Исследование уравнений компенсации Боголюбова в моделях теории сверхпроводимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

' гго_. од

О Г- ‘ м:г

АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ -ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ -

На правах рукопису

■ МОСТІПАН Каріна Валеріївна /

ДОСЛІДЖЕННЯ РІВНЯНЬ *" КОМПЕНСАЦІЇ БОГОЛЮБОВА ^ В МОДЕЛЯХ ТЕОРП НАДПРОВІДНОСТІ

- " .. 01.01.03 - математична фізика

Автореферат .

дисертації па одобуття вченого ступеня . - \

кандидата фіонго-математй'чтшх наук ■

Кго»-1&94

, Дисертацією € рукопис ' _ , ■

Роботу виконано у відділі математичних методів статистичної/ механіки Інституту математики АН України. *

. Науковий керівник : члєп-кореспондент АН .України,- доктрр-фіоико-математичних наук, професор .

• ПЕТРИНАДД. ' "

Офіційні опоненти :• доктор фіаро;математичних наук . ГОНЧАР. М.С. •

доктрр фіоико-математичних наук ■

• МИХАЙЛЕЦЬ В.А. '.

• * - ' /• -г ' * . ' ^

Провідна установа : Харківський державний університет .

- ^ ^ _ '

V к » -, . ' ' .

' ' 4 *

Заріст відбудеться ” 1994р.

о /7 годині на оасіданні спеці ал'юованої ради Д 016.50,02 при Інституті Математики АН України оа адресою :

, . 252601, Київ-4* ГСП, вул. 'Герещенківська, 3. л

“" 4 ' ’ . * «л ' '

9 дисертацією можна Оонапомитися в бібліотеці інституту.

Автореферат розіслано ” 7 1994р.

■ . • ^ ,

Вчений секретар ,

спеціалізованої ради ; ' ЛУЧКА А.Ю.

\

і.. Загальна характеристика роботи

А ктус-лькість теми.

Дослідженим модзлеіі, що описують явище надпровідності, «•. однкю .і найбільш актуальних оадап квантової статистичної механіки. Це пояснюється, перш оа. все, широкими перспективами (застосування цього яакща на практиці. З іншого боку, еш/йри-ментальїій відкриття висохотсу^ературної надпровідності с тим кроком, який вимагає пояснення та чіткого теоретичного обгрунтування.

Математичне еписалия систем у надпровідному стані пов’язане о рядом принципових труднощів, оумовленмх нестійкістю системи та нелінійнгстю рівнянь, які описують її. Так, наприклад, основне рівняння теорії надпровідності - нелінійне інтегральне рівняння, що описує щілину в спектрі гамільтоніану, - традиційно розв'язується ліпне наближено о великою .кількістю припущень. У ов’яоху а цим математичне дослідження структури розв’язків цього рівняти, їх походження й аналіз с важливою та актуальною проблемою.

Об’єкт дослідженій. Пршішш компенсації ’’небшпечіївх" діаграм Боголюбова в моделях Фрьоліха та Бардіпа-Купера-Шрпффера (БКШ) рівняння компенсації при нульовій та не-нульозвх температурах, рообіжні дод-аини в ряду -ссрії обурень при нульовій температурі та рівняння для нцлнан в спектрі відповідних гаміпьтоніаяів. .

Мета роботи. Уоагальненяя принципу компе: '.ації Боголюбова на випадок відміпних від нуля температур т. дослідження існування нетривіального роов’яоху рівняти для щілини.

Методи дослідження. Методи квантової теорії поля, а саме: методи діаграмної техніки Фейнмана і техніка температурних функцій Г’ріна. А також мегод перухомш" тачкя теорії неліній-

ного аналізу.

Наукова новизна. У роботі запропонована діаграмна техніка, яка на відміну від традиційної, дозволяє кожній діаграмі однозначно співставити 'чергетичний онаменннк і, таким чином, більш детально дослідити структуру рлду тес^ "і обурень. У дисертації ьмчеденний уаагальнений ппипаип компенсації та отримані відповідні рівняння компенсації для моделей ‘-ррьоліха й БКШ. Перетворення інтегрального рівнянім для щілини до рівняння на нерухому точку оператора стискаючого типу дає можливість довести існування хоча б одного нетривіального роов’оку, близького до наближеного, який уогоджусться о ексиерименталь-ними даними.

Застосування:. Робота мас теоретичний характер. Запропонований критерій вибору параметрів канонічного иг перетворення може бути використаний в с.ггатьо.\ задачах теоретичної з математичної фіоикн: теорія надплинності та надпровідності, спонтанне порушення симетрії в теоріі елементарних часток, квантова теорія поля у викривленому просторі-часі та в інтенсивних зовнішніх полях.

Апробація роботи. Основні реоультати дисертації доповідались па семінарах відділу математичних методів у статистичній механіці Інституту математики АН України, на Вченій Раді Інституту математики, а також на міжнародній конференції о диференційних рівнянь (Україна, м .Судак, червень І993 р.)

Публікації. Реоультати дисертації опубліковані в п’яти роботах, список яких наведений наприкінці автореферату.

Ст; рукгпура дисертації. Дисертація викладена на 75 сторінках і складається а вступу, ч рьох глав, трьс додатків, висновків га списку літератури, іцо містить ЗО найменувань.

2. Зміст роботи

У вступі (параграф 1) подано к. оотїпя огляд досліджені по «еч дисертації та сформульовано основні результати, що вилося > ь на оахьог. .

Перша глава присадчека дослідженню принципу компенсації "пебеопсчних” діаграм Боголюбова при нульовій 'і«;мперрг\'рі [1,2}. Ці ’’мебеонечиі” діаграми виникають при еастосуьаіші тео рії обурень до модельних гамільтоиіанів Фрьоліха та Бардіпа-Купсра-Шриффера (БКШ;. ’’РІебепіючху'.ть” діаграм поп’япана

о розбіжністю відповідних аналітичних лшра&:п.

У другому ларагрвфі вводяться оручкі позначення, які доиво-ляють уянжнути складних, яеєаочтіх вираоів для окремих доданків гамільтоьїапу Фрьоліха після ии перетворень. Обговорюється ов’яізох між канонічними по перетвореннями і методом хвааісередні; Ьаведево явний вигляд перших нетривіальних доданків в ряду теорії обурень для енергії основного стану, ;ікі обчислені явно в додатку А.

Третій параграф длсерталії присвячено вдосконаленню гради цінної діаграмноі техніки. Оскільки одній діаграмі,

згідно ізі старими правилами діаграмної іехніїїт. можуїь ьідііь

[є(Л) -:- є{рі) + и{к - риМк) - €Ірг) -г и?(к - р2)] ліРі^2

1 (і)

[е(рі) ' є(р2) + и(к ~ А и + и(Ь ~ Рз'і 1 ’

2 ,с~‘- ______________Аь-р-, В'ї'Г,, гхі:^Л> _

£~* 1;) -г є[рі) + ш(/с - рі)][е(к) 4- є(р2) + ь>{к - Р2ІР-Ф)’

*>Р 1 >Р2

(2)

то для усунення цього недоліку вводяться три додатхових правила

[1,23: ‘

1. Правило напряму - всі вершини мають бути розташовані на ідній лінії справа наліво в тому самому порядку, що і в матричному елементі формули

Е Я/ \ф> + <ф\ Ні—Н; \ф> +

По

В9 «о

та всі стрілки на лініях діаграми теж мають бути спрямовані спра.ва наліво.

2. Правило перетинів - енергетичні онам енним визначаються перетинами діаграми о вертикальними лініями між верши-нглга, в межах одного перетину кожній лінії діаг рами відповідає одич доданок в енергетичному онашшнику.

3. Правило імпульсів - лінії в вершині 3 мають однаковий імпульс; якщо вершина І або 2 о’еднує фєрміоіші лінії (/о?, 5]) і

(кі, 5г) та фононну пінію о імпульсом з, тоді

(_1)7і+^, + (_і)7ї+^*.2 + (-1)Л9 = 0

При використанні таких правил вищенаведеиа діаграма перетворюється па дві рісші, що відповідають вкладам (1) і (2):

У параграфі 4 обговорюється узгодженість між вдосконаленою діаграмно, технікою та традиційпим визначенням неов’яопнх діаграм. Доведено, що сумі неов’япних діаграм

ко

№ кб

* ' ~г\.; .

И К >3 )з

ч \ ,■

'--------^'

Н Ні

к'і

(V4 (є*)2 ^ (V ^р)2 ^ \V (2є(Л»7 Vт(2є(р))ї/

Сформульована діаграмна техніка дозволяє досліджувати діаграми на рообіжність. Приїладом розбіжної діаграми є

діаграма, вклад якої дорівнює:

_ V4 1 (^ іАк~рі)2ві<РівііРі \

^ (2є(к))т+і є(к) + е(рі) + и{к - рі)у

/ (Лн»Дра г

\𥠺№ + Є^ + и(к ~РгЧ '

Рообіжність виникає внаслідок наявності множника 1/2є(к), оскільки є(к) обертається в нуль па поверхні, близькій до поверхні сї*ермі. У п’ятому параграфі показано, що поряд із загальноприйнятими ’’небезпечними’- (знаменниками тину £*(2є(/с))_т ПРИ обчисленні матричних елементів можуть виникати вирапи типу

£*,р(2е(к) + 2е(р)Ут або Нк) + 2ф) + 2фУ** і ,

ЯКІ теж Є ”НЄ6Є0ПЄЧНИМ1$” та можуть прнводити цо ки.. стей. Наприклад, діаграмі [1,2]

відповідає вклад:

і п + е(*» + 4 " *з) + <*>(*з - Аз))2

Ар___________________(Ар-ЬВкьр?___________________\ х

у" є(Аі) + є(А2) + є{кі + к-і - к3) + и(кз - р)у

/____________________1__________________ \т+‘

•+• є(к^) + ^(Аз) + с(Лі + к% + кз)/.

У параграфі б поеапано як "працює” принцип компенсації "в©-беопечннх’1 діаграм Боголюбова, заведено рівняння «омпеисаии у оалропоновапях в параграфі 2 пооваженнях

Відмічається, що розбіжна діаградіа типу (3) не містить стану о двома квапічастхами.

У другій главі дисертації принцип компенсації Боголюбова узагальнюється на, випа док відмінних від нуля температур і отримується відповідне рівняння компенсації [1 - 3]. У я цього найбільш зручною е техніка температурних функцій Гріна. У дараграфі 7 коротко наведено основні результати цієї теорії [1І. явний вигляд вільних температурних функцій Гріна електронів Со та фононів «загальний вигляд днохчастинхової функціі Гріна в представленні взаємодії, обгрунтовано застосування теореми Віка.

У восьмому параграф» обчислюється поправка до термодинамічного потенціалу П в найнижчому порядку теорії обурень. Показано, що відповідні доданки не містять розбіжностей, коли є (к) прямує до нуля внаслідок наявності температурних множників еяр(±є(А)).

V параграфі 9 міститься один о головних реоультатіа дисертації - узагальнений принцип компенсації [І - 3]: параметри канонічного иу перетворення мають бути обрані так, щоб. мінімізувати середнє число кваоічастох:

Знайдено аналітичний вирап узагальненого принципу -узагальнене рівпяняння компенсації [1,2,3]:

Показано, що це рівняння еквівалентно наступній умові на точну ігмпєратурну функцію Гріна:

Тг(ехр(-/ЗЯ);

Ср{к\,і\\к-2, /г) І'.=,'2 — 0,

де

^ *.г_ Тг[тр{—/іН)а'і(кі,Ьі)а^[кз, 12);

вв(к,ллл) -----------------щс*г(-т)--------------

У десятому параграфі узагальнений принцип компенсації іш стосовано ’іо моделі Фрьоліха та отримано уоагальнене рівняння компенсації при неиульоьах температурах для цієї моделі [1,2]:

(Е(кі) - ц)икіукі (________1_______ ________1_______\ _

(

2б(&і) VIі + ехр(-/Зє(А:і))]2 [1 + ехр(/3£(А;і))]2,

'ь КрЩ)(.иЬир ~ '>гЩ)фкм(Р)> (5>

2У

р

Де

(

1 (*ї, - ^2 - ^2 + Ы + £ (^2 - *7, - Пі + ^23))

щ + о і

де коефіцієнти ■ оадаїсться наступним чином;

*їі = /+/+<Г^+ = ГҐс-і-

= ҐҐс+сІ~ і* = Г^с+<і+

*7з = /+Гс+гі- Г323 = ГГсЧ+

. Р,К = Г/+с“гі+ ** = Г/+с-<Г

= ГГс-сІ+ 2$ = /Тс-гі-

= ГГс^ *23 .= ГГ^

та коефіцієнти /,с, й визначаються як

____ _і г-Ь _ _________

1 ■ І+Нрр^щ 1 і+-ехр(Я*7)У

— __ 1ф _________________ —1

С ~ 1+ёхр І-Р((р)) 0 ~ 1+ЄХр (0г(р))

і— _ ] »4- _ — І

а - 1-ехр(->ці,-р)) а’ - 1-ЄХр(/М*і

Всі громіодїі обчислення при отриманні рівняння (5) винесені в додаток В.

Після виведення рівняння (5) необхідно було дослідити його поведінку в границі /3 —* оо (випадок нульових температур). Це ороблено в параграфі 11. Отримане повне співпадіння при Т — 0 рівняння (5) о рівнянвлм компенсації Боголюбова:

' №) - м)»кЩ =

у

(щур + ирук) (щир - УрУк) є(к) + є(р) + и{к - р)

Цей факт свідчить на користь виведеного уоагальнекого принципу компенсації (4). Останній параграф другої глави присвячено оастосуванню уоагадьненого принципу компенсації до моделі Бардіна-Купера-Шриффера (БКШ) [4]. Отримано рівняння компенсації

2(Е(кі) - ^«*^4, = (и*, - «*,) (§Ф))>

р ' ' яке простими алгебраїчними перетвореннями оводиться до відомого рівняння для щілино:

т-тїЩР*

р

А{к) ІЬ^№) ~»У + Д(Р)2

у/ш-ір + Д{р)’ 2 ’

Де

А / І \ ,0^(^>Р)

д(*) = 2^—у—ир1,р р

с енергетичною щілиною.

У третій главі дисертації досліджується існування нетривіального розв'язку рівняння компенсації [4]. Спочатку обидва рівняння компенсації при нульовій температурі в моделі Фрьоліха

(Е(к) - ц) икук = ^ р

(іикУр + ирук) (икир - УрУк) є(к) 4- є(р) + иі(к - р)

та БКШ

2 (Е(к) - ц)икук = (и\ - уі) ^ирур

р '

аводяться до одного й того ж рівняння для щілини:

--за— (в,

р 21 ^(ЕІрІ-^ + Мр?

яке відріоняється лише явним виглядом ядра ’У/(к,р). Це вроблено в параграфі 13. Таким чином, покаоано, що «задача існування нетривіальних роов’яоків рівняння компенсації еквівалентна задачі існування нетривіальних роов’яоків рівняння для щілини. Остання роов’яоується в два етапи.Спочатку підбирається ядро \Уо(к,р), для якого рівняння (6) роов’яоується точпо. Потім досліджуються малі нелінійні обурення такого ядра.

У параграфі 14 будується наближене ядро

Шй2

ЧУ0(Ы = 1^-, Ме^’*25’

для якого рівняння для щілини розв'язується точпо. Точний роав’яоок

д - ш°

0 вії (2л2/У/д2т)

неананітично оалежить від константи ов’яоку, що підтверджується багаточисленнями експериментами. Параграф 15 містить основний результат третьої глави - теорему про існування хоча б одного нетривіального рг в’яоку рівняння для щілини о ядром спеціального типу [4].

ТЕОРЕМА. Для довільної додатної сталої 0 < А < оо , ідо визначає клас г ер у рівнянні (6) формулою

де 0 < ю(к,р) < М(А), а М — М(А) ишначена умовою

п\-І + ке[кък2],

[О, кїІЬМ

М < шіп(ть»ті2),

ті = 2-АДоХ

у До2 + шо1 (у/(А + До)2 + іь»о2 +• у/До2 + ^о2 у х

1

Ґ р2(ір Л + __і±іМ__Л

‘1 /д02 + (ад-/і)2^ Ао 2 + (Е(р)-»)2)

рівняння для ЩІЛИНИ

має принаймні один нетривіальний рсгзп’поок пніу Л (А:) — До +6[Іс)

О < 6{к) і А,

Інтегральне рІВННШІЯ Дйл ЩІЛИНІ' (7) перетворюється 3 рІВгіЯІІКЯ на нерухому точку нелінійного оператора Т — (} -г Б, де

Потім у просторі С[к-1у будується оамкнепа, опукла, обмежена

множина

Далі покаоується, що оператор Сі є цілком неперервним, а оператор 3 - стискаючим на множині О. ТЬді, оа теоремою про першому точку оператора типу стискаючий плюс цілком неперервний виплив?'' існування принаймні одного петризіапьвого розв'язку рівняння ДЛЯ щілини, що й,потрібно було довести.

У додатку А обчислено перші нетривіальні доданки ряду теорії обурепь ДЛЯ бШіріЇЇ ОСНС2!ТОГП СТОПУ в моделі Фрі.'. ,іха:

(<№) = А Ґ^92Р<ірх

•*5Г / і.

/(р) + До До

До

ю = {До! до Є ~[кь к,і о < ї{к) < А}

та доводиться, що оператор Т переводить її в себе: 0<(Т/)(й)< А.

Ео = иРг + Т

^ {Аь-рПВЦ

є(к) + є(р) + и'{к. — р)

у~* {Ск)1 ^ С*(Аь-р)2В1,рВ1,р_________

2є(А) (є(/:) + є(р) + иi{k - p))2e(k) '''

fc ..tp

У додатку В обчислено роданыи другого порядку ряду теорії обурень для функції Гріна

Gg\kuti]k2,t2) !t1=t,= -2'^(Akl-f)iBlupBlup6kuk2ipith?{P^,

p

Цен результат використано у параграфі Ю при виведенні узагальненого рівняння компенсації в моделі Фрьсліха.

Додаток С містить відомі теореми та визначення, які використовуються при доведенні теореми про існування хоча б одного нетривіального роов’яоку рівняння для щілини (fi),(7) о ядром спе-ніаят чого типу.

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Мостінан К.В. Узагальнення принципу компенсації. Київ, 1993.-19 с.-(Пренр. /АН України.Ін т математики;93.40)

2. Мостілан К.В. Про деякі аспекти методу теорії обурені, у теорії надпровідності // Доп. АН України. -1993.-N 12.

І ^

3. Мостінан К.В. Узагальнення принципу компенсації Боголюбова иа випадок відмінних від нуля температур у моделях теорії над. довідності // Теон першої україпсько-американської школи "Диферелційні рівняння та їх {застосування” (Україна, Крим, Судак, 1-10 черв.1993 р.)-Каїв, 1993.-Ч.2.

4. Mostipan K.V. The Generalized Principle of Compensation in the Bardeen-Cooper-Schiieffer (BCS) Model and an Existence Theorem for the Gap Equa' :on. Kiev, 1994.-25 p.-(Prepr./Ukr.Acad.Sci Inst.Mathematics;94.8)