Исследование течений тяжелой жидкости со свободной поверхностью над неоднородным профилем дна в приближении мелкой воды тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СЛАВИН Александр Геннадьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ НАД НЕОДНОРОДНЫМ ПРОФИЛЕМ ДНА В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ

01 04 02-теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ОКТ 2008

Москва 2008

003448437

Работа выполнена в Институте космических исследований Российской академии наук (ИКИ РАН)

Научный руководитель-

к ф -м н Петросян Аракел Саркисович (ИКИ РАН - Институт космических исследований Российской академии наук)

Официальные оппоненты

д ф -м н, профессор, Жмур Владимир Владимирович (ИОРАН - Институт Океанологии им П П Ширшова Российской академии наук)

д ф -м н, профессор, Иванов Михаил Федорович (ИТЭС ОИВТ РАН -Институт теплофизики экстремальных состояний Объединенный институт высоких температур Российской академии наук)

Ведущая организация

Московский государственный университет им М В Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 11 ноября 2008 г в 15 ч 00 мин на заседании Диссертационного Совета Д 002 113 03 ИКИ РАН по адресу Москва, ул Профсоюзная 84/32, 2-й подъезд, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН Автореферат разослан 11 октября 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета, к ф -м н Буринская Т М

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Задача об обтекании сложной границы течениями тяжелой жидкости со свободной поверхностью в присутствии источников является фундаментальной для моделирования крупномасштабных течений атмосферы и океана Это, прежде всего, связано с тем, что улучшение разрешения таких моделей делает необходимым учет особенностей рельефа границы и поэтому требует глубокого понимания процессов на малых масштабах и их нетривиального влияния на крупном масштабе Уравнения Эйлера, полностью описывающие гидродинамику природных и лабораторных течений идеальной жидкости, настолько сложны, что при наличии комплексной границы даже в предположении несжимаемости, баротропности и отсутствии вращения, не поддаются численному интегрированию в задачах с достаточно сильным изменением геометрии подстилающей поверхности По этой причине разработка приближенных моделей и вычислительных методов, альтернативных решению исходных трехмерных уравнений гидродинамики, является актуальной проблемой

Необходимость редукции исходных уравнений в классе задач со свободной поверхностью привела после предположения гидростатичности распределения давления, усреднению поля скорости по глубине потока и пренебрежения изменением горизонтальных скоростей вдоль линий коллинеарных вектору силы тяжести, к построению Стокером математической модели более низкого порядка Данная модель известна как модель «мелкой воды», поскольку редукция осуществляется разложением исходных уравнений по малому параметру, определяемому отношением глубины жидкости к характерному линейному размеру При наличии внешнего источника, например, силы Кориолиса, область применения модели не ограничена условием малости глубины жидкости по сравнению с характерными линейными размерами, поскольку в этом случае двумерность течения есть следствие вращения, а не тонкости слоя Уравнения мелкой воды, являясь системой нелинейных гиперболических уравнений, аппроксимируют полную систему уравнений Эйлера, описывающую течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести при пренебрежении эффектами вертикальной неоднородности горизонтального поля скорости

Уравнения мелкой воды широко используются для описания различных физических явлений, например для описания крупномасштабных атмосферных и океанических течений, для моделирования Большого Красного Пятна в атмосфере Юпитера, для

описания течений в береговых зонах морей и океанов, моделирования цунами, распространения волн прорыва и приливных бор в реках, распространения тяжелых газов и примесей в атмосфере Земли

Нелинейный характер уравнений мелкой воды в случае неоднородной подстилающей поверхности означает, что использование аналитических методов решения может иметь успех только при очень специальных условиях и для их решения приходится использовать численные методы Гиперболичность уравнений мелкой воды определяет наряду с гладкими наличие разрывных решений Даже в случае, когда начальные условия являются гладкими, нелинейный характер уравнений наряду с их гиперболичностью в конечное время может привести к разрывному решению

Классическая модель мелкой воды разработана для изучения течений над слабоменяющимся рельефом или на наклонных плоскостях Наличие же препятствий, обусловленных резким изменением подстилающей поверхности, требует разработки альтернативных приближений, учитывающих влияние вертикальной неоднородности течения, возникающего у препятствий, поскольку классические приближения мелкой воды на такой границе нарушаются

Простые автомодельные решения гиперболических систем уравнений являются основополагающими в исследовании нелинейных волновых явлений, поскольку позволяют найти точное решение задачи распада произвольного разрыва Задача Коши о распаде произвольного разрыва кусочно-постоянных начальных условий, впервые возникшая в газовой динамике (задача Римана), имеет фундаментальное значение Ее решение облегчает понимание множества нелинейных явлений в течениях несжимаемой жидкости со свободной границей в рамках приближения мелкой воды Решение такой задачи на ступенчатой границе особенно важно при изучении течений над сложной подстилающей поверхностью, аппроксимируемой системой таких ступенчатых границ Существующий аналитический подход для решения задачи Римана, основанный на предположении о наличии стационарной зоны в окрестности ступенчатой границы, с одной стороны не учитывает потери кинетической энергии на турбулентное перемешивание вблизи ступеньки, с другой - накладывает ограничения на возможные глубины натекающего потока для преодоления ступенчатой границы Решение этой задачи является важнейшим компонентом в разработке численных методов сквозного счета, основанных, как на аналитических, так и на приближенных решениях задачи Римана Основная идея методов годуновского типа, основанные на решении задачи Римана, состоит в расщеплении решения многомерной задачи на набор одномерных подзадач, возникающих после кубирования расчетной области и записи соответствующих интегральных соотношений для всех элементов (ячеек), посредством которых осуществлялось кубирование Данные

методы особенно часто находят применение в численном моделировании, поскольку позволяют получать решение, не только в области непрерывного течения, но и в областях разрыва решений, без специального выделения и отслеживания поверхностей разрыва Кроме того, эти методы хорошо адаптируются к сложным граничным условиям, характерным для большинства постановок задач, описывающих реальные природные течения

При численном моделировании течений мелкой воды над неоднородным профилем дна, после перехода к конечно-разностным соотношениям, профиль произвольной неоднородной поверхности представляется ломаной, состоящей из соответствующей комбинации вертикальных горизонтальных или наклонных отрезков, концы которых соответствуют узлам сетки Учет неоднородности границы между узлами осуществляется либо параметризацией диссипации кинетической энергии на границе, либо введением стоковых слагаемых, точно отражающих природу процессов лишь в случае плоской подстилающей поверхности с ограниченным углом наклона В последнем случае эти слагаемые представляют собой скатывающую силу, действующую на жидкость Однако, непосредственно сами узловые точки, где происходит достаточно резкое изменение рельефа дна, вносят свой вклад лишь опосредовано через влияние дополнительных стоковых слагаемых или изменение значения параметризации в соседних областях от узловой точки

Строго говоря, численное решение слева и справа от точки, являющейся узлом сетки, определяет два различных течения, соответствующих различным дифференциальным системам уравнений В малой окрестности этой точки обе аппроксимации исходных уравнений Эйлера не работают, при этом, однако, величина возмущений вблизи такой особенности может быть сопоставима с масштабом изучаемого течения и, следовательно, может нарушить аппроксимацию решений, исходных уравнений Эйлера А именно, осредненные по глубине решения уравнений Эйлера будут принципиально отличаться от решений осредненных уравнений, т е уравнений мелкой воды Физически данная ситуация обусловлена, с одной стороны, нарушением предположения о гидростатическом распределении давления, с другой, нетривиальной зависимостью горизонтальной скорости от вертикальной координаты

Существуют различные подходы к решению уравнений мелкой воды в случае наличия подстилающей поверхности произвольного профиля Распространенным подходом к решению являются методы, представляющие наклонную поверхность дна в виде источников в уравнениях мелкой воды Однако данный подход неработоспособен в случае наличия участков подстилающих поверхностей с резкими перепадами высот, в частности, для уступов дна, где особенно

-з-

обостряется проблема, связанная с неоднородностью горизонтальной скорости Другой подход к решению этой проблемы состоит в замене участков с резким перепадом подстилающей поверхности наклонными плоскостями с большим углом наклона Однако, такой подход лишь обостряет проблему возмущений, вносимых особенностями аппроксимации поверхности, и игнорирует принципиальные проблемы, обусловленные негидростатичностью давления и зависимостью горизонтальной скорости от вертикальной координаты В качестве альтернативы используют реконструкцию данных на границе вертикальной неоднородности дна (ступенчатой границы) без учета особенностей решения задачи Римана, вызванных наличием такой неоднородности В рамках приближения мелкой воды не существует однозначного решения вблизи разрыва дна, вследствие чего, для выбора единственного решения необходимо вводить дополнительные предположения, отражающие реальную картину течения Вообще говоря, начиная с некоторого критического значения удельного перепада высот, необходимо принимать во внимание величину отклонения горизонтальной скорости от средней, поскольку это отклонение нетривиально отражается уже на самих средних величинах

Одной из основных трудностей моделирования течений мелкой воды является возможность появления зон частичного или полного обмеления Зоны частичного обмеления могут появляться в областях течений, где глубина жидкости сопоставима с величиной перепада подстилающей поверхности В таком случае рассматриваемая область течения может преобразовываться из односвязной в многосвязную или наоборот Зоны полного обмеления представляют вычислительную сложность для большинства конечно-разностных методов и требуют выделения и специально учета таких зон

Для решения многих реальных задач недостаточно учитывать только неоднородность подстилающей поверхности Необходимость рассмотрения дополнительных воздействий, определяемых

конкретными условиями течения, приводит к появлению в системе уравнений мелкой воды дополнительных членов В частности, для расчета крупномасштабных атмосферных и океанических задач следует принимать во внимание эффекты, определяемые планетарным вращением Наличие хорошо разработанного и апробированного численного аппарата вкупе с многократно протестированной программной реализацией сделало особенно привлекательным сведение решения задачи о вращающейся «мелкой воде» над ровной подстилающей поверхностью к решению задачи о течениях мелкой воды над комплексной нестационарной границей Представление силы Кориолиса фиктивной нестационарной границей создает важные преимущества при моделировании течений на неровной границе, сводя задачу к моделированию течений мелкой воды над нестационарной

эффективной поверхностью Однако, применение такого представления в расщепляющихся численных методах затрудняется отсутствием одномерной постановки задач для вращающейся жидкости Формальное постановка одномерной задачи, определяемой отказом от частных производных по одному из пространственных направлений, делает особенно актуальным нахождение горизонтальной неоднородности трансверсальной составляющей вектора скорости, определяющей консервативность силы Кориолиса, в зависимости от вертикальной структуры течения

Цель работы

Разработать теорию для течений мелкой воды на ступенчатой границе с учетом вертикальной неоднородности поля скорости вблизи ступеньки

Найти решение задачи Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе с учетом диссипации кинетической энергии Исследовать возможность формирования стационарной зоны вблизи ступенчатой границы и проверить полученное решение на автомодельность

Построить на основе найденного решения задачи Римана численный алгоритм для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над сложным профилем дна Провести численное исследование задачи о падении столба жидкости на сложной подстилающей поверхности и задачи о набегании волны цунами на наклонный берег

Разработать конечно-разностное представление силы Кориолиса в моделях вращающейся мелкой воды и разработать численный метод расчета течений вращающейся мелкой воды над неоднородными подстилающими поверхностями Провести численное исследование течения вращающейся жидкости над подстилающей поверхностью параболического профиля

Разработать алгоритм для решения уравнений мелкой воды с источниковым членом произвольной природы

Научная новизна работы

Разработана квазидвухслойная теория для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над неоднородным профилем дна, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости Решена задача Римана для течений мелкой воды над ступенчатой границей Впервые в

результате качественного учета диссипации поступательной механической энергии, как функции крупномасштабных характеристик потока, класс полученных решений был расширен решениями, содержащими волны разряжения, проходящие через ступенчатую границу или примыкающие к ней

Разработан новый численный алгоритм, позволяющий вести сквозной расчет гидродинамических течений над сложной подстилающей поверхностью без специального выделения зон обмеления для нестационарной многосвязной расчетной области Впервые проведено численное исследование падения столба жидкости на сложную подстилающую поверхность

Предложена качественная картина для обоснования использования фиктивной нестационарной подстилающей поверхности, описывающей влияния силы Кориолиса Для расчета течений мелкой воды над произвольной поверхностью в присутствии силы Кориолиса, разработан модернизированный метод Годунова, основанный на квазидвухслойном представлении В отличие от известных методов расчета течений вращающейся мелкой воды предложенный метод адаптируется к значению текущих параметров течения

Впервые установлена структура решения вращающейся мелкой воды внутри пространственно-временной области для глубины и одной из составляющих вектора скорости по выбранному направлению, для уточнения, конвективно переносимой, второй составляющей вектора скорости Тем самым были минимизированы паразитные явления, обусловленные отказом от интегрирования уравнения для трансверсальной составляющей вектора скорости

Практическая и научная ценность работы

Разработанная в диссертации квазидвухслойная теория мелкой воды и найденное на ее основе решение задачи Римана может быть использована для исследования нелинейных процессов в течениях тяжелой жидкости со свободной поверхностью на сложной границе, а также для разработки целого ряда численных алгоритмов годуновского типа Найденное решение задачи Римана позволяет эффективно решать практические задачи о разрушениях дамб

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования атмосферных и океанических течений и течений в береговых зонах Разработанные численные модели течений мелкой воды'на сложной подстилающей поверхности хорошо адаптируются к реальным границам и позволяют исследовать взаимодействие волн цунами с береговой линией, изучать распространение тяжелых газов в атмосферном пограничном слое

Предложенное в диссертации квазидвухслойное конечно-разностное представление силы Кориолиса и разработанный на ее основе численный метод моделирования крупномасштабных атмосферных и океанических течений может быть использован для изучения задачи геострофической адаптации на неоднородной границе, для изучения геофизических течений на границе с произвольной орографией

Разработанный алгоритм расчета течений вращающейся мелкой воды может быть использован для построения других численных методов, учитывающих консервативность силы Кориолиса

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием строгих математических методов анализа гиперболических уравнений в частных производных, а также сравнением с результатами известных численных и точных решений течений мелкой воды над подстилающими поверхностями сложного профиля Достоверность результатов расчетов вращающейся мелкой воды обеспечивается сравнением с данными геофизических исследований и качественным согласием с представлениями геофизической гидродинамики

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 2 статьях в реферируемых российских изданиях, из списка журналов, рекомендованных ВАК, и 3 статьях опубликованных в трудах российских и международных конференций Результаты работы представлены в 9 тезисах докладов российских и международных конференций

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на российских и международных научных конференциях и симпозиумах

• Международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» Москва, 2004

• Х1_\/11 научной конференции МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, 2004

• II Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики Москва, 2005

• XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова Москва, 2005

• European Geosciences Union, General Assembly, Vienna, Austria, 2005

• XLVIII научной конференции МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, 2005

• III Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики Москва, 2006

• XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова Москва, 2006

• The Fifth International Symposium on Environmental Hydraulics Arizona, USA, 2007

• XVI Научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике Москва, 2007

• V Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики Москва, 2008

• XXX Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова Москва, 2008

Личный вклад автора

Автор принимал участие в формулировке задачи и выборе методики ее решения Все теоретические и численные результаты, представленные в диссертационной работе, а также разработка численных алгоритмов, сравнения результатов с известными численными и точными решениями, были получены автором лично

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы Объем диссертации -146 страниц Библиография включает 112 наименований Диссертация содержит 70 рисунков

Содержание работы

Во введении обсуждается современное состояние теории течений мелкой воды в присутствии источников на неоднородных поверхностях, обосновывается актуальность и сформулированы цели работы, дается обзор литературы, приведены сведения о научной новизне, практической и научной ценности, личном вкладе автора, сформулированы положения, выносимые на защиту, и приведены сведения о структуре диссертации

В первой главе диссертации предложена теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе с учетом вертикальной неоднородности поля скорости, основанная на двухслойной аппроксимации уравнений Эйлера вблизи ступенчатой границы Идея квазидвухслойной модели состоит в разбиении потока жидкости или газа на два слоя, так что для верхнего, с параметрами потока Л2 и и2, влияние ступенчатой границы, высоты а; косвенно, а для нижнего, с параметрами потока /г, и м,, ступенчатая граница влияет непосредственно, останавливая перенос массы в нижнем слое Система уравнений для двухслойной мелкой воды выглядит следующим образом

Э/ Эх ^

4-Сщ)+т-(А|",2+)+

ся Эх 2 ах

т-Снщ)+V' +Фг |г=о

ся ол I ах

^ + ^-(1,2и2) = О,

Ступенчатая граница полностью тормозит нижний слой «, = 0, при х = 0, г>0 Условия Коши для системы (1) имеют вид

1\ = /г*, /г2 = /г, - Л*, и, = и,, и2 = при х < 0,

/¡2 = Ъг, и2 - иг при х > 0 (2)

Предположение о том, что формирование волновой картины в нижнем слое происходит много быстрее, чем в верхнем, позволяет разделить поток на слои так, что нижний слой, взаимодействуя со ступенчатой границей, приходит в состояние покоя и образовывает с

ней единую горизонтальную плоскость Тогда возможно пренебречь

д/г

членом g¡ц—L в третьем уравнении системы (1) и, выбирая временной

ах

шаг так, что верхний слой не успеет оказать существенного влияния на

нижний, пренебречь членом ghJ^L Следовательно, система (1)

дх

распадается на две подсистемы, а переменные Л, и «, вычисляются независимо от переменных к2 и «2 Таким образом, влияние нижнего слоя на верхний будет осуществляться за счет изменения начальных условий (2), в частности условия А2 = А(-А* при х<0, определяемого изменением глубины нижнего слоя при торможении потока

В результате пара параметров й, и и, связывается с параметрами К и «, через начальный параметр к' Следовательно, проблема нахождения значения к' сводится к решению обратной задачи Дирихле

й, = А* при х<0, ¿ = 0, «, = !<, при х<0, ( = 0, «, = 0 при х = 0, />0, А, = а при х = 0, г>О

Решение системы (3) зависит от направления течения жидкости, то есть скорости и,

а) и, > 0, картина течения имеет вид отраженной влево ударной волны, слева от которой параметры потока 1% и и, >0, а справа жидкость покоится, то есть Н = а и к = 0, и глубина запирания, определяемая влиянием ступенчатой границы, вычисляется следующим образом

Решение определяется непосредственно из алгебраической формулы (4), вытекающей из соотношений Гюгонио на гидравлическом Прыжке, б) и,< 0, картина течения имеет вид уходящей влево волны

разрежения, слева от которой параметры потока к' и и,<0, и справа так же Н-а и и = 0, следовательно, решение определяется из

(3)

.си дх 2

Э/

(4)

постоянства соответствующего инварианта Римана, описывающего волну разрежения

Выражение (5) в явном виде определяет глубину нижнего слоя, полностью останавливаемого влиянием ступенчатой границы

Принципиально отличная ситуация будет складываться в случае, если 1г лежит вне интервала (0,/:,] Физически это означает либо

равенство нулю глубины Л" = 0 и, следовательно, отсутствие нижнего слоя, а вместе с ним и жидкости и/или изменения высоты подстилающей поверхности Либо в случае превышения /Г > /г, соответствует полному торможению потока слева, то есть в такой ситуации фиктивная поверхность является непротекаемой границей для всей жидкости слева, и следовательно, следует принять /;2=0 при х < 0 Тогда значение Л, при х = 0 может быть найдено, как решение задачи о взаимодействии с непротекаемой границей всей жидкости, находящейся слева

Найденное значение /Г позволяет найти значения потоковых величин, как решение уже классической задачи Римана для параметров верхнего слоя над ровным дном с соответствующими начальными условиями Предложенный метод адаптируется к параметрам потока и позволяет учитывать особенности течения жидкости в каждой точке пространства и в каждый момент времени

Разработанная конечно-разностная схема для исследования течений мелкой воды над ступенчатой границей высоты а в одномерном случае выглядит следующим образом

Н' =Н'+тх

X

и';1=тх

~Пх+Ч2\их+У2) -

I ХИТ +

ж . НЫ

(6)

н Г

где т - шаг по времени, Х - шаг по пространству Н'х - глубина жидкости, и'х - скорость жидкости Нижний индекс х обозначает значение функции, отнесенное к центру масс ячейки с номером х Полунижние индексы

- п -

л: ±1/2 обозначают значения величин на границе между ячейками с номерами х и х±\ соответственно Верхний индекс ? обозначает номер шага по времени

Грань ячейки над ступенчатой границей состоит из двух частей из части, аппроксимирующей ступенчатую границу, и оставшейся части, через которую осуществляется свободное течение жидкости Формально, с точки зрения приближения мелкой воды, первая часть отсутствует, хотя для исходных уравнений Эйлера она фактически является подстилающей поверхностью - границей, на которой выполнено условие непротекания При выводе уравнений мелкой воды это условие учитывается в самом уравнении, что, очевидно, не изменяет природу взаимодействия подстилающей поверхности с потоком жидкости Поэтому члены, отвечающие в разностной схеме за работу,

ИХа)*

имеют вид 2 ---2- ГДе слагаемое 1Ха описывает

работу перепада высот подстилающей поверхности над потоком жидкости Здесь I принимает значение либо 0 в случае отрицательного перепада высот подстилающей поверхности, либо 0<г<1 в случае положительного перепада Переменная г принимает значение равное 1 в случае если II', определяемое соотношениями (4,5) для соответствующей грани ячейки х, не превышает значения глубины внутри нее В противном случае значение I на соответствующей грани является отношением глубины, формирующейся при полном торможении потока на указанной грани, к соответствующему перепаду высот подстилающей поверхности Значения Н'х±]/2, и'х±1/г на гранях

вычисляются путем решения соответствующих задач Римана, на основе квазидвухслойной модели

С помощью разработанного квазидвухслойного метода решена задача распада произвольного разрыва для уравнений мелкой воды на ступенчатой границе Обнаружена автомодельность решений распада произвольного разрыва и наличие стационарного скачка вблизи ступенчатой границы Были получены численные решения для всех возможных конфигураций, реализующихся, в предположении наличия стационарного перехода вблизи ступенчатой границы, при аналитическом подходе Показано, что в результате качественного учета диссипации поступательной механической энергии за счет турбулентности, как функции крупномасштабных характеристик потока, класс полученных решений расширяется за счет волн разряжения, проходящих через ступеньку Проведено сравнение с известными численными и точными решениями задачи Римана на ступенчатой границе

Вторая глава диссертации посвящена разработке метода для исследования течений тяжелой жидкости со свободной поверхностью над границей произвольной формы Метод основан на аппроксимации произвольной границы ступенчатой поверхностью и использовании традиционного метода Годунова в областях однородной горизонтальной поверхности и квазидвухслойной модели в областях, примыкающих к вертикальным особенностям рельефа дна Метод обеспечивает единообразие построения решения как в областях со сложной геометрией подстилающей поверхности, так и в областях ровного или наклонного дна, экономичность при работе с большими расчетными областями по пространству, учет диссипации поступательной кинетической энергии за счет возникающей у ступеньки турбулентности и возможность добавления разнообразных стоков, массовых источников, трения

Работоспособность метода была проверена на основе решений нескольких классов гидродинамических задач, определяемых особенностями подстилающих поверхностей В частности была промоделирована и сопоставлена с аналитическим решением задача распада столба жидкости над наклонной затопленной плоскостью, аппроксимируемой системой уступов

Рис 1 Гпубина (слева) и скорость (справа) потока жидкости над затопленной наклонной поверхностью в момент ? = 1 с Пунктирная линия - начальные параметры потока Сплошная линия - параметры потока, полученные с помощью квазидвухслойного метода Поточечная линия - параметры потока, полученные с помощью расчета, использующего стандартный метод Годунова с последующей заменой переменных

Показано соответствие численных результатов решения задачи распада столба жидкости над наклонной затопленной плоскостью, аппроксимируемой множеством ступенек, результатам расчета, использующего точное решение стандартной задачи Римана с последующей заменой переменных.

На рисунке 2 представлены результаты натекания гидродинамического прыжка на наклонный берег аппроксимируемый ступеньками (в природе данная ситуация аналогична натеканию волны цунами на прибрежную зону). Высота натекающей волны равна 1 м, скорость 2 м/с. Эволюция волновой картины и скорости на береговой линии показана с интервалом в две секунды.

При прохождении гидродинамического прыжка через наклонный берег наблюдается небольшое увеличение его интенсивности и значительное увеличение скорости.

Ь (т) ' \

1 .о 0.5- 1 5

и (т/5) Л

X (т)

и (т/Б)

.гйЙЙ

х (т)

3|и (т/в)

х(т)

:т)

Рис.2. Эволюция глубины (слева) и скорости (справа) натекающей на наклонный берег, аппроксимируемый ступеньками, ударной волны.

В третьей главе диссертации предложено конечно-разностное представление, описывающее силу Кориолиса в численных методах годуновского типа для течений вращающейся мелкой воды.' Влияние силы Кориолиса описано введением фиктивной нестационарной границы. Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением. Проведен анализ границы применимости данного подхода в общем, для расщепляющихся разностных схем. Главная проблема при построении расщепляющейся разностной схемы состоит в необходимости постановки и решения одномерной задачи, не имеющей физического эквивалента для

конечных временных интервалов К сожалению, наиболее очевидный путь пренебрежения одной из пространственных координат не решает полностью проблемы Действительно, отказ от одной из пространственных переменных при решении существенно двумерной задачи приводит к нарушению закона сохранения импульса, что в свою очередь приводит к необходимости введения некоторой фиктивной работы для компенсации указанных нарушений, несмотря на всю нефизичность такой компенсации Однако в диссертационной работе удалось восстановить структуру течения во всей пространственно-временной области с учетом вертикальных особенностей, что в свою очередь дало возможность более точного определения трансверсальной составляющей вектора скорости для класса внешних сил, определяющих существенно двумерные задачи, как например, задачи с силой Кориолиса

Предложены конечно-разностные схемы для моделирования течений, как на ровной подстилающей поверхности, так и для подстилающей поверхности произвольного профиля Для численной аппроксимации источниковых слагаемых применена квазидвухслойная модель течения жидкости над ступенчатой границей, учитывающая гидродинамические особенности течения Осуществлен сравнительный анализ с известными конечно-разностными схемами, описывающими вращение и неоднородность профиля дна

Работоспособность метода подтверждена проведенным численным экспериментом по моделированию классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби Рассматривалось начальное возмущение

1г(х, 0) = \

■ и(х, 0) = 0 , (7)

у(Х,0) = УУл,(Х)

где /г„ - начальная глубина покоя, V - характерный масштаб скорости, V (*) - нормализованный профиль, задаваемый следующим образом

(1 + 1апЬ(4х/1 + 2))(1 - 1апЬ(4х/ Ь -2)) (1 + 1апЬ(2))2

, . т 1аш1^тл/ т ¿уд! — 1ш»1^*тл/ ь — )) ...

где ь - характерный масштаб возмущения Характерные параметры g,ha,f были зафиксированы, / - параметр Кориолиса Характерный масштаб скорости V и характерный масштаб возмущения Ь, вычислялись из двух безразмерных параметров, числа Россби-Кибеля Ко и числа Бюргерса Ви

V я2

Яо=—, Ви = Ц-, (9)

д ь2 к '

где Яа - радиус деформации Яа = Характерный масштаб времени

2к

задается следующей формулой тг~—

На рисунке 3 показана эволюция начального возмущения (7) в случае Яо = 1, Ви = 0 25

Рис 3 Эволюция распространения акустико-гравитационных волн, в результате воздействия начального возмущения Уу е1(х)

Наблюдается хорошее совпадение характерных пиков разбегающихся акустико-гравитационных волн и центральной уравновешенной части с известными геофизическими данными Что свидетельствует об эффективности использования квазидвухслойной модели при описании крупномасштабных геофизических явлений

На рисунке 4 показано сравнение величин потенциальной завихренности в начальный (/ = 07)) и конечный (/ = 167,) моменты

времени для классической задачи Россби в случае Ло = 1, Ни-0 5 Потенциальная завихренность задается следующей формулой

0 =

Эу + Эн + у дх

(10)

Выявлено сохранение инварианта <2 - потенциального вихря, со временем Реальное время процесса приблизительно равно 12 суткам

Из представленного графика видно, что максимум функции сдвигается в антициклонную область, а минимум

потенциальной завихренности со временем увеличивается

Данные результаты,

определяются чисто

нелинейными эффектами и хорошо согласуются с известными данными

геофизических исследований

Так же осуществлен расчет вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью параболического профиля

Получено качественное согласие с представлениями

геофизической гидродинамики квазидвухслойный метод обобщен на случай

Рис 4 Потенциальная завихренность в начальный (сплошная линия, / = 0и

конечный (пунктирная линия, / = 167),) моменты времени

Разработанный

исследования течений мелкой воды над неоднородным профилем дна в присутствии произвольной внешней силы Проведено численное моделирование и выполнено сравнение с лабораторными экспериментами по изучению разрушения двумерной дамбы над наклонной подстилающей поверхностью с учетом гидравлического трения На рисунке 5 изображена динамика глубины жидкости в

различных контрольных точках, полученная экспериментально -сплошная серая линия, численно на основе \Л/АР метода - прерывная линия, сплошная черная линия - на основе предложенного квазидвухслойного метода.

Рис.5. Зависимости глубины жидкости от времени в различных контрольных точках.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты работы.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости, основанная на выделении области жидкости, в которой происходит запирание потока массы. Разработана квазидвухслойная модель для определения этой области в каждый момент времени и нахождения гидродинамических параметров исходного течения.

2. Решена задача Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе на основе квазидвухслойной модели. Показано, что реализуется автомодельный режим течения распада произвольного разрыва со стационарным скачком вблизи уступа. Полученные решения расширяют класс аналитически допустимых включением конфигураций, связанных с прохождением волны разрежения через уступ.

3. Предложен численный метод для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над произвольным профилем дна, основанный на

найденных решениях задачи Римана Показана эффективность предложенного алгоритма путем сравнения с решениями на наклонной плоскости, полученными с использованием точных решений задачи Римана Результатами расчетов натекания волны цунами на наклонный берег и падения столба жидкости на подстилающей поверхности сложного профиля подтверждена работоспособность метода

4 Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах Годуновского типа Определена структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса, представленной фиктивной подстилающей поверхностью Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса

5 Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности Работоспособность алгоритма продемонстрирована на примере решения классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы

Публикации по теме диссертации

1 Karelsky К V, Petrosyan A S, Slavin A G Quazi-two-layer model for numerical analysis shallow water flows on step/1 Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling 2006 V 21 №6 pp 539559

2 Karelsky К V, Petrosyan A S, Slavin A G Numerical simulation of flows of a heavy nonviscous fluid with a free surface in the gravity field over a bed surface with an arbitrary profileII Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling 2007 V 22 №6 pp 543-565

3 Карельский К В, Петросян А С, Славин А Г Трансформация разрыва для потоков мелкой воды на скачкеИ Сборник трудов

международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» М , 2004 с 111-116

4 Славин А Г Квазидвухслойная модель для потоков мелкой воды над ступенькой/1 Труды XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова М ,

2005 с 110-116

5 Славин А Г Гидродинамика невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью сложного профиля/1 Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова М ,

2006 с 188-192

055(02)2

Ротапринт ИКИ РАН Москва, 117997, Профсоюзная, 84/32

Подписано к печати 4 09 2008

Заказ 2151 Формат 70x108/32 Тираж 100 0,8уч-издл

Введение.

Глава 1. Квазидвухслойная теория для исследования гидродинамических течений над ступенчатым профилем дна.

1.1. Вывод двухслойных уравнений мелкой воды.

1.2. Формулировка квазидвухслойной модели.

1.3. Конечно-разностная схема для уравнений мелкой воды над ступенчатой границей

1.4. Возможные волновые картины над уступом дна.

1.5. Результаты численного моделирования.

1.6. Сравнение с известными численными и точными решениями.

1.7. Обсуждение аналитического подхода и квазидвухслойной модели.

1.8. Анализ полученных решений.

1.9. Выводы к Главе 1.

Глава 2. Моделирование течений невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью произвольного профиля.

2.1. Конечно-разностная схема для уравнений мелкой воды над подстилающей поверхностью произвольного профиля.

2.2. Примеры тестовых расчетов для наклонной подстилающей поверхности.

2.3.Численное моделирование течений жидкости над подстилающей поверхностью сложного профиля.

2.4. Выводы к Главе 2.

Глава 3. Конечно-разностное представление силы Кориолиса в численных моделях годуновского типа для течений вращающейся мелкой воды.

3.1. Уравнения вращающейся мелкой воды.

3.2. Представление силы Кориолиса в методах годуновского типа на основе квазидвухслойной модели.

3.3. Метод Годунова для уравнений вращающейся мелкой воды над ровной подстилающей поверхностью с применением квазидвухслойной модели.

3.4. Сравнение предложенного алгоритма с известными методами типа well-balance

3.5. Повышение порядка точности метода и результаты численного моделирования

3.6. Метод Годунова для уравнений вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью произвольного профиля в рамках квазидвухслойного приближения

3.7. Исследование течений мелкой воды над произвольным профилем дна в присутствии внешней силы.

3.8. Выводы к Главе 3.

Задача об обтекании сложной границы течениями тяжелой жидкости со свободной поверхностью в присутствии источников является фундаментальной для моделирования крупномасштабных течений атмосферы и океана. Это, прежде всего, связано с тем, что улучшение разрешения таких моделей делает необходимым учет особенностей рельефа границы и поэтому требует глубокого понимания процессов на малых масштабах и их нетривиального влияния на крупном масштабе. Уравнения Эйлера, полностью описывающие гидродинамику природных и лабораторных течений идеальной жидкости, настолько сложны, что при наличии комплексной границы даже в предположении несжимаемости, баротропности и отсутствии вращения, не поддаются численному интегрированию в задачах с достаточно сильным изменением геометрии подстилающей поверхности. По этой причине разработка приближенных моделей и вычислительных методов, альтернативных решению исходных трехмерных уравнений гидродинамики, является актуальной проблемой.

Необходимость редукции исходных уравнений в классе задач со свободной поверхностью привела после предположения гидростатичности распределения давления, усреднению поля скорости по глубине потока и пренебрежения изменением горизонтальных скоростей вдоль линий коллинеарных вектору силы тяжести, к построению Стокером математической модели более низкого порядка. Впоследствии данная модель была названа моделью «мелкой воды» [69,99], поскольку редукция осуществлялась асимптотическим разложением по малому параметру, определяемому отношением глубины жидкости к характерному линейному размеру. При наличии внешнего источника, например, силы Кориолиса, область применения модели не ограничена условием малости глубины жидкости по сравнению с характерными линейными размерами, поскольку в этом случае возможность редукции трехмерных уравнений к двумерным есть следствие вращения, а не тонкости слоя. Уравнения мелкой воды, являясь системой нелинейных гиперболических уравнений, аппроксимируют полную систему уравнений Эйлера, описывающую течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести при пренебрежении эффектами вертикальной неоднородности горизонтального поля скорости.

Уравнения мелкой воды широко используются для описания различных физических явлений. Примером применения двухмерных уравнений мелкой воды к атмосферным течениям является классическая работа [21], в которой приближение мелкой воды используется для задач прогноза погоды. Авторы [21] проинтегрировали гидродинамические уравнения вдоль всей глубины атмосферы, пренебрегая стратификацией плотности и, тем самым, получили двухмерные баротропные уравнения. Уравнения мелкой воды применяются для описания крупномасштабных атмосферных течений, где существенно ускорение Кориолиса и его широтные вариации, В частности динамические уравнения работы [21] сформулированы в терминах потенциальной завихренности и функции тока.

Традиционно, океанические течения являются важным направлением применения уравнений мелкой воды. Например, в работе [37] приведены результаты моделирования крупномасштабных течений на всем земном шаре, учитывающие влияние сил, вызываемых воздействием Солнца и Луны. Интересный пример применения приближения мелкой воды приведен в работе [56], в которой решены усредненные уравнения мелкой воды для остаточных циркуляций. Уравнения работы [56] усреднялись по периоду течения, нелинейные члены при таком усреднении описывали суммарный поток импульса (радиационное напряжение), который определяется волновой компонентой течения. Важным приложением уравнений мелкой воды является предсказание штормовой картины, а именно, генерация течений и вариаций уровня воды, вызванных отношением атмосферного давления и напряжением ветра на водной поверхности [23,40].

Если жидкость расслаивается по причине разной солености, то полученный в результате слоистый поток очень похож на течение мелкой воды. Пример использования многослойной модели мелкой воды приведен в работе [27]. Схожая многослойная модель использовалась в работе [22] для моделирования и описания Большого Красного Пятна в атмосфере Юпитера.

Также следует отметить актуальные применения приближений мелкой воды для описания гидравлических течений [3,67], береговых течений [77], течений в реках [57] и озерах [60], течений в водозаборниках, технических сужениях и лотках [69], моделирования цунами [64,97], распространения волн прорыва и приливных бор в реках [65], распространения тяжелых газов и примесей в атмосфере Земли [22], атмосферных движений крупных масштабов, используемых при предсказании погоды [21,33,66].

Нелинейный характер уравнений мелкой воды в случае неоднородной подстилающей поверхности означает, что использование аналитических методов решения может иметь успех только при очень специальных условиях и для их решения приходится использовать численные методы. Гиперболичность уравнений мелкой воды определяет кроме гладких также наличие и разрывных решений. Даже в случае, когда начальные условия являются гладкими, нелинейный характер уравнений, наряду с их гиперболичностью за конечное время может привести к разрывному решению. В газовой динамике разрывные решения ассоциируются с ударными волнами и контактными разрывами. В контексте уравнений мелкой воды разрывы связываются с гидравлическими прыжками, сильными приливными течениями с распространением быстрых атмосферных фронтов.

Приближение мелкой воды было разработано для моделирования течений над слабоменяющимся рельефом или на наклонных плоскостях [41,82]. Наличие же препятствий, обусловленных резким изменением подстилающей поверхности, требует разработки альтернативных приближений, учитывающих влияние вертикальной неоднородности течения, возникающего у препятствий, поскольку классические приближения мелкой воды на такой границе нарушаются.

Простые автомодельные решения гиперболических систем уравнений [55,68,86,93,97,102,111,112] являются основополагающими в исследовании нелинейных волновых явлений, поскольку позволяют найти точное решение задачи распада произвольного разрыва. Задача Коши о распаде произвольного разрыва кусочно-постоянных начальных условий, впервые возникшая в газовой динамике (задача Римана) [96,103], имеет фундаментальное значение. Ее решение облегчает понимание множества нелинейных явлений в течениях несжимаемой жидкости со свободной границей в рамках приближения мелкой воды. Решение такой задачи на ступенчатой границе особенно важно при изучении течений над сложной подстилающей поверхностью, аппроксимируемой системой таких ступенчатых границ. Существующий аналитический подход для решения задачи Римана, основанный на предположении о наличии стационарной зоны в окрестности ступенчатой границы, с одной стороны не учитывает потери кинетической энергии на турбулентное перемешивание вблизи ступеньки, с другой - накладывает ограничения на возможные глубины натекающего потока для преодоления ступенчатой границы. Решение этой задачи является важнейшим компонентом в разработке численных методов сквозного счета, основанных, как на аналитических, так и на приближенных решениях задачи Римана. Основная идея методов [13,38,51,53,54,71,82] годуновского типа [87], основанных на решении задачи Римана, состоит в расщеплении решения многомерной задачи на набор одномерных подзадач, возникающих после разбиения расчетной области на ячейки и записи соответствующих интегральных соотношений для всех элементов (ячеек), посредством которых осуществлялось разбиение. Данные методы особенно часто находят применение в численном моделировании, поскольку позволяют получать решение, не только в области непрерывного течения, но и в областях разрыва решений, без специального выделения и отслеживания поверхностей разрыва [3,8,11,25,32,70,72,76,81]. Кроме того, эти методы хорошо адаптируются к сложным граничным условиям, характерным для большинства постановок задач, описывающих реальные природные течения [81]. Главная проблема, состоящая в отсутствии однозначного аналитического решения одномерной задачи для подстилающих поверхностей неоднородного профиля [89], во всех вышеуказанных работах решается введением дополнительных предположений.

При численном интегрировании гиперболической системы балансовых уравнений ключевой задачей является получение конечно-разностных схем, удовлетворяющих сохранению устойчивых состояний, таких как, например, равновесие покоящейся воды. Схемы, удовлетворяющие таким свойствам, называют well-balanced схемами. В работе [9] для выполнения условий сохранения устойчивых состояний было предложено использовать модифицированную схему Роу [62]. Дальнейшее развитие идеи этой работы получило в статьях [58,73], в работах [18,19] рассмотрены явления турбулентности и массовые источники в задачах, включающих неоднородную топографию, в работах [16,17] применена улучшающая реконструкция. В работах [53,54] было предложено использовать либо точные, либо модернизированные схемы годуновского типа (Riemann-solvers). Такой подход хорошо себя зарекомендовал, и данная идея получила широкое развитие для решения задач с источниковыми членами различного происхождения. В частности, в работах [82,95] предложен метод, компенсирующий влияние подстилающей поверхности, изменением значений глубин жидкости. В работах [5,13,61] предложен метод, использующий схему гидростатической реконструкции подсчета потоков на гранях ячеек. С помощью этой схемы промоделированы явления, обусловленные наличием силы Кориолиса, в частности явление геострафической адаптации. Изучению этих же явлений посвящена работа [51], в которой применен метод Левека [53,54]. Распространение волн цунами и процессы затопления изучены в работах [28,29]. В работе [79] был предложен метод поверхностных градиентов -способ интерпретации источниковых членов в уравнениях мелкой воды, основанный на точной реконструкции консервативных переменных на гранях ячеек. Метод разделения потоковых величин, который, когда это необходимо, поддерживает точный баланс между градиентами потока и источниковыми членами, предложен в работе [39]. В работе [74] предложена нелинейная реконструкция параметров, обеспечивающая высокий порядок точности разностной схемы для уравнений мелкой воды. Точные частные решения задачи, включающую ступенчатую границу на дне, представлены в работах [2]. Точные частные решения для задачи, включающую неоднородную топографию, представлены в работе [10]. Также следует отметить работы [3,5,6,15,26,32,34,35,38,71,80], внесшие существенный вклад в решение задач моделирования потоков жидкости над неоднородной поверхностью с источниковыми членами различного происхождения.

При численном моделировании течений мелкой воды над неоднородным профилем дна, после перехода к конечно-разностным соотношениям, профиль произвольной неоднородной поверхности представляется ломаной, состоящей из соответствующей комбинации вертикальных горизонтальных или наклонных отрезков, концы которых соответствуют узлам сетки. Учет неоднородности границы между узлами осуществляется либо параметризацией диссипации кинетической энергии на границе, либо введением стоковых слагаемых, точно отражающих природу процессов лишь в случае плоской подстилающей поверхности с ограниченным углом наклона. В последнем случае эти слагаемые представляют собой скатывающую силу, действующую на жидкость. Однако, непосредственно сами узловые точки, где происходит достаточно резкое изменение рельефа дна, вносят свой вклад лишь опосредовано через влияние дополнительных стоковых слагаемых или изменение значения параметризации в соседних от узловой точки областях.

Строго говоря, численное решение слева и справа от точки, являющейся узлом сетки, определяет два различных течения, соответствующих различным дифференциальным системам уравнений. В малой окрестности этой точки обе аппроксимации исходных уравнений Эйлера не работают, при этом величина возмущений вблизи такой особенности может быть сопоставима с масштабом изучаемого течения и, следовательно, может нарушить аппроксимацию решений, исходных уравнений Эйлера. А именно, осредненные по глубине решения уравнений Эйлера будут принципиально отличаться от решений осредненных уравнений, т. е. уравнений мелкой воды. Физически данная ситуация обусловлена, с одной стороны, нарушением предположения о гидростатическом распределении давления, с другой, нетривиальной зависимостью горизонтальной скорости от вертикальной координаты.

Существующие методы решения уравнений мелкой воды в случае наличия подстилающей поверхности сложного профиля можно разделить на несколько основных подходов. Распространенным подходом к решению являются методы, представляющие наклонную поверхность дна в виде источников в уравнениях мелкой воды. Впервые данный подход был предложен в работе [9], далее эту идею, улучшали и видоизменяли в работах [1,7,39,53,80]. Однако данный подход неработоспособен в случае наличия участков подстилающих поверхностей с резкими перепадами высот, в частности, для уступов дна, где особенно обостряется проблема, связанная с неоднородностью горизонтальной скорости. Другой подход к решению этой проблемы состоит в замене участков с резким перепадом подстилающей поверхности наклонными плоскостями с большим углом наклона [38]. Однако, такой подход лишь обостряет проблему возмущений, вносимых особенностями аппроксимации поверхности, и игнорирует принципиальные проблемы, обусловленные негидростатичностью давления и зависимостью горизонтальной скорости от вертикальной координаты. В качестве альтернативы используют реконструкцию данных на границе вертикальной неоднородности дна (ступенчатой границы) без учета особенностей решения задачи Римана, вызванных наличием такой неоднородности [78,79]. В рамках приближения мелкой воды не существует однозначного решения вблизи разрыва дна, вследствие чего, для выбора единственного решения необходимо вводить дополнительные предположения, отражающие реальную картину течения [89]. Вообще говоря, начиная с некоторого критического значения удельного перепада высот, необходимо принимать во внимание величину отклонения горизонтальной скорости от средней, поскольку это отклонение нетривиально отражается уже на самих средних величинах.

Одной из основных трудностей моделирования течений мелкой воды является возможность появления зон частичного или полного обмеления. Зоны частичного обмеления могут появляться в областях течений, где глубина жидкости сопоставима с величиной перепада подстилающей поверхности. В таком случае рассматриваемая область течения может преобразовываться из односвязной в многосвязную или наоборот. Зоны полного обмеления представляют вычислительную сложность для большинства конечно-разностных методов и требуют выделения и специально учета таких зон.

Для преодоления трудностей, возникающих при изучении течений мелкой воды над сложными поверхностями, в диссертационной работе предложен метод, основанный на аппроксимации произвольной подстилающей поверхности ступенчатыми границами. Разработанный квазидвухслойный метод [45,91,108] принадлежит к семейству методов, основанных на решении задачи распада произвольного разрыва, и базируется на последовательном решении классических уравнений мелкой воды на ровной плоскости методом Годунова с учетом влияния вертикальной неоднородности течения при расчете потоков через границы ячеек, примыкающих к ступенчатым границам. Учет вертикальной неоднородности обеспечивается использованием решения задачи Римана на ступенчатой границе на основе квазидвухслойной модели мелкой воды.

Суть квазидвухслойной модели [44,46,47,90,104-107] состоит в разбиении потока жидкости на два слоя: нижнего, для которого ступенька является непротекаемой границей и верхнего, для которого отсутствует прямое влияние ступеньки. Используя предположение о том, что формирование волновой картины в нижнем слое происходит много быстрее чем в верхнем, можно разделить поток на слои так, что нижний слой, взаимодействуя со ступенькой, приходит в состояние покоя и образовывает с ней единую горизонтальную плоскость. Однозначность такого разделения на два слоя, обеспечивается единственностью решения обратной задачи Дирихле для нахождения этой границы. В результате соответствующая система уравнений двухслойной мелкой воды разрешима и гидродинамические параметры исходного течения могут быть вычислены.

Для решения многих реальных задач недостаточно учитывать только неоднородность подстилающей поверхности. Необходимость рассмотрения дополнительных воздействий, определяемых конкретными условиями течения, приводит к появлению в системе уравнений мелкой воды дополнительных членов. В частности, для расчета крупномасштабных атмосферных и океанических задач следует принимать во внимание эффекты, определяемые планетарным вращением. Наличие хорошо разработанного и апробированного численного аппарата вкупе с многократно протестированной программной реализацией сделало особенно привлекательным сведение решения задачи о вращающейся «мелкой воде» над ровной подстилающей поверхностью к решению задачи о течениях мелкой воды над комплексной нестационарной границей. Представление силы Кориолиса фиктивной нестационарной границей создает важные преимущества при моделировании течений на неровной границе, сводя задачу к моделированию течений мелкой воды над нестационарной эффективной поверхностью [13,51,53,54,61]. Однако, применение такого представления в расщепляющихся численных методах затрудняется отсутствием одномерной постановки задач для вращающейся жидкости. Формальное постановка одномерной задачи, определяемой отказом от частных производных по одному из пространственных направлений, делает особенно актуальным нахождение горизонтальной неоднородности трансверсальной составляющей вектора скорости, определяющей консервативность силы Кориолиса, в зависимости от вертикальной структуры течения.

В диссертационной работе построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных представлением влияния силы Кориолиса фиктивной подстилающей поверхностью, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющей консервативность силы Кориолиса. Особое внимание в диссертационной работе уделяется проблемам, которые возникают при дискретизации фиктивной нестационарной границы, описывающей вращение и путям преодоления этих проблем. Проведен анализ границы применимости данного подхода в общем, для расщепляющихся разностных схем. Главная проблема при построении расщепляющейся разностной схемы, состоит в необходимости постановки и решения одномерной задачи, не имеющей физического эквивалента для конечных временных интервалов. К сожалению, наиболее очевидный путь пренебрежения одной из пространственных координат не решает полностью проблемы. Действительно, отказ от одной из пространственных переменных при решении существенно двумерной задачи приводит к нарушению закона сохранения импульса, что в свою очередь приводит к необходимости введения некоторой фиктивной работы для компенсации указанных нарушений, несмотря па всю нефизичность такой компенсации. В диссертационной работе удалось восстановить структуру течения во всей пространственно-временной области с учетом вертикальных особенностей, что в свою очередь дало возможность более точного определения трансверсальной составляющей вектора скорости для класса внешних сил, определяющих существенно двумерные задачи, как например, задачи с силой Кориолиса.

Разработанный численный алгоритм был обобщен на случай решения уравнений мелкой воды с источниковыми членами произвольной природы.

Цель работы.

Разработать теорию для течений мелкой воды на ступенчатой границе с учётом вертикальной неоднородности поля скорости вблизи ступеньки.

Найти решение задачи Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе с учетом диссипации кинетической энергии. Исследовать возможность формирования стационарной зоны вблизи ступенчатой границы и проверить полученное решение на автомодельность.

Построить на основе найденного решения задачи Римана численный алгоритм для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над сложным профилем дна. Провести численное исследование задачи о падении столба жидкости на сложной подстилающей поверхности и задачи о набегании волны цунами на наклонный берег.

Разработать конечно-разностное представление силы Кориолиса в моделях вращающейся мелкой воды и разработать численный метод расчета течений вращающейся мелкой воды над неоднородными подстилающими поверхностями. Провести численное исследование течения вращающейся жидкости над подстилающей поверхностью параболического профиля.

Разработать алгоритм для решения уравнений мелкой воды с источниковым членом произвольной природы.

Научная новизна.

Разработана квазидвухслойная теория для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над неоднородным профилем дна, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости. Решена задача Римана для течений мелкой воды над ступенчатой границей. Впервые в результате качественного учета диссипации поступательной механической энергии, как функции крупномасштабных характеристик потока, класс полученных решений был расширен решениями, содержащими волны разряжения, проходящие через ступенчатую границу или примыкающие к ней.

Разработай новый численный алгоритм, позволяющий вести сквозной расчет гидродинамических течений над сложной подстилающей поверхностью без специального выделения зон обмеления для нестационарной многосвязной расчетной области. Впервые проведено численное исследование падения столба жидкости на сложную подстилающую поверхность.

Предложена качественная картина для обоснования использования фиктивной нестационарной подстилающей поверхности, описывающей влияния силы Кориолиса. Для расчета течений мелкой воды над произвольной поверхностью в присутствии силы Кориолиса, разработан модернизированный метод Годунова, основанный на квазидвухслойном представлении. В отличие от известных методов расчета течений вращающейся мелкой воды предложенный метод адаптируется к значению текущих параметров течения.

Впервые установлена структура решения вращающейся мелкой воды внутри пространственно-временной области для глубины и одной из составляющих вектора скорости по выбранному направлению, для уточнения, конвективно переносимой, второй составляющей вектора скорости. Тем самым были минимизированы паразитные явления, обусловленные отказом от интегрирования уравнения для трансверсальной составляющей вектора скорости.

Практическая и научная ценность работы.

Разработанная в диссертации квазидвухслойная теория мелкой воды и найденное на ее основе решение задачи Римана может быть использована для исследования нелинейных процессов в течениях тяжелой жидкости со свободной поверхностью на сложной границе, а также для разработки целого ряда численных алгоритмов годуновского типа. Найденное решение задачи Римана позволяет эффективно решать практические задачи о разрушениях дамб.

Полученные в диссертации результаты увеличивают потенциальные возможности для моделирования атмосферных и океанических течений и течений в береговых зонах. Разработанные численные модели течений мелкой воды на сложной подстилающей поверхности хорошо адаптируются к реальным границам и позволяют исследовать взаимодействие волн цунами с береговой линией, изучать распространение тяжелых газов в атмосферном пограничном слое.

Предложенное в диссертации квазидвухслойное конечно-разностное представление силы Кориолиса и разработанный на ее основе численный метод моделирования крупномасштабных атмосферных и океанических течений может быть использован для изучения задачи геострофической адаптации на неоднородной границе, для изучения геофизических течений на границе с произвольной орографией.

Разработанный алгоритм расчета течений вращающейся мелкой воды может быть использован для построения других численных методов, учитывающих консервативность силы Кориолиса.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается использованием строгих математических методов анализа гиперболических уравнений в частных производных, а также сравнением с результатами известных численных и точных решений течений мелкой воды над подстилающими поверхностями сложного профиля. Достоверность результатов расчетов вращающейся мелкой воды обеспечивается сравнением с данными геофизических исследований и качественным согласием с представлениями геофизической гидродинамики.

Апробация работы и публикации.

Основные положения диссертационной работы и полученные результаты докладывались на российских и международных конференциях и симпозиумах:

• Международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». Москва, 2004.

• XLVII научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII. Физика и энергетика. Москва, 2004.

• II Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики. Москва, 2005.

• XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2005.

• European Geosciences Union, General Assembly, Vienna, Austria, 2005.

• XLVIII научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VIII. Физика и энергетика. Москва, 2005.

• III Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики. Москва, 2006.

• XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2006.

• The Fifth International Symposium on Environmental Hydraulics. Arizona, USA, 2007.

• XVI Научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике. Москва, 2007.

• V Конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования», посвященной дню космонавтики. Москва, 2008.

• XXX Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2008.

А также на семинарах Института Космических Исследований РАН, семинарах кафедры «Волновой и газовой динамики» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

• Karelsky К. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Quazi-two-layer model for numerical analysis shallow water flows on stepH Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. 2006. V. 21. №6. pp. 539-559.

• Karelsky К. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Numerical simulation of flows of a heavy nonviscous fluid with a free surface in the gravity field over a bed surface with an arbitrary profilell Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. 2007. V. 22. №6. pp. 543-565.

• Карельский K.B, Петросян A.C, Славин А.Г. Трансформация разрыва для потоков мелкой воды на скачке// Сборник трудов международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». М., 2004. с. 111- 116.

• Славин А.Г. Квазидвухслойная модель для потоков мелкой воды над ступенькой// Труды XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2005. с. 110-116.

• Славин А.Г. Гидродинамика невязкой тяжелой оюидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью сложного профиля// Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2006. с. 188-192.

Цикл работ автора «Численное моделирование атмосферных и океанических течений над сложной подстилающей границей» стал лауреатом премии «Лучшая научная работа Института» конкурса работ ИКИ РАН в 2007 году.

Личный вклад автора.

Автор принимал участие в формулировке задачи и выборе методики ее решения. Все теоретические и численные результаты, представленные в диссертационной работе, а также разработка численных алгоритмов, сравнения результатов с известными численными и точными решениями, были получены автором лично.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы (146 страница текста, 70 рисунков, 112 наименований литературы).

3.8. Выводы к Главе 3.

В главе 3 предложена конечно-разностная модель позволяющая описать силу Кориолиса в численных методах годуновского типа для течений вращающейся мелкой воды. На основе предложенного представления разработан конечно-объемный алгоритм, как для ровной границы, так и для границы произвольного вида. Метод основан на представлении произвольной подстилающей поверхности и силы Кориолиса комплексной нестационарной ступенчатой границей. Обсуждены границы применимости данного представления с точки зрения конечно-объемных численных методов. Конечно-разностная аппроксимация эффективной комплексной нестационарной поверхности осуществлена на основе квазидвухслойной модели мелкой воды, являющейся более точной, по отношению к исходной системе уравнений Эйлера, по сравнению с классическими однослойными моделями. Предложенное представление адекватно описывает особенности нелинейных процессов, вызванные силой Кориолиса в численных методах годуновского типа, поскольку корректно отражает нелинейную структуру течений вблизи особенностей, возникающих после дискретизации эффективной границы. На основе проведенного сравнительного анализа показано, что хорошо известные численные модели являются частным случаем реализованного квазидвухслойного метода. Заметим, что для реализации идеи квазидвухслойного метода можно использовать не только точные решения задачи Римана для уравнений мелкой воды, а также и другие приближенные решения этой задачи, как например это сделано в методе Роу [62], Хартена-Лакса-ван Лира [36], "^^А!7 методе [71] и в методе Энгквиста-Ошера [24]. Выявлено основное преимущество предлагаемого метода, позволяющее точнее описывать трансверсальную составляющую вектора скорости и тем самым минимизировать погрешность вычислений, индуцированных существенной двумерностыо постановок задач для вращающейся жидкости. Реализации указанного преимущества будет посвящена отдельная статья.

Работоспособность метода подтверждена проведенным численным экспериментом по моделированию классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби, и расчетом вращающейся мелкой воды над подстилающей поверхностью параболического профиля. Достоверность результатов показана на основе решения задачи о разрушении двумерной дамбы и сравнения полученных решений с результатами имеющихся лабораторных экспериментов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Диссертационная работа посвящена изучению гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии внешних источников над подстилающими поверхностями сложного профиля. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, состоят в следующем:

Разработана теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости, основанная на выделении области жидкости, в которой происходит запирание потока массы. Разработана квазидвухслойная модель для определения этой области в каждый момент времени и нахождения гидродинамических параметров исходного течения.

Решена задача Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе на основе квазидвухслойпой модели. Показано, что реализуется автомодельный режим течения распада произвольного разрыва со стационарным скачком вблизи уступа. Полученные решения расширяют класс аналитически допустимых включением конфигураций связанных с прохождением волны разрежения через уступ.

Предложен численный метод для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над произвольным профилем дна, основанный на найденных решениях задачи Римана. Показана эффективность предложенного алгоритма путем сравнения с решениями па наклонной плоскости, полученными с использованием точных решений задачи Римана. Работоспособность метода продемонстрирована моделированием натекания волны цунами на наклонный берег и падения столба жидкости на подстилающей поверхности сложного профиля.

Разработано квазидвухслойное представление течений вращающейся мелкой воды, описывающее силу Кориолиса в численных методах годуновского типа. Определена структура вертикальной неоднородности течения под влиянием силы Кориолиса, представленной фиктивной подстилающей поверхностью. Построена качественная интерпретация нелинейных процессов, вызванных таким представлением, и найдена соответствующая ей горизонтальная неоднородность трансверсальной составляющей скорости, определяющая консервативность силы Кориолиса.

Предложен численный алгоритм для изучения течений вращающейся мелкой воды для произвольной подстилающей поверхности. Работоспособность алгоритма продемонстрирована на примере решения классической задачи геострофической адаптации, известной как задача Россби. Осуществлено численное моделирование крупномасштабного течения атмосферы над подстилающей поверхностью параболического профиля и получено качественное согласие с представлениями геофизической гидродинамики. Предложенный алгоритм обобщен на случай произвольной внешней силы.

Выражаю глубокую признательность моему научному руководителю Петросяну Аракелу Саркисовичу за всестороннюю поддержку, плодотворные научные обсуждения и неоценимую помощь в работе, а также Карельскому Кириллу Владимировичу за его советы и творческое сотрудничество.

1. Alcrudo F. Dam-break flow simulation with structured grid algorithms // Proceedings of the CAD AM meeting (1999) 47-62.

2. Alcrudo F, Benklialdoun F. Exact solutions to the Riemann problem of the shallow water equations with a bottom step, Comput. Fluids. 30 (2001) 643-671.

3. Alcrudo F, Garcia-Navarro P. A high resolution Godunov-type scheme in finite volumes for the 2D shallow water equation, Int. J. Numer. Meth. Fluids 16 (1993) 489-505.

4. Audusse E, Bouchut F, Bristeau M.-O, Klein R. and Perthame B. A Fast and Stable Well- Balanced Scheme with Hydrostatic Reconstruction for Shallow Water Flows. SIAM J. Sci. Сотр. Volume 25 (2004), Issue 6,2050-2065.

5. Audusse E, Bristeau, F. A well-balanced positivity preserving "second-order" scheme for shallow water flows on unstructured meshes. J of Comput. Phys. 206 (2005) 311-333.

6. Benkhaldoun F, Elmahi I, Seaid M. Well-balanced finite volume schemes for pollutant transport by shallow water equations on unstructured meshes. J of Comput. Phys. 226 (2007) 180-203.

7. Benkhaldoun F, Monthe L, Elmahi I. A splitting finite volume roe scheme for shallow water equations with source terms // Proceedings of the CAD AM meeting (1999) 63-88.

8. Bermudez A, Dervieux A, Desideri Jean-Antoine, Vazquez M.E. rNRIA Rapport de recherche №2738(1995), 50.

9. Bermudez A, Vazquez M.E. Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms, Comput. Fluids 23 (8) (1994) 1049-1071.

10. Bernetti R, Titarev V.A, Того E.F. Exact solution of the Riemann problem for the shallow water equations with discontinuous bottom geometry, J of Comput. Phys. (2007), doi: 10.1016/j.jcp. 2007.11.033.

11. Billett SJ, Того E.F. On WAF-Type Schemes for Multidimensional hyperbolic conservation laws // Journal of computational physics, 130 (1997) 1-24.

12. Blumen W. Geostrophic adjustment. Geophys. Space Phys. 10 (1972), 485-528.

13. Bouchut F, Le Sommer J, Zeitlin V. Frontal geostrophic adjustment and nonlinear-wave phenomena in one dimensional rotating shallow water. Part 2: high-resolution numerical simulations, J. Fluid Mech. 514 (2004), 35-63.

14. Cahn A. An investigation of a free oscillations of a simple current system. J. Meteor. 2 (1945), 113-119.

15. Caleffi V, Valiani A, Bernini A. Fourth-order balanced source term treatment in central WENO schemes for shallow water equations. J of Comput. Phys. 218 (2006) 228-245.

16. Castro M, Gallardo J.M, Pares C. High order finite volume schemes based on reconstruction of states for solving hyperbolic systems with nonconservative products. Applications to shallow water systems, Math. Comput. 75 (2006) 1103-1134.

17. Castro M.J, Garcia J.A, Gonzalez-Vida J.M, Macias J, Pares C, Vazquez-Cendon M. E. Numerical simulation of two-layer shallow water flows through channels with irregular geometry, J. Comput. Phys. 195 (2004) 202-235.

18. Cea L, Vazquez-Cendon M.E, Puertas J. Depth Averaged Modelling of Turbulent Shallow Water Flow with Wet-Dry Fronts. Arch Comput Methods Eng (2007) 14: 303-341.

19. Chapman S, Cowling T.G. The mathematical theory of non-uniform gases. Cambridge Univ. Press: Cambridge, 1952.

20. Charney J.G, Fjortoft R,J. Von Neumann. Numerical integration of the barotropic vorticity equation. Tellus. 1950. 2, 237-254.

21. Dowling T.E, Ingersoll A.P. Jupiter's Great Red Spot as a shallow-water system // Atmosph. Sci. 1989. 46, 21, P. 3256-3278.

22. Dube S.K, Sinha P.C, Roy G.D. The numerical simulation of storm surgers along the Bangla Desh coast, Dyn. Atm. Oceans 9 (1985), 121-133.

23. Engquist В. and Osher S. One-sided difference approximations for nonlinear conservation laws, (1981) Math. Comput. 36 № 154, 321-351.

24. Fraccarollo L, Того E.F. Experimental and numerical assessment of the shallow water model for two-dimensional dam-break type problems. Journal of hydraaulic research, vol. 33, (1995) №6, 843-864.

25. Gallouet T, Herard J.M, Seguin N. Some approximate Godunov schemes to compute shallow- water equations with topography, Comput. Fluids 32 (2003) 479-513.

26. Garvine R.W. Estuary plume and fronts in shelf waters: a layer modele, J. Phys. Oceanogr. 17 (1987)1877-1896.

27. George D. L. Augmented Riemann Solvers for the Shallow Water Equations over Variable Topography with Steady States and Inundation, Journal of Computational Physics (2007), doi: 10.1016/j.jcp. 2007.10.027.

28. George D. L. Finite volume methods and adaptive refinement for tsunami propagation and inundation. PhD thesis, University of Washington, 2006.

29. Gill, A. E. Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press: San Diego, CA, 1982, 662pp.

30. Glaister P. Difference schemes for the shallow water equations. Univ. of Reading, Department of mathematics, Numerical Analysis report 9/1987, 50

31. Gosse L. A well-balanced flux-vector splitting scheme designed for hyperbolic systems of conservation laws with source terms, Comput. Math. Appl. 39 (2000) 135-159.

32. Gottelmann J. A spline collocation scheme for the spherical shallow water equations // J. Comput. Phys. 1999. 148, № 1, 291-298.

33. Greenberg J.M, Leroux A.-Y. A well-balanced scheme for the numerical processing of source terms in hyperbolic equations SLAM J. Numer. Anal. 33 (1996) 1-16.

34. Guinot V. An approximate two-dimensional Riemann solver for hyperbolic systems of conservation laws. J of Comput. Phys. 205 (2005) 292-314.

35. Harten A, Lax P.D. and B. van Leer. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws, (1983) SIAM Review 21, № 1, 35-61.

36. Hendershott M.C. Long waves and ocean tides. Ch. 10 in: B.A. Warren & С Wunsch (eds.) Evolution of physical oceanography, MIT Press, 1981. 292-341.

37. Hu K, Mingham C.G, Causon D.M. Numerical simulation of wave overtopping of coastal structures using the non-linear shallow water equations, Coastal Engineering. 2000. 41, 433-465.

38. Hubbard M.E, Garcia-Navarro P. Flux difference splitting and the balancing of source terms and flux gradients, J of Comput. Phys. 2001. 165, 89-125.

39. Johns В, Dube S.K, Sinha P.C, Mohanty U.C, Rao A.D. The simulation of continuously deforming lateral boundaries in problems involving the shallow-water equations, Сотр. And Fluids 10,2,(1982) 105-116.

40. Karelsky K.V, Papkov V.V, Petrosyan A.S. The initial discontinuity decay problem for shallow water equations on slopes, Phys. Let. A. 2000. V. 271. 349-357.

41. Karelsky K.V, Papkov V.V, Petrosyan A.S, Tsygankov D.V. Particular solutions of shallow water equations over non-flat surface // Phys. Let. A. 2000. V. 271. 341-348.

42. Karelsky K.V, Petrosyan A.S. Particular solutions and Riemann problem for modified shallow water equations. Fluid Dynamics Research, 38 (2006) 339-358.

43. Karelsky K.V, Petrosyan A.S, Slavin A.G. Quazi-two-layer model for numerical analysis shallow water flows on step, Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. V. 21,6, 2006.

44. Karelsky K.V, Petrosyan A.S, Slavin A.G. Quasi-two-layer model for numerical analysis of shallow water flows over a step boundary. The Fifth International Symposium on Environmental Hydraulics. Arizona, 2007.

45. Karelsky K.V, Petrosyan A.S, Slavin A.G. Riemann problem for shallow water flows on step. Geophysical Research Abstracts, Vol. 7, 08202, Vienna, Austria, 2005.

46. Kirwan A.D. Jr, and Liu Juping. The Shallow-Water Equations on an F-Plane. Proceedings of the international school of physics «Enrico Fermi», Nonlinear Topics in Ocean Physics, 1988.

47. Kirwan A.D. Jr, Mied Richard P, and Lipphardt B.L. Jr. Rotating modons over isolated topography in a two-layer ocean, Z. angew. Math. Phys. 48 (1997) 535-570.

48. Kizner Z, Khvoles R, McWilliams J.C. Rotating multipoles on the f and - planes. Physics Of Fluids, 19,016603(2007).

49. Kuo, A.C, and Polvani L.M. Time-dependent fully nonlinear geostrophic adjustment. J. Phys. Oceanogr, 27 (1997) 1614-1634.

50. LeVeque R.J. Balancing source terms and flux gradients in high-resolution Godunov methods: the quasi-steady wave-propagation algorithm, J of Comput. Phys. 146 (1998), 346 -365.

51. LeVeque R.J. Wave-propagation algorithms for multidimensional hyperbolic systems. J. Comput. Phys. 131 (1998) 327-353.

52. LighthiU M.J. River waves, Naval hydrodynamics publication 515 National Academy of Sciences - National Research Council, 1957.

53. Nihoul J.CJ, Ronday F.C. The influence of tidal stresses on the residual circulation, Tellus 29 (1975)484-490.

54. Ogink HJ.M, Grijsen J.G. Wijbenga A.J.H. Aspects of flood level computations. Int. Symp. Flood Frequency and Risk Analysis, Baton Rouge, USA, 1986 (also Delft Hydraulics Comm. 357).

55. Pares C, Castro M. On the well-balanced property of Roe's method for nonconservative hyperbolic systems. Applications to shallow water systems, ESAJJVI: M2AN 38 (2004) 821-852.

56. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere. Introduction to Wave Dynamics. Springer- Verlag: Berlin, 260, ISBN 3-540-00340-1.

57. Platzman G.W. Two-dimensional free oscillations in natural basins // J. Phys. Oceanogr. 1972. 2,2, 117-138.

58. Reznik G.M, Zeitlin V, and Ben Jelloul M. Nonlinear theory of geostrophic adjustment. Part

59. Rotating shallow-water model. J. Fluid Mech. (2001), vol. 445, 93-120.

60. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. J. Comput. Phys, 43 (1981) 357-372.

61. Rossby, C.G. On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems. J. Mar. Res. 1 (1938) 239-263.

62. Shokin Y.I, Chubarov L.B. Finite-difference simuletion of tsunami propogation, in (U. Muller et al, eds) Theoretical and experimental fluid mechanics, Springer, Berlin (1980) 599-606.

63. Simons T.J. Circulation models of lakes and island seas // Canadian bulletin of fisheries and aquatic sciences (203), Ottawa: Dept. of Fisheries and Oceans, 1980. VIII, 146.

64. Spotz W.F, Taylor M.A, Swarztrauber P.N. Fast shallow-water equation solvers in latitude- longitude coordinates // J. Comput. Phys. 1998. 145, № 1, P. 432-444.

65. Stelling G.S. On the construction of the computational methods for shallow-water flow problems, PhD thesis Delft Univ. of Technology (1983).

66. Stoker J.J. The formation of breakers and bores. // Comm. Pure Appl. Math. 1948. № 1, 1-87.

67. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. New York: Interscience, 1957.

68. Того E.F. Riemann problems and the WAF method for solving the two-dimensional shallow water equations. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A (1992) 338, 43-68.

69. Того E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. A Practical Introduction, 2nd ed., Springer-Verlag: Berlin, 1999.

70. Того E.F, Billett S.J. Centered TVD schemes for hyperbolic conservation laws. ГМА Journal of numerical analysis (2000) 20, 47-79.

71. Vazquez-Cendon M.E. Improved treatment of source terms in upwind schemes for the shallow water equations in channels with irregular geometry. J Comput. Phys. 148 (1999) 497-526.

72. Vignoli G, Titarev V.A, Того E.F. ADER schemes for the shallow water equations in channel with irregular bottom elevation, J of Comput. Phys. (2007), doi: 10.1016/j.jcp.2007.11.006.

73. Vreugdenhil C.B. Numerical methods for shallow-water flow. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1994.

74. Watson G, Peregrine D.H, Того E.F. Numerical solution of the shallow-water equations on a beach using the weighted average flux method. Computational Fluid Dynamics, Volume 1, 1992,495-501.

75. Wind H.G, Vreugdenhil C.B. Rip-current generation near structures // J. Fluid Mech. 1986. 171,459-476.

76. Zhou J.G, Causon D.M, Ingram D.M, Mingham C.G. Numerical solutions of the shallow water equations with discontinuous bed topography // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2002. V. 38. 769-788.

77. Zhou J.G, Causon D.M, Mingham C.G, Ingram D.M. The surface gradient method for the treatment of source terms in the shallow water equations. J of Comput. Phys. 168 (2001) 1-25.

78. Zoppou C, Roberts S. Numerical solution of the two-dimensional unsteady dam break, Appl. Math. Model. 24 (2000) 457-475.

79. Беликов В.В, Семенов А.Ю. Построение численных методов распада разрыва для решений уравнений теории мелкой воды // Труды ИОФАН. Выч. гидродинамика природных течений. Т.53. М.: Наука. Физматлит. 1997. 5-43.

80. Беликов В.В, Семенов А.Ю. Численный метод распада разрыва для решения уравнений теории мелкой воды // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. т. 37, 8, 1006 - 1019.

81. Борисова Н.М, Остапенко В.В. О численном моделировании процесса распространения прерывных волн по сухому руслу // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т46. №7. 1322-1344.

82. Букреев В.И, Гусев А.В. Гравитационные волны при распаде разрыва над уступом дна открытого канала// ПМТФ. 2003. Т.44. №4. 64.

83. Володкович А.Н, Карельский К.В, Петросян А.С. Задача о стационарном обтекании ступеньки в приближении мелкой воды // Труды XLVII научной конференции МФТИ. Часть VIII. Физика и энергетика. М., 2004. 24.

84. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, (1977) 310.

85. Годунов К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

86. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике, Москва: ИВМ РАН, 2006 - ISBN 5-901854-08-Х.

87. Карельский К.В, Петросян А.С. Задача о стационарном обтекании ступенькм в прижении мелкой воды // Известия РАН, Механика Жидкости и Газа, №1, 15-24, 2006.

88. Карельский К.В, Петросян А.С, Славин А.Г. Трансформация разрыва для потоков мелкой воды на скачке // Сборник трудов международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». М., 2004. 111.

89. Карельский К.В, Петросян А.С, Славин А.Г. Численное моделирование гидродинамических течений над произвольным профилем дна в рамках приближения квазидвухслойной мелкой воды // Ротапринт ИКИ РАН. М., 2006. 1-51.

90. Колган В. П. Применение операторов сглаживания в разностных схемах высокого порядка точности, Ж. вычисл. матем. и матем. Физики (1978) 18, №5, 1340-1345.

91. Кочин Н.Е, Кибель И.А, Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физ-матгиз,1963. 4.1.584.

92. Крукиер Л. А, Муратова Г.В. Использование метода конечных разностей для решений уравнений мелкой воды //Ж. Мат. Мод. 2001, т. 13, № 3, 57-60.

93. Куликовский А.Г, Погорелов Н.В, Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

94. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том IV. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736.

95. Марчук А.Г, Чубаров Л.Б, Шокин Ю.И. Численное моделирование цунами. Новосибирск: Наука, 1983.

96. Обухов A.M. К вопросу о геострофическом ветре // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. географ. 1949. Т. 13. № 4. 281-306.

97. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды, Сборник «Динамика сплошной среды» вып. 15, СО АН СССР, 1973. . 145

98. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды над уступом дна //ПМТФ. 2002. Т.43. №6. 62.

99. Остапенко В.В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна //ПМТФ. 2003. Т.44 №4. 51.

100. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392.

101. Рождественский Б.Л, Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

102. Славин А.Г, Карельский К.В, Петросян А.С. Квазидвухслойная модель для потоков мелкой воды над ступенчатой границей //Труды XLVII научной конференции МФТИ. Часть VIII. Физика и энергетика. М., 2004. 30.

103. Славин А.Г. Модель обтекания жидкостью ступенчатой границы в приближении «мелкой воды», Тезисы докладов, II Конференция молодых ученых, посвященная дню космонавтики, Москва, 2005, 19.

104. Славин А.Г. Квазидвухслойная модель для потоков мелкой воды над ступенькой // Труды XXVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2005. 110.

105. Славин А.Г, Карельский К.В, Петросян А.С. Моделирование течений невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью // Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Часть VIII. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. М., 2005. 52.

106. Славин А.Г. Гидродинамика невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью сложного профиля, Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М.,2006. 188.

107. Славин А.Г. Моделирование течений вращающейся мелкой воды методом годуновского типа, основанном на квазидвухслойном представлении, Тезисы докладов, V Конференция молодых ученых, посвященная дню космонавтики, Москва, 2008, 40.

108. Славин А.Г. Конечно-разностное представление силы Кориолиса в численных моделях годуновского типа для течений вращающейся мелкой воды, Труды XXX Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2008.

109. Уизем Г. В. Линейные и нелинейные волны. Изд. МИР, Москва, 1977, 567.

110. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 368.