Исследование влияния малых возмущенных факторов на определение орбит астероидов и систематические ошибки звездных каталогов тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

РГ6 од

АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ГОЛОВНА АСТРОНОМІЧНА ОБСЕРВАТОРІЯ

На правах рукопису Ш 521.9(083.3)+521 (058Н 523.24:521.1/.З

Федій Павло Шкайлович

дослідження впливу малих: збурюочих факторів

НА ВИЗНАЧЕННЯ ОРБІТ АСТЕРОЇДІВ І СИСТЕМАТИЧНИХ ПОХИБОК ЗОРЯНИХ КАТАЛОГІВ

Спеціальність 01.03.01 - Астрометрія 1 небесна механіка

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математитаих ааук

Київ - 1993

Роботу виконано в Головній астрономічній обсерватори Академії наук України. • .

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор Д.П.Дума. ■

Офіційні опоненти: Нестеров В.В., доктор фіг.-мат. наук,

. ДАНІЇ, Москва: '

Нурутдінов К.Х., канд.фіз.-мат. наук,

ГАО АН України.

Провідна організація: Інститут теоретично’ астрономії

- АН Росії, м.Санкт-Петербург.

Захист відбудеться 3 червня 1993 р. о /Л> год на засіданні Спеціалізованої ради з астрономії Головної астрономічної обсерваторії АН України, шифр Д 016.14.01. ,

Адреса: 252127, КиІв-127, Голосівве.

З дисертацією кожна ознайомитись у бібліотеці ГАО АН Утаїли.

• Автореферат розіслано "ЛО" кбСІЇЧСіХл 993 р.

Вчений секретар Спеціалізованої рада, .

• кандидат фізико-математичних наук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи.

Проблема поліпшення зоряних каталогів і орбіт астероїдів, як основи для розв'язання ряду фундаментальних 1 прикладних задач, зберігає свою актуальність на протязі багатьох десятиліть. Це пояснюється погіршенням точності каталожної системи координат з часом через похибки власних рухів і наявність в положеннях зірок невиключених систематичних похибок. Для поліпшення фундаментальних каталогіЕ в 1932р. запропоновано використовувати позиційні спостереження малих планет 113. Дя пропозиція була втілена в так званих планах Б.Нумерова [2] 1 Д.Брауера [33, згідно з якими велися спостереження виораних малих планет (ВМП) понад 40 років і було одержано ряд оцінок для систематичних поправок зоряних каталогів з використанням'цих спостережень. На жаль, до цього часу обидва плани не виконані в повному обсязі 1» як тепер очевидно, завершення цієї роботи пов'язане з рядом труднощів. Серед них слід звернути увагу на такі обставши. -

По-перше, точніші спостереження малих планет поки до не забезпечили вищої точвості визначення нуль-пунктів відліку координат в порівнянні з-менш точними спостереженнями близьких до Землі.великих планет Венєри, Меркурія 1 Марса.

По-друге, досвід визначення локальних систематичних похибок положень зірок за спостереженнями різних малих 1 великих планет не дав узгоджених результатів, тому вони не використані до цього часу при полішдеяні сучасних фундаментальних каталогів- '

ЦІ дві обставини свідчать про недосконалість методики визначення систематичних похибок зоряних каталогів за спостереженнями малих планет. З цієї причини були здійснені дослідження, в яких вивчались питання впливу точності спостережень, кореляційних зв'язків між невідомими в рівняннях, розподілу спостережень по орбіті 1 інпих факторів на оцінювання гуканих похибок. Однак ці дослідження також не зняли багатьох протиріч і недоліків б методиці поліпшення фундаментальних каталогів те елементів орбіт. В науковій літературі практично Бігсутні

відомості про врахування взаємних збурень малих, планет, еплив неточності прийнятого значення маси Юпітера, ешіив похибок використовуваних теорій руху великих планет і ївших причин при розв'язанні цієї проблеми. Дослідженню цих питань і присвячена дана дисертація. ' ■

Мета робота: '

'-дослідження 1 оцінка джерел похибок оочислених положень малих планет, що використовуються для розв'язання ряду задач фундаментальної астрометрії та небесної механіки;

- вивчення впливу малих збурюючих факторів на оцінки положень нуль-пунктів 1 локальних похибок зоряних каталогів, які одержуються за позиційними спостереженнями вибраних малих планет;

- дослідження систематичних похибок каталога CAO за фотографічними спостереженнями яскравих малих планет;- ',

- вироблення рекомендацій по використанню спостережень вибраних малих планет для поліпшення фундаментального каталога. .

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в тому, що вперте" здійснено детальне дослідження різних джерел .похибок обчислених положень вибраних малих планет, спостереження * яких виконані за міжнародною програмою з • метою поліпшення зоряних каталогів в систематичному відношенні. Показана необхідність врахування взаємних збурень малих планет при визначенні локальних поправок каталога. Запропонована 1 реалізована методика одержання оцінок систематичних похибок каталога зірок за спостереженнями малих планет, в результаті чого знайдені оцінки поправок екватора і рівнодення каталога CAO, а також оцінені його локальні похибки.

Пракгеикня цінність роботи визначається тим, що:

- виконані оцінки малих’збурюючих факторів, які впливають на

обчислені положення малих планет, будуть сприяти врахуванню цих факторів в необхідних випадках при побудові високоточних числових теорій їх руху, особливо створюваних з метою обробки спостережень із космосу або. прогнозування зближення космічних апаратів з астероїдами; .

- одержані в роботі висновки і сформульовані рекомендації

- з -

враховуються при обробці спостережень вибранта малих планет в ІТА АН Росії 1 ГАО АН України, а також можуть використовуватися в інших установах при обчисленні орбіт або визначенні систематичних похибок зоряних каталогів;

- створене математичне забезпечення для вивчення руху малих планет з врахуванням збурень від великих планет 1 масивних астероїдів, а також для одержання каталожних поправок, використовується в ГАО АН України.

На захист виносяться такі полокення дисертації.

1. Методика 1 результати одержання оцінок похибок різних параметрів математичної моделі руху малих планет та впливу цих похибок на їх обчислені геоцентричні положення і елементи орбіт.

2. Методика і результати досліджень впливу взаємних збурень малих планет і неточності значення маси йіігера на оцінки систематичних похибок зоряного каталога.

3. Результати визначення поправок яуль-пунктів і локальних похибок каталога CAO за фотографічними спостереженнями чотирьох яскравих малих планет.

Апробація робота. Результати досліджень доповідались на наукових семінарах в” ГАО АН України та ІТА АН Росії, на всесоюзній конференції по динаміці малих тіл Сонячної системи (м.Рига, лютий 1987р.), на всесоюзній: конференції "Методи дослідження руху, фізика і динаміка малих тіл Сонячної системи” (м.Душанбе, серпень 1989р.), на нараді робочої групи "Динаміка малих планет, комет 1 супутників” Наукової ради АН СРСР з проблеми "Назёмка оптична астрономія" (м.Київ, серпень 1991р.), на симпозіумі JJ141 МАС "Інерціальна система координат на небі" (м.ЛенІнград, жовтень 1989р.), на нараді 1-І радянсько-іспанської робочої груші з позиційної астрономії і небесної механіки (м.Валенсія, Іспанія, березень 1991р.).

Qnpjmypa та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків, додатку та списку літератури (101 найменування). Загальний обсяг дисертації 168 сторінок, включаючи 11 малюнків (11 стор,), ЗО таблиць (26 стор.) та 32 сторінки додатку.

ЗМІСТ РОБОТИ .

У вступі обгрунтована актуальність виконання дисертаційної роботи, сформульована 11 мета, відзначені наукова новизна 1 практична цінність, перелічені основні результати, які виносяться на захист. ' ■

Розділ 1. Сучасний стан проблеми поліпшення фундаментальних каталогів та елементів орбіт за позиційними спостереженнями малих планет

Проблема поліпшення фундаментальної системи, координат (ФСК) зводиться до визначення кутів орієнтації каталожних осей відносно осей динамічної системи'координат, а також незалежних від орієнтації поправок положень зірок і поправок власних рухів. Основою для визначення систематичних похибок каталога за спостереженнями малих планет служать різниці їх положень, знайдених Із спостережень та обчислених - <0—С)а 1 (0-С)е . Точність одержання систематичних, поправок каталога в цьому випадку залежить від трьох груп факторів, які. визначають відповідно:

1) якість матеріалу спостережень;

2) точність ефемеридних (обчислених) положень;

3) ефективність методики оцінювання'каталожних поправок на основі обчислених різниць (0—С)-

' Систематичні похибки спостережень ретельно вивчаються 1 по можливості виключаються при їх первинній обробці, дослідження різних методик також в тій чи Іншій мірі відображені в наукових публікаціях, хоча з ряду питань відсутні достатньо обгрунтовані рекомендації. На&шше уваги в науковій літературі приділено аналізові та оцінці різних джерел похибок обчислених положень малих планет 1 їх впливу на точність визначення поправок до системи зоряного каталога. В даній роботі розглядаються такі основні чинники, від яких залежить точність обчислених положень малої планети:

- точність методу інтегрування;

- точність вихідних елементів орбіта малої планета;

- точність використовуваних теорій руху великих планет 1 Сонця:

- точність прийнятих мас збурюючих планет;

- оцінка збурень від масивних астероїдів 1 їх. врахування в

разі необхідності. , '

Розділ 2. Вплив збурень від масивних астероїдів, неточності значення маси Юпітера і інших факторів на обчислені положення малих планет і оцінки систематичних похибок зоряних каталогів

Більшість оцінок у цьому розділі було одержано числовими методами з використанням фіктивних (модельованих) спостережень вибраних малих планет. _

Для пошуку пар з можливими значними збуреннями координат вивчені умови збдикень 20 ВМП, рекомендованих МАС для спостереження з метою поліпшення системи фундаментального каталога [43, з 15 масивними астероїдами 1 Землею (всього 314 пар) на інтервалі 1948-2000рр. ' '

■ В більшості відібраних пар планет максимальні для всього Інтервалу величини збурень геоцентричних прямих сходжень виявилися більшими, ні« 0.1". Зокрема, збурення Інтерамнії і Летшії Бід Церери перевищують відповідно 0.5й 1 0.3". Значно впливає Юнона на рух Гармонії, Лепщії 1 Мельшшни. Найбільші збурення викликає Церера в русі Вести, змінюючи її пряме сходження на величину до 2" і схилення до 0.4" н§ Інтервалі ЗО років від епохи оскуляції елементів орбіти.

Як показує аналіз, в збуреннях по прямому сходженню помітний тренд, збурення схилень значно менші 1 періодично змінюють знак. Звертає на себе увагу суттєве збільшення збурень поблизу опозицій, особливо при малих геоцентричних віддалях. Вказані особливості характерні для всіх планет.

Щоб оцінити методичну похибку обчислення ефемериди мало* планети внаслідок нехтування взаємними збуреннями (похибку математичної моделі руху), необхідно порівняти між ссзег найбільш імовірні "незбурену" 1 "збурену" орбіти, обчислені на основі одних 1 тих же спостережень. В даній роботі такі оцінки

були одержані для 6 малих планет моделюванням фіктивних спостережень з використанням замість різниць (О—С) збурень

відповідних координат цих планет. В цілому на дослівдуваному інтервалі методичні похии-а обчислення геоцентричних координат-мають-найбільші значення для Вести: ¿ат=0.86", Д8т=0.39". Дещо

менші, але тек досить значні, максимальні значення похибок для Палали (Да =-С.ЗЗ’’,Д6 =-0.10") 1 Гармонії (Да =0.23”,Дб =0.15").

• т т 1 тг> т

Відзначимо, що для ЛетщИ 1 Вести похибка прямого сходження перевищує 0.1” безпосередньо біля епохи елементів. Важливо

також, що ці різниці обчислених положень, які залишаються після поліпшення орбіт, мають чітко виражений систематичній характер.

Щоб встановити, як нехтування взаємними збуреннями малих планет впливає на точність визначення систематичних похибок зоряного каталога, в рівняння для диференційного виправлення орбіти, які використовувались в попередній моделі, були додатково введені' поправки каталожного екватора Дбо і п'ять поправок елементів орбіти Землі [51. Поправка рівнодення ДА увійшла в рівняння■через комбінацію з елементами орієнтації орбіти Землі ДШ^=-ДАзіпє. Вважалося, що локальні поправки каталоге

оцінюються шляхом аналізу залишкових відхилень після підстановки в рівняння розв'язку, одержаного методом найменших квадратів.

Результати проведеної роботи вказують на те, що врахування збурень від масивних астероїдів при створенні теорій руху малих планет практично не вшиває на- оцінки поправок екватора і рівнодення при спільному розв'язанні рівнянь за спостереженнями кількох планет і незначно (до 0.05") змінює останню' при їх

окремій обробці. Локальні ж поправки положень зірок при цьому мокуть змінюватись на величину, що відповідає реальним похибкам фундаментального- каталога. Тому дослідкення систематичних похибок фундаментального каталога шляхом аналізу залишкових відхилень після уточнення положень нуль-пунктів 1 елементів орбіт виправдане тільки при врахуванні взаємних збурень малих планет, особливо у випадку використання в майбутньому високоточних спостережень малих-шщет із космосу. ■

* Згідно з останніми траєкторними оцінками найбільш вірогідним вважається значення,. маси Юпітера . Мд/М^і 047.3491 гС.0002 .

Разом з тим, в різних сучасних- теоріях руху зовнішніх плана? використовуються значення від 1047.350 до 1047.355.

Виконані оцінки показали, що після поліпшення елементів орбіти похибки обчислених полонень малих планет, які відповзають варіації маси Юпітера Д(М0/МЙ)=О.О1, не перевищують 0.06" для Палали і Шоки, а для Керери і Вести тільки в окремих випадках більші за 0.02" на 30-річному Інтервалі. Реальні ж похибки, очевидно, значно менші.

Подальші дослідження дозволили зробити висновок, що моклива неточність прийнятого значення маси Юпітера не впливав на оцінки положень нуль-пунктів зоряного каталога, знайдені за спостереженням;! малих планет, а оцінки локальних похибок каталожних координат змінює в гірсому випадку есього на декілька тисячних долей секунди дуги, ідо несуттєво на сучасному етапі створення 1 використання зоряних каталогів.

Проведення ще одного числового експерименту показало, що при використанні сучасних' теорій руху великих планет похибки їх координат суттєво не відображаються на обчисленні ■ орбіт і ефемеридних геоцентричних • положеннях яеособливих астероїдів. Зокрема, зроблено висновок про те, що ці похибки не впливають на величину 1 точність систематичних поправок зоряних каталогів, одержуваних за спостереженнями малих планет. Можна також стверджувати, ідо значення каталожних поправок, знайдені раніше з вихористгнням попередніх менш точних теорія руху великих планет, не містять значних похибок, викликаних неточностями цих теорій.

Крім розглянутих причин, які можна віднести до малих збурюючих факторів, на точність обчислених положень малих планет впливає точність методу інтегрування і вихідних елементів орбіт. На цих етапах, як випливає з проведеного аналізу, може бути забезпечена достатня точність обчислень. .

Зисяовки, зроблені в цьому розділі на моделях фідт: зних спостережень, підтвердились при обробці реальних рядів для чотирьох малих планет, одержаних в процесі реалізації міжнародної програми спостережень ЕМП.

Розділ 3. Визначення систематичних похибок каталсга САО за фотографічними спостереженнями малих планет

Для визначення, систематичних похибок каталога CAO використано більше 12 тисяч фотографічних спостережень малих планет Церери (1), Палади (2), Шоки (3) 1 Вести (4), зібраних в банку даних ІТА АН Росії на кінець 1990р.. Спостереження виконані у відповідності з міжнародною програмою на 38 обсерваторіях світу і охоплюють період з 1949р. по 1987р. Більшість спостережень віднесені до системи каталога CAO, частина до AGK3. Останні з них приведені до системи каталога CAO в ІТА РАН А.С.Вашкевичем з використанням систематичних різниць.

Обчислення геліоцентричних прямокутних координат малих планет виконувалось числовім інтегруванням рівнянь руху методом Грегга-Буліриа-Штвра з використанням DE2GO. Враховувались збурення від усіх великих планет і найбільш суттєві взаємодії цих чотирьох астероїдів між собою. .

В таблиці 1 приведені основні результати розв'язання систем рівнянь, складених за спостереженнями кожної малої планети окремо 1 чотирьох планет разом. На основі розв’язків за спостереженнями конної планети обчислені середні значення поправок рівнодення ДА, екватора Д5о 1 елемента орієнтації орбіти Землі ДНЧД®^. В останньому рядку таблиці даються середні- квадратичні

Таблиця 1.

Попревка Церера Палада' Юнона Веста Спільне Середнє розв'язання значення

ДА ■ -0.64" 0,84" -0.09" -0.51" 1 -0.29" -0.10"

*0.13 10.14 , , ±0.12 ±0.10 ±0.06

A3 0.06 0.12 . 0.17 0.08 0.11 0.11

±0.01 ±0.01 ±0.01 ±0.01 ±0.005

ДМ +ÄS -0.00 -0.09 -0.52 -0.13 -0.12 -0.19

іО.05 ±0.05 ±0.05 ±0.05 ±0.02

' 0 о 0.45 0.4-4 0.47 0.45 . 0.46

похибки одиниці ваги однієї різниці (0-С). В дисертації летально аналізуються одержані оцінки поправок.

Для дослідження локальних-похибок каталога CAO використано 11540 спостережень по а і 11728 по 8 при загальній кількості вихідних 12986. Частина спостережень не попала з зону ±30® за схиленням, біля 200 виключені при розв'язанні рівнянь як такі, до мають залишкові відхилення більші за За. ■

Середні значення залишкових відхилень Аїй. в площадках інтерпретувались як локальні похибки положень зірок в каталозі, а взяті з протилежним знаком величини - як локальні поправки, які слід додавати до каталожних прямих сходжень і схилень всіх зірок у відповідних площадках.

■ Знайдені оцінки локальних поправок за своєю величино» ке протирічать паїшм уявленням про низьку точність досліджуваного каталога. Похибки їх обчислення складають, як правило, соті долі секунди дуги.

Однак, порівняння оцінок локальних поправок, знайдених за спостереженнями різних'планет, показало їх суттєву відмінність для більшості площадок. При'цьому важливо відзначити, що оцінки локальних поправок в ЗО із 65 заповнених спостереженнями площадок екваторіальної зони каталога обчислюються за спостереженнями тільки однієї з планет. Для 19 із 35 площадок, цо заливалися, локальні поправки визначаються за спостереженнями двох малій планет і тільки для 3 площадок - за спостереженнями всіх чотирьох малих планет. - .

На основі значень усереднених локальних поправок для площадок розміром 2h*10° побудовані карти ізоліній, які відображають залежність цих-поправок від прямого' сжодження і схилення. При цьому використані алгоритми і програми відновлення двомірних полів. Метод, названий авторами Сб] локальною інтерполяцією, полягає в побудові інтерполюючого полінома в кожній точці моделі за вихідними значеннями, розміщеними в деякому околі. Вихідні точки, що попадають в окіл, враховуються з певними вагами, які зменшуються по мірі віддалення від розрахункової точки. Алгоритм Jla Порта модифіковано таким чином,

що степінь і структура даомірногс Інтерполяційного полінома змінюється в залежності від взаємного розміщення вузла інтерполяції 1 вихідних точок шляхом регуляризаціі невідомих параметрів, що входять в інтерполяційну схему, згодом самоорганізації математичних моделей по Івахненку СТ1.

Застосування цього методу дозволяє в кінцевому рахунку зберегти неперервну залежність поправок від сферичних координат, позбавившись від головного недоліку сталих поправок в площадках каталога - їх стрибкоподібної зміни при переході до сусідніх площадок. Разом з тим, це дозволяє уникнути кореляцій локальных поправок з поправками нуль-пунктів 1 елементів орбіт. При цьому б можливість виявити періодичні похибки різних гармонік, а за рахунок регуляризації досягається зменшення впливу випадкових факторів. Зауважимо, однак, що ключовим моментом застосування цієї методики в питання про те, чи містять залишкові відхилення спостережень малих планет після визначення поправок елементів орбіт і нуль-пунктів каталога інформацію про його локальні похибки, 1 ¡якщо це так, то чи можна' 11 відокремити від інлш складових -залишкових відхилень. Питання це, на жаль, залишається поки що відкритим.. ' • •

Основні результат. Дослідження і оцінка впливу різних факторів на’ обчислені положення вибраних малих планет дали можливість одержати такі результати. •

1. Нехтування ■ гравітаційним впливом масивних астероїдів призводить до похибки обчислених положень ВМП величиною в кілька десятих долей дугових секунд (в окремих випадках до 0.9") на інтервалі БО років. Для деяких планет ця методична похибка може перевищувати 0.1" безпосередньо біля епохи елементів.

2., Врахування взаємних збурень малих планет практично не відображається на визначенні поправок екватора і рівноденні зоряного каталога при спільному розв’язанні рівнянь за спостереженнями кількох планет 1 незначно (до 0.05") впливає на останні при їх окремій обробці. Локальні поправки положень зірок прі цьсму можуть змінюватись на величину, яка відповідає реальній похибкам фундаментального каталога.

3. Неточності прийнятих значень мас великих планет тільки- в

окремих випадках, можуть викликати похибки обчислених положень ВМП, які поревидують 0.02" на інтервалі 50 років, ао не впливає на оцінки систематичних похибок зоряного каталога. '

4. Неточності координат великих планет в сучасних числових і

аналітичних теоріях руху DE20Q, DE202, YSOP82 1 VS0P87 не здатні викликати похибок обчислених положень ВМП, які о перевищували С.31" на інтервалі 50 років, що дозволяє використовувати будь-яку з них в роботах по поліпшенню системи фундаментального каталога. ’ '

5. Сучасні програми числового інтегрування диференціальних рівнянь задовольняють вимогам задачі поліпшення фундаментальних каталогів за наземними ~озиц1Йнти спостереженнями малих планет.

6. За фотографічними спостереженнями' Церери, Палади, Вяони 1 Вести одержані оцінки поправок нуль-пунктів та локальних похибок каталога CAO з врахуванням 1 без врахування їх взаємних збурень, а тзкок оцінки поправок елементів орбіт цих планет та Землі.

, За темою дисертації опубліковані такі роботи: - .

1. Федий П.М. О точности эфемерид избранных малих планет,

полученных без учета взаимных возмущений // Кинематика и физика небес, тел.- 1988.- 4, Мб.- С.86-88. '

2. Федий П.М. Влияние взаимных возмущений малых планвт вв оценки систематических поправок звездных каталогов // Там жв.-1989.- 5, JS1.- С.94-96.

3. Дума Д.П., Федий П.Ы. Учет взаимных возмущений малшс планет при построении теорий их движения // Метода исслед. движения, фаз. и динам, мал. тел солнечной системы: Веес. конф., Душанбе, 1989.- С.26-2Т.

4. Dma D.P., FedlJ P.M. Cn the lmprovenent cf the syatea oT iunoanental catalogues, based on asteroid obserrsticna // Inertlal Coordlnate Systea on the SKy (Jay E. Lleste and V.Abalakln, eds), Klüver Acadeolc Pabllshers, Dcrerecfct' Boston/London.- 1990.- P.337-338.

5. Duma D.P.,Peûl3 P.M-. On determination oí the asteroid orbits and the systematic errors oí fundamental star catalogues in presens of sraall perturbations //Proceedings of the 1el Spain-USSR Workshop on Positional Astronomy and Celestial Mechanics.-Valencia, 1991, P.95-98.

6. Федий П.М. Изучение сближений избранных малых планет с массивными астероидами на временном интервале 1948-2000гг.// Киев : 1992.- 48ц.- ДЕЛ в ВИШКИ 20.11 .92, JS3309-B92.

список цитованої літератури

1. Нумеров Б.В. ¡Теоретические основания . грименения . теории

движения мали, планет к определению систематических ошибок склонения// Тр.. Астрометр.конф. в Пулкове 5-7 карта 1922г.-Л., 1933.- С.41-50. ■

2. Нумеров Б.В. Ориентировка системы и определение систематических, ошибок фундаментального каталога по наблюдениям малых планет// Вилл. Астрон.ин-та.- 1937.- J542.- С.75-83..

3. Brouwer D. On the determination of systematic corrections

to stars positions from observations of minor planets// Astron. J. -1935.-v.44.- N1022.- P.57-63. ■

4.. Opелъежая В.И. Наблюдения малых планет для улучшения полонений звезд фундаментального каталога// Астрометрия и астрофизика.- К.: Наукова думка.- 1975., 26.- С.11-16. .

5. Врауэр Д, Клеменс Дж. Методы небесной механики// Пер. с

англ. .-М.: Мир,- 1964.- 514с. '

6. Ивашко Г.Е., Еремин В.И., Ивашко С.В. Отчет по теме 246/83 "Разработка алгоритмов решения отдельных геологических задач автоматизированного управления разведкой нефти и газа (АУР-НГ) в рамках объединения на.базе ЭВМ ЕС-1022".- Полтава, 1984.

7. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами.- К: Техника, 1975.- 230с.

Локальні поправки зоряного каталога САО для прямого сходження