Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров

Пышнограй, Иван Григорьевич

Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Пышнограй, Иван Григорьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Барнаул МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров»

Автореферат диссертации на тему "Исследование влияния граничных условий прилипания - скольжения на течения расплавов линейных полимеров"

На правах рукописи

Пышнограй Иван Григорьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИЛИПАНИЯ - СКОЛЬЖЕНИЯ НА ТЕЧЕНИЯ РАСПЛАВОВ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2013

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова», на кафедре высшей математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Алтухов Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

Шрагер Геннадий Рафаилович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра прикладной газовой динамики и горения, заведующий кафедрой

Носков Михаил Валерианович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», Институт космических и информационных технологий, кафедра прикладной математики и компьютерной безопасности, профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 20 сентября 2013 г. в Г О часов 0<О мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус № 10 ТГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан «~(^>> августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, старший научный сотрудник

Христенко Юрий Фёдорович

" ' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы: начало двадцатого века можно охарактеризовать тем, что в распоряжении исследователей появился новый класс химических соединений - полимерные материалы. Хотя некоторые полимерные материалы (натуральный каучук, белки и пр.) были обнаружены гораздо раньше, но их систематическое изучение, а главное синтез новых материалов относят к началу двадцатого века. Это можно пояснить тем, что полифенолформальдегид был синтезирован в 1909 году. При этом массовое производство полимерных материалов развивалось в ногу с развитием научных исследований в этом направлении. Например, производство полистирола было начато в 1930 году, полиамида в 1935 году, поливинилхлорида в 1938 году, полиэтилена в 1939 году, полиуретана в 1940 году. Практическая значимость этих материалов за последнее время не уменьшается, а объемы их производства растут. В настоящее время полимеры все чаще выступают в качестве заменителей традиционно используемых материалов. Полимерные волокна не только заменили хлопок, шерсть и шелк, но стали основой для производства высокотехнологичных композитных материалов заменяющих металлы в различных индустриальных приложениях. Таким образом, роль полимерных материалов во многих аспектах современной жизни продолжает возрастать.

При этом можно отметить, что на протяжении последних пятидесяти лет инженерным и научным сообществом инициируется проведение исследований для понимания поведения полимерных материалов в условиях их промышленной переработки. Это обусловлено непрерывным развитием полимерной индустрии, приводящим к росту числа новых, открываемых полимеров, и их новыми приложениями. Было подсчитано, что объемы оборотных средств в полимерной промышленности США превышают объемы средств в сталелитейной, алюминиевой и медной отраслях.

В процессе своей переработки полимерные материалы подвергаются плавлению, солидификации, различным деформациям, фазовым переходам. Поэтому для понимания механизмов структурных превращений необходимо понимание термодинамики таких процессов. Хорошо известно, что при описании физических свойств полимерных материалов существенную роль играет предыстория их переработки. Например, управлять процессом кристаллизации полимера можно варьируя скорость охлаждения и прикладываемую к образцу деформацию. Хотя следует отметить, что основное число публикаций по изучению свойств полимерных материалов в различных режимах деформирования сосредоточено в области изотермических деформаций.

Одним из факторов обуславливающих развитие полимерной промышленности является удобство их переработки, большинство технологий имеют дело с полимерными материалами, находящимися в вязко-текучем состоянии. При этом, для решения оптимизационных задач

производства, необходима формулировка адекватной математической модели исследуемых процессов. В случае полимерных материалов такая модель основывается на формулировке реологического определяющего соотношения. Это соотношение связывает кинематические характеристики движения с внутренними термодинамическими параметрами. К настоящему времени не создано единой реологической модели, пригодной для описания всевозможных течений полимерных сред. Поэтому проведение работ в этом направлении является актуальной научной задачей.

Цель работы состоит в дальнейшем обосновании реологического определяющего соотношения растворов и расплавов полимерных сред путем учета проскальзывания в модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Выполнить обзор различных подходов к формулировке реологического определяющего соотношения и выбору реологической модели.

2. Выполнить обзор различных способов описания эффекта проскальзывания в динамике текучих полимерных сред.

3. Разработать методику расчёта стационарного профиля скорости полимерной жидкости в канале между двумя параллельными пластинами при наличии проскальзывания на границе.

4. Провести сравнение полученных результатов с экспериментами.

5. Показать возможность использования полученных зависимостей в качестве граничных условий для расчета профиля скорости трехмерного течения нелинейной вязкоупругой жидкости в канале квадратного сечения.

Объектом исследования являются реальные течения полимерных сред в узлах технического оборудования.

Предметом исследования является модифицированная математическая модель Виноградова-Покровского.

Область исследования соответствует пунктам паспорта специальности 01.02.05: «п. 1. Реологические законы поведения текучих однородных и многофазных сред при механических и других воздействиях», «п. 2. Гидравлические модели и приближенные методы расчетов течений в водоемах, технологических устройствах и энергетических установках», «п. 15. Тепломассоперенос в газах и жидкостях».

Практическая ценность.

Ценность работы заключается в развитии методологии математического моделирования течений полимерных сред, требующих формулировки новых реологических определяющий соотношений.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в возможности использования полученной модели на производстве для оптимизации процессов получения пленки из расплавов полимеров.

Полученные результаты могут использоваться в учебном процессе при организации специальных курсов для аспирантов и студентов. Научная новизна или результаты:

1. Получены расходные характеристики плоскопараллельного канала при наличии проскальзывания на границе;

2. Сформулированы нелинейные граничные условия третьего рода для скорости проскальзывания;

3. Получены трехмерный профиль скорости и составляющие тензора напряжений нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением как функции параметров реологической модели и градиента давления.

4. Показана возможность использования модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского для описания трехмерных течений растворов и расплавов линейных полимеров с учетом проскальзывания на стенке;

Вклад автора. Принимал участие в математической постановке задач исследования, разработке математических моделей, которые отражают свойства исследуемых полимерных сред. Также участвовал в создании компьютерных программ, для реализации численных методы и используемых для теоретических расчетов и их сравнения с экспериментальными данными, описанными в литературных источниках, а также их интерпретации.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Необходимость учета эффекта проскальзывания при расчетах течений полимерных жидкостей в узлах технологического оборудования;

2. Возможность применения модифицированной модели Виноградова-Покровского для расчета профиля скорости и составляющих тензора напряжений в плоскопараллельном течении полимерной при учете проскальзывания;

3.Методика расчета профиля скорости полимерной жидкости при заданном расходе.

4. Вид граничных условий для скорости проскальзывания на твердой стенке.

5. Возможность использования сформулированных граничных условий для расчета стационарного трехмерного профиля скорости в канале с квадратным сечением.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены на следующих научных конференциях: Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2009); межрегиональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему России» (Волгодонск, 23 апреля 2010 г.); Annual European Rheology Conference «AERC-2010» (Швеция, 7-9 апреля 2010 г.); Пятая всероссийская Каргинская конференция «Полимеры — 2010» (Москва, 21-25 июня, 2010 г.); Международная научно-практическая конференция «Математическое

образование в регионах России», (г. Барнаул 2010); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 26-27 ноября 2010 г.); VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и Молодежь -2010» (Барнаул, 23 апреля, 2010 г.); 25 симпозиум по реологии (Осташков, 510 сентября, 2010 г.); III конференция молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая, 2011 г.); 7th Annual European Rheology Conference, (Suzdal, 10-14 May 2011 г.); Annual Meeting Polymer Processing Society «PPS-27» (Марокко, 10-14 мая, 2011 г.); Четырнадцатая региональная конференция по математике «МАК-2011» (Барнаул, 24 июня, 2011 г.); Международная научная конференция (Владикавказ, 2011); Международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11 ноября, 2011); XVIth International Congress on Rheology, (Lisboa, Portugal, 2012); 26 Симпозиума по реологии, (Тверь, 10-15 сентября 2012г.); XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 печатных работ в отечественных и зарубежных изданиях. Общий объем публикаций - 4,44 п.л. (лично автора - 1,78 п.л.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков, список литературы состоит из 153 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (фанты 06-01-00402, 09-01-00293 и 12-0100033) и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» ГК №07.514.12.4034.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы цель, задачи и основные положения работы, которые выносятся на защиту, показан личный вклад соискателя в полученные в диссертации результаты. Структурное построение диссертации отражает порядок решения поставленных задач.

В первой главе рассмотрены основные понятия механики сплошных сред. Рассмотрены законы сохранения массы и импульса и приведены их формулировки в дифференциальной форме. Также были рассмотрены современные представления о структуре течений полимерных сред. Приведена общая характеристика подходов для описания сплошных сред, сформулированы уравнения движения сплошных сред. Приведены результаты предварительных исследований выбранной обобщенной реологической модели Виноградова-Покровского:

° Л = ~Р8,к + 3

По

с/1

1 + (к-Р)1 2 ър

-а,к = Т У,к--а,!а,к>

г„ 3 г '

где - тензор напряжений; р - гидростатическое давление; ^о и то -

начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; Уц - тензор градиентов скорости; а ¡к - симметричный тензор анизотропии второго ранга;

/=% - первый инвариант тензора анизотропии; у^ ~

симметризованный тензор градиентов скорости; К>Р - феноменологические параметры модели, учитывающие в уравнениях динамики макромолекулы размеры и форму молекулярного клубка.

Ранее на основе этой модели достаточно полно были исследованы вискозиметрические течения полимерных сред. Она также была опробована на простых течениях и оказалась пригодной для расчета более сложных течений, например двух- и трехмерных течений.

Во второй главе дается описание явления проскальзывания, Приводится обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию этого явления. Многие текучие системы, в том числе полимерные материалы, проявляют вблизи твердых поверхностей аномалию, заключающуюся в возникновении проскальзывания. Наличие такого пристенного эффекта приводит к нарушению гипотезы о прилипании и необходимости задания соответствующих граничных условий.

Это аномальное поведение материалов в вязкотекучем состоянии (суспензии, смазки, растворы и расплавы полимеров) у твердых поверхностей требует всестороннего изучения не только при исследовании реологических свойств, но и при расчете параметров течения и характеристик перерабатывающего оборудования. При этом в первую очередь, возникают достаточно сложные задачи определения по результатам вискозиметрических исследований реологических характеристик материала. Следующий этап, связан с решением конкретных задач о движении жидкостей проявляющих аномалию у твердых поверхностей и заключается в непосредственном использовании скоростей скольжения в качестве граничных условий.

Следует отметить, что изучению этого вопроса посвящено большое количество работ, обзор которых дан во второй главе, где отмечено наличие двух подходов к изучению этого явления.

Первый подход заключается в детальном изучении и учете молекулярных свойств контактирующих сред, формулировке механизма возникновения проскальзывания и проверке адекватности предложенного подхода. Причем результаты для разных физических систем имеют много

общего, что указывает на возможность единого подхода к исследованию этого эффекта.

Второй подход заключается в задании в явном виде скорости скольжения на стенке Уст, которая в общем случае является функцией

напряжения на стенке Тст , геометрических размеров и температуры. Причем

указанная зависимость скорости скольжения на стенке от перечисленных факторов находится из вискозиметрических измерений.

С математической точки зрения результат каждого из подходов приводит к зависимостям Ост = /(тст), причем такая зависимость берется из обрабатываемых экспериментальных данных. При этом в качестве аргумента можно выбрать не только Тст , но и градиент давления или удельный расход

и выбор той или иной функции в исследуемой зависимости определяется удобством использования этого закона в расчетах.

Третья глава посвящена исследованию течений полимерной жидкости между двумя параллельными пластинами. Рассмотрены случаи с прилипанием на стенке и со скольжением. Сначала, на основе модели (1), было исследовано плоскопараллельное течение нелинейной вязкоупругой жидкости, которая движется под действием постоянного перепада давления

дР

— = —А . Для этого поместим начало координат в одной из плоскостей, ось дх

Ох направим вдоль потока, ось Оу - перпендикулярно плоскостям, и ось Ог - перпендикулярно осям Ох и Оу .

Тогда система уравнений динамики в декартовой системе координат будет иметь вид:

ЗУ, дУу дУ! —- + —- + —- = О, дх ду дг

дУ дУ дУ

— + УХ — + У„ — + К

д! дх У ду

ЭК дУ, дУ —- + V —- + У —- + V а/ дх у ду

V д1 * дх у

ЗУЛ Э«т„ да 1 "

дх &

_ дсгух да 1 уу

& > дх ду дг

д1

ду

ЁИ

дг

до„ даг

дх ду

дг

(2)

где Ух, V , У2 - скорости вдоль осей Ох, Оу и Ог соответственно; р

плотность.

Система уравнений (1,2) описывает трехмерные неустановившиеся изотермические течения полимерных сред.

Так как профиль скорости не изменяется вдоль оси Ог, то окончательные выражения не будут зависеть от переменных г и х и система уравнений (1) - (2) примет вид:

ду

'зу, „ а к

Ф , 3^0 да-У ^

дх т0 ду '

П д! ' ду ) ду Г0 ду

(3)

ду * ду т0 г„

д1 да

да

д/ у ду

дК дК 1 + (к- р)1

—-~а„—!- + —--— а„ =

* ду " ду г0

1 ду. 1 р ( ^ \

3 ду г0

Из первого уравнения системы (3) следует, что V (у) - линейная функция у , но в силу граничных условий К (0) = Уу(/г) = 0 , откуда видно,

что Уу{у)= 0 и уравнение неразрывности выполняется автоматически.

Учитывая это, уравнения (3) в стационарном случае можно переписать в виде:

Ча

да

3 г/о 8ауу _ Ф г о ду ду''

+ а„

(4)

Ранее эту систему уравнений решали методом последовательных приближений с точностью до членов первого порядка по параметрам наведенной анизотропии К" и /?, и найдены следующие выражения для компоненты продольной скорости и составляющих тензора напряжений:

2т0" 4 6г0 4 у

= -2У)2(\+ А\Ъ - 2уУ 6 1 4 2; ^ ' 24

ГД6 ^

"Г ЛТ„

*7о

Причем из второго уравнения системы (4) следует, что = РА{И — 2у)* 0 ■ То есть, в результате решения системы уравнений (4)

обнаружен ненулевой перепад давления в направлении перпендикулярном направлению течения, который, не приводит к появлению вторичных потоков. Полученные выражения в силу характера приближения не могут быть использованы при больших перепадах давления, которые представляют интерес на практике, и поэтому далее будем искать зависимости выражений для составляющих тензора напряжений и компоненты продольной скорости без учета малости параметров модели. Тогда из первого уравнения системы (4) имеем:

аху=^(И-2у).

(6)

Из (6) видно, что в установившемся плоскопараллельном течении сдвиговые напряжения являются линейной функцией переменной у, а

константа интегрирования выбрана из условия симметрии: аху(И/2) = 0. Тогда после преобразований получим:

1Л

з/К«

а„=-

г„, + а1 уу I а,„, +

*У " \ УУ 2

а„+\ + г(к-Р)

а'у+ауу\ауу

+ -3

(7)

у;

Уравнение (7) можно решать одним из численных методов, например, методом последовательных приближений и из него найти зависимость:

ауу ~ ауу^У) К0Т0Рая> в силу (4) приводит к зависимостям ап = а^у) и ¿К Ч

-=-(у). Далее численно интегрируя последнее соотношение и

с/у (1у

используя граничное условие ^(0) = Уст можно найти зависимость Ух(}') ■

Рис.1 Аппроксимация экспериментальной зависимости скорости проскальзывания от дополнительного расхода.

При этом оказывается, что, так как \'ст является аддитивной постоянной интегрирования, то полный удельный расход будет иметь вид

где £20 - удельный расход, рассчитанный при условии прилипания на стенке. Если считать, что \>ст является функцией Тст - напряжения на стенке, то при расчете профиля скорости возникает необходимость в итерационной процедуре для согласования \>ст и Тст . Если считать, что ус(п является

функцией ()0, то такой процедуры проводить не нужно. При этом

зависимость УсА = /(£)0) легко может быть получена при обработке

экспериментальных данных, как это сделано на рисунке 1 для расплава полиэтилена высокой плотности. Этот расплав продавливали через головку экструдера шириной 1 мм и было обнаружено, что полиэтилен низкой плотности прилипает на границе раздела фаз, а полиэтилен высокой плотности демонстрирует проскальзывание на стенке. Для скорости

проскальзывания Уст было получено следующие соотношение

V* =/(&) = 0,95(0, + 6-|0о-б|).

Сами значения определяли по формуле Q0=Q — И .

о 15

°0 12345678 А

Рис.2 Зависимость удельного расхода от перепада давления в различных режимах течения при наличии прилипания и ................проскальзывания.

Рассмотрим теперь как влияют условия прилипания и скольжения на зависимость удельного расхода от градиента давления. Для этого

зафиксируем масштабные параметры Г0 = 1 и 7]0 = 1 (в этом случае

А — А), и будем принимать во внимание, что во многих случаях, как показано ранее К = 1,2/3 . Результаты расчетов приведены на рисунке 2, где приведены зависимости расхода от градиента давления при различных значениях (3 и откуда видно, что с ростом /3 растет отклонение зависимости расхода от закона Пуазейля, соответствующего случаю к = [3 — 0. При этом на зависимостях соответствующих учету проскальзывания появляется излом, который связан с используемой аппроксимацией для \'ст (рис. 1). При этом кривые соответствующие учету

проскальзывания расположены выше кривых построенных с учетом прилипания на стенке.

Для того чтобы провести сравнение с экспериментальными данными, заметим, что в экспериментальных работах откуда взяты данные отсутствуют данные о значениях градиента давления и поэтому для его определения следует использовать зависимости на рис.2 и по известным значениям расхода определять значения градиента давления, а затем с его помощью рассчитать профили скорости. Сравнения экспериментальных и теоретических зависимостей для профиля скорости в зазоре между параллельными плоскостями приведены на рисунке 3.

^¡Г

О 0.1 02 03 04 0 5 05 07 08 09 У

Рис.3 Сравнение экспериментальных (точки) и теоретических зависимостей профиля скорости в зазоре дли различных значений

удельного расхода.

Таким образом, в случае плоского течения Пуазейля, учитывая проскальзывание полимерного материала на границе, система уравнений модифицированной модели Виноградова - Покровского описывает непараболический профиль скорости в зазоре между параллельными пластинами, что соответствует экспериментальным данным. Полученные при этом зависимости могут быть использованы при разработке численных методов 2-мерных и 3-мерных течений в качестве начального приближения входного и выходного профилей, при моделировании течений полимерных жидкостей в зазоре между параллельными плоскостями, например, при формовании тонких пленок.

В четвертой главе приводятся результаты численного решения задачи о расчете трехмерного профиля скорости нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением. В начале главы рассмотрены основные подходы применяемые для построения дискретных аналогов дифференциальных уравнений в вычислительной гидродинамике: метод конечных разностей, метод контрольного объема и метод конечных элементов. Также в этой главе рассмотрено применение таких пакетов прикладных программ как STAR CD, FLUENT, COMSOL MULTIPHYSICS в вычислительной гидродинамике. Далее в четвертой главе сформулирована полная гидродинамическая задача для расчета установившегося профиля скорости в канале с квадратным сечением. И рассмотрено влияние условий прилипания и скольжения на вид профиля скорости и компонент тензора напряжений. При этом пришлось переформулировать полученное в третьей главе выражение для скорости скольжения на границе. Это выражение записано в форме нелинейного граничного условия третьего рода и имеет вид:

= 0) = 0,06

¿V

ах

+ 100-

дV , „„

--100

ах

С использованием этого условия были численно рассчитаны установившиеся течения в каналах с квадратным сечением при наличии прилипания и скольжения на границе. Расчеты были выполнены методами конечных разностей и конечных элементов в среде МАТЬАВ с их последующим сравнением. При этом получено, что при малых градиентах давления (А=6), профиль скорости близок к параболическому (рис. 4 а, б). При этом значения скоростей при учете проскальзывания больше по абсолютной величине.

а). б).

Рис. 4 - Трехмерный профиль скорости при малых градиентах давления в канале квадратного сечения при учете а) прилипания и б) проскальзывания.

а). б).

Рис. 5 - Трехмерный профиль скорости при больших градиентах давления

в канале квадратного сечения при учете а) прилипания и б) проскальзывания.

При более высоких градиентах давления (А=10) профиль скорости сильнее отличается от параболического в обоих случаях, как видно из

рисунка 5. Для более наглядного представления в диссертации построены трехмерные изображения для профилей скорости и компонент тензора напряжений.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, включенных в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1.Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А. Об учете проскальзывания в плоскопараллельном течении полимерной жидкости // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. № 3. С. 341-350. -0,62/0,31 п.л.

2. Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А., Самойлов B.C., Пышнограй Г.В. Моделирование 3D профиля нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18, № з. с. 325-332. - 0,48 / 0,12 п.л.

3. Пышнограй И.Г., Макарова М.А., Пышнограй Г.В., Алтухов Ю.А., Головичёва И.Э., Трегубова Ю.Б., Третьяков И.В., Афонин Г.Л., Аль Джода Х.Н.А. Постановка мезоскопических граничных условий для скорости проскальзывания на границе // Ползуновский вестник. 2012. № 3/1. С. 61-74. -0,64 / 0,09 п.л.

Работы, опубликованные в других научных изданиях:

4. Pyshnograi I.G., Pyshnograi G.V., AI Joda H. N. A. The Mesoscopic Constitutive Equations for Polymeric Fluids and Some Examples of Viscometric Flows // World Journal of Mechanics. 2012. № 2. P. 19-27. - 0,54 /0,18 п.л.

5. Pyshnograi I.G., Altukhov Ya.A., Pyshnograi G.V. Slipping Phenomenon in Polymeric Fluids Flow between Parallel Planes // World Journal of Mechanics. 2011. V. 01, № 6. P. 294-298. - 0,3 / 0,1 п.л.

6. Пышнограй И.Г., Рыбаков A.A. Описание реологического поведения полимерного расплава в модели Виноградова-Покровского с учетом теплообмена // Математическое моделирование в естественных науках: материалы XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов. Пермь: Издательство Пермского государственного технического университета, 2009. - С. 79-80. - 0,12 / 0,06 п.л.

7. Пышнограй И.Г., Третьяков И.В., Афонин Г.Л. Мезоскопический подход в механике растворов и расплавов линейных полимеров и описание некоторых одномерных течений // Научный потенциал молодёжи - будущему России: материалы и доклады межрегиональной научно-практической конференции (Волгодонск, 23 апреля 2010 г.). - Волгодонск, 2010. - С. 26. -0,06 / 0,02 п.л.

8. Pyshnogray I., Pyshnogray G„ Tretijakov I., Afonin G. The statistical mechanics of suspension nonlinear dumbbells and modeling of process of polymer film casting on its basis // Book of abstracts of AERC. 2010. P. 123. -0,06/0,015 п.л.

9. Пышнограй И.Г., Афонин Г.Л., Пышнограй Г.В., Третьяков И.В. Статистическая механика суспензии нелинейных релаксаторов и моделирование процесса двухосного растяжения и охлаждения полимерных пленок на его основе // Сборник материалов пятой всероссийской Каргинской конференции «Полимеры-2010». - Москва: Издательство МГУ, 2010. -С. 211.-0,06/0,015 п.л.

10. Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А. Течение нелинейной упруговязкой жидкости в плоском канале под действием заданного градиента давления // Труды международной научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России». - Барнаул: АлтГТУ, 2010. - С. 15. -0,06/0,03 п.л.

11. Пышнограй И.Г., Афонин Г.Л., Надом X., Третьяков И.В. Реологическое поведение полимерного расплава в модели Виноградова-Покровского с учетом теплопереноса // Материалы конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». - Пермь: Издательство Пермского государственного технического университета, 2010. -С. 88.-0,06/0,015 п.л.

12. Пышнограй И.Г., Третьяков И.В., Трегубова Ю.Б. Одномерное приближение в задаче о формировании полимерных пленок // НАУКА И МОЛОДЕЖЬ - 2010: VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых; секция «Информационные технологии». - Барнаул: АлтГТУ, 2010. - С. 89-93. - 0,3 / 0,1 п.л.

13. Пышнограй И.Г., Афонин Г.Л., Третьяков И.В., Пышнограй Г.В. Многомодальное приближение в структурно кинетической теории текучих полимерных сред // Программа и материалы конференции «25 симпозиум по реологии» (Осташков, 5-10 сентября 2010 г.). - Осташков: ИНХС РАН, 2010. -С. 53.-0,06/0,015 п.л.

14. Пышнограй И.Г., Надом X., Афонин Г.Л., Третьяков И.В., Пышнограй Г.В., Алтухов Ю.А. Некоторые решения системы уравнений динамики полимерных сред в одномерном приближении // Материалы III конференции молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая 2011 г.). - Суздаль, 2011. - С. 93. -0,06/0,01 п.л.

15. Pyshnogray I., Afonin G., Nadhom H., Pyshnograi G., Tretyakov I. Constitutive equation for polymeric fluids and some one dimensional cases of flows // Book of abstracts 7th Annual European Rheology Conference (Suzdal, 1014 May 2011). - Suzdal, 2011. - P 61. - 0,06 / 0,012 п.л.

16. Pyshnogray I, Afonin G., Tretyakov I., Haider N. Mesoscopic rheological model for polymeric fluids and some examples of flows // Book of abstracts

Annual meeting PPS-27 (Marrakech, Moroco, 10-14 May 2011). - Marrakech, 2011. - P. 274. - 0,06 / 0,015 пл.

17. Пышнограй И.Г. К вопросу постановки граничных условий в задаче течения нелинейной вязкоупругой жидкости с учетом проскальзывания // Материалы 14 региональной конференции по математике (МАК-2011) (Барнаул, июнь 2011 г.). - Барнаул: АлтГУ, 2011. - С. 101-103. - 0,18 п.л.

18. Пышнограй И.Г., Хайдер H.A. Об учете проскальзывания в плоскопараллельном течении полимерной жидкости // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: материалы международной научной конференции. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и PCO-А, 2011. - С. 159-160. - 0,12 / 0,06 п.л.

19. Пышнограй И.Г. Об учете проскальзывания в плоскопараллельном течении полимерной жидкости // Математический форум. Т. 5. Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. -Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и PCO-А, 2011. - С. 208-211. - 0,24 п.л.

20. Пышнограй И.Г. Математическое моделирование плоскопараллельного течения полимерной жидкости при учете проскальзывания на границе // Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11 ноября 2011 г.). В 4 ч. - Барнаул : АлтГПА, 2011. - Ч. I. - С. 235-236. - 0,12 п.л.

21. Pyshnogray I., Altukhov Yu., Samoilov V., Pyshnogray G. 3D velocity profile modeling of nonlinear viscoelastic fluid flow in the channel with square section // Book of abstracts: ICR 2012 - XVIth International Congress on Rheology, Lisboa, Portugal. - Lisboa, 2012. - P. 205. - 0,06 / 0,015 п.л.

22. Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А., Самойлов B.C., Пышнограй Г.В. Моделирование 3D профиля нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением // Материалы 26 Симпозиума по реологии (Тверь, 1015 сентября 2012 г.). - Тверь, 2012. - С. 35. - 0,06 / 0,015 п.л.

23. Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А., Кошелев К.Б. Гидродинамическое моделирование течения сплошной среды на основе мезоскопического подхода на примере каналов с заданной микрогеометрией поверхности стенок // Математическое моделирование в естественных науках: доклады XXI Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов. -Пермь: Издательство Пермского государственного технического университета, 2012. - С. 7-8. - 0,12 / 0,04 п.л.

Подписано в печать 13.08.2013. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.п.л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 2013-314.

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-09-48

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

13~1127g

2013074441

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Пышнограй, Иван Григорьевич, Барнаул

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреиедение высшего профессионального образования АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени И.И. Ползунова

На правах рукописи УДК 535.529:541.64

Пышнограй Иван Григорьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИЛИПАНИЯ -СКОЛЬЖЕНИЯ НА ТЕЧЕНИЯ РАСПЛАВОВ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Специальность 01.02.05 — «Механика жидкостей, газа и плазмы». Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

s <*>

vO че- Научный руководитель:

СО

С\1 CN

СМ ^

доктор физико-математических наук, Ю.А. Алтухов

Барнаул - 2013

Содержание

Введение............................................................................................................................4

Глава 1. Математическое моделирование течений полимерных сред........................9

1.1. Законы сохранения в механике сплошных сред..................................................9

1.1.1. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности......................................9

1.1.2. Закон сохранения импульса. Тензор напряжений..........................................11

1.1.3. Реологические уравнения состояния................................................................18

1.2. Микроструктурный подход. Модели линейных полимеров...............................21

1.3. Уравнения динамики макромолекулы...................................................................24

1.4. Корреляционные моменты функции распределения...........................................28

1.5. Выражение для тензора напряжений.....................................................................30

1.6. Реологическая модель Виноградова - Покровского.............................................32

1.7. Вискозиметрические течения полимерных жидкостей.......................................34

Глава 2 Описание явления проскальзывания при течении полимерных жидкостей45 2.1 Природа явления.......................................................................................................45

2.2. Обзор работ, посвященных учету проскальзывания............................................47

2.3. Экспериментальное изучение эффекта проскальзывания...................................54

Глава 3 Плоскопараллельные течения полимерной жидкости..................................57

3.1 Плоскопараллельное течение в зазоре с прилипанием.........................................57

3.2. Течение в зазоре между параллельными плоскостями........................................58

3.2.1. Исследование точности теоретических зависимостей характеристик вязкоупругой жидкости при плоскопараллельном течении.......................................62

3.3. Моделирование плоскопараллельных течений при наличии проскальзывания65 Глава 4. Математическое моделирование трехмерного профиля скорости

нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением...................77

4.1. Вычислительная гидродинамика сплошных сред................................................77

4.1.1. Метод конечных элементов.................................................................................77

4.1.2. Метод конечных разностей..................................................................................79

4.1.3. Метод контрольного объема................................................................................81

4.2. Применение пакетов прикладных программ в вычислительной гидродинамике82

4.2.1. Пакет CD STAR.....................................................................................................83

4.2.2. Пакет Fluent...........................................................................................................83

4.2.3. Пакет COMSOL Multiphysics...............................................................................85

4.4. Моделирование 3D профиля скорости нелинейной вязкоупругой жидкости в канале с квадратным сечением......................................................................................87

4.5. Сравнение трехмерных профилей скорости в канале с квадратным сечением

при учете прилипания и проскальзывания на границе...............................................94

Заключение......................................................................................................................99

Список литературы.......................................................................................................100

Введение

Актуальность работы: начало двадцатого века можно охарактеризовать тем, что в распоряжении исследователей появился новый класс химических соединений - полимерные материалы. Хотя некоторые полимерные материалы (натуральный каучук, белки и пр.) были обнаружены гораздо раньше, но их систематическое изучение, а главное синтез новых материалов относят к началу двадцатого века. Это можно пояснить тем, что полифенолформальдегид был синтезирован в 1909 году. При этом массовое производство полимерных материалов развивалось в ногу с развитием научных исследований в этом направлении. Например, производство полистирола было начато в 1930 году, полиамида в 1935 году, поливинилхлорида в 1938 году, полиэтилена в 1939 году, полиуретана в 1940 году. Практическая значимость этих материалов за последнее время не уменьшается, а объемы их производства растут. В настоящее время полимеры все чаще выступают в качестве заменителей традиционно используемых материалов. Полимерные волокна не только заменили хлопок, шерсть и шелк, но стали основой для производства высокотехнологичных композитных материалов, заменяющих металлы в различных индустриальных приложениях. Таким образом, роль полимерных материалов во многих аспектах современной жизни продолжает возрастать.

Одним из факторов, обуславливающих развитие полимерной промышленности, является удобство их переработки. Большинство технологий имеют дело с полимерными материалами, находящимися в вязко-текучем состоянии. При этом, для решения оптимизационных задач производства, необходима формулировка адекватной математической модели исследуемых процессов. В случае полимерных материалов такая модель основывается на формулировке реологического определяющего соотношения. Это соотношение связывает кинематические характеристики движения с внутренними термодинамическими параметрами. К настоящему времени не создано единой реологической модели, пригодной для описания всевозможных течений полимерных сред. Поэтому проведение работ в этом направлении является актуальной научной задачей.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

2. Выполнить обзор различных способов описания эффекта проскальзывания в динамике текучих полимерных сред.

4. Провести сравнение полученных результатов с экспериментами.

Объектом исследования являются реальные течения полимерных сред в узлах технического оборудования.

Предметом исследования является модифицированная математическая модель Виноградова-Покровского.

Практическая ценность.

Ценность работы заключается в развитии методологии математического моделирования процессов течений полимерных сред.

Полученные результаты могут использоваться в учебном процессе при организации специальных курсов для аспирантов и студентов.

Научная новизна или результаты:

1. Получены расходные характеристики плоскопараллельного канала при наличии проскальзывания на границе;

2. Сформулированы нелинейные граничные условия третьего рода для скорости проскальзывания;

Вклад автора. Принимал участие в математической постановке задач исследования, разработке математических моделей, которые отражают свойства исследуемых полимерных сред. Также участвовал в создании компьютерных программ, для реализации численных методов и используемых для теоретических расчетов и их сравнения с экспериментальными данными, описанными в литературных источниках, а также их интерпретации.

На защиту выносятся следующие положения:

3. Методика расчета профиля скорости полимерной жидкости при заданном расходе;

4. Вид граничных условий для скорости проскальзывания на твердой стенке;

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены на следующих научных конференциях:

- Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2009);

- Межрегиональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему России» (Волгодонск, 23 апреля 2010 г.);

- Annual European Rheology Conference «AERC-2010» (Швеция, 7-9 апреля

2010 г.);

- Пятая всероссийская Каргинская конференция «Полимеры — 2010» (Москва, 21-25 июня, 2010 г.);

- Международная научно-практическая конференция «Математическое образование в регионах России», (г. Барнаул 2010);

- Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 26-27 ноября 2010 г.);

- VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и Молодежь - 2010» (Барнаул, 23 апреля, 2010 г.);

- 25 симпозиум по реологии (Осташков, 5-10 сентября, 2010 г.);

- III конференция молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая, 2011 г.);

- 7th Annual European Rheology Conference, (Suzdal, 10-14 May 2011 г.);_

- Annual Meeting Polymer Processing Society «PPS-27» (Марокко, 10-14 мая,

2011 г.);

- Четырнадцатая региональная конференция по математике «МАК-2011» (Барнаул, 24 июня, 2011 г.);

- Международная научная конференция (Владикавказ, 2011);

- Математический форум. Т.5 Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям (Владикавказ, 2011);

- Международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11' ноября, 2011);

- XVIth International Congress on Rheology, (Lisboa, Portugal, 2012);

- 26 Симпозиума по реологии, (Тверь, 10-15 сентября 2012г.);

- XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов (Пермь, 2012);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 печатных работы в отечественных и зарубежных изданиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков, список литературы состоит из 153 наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 06-01-00402, 09-01-00293 и 12-01-00033) и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» ГК № 07.514.12.4034.

Глава 1. Математическое моделирование течений полимерных сред

1.1. Законы сохранения в механике сплошных сред 1.1.1. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности

Содержанием гидродинамики является изучение движения сплошных сред, таких как жидкости и газы. Макроскопический характер явлений, изучаемых в гидродинамике, позволяет рассматривать жидкость как сплошную среду. Это означает, что в любом «физически» бесконечно малом элементе объема жидкости (по сравнению с объемом тела, но по сравнению с межмолекулярными расстояниями - большой) содержится очень большое число молекул. Поэтому под смещением «жидкой частицы» или «точка жидкости», в гидродинамике понимают смещение целого элемента объема, содержащего много молекул [1].

Состояния движения жидкости можно полностью описать с помощью функций, которые определяют распределение скорости жидкости V = У(х,у,г,1) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например, плотности р (х,у,гД) и давления р(х,у,г,1), которые связаны уравнением состояния вещества.

Отметим, что все эти величины зависят, вообще говоря, от пространственных координат х,у,г и времени I. При этом скорость жидкости у(х, у, г, I), в некоторый момент времени I, относится к конкретным точкам пространства, а не к конкретным частицам жидкости. Аналогичные рассуждения для величин р, р.

Выведем основные гидродинамические уравнения. Начнем с вывода -уравнения^которое в-гидродинамике выражает-закон сохранения вещества:-

Рассмотрим некоторый объем У0 пространства, заполненный жидкостью.

Тогда количество или масса жидкости в данном объеме определяется как | рс1У, где р - плотность жидкости, а интегрирование производится по объему У0. Пусть с1/ - элемент поверхности, который ограничивает этот объем. Тогда через него в единицу времени протекает количество ркс1/ жидкости. Вектор с1/ направлен

перпендикулярно (по внешней нормали) к элементу поверхности и равен по абсолютной величине площади элемента поверхности. Тогда, если жидкость вытекает из объема, то ркй/ положительно, в противном случае - отрицательно. Следовательно, полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема ¥0, есть

}рус//, (1.1)

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем.

При этом, уменьшение количества жидкости в объеме У0 можно записать

в виде

Я1

Приравнивая эти два выражения, имеем:

= (1.2)

Поверхностный интеграл преобразуется в интеграл по объему: | = .

Из (1.2) и последнего равенства, имеем:

+ = (1.3)

Поскольку (1.3) должно выполняться для любого объема, то подынтегральное выражение должно равняться нулю, то есть

^ + = 0 (1.4)

~Уравнение(~1т4) - известное уравнение неразрывности. Раскрыв дивергенцию в уравнении (1.4), можно переписать в виде

— + рсИуу = 0 . (1-5)

При этом вектор

] = Р* (1-6)

называют плотностью потока жидкости. Он направлен по направлению движения жидкости и по абсолютной величине равен количеству жидкости, которая протекает в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к скорости [1].

1.1.2. Закон сохранения импульса. Тензор напряжений

Кроме закона сохранения массы в гидродинамике используется и закон сохранения импульса (или закон сохранения количества движения), который гласит, что в замкнутой системе сумма импульсов всех тел (или частиц) есть величина постоянная. Вывод этого закона, в классической механике, получают как следствие законов Ньютона [2,3,4]. Далее, можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. Отметим, что закон сохранения импульса описывает однородность пространства, которая является одной из фундаментальных симметрий [4,5].

Рассмотрим выражение �