Исследование влияния самоподобной структуры среды на физические процессы переноса и релаксации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РГБ ОД На правах рукописи

1 5 ДЕК 1996

РЯБОВ ЯРОСЛАВ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ САМОПОДОБНОЙ СТРУКТУРЫ СРЕДЫ НА ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА И РЕЛАКСАЦИИ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат Диссертации на соискание ученой тепени кандидата физико - математических наук

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Казанского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор P.P. Нигматуллин

Официальные оппоненты: заслуженный деятель РТ,

доктор физико - математических наук, профессор P.M. Юльметьев

кандидат физико - математических наук Ю.Ф. Зуев

Ведущая организация: Казанский Физико-Технический Институт имени Е.К. Завойского КНЦ РАН

2Р

Защита состоится 1996 года в часов на

заседании специализированного совета в Казанском Государственном Университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская 18.

С диссертацией можно ознакомится в Научной. библиотеке Казанского Государственного Университета.

■ 26 if

Автореферат разослан _ Ч__ 1996 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор Уо/ М.В. Ерёмин

£

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Процессы релаксации и переноса служат объектом исследования науки уже достаточно долгое время. Практически во всех отраслях физики конденсированного состояния встречаются задачи, которые связаны с изучением релаксации магнитного или электрического момента, переносом вещества или характеристик поля в различных условиях. Одновременно с экспериментальным обнаружением таких процессов были предприняты попытки их теоретического описания. Наиболее последовательное, с микроскопической точки зрения, было достигнуто в рамках статистической физики. Кроме того, большое количество чрезвычайно информативных экспериментальных методов изучения вещества основано на использовании этих процессов. Таким образом, можно сказать, что существует постоянный интерес к исследованию влияния различных факторов на процессы переноса и релаксации.

С другой стороны, в последнее время происходит интенсивное проникновение в физику идей математической теории самоподобных объектов. Сейчас становится очевидным, что в большинстве случаев вырисовывается некий единый сценарий перехода от дискретной структуры вещества к его непрерывной структуре, в котором самоподобные структуры занимают промежуточную область масштабов. Началом этого процесса проникновения идей фрактальной геометрии в физику принято считать появление книги Мандельброта (Mandelbrot В.В., Fractal Geometry of Nature, San-Francisco, Freeman (1982)). К настоящему времени с помощью применения идей теории самоподобных объектов (для таких объектов в литературе также используется термин фракталы от латинского слова fractus, что означает "доля") уже удалось понять достаточно много (см. обзоры Зосимов В.В., Лямшев Л.М.// УФН. -(1995) -Т.165. -№4, Олемский А.И., Флат А.Я., // УФН. -(1993) -Т.163. -№12 и книгу Федер Е. Фракталы Мир, Москва (1991)) и можно надеяться, что возможности применения идей

фрактальной теории в физике еще далеко не исчерпаны. Однако, до сих пор существует целый ряд вопросов, ответы на которые еще предстоит найти.

Учитывая это, легко понять почему многие исследователи пытаются в настоящее время с одной стороны изучать самоподобные объекты и, с другой стороны, применять методы теории фракталов для описания известных явлений. Одной из работ, в которых предпринята попытка по-новому взглянуть на известные явления с точки зрения теории самоподобных объектов, можно считать данную диссертацию.

Практически во всех задачах физики конденсированного состояния, частным случаем которых являются задачи о переносе и релаксации, необходимо вычисление различных средних значений макроскопических величин. Очевидно, что структура среды, в которой происходят эти процессы, решающим образом может повлиять на результат усреднения. Поэтому вопрос о вычислении средних значений макроскопических величин на различных фрактальных объектах является чрезвычайно важным.

До недавнего времени данная проблема каждый раз решалась по-разному, в большинстве случаев усреднение производилось с помощью различных численных методов ("Фракталы В Физике" Труды IV международного симпозиума по фракталам), не позволяющих получить аналитические зависимости. Именно поэтому много усилий было потрачено на решение этой проблемы для достаточно широкого, хотя, возможно, ограниченного, класса случаев.

В работе (Нигматуллин P.P.// ТМФ. -Т.90. -(1992) -№3. -с.354) была высказана гипотеза о том, что при определенных условиях операции усреднения некоторой гладкой функции на фрактальном множестве типа множества Кантора может быть сопоставлена операция дробного интегрирования. Сама собой напрашивалась мысль попробовать применить эту гипотезу для описания физических процессов, происходящих во фрактальных средах. Именно поэтому первоначальной целью данной диссертации было попытаться описать различные процессы релаксации и 4

переноса во фрактальных средах. Однако, как выяснилось впоследствии, в работе (Нигматуллин P.P.// ТМФ. -Т.90. -(1992) -№3. -с.354) остались неотраженными некоторые существенные детали, без дополнительного осмысления которых не удавалось вполне эффективно использовать идеи этой работы для описания процессов переноса и релаксации. Именно поэтому понадобилось дополнительное исследование вопроса о усреднении гладких функций на фрактальных множествах. Полученные в ходе этого исследования результаты были использованы для построения феноменологических моделей неэкспокенциальной диэлектрической релаксации.

Помимо процессов релаксации в данной диссертации были исследованы процессы переноса электрического заряда в микроэмульсиях вблизи порога перколяции. Если в случае релаксации в диэлектриках было установлено наличие нелинейного поведения и предстояло выяснить может ли подобное поведение быть обусловлено самоподобной структурой среды и/или взаимодействий в физических системах, то в данном случае, напротив, было известно, что вблизи порога перколяции в микроэмульсиях образуются фрактальные кластеры капель, и предстояло исследовать кооперативную динамику переноса электрического заряда в этих системах.

Цель работы. Таким образом, суммируя все выше изложенное, можно сказать, что целью данной диссертации было:

I Продолжить работы по выяснению вопроса о соответствии усреднения гладких функций на фрактальных множествах и операции дробного интегрирования.

И Использовать результаты предыдущего исследования для выяснения вопроса о самоподобной природе комплексной диэлектрической восприимчивости типа Коула-Коула, Коула-Девидсона, Гаврильяка-Негами.

Ш Исследовать механизм влияния фрактальной структуры перколяционных кластеров микроэмульсии на кооперативную динамику переноса электрического заряда в микроэмульсиях.

Научная новизна и практическая ценность. Полученные в данной диссертации результаты можно разделить на две группы. Во-первых, это результаты имеющие мат.-физический характер, связанные с исследованием процедуры усреднения гладких функций на фрактальных множествах типа множества Кантора, которые могут быть использованы для построения физических моделей различных процессов и явлений, происходящих в системах с фрактальным распределением свойств в пространстве и/или во времени. Во-вторых, это результаты теоретического изучения механизма влияния фрактальной структуры среды на процесс диэлектрической релаксации в микроэмульсиях и исследования неэкспоненциальной диэлектрической релаксации тапа Коула-Коула, Коула-Девидсона и Гаврильяка-Негами. Иначе говоря, научная новизна и практическая ценность диссертации заключается в том, что:

I Установленная связь между операциями усреднения гладкой функции на фрактальных множествах типа Канторовского и операцией дробного интегрирования позволяет по новому подойти к разработке моделей физических процессов, происходящих во фрактальных средах.

II Результаты работы связанные с построением феноменологической теории неэкспоненциальной диэлектрической релаксации могут быть, а результаты по исследованию релаксации в микроэмульсиях были использованы для интерпретации экспериментальных данных.

Публикации. Содержание работы опубликовано в 6 статьях и 8 тезисах различных научных конференций, включая международные, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: XXVII congress Ampere (Kazan (1994)), "Геометризация физики II" (Казань (1995)), II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов (Казань (1996)), на научном симпозиуме зимней школы по теоретической физике Коуровка 96 (Ижевск (1996)) и на отчетных конференциях Казанского Государственного Университета (Казань (1993, 1994, 1995)).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, математических приложений к оригинальным главам диссертации, списков цитированной и авторской литературы. Диссертация содержит 144 страницы и 21 рисунок. Полный список литературы содержит 94 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы и формулируются цели и задачи диссертации.

В первой главе диссертации был исследован следующий вопрос: чему равен результат свертки непрерывной функции f(t) с нормированной плотностью множества Кантора Kfj(t) (t-временная переменная, v -фрактальная размерность, [О ,Т] - интервал сосредоточения множества N -этап построения множества Кантора) при N -> со ? Детально описан Лаплас-образ функции K{vj(t)- Найдены условия, при которых свертка нескольких таких функций Kj^t) (для различных Т) приводит к дробному интегралу Римана-JI иувилля.

Это исследование было необходимо для того, чтобы обеспечить достаточный математический фундамент для построения физических моделей • процессов неэкспоненциальной диэлектрической релаксации. Данная работа явилась продолжением деятельности, начатой в статье (Нигматуллин P.P.// ТМФ. - Т.90. - (1992) - №3. - с.354), где была установлена связь между процедурой усреднения физической величины,

выражаемой некоторой гладкой функцией f(t), по фрактальному множеству Кантора и временным дробным интегралом. Насколько можно было судить, эта работа вызвала большой интерес. Однако, в этой работе остались незамеченными некоторые существенный тонкости. В первой главе представлены результаты подробного исследования этого вопроса и доказано, что связь между процедурой усреднения физической величины, выражаемой некоторой гладкой функцией f(t), по фрактальному множеству Кантора и временным дробным интегралом существует.

Во второй главе данной диссертации была предпринята попытка выяснить: может ли фрактальная структура среды и/или взаимодействий в диэлектриках привести к появлению нелинейного поведения комплексной восприимчивости, используя для этого результаты исследования, проведенного в рамках первой главы данной диссертационной работы, а также, если это возможно, построить хотя бы качественные модели веществ и/или процессов, для которых данное нелинейное поведение имеет место.

В результате этой работы были построены феноменологические модели процессов неэкспоненциальной релаксации, комплексная восприимчивость которых описывается эмпирическими формулами Коула-Коула, Коула-Девидсона и Гаврильяка-Негами. Основой для построения этих моделей явилась концепция самоподобного процесса релаксации, особенности которого подробно обсуждались в части 2 данной главы. При таком процессе акты взаимодействия релаксирующей физической системы происходят только в моменты времени, совпадающие с точками некоторого фрактального множества типа Канторовского размерности меньше единицы.

В этой главе показано, что если прерывистый самоподобный характер носит процесс взаимодействия релаксирующей системы с термостатом, то имеет место такой процесс релаксации, когда комплексная восприимчивость подчиняется эмпирической формуле Коула-Коула. В качестве возможных причин возникновения такого характера взаимодействия релаксирующей системы с термостатом, если мы говорим о диэлектрической релаксации,

могут быть флуктуации локальных полей внутри диэлектрика и/или столкновительный характер взаимодействия релаксирующей системы с окружением. Если прерывистый самоподобный характер носит взаимодействие релаксирующей системы с внешним полем, вызывающим релаксацию, то комплексная восприимчивость подчиняется известному выражению Коула-Девидсона. В том случае, если одновременно и взаимодействие с термостатом, и взаимодействие с внешним полем носят прерывистый самоподобный характер, то тогда имеет место такой процесс релаксации, при котором комплексная восприимчивость подчиняется известному выражению Гаврильяка-Негами.

Предлагаемая в данной главе концепция самоподобного процесса релаксации не только позволила явно записать дифференциальные уравнения, которым подчиняется изменение полного дипольного момента во времени, но и, что более важно, позволила прояснить смысл показателей степеней г, v и ß, входящих в эмпирические зависимости Коула-Коула, Коула-Девидсона и Гаврильяка-Негами.

В третьей главе представлены результаты двух работ. Во-первых, это работа по иср едованию свойств диэлектрической релаксации в трехкомпонентной микроэмульсии на основе sodium bis (2-ethylhexyl) sulfosuccinate и, во-вторых, это работа по исследованию явления статического тушения люминесценции.

Эти работы были объединены в рамках одной главы неслучайно. И в том и в другом случае релаксация описывается хорошо известным эмпирическим законом Кольрауша-Уильямса-Уотса (KWW). Кроме того, и то, и другое явление обусловлено на микроскопическом уровне переносом некоторого возбуждения между отдельными микроскопическими составляющими системы. В первом случае это - электрический заряд, во втором - квант энергии возбуждения атома.

Основной целью исследований, результаты которого представлено в этой главе, было изучение свойств микроэмульсии вблизи порога' перколяции,

там, где самоподобные свойства данной среды проявляются особенно ярко. В этих исследованиях удалось получить некоторые оригинальные результаты. В частности, удалось выяснить механизм влияния фрактальной структуры кластеров капель микроэмульсии на макроскопический закон релаксации функции дипольной корреляции данной системы. Подробнее о самом этом исследовании и о его результатах см. часть 2 третьей главы. Получение этих результатов стало возможным благодаря применению для описания данного явления разработанной нами модели координационных сфер.

Для проверки эффективности модели координационных сфер она была применена также для описания явления статического тушения люминесценции. Как оказалось, эта модель может быть удовлетворительно применена и в этом'случае.

В математических приложениях к оригинальным главам диссертации помещены математические аспекты получения физических результатов соответствующих глав диссертации.

В разделе выводы приведен анализ полученных в диссертации результатов. Кратко эти результаты могут быт^ сформулированы как

Положения выносимые на защиту:

I Дробному интегрированию степени V гладкой функции ДО можно сопоставить усреднение этой функции по совокупности всех реализаций построения фрактального множества типа Канторовского с фрактальной размерностью V.

II Модель самоподобного процесса релаксации, разработанная на основе положения I, может быть применима к системам, для которых, с одной стороны, справедлива модель релаксатора Фрёлиха, а, с другой стороны, имеется априорная информация о наличии в этих веществах процессов неэкспоненциальной релаксации. Возможно, что такие

процессы существуют в сегнетоэлектриках, в кристаллах с ионной проводимостью, а также в жидких и пластических кристаллах.

III Функции релаксации таких систем являются решениями уравнений

DJI P(t)] - D® | Р(0)1 + (т)1-Е B(E)fl0P(t) = О в случае релаксации типа Коула-Коула,

(Dj, +n0)vP(0 = o в случае релаксации типа Коула-Девидсона и

<D=+«pPP(t)=0 в случае релаксации типа Гаврильяка-Негами.

IV Эмпирическим параметрам е, v, (3, входящим в зависимости Коула-Коула, Коула-Девидсона и Гаврильяка-Негами, в рамках феноменологической модели самоподобного процесса релаксации можно сопоставить конкретный смысл. Параметр £ имеет смысл фрактальной размерности множества, на котором статистически распределены момент времени, ответственные за взаимодействие между элементарной составляющей физической системы и термостатом. Параметр v имеет смысл фрактальной размерности множества, на котором сосредоточены акты взаимодействия релаксирующей системы с внешним полем. Параметр р зависит как от размерности первого множества, так и от- размерности второго.

V Макроскопический закон релаксации изученного класса микроэмульсий подчиняется эмпирическому выражению KWW F(t) ~ ехр{-С ta}. Этот закон нечувствителен к микроскопическим деталям переноса заряда во фрактальной системе для широкого класса микроскопических функций релаксации.

VI Релаксационное поведение KWW типа наблюдается только в определенном интервале времен, определенном соотношением

-,1/2

Константы A], g, aj, т, и а2 определяются поведением функции, описывающей процесс переноса заряда между отдельными каплями микроэмульсии, а константы р, а, X, v=ln(p)/ln(l/£) структурой перколяционного кластера микроэмульсии. За переделами данного временного интервала к данному закону существует поправка B(t/t) и предэкспоненциальный множитель.

VII Характерные зависимости показателя степени v, фрактальной размерности Df, скейлинговые параметры р и к, также как средний линейный размер перколяционного кластера Lj^ и среднее число капель в кластере S отражают специфические особенности поведения микроэмульсии вблизи порога перколяции. Предложенная модель координационных сфер удовлетворительно описывает кооперативные процессы релаксации в данной микроэмульсии и предсказывает релаксацию KWW типа.

VIII Предложенная модель координационных сфер, в принципе, пригодна для изучения широкого класса явлений во фрактальных средах. Особенно эффективно ее применение в том случае, если на микроскопическом уровне эти процессы обусловлены парным взаимодействием между микроскопическими составляющими системы. Макроскопический закон релаксации в этом случае нечувствителен к виду функции, описывающей элементарный процесс переноса. Вычислены временные пределы, в которых данная модель может быть корректно применена.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

[1] Feldman Yu., Kozlovich N. and Alexandrov Y., Nigmatullin R. and Ryabov Ya.// Phys. Rev. E. v. 54, N.5 (1996) pp.5420-5428.

[2] Kozlovich N., AJexandrov Yu., Feldman Yu., Ryabov Ya., and Nigmatullin R., Non-Exponential Dynamics In Die Microemulsions Near The Percolation Threshold From Time Domain Dielectric Spectroscopy, Paper in Proceedings of the 7-th International Conference on Dielectric Materials Measurements & Applications, University of Bath, UK: 23-26 September (1996) pp.160-163.

¡3] Nigmatullin R., Ryabov Ya., Poligalov E., Feldman Yu., The fractal Nature of Electrode polarization, Paper in Proceedings of the 7-th International Conference on Dielectric Materials Measurements & Applications, University of Bath, UK: 23-26 September (1996) pp.I64-167.

14| Le Mahaute A., Nigmatullin R.R., Ryabov Ya.E., Notes to the correct interpretation between procedure of averaging a smooth function over Cantor set and temporal fractional integral, Proc. hit. Conf "Geometrization of Physics", Kazan State University, (1995) pp.! 19-124.

[5] Нигматуллин P.P., Рябов Я.Е.//ФТТ (принята к печати)

[6] Нигматуллин P.P., Рябов Я.Е.//Известия ВУЗ "Физика" (принята к печати)

|7] Nigmatullin R.R., Goncharov V.A., Ryabov Ya.E. Extended abstracts of the XXVII congress AMPERE, Kazan (1994) p. 251.

[8| Казаков Б.Н., Михеев A.B., Нигматуллин P.P., Рябов Я.Е. Тезисы стендового доклада на X Феофиловском Симпозиуме, Санкт-Петербург (1995) с. 185-186.

|9] Kozlovich N., Alexandrov Yu., Feldman Yu., Nigmatullin R. and Ryabov Ya., 3rd Liquid Matter Conference, Europliys. Conf. Abstr., v. 20В, P7-13, University of East Anglia, Norwich, UK, 6-10 July, (1996).

Ц0] Feldman Yu., Kozlovich N., Alexandrov Yu., Nigmatullin R. and Ryabov Ya., the International Conference on Electrokinetic Phenomena 96, Rome, Italy, 30 September- 4 October (1996).

[11] Alexandrov Yu., Kozlovich N., Gutina A., Feldman Yu., Nigmatullin R. and Ryabov Ya, 11-th International Symposium on Surfactants in Solutions, Book of Abstracts, June 9-13, Jerusalem, Israel (1996) p.286.

[12] Нигматуллин P.P., Рябов Я.Е., Тезисы докладов II Республиканской конференции молодых ученых, Казань 28 июня - 1 июля (1996) с. 41.

[13] Михеев А.В., Рябов Я.Е., Тезисы докладов II Республиканской конференции молодых ученых, Казань 28 июня - 1 июля (1996) с. 80.

[14] Kazakov B.N., Mikheeev A.V., Nigmatullin R.R., Ryabov Y.E., X ' International Conference on Luminescence and Optical Spectroscopy of Condensed Matter ICL '96, August 18-23, Prague (1996) p. 14.