Исследование устойчивости и динамических свойств систем связанных твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

г- м

а £ я £

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Н МЕХАНИКИ

На правах рунятши

ШШИЕНКО Оксана Влядяславовня

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

0).02.01 , "Теоретическая механика"

Автореферат

диссертация ня соискание ученой степени кандидата фтошю-мятемвтяческих няук

Донецк 1992

Работе шшолнеиа в Институте прикладной математики м механики Ail Украины.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук профессор

Официальные оппоненты:

Доктор <1изико-математичбоких наук профессор

Доктор физшсо-математнчвскнх наук профессор

Ведущая организация: Институт теоретической астрономии РАН.

Защита состоится "2JL" 1992 г. в 1/Г час. на

заседании специализироваяштгсовета К.016.46.01 ш присуждению ученой степени кандь- ата физико-математических наук при Институте прикладной математики и механики АН Украины по адресу: 340114, г.Донецк-114. ул.Р.Лшсомбург, 74.

С диссертацией mokso ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан " £0н 1992 г.

t

t.Я.Савченко

Г.В.Горр

А.П.Иванов

Ученый секретарь специализированного совета .

кандидат физико-математических наук Jj- . Марковский

..'л' ■: • ! '

¡л:';-;..

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Механическая модель многих классов машин, приборов я устройств современной техники может бнть представлена в вида систем абсолюто твердых тел, связанных различного рода шарнирами. В частности, это относится к гиростатам, гироскопическим устройствам, спутникам с двойным вращением и подвижными элементами, центрифугам, телам, вращающимся на струне »та струпом подвесе, манипуляторам. Это первая причина, которая позволяет сделгтъ вывод о важности и актуальности проблемы исследования даамяческих свойств таких систем, устойчивости их стационарных /ргдгоний. Вторая - замена систем с распределенными параметрами, еиализ устойчивости движений которых зачастую затруднителен в силу сл','2ности их математического описаний, системами связанных твердых » 1. ,

Существенный вклад в исследование динамических свойств систем ^лепных твердых тел н их устойчивости внесли ведущие ученые, тг'сив как . А.Ю.ИшлинскнЙ, Д.И.Климов, В.Н.Кошляков, А.И.Лурье, Д.М.Меркян, В.В.Румянцев, П.В.Харламов, Г.В.Горр, А.П.Иванов, д.Я.Савченко, В.А.Сторожешто, В.Н.Рубановский, М.Е.Темченко, И.Еютенбург, Л.Лилов, Р.Робертсон и др.

При изучении вопроса о моделировании систем с распределенными параметрами системами связанных твердых тел возникает ситуация, когда изучаемая механическая система описивайтся уравнениями, обобщающими известные уравнения Эйлера-Пуассона о движения. тяжелого твердого тела вокруг нвподвкятой точки. Этой задачей и ее обобщениями занимались 2.Л.Лаграна, с.Пуассон, Л.Пугнсо, К.Якоби. А.Пуанкаре, Г.Кирхгоф и да. Особенно существенный вкляд внесли отечественные ученые С.В.Ковалевская, Н.Е.Жуковский, А.М.Ляпунов, С.А.Чашшгш, В.А.Стеюгав.а в последнее время их изучает Х.М.Яхья, О.И.Богоявленский, В.В.Козлов, Г.В.Горр, В.А.Самсопов, Л.Н.Оряшсана и другие.

Цель работа - исследовать введенные в диссертации обобщенпно уравнения Эйлера-Пуассона движения тягэлого твердого тела вокруг неподвшной точки с точка зрения существования стационарных регш-ний определенного типа и их устойчивости: изучить иеобхоДтга у блоки устойчивости равномерных врвщенна систекы двух гяроскогюв Лагранжа; установить влияние гисткости в шарнире на эффект стобз-лизациа и определить области неустойчивости равномерных вргщокяй.

возникающие при малюй несимметрии в система.

Метода исследования. При исследования!, проводишх в диссертационной работе, использовались методы аналитической механики и теории устойчивости движения. Уравнения движения механической модели с тремя степенями свобода, отражащей свойства гибкого вала, обобщают уравнения Эйлера-Пуассона движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Уравнения движения системы двух гироскопов Лагранжа, связанных упругим сферическим шарниром, один из кото рих имеет неподвижную точку, записаны в форме уравнений Лагранжа второго рода. Необходимые условия устойчивости изучаемых стационарных движений найдены из анализа уравнений первого приближения.

При работе над этими уравнениями использовался язык аналитических преобразований дйя ПЭВМ ЛЕШСЕ, а при построении областей устойчивости - система автоматизации инженерных расчетов МАТЬАВ.

Научная новизна работы состоит в следуицем.

Получены уравнения движения механической модели с тремя степенями свободы, отражащей свойства гибкого вала, имещего вертикальную ось вращения, которые обобщают уравнения Эйлера-Пуассона движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Найдены два класса равномерных вращений твердого тела, описываемого атами уравнениями, вокруг наклонной оси.

Установлены необходимые условия устойчивости одного из них и проведан анализ этих условий.

Установлены необходимые условия устойчивости равномерных вращений двух гироскопов Лагранжа, связанных упругим сферическим шарниром, один из которых имеет неподвижную точку: проведен детальный анализ подученных условий устойчивости в случае отсутствия жесткости в шарнире.

Исследован эффект стабилизации покоящегося неуравновешенного гироскопа Лагранжа вторым вращающимся; дана оценка влияния жесткости в шарнире на аффект стабилизации и устойчивости изучаемого движения связанных гироскопов Лагранжа.

Исследована и построена резонансная кривая. Показано, что при внесении в систему малого дебаланса, существует малая окрестность этой кривой, точкам которой соответствуют экспоненциально неустой-, чжвые равномерные вращения.

Практическая ценность . Полученные в настоящей работе результаты имеют теоретическое значение, а также могут быть использованы

при исследовании устойчивости некоторых pacto чипе режимов устройств, моделируемых системой двух связанных твердых тел.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на республиканской конфервицяи "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, сентябрь 1990 г.). на семинарах отделов прикладной механики, технической механики Института прикладной математики и механики АН Украины.

Структура и объвы работы. Диссертация состоят из 4 глав (включая введение), заключения и списка литературы (105 наименований). Объем работы 121 страница машинописного текста. Количество рисунков 29.

СОДЕРХАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой, вводной главе, обоснована актуальность темы, дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, кратко изложено содержание работы и сформулированы основные результаты, выносимые автором на защиту.

Вторая глава посвящена обобщению уравнений Эйлера-Пуассона и к стационарным решениям.

Пункт 2.1 носит вводный характер и содержит предпосылки введения в рассмотрение основного объекта исследования этой главы -эбобщенных уравнений Эйлера-Пуассона движения тяжелого твердого гела вокруг неподвижной точки. С этой «елью рассмотрены дпп зчда-гч. В первой изучается система двух гироскопов Лагрянжа, связанных щвальным сферическим шарниром, и имевдая четыре степени свободы, ю второй задаче в системе гироскопов сферический яаршр заменен •нивереальным и получена система, имеющая три степени слободы. Вписан лагранжиан и первые интегралы, допускаемый уравнениями дил-вння в обеих задачах, позволившие выписать в квадрятурах ротная оответствупцих уравнений движения.

В пункте 2.2 введвна в рассмотрение на основа систем связан -нх твердых тел реализуемая механическая модель, с тремя степенями вобода, отражающая свойства тяжелого гибкого вала, ось вращения оторого вертикальна. Получены уравнения движения тпкой системы в оголономных переменных, которые обобщают уравнение Эйлвра-Пупссо-а движения тяжелого твердого тола вокруг нвоэдважпой точки. Лэ-троввы и более общие уравнения такого типа, допуекпплпч интеграл* нергки и площадей.

В пункте 2.3 приведена постановка задачи о существовании равномерных вращений твердого тела вокруг оси, несовпадающей с вертикалью, то есть таких вращение, для которых вектор угловой скорости твердого тала иГ не коллниеарен вектору "У, направленному противоположно вектору силы тяхести. Отмечено, что любое решение уравнений Эйлера-Пуассона, соответствующее равномерным вращениям твердого тела, является и решением изучаемых обобщенных уравнений. В пункте 2.4 доказано, что система уравнений

аА= <V V<W -0Т,7»- W, V "ÁV АА= <V А,ЧЧ+ TJf.V щ V ^AV b,¿,Tl. АЯ= <V Vw. ar.V V fcAv bÁV

T, = 7,4 - 7,«,.

■i, - T,<v

T. = 7.W, - ,

обобщающая уравнения Эйлера-Пуассона, допускает два класса частных решений, которым соответствуют равномерные вращения твердого тела вокруг наклонной оси:

Первый класс - двухдеремьтрический - при условиях bt~ ba= - b,. A2= Ab= A, x = 0, xz= Хш~ * '

7," coa x ro.i^fujt ^ Bln ae(coa p - aln p)alnv£"wtj,

~2- Jaln «(coa p 4 sin p^- aln as(aln p - coa p)coa/£"u>t -- víTcoa z awtj,

-j- Jaln «(coa p + aln p) •» uln ae(aln p - coa p)coai^ uit + *■ У«Гсоа £ alnvé^utj,

[X

----------

f^aln ae(coa p +aln p) J •

Второй класс - одмогшрашгричаскиВ - при условиях - Ьг- Ь. b* ü, х.= х = О

7,= а!п зе соа 7а = -в1п х в!п 7,- соа ае,

г X (1)

ы. = ш, = О, ш4=* ш = -=—

* » * ■ I Ь сов »1 •

Здесь ш, (I = ТТЗ) компонента вектора угловой скорости ш, П(7, .7, .7,)= 1,7»+ «,7,+ЗТ,. Х1 <1 = КЗ)-координата центра масс твердого тела, (4 = 1,3)- некоторые шстояшшв, характеризующие изменяемость инерционных характеристик твердого тела но отношению к неподвижному базису; ((=Пз) - осевой момент тела, г4(«=ТТз)-кошюнвнты вектора~ъ~ = Т*~ы, ге, ц - произвольные параметры.

В пункте 2.5 исследованы необходимые условия устойчивости решения (1). Получена нестационарные уравнения первого приближения. Найдена невырожденная замена переменных, приводящая задачу к стационарному случаю в первом приближении. Выписано характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям первого приближения. Условия существования 'действительных корней характеристического уравнения являются необходимыми условиями устойчивости изучаемого решения. Проведан их детальный анализ и постровны области выполнения необходимых условий устойчивости изучаемых равномерных вращений твердого тела.

В третьей главе изучены необходимые условия устойчивости равномерных вращений системы двух гироскопов Лагранжа и проведен их детальный анализ при отсутствии жесткости.

В пункте 3.1 приведет! уравнения движения двух гироскопов Лагранжа, связанных упругим сферическим шарниром, один из которых имеет неподвижную точку. Уравнения доггэння зяписаны в виде уравнений Лагранжа второго рода. В качестве основных переменных выбраны два набора углов Крылова вJ, фJ, ^ и = 1,2). Полученные уравнения допускают решение, которому соответствуют равномерные вращения гироскопов и Б2, соответственно вокруг своих осей симметрии 14и 12, коллинеарных в атом движении вектору силы тяжести. Необходимыми условиями устойчивости изучаемого решения являются условия существования действительных корней у характеристического уравнения первого приближения. Необходимые условия устойчивости разномерных вращений представлены в виде неравенств Г1(и,и) > О (( =Т73"), где и и о безразмерные угловые скорости и невозмущянном др^алнии соответствено тел а

В пункте 3.2 проведен детальный анализ кривых , 1г, 1я в плоскости Оно, уравнения которых имеют вид Г {(и,и) = О (С = 1,3).

В пункте 3.3 область механических параметров С = i(m,a): ш ( ^(0,а е(0; 1)) разбивается бифуркационными кривыми Ь,'ЬХ> L, на подобласти, для каадой из которых строятся исследуемые кривые (С ="Т73) в плоскости Oiiu.

В пункте 3.4 численно построены области выполнения необходимых условий устойчивости равномерных вращений исследуемой систеж двух гироскопов Лагранжа и дана их характеристика.

В четвертой глвве исследованы эффект стабилизации покоящегося неуравновешеного гироскопа Лагранжа вторым вращающимся в случае произвольной жесткости, и также резонансные ситуации в системе дву1 гироскопов Лагранжа.

В пункте 4.1 приведены основные соотношения, относящиеся к вопросу о стабилизации покоящегося гироскопа St, вращающимся верхним гироскопом Sz.Эта система неравенств f t(х,у,а,Ъ,е)>0 (I =1,3), которая является условием существования четырех действительных корней характеристического уравнения исследуемой системы уравнений движения связки двух гироскопов Лагранжа. Здесь все величины безразмерные, а,Ь,е - массово-геометрические характеристики системы, х характеризует скорость вращения гироскопа у - жесткость в шарнире.

В пункте 4.2 дана оценка влияния не эффект стабилизации жесткости в шарнире при изменении характеризующего ее параметра у от 0 до -но и проведен также а^^чз области устойчивости в случае, когда эффект стабилизации не Нйоявдвется при у = 0. С увеличением упругого восстанавливающего момента интервал стабилизации уменьшается. Нвчиная с некоторого значения жесткости у = у*, интервал стабилизации исчезает и появляется снова при у = b . При стремлении жесткости к бесконечности критерий устойчивости переходит в критерий Маевского.

В пункте 4.3 приведены основные аналй2а-шские соотношения для определения резонансных чвстот второго рода в задаче о равномерных вращениях систс ... двух гироскопов Лагранжа.

В пункте 4.4. проведено в плоскости основных параметров Оии построение резонансной кривой R, точкам которой соответствуют кратные корпи характеристического уравнения.

В пункте 4.5 исследована устойчивость равномерных вращений в окрестности резонансных кривых при малом дебалансе. Показано, что в окрестности резонансной кривой В при наличии малого дебаланса в систет гироскопов Лагранжа возникает "полоса устойчивости", точкам которой соответствуют экспоненциально неустойчивые равномерные

- 9 -

вращения, нвустраняемые малюй диссипацией.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Построение уравнений движения, обобщающих уравнения Эйлера-Пуассона движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

2. Нахождение двух классов равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси и исследование устойчивости одного из них.

3. Исследование области выполнения необходимых условий устойчивости равномерных вращений системы двух гироскопов Лаграага.

4. Изучение влияния жесткости в шарнире на аффект стабилизации покоящегося гироскопа Лагранжа вторим вращающимся.

б. Установление резонансных частот второго рода и исследование устойчивости равномерных вращений в окрестности резонансной кривой при малом дабалансе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следукцих работах:

1. Коваленко Н.В., Шепеленко О.В. Анализ влияния жесткости в шарнире на эффект стабилизации системы двух гироскопов Лагранжа // Газ. докл. респ. конф. "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 4-6 сентября,1990 г.). - Донецк, 1990.- С.23.

2. Шепеленко О.В. Анализ областей устойчивости связки двух гироскопов Лагранжа / Ин-т прикл. матем. и механики АН Украины. - Донецк, 1992, 13 с.:ил.- Библиогр.: 2 назв. Рус. - Дэп. а УкрНИИНГИ 14.02.92, » 177 - Ук 92.

3. Шепеленко О.В. Неустойчивость равномерных вращений системы гироскопов Лагранжа в случав резонансов второго рода / Ин-т прикл. матэм. и механики АН Украины. - Донецк, 1992. - 12 е.: ил.-Библиогр.:3 назв. Рус. - Деп. в УкрНИИНТИ 14.02.92, » 178 - Ук-92.

4. Коваленко Н.В., Шепеленко О.В. Влияние произвольной жесткости в шарнире на стабилизацию покоящегося гироскопа Лагранжа вторым вращающимся // Механика твердого тела. - 1992. - Вып. 24. -С.81-84.

6. Савченко А.Я., Шепеленко О.В. Об обобщениях задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки / Ин-т прикл. матем. и механики АН Украины - Донецк, 1992. - 17 е.: ил. -

Виблиотр.:23 назв.- Рус. - Ден. в УкрНИШТИ 4.69.92, & 1384 - УК -

9?..

В. Савченко А.Я., Шепеленко О.В. Исследование равномерных вращений вокруг наклонной оси в обобщенной задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой / Ин-т прикл. матем. и механики АН Украины. - Донецк, 1992. - 13 с.:ил. - Библгогр.:. 2 назв. Рус. - Дан. В УкрНИИНТИ 16.10.92, * 1642 - Ук-92.

асдпнсз.';о л пвчат» 13.11.92.-

фориат 60x84/16. Бумага писчая. О^сегпэя печать.

7сл.п.л. 0,5. Ьз'га 575. ЮОэкэ. Бесплатно.

Р- НЭП АН Украины. 340048, г.Донецк, ул.Унивзроитетская,??.