Исследование уравнений бельтрами с нарушением условия эллиптичности на многообразиях нулевой меры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

5 / ,Е! 10Я*и|09Эзрство образования республики . Таджикистан

таджикский государственный университет Специализированный совет- к 065.01.02

На правах рукопмеи УД1С 517.956.2

ДОБОРОВ Уоыоя Ахмадхонович

исследование уравнений щьтрами с нарушением

условия эллиптичности на многообразиях нулевой меры

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

А 2 I о р е $ в р а 5

днвсэртацин яа ооиоканиб ученой згапеш; кандидата фааико-иатеыатических наук

Душанбе - 1993

Работа выполнена в Таджикском государственном универ- ■ си геле.

Научный руководитель: академик АН Республики Таджикистан,

доктор физико-математических наук, профессор УСМАНОВ 3„Д„

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор МУХШ1АДИЕВ Э.М.;

кандидат физико-математических наук, доцент МУРТАЗСЕВ Д.Ы.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

математики АН Республики Казахстан

Защита состоится ■¿Г ■ 1993 г« в/3 час,

ва заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском государственном университете по адресу: 734025, г.Душанбе, проспекг Рудаки, 17.

С диссертацией моано ознакомиться в научной библиотеке Тадкикского государственного университета.

Автореферат разослан " &1/1993 г. .

Ученый секретарь специализированного совета, , к.ф.-и.н., доцент О.Х.Хооабеков

ТГУ . 21/У-1863 г.Заказ Бб.Тираж ЮО юз.

- з -

общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. 3 рецензируемой диссертации объектом исследования ягляется комплексное уравнение Бельтрами

- умд^г = 0, ¿еб, а).

Достаточно полная теория решения этого уравнения построена в монографии И.Н.Векуа в предположения„что коэффициент су(г) ограниченная измеримая функция в области С удовлетворяющая услоеию равномерной эллиптичности I ^(^¡¿^ < Дальнейшее развитие теории уравнения (X ) связывается с изучением случаев,когда на некотором многестве £1 нулевой мерн.приаадлекащем области задания уравнения,допускается равенство ¡<1(2)1 = 1 и тем самим нарушается условие равномерной эллиптичности.Этому направлению исследований по-гаг^ди работы Б.В.Боярского.А.Д.Джураева.А.Абдуаукурова и

Актуальность исследований уравнения Бельтрами с нарушаем условия эллиптичности обусловивается не только приобратением новых знаний по теории дифференциальных уравнений но такхэ и признанием полученных результатов к изучеаиэ деформаций поверхности я тоньких безмомзнтннх упругих оболочек.

ШШЬ РАБОЩ -доказать существовании гокеокорфных реасипй, а такге подучить представление всех резеяий уравнения (I ) о нарушением условия эллиптичности либо в изолированных точках,либо на изолированных линиях принадлежащих области б. При этом характер нарушения эллиптичности не произвольный,а вполне конкретный,который обнаруживается при решении геометрической задачи о построении изометрически сопрязеннах координат на поверхности полопительной кривизны р. окрестности её .

- q -

особого многообразия нулевой меры.В качестве такого многообразия рассматриваются изолированная коническая точка,изолированная параболическая точка,параболическая линия и изолированная, точка уплощения.Кавдому из этих случаев соответствует уравнения (1) с вполне определенным асимптотическим поведениям <Цг) в окрестности особого многообразия.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Наряду о уравнением (1) рассматривается вспомогательное модельное уравнение Бельтрами, в котором коэффициент имеет специальный вцд такой, что о одной стороны, он содержит в себе основную особенность коэффициента исходного уравнения, а с другой стороны достаточно прост для того, чтобы получить в явном виде его гомеоморфное решение. С помощью этого решения,уравнение (1) преобразуется к качественно иному виду- уравнению Бельтрами без нарушения условия эллиптичности,т.е. к такому "регулярному" объекту.который изучен с достаточной полнотой в монографии И.Н.Векуа.После чего решение интересующего нас уравнения представляется в форме композиции гомеоморфизмов вспомогательного уравнения и промеву-точного "регулярного" уравнения Бельтрами. ■

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. I.Доказано,что задача существования изометрически содряаеяных координат-на поверхности пологительной кривизны в окрестности особого многообразия (коническая точка, параболическая точка,параболическая линия,точка уплощения) сводится к отысканию гомеоморфных решений уравнения (1) о вполне конкретным асимптотическим поведением ^(z.) в точках нарушения условия эллиптичности.

2.Для некоторых полученных класоов уравнений Бельтрами доказано существование гоыеоыорфных решений,а для соответствующих им поверхностей построены изометрически сопряженные координаты в окрестности особых многообразий.

- ь -

З.Доиазано существование гомеоморфных решений и подучена представления всех решений уравнений Бельтрами,обобщающих геометрические случая.

ЦЕННОСТЬ Реферируемой работа состоит в дальнейшем развитии аналитических методов исследования а построения элементов эео-рии решений уравнения Бельтраш с нарушением условия аалнают-ности.

Работа имеет презде всего теоретическую направленность,её результаты могут найти аршшэния пр изучении изгибаний поверхностей и деформации упругих оболочек„

АНРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результат даосертедаа догиадм-вались на республиканской научно- ^еорзтачесжой яояфзренда молодых ученых а специалистов (г.Курган-'гюб® Х991),ва яадчаом семинаре кафэдры математического анализа ш гео^ш л£7

(рук.проф. Н.Р.Раддабов), на объединенном семншрз рг/ лрч! теории функций и функ. анализа а диффвренщаяйачх урашакл! ин-та теоритической я прикладной математики ШЕ РзсдвКазах. .

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результата диссертации опубликована в статях,список которых приведен в кояце азтореферага.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ, Диссертация изложена на 79 страницах машинописного текста и состояв аз звэдеяая,, двух глав и списка литературы, вкллчавдего 38 нашейовэнай.

ООДЕРШИЕ ДИССЕШЩИ

Во введении приводятся обзор рабо? ,гшещзх яввоерздетазв-нов отношение к теме диссертациям араткое водвржааив дасе®£>» тациа о указанием основных результатов.

Глава I посвящена изучению аробле&ш яострэепм ааонзтри-чески сопрякенных координат .на поверхностях дашзЕзгзюкой

кривизны в окрестности особых многообразий, Б качестве последних рассматриваются изолированная коническая точка,изолированная параболическая точка,параболическая линия и,наконец,изолированная точка уплощения.

Мы не стремились к тоод.чтобы охватить наиболее общие типы поверхностей,а ограничились рассмотрением их определенных классов с тем,чтобы на достаточно просткх примерах обнаружить специфику аналитических задач,которая проявляется при наличии особых многообразий на поверхности.

В §Х отмечается,что задача приведения второй квадратичной формы поверхности положительной кривизны

[I -Ц*,Ч)<1*1 + £Л\(Х,у)с*х<<у+А(х,у} о/у1

к изометрическому виду

[I * ияих.у),

эквивалента задаче существовании гомеоморфных решений уравнения (1) в котором

и «и«.)«--<.*)+Кмч*'*>

В §2 в декартовой системе координат 0*ч Ъ рассматривается поверхность вида

, (х,*)е 6., (г),

где + уаачс^Хъ/х), и»*

и а(>й6 с&[о,а}, е сЧб.), причем а(ч)в<х(ч+ие), а(ч)*о и {(*,$ >о.

Точка (о, с) является конической для поверхности Здесь выделяются два случая:

1. ам + й

2. / <•©•"(*)-е при

1 п*4* + п

,-(*-0/! >0 при

а ам+ (£('<)> О для прочих где Д -объединение

непересекающих интервалов из

Устанавливается,что коэффициент уравнения Бельтрами для поверхности (I) удовлетворяет следующим условиям.

В случае а№ + а"(ч) >Q, устанавливается,что

\^(x)\¿í при г 4Q и £j(z) представим а виде <}(*)* (-i<Kf,lt))ett,r , ЖС-Í?«, где у.(х)£ С (6.), <¡o{i-)'G{ f */{""у*) при & -ю , : причем lim Re Г|хГ{я"0/А <?«(»>/ >о.

%-*с - » J

В случае а+ й n'/^wf^> f

при f £ Л И а(^) + 0,"Ы)>0 при Ф í£ Л ¡> КМеЗй .^(2,5 £ ¿Cftr.), i<j(í)\¿i яри * и Q(~) лредставим э вййь

ч ( (-£ + <>ж))еа* яри f d й

I яра f £ á

где q0 (z) .удовлетворяем тем se условиям,что а в прэдащущеги случае,к |<?(s?í«j для любых % .аргумента кедарнх принадлежа? á „

В §3 рассматривается поверхность вида

где G=f(x,y): х*+ ч* <(!*}, atj и t ~ коистзнха, /(х.у)£C1(G) И -т,}) при -хя,

. yt) , причем a,f)üIS?9, «О

И а« + a.. + - > o.

Точка Co.oj язляетсл параболической для (г>), Устанавливается,что коэффициент уравнения Бельтрами для повархносга (3/ представил в Еиде

<j(sO - ¿¡(о)-г q (%), zerff

где ¡q(x )| с i при сцо) = со*1ь,

Зм<Ц0)Ф0, q(x)CC(G), ¿)( Z)=0(ltl¥i) при x-+0, причем tcy Re[\xf1it q(o)cf(%)] < o.

В §4 рассматривается поверхность

% *a.(*) + <х<(*)у+о.л*)чк, (ч),

где G * {(к,у)« l*l<j}> а.(к), а,(х),

€СХЫ>$) и для всех XfcU.jiJ

йе(х) , Ü.i(x), aUх) >0

а«(х)а;(х) -¿aU*)>o

iaU*)&i(*i -a-Ux) = о а;(х)ад(х) -ia.'wa'^xjso.

Линия у = о является параболической для поверхности (ч). Устанавливается.что коэффициент уравнения Бальтрами для (t) представим в виде

(}(*) « <?.(*) + 9(2),

где Igix)) < ± при у* о, <),(х)€ CU,ß] , ¡f.Mjsl, q (х)€ С (Ö), <j(i) = 0(l\}l ) при у-го, причем О.

В §5 рассматривается поверхность

, гх^еб, (s).

ГДв Т4 - , 4>-otги^(ф), О »{(х,*): х' + у^К1 } *

Ъ+Simy ЯР* Oi^i'n

3 при JT (¿Я

тМз

Точка (о,о) является точкой уплощения поверхности (£), Для (о) вычисляется коэффициент уравнения Бельтрами ^(г) и устанавливается,что ^(х) представим в-виде

_] (-.( + при о^ч1^

! при

где ^ при Х4-0, непрерывная пс % в сек-

торе (2: 0< о^^&И) п ¿¡в{г)-0(\£иг}"')

при I О.

В ксздом параграфе это!! главы осуществляется постановка аналитической задачи,исследование которой приводит к решение задачи о построении изометрически сопряженных жоордша» за поверхности в окрестности особого многообразия.!? некоторых случаях формулируются даже более обилие аналитические задача по сравнении с тем,что требуется для геометрических приложений.

Глава II посвящена исследованию аналитических задач,сформулированных в конце каждого параграфа главы I. Отметим,что задачи поставленные в §§2 и 5 решены не в полном объеме. Вместе с тем, в других случаях удаётся исследовать доге более общие постановки,выходящие за предела геометрических приложений.

В §1 даются необходимые сведения по исследованию уравнения (I) и получены формулы,которые используются во всех последующих параграфах.

В §2 уравнение (1) рассматривается в I- о<|*| в предположении,что <7(г) удовлетворяет следующим условиям.

Условия А|Ц{гЦ< I при t$Q и представай а виде

где (х) £ С (б,) , <?(!*(') пря х-*0,

к™ Re[ ¡zr'ç,(z)] > û.

Исследованию уравнению (i) с условиями Aj соответствует аналитическая задача,возникающая при изучении Еопроса о построении изометрически сопряженных координат на поверхности (х ) в случае + а'Ч*) > О , ye[o,tя].

В дальнейшее обозначим через Di,p' (G) класс функций имеющих обобщенные производные суммируемые со степенью р'.

Теорема I. Уравнение ( i) с коэффициентом сцг) подчиненный! условиям А допускает частное решение ufc(z) из класса Oi,P' (G.), <<Р'4 ¿Р/(» + Р), р>*, ( при

осуществляющее гоыеоморфное отображение области G с, на некоторую двусЕязную область Gaw плоскости W, причем ïoç-ке Х~0 соответствует внутренная граница области Gaw.

Этому результату соответствует геометрический аналог:

Теорема 2 . На поверхности положительной кривизны ( х ) в случае 0,(4) > о , в достаточно малой ок-

рестной.« ее изолированной конической точки существует изометрически сопряженная параметризация из класса D^p1 (&в),

1 < Р ' .4 I р/с J1 - Р) » Р * 1, ( р » ^ при^которая гомеоиорфно отобрааает эту окрестность (без учета конической точки) на двусвязную область S.rt , Образом конической точки является внутренней замкнутая граничная кривая области Gew.

В §3 уравнение (i) .рассматривается в Gaa\Z: o<\t\< R] в предпол02ении,ч20 удовлетворяет следующим условия?/.

Условия Ао. при %Ф0 и (J(x) представим

в виде

ом- I П£Я

А (¡¡(г) прк j =

где <j0 сг) - непрерывная вне a-t-q z = f;, z £ G0,. ( г) -

sO(lzt') ори г-*0' 1>о, С[о,Я] t

¡(^¡«I, причем ее |J* Г* <?„<*)] >о.

Этому случаю соответствует аналитическая задача,возникающая при изучении вопроса о построении изометрически сопряженных координат на поверхности (2.) в случае.когда Д - объединение непересекающих интервалов из [о,а.Я] выроадается в объединение дискретных значений fj € [о, ¿tfj > j = i,т.

Ъ этом случае аналитический результат и его геометрически! аналог по существу совпадают с результатами,сформулированными в теоремах I и 2.

В §4 рассматривается аналитическая задача,близкая по постановке к аналитической задаче §2 гл.11,однако не имеющая непосредственного отношения к геометрическим задачам,приведенным в гл.1, Здесь предпологается,что (J.) задаётся в Q~ {z: |z|<R} и (j(z) удовлетворяет следующим ограничениям.

Условия ¡9(z)j< i при гФ о и (j(z) представим в

виде

где (}e(z)€C(G), <je(z)-0(\ll'j при z-*о, причем

Re[)z\~* < O.

Доказывается теорема существования гомеоморфного в облас- . ти G решения уравнения (í).

В §5 рассматривается ищё один случай уравнение (¿) пред-, ставляющей определенный ннтерес„хотя и неимеицей прямого шения к геометрическим задачам^приведенным в гл„10 Здесь пред-пологается.что (i) задано в = 0<М<£) а на налогены следующие ограничения.

Условия А^. \(Цг)\< i при z 40 a ^(t) представим в гаде

+ , г eG.

где C[o,znJ , 9,(»> »9. + j?»(t)|slf

Íw^.í«») € C(§.) , <5»cx) izj") при X-+0,

i»Cß причем ¿u« КеГ|гГ%(4)£(гЛ<0'

X -»С l í S J

Теорема 3. Уравнение (i) с коэффициентом <щ),подчиненным условиям допускает гомеоморфное в Q0 решение vJe(i) из класса Df,p»(Ga) , I < P'«AP/(v + p) , р*л„ (p.>V яри V >к)с которое отображает область Qe на некоторую двусвязную область Gow плоскости W, причем точке Z-0 соответствует одна яз границ области Gew.

В §6 уравнение ( i ) рассматривается в области G е = | z ~ x-fiy: i х ¡ < с , jy|-fi¡?í] в случае,когда условие эллиптичности нарушается в узлах прямоугольной сетки.Цри этом предполагается»что <|(%) удовлетворяет следующим условиям.

Условия Ag. ¡<f(z)j<l при 1 ф ZJ>t = x;+¿y* é & и (j(t) представим в виде

9(z) 3 <!*(*)-<■$(*), где ф(х)€С[-с.с] , 1*»c¡A*)>o, ¡q(x-)\ = i, |9„(x)j< x прй , J = í>, ~С i х«<хд <í. . . с ¿c , 9(x)éC(6),

при -ci< <..

,..<\¡m*d , V« >о , причем Re f П ¿ü)l<0.

При j-ís a sí и условиям А5 соот-

ветствует аналитическая задача»возникающая при изучении вопроса существовании изометрически сопряженных координат на поверхности (ь) При йц>0.

Обозначим через Di,р(6;/ р >i , класс функции vJ'o(z), удовлетворяющих условию

9(х) - • коэффициент уравнения ( 1), с}*(г)-коэффициент вспомогательного по отношении к (*) уравнения,удовлетворяющий условиям Ад, (х)- гокесморфное решение вспомогательного уравнения.

Теорема 4. Уравнение (I) с коэффициентом ^(^подчиненным условиям А^,допускает частное решение из класса 0<,р (б", {), р > X , которое гомео;,;орфно отобразает область О плоскости % на область плоскости

Этому результату соответствует геометрический аналог:

Теорема 5. На поверхности положительной кривизны (ъ) при &,х >0 в малой окрестности её изолированной параболической точки существует изометрически сопряаеняая параиетризация из класса р р>Л, которая гомооморфно отобразает

эту окрестность на односвязную область,

В §7 (1) рассматривается в когда

нарушение эллиптичности происходит в узлах полярной сетки. На сцг) налагаются следующие ограничения.

Условия а6. ' |дсх.)|< 1 при г-* е й и

представим в виде

сцг) = + ае<?

где £ С [о, ¿я], ЧеС^-иЯ), < о,

1^.(^)1 = 1» при > ¿ = « *>**»<?,<

9(х)£С(ё), ^еООг-Ц«!-*) при К.-о<Кл*«,<—.» причем & йе Г П | г -

^ =—т г-»г г, I «»г

В этом случае,как и в §6,для уравнения (О доказыза-

ется теорема существования.гомеоморфного в области § решения.

В §8 уравнения (1) рассматривается в 6 = с<<Х<41% Сг < у< е^ } в случае,когда нарушение условия эллиптичности происходит на линиях параллельных оси координат. При этом на (Цг) налагаются следующие ограничения.

Условия А г,., (<}(%)1<1 при у ^ 6 б , ¡*ит и ^(■¡г) представим в виде

?(*)= у.(х) + у(г) тае ?,(*)€ С [с,,<*,], |^(х>| нх, ч.(х) Ф о , хе[$<х)ес(ё),. при

у-^, ...< ут$-с1л , причем

к™ [ Пь-У;!"*

При j=•J и Чъ-О условия Ау совладают о ус-

ловиями аналитической задачи,возникающей при изучении вопроса существовании изометрически сопряаенных координат на поверхности (^Х

Теорема 6„ Уравнение (1) с коэффициентом уСх) . подчиненным условиям А^,допускает частное решение (г) из класса

i<Й^¿s¿P¡(i+юaxЪ), Р><*, .

яри мах которое гоыеоморфно отобрааает область 6

плоскости 2 на область плоскости \ЛЛ

Этому результату соответствует геометрический аналог: Теорема 7. На поверхности положительной кривизны (Ч) в малой окрестности'параболической линии у = о существует изометрически сопряженная параметризация из класса 04)р' к р'« ДР/з , ' р> Л , которая «Изоморфно отображает, эту окрестность на односвязную область.;..

В §9 (1) рассматривается в & = 0<яЧ|х(< Е*}. Нарушение эллиптичности происходит на окружностях ¡х1=^€

, а «¡(г) удовлетворяет следующим условиям. Условия Ад. )9(Ä)|<i при \%\ 4 , j-ITw д (¡(х) представим в виде

где <jeW£C[o,x'fiJß ув(ч>+лтт) , j^if)!- i,

Зт^Мфо, f (z)€C(G),

при jxi->f?j, ij>o, Rt<Rj<. ..<RMH R' , причем

Ci^ Reilt-Rj|"Vj ocz)]<0.

В этом случае доказывается теорема,аналогичная по изложении к теореме б»

Отметим,что во всех параграфах,помимо доказательства су -чествования гомеоыорфных решений даётся представление всех решений изучаемых уравнений.' '

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах;

1, Усманов З.Д.,Джаборов У.А. Изометрически сопряаёняая система координат на поверхности в окрестности конической точки е //Изв0АН Респ.Тадн.-Отд.фаз.-мат.наук.-1992. М(4).

2. Усманов 3„Д.,Лжаборов У.А., Уравнение Бельтрами.с нарушением эллиптичности в изолированной точке. //ДАН. Респ.Тадн. -I992„T.35,J£7.

3» Джаборов У.А. Уравнение Бельтрами с нарушением эллиптичности в узлах прямоугольной сетки.Дада.гос.ун-т.-Душанбе, 1992.-7с.-Рукопись деп.в Таджик Н5'."ГГИ 24.03.92,М(793)-Та92.

4. Дааборов У.А. Общее решение специального класса уравнения Бельтрами.//Материалы республиканской научно практической

конференции молодых учёных я специалистов Таджикистана.:Тез» докл.(Секция физико-мат.наук).Курган-тюбе,IS9I.-C.27.