследована устойчивость токонесущих пластин-полос во внешнем магнитном поле, вектор которого перпендикулярен срединным плоскостям пластин. .Ток в пластине считается достаточно слабым, что позволяет не учитывать эффекты самовоздействия, исследованные 'в предыдущей задаче. Единственной, силой действующей на пластинку, является сила Ампера, представляющая собой силу взаимодействия внешнего магнитного.поля с током пластинки. Рассмотрены две конкретные задачи: устойчивость однородной пластинки, торцы которой неподвижны в своей плоскости; устойчивость кусочно-однородной пластинки,один из торцов которой свободен в тангенциальном ноправлении. На основе вариационных .принципов, справедливость которых показывается, определены минимальные собственные числа, соответствующих самосопряженных краевых задач, с помощью которых определяются критические значения силы Ампера. В частности, для однородной пластинки толщины 26=0.02см'. с током ] = .2.1ка/сиг критические значения внешнего магнитного поля равны. Ио= _ 2:8тл. , . Но=0.96тл.; . при 2а=7см. ,2а=10см. соотвественно.

Отметим, что при обычных условиях теплообмена -температура дхоулёва нагрева этой пластинки не превышает 100°С. В параграфе 13 рассмотрена задача устойчивости упругого слоя, материал которого является сверхпроводником первого рода. Вдоль слоя течет электрический ток силы 3 . В рамках динамических уравнений плоской теории упругости исследовано распространение монохроматических магнитоупругих волн в- бесконечном слое. Начальное распределение тока и собственного магнитног» поля дано на основе уравнений Лондонов, являющихся обобщением .уравнений Максвелла для сверхпроводников первого рода.

4 я j

rot Н = —-S- ; diu Н = О

о С о

ген j = - - Н ; $ j ds = J

4пкг у °

где X - лондоновская глубина проникновения С X =10"* см. ) IIa Сследует', что как ток, т;зк и магнитное поле распределены в тонких приповерхностных слоях толщины X у внешних поверхностей слоя. В дальнейшем принимается ,что магнитное поле полностью не проникает в толщу сверхпроводника. Вследствие взаимодействия тока й магнитного поля в слое возникает начальное магнитоупругое напряжение о^ = - WV 8я, где я = - 2nj /с\ индекс (3) относится к направлению, характеризующему толщину слоя.

Динамические уравнения слоя с учетом начального напряжения принимаются в виде ( ток течет вдоль оси х )

Hz 6* и

(j ft u + О. * ¡j) grad'div u - -2— - = p u С23)

8л 6xz.

3

u = f и (x , x ); и С x , х-• ) ]

? 2 3 3 2 3

со следующими граничными условиями С для плоской задачи ). ог + a _г = г* е) ; or + ff —2.=r<e>;x=id

23 ОЗ <5x , 23 33 ОЗ öx 33 3

3 3

Cx, ¡j есть постоянные Ламе, компоненты тензора Максвелла

внешней среды окружающей, слой - вакуум). Компоненты тензора Максвелла имеют вид

f f = С Н К + И h - 6 LHh ) / 4л

1k oi к ok х ik

Вектор h определяется из уравнений Максвелла для внешней среды. Уравнения (¿31, с?4) связаны посредством следующего нелинейного граничного условия С. условия непроникания магнитного поля в толщу сверхпроводника).

С Н + h ) N = О ; х = + d

где" К есть вектор внешней нормали к деформированным поверхностям слоя.

Линеаризированное граничное условие имеет вид

би

h = ±Н —; х = t d 3 ° бх

а

Представляя перемещения и и • магнитное поле h" в Еиде неоднородк ift монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси хг, получен» дисперсионные уравнения относительно фазовой скорости магнитоупругой волны.

Анализ полученных уравнений показал, что изгибные (антисимметричные 7 волны могут быть неустойчивы в зависимости от значения силы сверхтока. Для симметричных волн показано, что магнитное поле почти не влияет на скорость волны. Для отношения критических напряженностей • магнитных полей, создаваемых сверхпроводником и обычным проводником, при которых имеет место потеря упругой устойчивости, получена следующая формула CL - длина пластинки)

•= 1.21 v£dF\ ' (¿б)

«о.

Из с25) следует, что сверхпроводящая пластинка с током является более устойчивой, чем аналогичная конечно-проводящая пластинка.

В параграфе 14 исследована задача распространения волн в упругом слое, выевшие поверхности ,которого покрыты тонким сверхпроводящим материалом. Считается, ' что -тонкие сверхпроводящие покрытия не влияют на упругие свойства слоя. По внешним покрьггияи течет равный по силе и противоположный по направленно электрический ток. - Рассматрива ли слой можно трактовать как математическую модель сверхпроводящего плоско-параллельного. кабеля сверхтока. Исходя из результатов „предыдущего параграфа, на ochobp рет^щ-, vn,мнений Лондонов

_________ __________— -

следует, что сверхпроводящие покрытия генерируют вокруг себя магнитные поля, которые складываются в материале слоя -и вычитываются вне слоя. В области слоя имеем однородное магнитное поле, перпендикулярное направление тока, •интенсивность которого равна Н = 4яJoc~'. Для плоской задачи получены соответствующие дисперсионные уравнения симметричного и антисимметричного типов колебаний, определяющих фазовую скорость магнитоупругих волн. (Для изглбных (антисимметричных} волн показано, что магнитное поле Сток) приводит к увеличению частоты колебаний, то есть, что рассматриваемый слой является устойчивым.. Для симметричных волн показано, что магнитное поле почти не влияет- на скорость волны.

____устойчивость токонесуцих . цилиндрических

оболочек.

В параграфе 15 изложены общие уравнения устойчивости члиндрической оболочки кругового сечения, нагруженной силами ■» гктромагнитного происхождения. Приводятся уравнения движения с учетом начального напряженного состояния, в которых присутствуют только произведения упругих начальных напряжений на вектор углов поворота возмущенного состояния. Приводятся уравнения начального невозмущенного состояния при наличии пондеромоторных сил. В рамках гипотезы Кирхгофа-Лява и допущений Муштари - Донелла - Власова получены уравнения устойчивости изотропной оболочки в перемещениях срединной поверхности, в правых частях которых присутствуют электромагнитные нагрузки. Считается, что материал оболочки является проводящим и не обладающим электрическими и магнитными свойствами. Оболочка находится во внешней среде, свойства которой отождествляются со свойствами вакууиа. Постановка задачи определения начальных и возмущенных электромагнитных полей, сил аналогична постановке задачи токонесущей пластинки ( см. уравнения <5-18 ). 3 параграфе 16 рассмотрена цилиндрическая ЙЗоЛочка, по которой здопь образующих течет равномерно распределенный по толщине )лектрический ток.

В параграфе 17 рассмотрена * модель магнита, создающего в своей внутренной области продольное однородное магнитное поле. Этим магнитом является цилиндрическая. оболочка, по направлению дуги образующей которой течет электрический ток. Эта конструкция "представляет собой соленоид, изготовленный из целого проводящего'тонкого листа, свернутого в цилиндр. Для рассмотренных в параграфах 16, 17 задач для оболочек бесконечной длины получены • в замкнутой форме уравнения устойчивости, которые для двух случаев протекания тока . формально можно записать в виде одного уравнения

О А* V + - С-1)П --15- - д2),/ = ДгУ .

К2 6а* _сг сг

(27;> '

В уравнении С<Н) индекс п=1 относится к первому случаю, индекс п=2 относится ко второму случаю (соленоиду). Подчеркнутое слагаемое определяет электромагнитное начальное безмоментное. усилие, обусловленное взаимодействием тока оболочки с собственным магнитным полем; выражение в правой части определяет возмущенную электромагнитную нагрузку. Отметим, „что в первом случае начальное усилие является сжимающим, а во втором - растягивающим. '

Вид уравнения С21~) позволяет его' использование с достаточной точностью для оболочек конечной длины.

Для шарнирно-опертых оболочек определены критические значения наряженностек собственного магнитного поля у поверхностей оболочек Ндп= 4л]ос~', при. которых имеет место потеря упругой устойчивости. При различных • соотношениях геометрических параметров для медной оболочки эти данные приведены в таблице 1 (К-радиус, I - длина оболочки).

Табл.1

Я / 1 \ К. / й И Стл) а V И Стл) о г К* "(тл) О Н*г>( тл) О

0.4 ' 500 0.081 0. 093 0.072 0.084

0.8 250 0. 44 0.78 0.28 0.34

0.1 100 0.23 0. 41 0.15 0.19

0.4 100 0.81 1.51 0.65 0.69

В этой таблице в последних двух столбцах приведены результаты следующего параграфа.

В параграфе 18 рассмотрена задача устойчивости токонесущей оболочки, создающей мультипольное магнитное поле. Во многих практических применениях, в частности, в МГД- генераторах или в магнитах, служащих для отклонения пучков электроэаряженных частиц, необходимо, чтобы магнитное поле было перпендикулярно направлению наибольшего размера магнита. , Примером такого магнита может служить цилиндрическая оболочка, по которой вдоль образующих течет равномерно распределенный по толщине электрический ток плотностью = ]оо со$(пф), где а - целое число, ф -(< / К

Для оболочки бесконечной длины решение краевой задачи С16) в рабочей области оболочки С магнита) имеет вид

2л I

Н =-С г""" -гг"п ) г""1 <ип(нф)

аг п) ст

2п}

Н .= -С гг"" -г-п ) гп" СОБСпф)

с (2-Ю

В (РВ) г^ = К 1 с!, (г, ф) есть полярные координаты.

При п = 1 в декартовой системе координат имеем = 0;

Ап] Л:'1 , то есть для данной оболочки во внешней области

' 00

создается однородное магнитное поле, направленное вдоль образующих. При п= 2, когда ток дважды меняет свое направление вдоль дуги цилиндра, имеем квадрииольное магнитное поле того же

-а*-

I г

направления.

В результате взаимодействия тока с собственным магнитным полем в оболочке устанавливается начальное моментное напряженное состояние, характеризируемое усилиями.

8я>2 Rd* , , 3 п -, inj. Rda

Г =- —S2- fg- + -cosZtai>\;N= --sin 2пф

О 2сг ' 4iia—1 J ' ° C4n2-1)

<29)

На основе общей постановки задачи определения возмущенных электромагнитных полей в случае, когда возмущения не зависят от координаты а ( координаты вдоль образующей), с помощью метода комплексного представления двумерного возмущенного магнитного поля решение краевой задачи (17- 18) в области, занимаемой оболочкой 1) € Ü 1' , имеет вид

Zijnn _ expiCfl - 0)*.VC0)»cos(r0) П - ?

/, «. ihr = cJ°° f —:—.—-d? (so)

г

где ? = г ехрССф) ; т) = г ехр (¿0).

Окончательно, для тонкой оболочки с учетом начальных усилий (29) и возмущенных нагрузок, обусловленных полями (50), имеем следующее уравнение устойчивости

0 д. у + - д» (* С052п* - .

Я2 6а* сг I С4пг-1)

fcos2rt^ - 2п 51п2пф — 1} =

I <50г . <50 JJ

(31)

Для шарнирно-опертой оболочки представляя прогиб в виде

00 ,

V = sia (пьаГ* ) J Vok cos

к = о

получим однородную .систему алгебраических уравнений' относительно WQk, бесконечный определитель которого имеет следующий вид

Д = Са-\Ь) 6 ^ - \Cdti + г <5 ' > • СЗЭТ

к к гпк к т-гп, к к я+гп, к

В (Г.32) а^, Ьк, . ск есть безразмерные кооф^ицмеитн.

характеризирувдие геометрические параметры оболочки, X безразмерный коэффициент электромагнитной нагрузки, <5вк символ Кронекера.

Локазана принадлежность данного якобиевого определителя г классу нормальных определителей.

На основе численного итерационного метода определемз минимальные собственные числа Хк, которым соответствует критические значения плотности тока. В последних двух стож&да табл 1 приводятся критические значения однородного магнитного поля * = |"оу |, а также максимальные значения квадрмполыюго магнитного поля //2> = КН )г + (Н )г),/г в рабочей области

о о* оу '

оболочки.

В параграфе 15 рассмотрена задача устойчивости * бессиловой* цилиндрической оболочки с током. Во многих конструкциях с током, используемых на практике для создания магнитных полей, зачастую токонесущие оболочки сконструированы так, чтобы избежать возникающих вследствие взаимодействия тока с собственным магнитным полем начальных электромагнитам нагрузок. В идеальном случае это достигается, когда вектор плотности электрического тока коллинеарен вектору собственного магнитного поля.

"досмотрена цилиндрическая оболочка, г.о которой течет тон С вектором j , коллинеарным вектору собственного магиатного соля Но. В начальном недеформированном состоянии оболочка свободна от электромагнитных сил, так как для нее объемная сила Ампера равна нулю. Из условия коллинеарности следует, что /Су) йа. Выбирая функцию /С)0 в частном виде /Су) = + . ГД® X

есть некоторый безразмерный числовой коз<5фаци®нт пропорциальности, для бесконечной оболочки получены редания для собственного магнитного поля. Физически ресэкия краевой задачи магнитостатики соответствуют случав распределения тока по толщине оболочки, при котором свободная от электромагнит ной начальной нагрузки' оболочка создает вне тела оболочки во внутренней области продольное магнитное поле Ноа, а во виоипсЯ

-Х6-

области азимутальное магнитное поле Н^^.

Коэффициент Хк определяется из -следующего трансцендентного уравнения

48 «Х2-1/4) 1п[С1+.;Г,)С1+£ЙГ,)-,]> = 2 СХг-1/-0'/г (33)

В эсесимметричной постановке решение возмущенной краевой задачи электродинамики а7,18? для данной задачи имеет вид

J ХЛ-иК:.()-г'> Л А. (-3)

ь = --— V ; е„ = - —--

е = М.

г ■ Апакгс1 6 с.

(34)

В СМ) функция ¥(а) есть нормальный прогиб оболочки. Окончательно, и:.<еем следующее осесимматричное уравнение устойчивости оболочки -

О Шч* "о ^ (35)

ба* .К2 2яс!

где Ь = 1 + И = 23 /сИ .

к я(2*+1)

Для шарнирко-0 пергой оболочки длины А имеем следующее минимальное значение критической напряженности магнитноп поля

И2 = Г-1 + 1; (36:

v(.n-z)R' I з(1-уг)^ ;

Таким образом, токонесущая оболочка, свободная в начальном недеформированном состоянии от электромагнитных нагрузок, может быть неустойчивой. В частности, для оболочки, изготовленной из латуни при Я / 2Л= 500, К / £ < 1, имеем Но~ л. 91 тл. 'В параграфе 20 исследуется магнитоупругая устойчив теть дву;;

V

бесконечных токонесущих оболочек, изготовленных из сверхпроводящего материала (сверхпроводник первого рода). Оболочки замкнуты на бесконс .эсти; ток течет вдоль образующей внутренней оболочки и возвращается вдоль образующей виевней оболочки. Оболочки разделены диэлектрическим слоем. Рассматриваемая система оболочек является математической моделью кабеля сверхпроводящего электрического тока. В постановке задачи параграфа 13 на основе .уравнений Лондоков определено начальное распределение магнитного поля в системе;, нн основе модели поверхностных токов определены возмущенные электромагнитные ноля и нагрузки. В рамках гипотезы Кирхгофа-Лява получена следующая связанная система уравнений устойчивости.

ОД* I/ 1' +

т

2Е й

_ <5*|И 1

К2 6а"

апс К*

Л1

гпсг1?

ои бф*

<5г 64?

— ^ ^ =

2£ б г.ь/ г)

О Л* И 21 + —2— ЯЛ-

К2 <5а* <50'

^ Лг <521/:

С 37)

Г

<шсгК*

Л1

<50г

[I/11 - |/г> ] | =0

В С.??) а есть толщина зазора между оболочками, <1 - толщина оболочек, Л - двумерный оператор Лапласа; (а + й ) / К « 1. Решение системы С.??) получено для оболочек, изготовленных из материалов с одинаковыми упругими свойствами, имеющих длину I и шарнирно-опертых по торцам а = 0; I. Анализ полученных результатов позволил сделать вывод, что рассматриваемая упругая коаксиальная .система может быть стабильной по сравнению с коаксиальной системой, внешняя оболочка которой является жесткой. Это обстоятельство физически обьясняется тем, что внешняя упругая оболочка берет на себя часть электромагнитной нагрузки.

Заклсчение

1.Дана постановка проблемы пространственной устойчивости токонесущих стержней во внешнем магнитном поле. Единственной силой, действущей на стержень, считается пондеромоторная следящая сила Ампера, зависящая от деформации стержня и обусловленная -взаимодействием тока с внешним магнитным полем.. Получены нелинейные уравнения статики пространственно криволинейных стержней с учетом следящей силы электромагнитного происхождения.

2.Для прямого стержня с током, находящегося во, внешнем, параллельном току, магнитном поле показана возможность пространственной потери устойчивости и определены критические значения сил Ампера как для самосопряженных крае'вых задач, так и для несамосопряженной краевой задачи консольного ■ стержня.

3. Исследована устойчивость замкнутого кольца с током в магнитном поле перпендикулярном его оси. Получены раздельные линеаризированные уравнения устойчивости плоской деформации С ось стержня остается \плоской кривой) и пространственной деформации С ось стержня становится, кривой двоякой кривизны). Показано, что электромагнитная нагрузка ведет себя как нормальная нагрузка в случае плоЬкой деформации, а в случае пространственной , деформации - как нагрузка неизменного радиального направления. • . - ,

4. Для упругой токонесущей нити, находящейся во внешнем, продольном магнитном поле и растянутой механической силой, рассмотрен вопрос - существования хаотических колебаний.' Ток в стержне рассматривался переменным во времени.' Выведены нелинейные уравнения динамики нити и задача сведена к изучение фазового портрета нелинейной неавтономной детерминистической диссипативной системы второго порядка. Показано, что в закритической стадии нити в • фазовой плоскости возникает "странный аттрактор" и, как следствие, в нити могут появиться хаотические (непредсказуемые) колебания.

5. Исследована задача устойчивости пластинки-полосы в магнитном поле протекающего по ней ' стационарного тока. На основе комплексного представления двумерного возмущенного магнитного пол* определены электромагнитные нагрузки, обусловленные

деформацией пластинки. В рамках гипотезы Киргхофа получено замкнутое интегро-дифференциалькое уравнение относительно нормального прогиба срединной плоскости пластинки. Для шарнирно-опертой пластинки определены значения критической плотности , тока. Дана оценка погрешности известной модели пластинки бесконечных размеров.

6.Без учета эффектов взаимодействия, для* пластин-полос со слабым током, находящихся во внешнем магнитном поле, на основе вариационных методов самосопряженных краевых задач определены критические значения силы Ампера, при которых однородная или кусочно-однородная пластинка теряет устойчивость.

7. Для цилиндрических оболочек с током выведены уравнения устойчивости, как- с учетом начальных электромагнитных нагрузок, обусловленных взаимодействием тока с собственным магнитным полем, так и с учетом возмущенных электромагнитных нагрузок, обусловленных деформацией оболочек.

8. Для цилиндрической оболочки, вдоль образующих которой течет электрический ток, а такге для соленоидальной токонесущей оболочки, в обш,ей постановке получены основные уравнения устойчивости и определены критические значения плотности электрического тока, при которых имеет место потеря упругой устойчивости.

9. Исследована устойчивость момектного состояния ' токонесущей цилиндрической оболочки, создающей в своей внутренней рабочей области (вне материала оболочки) мультипольное магнитное поле -однородное или дипольное.

10. Установлено, что цилиндрическая оболочка с неоднородным током, для которой начальная сила Ампера равна нулю С бессиловая оболочка), может быть неустойчивой вследствие действия возмущенных электромагнитных нагрузок, обусловленных изменением формы ее срединной поверхности.

11. На основе решения динамической задачи плоской теории упругости рассмотрено поведение плоскопараллельного слоя, изготовленного из сверхпроводника первого рода, по которому течет электрический ток. Получены дисперсионные уравнения относительно фазовых" скоростей антисимметричйе|й ■ й симметричной магнитоупругих волн. Установлена возможность асимптотической неустойчивости антисимметричной изгибной волны. Показако, что

сверхпроводящая пластинка с током является более стабильной, чем аналогичная конечно-проводящая пластинка.

12. Установлено, что упругий слой, по внешним сверхпроводящим покрытиям которого течет равный по силе и антипараллельный по направленно электрический ток, является устойчивым.

13. Для коаксиальной системы двух бесконечных сверхпроводящих (первого рода) токонесущих цилиндрических оболочек, представляющей собой модель кабеля сверхтока, выведены уравнения устойчивости и определены границы неустойчивого состояния.

ЛИТЕРАТУРА

1.Казарян К. Б. "Колебания и устойчивость токонесущей цилиндрической. оболочки" - Изв. АН Арм.ССР,Механика., 1974 , 27,

2, с. 40-57.

2.Казарян К. Б. " Об одном подходе к задаче устойчивости токонесущей пластинки-полосы" Из-во АН Арм.ССР, Ереван, 1981,с.147-152.

3. Белубекян М. В.,Казарян К. Б. "Выпучивание цилиндрической оболочки, служащей для транспортировки электрического тока" Сб. Механика, Ереван, Из-во ЕГУ, 1982, 2, с.38-43.

4. Белубекян М. В.Казарян К.Б. " 0 потери устойчивости "токонесущей пластинки-полосы " Сб. Математические методы и

физико-механические поля, Из-во Наукова думка. 1982, 16, • с. 40-44.

5.Белубекян М.В., Григорян Б.В.,Казарян К.Б. "Магнитоупругая устойчивость солёноидальной токонесущей оболочки" Сб. Теоретические вопросы магнитоупрутости , Третий симп., Из-во ЕГУ, Ереван, 1984, с. 36-40.

6.Казарян К. Б. "Об одной задаче устойчивости пластинки-полосы во внешнем магнитном поле" №в.АН Арм.ССР, .Механика., 1984 , 2, 32, с. 26-30.

7.Белубекян М.В..Казарян К.Б. "К задаче устойчивости кусочно однородной токонесущей пластинки во внешнем магнитном поле "Сб. Механика неоднородных структур, Матер.первой всесоюзной

конфер., Киев, 1986, с.3-7.

8.Казарян К. Б. " 0 пространственном выпучивании упругих

стержневых токопроводов во внешнем магнитном поле " Сб. Математические методы и физико-механические поля, Из-во Наукова думка, 1986,23, с. 56-60.

9. Белубекян И. В. , Казарян К. Б. " Распространение волн в токонесуиуч сверхпроводящем упругом слое " , Динам, зад. мех. сплошной среды, Тез докл. региональной конф. , Краснодар, 1988, с 12-13.

10. Казарян К. Б. "Об уравнении магнитоупругой устойчивости цилиндрической. оболочки, служащей для транспортировки электрического тока "Изв. АН Арм.ССР, Механика, 41, 6, 1988, с. 1 -50.

11. Белубекян М. В. .Казарчн К. В. " Магнитоупругая устойчивость гонких тел .служащих для транспортировки электрического тока "Изв. АН Арм.ССР, Механика,42,2,1989, с. 13-21.

12. Галоян В. Ц. .Казарян К. Б. " Динамическое хаотическое поведение гибкого токонесущего стержня в магнитном иоле "Изв.АН А..)м ССР. Механика,42,5,1989, с. 10-16.

13. Казарян К. Б. , Исабекян Н. Г. "Об одной задаче устойчивости токонесущего стержня "Сб.Теоретические вопросы магнитоупругости, Четвертый симп., Из-во ЕГУ, Ереван,1989, с 36-40.

14. Казарян К. Б. "Устойчивость системы двух коаксиальных сверхпроводгдо токонесущих цилиндрических оболочек" Изв. АН Арм.ССР, Механика,42,6,1989, с. 10-15.

15. Исабекян Н. Г.,Казарян КБ. " Об одной неконсервативной задаче магнитоупругой устойчивости стержня с током " Изв.АН Арм.ССР, Механика, 43,2,1990, с. 56-60.

16. Казарян К. Б. " К задаче магнитоупругой устойчивости пластинки полосы с током " Изв. АН Арм.ССР, Механика,43,3,1990, с. 39-47.

17. Казарян К. Б .Казарян Р. А. " Напряженное состояние упругой токонесущей оболочки, создаищей мультипольное магнитное поле " Сб. Инженерные-физические проблемы новой техники , Из-во МГТУ, 1990, <; 181-162.

18.Га/.апап К.В.' " Magnei-oelastic SLabilliy of а Current-carrying Rod in an External Magnetic Field

Engineering Transactions, 33, 3,1985, p. 277-283.

19. Kazarian K.B. " Magnetoelastic Stability of a Current-carrying Cylindrical Shell " In: Y. Yamamoto . and K. Miya ( Editors ) , Electromagnetic Interaction in Deformable Solids and Structures,-Ams. N-Holland, Elsevier Science Publ. 1987. p. 33-37.

20. Kazarian K.B., Kazarian R.A. "Stability of Metal Elastic Shell with a Stationary Azinmthal-periodic Current " In: R.K.T. Hsieh (Editor), Mechanical Modellings of New Electromagnetic Materials, -Ams. N-Holland Elsevier Science publ. 1990, p.337-342

21. Kazarian K.B., GaloianV.Ts. " Chaotic dynamics of a Current carrying Flexible String in a Magnetic Field" In: International journal of Applied Electromagnetics in Materials, 1992, 3, p.93-99

•33-

ШГФПФПИГ

ЧпишОвС U шртшрЬИ ДшцОЬишЬшО f)4i2infi фп[ишчцЬдп1р)ш0р ujuijiliuGu^npiJuiá tibljuipLUiiujCiühuuJIjUJÜ pûnijpfi hbuiUnrj pUhnübpp uiqrjbgmpjujû шш1| qui04nî\ inuipuióuiliwü linpuiopd 6ljmü önribpf) hutiitup итшдЦшд bü umtuuihliuijh nj qdiujfiö huiiJuJuujpniúDbpQ: Up гшрр ЦпОЦрЬьл op|iúiul)ühpnii hfiúOmiinmlmi t шпшйчшЦшй Цш)пШт.р)шй шшршАшЦшО ÛUfi Цпршф hGujpuijnnmpjniGp (ônfi|i GujfcOtuljujO huipp ujnwGgBn цшпОтсЗ t í)p(jüiu!)f> Ijnpmpjruü niObgnrilinp)' UuiujgïinOuip úuiqO'piiuitiujO г>Ш2Ч!П1.й (шртшв(Л qniqtufcbn hnumûpnit] 14шртйш1(пг[) фпфг^ишЦшй hnuuiûgnii ôqùiuû bmljP|imfil*ujtíUjG фп^тй qmDijnq öl^ruG pb;h hiudujp h'jjjcp.ü'.jjpbp/l'j.ií t изшшшйгиййЬрЬ тшрорришц uinpniljmnip

Ц>Ы)1лр: ЧЬОЦЬ[па ljni5uj[bgu'iJwqû|iuujljuJû г)Ш2иф зшпшфшрр übpüniAilujQ Црш |]2ш1(Цшй t ôiinlu>iu>)fib hmmibBml uuji-jtpuih huiüiun opqmituö tiW)inpu)áa>45¡ww!fjdjG 1)Ш2Вф лр.-.гйиЕ

Ылиицшцшши вшт nuten tnb'jntpi!î?0 r^Poíufiíj

итшдфий t, np hmtufOpa'^n qbphuiqnnnji* ¿Ьрод íjujpr.q i ihGüi n¿ IjUijniüSrujg fc 1лрЦшо, np uinuJÓqiuljuiü ¿bpmp, nph wpimuppti qbphmqnpupí AuiâljnijpmJ ÚjGgGniií t ú¡iliOnijQ mdti Ii ЬшЦшпшЦ гиг\г\пф]щй hnuaiGp ЬшйпЬишОтй t ЦШ]П10:

Отри Ьй рЬрфий ИпишйвшЦЬр рш^шйрр Цш|П1йпф|щй.Ьи!Цшишрт.|ЗйЬр[] Ьш2ф unDb[inJ fiD¡ujbu uljqpGiuljujG [iiJpiluJóuijfiü фбш^о, ШJOu|Ьu t[ ршцшОр|1 r)b$npijuighujjnil щццйшрш^прфш) qpqnituià фЙшЦц: Одшфй Цшщш^д^шй huiiluiuuipniúQbpti 2P?ujDuil|Obpniú liûyubu uijû pujqujGph hiuúuip, nph ôGnpqGbpnii hnuuiGfi t uiügünid, Ш)йщЬи ti Ш4)п1пилШ1 hnuujGßmj (unifntiri) ршг^шОрр Ьшйшр uuiuigi|mà Ьй hnuiu&pp funpnipjujO 1арЬиф1|ш1(шй ujptfbjsGbpD. прпйд цЬвдпиЗ uibqh niOfi tjUJjniGmpjuiû Цпршшл: Silljg t шрфид, np hnuLuOpujljhp ршршОрр, npü рр ObppfiG irfipnijpniú umbqArud t piuqúuiplibn úuiqGhuuitiiuQ ОШ21Л (huiómubn U гфщпцифй), IjUJpnq t lhüb[ tjujjruG:

Spi]uJû t «ujDmct» Ьпишйрш1|рр puiqmGpp úuipbdLumpbwbwü únrjb[p рр^шйрр ujjO ribuíEmú. Ьрр иЦррйшЦшй hnuiuGpti ii иЬфшЦый dii!ç5tiuu:l|UjG Г1Ш2иф фЦтпрйЬро qänpbü Ijiutuijujó bG U gnijg t uipijuJÓ Орш LumuâquiljuiG 'дш^тйл^р^шй bnpuinfi hütupujtínprupjmOQ:

«