Исследование торможения сверхзвукового течения вязкого газа в плоском канале с отрывом пограничного слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

г Го ОД 19 м т

На правах рукописи

ПАНОВА Александра Михайловна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ОТРЫВОМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Специальность: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени. " кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2000

Работа выполнена в Институте механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. ГИЛЬМАНОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Ю.Ф. КИСАРОВ,

кандидат физико-математических наук, P.C. ГАЛЕЕВ

Ведущая организация:

Центральный аэро гидродинамический институт им. проф. H.H. Жуковского

Защита, диссертации состоится, 15 мая. 2000 г. в 14,° час на заседании диссертационного совета по защите диссертаций Д 053.29.01 при Казанском государственном университете по адресу: г. Казань, ул* Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.Г. Лобачевского Казанского государственного университета.

^Авторефератразослан -—"—

-2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

A.A. Саченков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

' Актуальность темы. Торможение сверхзвуковых течений газа в каналах происходит в воздухозаборниках ракетно-прямоточных двигателей, межлопаточных каналах сверхзвуковых ступеней компрессоров двигателей летательных аппаратов, в диффузорах лазеров, работающих с использованием сверхзвуковых газовых потоков низкого давления, и других устройствах. Подобное торможение осуществляется не в локальном пряном скачке уплотнения, а в сложной газодинамической структуре серии скачков уплотнения с последовательно снижающейся интенсивностью и уменьшающимся расстоянием между ними, получившей, название псевдоскачка. На участке значительной протяженности происходит сложный процесс взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем. Течение в псевдоскачке характеризуется областями разрывных распределений газодинамических переменных на фронтах, скачков и высокими градиентами в диссипативной части потока. Свойства псевдоскачка изучали отечественные ученые Гогиш Л.В., Гурылев В.Г., Гимранов Э.Г., Зубков А.И., Кисаров Ю.Ф., Кталхерман М.Г., Пензин В.И., Соркин Л.И., Степанов Г.Ю., Тарасов Ф.Ф., зарубежные ученые Neuman Е., Lustwerk F., Merkli Р., Waltrup P., Mochizuki H., Matsuo К., Childs M., От D., Сгоссо L., Cuffel R., Back L.s Arai Т., Ikui I., Natsumoto Т., Tamaki Т., Tomita У., Yamane R. и др. Тем не менее, многие особенности псевдоскачка остаются малоизученными.

Физически скачок уплотнения при торможении газа в канале, постоянной ширины неустойчив в том смысле, что отсутствуют факторы, фиксирующие его положение, и любые возмущения могут беспрепятственно перемещать скачок вдоль канала. Используемая экспериментальная техника не позволяет детально анализировать структуру мгновенных распределений основных параметров течения, особенно в течении с отрывом. Гребенка измерительных трубок, внесенная в поток, действует как возмущение. Более того, процесс измерения, приводит к дополнительному перемешиванию газа и разрушает пограничный слой. Вследствие этого имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные в большей своей части относятся к интегральным характеристикам потока. Поэтому численное моделирование псевдоскачка, позволяющее детально анализировать распределения основных параметров течения, является актуальной проблемой, имеющей как академический, так и практический интерес.

Сложность явлений, происходящих в псевдоскачке, не позволяет адекватно описывать его при помощи известных широко применяемых

расчетных схем, основанных преимущественно на одномерных и квазидвумерных моделях. Упрощенное математическое описание псевдоскачка не позволяет, к примеру, проследить все эволюции, связанные с деформацией профиля скорости в области псевдоскачка, определить точные размеры и расположение отрывных зон и т. д. Разработка и реализация методов расчета псевдоскачка сопряжена со специфическим» трудностями, связанными с наличием как преобладающего сверхзвукового, так и дозвукового течений.

Течение газа как в псевдоскачке, так и в других случаях сильного взаимодействия вязких диссипативных слоев с внешним сверхзвуковым. потоком, может быть достаточно точно описано при помощи системы полных уравнений Навье - Стокса. Современные численные методы позволяют интегрировать уравнения Навье - Стокса без упрощающих допущений. Поэтому исследование сложных физических явлений, возникающих при торможении сверхзвукового потока в канале, целесообразно проводить численными методами на основе системы полных уравнений Навье - Стокса.

Время счета при численном интегрировании полных уравнений. Навье - Стокса является очень большим, в задачах, о течениях типа псевдоскачка, в которых рассматривается взаимодействие диссипативной части потока с ударными волнами. Расчет такого течения даже для одного варианта определяющих параметров занимает чрезвычайно много машинного времени. Возникает необходимость разработки методов, позволяющих уменьшать время решения подобных задач. Структурирование области расчета при помощи зон таким образом, что ц некоторых из них можно использовать более простую и, соответственно, более быстро решаемую систему уравнений, дает возможность уменьшить время счета и эффективнее использовать компьютерные ресурсы. Разбиение расчетной области на зоны также позволяет использовать при. необходимости в отдельных зонах разностные сетки, обладающие высокой разрешающей способностью благодаря достаточно малому шагу. Эффективность численного метода, основанного на зональном подходе, в решающей степени зависит от способа-стыковки-зонапьных-решенийгт.ег-от схем» расчета вязко-невязкею взаимодействия в зонально» метод?. Поэтому актуальной является разработка и тестирование численных методов расчета каждой из этих зон и их стыковки.

Целью диссертационной работы является установление, закономерностей торможения сверхзвукового потока газа в псевдоскачке, на основе численного интегрирования системы полных уравнений Навье -Стокса, разработка и апробирование алгоритма расчета вязко-невязкого взаимодействия зональным методом.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Проведен расчет торможения сверхзвукового потока газа в канале постоянного сечения на разных режимах дросселирования при помощи численного интегрирования уравнений Навье - Стокса. Дросселирование (изменение площади ' выходного сечения) моделируется путем задания относительного противодавления. На основе анализа результатов выявлена структура течения при торможении потока и получены распределения газодинамических параметров в псевдоскачке.

2. На основе численного моделирования исследовано влияние числа Рейнольдеа на качественную картину псевдоскачка при неизменном уровне дросселирования.

3. Программно реализованы прямой метод расчета пограничного слоя для. безотрывных течений и обратный метод расчета пограничного слоя, позволяющий проводить расчет как для безотрывных, так и для отрывных течений. С применением этих методов решены тестовые задачи, проведена оценка точности расчетов на этих задачах и изучено влияние теплообмена на положение точки отрыва в течении с односкатным профилем скорости.

4. Предложена новая методика стыковки локальных решений вязкой и невязкой зон в зональном методе расчета вязко-невязкого взаимодействия. Методика стыковки апробирована на тестовой задаче, результаты ¡решения которой сопоставлены с результатами решения уравнений Навье - Стокса.

На защиту выносятся:

- результаты численного моделирования течения в псевдоскачке на основе интегрирования полных уравнений Навье - Стокса;

- зональный метод расчета вязко-невязкого взаимодействия с новым методом стыковки вязкой и невязкой зон.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки математических, задач, применением численных методов, обладающих необходимыми свойствами сходимости, разносторонними тестовыми расчетами и хорошим соответствием результатов расчета с аналитическими, экспериментальными и. численными результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Результаты расчетов задач, рассмотренных в диссертации, могут быть использованы при исследовании явлений в псевдоскачке и могут представить интерес при конструировании конкретных технических устройств. Разработанная в диссертационной работе методика расчета высокоскоростных течений вязкого газа с

отрывом пограничного слоя, реализованная в программном комплексе, пригодна для исследования широкого класса задач. Многие блоки программы имеют универсальный характер, так как моделируют основные законы механики сплошной среды.

Работа выполнена в лаборатории механики сплошных сред Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук в соответствии с планами научно-исследовательских работ по теме: "Математическое моделирование течения вязкого теплопроводного газа с учетом физико-химических процессов". Ряд результатов диссертационной работы получен в рамках проектов, финансировавшихся РФФИ (гранты № 96-01-00483 и № 98-01-00257), по темам "Численное моделирование внутренних стационарных и нестационарных отрывных течений при больших числах Рейнольдса" и "Численное моделирование внутренних отрывных течений вязкого газа на динамически адаптивных сетках".

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.); I Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997 г.); республиканской научной конференции "Проблемы энергетики" (Казань,

1998 г.); II Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике (Казань, 1998 г.); 12-й Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ - 12" (Великий Новгород, 1999 г.); 5-й Международной научной конференции "Методы кибернетики химико-технологических процессов КХТП - V - 99" (Казань,

1999 г.); Международной конференции " Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1997-99 гг.; итоговых, научных конференциях Института механики и машиностроения КНЦ РАН в 1997-98,2000 г.; научных семинарах ИММ КНЦ РАН в 1996-99 гг._

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них - 2 статьи, 3 опубликованных доклада, 5 тезисов докладов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 145 листах машинописного текста, включая рисунки, 2 приложения, список основных обозначений и список использованных источников из 162 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выполненных исследований. В большинстве имеющихся работ, посвященных исследованию течения в псевдоскачке, используются преимущественно одномерные и квазидвумерные модели. В бесскачковой модели двухслойного потока, Крокко и различных ее модификациях, диффузионной модели Икуи, методике расчета псевдоскачка Гогиша - Степанова, струйно-турбулентной модели Гимранова и др. принимаются предположения, что течение в области торможения является свободным (не ограниченным стенками, канала), струйным, автомодельным и др., что не позволяет адекватна отразить все сложные физические явления, возникающие при торможении сверхзвукового потока в канале. Исследование течения в псевдоскачке для более общей постановки целесообразно проводить на основе системы полных уравнений Навье - Стокса при помощи современных численных методов интегрирования. Применительно к этому во введении сформулирована цель работы и ее основные задачи, определяющие структуру диссертационной работы и взаимосвязь ее глав, здесь же кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе излагается методика исследования торможения сверхзвукового течения газа в плоском канале при помощи интегрирования полных уравнений Навье - Стокса.

В разделе 1.1 на основе литературного обзора приводится краткое изложение и анализ имеющихся результатов экспериментальных и теоретических работ по исследованиям течения газа в псевдоскачке. Течение в псевдоскачке в значительной степени неоднородное. Выделяете^ явно выраженное центральное ядро и диссипативный слой, прилегающий к стенкам канала. В ядре возникает сложная конфигурация скачков, которая в зависимости от режима течения и значения числа Маха может иметь

повторяющуюся систему косых ^-образных или Л-образных скачков. При превышении определенного критического отношения давлений на падающем скачке происходит отрыв пограничного слоя, что приводит к коренному изменению картины течения за точкой отрыва. Отрыв, становится более заметным с увеличением отношения давлений на скачке, т.е. с увеличением числа Маха в набегающем потоке. Вследствие этого в предельных случаях поток приобретает форму, типичную для свободной струи, когда он полностью отрывается от стенок канала, пройдя через скачок уплотнения. Хотя явление псевдоскачка открыто около 50 лет назад и интенсивно исследуется, но пока не существует полной теории псевдоскачка, не совсем ясна физическая картина течения.

В разделе 1.2 описана математическая модель течения газа в псевдоскачке. В рамках поставленной задачи исследования течений в

псевдоскачке (сверхзвукового течения вязкого газа на конечном участке канала) для исключения дополнительных эффектов, обусловленных изменениями поперечного сечения, рассматриваются только плоски^ двумерные течения. Наиболее полную модель течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа при ламинарном режиме в приближении сплошной среды представляют уравнения Навье - Стокса в совокупности с уравнением- энергии и уравнением неразрывности:

дО. д Е

- + -

д\ дх

д¥

ду

Ые

т |

дх ду

где О - вектор состояния течения, включающий плотность р, полную энергию е = р [е + (г? + V2)/2} на единицу объема и двумерный вектор количества движения {ри, /ту); р - давление; е - удельная внутренняя энергия; Е, Г- векторы невязкого газодинамического потока; в, Н -векторы вязкого потока

" р' ри рх

ц = р и р V е .£<«) = ри2 + р ри\ {е + р)и , Ы) = ри V РV2 + Р _(е + р}У

*У

"Тхс + ^ - Ц.

ъ

У J

Компоненты тензора вязких напряжений г« задаются известными выражениями через тензор скоростей деформации. Система замыкается уравнением состояния совершенного газа. Молекулярная вязкость является, -функцией-только-температуры'^-- у/(7)~и'0пределяется лийо по закону Сазерленда, либо степенной зависимостью. Тепловой поток ^ описывается законом теплопроводности Фурье ц = - к ¿таё Т, где к - коэффициент теплопроводности, определяемый по числу Прандтля Рг = ¡л ср/к.

Входные граничные условия задаются параметрами набегающего сверхзвукового потока газа. На твердой границе скорость удовлетворяет условиям прилипания и непроницаемости и„, = 0, = 0. Здесь же задается либо распределение температуры по поверхности твердой границы Гш = ТК{х) либо распределение теплоотдачи д„(х)= - к (д Т/ду). На выходе из

канала задается противодавление, остальные газодинамические параметры находятся методом экстраполяции. В начальный момент времени ва всей расчетной области задаются параметры невозмущенного потока Q(x,y,0)-Q°.

Принципиальной особенностью уравнений Навье - Стокса является наличие в них малого параметра с = l/VRe при старших производных, который приводит к крайне неравномерному поведению газодинамических параметров в поле течения и вызывает дополнительные трудности при получении численного решения. Первая трудность состоит в наличии в, поле течения узких зон с резким изменением параметров, положение которых в общем случае заранее неизвестно, что требует разработки и реализации специальных приемов подгонки разностной сетки под структуру течения. Вторая - это наличие малого параметра, что выдвигает повышенные требования к порядку аппроксимации дифференциальных уравнений разностными. Это необходимо для того, чтобы влияние погрешности аппроксимации не искажало вклад в структуру течение членов в уравнениях Навье - Стокса, имеющих порядок г2.

В разделе 1.3 излагается численный метод исследования торможения сверхзвукового течения газа при помощи системы полных нестационарных уравнений Навье - Стокса1. Согласно этому методу интегрирование проводится установлением по времени на основе разностной схемы второго порядка точности в областях непрерывного изменения газодинамических переменных с использованием динамически адаптивных сеток. Дается краткое описание численного интегрирования методом TVD (Total Variation Diminishing)2, численной реализации граничных условий и используемых адаптивно-подвижных и адаптивно-встраивающихся сеток. Адаптивно-подвижные сетки состоят из фиксированного числа узлов, которые перераспределяются из своего начального положения, собираясь в зонах больших градиентов газодинамических переменных. Адаптивно-встраивающиеся сетки предполагают "встраивание" дополнительных ячеек в те зоны расчетной области, где наблюдаются значительные изменения переменных газового потока. Процессы создания и исключения из расчетной области ячеек автоматизированы, что позволяет выявить детальную структуру потока. Точность и надежность рассматриваемого метода расчета сверхзвуковых течений газа с отрывом пограничного слоя проверены на тестовых задачах, результаты решения которых хорошо

1Гильманов Л.Н., Кулачкова H.A. Метод TVD на адаптивно-встраивающихся сетках в задачах сверхзвуковой газовой динамики // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физ. процессов. 1995. Вып. 1-2. С. 72-78.

2 Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. V.49. No.3. P.357-393.

согласуются с известными численными и экспериментальными данными других авторов1.

Вторая глава посвящена моделированию сверхзвуковых течений газа с отрывом пограничного слоя на основе зонального подхода. Вся область, расчета разбивается на зоны в соответствии со степенью влияния вязкости. Центральная "невязкая" зона описывается полными уравнениями Навье -Стокса; термин "невязкая" применяется здесь только в смысле малости вязких напряжений в данной области по сравнению с напряжением поверхностного трения- & пограничном слое. Система полных нестационарных уравнений Навье - Стокса интегрируется вышеописанным методом установления. В качестве модели вязкого пристенного течения приняты уравнения плоского сжимаемого пограничного слоя. Важность, приближения пограничного слоят заключается в том, что оно позволяет применять маршевые в направлении течения численные схемы расчета и использовать достаточно мелкую сетку, не увеличивая' при этом времени расчета.

В п.2.2.1 приводится математическая постановка задачи расчета пограничного слоя и алгоритм ее численного решения. Уравнения, определяющие течение в пограничном слое

du du dp д ри— + pv— = —— +— дх ду dx ду

дН дН д

pu +pv =

ду ду ду

/л дН

—-+ JU

Рг ду

fl-—1и—1 V PrJ ду_

Ob)

^ + ^ = (1с)

дх ду

являются параболическими в направлении основного потока независимо от значения продольной составляющей вектора скорости и по сравнению со скоростью звука.

Граничные условия заданы следующим образом:

и{х0, у) = и0(у), 7'(хо, у) = Г0(у); . (2а)

-и(х;0) = 0,~ у(*,~0) = Тк (х),~либо цуЦх)^Х(дТ/ду\, (2Ь)

и(х, у-> со) - ие(х), (2с)

Т[х, у-> оо) = Те(х). (2с1)

Здесь через к обозначено значение у, большое по сравнению с таким значением у, при котором продольная скорость и отличается от скорости внешнего потока их на выбранную наперед малую величину, хо - некоторое

1 Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках // Мат. моделирование. 1995. Т. 7; № 3. С. 97-106.

начальное сечение, с которого ведется расчет, индекс w указывает значение величины на поверхности стенки.

При торможении высокоскоростных газовых потоков разность температур между характерными точками газового потока сравнима с абсолютной температурой. В силу этого изменения плотности, вязкости и коэффициента теплопроводности также сравнимы с их характерными величинами, и при расчете их нельзя считать постоянными. Особенностью задачи о пограничном слое в течениях типа псевдоскачка является необходимость рассмотрения сопряженных течений, для которых уравнения движения и энергии решаются совместно. При решении уравнений сопряженного пограничного слоя конечно-разностным способом применен блочный метод Келлера решения дифференциальных уравнений параболического типа1, описанный в приложении А применительно к данной постановке задачи. Решение полученной при этом системы разностных уравнений описано в приложении В.

В п. 2.2.2. приведены примеры расчета пограничного слоя при. обтекании под нулевым углом атаки плоской пластины с нулевым градиентом давления. При сверхзвуковом обтекании на передней кромке пластины формируется слабая ударная волна, которая изменяет параметры невязкого потока над пограничным слоем. При входных данных М*, = 5.22, рао = 0.884, Too 292.8, Рг = 0.7, Re L = 1243 обеспечивается невязкое

На рис. 1 приведена зависимость температуры Т/Та вдоль нормали к поверхности теплоизолированной пластины от автомодельной переменной г) = на рис. 2 показана аналогичная зависимость продольной

скорости и/и^ для изотермической пластины. Тонкой линией показаны

1 Keller П., Cebeci Т. An inverse problem in boundary-layer flows// J. Comput. Phys. 1972. Vol.10. P.151-161.

результаты, полученные интегрированием уравнений Навье - Стокса на основе метода ТУБ, жирной линией - решение, приведенное в монографии1. Распределения температуры и скоростей по результатам расчетов пограничного слоя вышеописанным методом показаны точками. Можно отметить хорошее согласие результатов.

На рис. 3 приведены профили безразмерной продольной скорости в пограничном слое при различных безразмерных температурах стенки Тк = сопэ^дг) для течения, в котором скорость внешнего потока линейно уменьшается согласно формуле ие(х) = и Л} - ах). Очевидно, что такое течение, с так называемым односкатным профилем скорости внешнего потока, можно рассматривать как обобщение продольного обтекания, пластины, в которое оно переходит при а= 0, или как течение в канале, две, стороны которого ограничены параллельными стенками (скорость ида), а две другие, примыкающие к ним, - сходящимися (а<0) или расходящимися (о>0) стенками. На рис. 4 представлена зависимость координаты точки отрыва £ от температуры стенки Т„. в сжимаемом (М = 0.2) и несжимаемо^ (М = 0) течениях при а = 0.125. Видно, что охлаждение стенки приводит к затягиванию отрыва. При нагреве точка отрыва смещается вверх по потоку. График зависимости при М = 0 с точностью графического представления данных совпадает с аналогичным графиком, приведенным в монографии2.

Рис. 3 Рис. 4

В разделе_2.3 рассматривается решение.уравнений.пограничного слоя, обратным методом. В классической постановке при заданном продольном градиенте давления уравнения пограничного слоя (1а)-(1с) в точке отрыва имеют известную особенность Гольдштейна3. При конечно-разностном решении уравнений пограничного слоя эта особенность проявляется как. тенденция к неограниченному росту поперечной скорости v при уменьшении шага сетки в продольном направлении. Естественно, что если

1 Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука. 1974. 711 с.

2 Чжен П. Управление отрывом потока. М: Мир, 1979. 552 с.

3 Goldstein S. On laminar bóundary-layer flow near a problem of separation II Quart. J. Mech. Appl, Math. 1948. V.l. No. 1. P.43-69.

шаг сетки конечен, то и v конечно, но, как отсюда'следует, получающееся при этом решение не единственно. В обратных методах вместо условия на внешней границе пограничного слоя (2с) задается или толщина вытеснения ¿?(х) или коэффициент: трения, на стенке су (.г), которым решение должно удовлетворять. Распределение давления или скорости на внешней границе пограничного слоя и£х) определяется в процессе решения. В такой., постановке точка отрыва перестает быть- особой- точкой уравнений пограничного слоя.

При численном решении уравнений пограничного слоя обратным, методом на каждом шаге по маршевой координате величина скорости на границе пограничного слоя изменялась в итерационном цикле до тех пор, пока расчетный коэффициент поверхностного трения, полученный, интегрированием профиля скорости, не удовлетворит заданному с/(х). На каждой из итераций алгоритм решения и граничные условия такие же, как и в прямом методе расчета пограничного слоя. При расчете в областях возвратного течения применяется приближение FLARE, впервые предложенное Рейнером и Флюгге-Лотц1. В зоне возвратного течения скорости относительно невелики, продольные конвективные члены пренебрежимо малы и, согласно этому приближению, полагаются равными, нулю. В результате удается избежать неустойчивости численного счета^ которая затрудняет интегрирование уравнений пограничного слоя в направлении, противоположном локальному направлению течения.

Проверка программ, реализующих описанный выше метод,, проводилась путем решения тестовых задач. Для ламинарного случая обтекания плоской пластины несжимаемой жидкостью (М = 0.005) при нулевом угле атаки значения скорости на границе пограничного слоя вычислены обратным методом по заданной известной аналитической, формулой толщине вытеснения 8 *(х) = 1.721 Jvx/u^ и приведены в таблице 1. Как видно из результатов, рассчитанные на основе обратного метода значения скорости отличаются от точного безразмерного значения 1.0 не более чем на 0.02%,

Таблица I

x/L 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7.

«С 1.00004 1.00017 1.00020 1.00010 1.00010

Для второй тестовой задачи обтекания пластины сверхзвуковым, потоком с односкатным профилем скорости внешнего течения и£х) = ггД1 .- ах) коэффициент трения был получен прямым методом.

1 Reylmer T.A., Flugge-Lotz I. The Interaction of a Shock Wave With a Laminar Boundary Layer // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1968. Vol.3. P. 173-199.

Результаты, полученные при М = 2.0 и приведенные в таблице 2, показывают, что отличие (ие и^) от заданного не превышает 0.75%. _Таблица 2

X, м с/ (1-ах) - (ивтасч/

.312Е-01 .60274Е-01 0.0075

.469Е-01 .32598Е-01 0.0059

.625Ет01 .20116Е-01 0.0048

.781Е-01 .18368Е-01 0.0051

.938Е-01 .13057Е-01 0.0051

В разделе 2.4 рассматривается стыковка локальных решений в зональном методе расчета сильного вязко-невязкого взаимодействия. Так как по мере приближения к зоне отрыва вытесняющее действие, пограничного слоя приводит к все более сильному локальному искажению градиента давления, распределение давлений на границе между зонами не задается. Предложен новый способ стыковки локальных решений, согласно которому информация о распределении газодинамических параметров^ полученная в результате решения уравнений пограничного слоя, переносится в программу расчета "невязкого" течения. Зональные граничные условия при передаче информации не используются. С точки зрения численных методов всю вязкую зону можно рассматривать как одну большую ячейку сетки для всей области течения. Граница вязкой зоны выбирается заведомо больше максимальной толщины пограничного слоя. Для упрощения обмена данными между различными блоками программы, сетка 2 вязкой зоны как бы встраивается в сетку 1 "невязкой" зоны. Обе зональные сетки построены таким образом, что одно семейство сеточных линий (разбиение вдоль оси х) одновременно принадлежит обеим сеткам (рис. 5). Это обеспечивает высокую точность передачи информации из. одной зоны в другую и облегчает задачу интерполяционного расчета. Значения переменных в узлах первой сетки по значениям переменных в узлах второй сетки, и наоборот, удается вычислить при помощи одномерной интерполяции вдоль направления к поверхности,

В начале расчета вся область течения покрывается сеткой 1, являющейся на этом этапе сеткой первого уровня. Затем прямым маршевым методом проводится расчет пограничного слоя в вязкой зоне с использованием сетки 2 при заданной скорости на границе пограничного слоя, равной скорости невозмущенного потока. На этапе 2 информация, полученная в расчете пограничного слоя, переносится в программу интегрирования уравнений Навье - Стокса, где расчет проводится с использованием динамически адаптивных сеток. На следующем этапе на определенных временных слоях по мере необходимости можно провести дополнительный расчет в вязкой зоне. Для этого из "невязкой" зоны ч. вязкую передается информация о распределении переменных по сечению пограничного слоя в некотором начальном сечении хо и распределении коэффициента поверхностного трения вдоль твердой стенки. Здесь пограничный слой рассчитывается обратным маршевым методом. После этого расчет идет как на этапе 2 и т.д. до получения искомого решения.

Приведены результаты апробации этого метода на примере адиабатического обтекания пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа, (рис. 6). Кривая 1 (тонкая сплошная линия) показывает распределение температуры, полученное на сетке первого уровня после 700 итераций, кривая 2 (жирная линия) - решение, полученное на сетке третьего уровня, штриховой линией 3 показано решение, полученное на сетке первого уровня с применением зонального подхода после 100 шагов. Сравнение полученных результатов показывает, что применение зонального подхода дает удовлетворительный результат и ускоряет процесс сходимости к. решению.

В третьей главе анализируются и обсуждаются результаты, численного моделирования торможения сверхзвукового потока газа в плоском дрямолинейном канале на основе интегрирования уравнений Навье - Стокса. При решении не использовались никакие априорные предположения о структуре течения и предположения, позволяющие упростить систему уравнений Навье - Стокса. Ламинарность течения в рамках исследования формально достигается соответствующим изменением геометрических размеров канала. В силу ламинарностн течение предполагается симметричным относительно плоскости симметрии канала и на ней задаются условия непротекания. Расчетная область А ограничена двумя параллельными плоскостями и входным и выходным сечениями: А = {(дг, у, х): |х'| < Ь, I _у|< Ъ, Ы < оо}, где Ъ и Ь -полуширина и длина канала соответственно. На острых кромках канала формируется пограничный слой. Дросселирование моделируется путем задания внешнего противодавления в выходном сечении рш.

На рис. 7 приведены распределения чисел Маха вдоль продольных, сечений канала при Re;, = L03 и pojpu, « 029, где p0i - полное давление входного потока. Остальные газодинамические переменные на выходе определяются экстраполяцией. Кривые 1-6 соответствуют сечениям >v = 0.01, 0.11, 0.2, 0.3, 0.4,-0.5. Видно, что поток в канале затормаживается, однако скорости в ядре потока (кривые 4-6) остаются сверхзвуковыми.

В зависимости от степени дросселирования изменяется структура течения в псевдоскачке и степень торможения потока. При давлениях на выходе, превышающих некоторое критическое значение (pou/pm)xçm « 0.38, сверхзвуковой поток тормозится до дозвуковых скоростей. В противном случае в ядре потока сохраняется сверхзвуковой режим течения. Для уровня дросселирования pou/poi < 0.43 наклонные скачки являются X-образными, а при рои/рт « 0.43 на входе формируется Х- образный скачок. Это объясняется тем, что угол наклона пограничного слоя в носике в » 12° и превышает величину предельного угла отклонения потока, обеспечивающего существование косого Х-образного скачка. Под действием второго наклонного скачка, входящего в систему 1-образног^ скачка, происходит отрыв пограничного слоя, что видно по распределению коэффициента трения вдоль твердой поверхности канала на рис. Символами S и R отмечены точки отрыва и присоединения потока, где коэффициент трения равен нулю. Линейный размер отрывной зоны мал, и в большей части псевдоскачка течение безотрывное.

На рис. 9 приведены: (а) - изменения чисел Маха M вдоль продольных, сечений канала; (б) - изолинии равных чисел Маха; (в) - изменения чисел Маха вдоль ортогональных к поверхности канала сечений = 0.2, 0.25, 0.43, 0.59, 3.07, 4.99. Кривые 1-6 на рис. 9а показывают, что поток как за прямым скачком, прилегающим к плоскости симметрии, так и за наклонными скачками, сходящимися в тройной точке, дозвуковой. После Я-образного скачка центральная часть потока ускоряется, достигая сверхзвуковых скоростей с M » 1.3.

м-

1

Ь// -1

1/ |/ г ^

г V ^ —-— —■—

0 ■

qWU I ^

123

в £

------ г—2--

«' > J ; 5 И

MJ-

в -<•3 4 1 кО \

.bfL I24 \ . II Г

Рис. 9

Рис. 10

Обращает на себя внимание исходящая из тройной точки поверхность, контактного разрыва, что в полной мере согласуется с теоретическими выводами о конфигурации трех ударных волн, проходящих через одну точку. Вне пограничного слоя (кривые 4,5 на рис. 9а) течение сохраняется сверхзвуковым во всей области взаимодействия, тогда как в центральной части канала сверхзвуковые области чередуются с дозвуковыми, что свидетельствует о наличии скачков уплотнения. При этом расстояние между скачками уменьшается в направлении течения. На выходе ядро потока движется с практически постоянной околозвуковой скоростью (Мот я 1). Кривые 5, б на рис. 9в показывают, что наибольшая скорость в ядре достигается не на центральной линии канала, а в некотором сечении у » 0.3, близком к внешней границе пограничного слоя.

Изобары и графики изменения статического давления р в отношении к, полному давлению на входе ро\ вдоль тех же продольных сечений, что и на графике для М, приведены на рис. 10. Изменяющийся характер давления вдоль центральной части канала согласуется с экспериментальными, распределениями давления вдали от стенок канала.1

На небольшом участке за Х-образным скачком имеет место полностью дозвуковой режим течения по всему сечению канала. Далее на волне

1 Ом Д., Чайпдс М.Е. Взаимодействие каскада скачков уплотнения с пограничным слоем в цилиндрическом канале// Аэрокосмич. техника. 1986. № 5. С. 143-150.

разрежения, возникшей при отражении наклонного скачка уплотнения от пограничного слоя, в ядре происходит ускорение потока газа до небольших сверхзвуковых скоростей (М « 1.2-1.3), после чего процессы торможения и ускорения повторяются. Однако впоследствии, вплоть до выходного сечения, уже не существует полностью дозвукового режима течения газа по всему сечению. На выходе из канала имеет место дозвуковое течение с

Мощ« 10.

Рис. 11 Рис. 12

На рис. 11 приведены характеристики полного давления ро!ро\, показывающие, что полное давление на выходе постоянно в части пограничного слоя у < 0.1, прилегающей к поверхности. В оставшейся части пограничного слоя полное давление изменяется до своего^ наибольшего значения (р0 /роОтах « 0.85 и далее уменьшается до своего наименьшего значения (ро /ро^пт » 0.8 на оси канала. Из графиков распределения полного давления ро /рои характеризующих потерю механической энергии, можно заключить, что только небольшая часть потери полного давления происходит в системе скачков (кривые 4% 5 на рис. 11а). Наибольшие потери имеют место вследствие диссипативных процессов в пограничном слое (кривые 1, 2 на рис. Па). Это же можно наблюдать и по кривым распределения полного давления поперек канала^ которые на выходе из канала имеют немонотонный характер с максимумом на расстоянии у « 0.35 от стенки. На оси канала наблюдается локальный

минимум, что качественно совпадает с экспериментальными данными1. Для рассматриваемого режима торможения потока в псевдоскачке с М«, = 2 отношения ptjpm в трех точках, расположенных на плоскости симметрии,, на стенке и на границе пограничного слоя, равны соответственно 0.8, 0.85 и 0.43. Экспериментальные данные в соответствующих точках имеют значения 0.75, 0.9 - 0.93 и 0.43 - 0.5. Здесь нельзя говорить о количественном совпадении с экспериментом, т.к. течение, наблюдаемое в экспериментах, турбулентное-, тем не менее, согласие сравниваемых данных может рассматриваться как дополнительный аргумент в пользу достоверности численного решения.

Влияние числа Рейнольдса на структуру псевдоскачка при. неизменном уровне дросселирования роЛ/ртр = 3.2 (ртр - статическое давление на входе) изучено при различных числах Рейнольдса 500 +2000. На рис. 12а приведено распределение чисел Маха вдоль центральной-

линии канала при М® = 2, 7L = 156 К. Структура течения для этих вариантов различна: при Re;, = 1000 на входе формируется Х-образный скачок, при Re/, = 800 - Я-образный скачок, при Re/, = 500 имеет место отсоединенный скачок уплотнения. При ReA = 1000 Х-образный скачок на входе вызывает закрытый отрыв пограничного слоя. Расчеты показали, что. при меньших ReA размер отрывной зоны уменьшается. При Re*, = 700 отрыв исчезает.

Рис. 1У

' Гурылев В.Г., Трифонов А.К. Псевдоскачок в простейшем воздухозаборнике в вид? цилиндрической трубы // Учен. зап. ЦАГИ. 1975. Т.7. № 1. С. 130-137.

При рш/рщ - 3.2 и Ие > 1000 в расчетах получается режим, близкий к установившемуся - положение первого скачка фиксируется, а конечный скачок колеблется около некоторого положения. Наблюдается, возникновение зоны вторичного отрыва. Распределение коэффициента трения вдоль стенки канала на разных временных слоях приведено на рис. 13 при Ие/, = 1200. Кривая 1 соответствует закрытому отрыву потока^ Характерное распределение- коэффициента трения при образовании вторичного отрыва представляется кривой 2, где Бг - точка вторичного отрыва. Кривая 3 соответствует течению в псевдоскачке с открытым отрывом, причем течение близко к струйному.

В заключении диссертации приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе, заключающиеся в следующем:

1. В диссертации рассмотрена задача торможения сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке и отмечена ее актуальность. Обоснована целесообразность исследования сложных физических явлений, возникающих при торможении сверхзвукового потока в канале, при помощи численного интегрирования системы полных нестационарных уравнений Навье - Стокса на основе разностной схемы ТУЕ> с применением динамически адаптивных сеток.

2. Выявлен ряд закономерностей торможения сверхзвукового потока в канале. Результаты представлены в виде изолиний чисел Маха, давлений, плотностей и графиков распределения газодинамических переменных вдоль продольных сечений и ортогональных к поверхности канала сечений, и согласуются с известными в литературе экспериментальными данными для псевдоскачков в каналах постоянного сечения.

3. На основе анализа результатов расчетов установлено:

• полностью дозвуковой режим течения на выходе может быть- достигнут при определенном уровне дросселирования; ^--

• при определенных входных параметрах на небольшом участке за первым, скачком уплотнения имеет место полностью дозвуковой режим по всему поперечному сечению канала;

• в некотором диапазоне определяющих параметров течения в псевдоскачке возникает отрыв пограничного слоя;

• максимальная скорость течения достигается не в центре канала, а на некотором удалении от оси канала, и на оси канала имеет место локальный минимум скорости.

4. Выявлено влияние числа Рейнольдса на качественную картину псевдоскачка. В зависимости от входного числа Рейнольдса возможно торможение с формированием головного Х-образного скачка уплотнения,, либо головного Х-образного скачка, либо отсоединенного скачка уплотнения.

5. Для более быстрого счета разработан метод зонального расчета течений типа псевдоскачка, представляющий собой реализацию метода сильного взаимодействия вязких диссипативных слоев с внешним сверхзвуковым потоком. Метод использует эффективные алгоритмы численного решения уравнений пограничного слоя и уравнений Навье -Стокса. Для вязкой зоны используется обратный метод расчета, пограничного слоя, позволяющий проводить расчет как для безотрывных, так и для отрывных течений. Достоинствами метода являются более высокая разрешающая способность сеток в рассчитываемых по отдельности зонах течения, меньшее время выполнения программы и более быстрая сходимость.

6. Предложена новая методика стыковки вязкой и невязкой зон в зональных методах расчета, согласно которой внутри зон происходит передача информации от вязкой зоны к невязкой. Зональные граничные условия при передаче информации не используются.

Результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Гильманов А.Н., Панова А.М. Численное решение задачи о торможении сверхзвукового потока газа в плоском канале // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тезисы докладов VII Четаевской конференции. Казань, 1997. С. 132.

2. Гильманов А.Н., Панова A.M., Сайфуллин Э.Г. Проявление нестационарных эффектов при торможении сверхзвукового потока газа в псевдоскачке // Труды I международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа - и машиностроении". Т. 1. Казань, 1977. С. 126-130.

3. Гильманов А.Н., Панова А.М. Численное исследование влияния числа, Рейнольдса на структуру псевдоскачка // Проблемы энергетики: Материалы докладов республиканской научной конференции. Ч. 1. Казань, 1998.С.64-65.

4. Gilmanov A.N., Panova А.М. Numerical simulation of supersonic gas flow with separation in a flat channel // Proceedings Second International Symposium of Energy, Environment and Economics. V.l. Kazan, 1998. P.42-45.

5. Панова A.M. Расчет торможения в псевдоскачке с учетом вязко-невязкого взаимодействия // Математическое моделирование в естественных науках: Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 1998. С.46.

6. Панова А.М. Исследование торможения потока газа в псевдоскачке // Вестник Казанского технологического университета. 1998. № 2. С.65-69.

7. Панова А.М. Расчет , сжимаемого, отрывного пограничного слоя обратным методом // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-12: Сборник трудов 12-й Международной научной конференции. Т.1. Великий Новгород, 1999. С.42-45.

8. Гильманов А.Н., Панова А.М. Торможение сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №3. С. 164-171.

9. Панова А.М. Влияние теплообмена на положение точки отрыва в. течении Хоуарта If Методы кибернетики химико-технологических процессов: Тезисы докладов 5-й Международной научной конференции. Казань, 1999. С.84-86.

10. Гильманов А.Н., Панова А.М. Численное моделирование вязко-, невязкого взаимодействия при торможении сверхзвукового потока газа с отрывом пограничного слоя // Математические модели и методы их исследования. Тезисы докладов Международной конференции. Красноярск, 1999. С. 71-72.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА НА ОСНОВЕ ПОЛНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-ГТО^СА

1.1. Проблема торможения сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке.

1.2. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа.

1.3. Интегрирование двумерных уравнений Навье - Стокса.

1.3.1. Элементы схемы численного интегрирования методом ТУТ).

1.3.2. Динамически адаптивные сетки.

1.4. Тестовые задачи для оценки метода.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА С ОТРЫВОМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ОСНОВЕ ЗОНАЛЬНОГО ПОДХОДА.

2.1. Математические модели для описания расчетных зон.

2.2. Прямой метод расчета пограничного слоя.

2.2.1. Математическая постановка задачи. Система уравнений пограничного слоя и методы ее решения.

2.2.2. Тестовые задачи и расчеты пограничного слоя прямым методом.

2.3. Решение уравнений пограничного слоя обратным

IVTQTO TfOlVi "У ^

2.4. Стыковка локальных решений.

2.4.1. Анализ схем расчета вязко - невязкого взаимодействия зональным методом.

2.4.2. Алгоритм стыковки локальных решений.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ЗАДАЧИ О

ТОРМОЖЕНИИ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ.

3.1. Влияние степени дросселирования на характер торможения сверхзвукового потока газа в плоском канале.

3.2. Структура течения при торможении потока до дозвуковых скоростей при Re = 1000.

3.3. Влияние числа Рейнольдса на структуру псевдоскачка при неизменном уровне дросселирования.

Актуальность. Торможение сверхзвуковых течений вязкого газа в каналах происходит в воздухозаборниках ракетно-прямоточных двигателей, межлопаточных каналах сверхзвуковых ступеней компрессоров двигателей летательных аппаратов, в тепловых трубах, в диффузорах лазеров, работающих с использованием сверхзвуковых газовых потоков низкого давления, и других устройствах. Подобное торможение осуществляется не в локальном прямом скачке уплотнения, а в сложной газодинамической структуре, получившей название "псевдоскачка". Течение в псевдоскачке характеризуется областями разрывных распределений газодинамических переменных на фронтах скачков и высокими градиентами в диссипативной части потока. На участке значительной протяженности происходит сложный процесс взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем. Свойства псевдоскачка изучали отечественные ученые Гогиш JI.B., Гурылев В.Г., Гимранов Э.Г., Зубков А.И., Пензин В.И., Кисаров Ю.Ф., Кталхерман М.Г., Соркин Л.И., Степанов Г.Ю., Тарасов Ф.Ф., зарубежные ученые Neuman Е., Lustwerk F., Merkli Р., Waltrup P., Billig F., Matsuo К., Mochizuki H., Mluazato Y., Om D., Childs M., Crocco L., Cuffel R., Back L., Arai Т., Suigiyma, Ikui I., Natsumoto Т., Tamaki Т., Tomita Y., Yamane R. и др. Тем не менее, многие особенности псевдоскачка остаются малоизученными.

Физически скачок уплотнения при торможении газа в канале постоянной ширины неустойчив в том смысле, что отсутствуют факторы, фиксирующие его положение, и любые возмущения могут беспрепятственно перемещать скачок вдоль канала. Используема^ экспериментальная техника не позволяет детально анализировать структуру мгновенных распределений основных параметров течения, б особенно в течении с отрывом. Гребенка измерительных трубок, внесенная в поток, действует как возмущение. Более того, процесс измерения приводит к дополнительному перемешиванию газа и разрушает пограничный слой. Вследствие этого имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные в большей своей части относятся к интегральным характеристикам потока. Поэтому численное моделирование псевдоскачка, позволяющее детально анализировать распределения основных параметров течения, является актуальной проблемой, имеющей как научную, так и практическую значимость.

Как известно, для исследования характерных особенностей торможения сверхзвукового потока в каналах, учитываемых при проектировании эффективных сверхзвуковых воздухозаборников, аэродинамических труб и других аэродинамических устройств, многие эксперименты проводятся при различных значениях площади выходного сечения, т.е. на различных режимах дросселирования. В настоящее время компьютерное моделирование становится альтернативой реальному физическому эксперименту и зачастую является единственным возможным способом получения достоверной информации о поведении той или иной системы. Численное моделирование дроссельного эксперимента, несмотря на неточность любой математической модели, может дать важную информацию о потоке в канале в процессе дросселирования. Одно из преимуществ численного моделирования - это возможность произвольно менять геометрию модели. Второе преимущество численного моделирования - это возможность оценивать параметры течения, не искаженные процессом измерений и процедурой пересчета экспериментальных данных.

В большинстве имеющихся работ, посвященных исследованию течения в псевдоскачке, использовались преимущественно одномерные и квазидвумерные модели. Бесскачковая модель двухслойного потока Крокко и различные ее модификации, диффузионная модель Икуи, методика расчета псевдоскачка Гогиша - Степанова, струйно-турбулентная модель Гимранова и др. позволяют с различной степенью точности рассчитать интегральные характеристики торможения сверхзвукового потока в канале. Однако в этих моделях используется достаточно грубая схематизация течения в псевдоскачке. При расчете параметров псевдоскачка часто используют предположения, что течение в области торможения является свободным (не ограниченным стенками канала), струйным, автомодельным и др.

Сложность явлений, происходящих в псевдоскачке, не позволяет адекватно описывать его при помощи известных широко применяемых расчетных схем. Упрощенное математическое описание псевдоскачка не позволяет, к примеру, проследить все эволюции, связанные с деформацией профиля скорости в области псевдоскачка, определить точные размеры и расположение отрывных зон и т. д. Разработка и реализация методов расчета псевдоскачка сопряжена со специфическими трудностями, связанными с наличием как преобладающего сверхзвукового, так и дозвукового течений.

Течение вязкого теплопроводного сжимаемого газа как в псевдоскачке, так и в других случаях сильного взаимодействия вязких диссипативных слоев с внешним сверхзвуковым потоком, может быть достаточно точно описано при помощи системы полных уравнений Навье -Стокса. Решение этой системы будет одинаково справедливым для всего поля течения. Трудности, связанные с решением этой системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, хорошо известны. Аналитические решения возможны лишь для отдельных случаев. Даже в тех случаях, когда задачу удается упростить и свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, численное решение оказывается практически единственным способом, чтобы получить конкретные данные о параметрах течения. Численные методы позволяют решать уравнения Навье - Стокса без упрощающих допущений. Поэтому исследование сложных физических явлений, возникающих при торможении сверхзвукового потока в канале, целесообразно проводить численными методами на основе системы полных уравнений Навье - Стокса.

Одной из возможностей приложения теории псевдоскачка является задача о торможении сверхзвукового потока газа в воздухозаборнике. При изменяющейся геометрии многорежимного воздухозаборника, предназначенного для больших скоростей, численное моделирование должно давать возможность оценивать характеристики модели и определять наиболее интересные особенности течения. В результате программа дорогостоящих физических экспериментов в некоторых случаях может быть сокращена. Некоторые же модели и вовсе могут быть не допущены до эксперимента.

Время счета при численном интегрировании полных уравнений Навье - Стокса является очень большим в задачах о течениях типа псевдоскачка, в которых рассматривается взаимодействие диссипативной части потока с ударными волнами. Расчет такого течения даже для одного варианта определяющих параметров занимает чрезвычайно много машинного времени. Возникает необходимость разработки методов, позволяющих уменьшать время решения подобных задач. Структурирование области расчета при помощи зон таким образом, что в некоторых из них можно использовать более простую и, соответственно, более быстро решаемую систему уравнений, дает возможность уменьшить время счета и эффективнее использовать компьютерные ресурсы. Разбиение расчетной области на зоны также позволяет использовать при необходимости в отдельных зонах разностные сетки, обладающие высокой разрешающей способностью благодаря достаточно малому шагу. Следовательно, устраняются трудности, связанные с аппроксимацией на одной и той же сетке процессов, характеризующихся сильно отличающимися масштабами. Эффективность численного метода, основанного на разбиении области течения на зоны, в решающей степени зависит от способа стыковки решений для отдельных зон, т.е. от схемы расчета вязко-невязкого взаимодействия. Поэтому актуальной является разработка численных методик расчета каждой из этих зон и их стыковки.

Целью диссертационной работы является установление закономерностей торможения сверхзвукового потока газа в псевдоскачке на основе численного интегрирования системы полных уравнений Навье -Стокса, разработка и апробирование алгоритма расчета вязко-невязкого взаимодействия зональным методом.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Проведен расчет торможения сверхзвукового потока газа в канале постоянного сечения на разных режимах дросселирования при помощи численного интегрирования уравнений Навье - Стокса. Дросселирование (изменение площади выходного сечения) моделируется путем задания относительного противодавления. На основе анализа результатов выявлена структура течения при торможении потока и получены распределения газодинамических параметров в псевдоскачке.

2. На основе численного моделирования исследовано влияние числа Рейнольдса на качественную картину псевдоскачка при неизменном уровне дросселирования.

3. Программно реализованы прямой метод расчета пограничного слоя для безотрывных течений и обратный метод расчета пограничного слоя, позволяющий проводить расчет как для безотрывных, так и для отрывных течений. С применением этих методов решены тестовые задачи, проведена оценка точности расчетов на этих задачах и изучено влияние теплообмена на положение точки отрыва в течении с односкатным профилем скорости. 4. Предложена новая методика стыковки локальных решений вязкой и невязкой зон в зональном методе расчета вязко-невязкого взаимодействия. Методика стыковки апробирована на тестовой задаче. Результаты ее решения зональным методом сопоставлены с результатами решения уравнений Навье - Стокса. На защиту выносятся:

- результаты численного моделирования течения в псевдоскачке на основе интегрирования полных уравнений Навье - Стокса;

- зональный метод расчета вязко-невязкого взаимодействия с новым методом стыковки вязкой и невязкой зон.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки математических задач, применением численных методов, обладающих необходимыми свойствами сходимости, разносторонними тестовыми расчетами и хорошим соответствием результатов расчета с аналитическими, экспериментальными и численными результатами других авторов.

Практическая значимость работы.

Результаты расчетов задач, рассмотренных в диссертации, могут быть использованы при исследовании явлений в псевдоскачке и могут представить интерес при конструировании конкретных технических устройств. Разработанная в диссертационной работе методика расчета высокоскоростных течений вязкого газа с отрывом пограничного слоя, реализованная в программном комплексе, пригодна для исследования широкого класса задач. Многие блоки программы имеют универсальный характер, так как моделируют основные законы механики сплошной среды.

Работа выполнена в лаборатории механики сплошных сред Института механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук в соответствии с планами научно-исследовательских работ по теме: "Математическое моделирование течения вязкого теплопроводного газа с учетом физико-химических процессов". Ряд результатов диссертационной работы получен в рамках проектов, финансировавшихся РФФИ (гранты № 96-01-00483 и № 98-01-00257), по темам "Численное моделирование внутренних стационарных и нестационарных отрывных течений при больших числах Рейнольдса" и "Численное моделирование внутренних отрывных течений вязкого газа на динамически адаптивных сетках".

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.); I Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997 г.); республиканской научной конференции "Проблемы энергетики" (Казань,

1998 г.); II Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике (Казань, 1998 г.); 12-й Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ - 12" (Великий Новгород, 1999 г.); 5-й Международной научной конференции "Методы кибернетики химико-технологических процессов КХТП - V - 99" (Казань,

1999 г.); Международной конференции " Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1997 - 99 гг.; итоговых научных конференциях Института механики и машиностроения КНЦ РАН в 1997 - 98, 2000 гг.; научных семинарах Института механики и машиностроения КНЦ РАН в 1996-99 гг.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них - 2 статьи [32, 99], 3 опубликованных доклада [30, 100, 150], 5 тезисов докладов [29, 31, 33, 98, 101]. Работы [29, 30, 31, 32, 33, 150] выполнены совместно с Гильмановым А.Н., [30] -Сайфуллиным Э.Г.

Вклад соавторов заключается в следующем:

Гильманову А.Н. принадлежат постановка рассмотренных в цитируемых работах задач о внутренних отрывных течениях вязкого газа, разработка методики численного решения при помощи уравнений Навье Стокса задач вязко-невязкого взаимодействия, сочетающей TVD схему второго порядка точности и динамически-адаптивные сетки, программная реализация алгоритмов интегрирования уравнений Навье - Стокса и построения динамически-адаптивных сеток, проведение расчетов, анализ и обсуждение полученных результатов.

Сайфуллину Э.Г. принадлежит обсуждение результатов о нестационарных процессах в псевдоскачке.

Автору принадлежат разработка методики численного решения задач вязко-невязкого взаимодействия зональным методом, программная реализация прямого и обратного методов расчета сопряженных пограничных слоев, алгоритма стыковки локальных решений, проведение расчетов и анализ полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 145 листах машинописного текста, включая рисунки, 2 приложения, список основных обозначений и список исггользойанных йеточников из 162 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По итогам выполнения исследований можно сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. В диссертации рассмотрена задача торможения сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке и отмечена ее актуальность. Обоснована целесообразность исследования сложных физических явлений, возникающих при торможении сверхзвукового потока в канале, при помощи численного интегрирования системы полных нестационарных уравнений Навье - Стокса на основе разностной схемы ТУБ с применением динамически адаптивных сеток.

2. Выявлен ряд закономерностей торможения сверхзвукового потока в канале. Результаты представлены в виде изолиний чисел Маха, давлений, плотностей и графиков распределения газодинамических переменных вдоль продольных сечений и ортогональных к поверхности канала сечений и согласуются с известными из литературы экспериментальными данными для псевдоскачков в каналах постоянного сечения.

3. На основе анализа результатов расчета установлено:

• полностью дозвуковой режим течения на выходе может быть достигнут при определенном уровне дросселирования;

• при определенных входных параметрах на небольшом участке за первым скачком уплотнения имеет место дозвуковой режим по всему сечению канала;

• в некотором диапазоне определяющих параметров течения в псевдоскачке возникает отрыв пограничного слоя;

• максимальная скорость достигается не в центре канала, а на некотором удалении от оси канала; на оси карала имеет место локальный минимум скорости потока.

111

4. Выявлено влияние числа Рейнольдса на качественную картину псевдоскачка. Анализ результатов расчета показывает, что в зависимости от входного числа Рейнольдса возможно торможение с формированием либо головного Х-образного скачка уплотнения, либо головного А,-образного скачка, либо отсоединенного скачка уплотнения.

5. Для более быстрого счета разработан метод зонального расчета течений типа псевдоскачка, представляющий собой реализацию метода сильного взаимодействия вязких диссипативных слоев с внешним сверхзвуковым потоком. Метод использует эффективные алгоритмы численного решения уравнений пограничного слоя и уравнений Навье -Стокса. Для вязкой зоны используется обратный метод расчета пограничного слоя, позволяющий проводить расчет как для безотрывных, так и для отрывных течений. Достоинствами метода являются более высокая разрешающая способность сеток в рассчитываемых по отдельности зонах течения, меньшее время выполнения программы и более быстрая сходимость.

6. Предложена новая методика стыковки вязкой и невязкой зон в зональных методах расчета, согласно которой зональные граничные условия при передаче информации не используются. Передача информации от вязкой зоны к невязкой происходит внутри зон.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Пер. с англ. М.: Мир, 1990. Т. 1. 392 с. Т. 2. 728 -392 с.

2. Ариелли Р., Мэрфи Дж. Псевдопрямой метод решения уравнений пограничного слоя для течений с отрывом // Ракетн. техника и космонавтика. 1980. Т. 18. № 8. С. 27-38.

3. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В.В. Сычева. М.: Наука, 1987. 256 с.

4. Бардина, Лирио, Клайн, Фрезигер, Джонстон. Метод расчета течений в плоских диффузорах // Теорет. основы инженерных расчетов. 1981. №2. С. 260.

5. Барнетт М., Дэвис Р. Расчет сверхзвуковых течений с сильным вязко-невязким взаимодействием // Аэрокосмич. техника. 1987. № 5. С. 96-103.

6. Белов Ю.Я., Яненко H.H. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно-параболических системах // Математические заметки. 1971. Т. 10. Вып.1. С. 93-99.

7. Белоцерковский О.М., Чушкин П.И. Численный метод интегральных соотношений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. №5. С. 731-759.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

9. Березовский А.Б., Панченко В.И., Владимиров А.Г. Торможение сверхзвукового потока в канале некруглого постоянного поперечного сечения // Изв. ВУЗов. Авиац. техника. 1989. № 2. С. 23-26.

10. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. М.: Химия, 1966. 535 с.

11. Босняков С.М., Михайлов C.B., Яцкевич Н.С. Расчет пространственного обтекания плоского сверхзвукового воздухозаборника при наличии углов атаки и скольжения // Учен. зап. ЦАГИ. 1989. Т.30. № 6. С. 28-37.

12. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

13. Ватса В., Вердон Дж. М. Анализ вязко-невязкого взаимодействия в отрывных течениях около задних кромок профилей // Аэрокосмич. техника. 1986. №2. С. 155-165.

14. Величко С.А., Лифшиц Ю.Б., Нейланд В.М., Солнцев И.А., Сорокин A.M. Численное моделирование трансзвукового обтекания профиля крыла в аэродинамической трубе // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1995. № 10. С. 1518-1537.

15. Вельдман А. Новый (квазиодновременный) метод расчета пограничных слоев с учетом вязко-невязкого взаимодействия // Ракетн.техника и космонавтика. 1981. №1. С. 71-80.126

16. Воздухозаборники летательных аппаратов для сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Обзор по материалам иностранной печати / М.: ОНТИ ЦАГИ, 1985. № 658. 250 с.

17. Ву Дж. К., Галкет У. Совместное использование различных алгоритмов расчета в областях безотрывного и отрывного течений в произвольном вязком потоке // Ракетн. техника и космонавтика. 1981. Т. 19. № 1. С. 4-15.

18. Галеев Р. С., Краснов С. И., Федосов А. А. Численное исследование колебательно-неравновесных течений в соплах Лаваля при умеренных числах Рейнольдса // Исследования по физической газовой динамике. Изд-во Казанского университета, 1983. С. 3-22

19. Гайэ, Дэвис. Решения уравнений Навье-Стокса для потока, обтекающего полубесконечные плоские тела // Ракетн. техника и космонавтика. 1974. Т. 12. № 12. С. 53-61.

20. Гад-эль-Хак, Бушнелл. Управление отрывом пограничного слоя. Обзор // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Соврем, машиностроение. Сер. А. 1991. № 7. С. 2-35.

21. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физматгиз, 1960. 290 с.

22. Герхарт П.М. О расчете течений с оторвавшимися пограничными слоями при заданном распределении давления // Ракетн. техника и космонавтика. 1974. Т.12. № 9. С. 142-143.

23. Гесснер Ф.Б., Фергюсон С.Д., Jloy К.Х. Экспериментальное исследование сверхзвукового турбулентного течения в канале квадратного сечения // Аэрокосмич. техника. 1987. № 12. С. 40-50.

24. Гилмер Б.Р., Бристоу Д.Р. Анализ срывного обтекания профилей с помощью одновременного возмущения уравнений движения вязкой и невязкой жидкости // Аэрокосмич. техника. 1983. № 4. С. 24-33.

25. Гильманов А.Н. Численное моделирование обтекания потоком газа жестких и деформируемых тел /Дисс. д. физ.-мат. наук. Казань, 1966. 304 с.

26. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Метод TVD на адаптивно-встраивающихся сетках в задачах сверхзвуковой газовой динамики // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физ. процессов. 1995. Вып. 1-2. С. 72-78.

27. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках // Мат. моделирование. 1995. Т. 7. № 3. С. 97-106.

28. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное моделирование торможения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике // Изв. вузов. Авиац. техника. 1996. № 4. С. 26-32.

29. Гильманов А.Н., Панова A.M. Численное решение задачи о торможении сверхзвукового потока газа в плоском канале // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тезисы докладов VII Четаевской конференции. Казань, 1997. С. 132.

30. Гильманов А.Н., Панова A.M. Численное исследование влияния числа Рейнольдса на структуру псевдоскачка // Проблемы энергетики: Материалы докладов республиканской научной конференции. Ч. 1. Казань, 1998. С. 64-65.

31. Гильманов А.Н., Панова A.M. Торможение сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. №3. с. 164-171.

32. Гимранов Э.Г., Михайлов В.Г. Математическое моделирование и численный расчет предотрывной области псевдоскачка в кольцевом цилиндрическом канале // Препринт / УГАТУ, Уфа, 1996. 53 с.

33. Гимранов Э.Г., Михайлов В.Г. Газодинамика псевдоскачка в каналах газодинамических устройств //Препринт /УГАТУ, Уфа, 1996. 47 с.

34. Гогиш JI.B., Степанов Г.Ю. Псевдоскачок как простейшая модель сильного взаимодействия турбулентного следа с потоком // Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979. С. 89-96.

35. Гогиш JI.B., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: основные свойства и расчетные модели. М.: Наука, 1990.

36. Гогиш Л.В. Автомодельные возвратные течения в области отрыва турбулентного пограничного слоя // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. №4. с. 173-177.

37. Гориславский B.C., Толстых А.И. Численный расчет течения в области сферического затупления при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1967. № 5. С. 93-98.

38. Гоуз, Клайн. Расчет максимального восстановления давления в плоских диффузорах // Теорет. основы инженерных расчетов. 1978. № 4. С. 130-131.

39. Гордон Р., Ром Дж. Трансзвуковое вязко-невязкое взаимодействие при отрывном ламинарном и турбулентном обтекании профилей // Ракетн. техника и космонавтика. 1979. Т. 19. № 7. С. 3-12.

40. Гурылев В.Г., Елисеев С.Н. К теории "псевдоскачка" на входном участке канала // Учен. зап. ЦАГИ. 1972. Т.З. № 2. С. 25-35.

41. Гурылев В.Г., Трифонов А.К. Псевдоскачок в простейшем воздухозаборнике в виде цилиндрической трубы // Учен. зап. ЦАГИ. 1975. Т.7. № 1. С. 130-137.

42. Гурылев В.Г., Корчинская М.Ю., Чевагин А.Ф. Структура течения и максимальные статические давления на входе и в горле плоских воздухозаборников при больших сверхзвуковых скоростях // Учен. зап. ЦАГИ. 1985. Т. 16. № 1. С. 46-53.

43. Джонсон Д.А., Хортсмен К.К., Бэчело В.Д. Сравнение с экспериментальными данными результатов расчета трансзвукового турбулентного отрывного течения // Аэрокосмич. техника. 1983. Т. 1. № 1. С. 32 42.

44. Джорджев М.П. Интегральный метод исследования вязко-неязких взаимодействий при произвольном охлаждении стенки // Ракетн. техника и космонавтика. 1974. Т. 12. № 10. С. 126-136.

45. Дородницын A.A. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе // ДАН СССР. 1942. № 34. С. 234-242.

46. Дородницын A.A. Об одном методе решения уравнения ламинарного пограничного слоя // Прикл. механ. и техн. физ. 1960. № 3. С. 111-118.

47. Дрила М., Джайз М.Б. Расчет вязко-невязкого взаимодействия в трансзвуковом потоке около профиля при низких числах Рейнольдса // Аэрокосмич. техника. 1988. № 6. С. 23-33.131

48. Дуайер Х.А. Адаптация сеток для задач гидродинамики // Аэрокосмич. техника. 1985. Т. 3. № 8. С.172-181.

49. Емельянова З.М., Павлов Б.М. Структура вязкого ударного слоя. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1979. 110 с.

50. Захаров А.Г., Ковалев В.Е., Коновалов С.Ф. Численное исследование пространственного обтекания скоростного электропоезда при наличии отрывов турбулентного пограничного слоя // Изв. РАН. МЖГ. 1993. №5. С. 89-97.

51. Зубков А.И., Соркин Л.И. Влияние вязкости на течение в области прямого скачка уплотнения // Изв. АН ССР ОТН. Механика и машиностроение. 1961. № 1. С. 114 120.

52. Картер, Уорном. Схема численного интегрирования по потоку уравнений пограничного слоя с отрывом // Ракетн. техника и космонавтика. 1975. Т. 13. №8. С. 167-169.

53. Каффел Р., Бэк Л. Экспериментальное исследование характеристик течения и теплообмена в области псевдоскачка при охлаждении стенки потоке // Ракетн. техника и космонавтика. 1976. Т.Н. № 12. С. 63-71.

54. Квон, Плетчер. Метод вязко-невязкого взаимодействия. Часть 1. Метод расчета двумерных несжимаемых отрывных течений в каналах // Теорет. методы инженерных расчетов. 1986. № 1. С. 230-241.

55. Келлер, Себеси. Точный численный метод расчета течения в пограничном слое. II. Плоское турбулентное течение // Ракетн. техника и космонавтика. 1972. Т. 10. № 9. С. 73-81.

56. Клайнберг Дж. М., Лиз J1. Теория ламинарного вязко-невязкого взаимодействия в сверхзвуковом потоке // Ракетн. техника и космонавтика. 1969. Т. 7. № 12. С. 25-39.

57. Ковалев В.Е. Сравнение интегрального и конечно-разностного методов расчета плоского сжимаемого пограничного слоя // Труды ЦАГИ. 1988. Вып. 2423. С. 3-25.

58. Ковалев В.Е. Расчет сжимаемого отрывного пограничного слоя обратным методом с заданной толщиной вытеснения // Труды ЦАГИ. 1988. Вып. 2423. С. 26-41.

59. Козлов, Сабельников. Расчет процесса торможения вязкого сверхзвукового потока в каналах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 2. С. 162-166.

60. Колесников О.М. Численное моделирование псевдоскачка в плоском канале, вызванного сгоранием пристенных водородных струй // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №> 2. С. 196-200.

61. Королев Г.Л. Отрыв потока и неединственность решения уравнений пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т.31. № 11. С. 1706-1715.

62. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 2-х ч. М.: Физматгиз, 1963. Часть 1. 700 с. Часть 2. 727 с.

63. Краузе 3. Экспериментальное исследование сверхзвуковых диффузоров с большим отношением сторон поперечного сечения и низкими числами Рейнольдса // Ракетн. техника и космонавтика. 1981. Т. 19. № 1. С. 91-101.

64. Крокко JI. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений // Основы газовой динамики. Пер. с англ. / Под ред. Эммонса Г. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. С. 64-324.

65. Кталхерман М.Г., Мальков В.М., Рубан H.A. Торможение сверхзвукового потока в прямоугольном канале постоянного сечения // Прикл. механ. и техн. физ. 1984. № 6. С. 48-57.

66. Кталхерман М.Г., Мальков В.М., Рубан H.A. Экспериментальное исследование течения в соплах газодинамических лазеров нагрева // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 5. С. 79-86.

67. Кулачкова H.A. Об одном подходе к построению геометрически и физически адаптивных конечно-разностных сеток // Взаимодействие оболочек со средой. Труды семинара. Казань: Казанск. Физ. - техн. инст-т, 1987. Вып.20. С. 223-230.

68. Куерти Г. Ламинарный пограничный слой в сжимаемой жидкости. // Проблемы механики. М.: ИЛ. 1955. С.291-351.

69. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 426 с.

70. Курячий А.П. Моделирование теплопереноса при турбулентном обтекании теплопроводной пластины с локальными участками нагрева // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 6. С. 79-86.

71. Кэллиндерис Я. Дж., Бэрон Дж. Р. Применение адаптивных методов для решения уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмич. техника. 1989. Т.7. № 10. С.122-132.

72. Ландау JI, Лифшиц Е. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

73. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный метод расчета турбулентных течений и теплообмена в двигателях летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиац. техника. 1988. № 1. С. 49-53.

74. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование вязких дозвуковых потоков при числе Рейнольдса 104 // Мат. моделирование. 1997. Т. 9. № 3. С. 3-12.

75. Липман Г.В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М.: ИЛ, 1960. 518 с.

76. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962.

77. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978, 736 с.

78. Лукашевич Дж. Диффузоры для сверхзвуковых аэродинамических труб //Механика. 1954. Вып. 5(27). С. 59 79.

79. Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Сверхзвуковой пограничный слой на пластине. Сравнение расчета с экспериментом // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 6. С. 64-78.

80. Малоземов В.Н., Омельченко A.B., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока // Прикл. матем. и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 1014-1020.

81. Меркли П.Е. Восстановление давления в сверхзвуковых диффузорах с прямоугольным поперечным сечением постоянной площади // Ракетн. техника и космонавтика. 1976. Т.14. № 2. С. 52-57.

82. Месситер А.Ф. Теория взаимодействия пограничного слоя // Механика. Новое в зарубежной науке. 1986. Вып. 38. С. 228-259.

83. Миранда Л.Р. Применение вычислительной аэродинамики при проектировании самолетов //Аэрокосмич. техника. 1985. Т.З. №2. С.3-23.

84. Мозес, Джонс, СГБрайен, Питерсон. Совместный расчет трения в пограничном слое и внешнего течения при наличии отрыва // Ракетн. техника и космонавтика. 1978. Т. 16. № 1. С. 78-83.

85. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. О формировании ламинарного бокового отрыва, вызванного струей маршевого двигателя // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №4. С. 122-130.

86. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач: Пер. с англ. М.: Мир. 1982. 296 с.

87. Найт Д.Д. Улучшенный метод расчета высокоскоростных течений в воздухозаборниках. Часть 1. Расчетная схема // Ракетн. техника и космонавтика. 1981. Т. 19. № 1. С. 23-33.

88. Наполитано М. Расчет отрывных течений с большими числами Рейнольдса на основе решения уравнений Навье-Стокса и приближенных уравнений // Аэрокосмич. техника. 1987. № 12. С. 3-9.

89. Наполитано М., Верле М.Дж., Дэвис Р.Т. Численный метод решения задач с использованием трехслойной схемы течения // Ракетн. техника и космонавтика. 1979. Т. 17. № 7. С. 35-44.

90. Нейланд В.Я. К теории отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1969. № 4. С. 53-57.

91. Олейник O.A. О системе уравнений теории пограничного слоя // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. № 3. С.489-507.

92. Ом Д., Чайлдс М.Е. Взаимодействие каскада скачков уплотнения с пограничным слоем в цилиндрическом канале // Аэрокосмич. техника. 1986. №5. С. 143-150.

93. Павловский Ю. Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. № 5. С. 884-901.

94. Павлов В.Г., Молочников В.М. Метод последовательных приближений в обратной задаче теории сжимаемого пограничного слоя при вдуве однороднее газа // Изв. ВУЗов. Авиац. техника. 1985. № 2. С. 46-51.

95. Панова A.M. Расчет торможения в псевдоскачке с учетом вязко-невязкого взаимодействия // Мат. моделирование в естественных науках: Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 1998. С. 46.

96. Панова A.M. Исследование торможения потока газа в псевдоскачке // Вестник Казанского технологического университета. 1998. № 2. С.65-69.

97. Панова A.M. Расчет сжимаемого отрывного пограничного слоя обратным методом // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-12: Сб. трудов 12-й Международной научн. конференции. Т.1. Великий Новгород, 1999. С. 42-45.

98. Панова A.M. Влияние теплообмена на положение точки отрыва в течении Хоуарта // Методы кибернетики химико-технологических процессов: Тез. докл. 5-й Междунар. научн. конф. Казань, 1999. С. 84-86.

99. Пасконов В.М., Чудов J1.A. Разностные методы расчета течений в пограничном слое (обзор). // Вычислительные методы и программирование. Вып. U.M.: изд. Моск. ун-та, 1968. С. 55-75.

100. Пасконов В.М. Численное изучение структуры течений около тел конечного размера, движущихся со сверхзвуковой скоростью // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. Т.9. № 7. с. 79-92.

101. Петров Г.И. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования. Избр. труды. М.: Наука. 1992. 306 с.

102. Плетчер Р. Расчет несжимаемого турбулентного отрывного течения // Теор. основы инженерных расчетов. 1978. Т.100. N 4. С. 139-147.

103. Пензин В.И. Псевдоскачок и отрывное течение в прямоугольных каналах // Учен. зап. ЦАГИ. 1988. Т.29. № 1. С. 105-116.

104. Редвен С.Ф., Ликудис С.Г. Расчеты обратным методом несжимаемого течения в турбулентном пограничном слое на эллипсоиде // Аэрокосмич. техника. 1987. № 5. С. 67-76.

105. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

106. Себеси, Смит. Конечно-разностный метод расчета сжимаемых ламинарного и турбулентного пограничных слоев // Тр. Амер. о-ва инж. -мех. Сер. D. 1970. № 3. С. 121-133.

107. Себеси, Брониевски, Жубер, Кураль. Смешанная конвекция на вертикальной плоской пластине при наличии отрыва и перехода от ламинарного течения к турбулентному // Тр. Амер. о-ва инж. мех. Соврем. Машиностроение. Сер. А. 1990. № 9. С. 131-139.

108. Себечи Т. Метод решения обратной пограничной задачи теории пограничного слоя для сжимаемых ламинарных и турбулентных пограничных слоев // Ракетн. Техника и космонавтика. 1978. Т. 16. № 3. С. 128-138.

109. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 592 с.

110. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. М.: Наука, 1976. Т. 1. 536 с.

111. Строн, Ферзигер, Клайн. Новый метод расчета вязко-невязких взаимодействий во внутренних течениях // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Д. 1984. N 1. С. 152- 158.

112. Сукомел A.A., Величко В.И., Абросимов Ю.Г. Теплообмен и трение при турбулентном течении газа в коротких каналах. М: Энергия, 1979.216 с.

113. Тай Т.С. Трансзвуковое ламинарное вязко-невязкое взаимодействие на поверхности крыловых профилей // Ракетн. техника и космонавтика. 1975. Т.13. № 8. С. 123-132.

114. Талкот, Кумар. Численный расчет двумерных вязких течений с замыкающими скачками уплотнения в системе воздухозаборник -диффузор//Аэрокосмич. техника, 1986. № 1. С. 86-98.

115. Тарасов Ф.Ф. Исследование псевдоскачка в длинных каналах / Дисс. на соискание уч. степени к.т.н. Казань: КАИ, 1967. 181 с.

116. Тимошенко В.И. Сверхзвуковые течения вязкого газа. Киев: Наукова думка, 1987. 184 с.

117. Тимошенко В.И., Лиманский A.B. Внешнее обтекание тел вязким газом // Численные методы динамики вязкой жидкости / Под ред. Ю.А. Березина. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР. 1983. С. 288-291.

118. Тимошенко В.И., Лиманский A.B. Технология численного решения на ЭВМ задач газовой динамики. Киев: Наукова думка, 1985. 231 с.

119. Уитфилд Д.Л., Сваффорд Т.В., Джекокс Дж. Л. Расчет турбулентных пограничных слоев с отрывом, присоединением и вязко-невязким взаимодействием // Ракетн. техника и космонавтика. 1981. Т. 19. № 11. С. 60-69.

120. Уэрл М.Дж., Ватса В.Н. Новый метод расчета отрыва сверхзвуковых пограничных слоев // Ракетн. техника и космонавтика. 1974. №11. С. 45-53.

121. Уэрле М.Дж., Бертке С.Д. Конечноразностный метод расчета пограничных слоев с областями возвратного течения // Ракетн. техника и космонавтика. 1972. Т. 10. № 9. С. 141-143.

122. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. 814 с.

123. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т. / Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. Т. 1. 532 с. Т. 2. 552 с.

124. Халим A.A.M. Итерационный метод расчета осесимметричных течений, основанный на решении обобщенных уравнений пограничного слоя // Аэрокосмич. техника. 1987. № 5. С. 77-85.

125. Хань М.М.С., Ингер Дж.Р., Лекудис С.Г. Расчет трансзвукового обтекания профилей с учетом сильного вязко-невязкого взаимодействия у задней кромки и у основания скачка уплотнения // Аэрокосмич. техника. 1985. Т. 3. № 2. С. 80-90.

126. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: ИЛ, 1962.

127. Холст, Кэйнок, Ганди и др. Расчеты трансзвукового обтекания крыльев с помощью зонального метода на основе уравнений Эйлера и Навье-Стокса// Аэрокосмич. техника. 1987. № 7. С. 22-32.

128. Хортон. Расчет отрывающегося ламинарного пограничного слоя при заданном распределении поверхностного трения // Ракетн. техника и космонавтика. 1974. Т. 12. № 12. С. 190-192.

129. Чжен П. Управление отрывом потока. М.: Мир, 1979. 552 с.

130. Шенг Дж. С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа // Аэрокосмич. техника. 1986. № 2.С. 65-92.

131. Щенников В.В. Расчет ламинарного пограничного слоя вдоль образующей сублимирующего тела вращения. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 5. № 1. С. 139-144.

132. Щенников В.В. О некоторых численных методах решения уравнений пограничного слоя // Численные методы решения задач механики сплошных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1969. С. 214-229.

133. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с.

134. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 711 с.

135. Шэмрот. Интегральные методы расчета характеристик пограничного слоя // Прикл. механика (Пер. Trans ASME, Ser.E), 1969. Т.36. № 4. С. 19-28.

136. Эдварде Д.Е., Картер Дж. Е., Хафез М.М. Применение трансзвуковой теории вязко-невязкого взаимодействия к задаче об отрыве потока, индуцированном скачком уплотнения, при наличии нормальных градиентов давления // Аэрокосмич. техника. 1987. №5. С.86-96.

137. Эккерт Г. Расчет турбулентного пограничного слоя на пластинке в сжимаемом потоке по измерениям трения в трубах // Вопросы ракетной техники. 1951. Вып. 3. С. 104-111.

138. Эшджай, Джонстон. Неустойчивый отрыв потока и максимальное восстановление давления в двумерных диффузорах с прямолинейными стенками // Теорет. основы инженерных расчетов. 1980. № 3. С. 97 100.

139. Briley W. R. A numerical study of laminar separation bubbles using the Navier-Stokes equations // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 47. Pp.713-736.

140. Briley W. R., McDonald H. Numerical Prediction of Incompressible Separation Bubbles // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 69. № 4. Pp.631-656.

141. Catherall D., Mangier K. W. The integration of the two-dimensional laminar boundary-layer equations past the point of vanishing skin friction // J. Fluid Mech. 1966. Vol.26. Pp. 163-182.

142. Cebeci T., Clark R. W., Chang K.C., Hasley N.D., Lee K. Airfoils With Separation and the Resulting Wakes // J. Fluid Mech. 1986. V. 163. 1986. P. 323-347.

143. Cebeci T., Smith A.M.O. Analysis of turbulent boundary layers. New York: Academic Press. 1974. 404 p.

144. Gilmanov A.N., Panova A.M. Numerical simulation of supersonic gas flow with separation in a flat channel // Proceedings Second International Symposium of Energy, Environment and Economics. Volume 1.- Kazan, 1998. P. 42-45.

145. Goldstein S. On laminar boundary-layer flow near a problem of separation // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1948. V.l. No. 1. P.43-69.

146. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. V.49. No.3. P.357-393.

147. Keller H.B., Cebeci T. An inverse problem in boundary-layer flows // J. Comput. Phys. 1972. Vol.10. P. 151-161.

148. Kumar A., Yajnik K.S. Internal Separated Flows at Large Reynolds Number 11 J. Fluid Mech. 1980. V. 97. P. 27-51.

149. Leal L. G. Steady separated flow in a linerarly decelerated free stream // J. Fluid. Mech. 1973. V.59.Part 3. P. 513-535.

150. Lighthill MJ. On displacement thickness // J. Fluid Mech. 1958. V.4. Pt.4. P. 383-392.

151. Munz C.D. On the Numerical Dissipation of High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. Comput. Phys. 1988. Vol. 77. N. 1. P. 18-39.

152. Neuman E.P., Lustwerk F. High-efficientcy supersonic diffusers // J. Aeronautical Sciences. V. 18. No.6. P. 369-374.

153. Reyhner T.A., Flugge-Lotz I. The Interaction of a Shock Wave With a Laminar Boundary Layer // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1968. Vol.3. P.173-199.

154. Roe P.L. Approximate Rieman Solvers, Parametr Vector and Difference Schemes //J. Comput. Phys. 1981. Vol.43. N.2. P. 357-372.

155. Higuera F.J. Boundary layer separation due to gas thermal expansion // Phys.Fluids. 1997-9, No. 10. P.2841-2850.

156. De Jarnette Fred R., Radeliffe Robert A. Matching inviscid / boundary-layer flowfields // AJAA Journal. 1996. Vol.34. N.l. P.35-42.