Исследование влияния высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в слое жидкости с учетом эффекта Марангони тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Прозоров Олег Александрович у

Исследование влияния высокочастотной вибрации на возникновение конвекции в слое жидкости с учетом эффекта Марангони

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 7 МАЙ 2015

005569343

Пермь —2015

005569343

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент | Зеньковская Светлана Михайловна],

доктор физико-математических наук, доцент Цибулин Вячеслав Георгиевич

Официальные оппоненты:

Любимова Татьяна Петровна, доктор физико-математических наук, профессор, Институт механики сплошных сред УроРАН, заведующий лабораторией вычислительной гидродинамики

Перминов Анатолий Викторович,

кандидат физико-математических наук, доцент,

ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский

политехнический университет», кафедра общей физики, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН, г. Красноярск

Защита состоится «23» июня 2015 года в 15:15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 при ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата доступна на сайте ПГНИУ по адресу: http://www.psu.ru.

Автореферат разослан « »_2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м. н., доцент

Гилев В.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес к исследованию воздействия вибрации на движение жидкости обусловлен многочисленными приложениями в космических технологиях и материаловедении. Для многих технических и технологических процессов очень важны задачи о взаимодействии вибрационных и других механизмов, вызывающих конвекцию. Особый класс составляют задачи со свободными границами и изучение совместного действия вибрации, гравитационных и термокапиллярных сил на конвективные движения. Для анализа гидродинамических систем эффективным оказывается применение метода осреднения. Исследованию вибрационной конвекции методом осреднения посвящены работы И. Б. Симоненко, С. М. Зеньковской, В. И. Юдовича, Г. 3. Гершуни, Е.М. Жуховицкого, Д.В. Любимова, Т.П. Любимовой, В.Г. Козлова, Р.В. Бири-ха, В. А. Брискмана и др. Применение теории гидродинамической устойчивости в сочетании с развитием процедур метода осреднения для анализа комбинированных эффектов действия осциллирующих по времени внешних полей, термокапиллярных и гравитационных сил является актуальной проблемой.

Целью данной работы является исследование влияния вибраций на возникновение конвекции в горизонтальном слое со свободной границей. При этом рассматриваются следующие задачи: 1) анализ монотонной потери устойчивости механического равновесия в задаче вибрационной конвекции Марангони; 2) взаимодействие вибрационного, термокапиллярного и гравитационного механизмов устойчивости в случае больших по абсолютной величине отрицательных чисел Рэлея и Марангони; 3) построение и анализ вторичных режимов в задаче о конвекции в слое вязкой жидкости со свободной границей при действии высокочастотных вибраций.

Научная новизна. Исследовано влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в слое жидкости со свободной границей при больших числах Рэлея и Марангони в случае нагрева сверху. При помощи метода пограничного слоя Вишика-Люстерника впервые построены главные члены асимптотики собственных значений и собственных функций задачи. В случае монотонной неустойчивости выведены длинноволновая и коротковолновая асимптотики критических параметров и собственных функций. В задаче о вибрационной конвекции в слое с недеформируемой в среднем свободной поверхностью впервые построены амплитудные уравнения, описывающие процесс возникновения нелинейных режимов вблизи критического значения вибрационного параметра.

Практическая значимость. Результаты работы углубляют понимание влияния вибрационных воздействий на развитие конвекции. Развитые в диссертации методы могут быть применены в других задачах гидродинамики. Резуль-

таты, полученные в диссертации, могут быть использованы при планировании и проведении наземных и космических экспериментов.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается корректной постановкой задач, совместным использованием аналитических и численных методов, совпадением асимптотических и численных результатов, сравнением с результатами других авторов. Исследования, представленные в диссертационной работе, поддержаны грантами:

• «Влияние вибрационных и осциллирующих тепловых полей на динамику поверхностей раздела и конвекцию несжимаемой жидкости» (РФФИ № 09-01-00658-а, руководитель С.М. Зеньковская).

• «Устойчивость, бифуркации, вторичные режимы конвективных течений в осциллирующих полях» (РФФИ № 12-01-00582-а, руководитель С.М. Зеньковская).

• Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» («Динамика распределенных и точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости» №2.1.1/554, руководитель Л.Г. Куракин).

• Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» ( «Математическая гидродинамика жидкостей со сложными физико-химическими свойствами» №2.1.1/6095, руководитель М.Ю. Жуков).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• Шестом Международном Аэрокосмическом Конгрессе 1АС'09, г. Москва;

• XX осенней международной математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2009), г. Севастополь, Украина;

• X Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Нижний Новгород, 2011 г.;

• Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» 2008, 2009 , 2010, 2011, 2012, 2014 гг.;

• XVII и XVIII Зимних школах по механике сплошных сред, г. Пермь 2011г., 2013 г.;

• научном семинаре кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, 2012 г.;

• Пермском городском гидродинамическом семинаре (2014 г.).

Личный вклад. В работах [1,2,4-11] постановка задач и метод решения предложены С.М. Зеньковской. В статье [1] автору принадлежит вывод асимптотических формул коротковолновой и длинноволновой асимптотик, проведение вычислений. В [2,6,7] автору принадлежит вывод формул для погранслойных приближений, разработка комплекса программ для проведения высокоточных вычислений, анализ численных и асимптотических результатов. В [5] автору принадлежит исследование линейной задачи устойчивости, проведение вычислений. В [12] автору принадлежит постановка задачи, разработка программы для вывода коэффициентов амплитудных уравнений. В [8] автором проведена численная реализация метода, анализ результатов принадлежит обоим авторам в равной мере. В статье [3] постановка задачи и метод решения предложены В.И. Юдовичем, автором построено и исследовано аналитическое решение задачи.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 16 печатных работах. Из них 4 [ 1 —составляют статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 — депонированные статьи [5-7], 6 статей опубликованы в трудах конференций [8-13], 3 — в тезисах докладов [14-16].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Полный объем диссертации 158 страниц текста с 22 рисунками и 12 таблицами. Список литературы содержит 140 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цель и задачи работы, научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена исследованию влияния вибраций на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое вязкой жидкости, ограниченном твердой стенкой и свободной поверхностью, на которой учитывается поверхностное натяжение с коэффициентом а = ао — ат{Т — То), где То — точка отсчета температуры. Слой как целое совершает поступательные колебания в направлении вектора 8 = ^соэ^, 0,зту>| по закону где / — перио-

дическая функция с нулевым средним по быстрому времени т = иЬ. Рассматривается задача о движениях жидкости с недеформируемой в среднем свободной границей и выводятся осредненные уравнения.

В п. 1.1 приведена математическая постановка задачи. Уравнение состояния жидкости берется в виде р = р0(1 — /3(Т — То)). В качестве исходной ма-

5

тематической модели выбираются обобщенные уравнения конвекции Обербека-Буссинеска [Д.В. Любимов, Microgravity Quarterly, 1994, № 4], в которых зав-симость плотности от температуры сохраняется и в инерционных слагаемых. Задача рассматривается в подвижной системе координат (хих2,х$ = z), связанной с колеблющимся слоем, плоскость z = 0 совпадает с невозмущенной горизонтальной поверхностью жидкости. Уравнения конвекции для скорости V, температуры Т и давления р записываются в безразмерной форме

dv iGr

(1 - еГ)— = -Чр + Av + (1 - еТ) i —7 - cjRef(ut)s

dT

— = Рг_1ДТ, div г; = 0. (1)

at

Среднее по быстрому времени определяется формулой

г2тт

- 1 г2*

f{x, = Jo f(X> f> T)dr-

Система (1) содержит следующие безразмерные параметры: е = А[31г — пара-

¿'/г2 _ „ а/г метр Буссинеска, ш =--безразмерная частота вибрации, Яе =--виб-

V V

рационное число Рейнольдса, От = ~-£ — число Грасгофа, Рг =--число

V X

Прандтля. Здесь А — характерный градиент температуры, Л — характерный размер, -у — единичный вектор вдоль оси Ог, д — ускорение силы тяжести, /3 — коэффициент объемного теплового расширения, V — кинематическая вязкость, X — температуропроводность.

Уравнения (1) дополняются краевыми условиями, в которых используются следующие безразмерные параметры: Ма = --число Марангони,

РъХУ

С =-- — безразмерный коэффициент поверхностного натяжения, В г = —,

р01>г к

Вгг = —--числа Био. Здесь Ь{ — коэффициенты теплоотдачи от поверхности

к

жидкости к окружающей среде, к — коэффициент теплопроводности жидкости, ТГ — температура подложки, на которой находится слой, Тд — температура газа над жидкостью.

На свободной границе Хз = £(х1,х2,ь) заданы условия

<"'*> = I' ' =

Ж -К 1

дх\ дх2'

Tiknk - prii

„ Л/я Л _ Ма /дТ дТ \

дТ I

--Bi(T-Tg)= 0, п=щ, г = 1,2,3.

В формулах (2) используется правило суммирования по повторяющимся индексам. Средняя кривизна свободной границы К определяется выражением

-(1+ -(1 + 2(1

а компоненты безразмерного тензора вязких напряжений т^- даются формулами

дУг дук

Пк = ъ--> г, к =1,2,3.

дхк дХг

Краевые условия на твердой стенке Хз = 1 имеют вид:

ю = 0, + В1Г(Т - Тг) = 0. (3)

ох з

В п. 1.2 при помощи метода осреднения построена система уравнений для недеформируемой в среднем свободной поверхности. Решение задачи разыскивается в виде суммы плавных V, Т,р,£ и быстрых и, Т, р, £ составляющих решения

V = г>(х, {) + и(х, ^ т), V = О,

р = р + шр(х,г,т), р = О, (4)

Т = Т{х, £) + —Т(х, £, т), Т = 0, и

£ = £(хих2,1) +-£(х1,х2,Ь,т), £ = 0. и!

В случае, когда свободная граница недеформируема в среднем, £(хь '£■>, £) = 0, тогда I = п = |0,0,1.|, осредненная система содержит только виброгенную силу

Г = Де2 (5)

а виброгенные напряжения отсутствуют. Здесь неизвестные ги и Ф — амплитуды пульсационной скорости и давления. Имеют место формулы, выражающие быстрые компоненты посредством плавных амплитуд

V = —Дего/'(т), р = -ЯеФ }"{т).

Переменные и), Ф удовлетворяют системе

(1 - еТ)и) = -УФ + (1 -еТ)а, сНУ ги = О, 2 = 0: гоп = 0, 2 = 1: Ф = 0.

Функции IV = гУг, и Ф раскладываются в ряд по степеням параметра Буссинеска е

го = ги0 + еых + е2ги2 + ..., Ф = Ф0 + еФ1 + е2Ф

'2

При ip 0 для определения первых членов разложения получается система

^ + (и, V)« = -Vq + Av — GrTf + V)VФь

ot ir

дТ 1

div v = 0, — + (v, VT) = —AT, (6)

Wi + V<J>! = -7 T, div wi = 0, z_Q дщ_ MadT_ &U2 _ Ma dT dz Pr dxi' dz Pr dx-2' dT

Ф1=0, — - Bi(T - Tg) = 0, v3 = 0. (7)

dT

z= 1: v = 0, ---1- Bir(T — Tr) = 0, W13 = 0.

ox3

Здесь ¡i — вибрационный параметр

(ah sin wef

AÍ = П--

"X

В п. 1.3 получено квазиравновесное решение, рассматривается линейная задача его устойчивости. Возмущения равновесия разыскиваются в виде f(xl,x2,z,t) = f(z)el<-aiXl+a2Z2'lext. Краевая задача для амплитуд нормальных возмущений имеет вид

а2

АЬь = Ь2ь + Иаа2в - ца2(ВФ + в), В = —, Ь = В)

а г

ХРгв = Ьв-V, ЬФ = -Щ а2 = а? + а\, (8)

2 = 0: V = 0, В2у - Маа2в = 0, Вд - В(в = 0, Ф = 0, 2 = 1: у = Ву = 0, ВуЮв + В0в = 0, ВФ + в = 0.

Здесь через V, в, Ф обозначены ¿-компонента скорости, температуры и пульса-ционного давления, соответственно, Л — спектральный параметр, а — волновое число, Яа = СгРг — число Рэлея. Параметры Д) и В\ в краевом условии для температуры таковы, что + В2 ф 0.

В п. 1.4 построена длинноволновая асимптотика решения спектральной задачи в случае монотонной неустойчивости (Л = 0). Для этого решение краевой задачи (8) разыскивается в виде ряда по степеням волнового числа а. В результате формулы длинноволновой асимптотики в случае изотермической твердой стенки имеют вид

М°

Ма и + М? + М2°а2, а -> 0, а2

а в случае фиксированного теплового потока на твердой стенке записываются следующим образом

Ма « М] + М{а2 + М\а\ а0.

11 г

ю

1п(м!

ц=10°

[я=105

Рис. 1: Поведение нейтральных кривых с ростом вибрационного параметра.

Коэффициенты М? и М/ зависят от безразмерных параметров задачи, вибрационный параметр // входит в третий член разложения 1 как слагаемое с положительным коэффициентом, так что рост ц приводит к увеличению критического числа Марангони Ма.

В п. 1.5 выводится коротковолновая асимптотика задачи при больших волновых числах а

о „ 17 я 25 иВг Ма и 8 о? + 8 Вг а + — -Чг + —

8 а1 16 сг

В п. 1.6 построены нейтральные кривые числа Марангони для различных значений вибрационного параметра \l. Получено, что нейтральные кривые с ростом ц теряют выпуклость — появляются одна, две, а затем три точки локального минимума, см. Рис. 1. На Рис. 2 приведены результаты расчета нейтральных кривых безразмерного параметра s = Ма2- / ц — величине, обратной амплитуде скорости вибраций, при фиксированном числе Марангони. Получено, что с увеличением Ма уменьшается критическое значение s, требуется все большая амплитуда вибрации, чтобы подавить конвекцию, см. Рис. 3.

Вторая глава посвящена исследованию влияния высокочастотных вибраций на возникновение конвекции Рэлея-Марангони в плоском горизонтальном слое вязкой жидкости, ограниченном сверху свободной поверхностью, а снизу — твердой стенкой. Рассматривается случай нагрева сверху и предполагается, что числа Рэлея и Марангони отрицательны и велики по модулю, а их отношение /3 = Ra/Ma (динамическое число Бонда) является конечным. Эта задача без учета высокочастотных вибраций рассматривалась в [A.Ye. Rednikov, P. Colinet, M.G. Velarde, J.C. Legros et al. JFM 2000,405]. Спектральная задача (8) после

Рис. 2: Нейтральные кривые вибрационного параметра в для различных тепловых условий на твердой стенке: слева — фиксирована температура: 1 — Ма = 95, 2 — Ма = 240, 3 — Ма = 500 , 4 — Ма = 1000; справа — фиксирован тепловой поток: 1 — Ма = 120, 2 — Ма = 240, 3 —Ма = 1000.

500 1000 1500

Ма

500 1000 1500

Ма

Рис. 3: Зависимость критических значений волнового числа а* и вибрационного параметра в* от числа Марангони Л/а, в случае фиксированного теплового потока на твердой стенке (пунктир) и заданной температуре (сплошная линия).

введения малого параметра е = у/—Рг/Яа и замен

А-*

л -

а —

Рг' ~ Рг

записывается в виде:

Х'Ы = е Ь у' - с?& - г а (БФ' + в'), б2

Х'в' = — Ьв' - г/, ЬФ' = -Бв', Рг

а2

г = 0: V' = 0, е2£>2г/ + — в' = 0, Ив' - Вг& = 0, Ф' = 0,

2 = 1: и'= £>«' = 0, + = 0, £>Ф' + 0' = О.

Здесь безразмерная амплитуда скорости вибрации г дается формулой

,2„2е:п2 ,

2д2№е4 1 '

В п. 2.2 для случая г = 0 (отсутствие вибрации) на основе метода погранично-

18 16 14 12

-Ма10

8 6 4 2

, х 10

>

I I

Ч г=0.005 Ч.

г=0.001

0 1 2 3 4 5 6 7

а

Рис. 4: Поведение нейтральных кривых с ростом вибрационного параметра г при

Ва = -1.5 х 106.

го слоя Вишика-Люстерника построен алгоритм вычисления главного и последующих членов разложения критических параметров и собственных функций. Проведено сравнение асимптотических и численных результатов, оценена сходимость асимптотического разложения для первых двух членов погранслойного разложения. В п. 2.3 рассматривается задача о влиянии высокочастотных вибраций на конвекцию Рэлея-Марангони в слое. Показано, что существуют две ветви собственных значений, соответствующие возникновению поверхностных и внутренних волн. Построены собственные функции задачи и исследовано влияние вибрации на возникновение конвекции численными и асимптотическими методами. При фиксированном значении числа Рэлея (см. Рис. 4) показано, что с ростом параметра г2 области колебательной неустойчивости смещаются в сторону больших значений числа Марангони и расширяются. При фиксированном значении динамического числа Бонда ¡3 (см. Рис. 5) нейтральные кривые смещаются сторону больших волновых чисел и больших чисел Рэлея.

Третья глава посвящена исследованию нелинейных режимов в задаче о вибрационной конвекции Марангони в плоском слое вязкой жидкости при воздействии высокочастотных вибраций. Вывод амплитудного уравнения проводит-

11

а

Рис. 5: Поведение нейтральных кривых с ростом вибрационного параметра г2 при фиксированном динамическом числе Бонда /3 = 9.

ся методом многих масштабов. Решение разыскивается в виде ряда по степеням надкритичности по параметру в = Ма2/ц, в результате нелинейная задача для возмущений сводится к уравнению в частных производных относительно неизвестной амплитуды. Кроме того, нелинейная задача для возмущений решается методом конечных элементов, результаты расчета сравниваются с решениями, получающимися из анализа амплитудных уравнений.

В п. 3.1 нелинейная задача для двумерных возмущений переписывается в переменных функция тока-температура-амплитуда пульсационного давления, дается операторная формулировка задачи. В п. 3.2 описана схема вывода амплитудных уравнений методом многих масштабов. Управляющим конвекцией параметром является амплитуда скорости вибрации, которая представляется в виде в = во + <52> где д задает отклонение в от его критического значения ,5'о. Для параметра /х получается следующее асимптотическое выражение

г? ^/гДч Ма2

М = /г0-д>2 + 0(<г). Й) =-•

«о

Решение задачи разыскивается в виде:

¥>1 = А(х1,т1,х2,т2уах<р + А{х1,т1,х2,т2)е~™хё. (Ю)

Здесь 1р = |у, Т, — собственное решение линеаризованной задачи, амплитуда А зависит только от «медленных» переменных

12

тт = ¿тг, хт = 6тх, (т = 0,1,2,...). В соответствии с процедурой слабонелинейного анализа уравнения для определения амплитуды получаются из условий разрешимости следующих приближений.

В п. 3.3 строятся амплитудные уравнения и находятся численные значения их коэффициентов. Показано, что амплитуда вторичного режима удовлетворяет уравнению Гинзбурга-Ландау

^ = с1щ+С2А + С3\А\2А, (11)

где коэффициенты С\, сг и с3 определяются численно.

Для рассматриваемых значений параметров получено, что С\ > 0, С2 > 0, Сз < 0. Это означает, что при переходе параметра /г через критическое значение механическое равновесие теряет устойчивость и появляются два устойчивых

стационарных вторичных режима, квадрат амплитуды которых равен А2 =--.

Сз

Потеря устойчивости в этом случае мягкая, эти выводы подтверждаются и прямым численным моделированием.

В п. 3.4 вторичные стационарные режимы построены с помощью метода конечных элементов как предельные решения нестационарной задачи при 4 —>■ оо. В качестве начальных значений выбираются функции, которые получаются из анализа амплитудных уравнений.

Для решения задачи используется пакет конечных элементов РгееРеш++.

Характерный вид линии тока и изотермы, а также линии уровня амплитуды пульсационного давления приведены на Рис. 6. Полученные в расчете линии тока и изотермы имеют вид, аналогичный собственным решениям линейной задачи. Таким образом, выводы аналитического исследования подтверждаются результатами прямого расчета нелинейной задачи.

При значениях параметра й, превышающих критическое значение, положение равновесия теряет устойчивость и устойчивым оказывается вторичный режим, найденный в п. 3.3.

Основные результаты работы

1. Построены осредненные уравнения движения для задачи о вибрационной конвекции в слое жидкости со свободной границей и при учете термокапиллярного эффекта. Получена система уравнений, описывающая эволюцию возмущений квазиравновесия задачи для случая недеформируемой в среднем свободной поверхности жидкости.

2. Построены первые три члена длинноволновой и коротковолновой асимптотик числа Марангони в случае невесомости. Численными и асимптотическими методами показано, что с увеличением вибрационного параметра

13

Рис. 6: Линии тока, изотермы, изолинии амплитуды вторичного режима. Ма = 95, Рг = 1,

Вг = 0.1, ¡1* = 172.4

нейтральные кривые теряют выпуклость и возможно появление не более трех локальных минимумов, при этом глобальный минимум достигается при наименьшем значении волнового числа.

3. Методом Вишика-Люстерника построены главный и следующий члены погранслойной асимптотики собственных значений и собственных функций спектральной задачи устойчивости равновесия для случая конвекции Рэлея-Марангони в слое при нагреве сверху.

4. Численно и асимптотически исследована стабилизирующая роль высокочастотных вибраций в слое при нагреве сверху. При фиксированном значении числа Рэлея получено, что с ростом вибрационного параметра области, ограниченные замкнутыми нейтральными кривыми колебательной неустойчивости, увеличиваются и смещаются в сторону больших значений числа Мараншни.

5. В задаче вибрационной конвекции Рэлея-Марангони при нагреве сверху показано, что при фиксированном значении динамического числа Бонда рост

14

вибрационного параметра приводит к тому, что нейтральные кривые сдвигаются в сторону больших волновых чисел и больших чисел Рэлея.

6. Методом многомасштабных разложений в окрестности критического значения вибрационного параметра построено уравнение для определения амплитуд вторичных режимов двумерной нелинейной задачи вибрационной термокапиллярной конвекции в слое жидкости. Показано, что при рассматриваемых значениях параметров потеря устойчивости мягкая.

Публикации автора по теме диссертации

1. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Возникновение конвекции в горизонтальном слое со свободной поверхностью // Известия ВУЗов, СевероКавказский регион. Естественные науки. "Актуальные проблемы математической гидродинамики". 2009. С. 87-91.

2. Зеньковская С.М., Новосядлый В.А., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в областях со свободной границей // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 3. С. 689-690.

3. Прозоров O.A. Положительность эволюционного оператора задачи Коши для параболических уравнений // Известия ВУЗов, СевероКавказский регион. Естественные науки. 2004. №. 3. С. 12-17.

4. Прозоров O.A. Асимптотический анализ устойчивости горизонтального слоя вязкой жидкости при нагреве сверху // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 157-167.

5. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое с недеформирующейся в среднем свободной поверхностью. Часть 1 //Деп. ВИНИТИ. 2009. № 825-В2009. 27 с.

6. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое с недеформирующейся в среднем свободной поверхностью. Часть 2. Колебательная неустойчивость при нагреве сверху // Деп. ВИНИТИ. 2012. № 443-В2012. 41 с.

7. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Возникновение конвекции в горизонтальном слое со свободной поверхностью при нагреве сверху //Деп. ВИНИТИ. 2012. № 442-В2012. 20 с.

8. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вторичные режимы термовибрационной конвекции в горизонтальном слое // Совр. проблемы механики сплошной среды. Тр. XVI межд. конф., г. Ростов-на-Дону. 2012. Т. 1. С. 114-118.

9. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Вибрационно-гравитационная конвекция в горизонтальном слое // Совр. проблемы механики сплошной среды Тр. XIII межд. конф. г. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 96-100.

10. Зеньковская С.М., Прозоров O.A. Асимптотический анализ конвекции в слое со свободной поверхностью // Совр. проблемы механики сплошной среды Тр. XIII межд. конф. г. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 2. С. 69-73.

11. Зеньковская С.М., Прозоров O.A., Шлейкель A.JI. Вибрационная конвекция в слое бинарной смеси с учетом эффекта Соре // Совр. проблемы механики сплошной среды. Тр. XIV межд. конф., г. Азов. 2010. Т. 1. С. 140-144.

12. Гончаренко A.A., Прозоров O.A. Возникновение вторичных режимов в задаче вибрационной конвекции Марангони // Совр. проблемы механики сплошной среды. Тр. XVI межд. конф., г. Ростов-на-Дону. 2012. Т. 2. С. 66-70.

13. Овчинникова С.Н., Прозоров O.A. Решения нелинейной задачи вибрационной конвекции // Совр. проблемы механики сплошной среды. Тр. XVII межд. конф., г. Ростов-на-Дону. 2014. Т. 2. С. 161-165.

14. Зеньковская С.М., Новосядпый В.А., Прозоров O.A. Параметрическое возбуждение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе // VI Международный Аэрокосмический Конгресс. Тезисы Докладов. 2009. С. 73.

15. Зеньковская С. М., Новосядлый В.А., Прозоров O.A., Шлейкель A.JI. Вибрационная конвекция Марангони в слоях со свободной границей и поверхностями раздела при невесомости и микрогравитации // VI Международный Аэрокосмический Конгресс. Тезисы Докладов. 2009. С. 73.

16. Прозоров O.A. О возникновении вибрационной конвекции в слое со свободной недеформирующейся поверхностью // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения. Тезисы докладов 4-й Всероссийской конференции, Бийск. 2011. С. 82.

Подписано в печать 29.04.2015 г. Заказ № 4413. Тираж 100 экз. Формат 60х84 '/¡6. Печ. лист 1,0. Уч.издл. 1,0.

Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.