Исследование устойчивости спектра в моделях квантовых жидкостей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Ротонный спектр бозе-системы с конденсатом вблизи точки окончания однородной фазы при Т =

§ I. Разреженный неидеальный бозе-газ.

§ 2. Модель "сжатой" бозе-системы. Непригодность самосогласованного приближения вблизи обращения в нуль ротонного минимума

§ 3. Самосогласованное уравнение для ротонного минимума.

§ 4. Поведение ротонного минимума.

Глава II. Неустойчивость фононного спектра сверхтекучей бозе-системы вблизи точки окончания однородной фазы при Т =

§ 5. Гамильтониан Боголюбова-Зубарева и функции Грина

§ 6. Уравнение для перенормированных вершин

§ 7. Связь фононной неустойчивости с ротонной

Глава III. О роли тепловых флуктуаций в бозе-системе при понижении ротонного минимума.

§ 8. Самосогласованное уравнение для ротонного минимума в случае конечной температуры.

§ 9. Метастабильное состояние с затуханием ротонов при

§10. Устойчивость однородной фазы при 1 >

Глава 1У. Устойчивость фононной ветви бозе-спектра сверхтекучей ферми-системы при больших импульсах

§11. Постановка задачи об устойчивости фононной ветви бо-зе-спектра сверхтекучей ферми-системы

§12. Уравнение для бозе-спектра

§13. Фононная ветвь бозе-спектра сверхтекучей ферш-системы цри больших импульсах.

§14. О решении для В > 2, (запороговая ситуация)

Макроскопические свойства реальных газов, жидкостей и твердых тел обусловлены микроскопическими взаимодействиями между частицами этих систем и могут быть описаны с помощью термодинамических функций, вычисление которых, в частности, термодинамического потенциала Й = , связано с нахождением полной статистической суммы см., например, til ). Достаточно просто по этим формулам могут быть вычислены термодинамические функции только для идеальных газов, поскольку их энергия просто складывается из энергий отдельных частиц. Для системы большого числа взаимодействующих частиц определение уровней энергии в общем случае невозможно.Однако, при достаточно низких температурах во многих случаях слабовозбужденные состояния системы могут быть приближенно описаны как совокупность элементарных возбуждений - "квазичастиц", движущихся в объеме тела и обладающих импульсом р и энергией £.Ср) [21. До тех пор, пока число элементарных возбуждений достаточно мало, они не взаимодействую друг с другом, так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастиц (энергия системы складывается из энергий отдельных возбуждений). Знание энергетического спектра элементарных возбуждений позволяет, в принципе, рассчитать термодинамические характеристики системы. Понятно, что теоретически рассчитать спектр возбуждений реальных физических систем невозможно, поэтому важное значение имеет построение и исследование моделей, позволяющих качественно (а в не

Z = S еоср Jt,n

Ъп-Я-ЛЯ Т которых случаях и количественно) описать многие свойства этих систем.

Одной из наиболее интересных физических систем является квантовая жидкость Не4 (квантовая бозе-жидкость), обладающая свойством сверхтекучести, которая благодаря малости взаимодействия ее атомов остается жидкой вплоть до температур, когда становятся существенными квантовые эффекты. Ландау показал, что это свойство следует из предложенной им специфической (фонон-ротон-ной) формы спектра элементарных возбуждений. Многие свойства жидкого гелия могут быть рассмотрены с помощью модели квантовой бо-зе-жидкости - слабо неидеального бозе-газа. Поэтому изучение особенностей его спектра при температуре ниже температуры бозе-кон-дессации представляет большой интерес.

Значительный интерс также представляет интенсивно ижучае-мые в последнее время сверхтекучие фазы Не , открытые экспериментально в 1971 году.

В настоящей работе изучаются модельные бозе-системы, в частности, исследуется устойчивость однородного состояния "сжатой" бозе-системы относительно малых возмущений цри нулевой и ненулевой температурах, а также свойства бозе-спектра коллективных возбуждений сверхтекучей ферми-системы цри больших импульсах.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения; перед каждой главой приводится ее краткое содержание; нумерация формул ведется по параграфам, нумерация рисунков - сквозная.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрен ряд задач для модельных бозе-систем; а именно, для "сжатой" бозе-системы и для бозе-системы, "порожденной" сверхтекучей ферми-жидкостью. Сжатая бозе-система со слабым взаимодействием пары частиц между собой является, в некотором смысле антиподом разреженного бозе-газа с сильным взаимодействием, однако именно благодаря сжатости, а также дально-действующему характеру взаимодействия, так что в области взаимодействия оказывается большое число частиц, она с успехом может быть использована для качественного описания многих эффектов, присущих реальным жидкостям. Что касается бозе-системы, порожденной сверхтекучим ферми-газом, то это один из способов описания явления сверхтекучести в ферми-системе с помощью перехода от реально взаимодействующих частиц к "свободным" коллективным возбуждениям системы, имеющим противоположную статистику, перехода, естественного в формализме континуального интегрирования.

В методическом отношении работа состоит в применении различных вариантов метода квантовой теории поля (операторного метода и, появившихся позднее, методов коллективных переменных и близких к ним функциональных методов, в частности, метода функционального интегрирования) к исследованию устойчивости (неустойчивости) спектра возмущений модельных сверхтекучих бозе-систем. Достоинства методов квантовой теории поля общеизвестны. Они дают простые и наглядные правила написания любого члена ряда теории возмущений и с успехом применяются в тех часто встречающихся случаях, когда нельзя ограничиться несколькими членами ряда, позволяя оценить, выделить и отсуммировать бесконечную подпоследовательность "главных" диаграмм. При этом задача обычно сводится к ренормировке полюса функции Грина - одной из наиболее существенных величин, характеризующих в квантовой теории поля микроскопические свойства системы. Если формальное применение операторного формализма к сверхтекучим бозе-системам в области малых энергий и импульсов сталкивается с определенной трудностью (длинноволновая расходимость): члены ряда теории возмущений расходятся при С к) о , то методы коллективных переменных и функционального интеграла при всех остальных достоинствах лишены этого недостатка. Это позволяет непосредственно применять их к решению задач, связанных с изучением спектра сверхтекучего бозе-газа при малых (<л, V.) .

В заключение суммируем кратко основные результаты диссертации:

I. При изучении сжатой бозе-системы с конденсатом при понижении ее ротонного минимума ^ - £ Ср<Л с ростом давления до точки абсолютной неустойчивости при Т получено точное решение, которое отличается от решения в приближении Боголюбова в следующих пунктах: а) в точке возникновения ротонной неустойчивости ротонный минимум остается конечной величиной; б) коротковолновой (ротонной) неустойчивости предшествует длинноволновая (фононная) неустойчивость, которая обусловлена ротонной.

II. Изучено влияние тепловых флуктуаций на устойчивость однородного состояния бозе-системы с конденсатом цри понижении ее ротонного минимума. Показано, что: а) в противоположность случаю квантовых флуктуаций, вызывающих при 1=0 преждевременную по сравнению с боголюбовским приближением потерю устойчивости к цроизвольно малым возмущениям, прттом сначала длинноволновым, тепдовые флуктуации задерживают появление локальной неустойчивости; б) в отличие от случая Т ~ 0 (с вещественным ротонным минимумом) для описания всей области устойчивости цри Т > о однопетлевое приближение оказывается недостаточным.

III. Исследована ветвь бозе-спектра сверхтекучей ферми-системы (боголюбовский звук) при Т — о . Показано, что квант боголюбовского звука с произвольным импульсом стабилен и не может распадаться на несколько возбуждений с меньшей энергией.

Благодарности

Автор приносит глубокую благодарность Ю.А.Непомнящему, сов' местно с которым был получен ряд результатов, за постановку задачи об устойчивости однородного состояния сжатой бозе-системы с конденсатом и В. Н. Попову за постоянное внимание и руководство работой.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - М.: Наука, 1964. - 567 с.

2. Галицкий В.М. Одночастичный спектр неидеального ферми-газа.-В кн. Применение методов квантовой теории поля к задачам многих тел. М.: Госатомиздат, 1963, с. 3 64.

3. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия II. ЖЭТФ, 1941, т. II, вып. 6, с. 592 - 614.

4. Feynman R„P. Atomic Theory of the Two-Fluid Model of Liquid Helium. Phys.Rev. 1954» v. 94, n.2, p. 262 277.

5. Питаевский Л.П. К выводу формулы для энергетического спектра жидкого Не4. ЖЭТФ, 1956, т. 31, вып. 3(9), с. 536 537.

6. Yarnell J.L., Arnold G.P. , Bendt P.J.» Kerr E.С. Excitations in Liquid Helium; Neutron Scattering Measurements. Phys.Rev. 1959» v. 113, n.6, p. 1379 1386.

7. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести. Из. АН СССР, сер. физ., 1947, т. II, Ш I, с. 77 90.

8. Huang К., Yang C.N. Quantum Mechanical Many-Body Problem with Hard-Sphere Interaction. Phys.Rev* 1957» v. 105» n.3, P. 767 - 775.

9. Huang K., Yang C.N., Luttinger J.M. Imperfect Bose Gas with Hard-Sphere Interaction. Phys.Rev. 1957» v. 105» n.3,p. 776 784.

10. Lee T.D. , Yang C.N. Low-Temperature Behavior of a Dilute Bose System of Hard Spheres. I. Equilibrium Properties. Phys.Rev. 1958, v. 112, n.5, p. 1419 1429»

11. Brueckner K.A., Sawada K. Bose- Einstein Gas with Repulsive Interactions: General Theory. Phys.Rev. 1957* v. 106, n.6, p. 1117 1127.

12. Huang K. Equation of State of a Bose-Einstein System of Particles with Attractive Interactions. Phys.Rev. 1960, v. 119, n.4, p. 1129 1142.

13. Абрикосов А.А., Горьков JI.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Ш., 1962.- 443 с.

14. Беляев С.Т. Применение методов квантовой теории поля к системе бозе-частиц. ЖЭТФ, 1958, т. 34, вып. 2, с. 417 446.

15. Hugengoltz N.M., Pines D. Ground State Energy and Excitation Spectrum of a System of Interacting Bosons. Phys.Rev. 1959» v. 116, n.3» p. 489 506.

16. Gavoret T., Uozieres P. Structure of the Perturbation Expansion for the Bose Liquid at Zero Temperature. Ann.Phys.1964,v. 28, п.2, р» 349 399*

17. Попов В.Н., Фаддеев Л.Д. Об одном подходе к теории бозе-газа при низких температурах. ЖЭТФ, 1964, т. 47, вып. 4(10), с. 1315 1321.

18. Попов В.Н. Функции Грина и термодинамические функции неидеального бозе-газа. ЖЭТФ, 1964, т. 47, вып. 5(11), с. 1759 -- 1764.

19. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976. - 256 с.

20. Фрадкин Е.С. Метод функций Грина в квантовой статистике. ЖЭТФ, 1959, т.36, вып. 4, с. 1286 1298.

21. Церковников Ю.А. К теории неидеального бозе-газа при температуре отличной от нуля. Док. АН СССР, 1962, т. 143, № 4,с. 832 835.

22. Церковников Ю.А. Приближение хаотических фаз в теории неидеального бозе-газа. Док. АН СССР, 1964, т. 159, Р 5, с. 1023- 1026.

23. Церковников Ю.А. Второй звук в слабо неидеальном бозе-газе. Док. АН СССР, 1964, т. 159, № 6, с. 1264 1267.

24. Толмачев В.В. Построение асимптотических при слабом взаимодействии разложений из формальной термодинамической теории возмущений в модифицированной формулировке проблемы неидеальной бозе-ейнштейновской системы. Док. АН СССР, I960, т.135, № I, с. 41 44.

25. Толмачев B.B. Температурные элементарные возбуждения в неидеальной бозе-эйнштейновской системе. Док. АН СССР, i960, т. 135, № 4, с. 825 828.

26. Иорданский C.B. Об энергетическом спектре бозе-газа со слабым притяжением на больших расстояниях. ЖЭТФ, 1964, т. 41, вып. 1(7), с. 167 174.

27. Черникова Д.М. Фазовый переход первого рода в модели бозе-газа с притяжением. ЖЭТФ, 1969, т. 57, вып. 6(12), с. 2125- 2136.

28. Ахиезер А.й., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. -М. : Наука, 1981. 432 с.

29. Киржниц Д.А., Непомнящий Ю.А. Неустойчивость ферми-систем иотеплоемкость жидкого Не . Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, вып. 3, с. 86 89.

30. Киржниц Д.А., Непомнящий Ю.А. Когерентная кристаллизация квантовой жидкости. ЖЭТФ, 1970, т. 59, вып. 6(12), с. 2203- 2214.

31. Непомнящий Ю.А.когерентные кристаллы с одномерной и кубической решеткой. ШФ, т. 8, № 3, с. 413 427.

32. Непомнящий Ю.А., Непомнящий A.A. Коллективный спектр когерентных кристаллов. ТМФ, 1971, т. 9, № I, с. 137 149.

33. Непомнящий Ю.А. Связанные состояния возбуждений в бозе-систе-ме с конденсатом. Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 15, вып. 4, с. 211- 215.

34. Непомнящий Ю.А., Непомнящий A.A. К теории спектра элементарных возбуждений в жидком Не4. ЖЭТФ, 1973, т. 65, вып. 1(7), с. 271 282.

35. Князев A.A., Непомнящий Ю.А. Спектр бозе-системы с конденсатом вблизи порога распада на возбуждения с параллельными импульсами. ТМФ, 1974, т. 19, № 2, с. 268 274.

36. Непомнящий Ю.А. К вопросу о природе параметра X -перехода. ЖЭТФ, 1983, т. 85, вып. 4(10), с. 1244 1276.

37. Непомнящий Ю.А. Смесь бозе-жидкостей. ТМФ, 1974, т. 20, № 3, с. 399 412.

38. Непомнящий Ю.А., Подольский В.А. Бозе-еистема с конденсатом вблизи точки окончания однородной фазы. ЖЭТФ, 1975, т. 69, вып. 2(8), с, 555 564.

39. Питаевский Л.П. О свойствах элементрных возбуждений вблизи порога распада возбуждений. ЖЭТФ, 1959, т. 36, вып. 4,с. 1168 1178.

40. Попов В.Н. Фононная функция Грина при малых энергиях и импульсах. ЖЭТФ, 1970, т. 58, вып. I, с. 257 263.

41. Полов В.Н. Применение континуального интегрирования к выводу низкочастотной асимптотики функций Грина и кинетических уравнений для неидеального бозе-газа. ТМФ, 1971, т. 6, № I,с. 90 108.

42. Попов В.Н. Гидродинамический гамильтониан для неидеального бозе-газа. ТМФ, 1972, т. II, № 2, с. 236 247.

43. Боголюбов H.H., Зубарев Д.Н. Волновая функция нижнего состояния системы взаимодействующих бозе-частиц. ЖЭТФ, 1955, т.28, вып. 2, с. 129 139.

44. Rajagopal А.К., Great G.S. Field Theoretic. Approach to lany-Boson System. Phys.Rev.A, 1974» v. 10, n.4, p. 1395 1408.

45. Rajagopal A.K. , Great G.S. Elementary Excitations in Superfluid Liquid Helium Based on the Bogoliubov-Zubarev Formalism. Phys.Re v. A. 1974» v. 1o, n.5> p. 1857 1851.

46. Straley J.P. Bogoliubov-Zubarev Description of a Weakly Interacting Bose Gas. Phys.Rev.A. 1972, v. 6, n.1, p. 498 505.

47. Berdahl P., Lee D.K. Ground State of an Interacting Bose Gas. Phys.Rev.A. 1973» v. 7» n.4, p. 1376 1383.

48. Dashen R.F., Sharp D.H. Currents as Coordinates for Hadrons. Phys.Rev. 1968, v. 165» n.5, p. 1857 1866.54« Grodnick J., Sharp D.H» Representation of Local Nonrelati-vistic Current Algebras. Phys.Rev.D. 1970, v. T, n.6, p. 1531 1545.

49. Grodnick J., Sharp D.H. Description of Spin and Statistic in Nonrelativistic Quantum Theories Based on Local Currents. Phys.Rev.D. 1970, v. 1, n.6, p. 1546 1559.

50. Фрадкин Е.С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике. В кн.: Квантовая теория поля и гидродинамика. (Труды физического института им. П.Н. Лебедева).-М.: Наука, 1965. Т. 29, с. 7 - 38.

51. Боголюбов H.H., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. М.: АН СССР, 1958. - 128 с.

52. Андрианов В.А., Попов В.Н. Гидродинамическое действие и бозе-спектр сверхтекучих ферми-систем. ТМФ, 1976, т. 28, № 3,с. 340 351.

53. Свидзинский A.B. Метод функционального интегрирования в теории сверхпроводимости. ТМФ, 1971, т. 9, № 2, с. 273 290.

54. Андрианов В.А., Попов В.Н. Низкочастотная асимптотика функций Грина и кинетическое уравнение для ферми- бозе-газа. Вестник Ленинградского ун-та, 1974, № 16, с. 7-15.

55. Подольский В.А., Попов В.Н. Устойчивость фононной ветви бо-зе-спектра сверхтекучей ферми-системы при больших импульсах. В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 4 (Зап. научных семинаров ЛОМИ). Л.: Наука, 1983,- Т. 131, с. 114 117.

56. Брусов H.H., Попов В.Н. Об устойчивости спектра сверхтекуqчих ферми-систем типа Не . ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. I, с.234-- 245.

57. Брусов П.Н., Попов В.Н. Нефононные ветви бозе-спектра в В-фазе системы типа Не3. ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 6, с. 2419- 2430.

58. Брусов П.Н., Попов В.Н. Нефононные ветви бозе-спектра в А-фазе систем типа Не3. ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 5(11),с. 1871 1879.

59. Брусов П.Н., Попов В.Н. Сверхтекучесть и бозе-возбуждения в пленках Не3. ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 4, с. 1565 1576.

60. Брусов П.Н., Попов В.Н. Сверхтекучесть и бозе-возбуждения в Еленках Не3. Препринт ЛОМИ Р-7-80, Ленинград, 1980, с. 1-34.

61. Градштейн И.С., Рыжик Й.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

62. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978. - 224 с.