Исследование систем заряженных частиц в пространственно-неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи МАЛЫШЕВ ДМИТРИЙ ВИТАЛЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01.04.02. Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев-1994

Диссертация является рукописью

Работа выполнена в Институте математики АН Украины (г. Киев)

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН Украины ПЕТРИНА Дмитрий Яковлевич (Институт математики АН Украины, г.Киев)

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН Украины ХРУСЛОВ Евг ений Яковлевич

(Физико-технический институт низких температур АН Украины. г.Харьков)

2. Доктор физико-математических наук, профессор ЧАЛЫЙ Александр Васильевич

(Киевский медицинский университет, г.Киев)

Ведущая организация — Институт теоретической физики АН Украины (г. Киев)

Защита состоится г. в 14.30 на заседании специализиро-

ванного учёного совета Д.068.18.22 при Киевском университете им. Тараса Шевченко (252085. г.Киев, просп.Академика Глушкова, 2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета им. Тараса Шевченко.

Автореферат разослан

¿¿¿¿Ы 1994 г.

Учёный секретарь

специализ1фоваиного учёного совета /О £Э. М. ВЕРЛАН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование свойств пространственно-неоднородных систем н их роли в оазлнчиых физических процессах предстапляет важную задачу современной математической физики.

Особый интерес представляет изучение процессов, протекающих в растворах электролитов в присутствии мембран различных типов. Актуальность этой задачи обусловлена её тесной спязыо с проблемой мембранного разделения сме-. сей н очистки воды, и тем фактом, что, хотя исследованию этих процессов посвящены многочисленные исследования, последовательная и непротиворечивая теория мембран до сих пор не создана.

Математически строгое описание свойств электролитов в пространственно-неоднородных средах может быть дано на основе решения краевой задачи для системы уравнений гидродинамики, диффузии и электростатики. При этом важную роль играет решение уравнений электростатики, позволяющее определить взаимодействие заряженных частиц и зарядов, наведенных иа поверхности мембраны, и получить выражения для определения эффективных параметров, характеризующих мембрану.

Цель работы. Теоретически исследовать свойстаа мембран, состоящих из диэлектрических н проводящих тел. Определить возмущение электрических полей такими мембранами. Исследовать поляризацию мембраны во внешнем электрическом поле, определить эффективные постоянные, характеризующие такие системы.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые решена задача об определении по 1енциала электрического паля в присутствии динамической мембраны, состоящей из произвольного числа сло£в диэлектрических или проводящих тел. Получены явные решения для потенциала электрического поля. Получены явные формулы для определения плотности зарядов, наведенных на поверхности мембраны, и липольных моментоп включений.

Развит строгий метод определения эффективных постоянных, характеризующих мембраны и позволяющих заменить исследование пространсшемно-неод-

породных сред исследованием однородных сред с эффемивиымн значениями параметров. С помощью этого метода иперпие получены формулы для определения эфсрсктивной диэлектрической проницаемости динамических мембран, состоящих из произвольною числа слоев диэлектрических либо проводящих тел. Исследована зависимость эффективной диалектической проницаемости динамической мембраны от числа слоёи составляющих её тел. Для системы сферических тел. центры которых размешены п узлах бесконечно» кубнческо/1 решётки, получена новая формула для определения эффективной диэлектрической проницаемости, обобщающая известные ранее результаты, в том числе классические формулы Максвелла и Рэлея.

Предложен строгий математически строгий метол исследования мембран, состоящих из проводящих тел.

Практическая ценность работы. Результаты проведенных теоретических исследований могут быть непосредственно использованы для расчёта различных физических характеристик реальных мембранных процессов. Эти результаты дают возможность качественно объяснять и количественно описывать процессы, протекающие вблизи динамических мембран, используемых в технологии мембранного разделения растворов электролитов. Эти результаты могут служить основой для построения общей теории мембран.

На защиту выносятся следующие основные положения:-

1. Предложенный метод позволяет определять характеристики систем при наличии динамических мембран, состоящих из произвольного числа слой в диэлектрических или проводящих включений, размещённых как регулярным, так и случайным образом, с заданной точностью по степеням плотности неоднород-ностей в мембране.

. 2. С увеличением числа слоёв тел в динамической мембране её эффективная диэлектрическая проницаемость возрастает, стремясь к предельному значению — эффективной диэлектрической проницаемости системы тел, размещённых в узлах бесконечной трёхмерной решётки, причём для большинства значений плотности структурных составляющих динамической мембраны отличие эффективной диэлектрической проницаемости мембраны от предельного значения становится несущественным при числе слоёв большем пяти.

3. Формула для определения эффективной диэлектрическом проницаемости системы диэлектрических нли проводящих тел сферической формы, размешенных в узлах бесконечной кубической решётки, частыми случаями которой являются классические формулы Максвелла и Рэлея.

4. Метод решения краевых задач электростатики при наличии в среде систем проводящих включении. об|>едипяюшиП методы теории потенциалов и функционального анализа, даёт возможность исследоват ь свойства таких систем и находитьих эффективные характеристики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались па научных семинарах в ИТФ АН Украины (1984 - 1986), ИМ АН Украины (1986 - 1992), ОИЯИ (I. Дубна. 1986), Варшавском уннверсн. -че (Польша, 1991), Техническом университете (Вена, Австрия, 1992), Университете г. Грац (Австрия, 1992), па Всесоюзных конференциях молодых учёных в ИТФ АН Украины (1984, 1985) и в ИМ АН Украины (1986), на Всесоюзной школе .Динамические системы и турбулентность" (Каиивели, 1988), на Всесоюзной конференции „Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" (Тернополь, 1989), на Международной конференции "On Three Levels" (Лёвен. Бельгия, 1993).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура II объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка цитируемой лтгтературы. Она имеет общий объём 123 страницы машинописною текста, включая библиографию из 111 наименований, 6 рисунков и б таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во сведении приведён краткий обзор литературы по те>1е диссертации, обоснована актуальность избранной темы, перечислены основные положения, выносимые на зашиту, дано краткое изложение содержания диссертации по глинам.

Во введении к каждой главе (5 П дайте* краткое илю.некие проблем, которые она заграгинает. и намечаются пути их решения.

В первой глапе предложен метод исследования электрического поля при наличии в среде динамической мембраны, состоящей из конечного вдоль одной нз осей числа слоев диэлектрических включений.

В § 2 решена задача об определении возмущения однородного электрического поля динамической мембраной, состоящей нз конечного числа слоев диэлектрических тел, расположенных регулярным образом.

Рассматривается система одинаковых электрически нейтральных тел с диэлектрической проницаемостью С2, помещённых в среду с диэлектрической проницаемостью Е). Геометрические центры включений находятся в узлах трёхмерной решётки (элементарной ячейкой которой является прямоугольный параллелепипед со сторонами О], <32 11 °з)' лежащих в слое Т между двумя плоскостями, перпендикулярными одному из рёбер решетки.

Решение краевой задачи для уравнения Лапласа ф(дт) ищется в виде суммы потенциала внешнего поля ф0(-») и потенциала прост ого слоя ф,(л):

Ф(Т) = + —1— £ Г £ ¿5, = Фо(.<) + ф,(ДГ).

где Е = (О, О, Е)— напряжённость внешнего ноля и вакууме, N — число слоев включений, Э/^ — поверхность тела, с центром которого связано начало координат, к = ХГ =-•. --•• ' а>Г>(х)—плотность зарядов, наведенных на поверхности неоднородности из 1-го слоя и = (а1к[< а2к2, аз0 ~ "'))•

где I:! е 2, к2е 2, м—номер слоя, в котором находится тело При этом плотности поверхностных зарядов а5)(д:), 1 = 1, /V, должны удовлетворять системе ипгеграпмшх уравнений

271 > = 1 »,.»2

= -2\е„ £•/!,, .хедЕ0, I = О?. (5)

где X = Е| ~ Е? , Л; =(а1к,,а2к2,а}и-0), а тпкже условию Е,+е2

| о1'\х)(Кх =0. I = Гл\ (2)

з/ь

отражающему тот факт, что неоднородности электрически нейтральны.

Ряды, входящие п определение потенциала <?((*) и в ядра интмральных уравнений (1). не являются, вообще говоря, абсолютно сходящимися. Поэтому, чтобы использоват ь эти соотношения, следует указан., что понимать пол суммой этих рядов. Для преодоления этой трудности применяется следующий метод, предложенный Д. Я.Петрнной: общий член рассматриваемого ряда раскладывается, в спою очередь, в ряд Тейлора в виде суммы первых членов разложения и остаточного члена. При этом ряд, п который входит остаточный член, является абсолютно сходящимся, а ряды, связанные с остальными слагаемыми в разложении. можно просуммировать, используя свойства симметрии системы, условие электропейтральности (2) и содержательные физические соображения. В результате получаются соотношения, поддающиеся сгрогому анализу. Такой анализ применительно к системе интегральных уравнений (1) позволяет доказать следующее утверждение.

Если выполнено неравенство

ХСи < 1.

1 - X

где С— некоторая постоянная, а и — объёмная плотность неоднородное! ей в слое Т. то решение системы уравнений (1). преобразованной указанным выше способом, существует, единственно и представляется в виде сходящегося ряда.

Определив плотности поверхностных зарядов, можно найти потенциал электрического поля в системе, дипольные (и более высокие) моменты включений, а также эффективную диэлектрическую проницаемость мембраны.

Если объёмная плотность включений в слое Т достаточно мала, то в системе интегральных уравнений можно пренебречь слагаемыми определённого порядка малости по V, иными словами, можно ограничиться учётом нескольких первых членов ряда Тейлора и пренебречь остаточным членом. В результате интегральные уравнения существенно упрощаются и ух решения могут быть получены в явном виде. При этом для получения решения с заданной точностью по объёмной плотности включений необходимо учесть соответствующее количество членов разложения.

Для случая, когда в системе интегральных уравнений можно пренебречь слагаемыми порядка и4/3 н выше, получены явные выражения для плотности

поиерхносших зарядов. дипольных моментов включении, потенциала электрическою пол* н аф(|>ектшшо11 диэлектрической проницаемости мембраны при /У= О (формулы для N = ЗГЗ в диссертационной работе не приводятся шишу их громоздкости). Показано, чго с увеличением числа слоен включении эффективная диэлектрическая проницаемость мембраны е^' возрастает, уже для первых пяш сло£в весьма близко подходя к предельному значению е.^, вычисленному по формуле Максвелла, соответствующе» рассматриваемому приближению (см. гл. 2 диссертации).

В §3 исследован случай независимых отклонений 1еометрнческих центров неоднородности от узлов решётки. Доказана теорема о сущеановации и единственности решения соответствующей системы шпегральных уравнений. Полу- • чены приближённые формулы для .шредсления дипольных моментов включений в такой системе.

Во июпой главе исследован предельный случай N = <*» (неоднородности размещены во всех узлах бесконечной трехмерной решётки).

В §§2-5 задача реше'-а для случая бесконечной кубической решётки (а, и -аг *= а) и сферических неоднородное!ей (и «= 4п/?3/Зл3. Я — радиус включения). Доказана теорема существования и единственности решения интегрального уравнения. Показано, что известная формула Максвелла для эффективной диэлектрической проницаемости такой системы соответствует учёту первых двух членов разложения и ряд Тейлора общего члена ряда, входящего в ядро интегрального уравнения для плотности поверхностных зарядов (это приближение соответствует тому, что мы пренебрегаем слагаемыми порядка и4'3 и выше в интегральном уравнении). Учёт следующих двух членов приводит к формуле Рэлйя. В лисссргашюнноП работе получена в явном виде формула для определения эффективной диэлектрической проницаемости такой системы в приближении, когда в интегральном уравнении можно пренебречь слагаемыми порядка и"'5 н выше (учитываются первые восемь членов ряда Тейлора):

1 + Зи

2

V-! " 1 , 0.4054^^4 6.6568-,^^

+ 0,0723 V14'3 + 0,15256-

где v = с2/е|. В этом же приближении получены явные формулы для определения дипольиого момента включений.

В § б исследована аналогичная задача для двух других типов решёток: гексагонально!! и кубической обьёмноиентрнрованной. Получены явные выражения для определения плотности наведенных поверхпосгных зарядов, днпольных моментов включенип. потенциала электрического поля вблнЬи неоднородпос-тей, эффективной диэлектрической проницаемости системы.

В третьей главе предложен строгий метод решения краевых задач электростатики при наличии в среде бесконечных систем проводящих тел. объединяющий методы теории потенциалов и функционального анализа.

В § 2 исследованы задача об определения полей концентрации систем заряженных частиц и потенциала электрического поля при наличии в среде динамической мембраны, состоящей из одного слоя проводящих тел. В приближении самосогласованного поля эта задача сводится к решению нелинейных уравнений типа Пуассона - Больцмана с граничными условиями на поверхностях включений. Доказано, что решение существует и единственно при достаточно малых плотностях как заряженных частиц, так н неоднородностей в мембране.

В § 3 Результаты, полученные в §2 главы 1 и о главе 2 обобщены на случай прсполящнх включенип. На основе предложенного метода, матемал<ческн строго обоснована корректность перехода в полученных ранее формулах к пределу при ¿2 -»те (X. -»1, V о»), соответствующему случаю проводящих включений.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:

1. Решены уравнения электростатики при наличии о среде динамических мембран. Получены явные решения для потенциала электрического поля.

2. Развит метол определения эффективных постоянных, характеризующих динамические мембраны и позволяющих замешггь исследование пространственно-неоднородных сред исследованием однородных'сред с эффективными значениями параметров.

3. Исследована зависимость эффективной диэлектрической проницаемости динамической мембраны от числа слоёв включений в ней. С увеличением числа слоев эффективная диэлектрическая проницаемость динамической мембраны

возрастает, стремясь к предельному значению, соответствующему наличию включении во всём пространстве.

•1. Значение эффективной диэлектрической проницаемости среды при наличии включений, заполняющих всё пространство, с большой степенью точности может быть использовано в применении к динамическим мембранам даже если число слоёи иеодноролностей невелико. Эта точность тем выше чем больше число слоев и чем меньше объёмная плотность включений в мембране.

5. Получена обобщённая формула для определения эффективной диэлектрической проницаемости среды при наличии регулярно расположенных во всём пространстве неоднородное!ей, частными случаями которой являются классические формулы Максвелла и Рэлея

6. Предложен строгий метод нсследмания сред при наличии в них проводящих включений. Решена задача о по1сициале электрического поля системы заряженных частиц при наличии в среде динамической мембраны, состоящей из проводящих включений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Malyshov D. V., Malyshcv P. V. Perturbation of Uniforni Elccirosiatic FielJ by a Dynamic Membrane. - Kiev, 1984. - 24 p. - (Prcpr. / AS Ukr. SSR. Insl. Theor. Phys.;84-25E).

2. Малышев Д. 0:, Малышей П. В. Возмущение однородного электростатического поля динамической мембраной// Докл. АН УССР.Сер. А. - J986.-№ 2.-С. 44-48.

3. Малышев Д. В., Малышев П. В. Решение классической залами электростатики с помощью вычнтательной процедуры. Обобщенная формула для эффект ивной диэлектрической проницаемости. - Клев, 1987. - 24 с. - (Прспр. / АН УССР. Ни-т математики: 87.46).

4. Малышев Д. В., Малышев II. В. Определение Э((>фек1нвпоП днэлект рнческой проницаемости периодической системы тел // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1987. - № 12. - С. 4S - 53.

5. Малышев Д. В., Малышев П. В. Определение эффективных характеристик систем со слож-поП структурой // Математические проблемы теории систем заряженных части в неоднородных средах: Сб. науч. тр. - Киев: Ии-т математики АН УССР, 19ВЗ. - С. 63 - 76.

6. Горунович В. В., Малышев Д. В., Малышев П. В. О решении краевых задач для уравнении Пуассона - Больимана и Лапласа в областях со сложной структурой // Всесоюзная конф. „Нелинейные проблемы лиф. урави. и мат ем. физики": Тезисы докладов, г. 1. - ТернйпОл!,, 1989.-С. 106-108.

7. Малышев Д. В. Воз.чущенне электрического поля в областях с проводящими иключрннямн. - Киев, 1991. - 20 с. - (Прспр. / АН Украины. Ин-r MaieMaïuxu; 91.40).

8. Малышев Д. D., Малышев П. В., Каюмов Ш. К. Определение харакгернешк элек Ц'ическогv поля в периодической системе диэлектрических тел с отклонениями oi уз ч m р^н.сг^к -Киев, 1992.-41 с.-(Прспр./АН Украины. 1!н-т математики: 92.23),