Исследование возникновения конвекции многокомпонентной жидкости в электрическом поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования

ур^овский государственный университет __

~ / «¿до

На правах рукописи

Р Г Б ОД

е- -- - -

ЦЫВЕНКОВА Ольга Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОНВЕКЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

01.02.05 — меланина жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1399

Работа выполнена б Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент ЖУКОВ М. Ю.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПОЛЕЖАЕВ В. И., кандидат физико-математических наук, доцент НАДОЛИН К. А.

Ведущая организация: Институт механики МГУ, г. Москва.

Защита состоится 11 января 2000 г., в 16.50, на заседании диссертационного совета К 063.52.19 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге,.5, мехмат, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 8 декабря 1999 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.19 кандидат фпзнхо-матсма тичееких наук, доцент

жуков м. ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы обусловлена многочисленными приложениями задач концентрационной конвекции в биологии, медицине и других областях науки. Такие задачи представляют значительный интерес непосредственно для понимания явлений тепломассонереноса при наличии электрического поля, более конкретно, для процессов электрофореза. Математическое исследование таких задач позволяет на практике существенно улучшить качество разделения биополимеров при электрофорезе, эффективно бороться с процессами конвективного перемешивания, создать методики для проведения экспериментов в различных условиях.

Цель работы: анализ различных математических моделей концентрационной конвекции для процессов тепломассопереноса в химически активных средах при наличии электрического поля, определение критических параметров возникновения конвекции, исследование вторичных режимов, исследование тепловой конвекции между двумя вращающимися цилиндрами в физически нелинейных средах.

Научная новизна. Исследован ряд не изученных ранее математических моделей концентрационной конвекции в многокомпонентных и бесконеч-нокомпонентных смесях при наличии электрического поля.

Рассмотрены аналоги неизотермического течения Куэтта для физически нелинейных сред с различными уравнениями состояния и зависимостями кинетических коэффициентов от параметров.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов, использованием в численных экспериментах надежных алгоритмов и отлаженных программ, совпадением ряда результатов с известными, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при моделировании конвекции в многокомпонентных средах при наличии электрического поля в задачах биологии, медицины при разделении биополимеров и других многокомпонентных смесей. Результаты численного анализа позволяют определить тип возникновения неустойчивости и критические параметры возникновения конвекции. Полученные результаты, постановки задач, а также подходы к их решению могут быть использованы при изучении сходных задач гидродинамики.

Личный вклад автора. Автор диссертации принимал непосредственное участие в постановке задачи, выборе методов решения. Автору принадлежит

реализация методов решения.

Апробация работы. Основное содержание диссертации докладывалось и обсуждалось на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ и на конференциях: IV Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, 1987, [1], 7-й Международный симпозиум по капиллярному электрофорезу и изотахофорезу, Чехословакия, 1990, [6], "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Москва 1989, 1992 [4], [5], [7].

Публикации. Результаты работы опубликованы в 11 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа занимает 116 листов машинописного текста и содержит 20 рисунков, 10 таблиц, список литературы включает 41 наименование.

Во введении дано подробное описание общей математической модели, изложено общее содержание и сформулированы основные результаты, представленные к защите.

В первой главе рассмотрена задача о возникновении гравитационной концентрационной конвекции в случае одной примеси при наличии электрического поля. Математическая постановка задачи приводится в п.1. Для описания поведения рассматриваемой смеси использована система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска

Здесь V — скорость, П — конвективное давление, а, г, 'у(г) — молярная концентрация, молярная плотность потока и электрофоретическая подвижность примеси, у — плотность электрического тока, <р — электрический потенциал, <7 (г) — проводимость буферного раствора, к — орт вертикальной оси г, направленной против действия силы тяжести, Р — диффузионное число Прандтля, О — аналог числа Грасгофа, характеризующего количество вещества в зоне, II > 0 — параметр, пропорциональный разности электри-

Содержание работы

dt

av -*

-— = -VU. + &v-Gaki div гГ = 0

О)

(2)

(3)

(4)

ческого потенциала на стенках.

Краевые условия, отвечающие твердым стенкам, непроницаемым для разделяемого вещества, с заданными на них постоянной разностью потенциалов имеют вид

г/ = v\ — 0, ip

lz=0 1г=1

-О, Ч>

2=0

= 1

2=1

2=0

(Г-fe) =(i-k) =0. (5)

z-l

Полное количество примеси в области £> задается условием / айх — 1,

Б

Параметры Р, С?, V, Па (аналог числа Рэлея) связаны с размерными параметрами соотношениями

и = ^ Ка^С-Р, (6)

хЛ

где Ь„ — расстояние между плоскостями, р* — плотность жидкости, д, — коэффициент кинематической вязкости, О*, о», 7», /?« — коэффициент диффузии, полная концентрация, характерная электрофоретическая подвижность и коэффициент концентрационного сжатия примеси, V» — разность потенциалов на стенках, д* — ускорение силы тяжести.

Задача (1)-(5) допускает решение, отвечающее механическому равновесию, которое приведено в п.2

Щ

Z

— О, По(г) = —G J clq(s) ds + const,

/и/^сгЛ

ao(z) = -p- где F(z) =--Щ-. (7)

о

Условие фокусирования зоны в плоскости z = z0 при U > 0 имеет вид F{z„) = 0, < 0.

В п.З для исследования устойчивости механического равновесия относительно бесконечно малых возмущений задача (1)-(5) линеаризуется в окрестности решения (7). Линеаризованная задача для определения бесконечно

малых возмущений скорости и, концентрации с и давления р имеет вид

^ = -Vp + А и- Gck, div й = О at

+ + div {~Vc+ UF(z)ck} = 0 (8)

5 = 0, {-Vc + t/f^cAJÂ^O, !«. = 0;1 (9)

В п.4 разыскивается решение задачи (8)-(9) в виде нормальных возмущений периодических вдоль слоя

= {(u,v,w),9G-leUHW,q}eMeiklXi+ik*x*, для определения которых имеем спектральную задачу X(D2 - k2)w = (Я2 - k2fw + А;2беУЯ

UH'{z)Rw 4- AP0 = (Z)2 - к2)в + UH'(z)D9 (10)

t»(0) = u/(l) = Dw(0) = Dw{ 1) = D0(0) = D9( 1) - 0, (11)

где

î г

D = + До/ J eUH^ ds, H(z) = J F (s) ds. (12)

0 z0

Результаты численного исследования монотонной потери устойчивости даны в п.5. Здесь приводятся значения критических параметров числа Рэлея R, и волнового числа к2 в зависимости от разности потенциалов U и величины zQ, характеризующей положение сфокусированной примеси в элек-трофоретической камере, т.е. R* = R*{U,zq), к2 — k2(U, Zo). В частности, по результатам расчетов можно сделать вывод, что для предотвращения конвективного перемешивания смеси предпочтительнее фокусировать примесь в нижней части электрофоретической камеры.___

Во второй главе задача (1)-(5) исследуется методом Ляпунова-Шмидта. В п.п.1,2 дана постановка задачи, приведена система уравнений и краевые условия для различных случаев границ слоя. В п.З приведено решение, отвечающее механическому равновесию, В п.4 выписана задача для конечных

возмущении дь

— Л-ь- Уу = -Ур + ДгГ -/гс, сПу г; — О (13)

С? *

~ + • Уа0 + V • Ус} + {-Ус + исЧН} = О и| =0, (—Ус 4- исУН) • =0, (14)

У(гТ-п)сг5 = О,У (-Уй+С/сУЯ) • тИй = 0,^с(£с = О

•5*0 ¿о По

В п.5 приведена операторная форма задачи для стационарных конечных возмущений

ВХ^\СХ + К(Х,Х), (15)

где А — параметр, характеризующий отклонение нормированного числа Рэлея Я (см. (12)) от его критического значения : II = +

Линейные операторы В, С и билинейный оператор К определены следующим образом

I

йы V \ / о

БХ^ | -Чр + М-кс 0

ксПу {Ус-*/сУЯ} -ВцЯ-Че™/ (16)

2 К(ХЮ,Х®) = { ЦЮ • УгЯ + № • УтЯ | (17)

РцЫ . ус(2) + ру(2) . ус(х)

X = (р, V, с), X® = (рМ, X<2> - (р®, гЯ, с<2>)

(18)

Решение задачи (15)-(18) при Л 0, £ 0 разыскивается в виде ряда Ляпунова-Шмидта

х = £ №+£ е* (19)

п=1 к-0 п=1

где зависимость £ = £(А) определяется уравнением разветвления

В пп.6-14 подробно изложен метод Ляпунова-Шмидта применительно к конкретной задаче. В частности, в п.7 показано, что решение задачи и коэффициенты уравнения разветвления зависят от числа Прандтля.Р полиномиальным образом 1<зо(Р) = Ь^Р2 + 1$Р + В п.8 исходная задача сводится к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. 11 обсуждается возможность обращения в ноль коэффициента уравнения разветвления £30 при некоторых значениях Р = Р», что приводит к необходимости построения последующих членов разложения ряда Ляпунова-Шмидта, что в дальнейшем подтверждается численными расчетами.

В п. 15 проводится исследование уравнения разветвления в окрестности Р = Р,(г0, Юу где ¿зо(Р») = О, ф 0. Построены дискриминантные

кривые, разделяющие плоскость (/г, А) на области с различным количеством малых решений уравнения разветвления — £4 — ¿¿£2 + Л = 0, где ц = Р — Р*. При изменении параметров /л, А возможно существование как двух, так и четырех малых решений £ = Л). Для исходной задачи это означает, что при потере устойчивости механического равновесия возможно возникновение двух или четырех вторичных стационарных конвективных режимов.

В п. 16 построено нестационарное амплитудное уравнение

где М - линейный оператор ¿гад{0,1, Р} и проведено его исследование. В п.17 описаны особенности сведения исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. 18 выписана спектральная задача для конкретного вида Н(г) и приведены некоторые свойства собственных значений спектральной задачи. В п. 19 описаны особенности интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при нахождении собственных векторов. В п.20 приведена схема решения системы дифференциальных уравнений для определения коэффициента Ь50. В п.21 даны асимптотические формулы собственных значений спектральной задачи при и оо.

П.22 посвящен описанию результатов расчетов, которые представлены в виде таблиц. Для случая непроницаемых твердых и свободных границ рассчитаны критические значения А, = Я,(и, 20), — &*(£/, го) и асимптотические значения На$т при 20 = 0- Из расчетов следует, что удовлетворительное совпадение численных и асимптотических результатов для случая твердых границ начинается со значений параметра II на 5000, а для случая

свободных границ U а* 2000. С ростом U такое совпадение улучшается.

Для различных краевых условий рассчитаны значения Р, = Pt(U,z0), при которых L30(Р) = 0.

Наконец, приведены результаты расчета, подтверждающие выводы п. 15, 16 о возможности появления четырех вторичных режимов конвекции, ответвляющихся от механического равновесия. Даны значения Rt, Р, (L3o(P„) — 0) в зависимости от параметра U для z0 = 0 и соответствующие значения коэффициентов уравнения разветвления Ьц, £50, М{Ф, Ф). Знаки этих коэффициентов позволяют проанализировать диаграмму ветвления решения, как указано в п. 15, 16, а также указать устойчивые и неустойчивые ветви решения.

В третьей главе исследуется модель концентрационной гравитационной конвекции в бесконечнокомпонентной смеси при наличии электрического поля, когда кинетические параметры среды задаются некоторыми функциями распределения от параметра сорта s G Г, где Г - пространство параметров сорта. В приближении Обербека-Буссинеска такая модель имеет вид

G(s)a(s, х, t) ds, div v = 0 (20)

г

+ div ï{s, s,t) = 0, -1/2 ^ z < 1/2

i(s,x,t) = —Va(s,x,t) + Ua{s,x,t)VH{s,x), seT

w = 0, (Í-A) = 0, « = T 1/2 (21)

1/2

J a(s, z,t) dz = M(s), (22)

-1/2

Здесь v(x,t) — скорость смеси, p(x, t) — давление, a(s, x, t), i(s,x,t), M(s) — распределение по параметру сорта s концентрации компонент смеси, плотности потока концентрации, среднего количества вещества, H(s, х) — распределение потенциала внешних сил, возникающих в результате наличия электрического поля.

Безразмерные распределения по параметру сорта диффузионных аналогов чисел Грасгофа G(s), Прандтля P{s) и параметр ¿7, характеризующий величину разности потенциалов электрического поля, связаны с размерны-

ми соотношениями

тт_ту/ \ ... ß* Г/ ч _ ß*ß(a)g

Dt ' nS)~DJ(s)' ß

где Dt, 7», L„, a„, gt, ßt, Ut аналогичны (6), ß*ß{s), Dtö(s) — распределение коэффициентов концентрационного сжатия и диффузии по параметру сорта.

Распределение потенциала H(s, х) выбираем в ввде

H(s,x) = H(s, z) = —^^ [z — zo(s)]2 , b(s) > 0, ^>0,

^ as (23)

где функция z0(s) характеризует местоположение точек в слое, в которых вещество сорта s неподвижно, b(s) — функция распределения интенсивности внешнего поля в окрестности изоэлектрической точки.

Решение (20)-{23), отвечающее механическому равновесию, имеет вид

v = 0, ao(s,x) = a0{s, z) = .A(s)exp(i/#(s,;z)) (24)

A(s) = M{s)

1/2

J em(s,v))dy -1/2

Функция характеризует распределение максимумов равновесной концентрации о0(я,л).

В п.2 получаем линеаризованную задачу для периодических вдоль слоя возмущений

ХР{з)в{а>я)еии^ + Р{8)0{а)А(3)и{г)Оеин^г'> = = г)) - к2в(з, г)еия^ (25)

1/2

_\{В2 - к2)и1{г) = {В2 - к2)2и>(г) + к2 I 6(2, 8)еин^ (к-(26)

-1/2

= к2 = к\ + кЪ Рш(±1/2) = 0, Ов{± 1/2) = 0 (27)

где и), д, в — амплитуды возмущений механического равновесия, А — декремент затухания, к\, к2 — волновые числа. Ввиду монотонности 20(в)в качестве параметра сорта г удобно выбрать го, положив = в, т.е. отождествив сорт вещества с его положением в электрофоретической камере. При

больших значениях параметра U (U —» оо) такой выбор позволяет легко построить асимптотику линейной задачи (25)-(27). В этом случае функции распределения от параметра сорта фактически являются функциями координаты z, т.е. определяют некоторую смесь с неоднородными распределениями кинетических параметров. Описанная асимптотическая задача имеет

ВИД U оо

- = ф» - ^ + <28> 1'' P(z)X + k2 M(z)

ñF(z) = P(z)G(z)M(*), F(s) = P{Z)™J¡Z\ R = g.a.p.LV^D,),

где i? — концентрационный аналог числа Рэлея, F(¿) — функция, характеризующая распределение параметров смеси, фактически задающая ее неоднородность.

В п.З приведена спектральная задача возникновения монотонной неустойчивости А = О

(D2 - к2)2ю + RF{z)Dw(z) = 0 (29)

ш(± 1/2) = 0, Dw(± 1/2) = 0 (30)

Обратим внимание на тот факт, что в отличие от обычной задачи конвекции здесь присутствует член вида RF(z)Dw вместо Rw. Интересно отметить, что описанный подход к решению исходной спектральной задачи (25)-(27) позволяет изучать и квазидискретное распределение примесей, моделируемое дельта-образной функцией F(z)

и

= ef(z) J2 cke-Uh{z-^2. (31)

ь=i

Именно для такого случая при п = 2 проводились численные исследования асимптотической спектральной задачи (29)-(30).

Здесь с у — максимальная величина концентрации разделяемых веществ, Ubk — параметры, характеризующие качество разделения, Zk — координаты центров зон фокусирования, ef[z) — функция, описывающая плотность смеси для созданного рЯ-градиента, е — параметр, характеризующий слабость рЛ"-градиента.

По данным расчетов строились диаграммы, позволяющие ответить на вопрос об оптимальном расположении зон с точки зрения предотвращения конвективной неустойчивости.

Анализ таблицы и диаграмм позволяет сделать вывод о том, что доя выбранных параметров фокусирование обеих зон в нижней части слоя (zk < 0) не приводит к возникновению монотонной неустойчивости. В случае, когда одна из зон находится в нижней части слоя < 0), а другая — в верхней его части > 0) существует оптимальное расположение зон, наиболее благоприятное с точки зрения предотвращения конвекции.

В четвертой главе исследуется устойчивость конвективного движения физически нелинейной жидкости между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами в случае отсутствия внешних сил. Такая задача, в частности, возникает при проведении электрофореза в свободном потоке между концентрическими цилиндрами.

В п.1 этой главы дана общая система уравнений, описывающая поведение вязкой ньютоновской жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами в случае, когда плотность жидкости, коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и коэффициенты вязкости зависят лишь от температуры. При этом не предполагается малость коэффициента температурного расширения жидкости, что отличает рассматриваемую модель от классической модели Обербека-Буссинеска.

adT А- -So^~dt = V dv

р— = -vn + й) {пДг7+ 2(VtjV)tT + Vt? X rot v - V?j(div и)} (32) at

pep^ + m0= <50 div (xVT) + p0mQN(v, v)

1 д ^ п={р~(з+<)div'£o/? = ~~PW = т°ТрдТ2- (33)

N(v, v) = 2qe : £ + (V ~ (div v)2

Здесь p(T) — плотность жидкости, v — (гу,г)у,и2) — скорость, П — полное давление, р — термодинамическое давление, Т — температура, е — тензор скоростей деформаций (е : £ — свертка тензоров е), 0(Т) — коэффициент температурного расширения, т](Т), (('Г) — коэффициент динамической и объемной вязкости, х — коэффициент теплопроводности, Cpo(t) — удельная теплоемкость при фиксированной давлении, eq, Ца, 5q, too —

безразмерные параметры, характеризующие коэффициент температурного расширения, кинематическую вязкость, температуропроводность и работу сил давления. Параметры выбраны таким образом, что ,5(1) = 1, г}{ 1) = 1, р(1) = 1, х(1) = 1, Сро(1) = 1. Вязкую диссипацию характеризует величина

На поверхностях цилиндров заданы краевые условия

— 0, = 1, = О, Т= 1 при г = 1, гу = О, У9 = Ш, и2=0, Т = ©о при г = Я. (34)

о = п'2/п[, я = Ъ/К, ©о - ВД,

где Я[, Т{ и В!г, Т^ — соответственно радиусы, угловые скорости и температуры внутреннего и внешнего цилиндров.

Расход жидкости через поперечное сечение цилиндров положен равным нулю

2тг Я

11 р{Т)и,г<1г<1<р = 0. (35)

о 1

В п.2 обсуждается задание определяющих соотношений для замыкания построенной модели. Отметим, что зависимость удельной теплоемкости ср от давления и температуры нельзя задавать произвольно — эта зависимость определяется видом уравнения состояния и термодинамикой жидкости (33). Произвольно можно выбирать лишь зависимость Ср от температуры при постоянном давлении Сро{Т).

Дня дальнейшего исследования выделяются четыре типа жидкостей, для которых коэффициент теплопроводности х и коэффициент удельной теплоемкости ср) постоянны к = 1, с^о = 1, а уравнения состояния и зависимость вязкости от температуры различны.

1) Жидкость с удельным объемом 1 [р, линейно зависящим от температуры Т, р — (1 + £о(Т — I))-1 и постоянным коэффициентом динамической

ВЯЗКОСТИ 77=1.

2) Жидкость с плотностью р, линейно зависящей от температуры Т, р ~ 1 — го (Г — 1) и постоянным коэффициентом динамической вязкости щ — 1.

3) Жидкость с удельным объемом 1/р, линейно зависящим от температуры Т, р — (1 + £о(Т — I))-1 и постоянным коэффициентом кинематической вязкости V = Т]/р — 1.

4) Жидкость с плотностью р, линейно зависящей от температуры Т, р = 1 - £о(Т — 1) и постоянным коэффициентом кинематической вязкости ь> = т}/р = 1.

Рассмотрение различных типов жидкостей приводит к различным моделям конвекции, сравнение результатов исследований которых позволяет ответить на вопрос об устойчивости неизотермического течения Куэтта в случае различных уравнений состояния и при различных зависимостях коэффициента вязкости от температуры.

В п.З строится упрощенная модель основных уравнений в предположении, что работа сил давления и вязкая диссипация пренебрежимо малы. Полученная система уравнений с краевыми условиями допускает стационарное решение

V = щ = (0, ^(г), 0), П = П0(г), Т = Го (г) (36)

г

г*(г) - гПо(г), По(0 = 1 + (П - 1)Щ, Я(г) - |

¿5

1

г

2/

Щг) = у тШШь + Т0(г) = 1 + (во - 1)^

1

Для жидкостей 1 и 2 основное стационарное течение совпадает с известным неизотермическим течением Куэтта в модели Обербека-Буссинеска.

Далее используются числа Грасгофа (?, Прандтля Р, Рейнольдса А и градиент температуры с, связанные с введенными ранее параметрами соотношениями

80 -1 до 1

С = е0с, с= , Р = -г, А = — ш К до Цо

В п.4 на основное стационарное течение (36) накладываются бесконечно малые возмущения

- -и0, П - По, Г - То} = с01 ё"1 (37)

Подставляя (37) в (32)-(35) и проводя линеаризацию при гп0 = 0, х —

1, Сро = 1, получим спектральную задачу в цилиндрических координатах (г,<р,г) для определения критического значения числа Рейнольдса А и со-

ответствующего ему значения циклической частоты и> GXpoPor^ld + Аро 4- - 2Q0uv

dq л.1 д /г.„ \ л. l9(Trv I да" CTw

~ ~я~ + ~1Г\гсггг) + —о ---— (38)

or тот г dip dz г

Vo

_ldq + \ + i^W +

г дер г2дт vr г д(р dz

{/. „ 3, 1 да 13. N 1 daz„

да.

ZZ

Аро , , я_ • _a„VZTj ' „ > Qz

Ur = uv = uz = 0 = 0 (г = 1, г = R) (39)

диг

огт — 2%-—= i?o

ди, Tz Idu

Vo

о

Zip

Vo

(

9r

9r <9 и,.

д u9 1 dr г

+ ■

= 2770

+ ■

Po

<9r г dip p(T()),fja = p(TQ))Vo--=ri(To),c-

r dtp

lduy

r dip duz

2T7o

+ dj^)c9rdn0

dT

dr

(40)

+

dz

ду(П) dT

-poGflo

dv

Tp

T~To(r)

При этом Щ — 0 для жидкостей 1,2 и щ = 1 для жидкостей 3,4.

Основное отличие линеаризованной задачи устойчивости от соответствующей задачи для модели Обербека- Буссинеска заключается в изменении вида уравнения неразрывности. В приведенных уравнениях уравнение неразрывности имеет вид сИу и — роСА9/\роР, т.е. содержит член, сравнимый по порядку с архимедовой силой, возникающей в результате вращения цилиндров АСрцгО^О. В частности, это означает, что для математически корректного вывода уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (Ну и — 0 необходимо полагать (? —> 0 (ео -> 0). Однако при этом в уравнениях пропадает и член, связанный с архимедовой силой,это фактически означает невозможность корректного вывода модели Обербека-Буссинеска для неизотермического течения Куэтга в случае произвольного зазора.

В п.5 строится спектральная задача, возникающая после разделения переменных, и описываются результаты ее численного исследования.

Вычисления проводились для случаев, когда Р ~ 7.1, Я. — 2 (радиус внешнего цилиндра в 2 раза больше радиуса внутреннего), С1 — 0 (внешний цилиндр покоится) и й = —0.5 (цилиндры вращаются в разные стороны).

Представлены результаты расчета нейтральных кривых, соответствующие потери устойчивости неизогермического течения Куэтта относительно монотонных вращательно-симметричных возмущений и относительно колебательных возмущений, не обладающих вращательной симметрией.

Вычисления показали, что для вращательно—симметричных возмущений поведение нейтральных кривых А*(С) качественно одинаково для всех рассмотренных моделей и совпадает с поведением нейтральной кривой А» (С) для модели Обербека-Буссинеска. Напротив, в случае трехмерных возмущений поведение нейтральных кривых А* (С) существенным образом зависит от того, для какой модели они были рассчитаны. В частности, модель 1 дает стабилизирующее воздействие положительных градиентов температуры С? > 0 и дестабилизирующее воздействие отрицательных градиентов (3 < 0. Модель 2 дает тот же эффект, что и модель 1 при малых С, и дестабилизирующее воздействие больших градиентов температуры независимо от направления градиента. Модель Обербека-Буссинеска и модели 3, 4 дают дестабилизирующее воздействие отрицательных градиентов температуры. Вычисления, проведенные с целью установить причину столь разнообразного характера поведения критических значений чисел Рейнольдса, позволяют предположить, что поведение нейтральных кривых А* (й) для трехмерных возмущений определяется главным образом видом зависимости вязкости от температуры.

Для случая, когда внешний цилиндр покоится (Г! = 0) при не слишком больших по абсолютной величине значениях числа Грасгофа, монотонные вращательно-симметричные возмущения опаснее колебательных, поэтому модель Обербека-Буссинеска так же, как и более полные модели, правильно описывает первую потерю устойчивости неизотермического течения Ку-этга. Однако когда цилиндры вращаются в разные стороны, трехмерные возмущения при малых значениях числа Грасгофа опаснее вращательно-симметричных и модель Обербека-Буссинеска может неправильно описывать первую потерю устойчивости.

Результаты, представленные к защите Основные научные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

1. Для задачи концентрационной конвекции в случае жидкости с одной

примесью получены критические значения монотонной потери устойчивости.

2. Для задачи концентрационной конвекции в жидкости с одной примесью исследованы вторичные режимы стационарной потери устойчивости механического равновесия, получены нестационарные амплитудные уравнения, подробно исследована зависимость коэффициентов уравнения разветвления от числа Прандтля. Показано, что при некоторых критических значениях числа Прандтля может возникать как два, так и четыре вторичных стационарных режима.

3. Для больших значений параметра, характеризующего интенсивность электрического поля получена и исследована асимптотическая модель конвекции бесконечнокомпонентной смеси. Исследованы численными методами критические числа монотонной потери устойчивости механического равновесия.

4. Для неизотермического течения Куэгга между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами детально исследована задача в случае различных уравнений состояния и различных зависимостей кинетических коэффициентов от параметров задачи. Дан сравнительный численный анализ нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости для различных моделей жидкостей.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

[1] Жуков М.Ю., Сазонов Л.И., Цывенкова O.A. Влияние гравитации на форму зон при электрофорезе // Тезисы докладов IV Всесоюзного се-

• минара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. С. 107-108.

[2] Жуков М. 10., Колесов В. В., Цывенкова О. А. Численный анализ устойчивости неизотермического течения Куэгга И Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. Вып.5. С. 70-76.

[3] Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Численное исследование влияния зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусиро-вании // Космическая наука и техника. Киев: Наукова Думка. 1989. Вып.4. С. 30-35.

[4] Жуков М. Ю., Колесов В. В., Цывенкова О. А. О применимости приближения Обербека-Буссинеска при исследовании неизотермического течения Куэтта II Материалы VI школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1989. С. 26.

[5J Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Влияние локальной неоднородности концентрации на конвекцию в слое // Материалы VI школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ,

1989. С. 26.

[6] Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Simulation of isotachophoresis with computer graphics // Abstr. 7th Inter. Symp. capillary electrophoresis and izotachophoresis. Tatranska Lomnice, Czechoslovakia,

1990. P. 7.

[7] Жуков M. Ю., Цывенкова О. А. Асимптотика при больших разностях потенциала для нейтральных кривых монотонной потери устойчивости в электрофореггаческой камере при изоэлектрофокусировании // Материалы VII школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1992. С. 21.

[8] Барковский Ю.С., Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Свойства спектра задачи гидродинамической устойчивости при конвекции в бесконеч-нокомпонентной смеси // Рук. деп.в ВИНИТИ 1994. № 594-В94. 24 с.

[9] Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Ветвление решений, расчет и асимптотика нейтральных кривых монотонной потери устойчивости в задаче о концентрационной конвекции в электрическом поле // Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1994. Вып. 5. С. 150-157.

[10] Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Численное исследование вторичных ре-жимов концентрационной конвекции в задаче об элекгрофорезе при

высоких напряжениях // Рук. деп.в ВИНИТИ 1994. № 333-В94. 78 с.

[11] Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Расчет нейтральных кривых монотонной потери устойчивости для задачи конвекции в бесконечнокомпо-нентной смеси // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. Вып. 5. С. 11-20.

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА

ВВЕДЕНИЕ

В задаче о свободной конвекции жидкости до сих пор преобладали исследования чистой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска. Вместе с тем представляет интерес задача о свободной конвекции жидкости с примесями. Такая задача возникает, например, при моделировании процесса электрофореза, используемого для изучения и разделения биополимеров.

Задачи термоконцентрационной конвекции рассматривал Дж. Тернер [37]. Явления, наблюдаемые при наличии градиента концентрации и температуры, получили название "двойной диффузии". Наблюдение таких явлений в лабораторных и природных условиях позволило открыть эффекты "солевых пальцев", "солевой фонтан" и колебательную диффузию. Параллельно этими задачам занимались также Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. [11, 12]. Однако, в этих работах [37], [11, 12] рассматривались задачи, в которых на примесь никаких полей, кроме поля тяжести, не действует.

Применительно к задачам тепломассопереноса исследованию конвекции, в том числе и в условиях невесомости посвящены работы [6], [31], [32], [33].

В диссертации рассматриваются задачи концентрационной конвекции с вынужденным переносом примеси электрическим полем.

Хотя основное внимание уделялось математическим моделям свободной конвекции при электрофорезе, одна из глав диссертации посвящена вынужденной конвекции, возникающей при исследовании устойчивости между вращающимися цилиндрами. Дело в том, что в последнее время появились установки для проведения электрофореза, в которых электрофоретические камеры представляют собой зазор между двумя цилиндрами (например, хорошо известная установка ВЮ8ТКЕАМ). Для такой модели строится модель Обербека-Буссинеска, удается найти основное стационарное решение и исследуется его устойчивость в физически нелинейных средах, когда вязкость зависит от температуры. Выяснилось, что в этом случае традиционная модель Обербека-Буссинеска для неизотермического течения Куэтта плохо применима.

Основные уравнения. Электрофорез занимает одно из ведущих мест среди точных физико-химических методов современной молекулярной биоло-гии.Теория электрофореза основывается на уравнениях гидроэлектротермо-динамики многокомпонентных химически активных смесей [2].

Одна из наиболее общих математических моделей, описывающих поведение многокомпонентной химически активной жидкости в электрическом поле, в приближении Обербека-Буссинеска имеет вид: сИУ у с1у -Ур + рМ + к(ав сПУ ък = ак сИУ д = £Еи]-Ё-двя, -5У6 = -еДьУС* + кеи£кЁ - еВкер(Зк£кк

Ну з = О,

Е = -Уср

0.1) (0.2)

0.4) (0.5)

0.7) (0.8)

2 ¿к£,к = о к=

Здесь V — скорость смеси в целом, р — давление, 9 — температура, — концентрация к-ой компоненты смеси, гк — плотность потока концентрации к-ой компоненты, д — плотность потока тепла, у — плотность электрического тока, Е — напряженность электрического поля, <р — потенциал электрического поля, д — кинематическая вязкость, а — коэффициент теплопроводности, гБк — коэффициент диффузии, (5к — коэффициент концентрационного сжатия, ак — плотность источников химических реакций, 5 — коэффициент температуропроводности, *ук — электроподвижность к-ой компоненты смеси, гк — заряд в единицах электрона, II — параметр, характеризующий интенсивность электрического поля, ее^ — параметр, характеризующий джоулево тепловыделение, £Бк£р(Зк — коэффициент бародиффузии, (¡)вн - внешние источники тепла.

Уравнение (0.1) представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, имеется в виду изотермически и изохорически несжимаемая жидкость, т.е. удельный объем жидкости (или ее плотность) зависит лишь от температуры и концентрации и не зависит от давления. Уравнение (0.2) является уравнением баланса импульса (уравнение Навье-Стокса), последний член которого представляет собой архимедову силу. Положительным значениям коэффициентов а и (Зь отвечает сила всплывания легкой частицы в гравитационном поле. Уравнение (0.3) — уравнение баланса массы А;-ой компоненты, называемое иногда уравнением диффузии с переносом.

Уравнение (0.4) — закон сохранения энергии. Формальное сходство уравнений (0.3) и (0.4) позволяет считать температуру одной из концентраций примеси. Это сходство можно было бы использовать лишь в случае, когда потоки массы и тепла совпадают между собой. Однако температура существенно отличается от концентрации тем, что поток массы при наличии электрического поля содержит дополнительные члены, отвечающие за перенос массы в электрическом поле. Казалось бы, можно считать температуру одной из концентраций нейтральных компонент примеси. Такая аналогия тоже не очень хороша, т.к. источники сг& и джоулево тепловыделение имеют разную природу. Далее будет существенно использовано условие локального химического равновесия, при котором источники массы обращаются в ноль в результате мгновенных химических реакций. Джоулево тепловыделение при этом не исчезает и может быть скомпенсировано лишь при помощи специальных внешних устройств.

Соотношение (0.5) — определяющее соотношение для плотности потока массы к-ой компоненты, в котором слагаемое гГ^У^ соответствует вкладу диффузионных эффектов, второе слагаемое г^еХ]^Е отвечает за перенос заряженных компонент под действием электрического поля, последнее слагаемое £Вк£рРк^,кк учитывает эффекты бародиффузии. Здесь следует отметить связь эффекта бародиффузии с коэффициентами концентрационного сжатия.

Соотношение (0.6) — определяющее соотношение для плотности электрического тока. Отметим, что записывая выражение для плотности потоков мае—* сы ik и плотности потока тепла q, мы пренебрегаем эффектами термодиффузии (членами, пропорциональными V6> в потоках массы) и эффектами возникновения потока тепла за счет переноса массы (членами, пропорциональными градиентам концентрации, в потоке тепла q).

Уравнения (0.7), (0.8), по существу, являются уравнениями Максвелла, записанными в предположении малости диэлектрической проницаемости и при отсутствии магнитного поля. В частности, это дает возможность считать электрическое поле потенциальным (rot Е — 0) и смесь электронейтральной. По этой же причине в уравнении div j = 0 отсутствует производная от свободного зарядам по времени.

В дальнейшем не предполагается рассматривать эффекты, связанные с наличием свободного заряда в жидкости. Это позволяет пренебрегать в уравнении движения (0.2) пондеромоторными силами типа ёёоЕ • VE. Заметим, что детально проблема включения пондеромоторных сил в уравнение движения рассмотрена в [8, 30].Для используемых в данной работе параметров (диэлектрическая проницаемость воды ё « 80, вакуума ёо « 6 • 10~12) и рассматриваемых градиентов электрического поля (VE « 106) пондеромоторные силы действительно малы, например, по сравнению с архимедовой силой. По этой же причине, т.е. в связи с малостью ёё0, уравнение Максвелла ёёоЁ<Иу Ё = Q переходит в уравнение электронейтральности Q — 0 (0.8), ёёоЩ — rot Ё -превращается в условие потенциальности rot Е — 0, а уравнение неразрывности электрического тока ^ + div j = 0 переходит в div j = 0 (см. (0.7)).

Заметим, что при таких предположениях нет возможности исследовать краевые эффекты типа поляризационных слоев и двойных слоев вблизи границы. В частности это означает, что данная модель не описывает эффекты электроосмоса — движения электронейтральной жидкости как целого под действием электрического поля. Такие эффекты играют существенную роль, например, в капиллярах.

Получаемая система уравнений все еще достаточно сложна для исследования. Наиболее фундаментальный подход к ее упрощению связан с разделением описываемых ею процессов по характерным скоростям их протекания. В самом деле, характерное время диффузии значительно превышает характерное время, связанное с процессами переноса под действием электрического поля, которое, в свою очередь, намного больше характерного времени протекания химических реакций в растворах. Характерное время протекания химических реакций для водных растворов неорганических веществ и белков имеет порядок ~ 1СГ12 сек. Это позволяет принять гипотезу локального химического равновесия, т.е. считать химические реакции мгновенными и положить в уравнении переноса вещества (0.3) = 0. Фактически это приведет к уменьшению количества рассматриваемых компонент смеси, так как в результате завершения химических реакций образуются квазикомпоненты смеси (например, нейтральная молекула + ее ион). Для нахождения концентраций таких квазикомпонент следует определить интегралы уравнений химической кинетики и воспользоваться условиями равновесия химических реакций. Подробно такой процесс разбиения смеси на квазикомпоненты описан в [2]. Далее в исходных уравнениях следует заменить на концентрации квазикомпонент с/с и учесть, что кинетические коэффициенты, такие как зарядность г-к и подвижность 7/г зависят от концентраций с*, так что = с2,., сг), 1к = 7к{с\,с2, ■ ■ ■, Сг), к = 1,., г, где г — количество квазикомпонент, г < п.

В дальнейшем будут рассмотрены такие смеси, для которых электрические подвижности компонент в зависимости от свойств среды обращаются в ноль при некоторых значениях концентрации. Именно это не позволяет пренебречь эффектами диффузионных процессов. Вкладом бародиффузии, т.е. членами еИкбр/Зк^кк в диффузионные процессы будем однако пренебрегать (см.(0.5)), хотя в некоторых методах, например, при центрифугировании, процессы бародиффузии играют существенную роль.

Джоулево тепловыделение считается также пренебрежимо малым (более точно ее^З • Е — (Звн ~ 0), а температура смеси постоянной, т.к. объектом исследования являются процессы, связанные с концентрационной конвекцией.

На практике джоулево тепловыделение может быть скомпенсировано внешними охлаждающими устройствами С^вн, по крайней мере, в тех случаях, когда распределение джоулева тепла по объему достаточно однородно.

Следующее упрощение модели связано с тем, что в смеси квазикомпонент различаются компоненты по скорости их переноса в электрическом поле. Совокупность компонент, которые достаточно быстро переносятся электрическим полем и имеют достаточно большие подвижности, называются буферным раствором. Оставшиеся компоненты, переносимые электрическим полем медленно и имеющие нулевые подвижности при некоторых значениях концентраций компонент, называются примесями. Иными словами, рассматриваемая многокомпонентная смесь сочетает в себе некую фоновую (буферную) среду, создающую электрические свойства раствора (проводимость смеси), и примеси, движущиеся в этой среде. Рассматриваются такие модели, в которых фоновая среда не создает условий, приводящих к возникновению конвективного перемешивания. Фоновая среда не стратифицирована по плотности и концентрация примеси столь мала, что ее движение не меняет свойств фоновой среды.

Наиболее удобно свойства фоновой среды характеризовать значением рН раствора — концентрацией ионов водорода в среде (рН — —1д[Н+], [Н+] — концентрация ионов водорода в моль/литр). Электрические свойства примесных компонент зависят от рН. Такое значение рН, в котором подвижность обращается в ноль, называется изоэлектрической точкой р1: 7 = 7(рН),

Приведем получающуюся систему уравнений с учетом сделанных предпо ложений:

7(р1) = 0. сНУ V =

0.10) с = (сьс2,. ,СГ) — + С11У Ък =

0.11) гк = -гОк{с,рН)^ск + %(с,рН)еискЁ (0.12)

3 = ^ак{рН,х)скЁ (0.13)

61у]=0, Ё = -Ч(р (0.14)

2ек(с,рН)ск = 0 (0.15)

Здесь V — скорость смеси в целом, р — давление, ск — концентрация к-ой компоненты смеси, %к — плотность потока концентрации к-ой компоненты, —» —» — плотность электрического тока, Е — напряженность электрического поля, (р — потенциал электрического поля, ¡1 — кинематическая вязкость, £Ик — коэффициент диффузии, (Зк — коэффициент концентрационного сжатия, ак — молярная проводимость, % — электрофоретическая подвижность к-ой компоненты смеси, ек — молярный заряд, и — параметр, характеризующий интенсивность электрического поля.

В этих уравнениях считается, что в плотности электрического тока отсутствуют члены, связанные с градиентами концентраций, иными словами, рассмотрен недиффузионный закон Ома. Сама величина рН определяется из уравнения электронейтральности вида ^ %к(!;к)!;к = 0, где одна из концентраций (к и есть концентрация ионов водорода в растворе.

Предполагается, что уравнение электронейтральности уже решено и распределение рН по раствору уже известно: рН = рН(х, 1). Тем самым известны свойства фоновой среды.

Наиболее простая модель получается, когда кинетические коэффициенты зависят лишь от рН среды и не зависят от концентраций примесей: ек — ек(рН), % = 7к(рН), сгк = ак(рН). Это так называемая модель без обратных связей — свойства фоновой среды влияют на поведение примеси, а примесь не искажает фоновую среду. Смеси такого сорта называются смесями с сильными буферами и сравнительно легко реализуются на практике. Конечно, такая модель применима не ко всем видам электрофореза. В первую очередь она неприменима для изотахофореза, в котором концентрации компонент буферной смеси сравнимы с концентрациями примеси и фоновая среда меняет свои свойства в процессе перемещения примеси по раствору.

Полученная система уравнений должна быть дополнена краевыми условиями, которые заслуживают пояснений. Краевые условия для скорости смеси V задаются так же, как и в обычных задачах конвекции, т.к. не рассматриваются эффекты электроосмоса. На твердых границах ставится условие прилипания, на свободных недеформируемых границах — условие непротекания и отсутствия касательных напряжений.

Наиболее естественно краевые условия для концентраций задавать как условия непроницаемости границ области для компонент примеси, т.е. как условие отсутствия нормальной компоненты потока ¿массы примеси на границе. Однако, для буферной смеси такое условие означало бы отсутствие электрического тока через жидкость. В рассматриваемых моделях необходимость в краевых условиях для буферной смеси нет, т. к. считается, что задача для буферного раствора уже решена с соответствующими краевыми условиями (например, с заданием концентрации на границе пли ее потока) и решение этой задачи определило зависимость кинетических коэффициентов е, сг, 7 от рН. Для примесей также можно задавать концентрации на границе. Однако для рассматриваемой задачи это неестественно, т.к. реально моделируется процесс сосредоточения примеси, помещенной в область, в окрестности какой-либо внутренней точки области. Краевые условия третьего рода (поток примеси пропорционален ее концентрации на границе) имеют место для пористой среды и в этом случае изменяются и условия для нормальной компоненты скорости всей смеси. Таким образом, идее разделения смеси на отдельные компоненты наиболее соответствуют краевые условия отсутствия потока примеси через границу - разделяемый набор примесей помещается в область и не может ее покинуть.

Что касается напряженности электрического поля, то она определяется из алгебраического соотношения — бездиффузионного закона Ома (0.13). При этом предполагается, что плотность электрического тока 3 = 3 (¿) задана.

Цель диссертационной работы состоит в анализе различных математических моделей концентрационной конвекции для процессов тепломассопе-реноса в химически активных средах при наличии электрического поля и определении критических параметров возникновения конвекции, вторичных режимов, а также в рассмотрении тепловой конвекции между двумя вращающимися цилиндрами в физически нелинейных средах.

Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрена задача о влиянии зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании. Математически задача сводится к исследованию уравнений концентрационной конвекции при наличии электрического поля методами линейной гидродинамической теории устойчивости. Определены критические числа Рэлея, характеризующие максимальное количество вещества, при котором возможно возникновение конвективной неустойчивости.

Вторая

глава посвящена продолжению исследования задачи первой главы в более общей постановке. Определяются критические числа возникновения конвекции, методом Ляпунова-Шмидта строятся решения, ответвляющиеся от механического равновесия, которые соответствуют вторичным стационарным режимам конвекции. Показано, что коэффициенты уравнения разветвления полиномиальным образом зависят от числа Прандтля и при некоторых значениях числа Прандтля может ответвляться не только два, но и четыре вторичных стационарных режима. Разработан численны!! алгоритм, позволяющий эффективно исследовать вторичные режимы. Построены нестационарные амплитудные уравнения и приведено их детальное исследование. Для больших значений параметра, соответс твующего разности потенциалов, построены асимптотики нейтральных кривых монотонной потерн устойчивости.

В третьей главе исследована задача концентрационной конвекции в случае бесконечнокомпонентной смеси, т.е. когда кинетические параметры смеси описываются некоторыми функциями распределения. Рассматривается модельная задача для больших значений параметра, соответствующего разности потенциалов, построены асимптотические модельные уравнения. Для их исследования использованы методы линейной гидродинамической теории устойчивости, получены критические значения параметров, характеризующих конвекцию.

В четвертой главе исследована устойчивость конвективного движения жидкости между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами в случае отсутствия внешних сил. Строится математическая модель для описания конвекции в предположении, что плотность жидкости и кинетические коэффициенты зависят от температуры, работа сил давления и вязкая диссипация пренебрежимо малы. При этом не предполагается малость коэффициента температурного расширения жидкости, что отличает рассматриваемые модели от модели Обербека-Буссинеска. Для различных моделей жидкостей построены нейтральные кривые монотонной и колебательной потери устойчивости и дан их сравнительный анализ.

Основные научные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

1. Для задачи концентрационной конвекции в случае жидкости с одной примесью получены критические значения монотонной потери устойчивости.

2. Для задачи концентрационной конвекции в жидкости с одной примесью исследованы вторичные режимы стационарной потери устойчивости механического равновесия, получены нестационарные амплитудные уравнения, подробно исследована зависимость коэффициентов уравнения разветвления от числа Прандтля. Показано, что при некоторых критических значениях числа Прандтля может возникать как два, так и четыре вторичных стационарных режима.

3. Для больших значений параметра, характеризующего интенсивность электрического поля получена и исследована асимптотическая модель конвекции бесконечнокомпонентной смеси. Исследованы численными методами критические числа монотонной потери устойчивости механического равнове

4. Для неизотермического течения Куэтта между двумя вращающимися нагретыми цилиндрами детально исследована задача в случае различных уравнений состояния и различных зависимостей кинетических коэффициентов от параметров задачи. Дан сравнительный численный анализ нейтральных кривых монотонной и колебательной потери устойчивости для различных моделей жидкостей.

Основные результаты первой главы опубликованы в работе [14], вторая

глава написана по материалам работ [17, 18], результаты третьей главы опубликованы в [4, 19]. четвертая

глава посвящена задаче, численный анализ которой был опубликован в [13].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ и на следующих конференциях: "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Москва 1989, 1992 [21], [22], [23].

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗОН ВЕЩЕСТВА НА КОНЦЕНТРАЦИОННУЮ КОНВЕКЦИЮ ПРИ ИЗОЭЛЕКТРОФОКУСИРОВАНИИ

Рассматривается задача о влиянии зон вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусировании (ИЭФ). Как уже указывалось во введении, фоновая среда, в которой происходит разделение или выделение примеси, формируется в результате быстрых переносов электрическим полем компонент буферного раствора. Основное назначение буферного раствора — поддержание электрического тока в смеси. Естественно, буферный раствор в электрическом поле создает некий неравномерный профиль плотности, который может быть как устойчив, так и неустойчив по отношению к возникновению конвективной неустойчивости. Примесь, разделяемая электрическим полем, в процессе эволюции разбивается на отдельные зоны, которые сосредотачиваются в различных местах электрофоретической камеры. При этом в местах сосредоточения примеси меняются как электрические свойства смеси, так и ее плотность. То, что примесь сосредотачивается на отдельных участках камеры, означает, что градиент плотности в окрестности этих участков может быть как положительным, так и отрицательным. Иными словами, часть концентрационного профиля примеси может быть или устойчивым, или неустойчивым по отношению к возникновению конвекции.

Для того, чтобы выделить эффекты влияния выделения примеси на возникновение конвекции, будем рассматривать модельную ситуацию, когда плотность буферного раствора однородна. Более того, чтобы отделить влияние тепловых эффектов на возникновение конвекции, будем рассматривать ситуацию, когда электрофоретическая камера охлаждается и джоулевым тепловыделением можно пренебречь. Заметим, что при этом предполагаем, что примесь достаточно электропроводна и в местах ее сосредоточения не создаются области высокого электрического сопротивления, т.е. джоулево тепловыделение однородно распределено по всей камере. Также будем пренебрегать влиянием компонент примеси на электрические свойства раствора, даже когда концентрация примеси велика.

Представляется естественным, рассматривая раствор с несколькими примесями, в тех случаях, когда зоны отдельных примесей достаточно изолированы друг от друга, ограничиться рассмотрением эффектов в растворе, содержащем лишь одну примесь. Такая ситуация довольно типична для эксперимента. Обычно размеры электрофоретической камеры имеют порядок 10 см, ширина зоны отделяемой примеси -— доли миллиметра и расстояние между отдельными зонами порядка сантиметров. Это случай так называемого аналитического электрофореза, когда метод ИЭФ используется для идентификации не более десяти примесей.

Электрофоретическую камеру, в которой происходит процесс разделения, будем моделировать плоским горизонтальным слоем, предполагая, что к плоским стенкам приложена разность потенциалов и разделение примесей происходит поперек слоя. Это направление параллельно действию силы тяжести. Конечно, это очень грубое моделирования электрофоретической камеры. Однако, для оценки порога возникновения конвекции во многих случаях оказывается, что такое моделирование достаточно эффективно.

Далее рассматривается модельная задача о возникновении концентрационной гравитационной конвекции, вызванной перераспределениями плотности жидкости в окрестности фокусируемых зон в процесс ИЭФ. Джоулево тепловыделение предполагается пренебрежимо малым, а температура жидкости и плотность буферного раствора, создающего рН среды, считаются постоянными. Такой выбор модели обусловлен прежде всего тем, что позволяет исследовать влияние на конвекцию наиболее характерных для изоэлектрофокусиро-вания процессов, а также тем, что для борьбы с тепловой конвекцией за счет неоднородностей буферного раствора существуют достаточно эффективные способы — охлаждение смеси, создание поддерживающих сред, специальная ориентация в поле тяжести.

В качестве электрофоретической камеры выбирается плоский бесконечный горизонтальный слой с твердыми непроницаемыми для разделяемого вещества стенками, на которых задана разность потенциалов (режим с постоянным напряжением).

В линейном приближении изучается влияние на устойчивость механического равновесия, соответствующего финальной стадии процесса ИЭФ, положения зоны в электрофоретической камере и разности потенциалов на стенках камеры. Рассчитаны аналоги критического числа Рэлея, пропорционального количеству вещества в зоне, и тем самым получен ответ на вопрос о максимальной загрузке камеры, при которой в процессе ИЭФ не возникает конвективного перемешивания зон.

1 Математическая постановка задачи

Плоский горизонтальный слой с твердыми стенками заполнен буферным раствором с проводимостью, зависящей лишь от вертикальной координаты г с постоянной плотностью и вязкостью. В буферном растворе содержится примесь, электрофоретическая подвижность которой является известной функцией координаты Система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска, описывающая поведение рассматриваемой смеси, в безразмерных переменных имеет вид (см. (0.9)—(0.15)) с1и -» = -УП + ДгГ- Сак, V = р~ + а\уг = о (1.1) сиу 2 = 0, .7 = — а(г)у\/(р г = — \7а — и-у(г)а\7(р

Здесь V — скорость, П — конвективное давление, а — молярная концентрация примеси, г — молярная плотность потока примеси, ] — плотность электрического тока, — электрический потенциал, 7(2) — электрофоретическая подвижность примеси, а (г) — проводимость буферного раствора, к — орт вертикальной оси направленной против действия силы тяжести, Р диффузионное число Прандтля, С — аналог числа Грасгофа, характеризующего количество вещества в зоне, II > 0 — параметр, пропорциональный разности электрического потенциала на стенках, характеризующий отношение электрических сил, стремящихся сфокусировать зону, к диффузионным силам, приводящим к ее размытию.

Краевые условия, отвечающие твердым стенкам, непроницаемым для разделяемого вещества, с заданными на них постоянной разностью потенциалов имеют вид (предполагается также, что вдоль слоя отсутствуют расход жидкости, поток разделяемого вещества и электрический ток) г-к) = {г ■ к) г=0 = 0.

0, Ц>

Полное количество примеси в зоне задается условием ас1г = 1.

Кроме того, предполагаются функции 7(2) и а(г) такими, что выполнено условие фокусирования примеси в некоторой фиксированной плоскости 2; = ¿о [2].

Связь безразмерных переменных с размерными, отмеченными штрихом, имеет вид

СС - их,

П = —п, V = — V м* -Ь* т'(-) = 7*7 (-г) 5 а> = г' = где Ь* — расстояние между плоскостями, р* — плотность буферного раствора, ¡1* — коэффициент кинематической вязкости буферного раствора, О* — коэффициент диффузии разделяемого вещества, а* — полная концентрация разделяемого вещества, II* — разность потенциалов на стенках, 7* — характерная электрофоретическая подвижность примеси.

Параметры Р, О, II, Яа (аналог числа Рэлея) имеют вид

7 *и*

Яа = С • Р,

В этом случае равновесная концентрация разделяемого вещества в зоне имеет максимум в точке z = го, и при больших значениях параметра II быстро убывает вне окрестности этой точки.

Понятно, что условие Р'(г) < 0 является индивидуальной характеристикой разделяемого вещества. Напротив, знак параметра II может быть изменен — поле направлено в противоположную сторону, что приведет к эффекту дефоку-сирования. В случае больших значений параметра и хорошим приближением для функции Р(г) будет разложение в ряд функции Р(г) в окрестности точки г = 20. сг(я) 0 / г - 20) + 0{х - г0у

Параметр может быть включен в параметр и. Например, в а(з)

В дальнейшем индекс "О" у параметра и опущен.

Действительно, из вида выражения (2.1) для следует, что при больших и можно использовать асимптотическое разложение 0,0(2) при II —)■ оо. Применяя формулу Лапласа, получим а0(г) = ехр ¡и IГ (в) ¿/Л.

Главный член асимптотики очевидно определяется лишь главным членом разложения Р(х) в ряд (см. (2.4)). В частности, это означает, что члены 0(г — 20)2 при и —> оо несущественны в случаях, когда можно использовать асимптотику функции а0(г).

3 Линеаризованная задача

Для исследования устойчивости механического равновесия относительно бесконечно малых возмущений задача (1.1)—(1.3) линеаризуется в окрестности решения (2.1).

Покажем, что при этом для возмущений имеем УФ = 0. Задача для определения возмущения Ф имеет вид

ШУ (<ТУФ) =0, Ф

Умножая уравнение (3.1) на Ф и интегрируя по области Г2, занимаемой жидкостью, получаем

J ФШУ (о-УФ)сЬ = J ФсгУФп(1з- ! сг(Х7Ф)2(1Х.

П дП О,

Учитывая требование отсутствия электрического тока вдоль слоя, которое эквивалентно требованию исчезновения продольных компонент электрического поля УФп (п нормаль вдоль слоя), и воспользовавшись положительностью а, выводим

J сг(УФ)2 ¿х = 0, УФ^О.

Таким образом, при линеаризации задачи (1.1)-(1.3) следует считать V(р =

Окончательно линеаризованная задача для определения бесконечно малых возмущений скорости и, концентрации с и давления р имеет вид и = -ур + Аи- век, СИу и =

Р{ж + ао(г)й*} + ^ {Ус + иР(г)ск} = и = 0, {—Ус + и Р{г)ск]к = 0, г = 0;

1ехр{и1Г(у)с1у}с1з

Отметим, что данная задача во многом аналогична задаче о внутреннем подогреве слоя жидкости (см., например, [11]).

4 Спектральная задача

Решение линеаризованной задачи (3.2) разыскиваем в виде нормальных возмущений, периодических вдоль слоя с периодами к\/2ж, к2/2тт (см., например

Применяя к первому уравнению (3.2) операцию rot rot и проектируя его на ось z, получаем следующую спектральную задачу

X(D2 - k2)w = (D2 - k2)2w + к2веин

UH'(z)Rw + XP9 = (D2 - к2)в + UH'(z)D9 (4.3) w(0) = w( l) = Dw( 0) = Dw( 1) = D9( 0) = D9( 1) = 0,

D — ~; , к — к^ "Ь ; R f eUH(s"> ds

Отметим, что замена с = 9С~1еин потребовалась для получения точечно разделенных краевых условий 09(0) = В9(1) = 0, которые наиболее просто реализуются при численном решении задачи (4.3) и в общем случае не является необходимой.

5 Численное исследование монотонной потери устойчивости

Решение спектральной задачи (4.3) будем разыскивать в случае Л = 0 для конкретного вида функции Р(х) (или Н(г))

F(z) = -(z-zo), H(z) = -^(z-z0)2.

Такая функция соответствует электрофоретической подвижности, линейно изменяющейся вдоль электрофоретической камеры, заполненной буферным раствором с постоянной проводимостью.

Задача (4.3) решалась численно при помощи пакета прикладных программ численного решения краевых задач, созданного на кафедре вычислительной математики РГУ. Определялись критические значения минимизированные по параметру к2 при фиксированных значениях С/, г{). Кроме того, для построения нейтральных кривых Я* = ЯДС/, = ттй([/,2о,Р) использовался метод возмущений с продолжением по параметру. Для этого спектральная задача (4.3) представлялась в виде операторного уравнения с оператором А, действующим в гильбертовом пространстве

А(а,Я, и)Ф(а, Л, II) = О,

Формально дифференцируя данное операторное уравнение по С/ и а, получаем дА г)АдЯ ЯФ дАж дАдЯ^ лдФ

ФЧ---Ф + А— = О да дЯ да да дАж дАдЯ^ . дФ :Ф + ——Ф + А— = 0.

Умножая скалярно уравнения (5.3), (5.4) на Ф*, где Ф* решение задачи, сопряженной к (5.2), с учетом условия —- = 0, получаем

Ф,Ф* +

Ф, Ф* дА да

Ф,Ф* = 0.

Уравнение (5.5) служит для определения а уравнение (5.6), решаемое совместно с (5.2), позволяет определить значения а*, при которых

Имея решение задачи (5.2) при фиксированных значениях С/о, Д*(С/0), а*(С/о), задавая шаг АС/: С/о + АС/, из (5.5) определяем величину

Я(и0) = ЯМ и затем

АII. Далее, численно решая задачу (4.3) методом пристрелки совместно с методом Ньютона, определяем Я*(и) и а*(С/).

Ra,-102 200

0 40 100 U

Рис.2 Зависимость минимизированных критических чисел Рэлея от параметра U для z0 — 0.47 и z0 = 0.

40 120 U

Рис.3 Зависимость минимизированных значений к2 от U для Zo =0.

Таким образом, с ростом разности потенциалов, т.е. при уменьшении ширины зоны и улучшении качества разделения (см. [2]) порог возникновения конвекции для 1.0 ^ U ^ 110.0 уменьшается до Да* = 5.507 • 102, а начиная с U = 110.0 растет. Иными словами, максимальное количество вещества в зоне, при котором процесс конвективно устойчив относительно монотонных возмущений, снижается для 1.0 ^ U ^ 110.0 и повышается для U > 110.0. Величине Ra* ~ 500.0 соответствует a*Ll « 10~8 моль (/i* = 10~6м2/с, D* = 10~8м2/с, д* = 10 м/с2, р, = 5 • 10"5 м3/моль).

20 = 0.

20 = 0.

Рис.4 Зависимость минимизированных значений от V для 20 = 0.47 и

Следует отметить, что критические значения Да* достаточно чувствительны к изменениям параметра Результате расчетов, приведенные на Рис. 2 показывают, что предпочтительнее фокусировать зону в нижней части элек-трофоретической камеры.

Расчеты Да* = Да*(С/, ¿о) ПРИ и, больших 1000.0 крайне затруднены в связи с тем, что величина ао(г) пропорциональна е—°-5)25 х.е< концентрации вещества в зоне практически сосредоточена в точке 2о. Достаточно очевидно, что при больших значениях параметра [7 спектральная задача должна исследоваться асимптотическими методами.

1. Азимбаева Г. Т., Мусамбеков К. Б., Пасечник В. А., Шишов А. К. Исследование свойств алмалитов — амфолитов-носителей для изоэлектрофо-кусирования // Космическая наука и техника. Киев: Наукова думка, 1989. Вып.4. С.20-23.

2. Бабский В. Г., Жуков М.Ю., Юдович В. И. Математическая теория электрофореза. Киев: Наукова думка, 1983. 204 с.

3. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Simulation of isotachophoresis with computer graphics // Abstr. 7th Inter. Symp. capillary electrophoresis and izotachophoresis. Tatranska Lomnice, Czechoslovakia, 1990. P. 7.

4. Барковский Ю. С., Жуков M. Ю., Цывенкова О. А. Свойства спектра задачи гидродинамической устойчивости при конвекции в бесконечноком-понентной смеси // Рук. деп. в ВИНИТИ 1994. № 594-В94. 24 с.

5. Беликов B.C., Колесов В.В. Использование приближения Буссинеска при исследовании устойчивости неизотермического течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия Естеств. науки. 1984. № 3. С. 25-26.

6. Белло М. С., Полежаев В. И. Изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости в гидродинамической модели электрофоретической камеры // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1990. Вып.2. С. 14-20.

7. Белолипецкий А. А., Стронгина Н. Р., Тер-Киркоров А. М. Некоторые вопросы эволюции диссипативных структур с точки зрения теории бифур113кации // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989. С. 7-36.

8. Болога М.К., Гросу Ф.П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

9. Вайнберг M. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных задач. М.: Наука, 1969. 528 с.

10. Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 720 с.

11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

12. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

13. Жуков М.Ю., Колесов В.В., Цывенкова O.A. Численный анализ устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. Вып.5. С. 70-76.

14. Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Численное исследование влияния зоны вещества на концентрационную конвекцию при изоэлектрофокусирова-нии // Космическая наука и техника. Киев: Наукова Думка. 1989. Вып.4. С. 30-35.

15. Жуков М. Ю., Сазонов JI. И. Асимптотика собственных чисел для краевой задачи с ¿-образными коэффициентами // Рук. деп.в ВИНИТИ 1993. № 1231-В93. 29 с.

16. Жуков М. Ю. Разделение бесконечнокомпонентных смесей электрическим полем // Журнал ВМ и МФ. 1994. Т. 34, № 4. С. 576-583.

17. Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Ветвление решений, расчет и асимптотика нейтральных кривых монотонной потери устойчивости в задаче оконцентрационной конвекции в электрическом поле // Изв.РАН. Механика жидкости и газа. 1994. Вып. 5. С. 150-157.

18. Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Численное исследование вторичных режимов концентрационной конвекции в задаче об электрофорезе при высоких напряжениях // Рук. деп.в ВИНИТИ 1994. № 333-В94. 78 с.

19. Жуков М.Ю., Цывенкова O.A. Расчет нейтральных кривых монотонной потери устойчивости для задачи конвекции в бесконечнокомпонентной смеси // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. Вып. 5. С. 11-20.

20. Жуков М.Ю., Сазонов Л.И., Цывенкова O.A. Влияние гравитации на форму зон при электрофорезе // Тезисы докладов IV Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Новосибирск, 1987. С. 107-108.

21. Жуков М.Ю., Колесов В.В., Цывенкова O.A. О применимости приближения Обербека-Буссинеска при исследовании неизотермического течения Куэтта // Материалы VI школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1989. С. 26.

22. Жуков М. Ю., Цывенкова О. А. Влияние локальной неоднородности концентрации на конвекцию в слое // Материалы VI школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", МГУ, 1989. С. 26.

23. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М: Наука, 1989. 336 с.

24. Колесов В. В. Устойчивость неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. № 1. С. 167-170.

25. Корыта И., Дворжак И., Богачкова В. Электрохимия. М.: Мир, 1975. 472 с.

26. Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

28. Мышкис А. Д., Бабский В. Г., Жуков М. Ю. и др. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. Киев: Наукова думка, 1992. 592 с.

29. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 320 с.

30. Полежаев В. И. Исследования конвекции и тепломассообмена в условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т.49. № 4. С. 635-642.

31. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.

32. Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб H.A. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. 240 с.

33. Ригетги П. Изоэлектрическое фокусирование. Теория, методы и применение. Киев: Наукова думка, 1983. 202 с.

34. Троицкий Г. В., Ажицкий Г.Ю. Изоэлектрическое фокусирование белков в самоорганизующихся и искусственных рЯ-градиентах. Киев: Наукова думка, 1984. 219 с.116

35. Теория и практика ультрацентрифигуриования и электрофореза // Молекулярная биология. Киев: Наукова думка, 1984. Вып. 36. 86 с.

36. Дж.Тернер. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 431 с.

37. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 268 с.

38. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 638-655.

39. Righetti P. G. Immobilized рН gradient: Theory and metodology. Amsterdam, etc: Elsevier, 1990. 397 p.