Исследование составных операторов в теории развитой турбулентности методом ренормализационной группы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

О*

ГЕРБУ РГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2-.ШУ

На правах рукописи

Гирина Вера Илдусовна ИССЛЕЛОВАНИЕ СОСТАВНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ МЕТОЛОМ РЕНОРМАЛИЗАНИОННОЙГРУППЫ.

С|]| Ци;1Л1.нооть 01.04 0'.' — теоретическая физика

А итореферат диссертации на соискание учен' Я степени кандидата физико-математических наук

< чикт• Н«-то|>оург iw.tr,

Работа выполнена па кафедре стнтиггическпИ фи ч(м! . "физического факультета Санкт-Петербургского Государств» иного Уншчреите га

Няуочыс руководители: диктор физико-математических наук.

профессор Кун'- Ф М ,

кандидат ¡щанко-матсатичегки* доцент Аджемпн Л И

Официальные ОП110Н01ПМ: доктор ф"зик> математических наук.

профессор Насилыв А.11 ,

кандидат физико-математических наук, доцен Вальк^н Л (О

Ведущая организации: Илектро хничеекпи нит-рсин-т (Л'ЗТИ

Защита состоится 1У9Г>г. в ^ ^часои на заседании диссер-

тационного совета KOi33.57.17 по присуждению ученой степени кандида та физико-математических наук в Санкт-Петербургском Гос ш решенном Университете по адресу:

1^9034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/0

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке СПбГУ Афтореферат разослан /в

УчошН секретарь диссертационного Ученого Сов« та

С.н Мшнп

ОЬШЛЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теми и<следования.

Использование методов каантоной теории поля — ренормализацйонной г рупии и от. раториого разложения — открывает новые возможности в исследовании проблем развитой турбулентности. Эти методы позволяют, в частности, проводить регулярное изучение составных операторов теории турбулентности, недоступное для ранее использовавшегося математического аппарата. В то же время свойства составных операторов в теории турйулсы'носги представляет значительный интерес.

Во-первых, корреляционные функции с участием таких операторов непосредственно измеряются на опыте, что дает возможность проверки тонких деталей теории.

Во-вторых, анализ ренормировок составных операторов позволяет судить о возможной роли поправочных слагаемых и уравнению Навье-Стокса. актуальной для определения корректности применения &того уравнения к описанию развитой турбулентности.

В третьих, знание критических размерностей составных операторов позволяют, используя операторное разложение, находить инфракрасные поправки к спект,>у Колмогорова и анализировать устойчивость спектра к этим поправкам.

Наконец, появляется возможность исследования асимптотик миогоч*-стичних корреляционных функций, знание которых существенно для рассмотрения физически актуального вопроса об особенностях спектрального переио энергии.

Цель работы:

— изучение роли поправочных слагаемых к уравнению Навье-Стокса с учетом их нелинейных ренормировок;

— определение асимптотики трехчаг-иччой одновременной корреляционной функции методом операторного разложения и рекормализанионной Грушш,

цсс;|<-д(.ьамие согтчи1:,лх операторов, определяющих наиболее суше-

ственньп инфракрасные поправки к спектру Колмогорова, поиск "опасных" операторов, способных привести к разрушению »того спектра.

Научная новизна работы определяется эффективностью используемых методов, позволивших получить существенно новые результаты.

Основные результаты диссертации.

1). Рассмотрены поправочш.'ч слагаемые к уравнению Навьс-Стокса содержащие даа лишних градиента по координате (составные операторы канонической размерности ¿+4). Показано, что р< нормировка существенно уьеличгаает роль »тих слагаемых, однако, для трехмерной турбулентности они все еще остаются малыми поправками, как по числу Маха (Л/а) так и по числу Рейнольдеа (Ле).

В двумерной турбулентности показатель степени у числа Рейнольд са меняет знак. В причципе, &та неравна перестает быть малой, хот! необходимость проведения в двумерной турбулентности дополнительны ренормировок, специфических именно для двумерной турбулентноси, н позволяет считать результат окончательным.

2). 3 классе составных операторов кап.шической размерности </+4 на? ден оператор, полную критическую размерности которого удалось выч» слить точно, используя уравнение Швингера.

3). Методами операторного разложения и ренермгруппы найдена аси> птотика одновременной тройной корреляционной функции, соответств; ющия вкладу тензорного составного оператора канонической размер»' сти 2.- Полученный результат обосновывает возможность снятие ИК-УФ-обрезання при вычислении функции переноса энергии, которая ее-интеграл от тройной корреляционной фуюадж. по одному из импульсо поскольку соответствующие интегралы сходятся

4). Рассмотрен галилеево-неинвариаятный составной оператор кап нической размерности 3. Показано, что данный от рагор н<- дает вкла.; асимптотику одновременной тройной корреляционной функции

5). Рассмотрен вклад тензорных составных »лора юр«'» и ¡н имик/(

ку одновременной тройной корреляционной функции. В связи с этим решена задача ренормировки указанных операторов и вычислены в одно-петлевом приближении их полные критические размерности. Результат показывает, что вклад данных операторов в асимптотику одновременной корреляционной функции менее существенен, чем соответствующий вклад оператора канонической размерности 2.

6). Рассмотрена ренормировка скалярных составных операторов канонической размерности 8, содержащих оператор — квадрат оператора диссипации анергии. Показано, что высказанное в литературе предположение о свойствах этого оператора не верно.

7). В классе скалярных составных операторов канонической размерно- • сти 8 найдено три оператора, полные критические размерности которых вычисляются точно. Показано, что составные операторы, соответствующие кайленным критическим размерностям, определяют инфракрасные поправки к Колмогоровскому спектру;

8). Найдено семейство составных операторов канонической размерности 4п (п = 1,2,3- ■ •), обладающих свойствами, которые предсказывались в литературе для степеней оператора диссипации анергии. (Оператор с я = 1 из найденного семейства — оператор диссипации энергии).

Показано, что из-за наличия галилеево-неинвариантных и нелокальных вкладов для г» > 2 данные операторы не дают вкладе асимптотику парного коррелятора.

9). В модели максимальной хаотичности поля скорости рассмотрены составные операторы канонической размерности б. Решена задача ренормировки указанных операторов и вычислены их полные критические размерности. Показано, что найденные критические размерности принимают большие положительные значения, что дает основание полагать, что в этой модели галилеево-инвари&нтные опасные операторы (т.е. те, у который полные критические размерности отрицательны или равны нулю) отсутствуют, у

Теоретическое и практическое значение.

Полученные результаты позволяют судить о корректности испсльзо-

вания урчвненид Навье-Стокса для описания развитой турбулентности, дают обоснование иеко .орым постулатам, лежащим в основе феноменологической теории турбулентности, в частности, предположению о возможна-ти использования масштабно-инвариантного представления тройной корреляционной функции для вычисления функции переноса энергии, а также постулата об отсутствии зависимости корреляционных функций от вкчшнего масштаба турбулентности в инерционном интервале волновых чисел.

Знание критических размерностей ря,- > составных щерторов, найденных в диссерт- ции, стимулирует экспериментальные исследования, позволившие бы опытным путем проверить прсдск»-^111"'16 свойива соответствующих функций Грина.

Апробация работы.

Материалы дис- ертации докладывалг-ь на семинарах кафедры статистической фи..ики Научно-иеследопа-илы-кого института физики Санкт-Петербургского Государственшло Университета

Публикации.

.По теме диссертации опубликованы три статьи и еще одна иодготоыле на к публикации. Статьи указаны в конце автореферата.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список дитератур1 включает 41 наименование. Объем работы — 131 страница

СОДЕРЖАНИЕ 1' АБОТЫ

:|1<> ИВСДСНШ! приводи ГС Л Л.'Иср VI }'.''1.( Ни IV .».С- дне; с (Г - ЧИП И КрН1

ко излагают.../ <ч1(,1(М1Ы1' не п'льташ с

Глава 1 посвящена изучению инфракрасно-существенных поправок к уравнению Н&вье Стокса.

Уравнение Навье-Стокса имеет феноменологический характер. В правую часть этого уравнения можно добавить дополнительные слагаемые, старшего порядка по градиентам и нелинейностям с учетом векторной (значковой) структу ры и требования галилеевой инвариантности. Последнее означает, что дополнительные степени скорости могут войти либо в виде градиентов скорости, либо через ковариантиую производную V, s О, + ч>,д,.

Уравнение Навье-Стокса имеет вид:

д,ч>, = ~{ч>д)<р, -&,р+и)&<р,+ /, , (1)

здесь v> — поперечное (в силу условия несжимаемости д,<рх » 0) векторное поле скорости, щ — кинематический коэффициент вязкости, р и /, — давление и случайная сила в расчете на единицу массы.

Все слагаемые в (1) имеют каноническую размерность de = 3. Поскольку векторных операторов с d? = 4 не существует, рассмотрим добавки с df — 5. Имеется 5 независимых операторов нужного вида:

AV., &<fik(dt<P,), &щ(д,ч>к), (д><РтКЭ,дтч>,), Z>,Aw (2) Известно, что стохастическая модель (1) эквивалентна кван.)тово-полевой модели с действием

+ + (3)

где D1 — коррелятор случайной силы /.

Добавки к уравнению Навье-Стокса вида (2) порождают соответствующие добавки к действию (3). Записанные в более удобной форме, они будут иметь вид:

F, - (д,^)(д,ч>,)(д}щ), F, = (Ы№<рк)(д.ъ),

F^id.WVAv,) (4)

Есть существенные основания считать такие поправки малыми. Чтобы пояснить &то, вьедем безразмерные параметры задачи. Основным безразмерным параметром теории турбулентности является чис'/ Рейне.льдса:

Яе = У[-!\>, где У и Ь — характерная скорость и размер наиболее крупны вихрей, поступающих л систему. С ними связана мощность накачки, т.с анергия, накачиваемая в систему за единицу времени; IV ~ УЪ)Ь (здес и далее все величины рассчитаны на единицу массы). В стационарно: случае накачиваемая энергия IV равна диссипируемой энергии в един к цу времени (т.е. V/ имеет смысл также и скорости диссипации анергии Эффективная диссипация начинается после того, как вихри достаточн раздробятся до размеров порядка 1&, — (р,3/Иг),/*. Развитая гурбулент ность характеризуется сильной пазнесе:ностыо масштабов Ь и /д,.

Нетрудно убедиться, что ¿/'л* ~ (Яе)3'4 >> 1. Область масштабов прс межуточного размера носит название инерционно: < интервала, в которо отсутствуют как накачка вихрей, так и диссипация, т.е. процесс сводитс только к дроблению вихрей.

Рост числа Не за сче; увеличения скорости на самом деле с-. ранмч< используемым условием несжимаемости, которое требует малости чис; Маха Ма = У/с, где с — скорость дегка в системе. Чтобы пояснить, : счсг чего достигаются большие Л-, введем характерную микроскопич скую длииу, описываю!цую структуру жидкости, соотношением /о - г (т.о. 1ц — очень малал велич?тна, ~А) Число Яе ,. этих терминах мож1 записан, в виде Яе в У/с • ЬЦа так что предполагаемая малость чис) Маха (например, Ма ~ 0.1) перевешивается очень большой величиной о

ношения 10е--10*. Существенно отметить, что характерная дли1

обычно много меньше не только Ь, но и минимального размера турб лентных вихрей

Коэффициент при гипотетических добавленных в уравнение Навь Стокса слагаемых отражает структуру жидкости и оценивается пелич нами с,{о или с,е. Таким образом, ¡¡ явление в уравнении каждого допо нительного градиента сопровождав гея обезразмеривающим множите л т.е характеризуется безразмерным отношен;--»м 1о/Ь « 1 Дополнительная нелинейность — V дает дополнительный множите ** Д/а, который может быть не очень милым, но в силу требования I лнлесвой инвариантности обязательно сопровождается градиентом, т малостью А»//,.

Такие опенки показывают, казалось бы, законность пренебрежения высокоградиентными и дополнительными нелинейными слагаемыми. Однако существенно нелинейная характер задачи приводит к перенормировке этих дополнительных слагаемых, которые бывают очень значительными.

Рассматриваемые поправки к уравнению Навье-Стокга приводят к поправочным множителям в функциях Грина вида:

В = 1 + Л,(кЬ)г(к/1ц,,)* (5)

Сумма ведется по всем собственным значениям матрицы аномальных размерностей 7 Коэффициент А, ~ 1; (к1о) есть ответ без перенормировки и отражает малость, о которой говорилось выше.

Им семейства операторов (4) была вычислена, в однопетлевом приближении матрица констант ренормировки Z. Соответствующая ей искомая матрица аномальных размерностей имеет вид:

3<

= + (6>

где коэффициенты Аар имеют следующую зависимость от размерности пространства

Ап = 4<Р + 2<Р - 22с/ Ап + 3<Р~ 34Л 4- 20 Ац = -6сР -6<Р + Ш- 40 /„ = -4<Р - 3<Р + 204- 20 Лц = 6<Р + Я41 — 344 + 12 Лп - —4<Р -1244-8 Л« = 241 - 344 4- 4 Ап = 44* - 4<Р + 84 - 16 Аз. = <Р - Ъ<Р 4-164-4 Л,5 = 64* -224-4 А,0 = 0

А,| = -241 - 64 4- 8 Д„ В З^3 4- 54* - 284

Ап~2(Р + 4<Р-Ш-Ъ Аг, = -43 - 2<? 4- 84 Ан = 24* 4- 64я-124-16

= -64* +144 + 6 Ли = —443 - 184* 4-184+4 Д45 = 8</* + 2241 — л 84 — 24 Аи = 443 + 13<? - 164 - ч Ли = -34»-94* 4-84 4-20

(7)

Собственные числа матрицы (6) являются в данном случае искомыгно-малькыми размерностями 7, в (5). Они были найдены численно на интервале 2 < 4 < 1 (мля ( - 2); результат состоит в следу лием: = 0,

у

7,(» = 2,3 5) принимают положительные значения, 7» и -2.1 (для d = 3), т.е. поправочный множмтель весьма значителен.

Однако аккуратные оценки показывают, что пересилить малость первого множителя он смог бы только при отрицательном -j, для которого M sï 2|, тах что рассчитанные вклады показывают устойчивость уравнения Навье-Стокса по отношению к рассмотренным добавкам.

Интересно отметить, что модуль 71 возрастает при движении размерности пространства к <. = 2 и достигает значения 1\ « -2.88, т.е. попадает в область опасных значений. Двумерная турбулентность обладает и многими другими особенностями, требующими, в частности, дополнительных ренормировок в самом уравнении Навье-Сгокса. Полученный результат показывает, во всяком случае, возможную большую роль поправочных слагаемых к уравнению Л лвье-Стокса в двумерной турбулентности.

Глава 2 посвящена исг гедовикию асимптотики одновременной гройиой корреляционной функции.

Ренорыированный одновременной тройной коррелятор в импульсном представлении с учетом трансляци >ниой инвариантности имеет вид

< че>.(ка)v>j(k2>spKka> > = (2i)Ji(ki + ka + fcs)Plj((k j,

k h {k,k3kî}, (8)

функция D„i(k) удовлетворяет РГ-уравнеяию i>prP,.ii = 0. Lro решение можно представить а виде

^вЛ'-'ЧиО,?,)!), (9,

где инвариантные переменные $(з,д) и определены кок решения

РГ-уравнений Z>pr§ — 0 , Рргt> = 0 с раиичными условиями 5(1, д) ~ g P{t,g,v) «= tf. Ввиду наличия И К-устойчивой неподвижной точки, ару $ 0 инвариантный заряд §[),д) стремится к предо 'у д., а инвариант нал вязкость имеет асимптотику i'(s, î>) а *'.(», g,t') = j"J'/3t'(5/3.)'" = k-^^iVoJg.y/* [3]. Л ля функции 7>„( из (9) имеем тогда

3'Яу;(1,5.,п). (10

:Дал анализа искохюй асимптотики воспользуемся опсратогны.ч разло жениемЛиль.-она. ■ .

Полегая общее для всех полей время в рассматриваемых одновременных объектах равным нулю, запишем его в виде:

с»

Здесь г = Х| - ха, х а (х| + эЫ/2, Г* — ренормированнЫе составные операторы с определенной критической размерностью Да. Подстановка (11) в тройной коррелятор Д;|(х) = < ?|(Х1)Мхз)|Л(хз) > Лает

£,.,(*) - £ с'ч-(р»») < *<*> )Г?(хы) >, (12)

<к

где гм г хэ - хз, хи = (х2 + х»)/2.

Оператором с наименьшей канонической размерностью, дающим вклад в (12) является простой градиент скорости д,<р}, его критическая размерность есть Л г = 2 - 2(/3

Соответствующий вклад в искомую асимптотику < ^ 3 в (8) выглядит следующим образом:

Ко»ффициенты <3[ , а,, вычисленные из однопетлевых диаграмм, равны

а, = -1, а, = 1-Л (14)

Расчет, проведенный для следующего по канонической размерности ¿г = 3 галилеево-неинвариантного оператора у(д^), показывает, что данный оператор не дает вклад в искомую асимптотику.

В работе (2] проанализирован скалярный оператор с Лг — оператор диссипации энергии. Его критическая размерность Д/ в 4 — 2<, т.е. Аг = 0 при « в 2. Она меньше, чем соответствующая размерность рассмотренного оператора 3',<0/- Но по тензорным соображениям скалярный оператор с ¿г ■=■ 3 не дает вклад в искомую асимптотику. Поэтому было рассмотрено семейство тендерных операторов той же канонической размерности Соответствующие критические размерности, рассчитанные в однопетлевом приближении, равны:

и

Дг -

±\/16 - ¡6tf> -4<P + 5d*\ + Q{i*) (lb)

^-Wi+SJ^ïï + Û^)

I 4-4</3 + iJ + 0{t»). Наименьшая из размерностей (15), (16) при е = 2 равна 20/21 Хотя это значение на 2/7 превышает величину критической размерности оператора F = di<f, (Aj> — 2 - 2f/3 = 2/3), однако уже при < = 7/3 указанны»; критические размерности становятся равными ( то же самое имеет место при d = 2, «г = 2) Таким образом, тензорные операторы с d? = 4 могут быть при физических значениях < > 2 вполне конкурентноспособными с оператором d,tp,

Определенный соотношением (13) оклад оператора в SOti-асимптотику тройного одновременного коррелятора са/Д(1(к ) совпадают но форме с соответствующей асимптотикой EDQNM-приближения [4j

В Главе S рассмотрены составные операторы канонической размерности восемь, включающие оператор — квадрат оператора диссипации внергки.

Пусть G(k)— одновременной парный коррелятор поля скорости в им-нульсном представлении, т.е.

<¥>,(<,x),-,(i,x')>=(2 *) * J dkP.,(\i)G{k)eM'-%') (IT)

Уравнения РГ позволяют получить для него следующее асимптотическое представление в ИК-области m,к « А, где А— обратный внутренний масштаб турбулентности (диссипаииокн&я длина):

а{к)=Т%''к-мл'((т/к), (18)

причем Р« » const при 0<<<2иВо£г m1'-' при < > 2 [1] Инерционному интервалу отвечает дополнительное условие и в т/к << 1 Асимптотика скейлингояой функции {(«) при и —> 0 находится с помощь» ont раторного разложения Вильсона и нме^т вид

{(«>« Y.C(

с шшлитичнымм но и; коэффициентами Cf В разложение (19) дают вклад только гплнлеени-мнв&рмаитные скалярные операторы с ненулевым средним

В работе [2] проанализирован оператор диссипации энергии — скалярный оператор с dr = 4 Его критическая размерность вычислена точно: Д/V,, = 4—2«, т.е < 0 Для ( > 2. Если предположить, что в некотором

интервале t > 2 других опасных операторов нет, то F&, будет определять главный член асимптотики (19) при m -» О

В работе [1] высказывалось предположение, что при < =» 2 вместе с F¿,, становятся опасными и все его степени, суммирование их вкладов в (19) могло бы привести к обоснованию Первой гипотезы Колмогорова и при < > 2. Так, в частности, будет, если для их размерностей выполняется точное соотношение |3]

•М^Л = пЛ(РА.1 = п(4 - 2«), (20)

Однако провиденные нами расчеты для оператора F],, дали следующий результат, в классе операторе! (dy')(¿V)(¿V)(<V) оператор t\ S смешивается с некоторым оператором Fj, матрица ренормировки Я, вычисленная в однопетлевом приближении, имеет следующий вид

U = + Í ' d(d+2)(d\i)(J+b)a*f + (21 )

где обозначено:

а„ = d* + 9(Р — Hd1 — 4M + 144 , а,2 '= 2d(2<P + 3d+6) ,

а» = 4(2if4- 15¿, + 84<i4-36) , (22)

"к = 2(rf* 4- - 29<Р - 54d) .

откуда следует, что оператор F]„ не мультипликативно-ренормнруемый (ац ф 0) и с ним не ассоциирована никакая определенная размерность (tin / 0). СлсЛ<!»:Ч' Лi.ii'). соотношение (20) не верно.

Для }>:i-гмагрнпаемиго семейства операторов с <¡r = 8 с ломошьдо уравнений llb'i!nr» p:i н'лПдено три оператора, полные критические рзтмерни-

сти которых определяются точно:

А| Я в - 2£, Д, с а в - 6с/3 (23)

Они порождают в (19) расходящиеся при та -» 0 ("опасные") вклады только при < > 4 (первый) и ( > 3 (остальные). Скаляры с А* - в, которые становились бы опасными при < = 2 вместе с не обнаружены.

Однако, все же существуют скалярные операторы канонической размерности ¿г = 4я (я в 1,2,3, • - •), для критических размерностей которых выполняются соотношения (20).

/"«(лКоуь-^л+^Ал-адг. (24)

но из-за примеси нелокальных и галилеево-неинвариантных слагаемых они не дают вклад в разложение (19).

Глава 4 посвящена поиску опасных операторов в статистической модели развитой турбулентности, основанной на принципе максимальной хаотичности поля скорости.

В ее основе лежат постулаты теории Колмогорова, согласно которых« наиболее существенным параметром, определяющим статистику пульсаций, является количество анергии, поступающей в систему извне в единицу времени на единицу массы. Важно также учесть.что энергия поступает в систему в виде крупных вихрей, т.е. фиксируется спектральный поток »нергии с заданной формой накачки Технически это означает, что из всеЬ Бесконечной цепочки уравнений для корреляционных функций, эквивалентной уравнению Навье-Стокса (1), выбирают только1 одно, наиболее важное — уравнение спектрального баланса энергии.

д,Е{к)=-Ъ/кгВ{к) + Т(к) + <1{к), (25)

где

£(*) =<И*)!'>/2, Г|Ч«-<й(ЧШ-Ч>; ' (26)

Функция распределения ищется из требования максимума энтропии при условии выполнения уравнения (-а). .

Й работ' {5] были получены следующие результаты: критическая размерное чь подл скорости определяется точно и совпадает с колмогоров-

ским значенном Критическая ра»мерность операюра диссипации »перши принимает небольшие положительные значения, в согласии с ¡»ксме-риментом, г е. оператор диссипации не является в втой моделиопасным Если Г1Ы удалось доказать отсутствие и друпс* галнлеево-инвариант-ных опасны! yin-puropon в рассматриваемой модели, »то полностью подтвердило бм справедливость колмогоронского спектра В диссертации было проверено, не являются ли "опасными" гнлилеево-инпариантные скалярные составные операторы канонической размерности шесть Их критические размерности. вычисленные п однопетлгвом приближении, имеют иил

. . «' (10__С'Рп + ♦

" 2\~3 ~ 6(d + 4 )(«í'-d+ 2) ~

17~ ЧКГ- 12/',, ПРпУ + Рб/^Ри

у?» í>(rf+"4)(ríJ-J + 2) + iy{t{-'- Н + ^

где

1>п = -3,/' + 21 d' - 56 J + 16 Рл ■{' - 12</J + 5 Iii3 - 5Cd + 8 Pn - 2(2 — d)(H3 — в) = -tf + 20i* - 15Ы3 + 520d1 - T16.Í + 176. (28)

Хотя результат (27) получен в олнопетлевом порядке «-разложения, большая положительная величина соответствующих критических размерностей (при J = 2) позволяет полагать, что среди рассматриваемых операторов опасные inepem-pM отсутствуют. Полученные результаты также демонстрируют рост критических размерностей с ростом канонически! У то лае» основание надеяться, что опасные операторы в рассматриваемой модели отсутствуют

В приложении приводятся графики заннснмооги критических размерностей сосглинмх операт'".р,1в «г размерности npoi грапстна >/(для iriu 1. 2, 11

г

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах!

1. Аджемян Л.Ц., Борин В.Ф., Фаэлыева В И. Принцип максимальной хаотичности в теории развитой турбулентности: ренорм-групиовой анализ составных операторов. // Вестник СГ16У, Сер Фиа Хим., 1992 Вып 3.(14 18).

2. Антонов Н В., Борисенок С.В , Гирина В.И. Ренормавиационная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь. // Препринт 8РЬи-95-4, СПбГУ, НИИФ, 1995.

3. Аджемян Л И , Борисенок С В., Гирина В.И. Методы ренормгруп-пы и операторного разложения в теории развитой турбулентности: асимптотика тройной одновременной корреляционной функции. // Препринт Ь'РЬи-95-5, СИ6ГУ, НИИ*, 1995

4. Антонов Н.В , Ворисенок С В , Гирина В.И. Ренормализацион мая группа в теории развитой турбулентности. Проблема инфракрасно существенных поправок к уравнению Нанье-Стокса. (Послано в ТМФ).

Цитируемая литература:

(1) Аджемян J1U., Антонов Н.В., Гасильев А.Н.// ЖЭТФ 1989 T.9J Вып.4. С.1272-128».

(2] Аджемян Л.Ц, Васильев А Н , Письма* Ю.М.// ТМФ. 1983 Т.57. N: С.2М 281-

й Yakhot V., ShtZ.-S , Orewg S.A.// Phys Fluids 1989. V.A1(2). P.289-293

(4) Oreug S.A Lectures on the statistical theory of turbulence. In. Flui Dynamic* (Le* Houches, 1973) E<1. by H.Balian.

{&} Ad&hemyeui L-Tc, Nalimov M Y'i The principle of maximal randomness i Ihetbeory of Fully developed turbulence 1 The isotropic homogeneous cas //Preprint, University of Helsinki. Ht-TFT-91-C'5.

Ii"