Исследование взаимосвязей напряжений, межфазных границ и фронтов химических превращений в упругих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005004199

^ог,,-

Королев Игорь Константинович

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ, МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ И ФРОНТОВ ХИМИЧЕСКИХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В УПРУГИХ ТЕЛАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Санкт-Петербург 2011

005004199

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Фрейдин Александр Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 15 декабря 2011 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Учреждении Российской Академии наук Институте Проблем Машиноведения РАН по адресу: 199178, г. Санкт-Петербург, В.0. Большой пр., д.61

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН

Автореферат разослан 15 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Кукушкин Сергей Арсеньевич

кандидат физико-математических наук Семенов Борис Николаевич

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии наук

Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН

доктор технических наук, профессор

В.В. Дубаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Межфазные границы и/или фронты химических превращений порождают в теле внутренние напряжения и поэтому могут существенно влиять на его деформационно-прочностные свойства. В свою очередь внутренние напряжения в сочетании с внешним воздействием могут приводить к изменению положения и формы межфазных границ и скорости фронтов химических превращений. Этим обосновывается актуальность темы диссертации

В работе рассматриваются три модельные задачи, в которых важны взаимосвязи напряжений и положения межфазных границ или фронтов химических превращений. Первая задача - моделирование взаимного влияния трещины и включения, материал которого может претерпевать фазовые превращения мартенситного типа. Такими включениями, например, являются зерна диоксида циркония в трансформационно-упрочняющихся керамиках. При охлаждении керамики эти зерна остаются в метастабильном (высокотемпературном) состоянии. Напряжения в окрестности вершины трещины инициируют переход зерен в энергетически более выгодное мартенситное состояние. Фазовое превращение зерна сопровождается собственной деформацией превращения, что в свою очередь приводит к перераспределению напряжений и блокировке роста трещины. В целом актуальность этого исследования связана с разработкой композитных материалов, в которых происходит целенаправленное изменение свойств включений за счет структурных/фазовых превращений, в том числе композитных материалов с эффектами памяти формы.

Вторая рассматриваемая в работе задача - исследование взаимосвязи напряжений и кинетики фронта химической реакции. Актуальность этого исследования состоит в установлении взаимосвязей между механическим состоянием тела и скоростью протекающей в нем химической реакции. Задачи механохимии приобретают особое значение в связи с миниатюризацией элементов конструкций. Например, в MEMS (microelectronic mechanical systems) используются детали микронных размеров из поликристаллических кремниевых пленок. В областях концентраторов напряжений в таких деталях возникает и растет тонкий слой диоксида кремния. Затем в оксиде зарождается и растет усталостная трещина, впереди которой развивается фронт окисления. Главные события, определяющие разрушение детали происходят именно в оксиде, рост которого определяется механическими напряжениями. В свою очередь образование оксида сопровождается деформациями превращения, что влияет на напряжения. Другим примером является образование гидридов (соединений водорода с металлами) применительно к водородной энергетике, когда гидриды используются в качестве водород-аккумулирующих материалов. Как и в случае диоксида кремния из-за деформации превращения в системе

гидрид - металл могут возникать внутренние напряжения, влияющие на протекание химической реакции.

Третья задача - исследование напряжений и деформаций в системе «квантовая точка — подложка». Определение возникающих в квантовой точке деформаций, вызванных несовместностью кристаллических решеток квантовой точки и подложки, может быть использовано для оценки степени однородности материала квантовой точки.

Цель работы - разработка и реализация моделей для описания взаимосвязей напряжений, межфазных границ и фронтов химических превращений в деформируемых телах с использованием программных средств численного анализа и исследование этих взаимосвязей с помощью вычислительных экспериментов.

Задачи работы. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

— развитие теоретической модели для описания взаимодействия трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработка методики определения текущего фазового состояния включения и ее конечно-элементная реализация. Исследование влияния фазового превращения во включении на траекторию распространения трещины;

— численная реализация модели распространения фронта химических реакций в упругом теле. Исследование влияния напряжений на кинетику фронта химической реакции;

— исследование напряженно-деформированного состояния системы «квантовая точка — подложка». Разработка методики оценки степени однородности материала квантовой точки на основе рассчитанных полей деформаций.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1) Разработана новая модель, позволяющая описать взаимное влияние трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработан алгоритм определения текущего фазового состояния включения в поле трещины и проведена его конечно-элементная реализация. На основе вычислительного эксперимента установлено как изменение фазового состояния включения влияет на траекторию распространения трещины.

2) Проведена численная реализация модели, описывающей кинетику фронта химической реакции с учетом напряжений с точки зрения механики конфигурационных сил. Исследовано влияние напряжений на кинетику роста плоского слоя превращенного материала. Показано существование «запирающего» начального слоя превращенного материала, порождающего внутренние напряжения, блокирующие химическую реакцию. Исследована кинетика фронта химических реакций в пластине с выточкой. Объяснен экспериментальный факт увеличения скорости фронта реакции в области концентрации напряжений.

3) Исследованы напряжения и деформации в системе «квантовая точка — подложка». На основе найденного поля перемещений построен псевдомуар этой системы. Предложена новая методика оценки однородности материала квантовой точки на основе сравнения расчетного и экспериментально определенного расстояний между полосами псевдомуара.

4) Разработана и апробирована на примере усталостной трещины новая структура построения сетки конечных элементов, которая позволяет реализовать численное моделирование зарождения и развития трещин с сохранением информации о накопленных изменениях в структуре материала без перестройки сетки.

Научная и практическая значимость работы заключается в постановке и решении задач механики деформируемого тела, учитывающих взаимное влияние напряжений, межфазных границ и фронтов химических реакций и использовании результатов для описания конкретных явлений. Результаты исследования могут быть использованы при разработке новых материалов, в которых при деформировании и разрушении происходит целенаправленное перераспределение напряжений в результате фазовых превращений структурных элементов; в задачах механохимии; для оценки степени однородности материала квантовой точки.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждается применением строгих математических методов и апробированных физических теорий; тестированием разработанных моделей и их численной реализации на модельных задачах; сравнением полученных результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на конференциях: Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь (2005); Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения», Москва (2006); Международная конференция пользователей ANSYS, Москва (2008); Международная конференция RELMAS, Санкт-Петербург (2008), Международная конференция «Траектории трещин (Crack Paths)», Виченца, Италия (2009); Всероссийская конференция «Прикладные аспекты механики сплошной среды в кораблестроении», Санкт-Петербург (2010); Международная школа-конференция «Актуальные проблемы механики» (АРМ), Санкт-Петербург (2007, 2008, 2009, 2010).

Результаты работы обсуждались на семинарах в Институте проблем машиноведения РАН и в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете.

Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (07-01-00525-а, 10-01-00670-а), программой фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН №13 (рук. акад. РАН И.Г.Горячева), программой

5

фундаментальных исследований госакадемий РФ №23 ((рук. акад. РАН Н.Ф. Морозов), грантов Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ-3776.2010.1 (рук. акад. Н.Ф.Морозов), Министерством образования и науки РФ (контракт 14.740.11.0353), грантами Правительства Санкт-Петербурга (2008, 2009, 2010г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, в том числе 4 в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и одного приложения. Объем работы составляет 109 страниц, в том числе 59 рисунков, 2 таблицы. Список литературы содержит 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, дана общая характеристика работы, сформулированы цели, задачи и новизна работы, приводится обзор публикаций, связанных с темой диссертации, излагается краткое описание диссертации по главам.

В первой главе ставится и исследуется задача о взаимном влиянии трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение мартенситного типа. В первой части главы рассматривается плоская деформация линейно-упругого тела V с прямолинейной трещиной и цилиндрическим включением диаметра Б из материала, претерпевающего фазовое превращение мартенситного типа (рис. 1).

Плотность свободной энергии материала включения описывается двумя квадратичными зависимостями:

а£,0) = тт{Г(£,в), Г (с,О)}, /*(с, О) = ^(0)+{-(е- < ):С±: (е-с?), (1)

где тензоры С± - тензоры модулей упругости фаз «+» и «-» соответственно, 0 -температура, ^ и имеют смысл плотностей свободной энергии и тензоров деформации фаз в ненапряженном состоянии. Полагаем, что еЦ = 0.

Предполагается, что включение находится в метастабильном состоянии, а фазовый переход определяется исходя из принципа энергетической предпочтительности. Условие переключения фазового состояния имеет вид:

^П+-П_=(П+-Ц,)-(П_-П„)<-<?> (2) где П„ - свободная энергия Гиббса тела без включения, П+ - свободная энергия Гиббса тела с включением в фазе «+», П_ - свободная энергия Гиббса тела с включением в фазе «—», 6 — энергетический барьер, характеризующий степень метастабильности исходного состояния ____включения.

# 5 Матрица

Рис. 1. Геометрическая модель

Для рассматриваемого случая плоской деформации с включением в форме кругового цилиндра:

П -П„ = — 2

лтО2

Я,

0 2 4

к, к Эг(1г(е*) + 1г(е°))

(3)

\1г(е+ Ме°) + : в0], = /0+ - + : (С;1 - С"'): <

где Со - модуль упругости матрицы, к{ = к+-к°, >ц± = //±-//°. кч, к -модули сдвига и плоского сжатия для соответствующих фаз. Достоинство формулы (3) состоит в том, что для определения фазового состояния включения необходимо вычислить деформации только внутри включения. Вычисление деформаций осуществлялось с помощью метода конечных элементов.

Алгоритм определения текущего фазового состояния состоит в следующем. Рассматриваются три отдельные задачи с одними и теми же силовыми факторами и граничными условиями: среда без включения, среда с включением до фазового перехода, среда с включением после фазового перехода. В результате решения каждой из указанных задач находятся поля деформаций. Далее по формуле (3), модифицированной для использования в численных процедурах, рассчитываются значения /7+-Я„ иЯ_-Я0. Затем, используя формулу (2), определяется текущее фазовое состояния включения. При Г < -(> включение переходит из фазы «—» в фазу «+». Разработанный алгоритм был верифицирован на тестовой задаче о цилиндрическом включении в бесконечной среде под действием внешних напряжений, которая имеет аналитическое решение.

В данной задаче разность энергий Я+-Я„иЯ_-Я0 зависит от величины е0 и от геометрических параметров Ь, в, с1, характеризующих длину трещины и

взаимное расположение трещины и включения. Построенные линии переключения фазового состояния при одноосном деформировании в координатах s/D и е0 для разных длин трещин приведены на рис.2.

Из данных, представленных на рисунке, следует, что как увеличение длины трещины, так и приближение трещины неизменной длины к включению способно

о.оозо|----инициировать фазовый переход во

включении.

0.00-18 "

О.ШМО ___

10 H/D

1 - L/D=2, 2 - L/D=6, 3 - L/D= 10 Рис. 2. Линии переключения фаз

Во второй части главы исследуется траектория роста трещины с учетом фазового превращения во включении. Рассматривается пластина с включением и растущей трещиной, начальная геометрия показана на рис. 1. К верхней грани пластины приложена циклическая нагрузка с коэффициентом асимметрии цикла R=0 (нагрузка - разгрузка). Принимается, что трещина растет в соответствии с уравнением Пэриса из вершины в направлении перпендикулярном действию максимальных растягивающих напряжений. Тогда с учетом того, что в рассматриваемой задаче оба коэффициента интенсивности напряжений К[ и Кп отличны от нуля, формула для определения угла поворота трещины имеет вид:

п 3 п

в., = aresin

yj9n2

= - arcsin

+ 1

л/W

где п-^-

К,

(4)

41

Предлагается следующий алгоритм моделирования распространения трещины: для фазы цикла «нагрузка» определяются поля напряжений и коэффициенты интенсивности напряжений К.1 и К1Ь и по формуле (4) рассчитывается угол поворота трещины 0О. Далее по формуле Пэриса рассчитывается приращение трещины за один цикл 5Ь, затем в направлении угла 60 дается приращение А1.= 6Ь*ЛЫ, где ЛК - некоторое фиксированное число циклов. Далее процесс повторяется для новой геометрии трещины.

На рис. 3 схематически представлено изменение траектории распространения трещины в зависимости от знака собственной деформации фазового превращения включения.

Обнаружено, что при положительной собственной деформации фазового превращения материала включения траектория распространения трещины отклоняется в сторону центра включения, при отрицательной — в сторону от центра включения.

По мере увеличения внешнего поля обнаруженные эффекты пропадают, и, начиная с некоторого значения, фазовое превращение материала

включения не оказывает Рис. 3. Изменение траектории существенного эффекта на распространения трещины из-за фазового траекторию распространения перехода во включении трещины.

Во второй главе исследуется задача о влиянии напряжений на кинетику фронта химической реакции. Рассматриваются реакции следующего типа:

v_B_+vtBt^v+B+ гдеД, ß+ и В, химические формулы в уравнении реакции, v_, v+ и v, -стеохимические коэффициенты. Предполагаем, что В_ и Bt — твердые тела, а В. - газ. Пример такой реакции - образование оксида кремния: Si + 02 —> Si02 (v_ = v.= = 1).

Предполагается также, что:

— химическая реакция поддерживается диффузией газа сквозь твердую фазу,

— диффузия газа не создает дополнительных деформаций, а деформации не влияют на процесс диффузии,

— реакция локализуется на фронте химической реакции.

При сделанных предположениях выражение для производства энтропии вследствие движения фронта химической реакции имеет вид1:

P[S] =--\AnVJT, V,=xr- N, An = N ■ А ■ N

v_M_ *

— ~ '

А = v+M+ M+ - vM_ M- - v,M, M. где N — нормаль к фронту химической реакции, vr — скорость фронта химической реакции, М,, М_, М. — молярные массы компонентов реакции В_, В+иВ.,

М,, М~, М. - тензоры энергии импульса Эшелби (тензор напряжений Эшелби), в которые входят величины напряжений. Величина AN выступает в роли термодинамической силы, изменяющей конфигурацию тела. Такие обобщенные силы в современной механикие деформируемых тел называют конфигурационными. По аналогии с классической термодинамикой свертка

1 Freidin A.B. On chemical reaction fronts in non-linear elastic solids. Proceedings of XXXVI Interna-tional Summer School-Conference APM2009. Eds: D. A. Indeitsev, A. M. Krivtsov. St.Petersburg. Institute for problems in mechanical Engineering. 2009. P.231-237.

тензора А с нормалями может быть названа химическим сродством на площадке с нормалью N.

В приближении малых деформаций выражение для Ам принимает вид 2:

(5)

1 9Р

где М.ц, =г}(Т)+ЯТ\п(с), /± =Л0+-(Е-е^)-С±-(е-Е^),Е:''=0, Е',''=-у£, с - концентрация газа,

Введем понятие равновесной концентрации газа сеч на фронте химической реакции. Этой концентрации соответствует химическое равновесие, когда скорость прямой реакции равна скорости обратной, при этом скорость фронта реакции равна нулю. Равновесной концентрации соответствует условие:

о (6)

Как следует из (5), величина равновесной концентрации зависит от напряжений и свойств материала. Напряжения в свою очередь зависят от положения фронта химической реакции. В рамках линейной термодинамики, рассматривая реакцию вблизи химического равновесия и учитывая, что Л(с,,) = °> получим:

Ак = ЛЛГ(1пс-1пс )» АЛГ^—(7)

С.Ч

Скорость фронта химической реакции зависит от термодинамической силы \Г„=Ф{АЫ). Аналогично выражению для скорости реакции в классической химии вблизи химического равновесия имеем:

*>0 (8) где к - кинетический коэффициент химической реакции

Рассмотрим установившийся диффузионный процесс газовой компоненты реакции. Пространственное распределение концентрации с диффундирующей компоненты получим, решив уравнение диффузии

Лс = 0 (9)

со следующими граничными условиями:

с = с0 — на внешней границе (с0 - внешняя концентрация газа) ПЧс+ку.{с-сеч) = 0 -на фронте химической реакции. Это условие получено из условия баланса массы в химической реакции.

Таким образом, постановка и алгоритм решения задачи о моделировании влияния напряжений на кинетику химической реакции включает следующие шаги:

- определение напряженно-деформированного состояния в теле, состоящей из материалов В_ и В+, с учетом внешнего воздействия и внутренних

2 E.N. Vilchevskaya, A.B. Freidin, Modeling mechanochemistry of the diffusion controlled chemical reaction front propagation in elastic solids // Proceedings of XXXVIII Summer School-Conference Advanced problems in mechanics. APM 2010. St. Petersburg (Repino) P. 741-749

10

напряжении, вызванных различием модулей упругости материалов В_ и В+ и наличием собственной деформации химических превращений у материала й+;

- вычисление Ац с учетом найденных напряжений на фронте химической реакции по формуле (5),.

- определение се() в результате решения уравнения (6)

- определение концентрации газа В. на фронте химической реакции в результате решения задачи диффузии (9);

- с помощью (7) и (8) нахождение скорости в каждой точке фронта химической реакции. Выбор фиксированного интервала времени г" и построение нового фронта путем приращения положения каждой точки фронта на величину: Д/ = у' ■ С.

Рассмотренная выше аналитическая модель учета влияния напряжений на кинетику фронта химической реакции была реализована в конечно-элементном пакете с помощью внутреннего языка программирования.

Исследована задача о движении плоского фронта химической реакции в пластине, находящейся под действием внешних напряжений (рис. 4).

Рассматривается рост слоя вдали от боковых краев пластины, чтобы избежать влияния краевых эффектов напряжений на кинетику фронта химической реакции. При нулевой внешней нагрузке и при заданной внешней концентрации с0 обнаружено, что внутренние напряжения могут блокировать развитие реакции, если толщина начального слоя оксида меньше критического «запирающего» значения. Блокировка реакции выражается в условии сеч > с0, где равновесная концентрация зависит от напряжений. При таком соотношении концентраций на границе тела и фронте реакции невозможен диффузионный процесс, питающий реакцию. Тонкий оксидный слой может играть защитную роль, что подтверждается экспериментально, а его повреждение ведет к дальнейшему развитию реакции окисления. На рис. 5 представлено влияние знака напряжений (отрицательное значение соответствует сжатию, положительное — растяжению) на величину «запирающего слоя».

■100 р о

Рис.4 - Пластина под действием внешних напряжений, начальный слой обозначен серым цветом

Рис.5 - Зависимость «запирающего» слоя от приложенной нагрузки

Из представленного графика следует, что толщина «запирающего» слоя уменьшается при растяжении и увеличивается при сжатии. Это означает, что при фиксированной начальной толщине слоя растяжение способно ускорить процесс химической реакции, а приложеннное сжатие замедлить или даже вовсе заблокировать развитие реакции.

Следующая рассмотренная задача - процесс роста оксидного слоя в пластине с полукруглой выточкой под действием внешних сил. Радиус выточки много меньше линейных размеров пластины. Обнаружено сильное влияние концентрации напряжений вблизи выточки на развитие фронта химических реакций. Установлено, что концентрация напряжений способствует появлению новых областей развития фронта реакции, а также увеличению скорости реакции в области концентрации напряжений по сравнению с ненапряженным состоянием.

Один из рассмотренных примеров развития фрнонта химической реакции при действии растягивающих напряжений в горизонтальном направлении представлен на рис.6.

в г

Рис. 6. Развитие фронта химической реакции при воздействии растягивающих напряжений вблизи выточки

Из данных, представленных на рис. 6, следует, что при выбранных величинах начального слоя и приложенного растягивающего напряжения фронт химической реакции блокируется по всей длине пластины, за исключением зон концентрации напряжений (у основания выточки и у вершины выточки).

В этих областях происходит увеличение оксидного слоя вплоть до объединения двух очагов в единый фронт, который дальше растет как единое целое.

В третьей главе рассматривается система «квантовая точка — подложка». Квантовая точка (КТ) моделируется осесимметричным островком, помещенным на подложку, размеры которой много больше высоты островка А и его максимального латерального диаметра 2с1 (рис. 7). Характеристическое

отношение размеров островка определено величиной 8 = Ы2с1. Материалы КТ и подложки - соединения антимонида индия (1п8Ь) и арсенида индия (1пАэ). Параметры кристаллических решеток материалов квантовой точки и подложки: а1„8Ь=0-6479нм и а|пД5==().60593 нм. Несоответствие решеток моделируется с помощью собственной деформации островка. Компоненты собственной деформации островка в декартовой (х, у, г) и цилиндрической (г,ф,г) системах координат (рис. 7) заданы соотношением:

Рис. 7. Система «InSb - квантовая точки / InAs — подложка» для разных форм

островка

С помощью метода конечных элементов получено распределение радиальных перемещений для КТ в форме сегмента сфероида с радиусом: г=21 (все линейные величины в расчетах выражены в произвольных единицах). Остальные размеры КТ: h=7, 2d=31.3, 5=0.22. Получено, что внутри КТ радиальная компонента перемещений квазилинейна вдоль координаты г. Поэтому возможно следующее представление радиальной компоненты перемещений внутри КТ: u,.(r,z) ~ s'a(A,z)r, где параметр А зависит от упругих модулей КТ и подложки. Выражение для a(A,z) может быть найдено при помощи стандартных программ интерполяции (например, "Wolfram Mathematica") и численно рассчитанных значений радиальных перемещений. Необходимость получения аналитической формулы для радиальных перемещений вызвана тем, что эта формула будет использоваться для моделирования электронно-микроскопического (ЭМ)-изображения квантовой точки

Проведено исследование влияния формы квантовой точки на распределение радиальной компоненты перемещений. Были рассмотрены квантовые точки трех наиболее типичных форм: сферического сегмента, полуэллипсоида и усеченного сферического сегмента при одинаковых характеристических отношениях ¿=0.22. Установлено, что зависимости ы,(г)| и линейны на значительных участках внутри КТ и одинаковы для всех

рассматриваемых форм островков. Таким образом, расчеты показывают, что изменение формы островка не влияет на перемещения в подложке.

Исследовано влияние параметра <5=h/2d на распределение радиальных перемещений. Для квантовых точек в виде усеченного сферического сегмента с характеристическими отношениями <5=0.13, <5=0.22 и ¿=0.33 были вычислены компоненты перемещений ur(r,z). Обнаружено, что общий вид распределения линий ur(r,z)= const в подложке и квантовой точке не зависит от 5, по крайней мере, в диапазоне изученных S. Радиальные перемещения в квантовой точке увеличиваются с ростом 5, причем для точек с <5 =0.22 и ¿=0.33 характер распределения перемещений по высоте не меняется. Обнаружено, что начиная с характеристических отношений S>S радиальные перемещения верхних слоев квантовых точек можно аппроксимировать

функцией иг(г) 1^24=-^—— U 0.07г. Это означает, что, рассчитав

V ahtAs )

распределение полей перемещений для КТ сферической формы с характерным соотношением S>S ^^ можно построить распределение радиальных перемещений для КТ практически произвольной высоты и формы: эллиптической, усеченных фигур и т.д. Такое распределение полей можно считать эталонным для данного материала квантовой точки.

На рис. 8 представлено электронно-микроскопическое (ЭМ) изображение (псевдомуар) системы «квантовая точка - подложка», полученное с помощью динамической теории контраста и найденной с помощью программ интерполяции зависимости u,.(r,z) ю е a(A,z)r .

Расстояние между полосами псевдомуара А зависит от характеристического отношения 6. На рис. 9 представлена рассчитанная зависимость расстояния между полосами псевдомуара в центральной части усеченного островка от характеристического отношения 6 для системы InSb/InAs.

Рис. 8 — светлопольное ЭМ- Рис. 9 - зависимость периода

изображение 1п5Ь-островка в форме псевдомуара от параметра 5 усеченного сегмента,

Для системы «квантовая точка (1 пЯЬ) - подложка (ГпАв) в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе была экспериментально получена

картина псевдомуара с Д=4.3 нм. Согласно ЭМ-просвечиванию поперечного среза рассматриваемой системы характеристическое отношение <5ехр я 0.3.

На полученной в данной работе расчетной зависимости, приведенной на рис. 9, эксперименьалыю найденному значению А=4.3нм соответствует значение 5=0.28, что хорошо согласуется с экспериментом.

Таким образом, полученная зависимость Д(8) позволяет определять характеристическое отношение островка путем простого измерения величины Д, следовательно, и высоту островка при известном латеральном размере. При известных же геометрических параметрах КТ эта зависимость позволит определить степень однородности материала квантовой точки по отклонению экспериментально измеренного значения Д от теоретического значения для соответствующей точки на рис. 9.

В приложении развивается новый подход к построению сетки конечных элементов, которая может быть использована при численном моделировании развития областей новой фазы в теле с учетом необходимости сохранять информацию о последовательном изменении свойств элементов структуры материала, избегая необходимость перестроения сетки. В данном случае термин «новая фаза» можно трактовать в широком смысле, а именно - наличие в теле объектов, различающихся по упругим и/или иным характеристикам.

Тестирование предложенной новой сетки конечных элементов было проведено на задаче моделирования распространении усталостной трещины. Развитие усталостной трещины связано с информацией о предыстории накопления повреждений, поэтому перестроение сетки как стандартный прием при моделировании роста трещины ведет к серьезным сложностям, так как он приводит к стираншо информации о деградации структуры и необходимости ее искусственной перезаписи для новой сетки. Поэтому целесообразно проводить исследование на фиксированной сетке конечных элементов, которая с одной стороны, благодаря моделированию всего процесса развития усталостной трещины на одной сетке позволяет естественным образом сохранять информацию об уровне поврежденности, предшествующим разрушению элемента, а с другой стороны минимизирует влияние топологии сетки на траекторию усталостной трещины.

Основные требования, предъявляемые к конечно-элементным сеткам, для минимизации влияния топологии сетки на траекторию распространения дефекта:

1. Обеспечение возможности свободного поворота траектории распространения дефекта согласно локальным полям напряжений.

2. Изотропность сетки.

На рис. 10 представлен вариант конечно-элементной сетки, который отвечает указанным принципам. Предложена двухуровневая топология сетки. Первый уровень состоит из больших «блоков-кругов», в центре которых расположены треугольные элементы, позволяющие траектории распространения дефекта поворачивать согласно локальным полям напряжений.

Второй уровень состоит из малых «блоков-кругов», в центре которых также расположены треугольные элементы. Назначение второго уровня состоит в том, чтобы у дефекта была возможность поворачивать, даже если он распространяется по границе больших «блоков-кругов». Сетка была успешно апробирована для определения траектории развития усталостной трещины в материале с деградирующими свойствами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1) Разработана новая модель, позволяющая описать взаимное влияние трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработан алгоритм определения текущего фазового состояния включения в поле трещины и проведена его конечно-элементная реализация. На основе вычислительного эксперимента установлено как изменение фазового состояния включения влияет на траекторию распространения трещины.

2) Проведена численная реализация модели кинетики фронта химической реакции в упругом теле. Исследовано влияние напряжений на кинетику роста плоского слоя превращенного материала. Показано существование «запирающего» начального слоя превращенного материала, порождающего внутренние напряжения, блокирующие химическую реакцию. Исследована кинетика фронта химических реакций в пластине с выточкой. Объяснен экспериментальный факт увеличения скорости фронта реакции в области концентрации напряжений.

3) Исследованы напряжения и деформации в системе «квантовая точка -подложка». На основе найденного поля перемещений построен псевдомуар этой системы. Найденная ширина полос псевдомуара верифицирована экспериментальными данными для системы 1п8Ь - 1пАь. Предложена новая методика оценки однородности материала квантовой точки на основе сравнения расчетного и экспериментально определенного расстояний между полосами псевдомуара.

4) Разработана и апробирована на примере усталостной трещины новая структура построения сетки конечных элементов, которая позволяет

реализовать численное моделирование зарождения и развития трещин с сохранением информации о накопленных изменениях в структуре материала без перестройки сетки.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е.Н. Вильчевская, И.К. Королев, А.Б.Фрейдин. О фазовых превращениях в области неоднородности материала. 4.2. Взаимодействие трещины с включением, претерпевающим фазовое превращение // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 5, стр. 32-42. (из перечня ВАК)

2. Н.А. Берт, АЛ. Колесникова, И.К. Королев, А.Е. Романов, А.Б. Фрейдип, В.В. Чалдышев, Е.С. Aifantis. Упругие поля и физические свойства поверхностных квантовых точек // Физика твердого тела, 2011, т.53, выи.10, стр.1986-1996. (из перечня ВАК)

3. I.K. Korolev, S.V. Petinov, А.В. Freidin. FEM simulation of damage accumulation and fatigue crack growth in elastic materials. // Proceedings of XXXVI International Summer School-Conference АРМ 2010, P.56.

4. N. A. Bert, A. B. Freidin, A. L. Kolesnikova, I. K. Korolev and A. E. Romanov. On strain state and pseudo-moiré ТЕМ contrast of InSb quantum dots coherently grown on InAs surface // Phys. Status Solidi A, 1-4 (2010) / DOI 10.1002 / pssa.201026247. (из перечня ВАК)

5. И.К. Королев, C.B. Петинов, А.Б. Фрейдин. Конечно-элементное моделирование накопления повреждений и развития усталостной трещины в материале со стохастическим распределением сопротивления элементов микроструктуры. // Труды ЦНИИ им. академика А.Н.Крылова, 2010, №53, с.59-66.

6. I.K. Korolev, S.V. Petinov, А.В. Freidin. FEM simulation of fatigue damage, crack nucleation and growth in a pre-damaged material. // Proceedings of XXXVI International Summer School-Conference АРМ 2009, P.372-379

7. И.К. Королев, C.B. Петинов, А.Б. Фрейдин. Численное моделирование накопления повреждений и развития усталостной трещины в упругих материалах. II Вычислительная механика сплошных сред, Пермь, 2009, т.2, №3, с.34-43. (из перечня ВАК)

8. I. Korolev, S. Petinov, A. Freidin. FEM simulation of fatigue damage, crack nucleation and growth in a pre-damaged material. // Advances in materials science. Eds: N.Kuznezov, O.N.Shubin, 2009, VI-12-VI-16.

9. I. Korolev, S. Petinov, A. Freidin. FEM simulation of fatigue crack nuclearion and growth in a pre-damaged material // International Conference on Crack Paths (CP 2009). Procedings, Padua, 2009, 1089-1096.

17

10.Igor К. Korolev, Sergei V. Petinov, Alexander B. Freidin. Finite element meshing in modeling of the initial crack growth from defect in a plate under cyclic loading. // Proceedings of the XXXVI Summer School APM2008. P.374-380. 11.A.Freidin, I.Korolev, E.Vilchevskaya. "Modeling an Interaction between a Phase Transforming Inclusion and a Crack".// Proc. 17th European Conference on Fracture Multilevel Approach to Fracture of Materials, Components and Structures. 2-5 Septemeber 2008. Brno. Czech Republic, P.2089-2096.

12.I.K. Korolev, S.V. Petinov, A.B. Freidin. FEM simulation of fatigue damage in a polycrystalline silicon structures. RELMAS'2008. (Assesment of reliability of materials and structures: problems and solutions). // International Conference. St.Petersburg, Russia, June 17-20, 2008. Vol. 1. St.Petersburg, Polytechnical Publishing House. 2008. P. 177-181.

13.И.К.Королев. Особенности конечно-элементного моделирования развития начальных дефектов в материалах под действием циклической нагрузки. // Тезисы докладов 6 международной конференции пользователей ANSYS, Москва, 28-30 октября 2008.

14.Korolev I., Petinov S., Freidin A. FEM simulation of damage evolution including distribution of fatigue strength // Proc. of the XXXV Summer School Advanced Problems in Mechanics. (2007), p.67.

15.Korolev I., Freidin A., Vilchevskaya E. Modeling of interaction between a phase transforming inclusion and a fatigue crack // Proc. of the XXXIV Summer School Advanced Problems in Mechanics. (2006), p.154-160.

16.Королев И.К. Конечно-элементное моделирование взаимодействия включения, претерпевающего фазовое превращение, с трещиной. // Тезисы XXXIII Международной молодежной «Гагаринские чтения», Москва, 2006, стр.28-29.

17.Королев И.К., Боровков А.И., Фрейдин А.Б. Конечно-элеметное моделирование взаимодействия трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. // Материалы XIV Всероссийской конференции молодых ученых и студентов: Математическое моделирование в естественных науках, Пермь, 2005, стр.35-36.

Подписано в печать 14.11.2011 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ 547

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199048, Санкт-Петербург, В.О., 6-я линия, д. 59 корпус 1, оф. 40

Введение.

1. Исследование взаимодействия трещины с включением, претерпевающим фазовое превращение.

1.1 Аналитические соотношения.

1.2 Конечно-элементный алгоритм определения фазового состояния включения.

1.3 Включение в поле прямолинейной трещины.

1.4 Влияние включения на траекторию трещины.

1.5 Выводы.

2. Влияние напряженно-деформированного состояния на кинетику фронта химических реакций.

2.1 Разработка модели роста оксидного слоя.с учетом напряжений.

2.2 Моделирование движения плоского фронта химической реакции в пластине, находящейся под действием внешних напряжений.

2.2.1 Размер зоны краевых эффектов.

2.2.2 Эффект «запирающего» слоя.

2.2.3 Кинетика фронта реакции.

2.3 Моделирование роста оксидного слоя в поле концентратора напряжений.

2.4 Выводы.

Актуальность. Межфазные границы и/или фронты химических превращений порождают в теле внутренние напряжения и поэтому могут существенно влиять на его деформационно-прочностные свойства. В свою очередь, внутренние напряжения в сочетании с внешним воздействием могут приводить к изменению положения и формы межфазных границ и скорости фронтов химических превращений.

В работе рассматриваются три модельные задачи, в которых важны взаимосвязи напряжений и положения межфазных границ или фронтов химических превращений.

Первая задача - моделирование взаимного влияния трещины и включения, материал которого может претерпевать фазовые превращения мартенситного типа. В трансформационно-упрочняющихся керамиках такими включениями, являются, зерна^ диоксида циркония [1, 67, 87, 102]. При охлаждении керамики эти зерна остаются в метастабильном (высокотемпературном) состоянии. Напряжения в окрестности вершины трещины инициируют переход зерен в энергетически более выгодное мартенситное состояние. Фазовое превращение зерна сопровождается собственной деформацией превращения, что в свою очередь приводит к перераспределению напряжений и блокировке роста трещины. В целом актуальность этого исследования связана с разработкой композиционных материалов, в которых происходит изменение свойств включений за счет структурных/фазовых превращений, в том числе композитных материалов с эффектами памяти формы.

Изучение фазовых превращений (ФП) в процессе деформирования и разрушения находятся в русле исследований взаимосвязей структуры материала и его деформационно-прочностных свойств. Характерной особенностью этих исследований является их комплексность: исследования ведутся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения [3-5, 7, 8,13-19, 23-29, 31-34, 36, 38, 39, 41-43,46, 47,49, 50, 52, 53, 58-62, 105].

В настоящей работе рассматриваются только однофазные состояния включения. При одних и тех же граничных условиях сравниваются энергии тела с включением, находящемся в исходном метастабильном ("аустенитном") однофазном состоянии и новом "мартенситном" состоянии. Фазовое превращение сопровождается изменением модулей упругости и собственной деформацией превращения. Момент фазового перехода определяется принципа энергетической предпочтительности с точки зрения энергии Гиббса, которая с точностью до твердотельной составляющей (энергией в ненапряженном состоянии) совпадает с потенциальной энергией тела.

Разность энергий Гиббса тела с включением в исходном и новом состояниях равна разности энергий взаимодействия включения с внешним полем. (Энергия взаимодействия равна разности энергий тела с включением и без включения при одних и тех же граничных условиях). При заданных параметрах материала и-форме включения энергия взаимодействия, в свою очередь, определяется исключительно деформациями внутри* включения [55;78]. В простых случаях можно найти эти деформации аналитически, но в большинстве случаев, например, при рассмотрении включения в поле трещины, точные аналитические решения отсутствуют. Построенные же асимптотические решения, использующие, малость отношения размера включения к расстоянию до вершины трещины, например [40], могут оказаться неприемлемыми, так как эффекты взаимодействия трещины и включения проявляются, как правило, при небольших относительных расстояниях между включением и вершиной трещины.

Поэтому одной из основных задач данной работы явилась разработка алгоритма определения текущего фазового состояния включения для любого напряженно-деформированного состояния на основании определения деформаций внутри включения методом конечных элементов (МКЭ). Имея 4 возможность определять фазовое состояние включения, можно исследовать, способна ли трещина инициировать фазовый переход во включениях, и как изменится траектория ее распространения, если включения перейдут в другую фазу. Это и было сделано для случая одиночного включения и трещины.

Вторая рассматриваемая в работе задача — исследование взаимосвязи напряжений и кинетики фронта химической реакции. Актуальность этого исследования состоит в установлении связи между, механическим состоянием системы и скоростью протекающей в ней химической реакции. Задачи механохимии приобретают особое значение в связи с миниатюризацией-элементов конструкций. Например, в MEMS (microelectronic mechanical systems) используются детали микронных размеров из поликристаллических кремниевых пленок. В областях концентраторов напряжений-в таких деталях возникает и растет тонкий слой диоксида кремния. Затем- в оксиде зарождается и растет усталостная трещина, впереди которой развивается фронт окисления. Главные события, определяющие разрушение детали, происходят именно в оксиде, рост которого определяется механическими напряжениями [98-101]. В свою очередь, образование оксида сопровождается деформациями превращения, что влияет на напряжения. Другим примером является образование гидридов (соединений водорода с металлами) применительно к водородной энергетике, когда гидриды, используются в качестве водород-аккумулирующих материалов. Как и в случае диоксида кремния из-за деформации превращения в системе «гидрид - металл» могут возникать внутренние напряжения, влияющие на протекание химической реакции.

Для установления связи между механическим состоянием системы и скоростью протекания в ней фазовых и химических превращений в классической термодинамике используются понятия термодинамического химического потенциала и химического сродства [11, 13, 20]. Именно знак сродства химической реакции определяет направление реакции. Понятие 5 химического сродства может быть применено не только к химическим реакциям, но и к любому физико-химическому процессу. Например, использование химического сродства для исследования превращений в жидкостях и газах рассмотрено в [45]. Один из подходов применить понятие химического сродства к описанию движению межфазной границы и фронтов химических реакций в деформируемых телах развит в монографии [48]. Однако в этой работе рассматривается изменение границы фаз с позиции движения частиц сквозь межфазную границу, поэтому возникают определенные сложности при включении модели в механику деформированного твердого тела (определение деформаций и напряжений).

Другой подход, также вводящий понятие химического сродства, -рассмотрение непосредственно движения межфазной границы как поверхности, на которой претерпевают скачок деформации и свойства материала. Движущей силой является конфигурационная сила [62] (термодинамическая сила, изменяющая конфигурацию тела). Такой подход естественным образом может быть интегрирован в механику деформированного твердого тела. В рамках этого подхода в [79] получено выражение для зависящего от напряжений тензора химического сродства, нормальные компоненты которого определяют кинетику фронта химических превращений. Линеаризация этой модели вблизи химического равновесия была сделана в [107]. Модель позволяет рассмотреть процесс развития фронта химической реакции с учетом действия внешних и внутренних напряжений.

В данной диссертационной работе численно исследовано влияние напряжений на кинетику роста плоского слоя превращенного материала при реакции типа окисления. Показано, что тонкий слой оксида, возникающий на поверхности материала, может играть защитную роль, блокируя дальнейшее окисление вследствие возникновения внутренних напряжений, индуцированных деформацией химического превращения. Толщина слоя зависит от параметров материала, концентрации окисляющего газа на б поверхности образца и механических напряжений. Затем исследована кинетика фронта химических реакций в пластине с выточкой. Показано что концентратор напряжений провоцирует химические реакции.

Третья рассмотренная в диссертации задача — исследование напряжений и деформаций в системе «квантовая точка — подложка». Известно, что упругие поля, вызываемые когерентными островками или, другими словами, поверхностными квантовыми точками (КТ), сильно влияют на электронные свойства самих островков и их окрестностей (см., например, [65, 71-72, 80, 84, 85]). Теоретическое исследование упруго-пластического поведения поверхностных когерентных КТ проводится, начиная с 1995 г. [85]. При этом используются три основных подхода к нахождению упругих полей КТ. Это аналитическое или численноерешение уравнений теории упругости в рамках представления КТ как когерентного включения, метод конечных элементов (МКЭ) и метод молекулярной динамики. Каждая публикация, касающаяся этой проблемы, преследует определенную практическую цель. В работах [6364,68-69, 91- 92, 94-96] поля' смещений и деформаций строились с целью рассчитать электронно-микроскопические (ЭМ) изображения КТ. В работе [81] были найдены поля и энергии КТ для того, чтобы оценить эффект взаимодействия квантовых точек через подложку. В этих работах для нахождения полей в основном использовался МКЭ. Помимо этого в [81] приведено сравнение численных результатов на базе МКЭ и модельных расчетов, допускающих запись полей от КТ в подложке через элементарные функции. Что касается применения к поверхностным КТ аналитических методов теории упругости, отметим как последнее достижение работу [12], в которой поля поверхностной КТ представлены в приближенном аналитическом виде.

Возникающие в системе «квантовая точка — подложка» деформации, вызванные несовместностью кристаллической решетки квантовой точки и подложки, могут быть использованы как инструмент для определения степени однородности материала квантовой точки. 7

Цель работы - реализация разработанных аналитических моделей взаимосвязей напряжений, межфазных границ и фронтов химических превращений в программных средствах численного анализа и исследование с помощью вычислительных экспериментов характеристик рассматриваемых объектов.

Задачи работы. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

- развитие теоретической модели для описания взаимодействия трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработка методики определения текущего фазового состояния включения и ее конечно-элементная- реализация. Исследование влияния фазового превращения во включении на траекторию распространения трещины;

- численная реализация модели распространения фронта химических реакций в. упругом теле. Исследование влияния напряжений на кинетику фронта химической реакции;

- исследование напряженно-деформированного состояния системы «квантовая точка - подложка». Разработка методики оценки степени однородности материала квантовой точки на основе рассчитанных полей деформаций.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1) Разработана новая модель, позволяющая описать взаимное влияние трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработан алгоритм определения текущего фазового состояния включения в поле трещины и проведена его конечно-элементная реализация. На основе вычислительного эксперимента установлено, как изменение фазового состояния включения влияет на траекторию распространения трещины.

2) Проведена численная реализация модели, описывающей кинетику фронта химической реакции с учетом напряжений с точки зрения механики конфигурационных сил. Исследовано влияние напряжений на кинетику роста плоского слоя превращенного материала. Показано существование «запирающего» начального слоя превращенного материала, порождающего внутренние напряжения, блокирующие химическую реакцию. Исследована кинетика фронта химических реакций в пластине с выточкой. На основе вычислительного эксперимента продемонстрировано увеличение скорости фронта химической реакции в области концентрации напряжений.

3) Исследованы напряжения и деформации в системе «квантовая точка подложка». На основе найденного поля перемещений построен псевдомуар этой системы. Предложена новая методика оценки однородности материала квантовой точки на основе сравнения расчетного и экспериментально определенного расстояний между полосами псевдомуара.

4) Разработана и апробирована на примере усталостной трещины новая структура построения сетки конечных элементов, которая позволяет реализовать численное моделирование зарождения и развития трещин с сохранением информации о накопленных изменениях в структуре материала без перестройки сетки.

Научная и практическая ценность заключается в постановке и решении задач с учетом взаимного влияния напряжений, межфазных границ и фронтов химических реакций для рассматриваемых явлений. Результаты исследования могут быть применены для создания- новых материалов, способных управлять траекторией развития дефектов; для более точного описания кинетики фронта химических реакций; для быстрого анализа степени однородности материала квантовой точки.

В первой главе исследуется задача о взаимном влиянии трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение мартенситного типа, которое характеризуется изменением жесткости и появлением собственной деформации превращения. Разрабатывается алгоритм определения фазового состояния включения на основе полей деформаций; рассчитанных внутри включения. Проводится реализация данного алгоритма в средствах конечно-элементного анализа.

В первой части главы рассматривается плоская деформация линейно-упругого тела (матрица) V с прямолинейной трещиной и цилиндрическим включением диаметра Б из материала, претерпевающего фазовое превращение мартенситного типа. Для этой задачи строятся линии переключения фаз для различных геометрических параметров задачи и величины внешней нагрузки, исследуется влияние трещины на фазовое превращение включения. Показано, что как увеличение длины трещины, так и приближение трещины неизменной- длины к включению, способно инициировать фазовый переход во включении.

Во. второй части главы исследуется влияние фазового превращения включения на траекторию распространения трещины. Принимается, что трещина растет под действием циклической нагрузки. Обнаружено, что при положительной собственной деформации фазового превращения включения траектория распространения трещины отклоняется в сторону центра включения, при отрицательной - в сторону от включения.

По мере увеличения внешнего поля обнаруженные эффекты пропадают, и, начиная с некоторого значения, фазовое превращение, во включении не оказывает существенного влияния на траекторию распространения трещины.

Во второй главе исследуется задача о влиянии напряжений на кинетику фронта химической реакции. Используется, модель взаимосвязи напряжений и скорости химической реакции, представленная в [107]. Проводится реализация аналитической модели в конечно-элементном пакете с помощью внутреннего языка программирования.

Исследуется задача о движении плоского фронта химической реакции типа + 02 = БЮг в пластине, находящейся под действием внешней нагрузки. Рассматривается фронт реакции вдали от краев пластины, чтобы избежать влияния краевых эффектов на кинетику фронта химической реакции. Показано, что тонкий слой оксида, возникающий на поверхности материала, может играть защитную роль, блокируя дальнейшее окисление вследствие возникновения внутренних напряжений, индуцированных деформацией химического превращения. Толщина слоя зависит от параметров материала, концентрации окисляющего газа на поверхности образца и механических напряжений. Также обнаружено, что приложенные растягивающие напряжения способны ускорить процесс химической реакции на фронте химических превращений, а приложенные сжимающие напряжения - замедлить или вовсе заблокировать развитие реакции.

Далее рассматривается процесс роста оксидного слоя в пластине с круглой выточкой (концентратором напряжений) под действием внешних сил. Установлено увеличение скорости реакции на фронте химических превращений в области концентрации напряжений по сравнению с ненапряженным состоянием.

В третьей главе рассматривается напряженно-деформированное состояние в системе «квантовая точка - подложка». Квантовая точка (КТ) смоделирована осесимметричным островком, помещенным на подложку, размеры которой много больше высоты островка к и его максимального латерального диаметра 2(1. Характеристическое отношение островка определено величиной 5-к!2с1. Материалы КТ и подложки - соединения антимонида индия (1п8Ь) и арсенида индия (1пАз). Параметры кристаллических решеток материалов квантовой точки и подложки: аш5ь=0-6479 нм и а^^О.60593 нм. Несоответствие решеток моделируется с помощью собственной деформации островка. И г

Проведено исследование влияния формы квантовой точки на распределение радиальной компоненты перемещений. Были рассмотрены квантовые точки трех наиболее типичных форм: сферического сегмента, полуэллипсоида и усеченного сферического сегмента при одинаковых характеристических отношениях £=0.22. Установлено, что изменение формы квантовой точки в рамках рассмотренных типовых форм практически не влияет на перемещения в квантовой .точке.

Рассмотрено влияние параметра 8 на распределение радиальных перемещений. Обнаружено, что общий вид распределения линий Mr(r,z)=const в подложке и квантовой точке не зависит от 8, по крайней мере, в диапазоне изученных 8. Также обнаружено, что, начиная с характеристических отношений S>S , радиальные перемещения верхних слоев квантовых точек можно аппроксимировать функцией ми, =

Г \ ainSb ahtAs

V ainAs J r. Это означает, что, рассчитав распределение полей перемещений для КТ сферической формы с характерным соотношением 8>5 можно построить распределение радиальных перемещений для типичных форм КТ практически произвольной высоты. Такое распределение полей можно считать эталонным для данного материала.

Построено ЭМ-изображение (псевдомуар) системы «квантовая точка -подложка», полученное с помощью динамической теории контраста. Расстояние между полосами псевдомуара А зависит от характеристического отношения 5. Построена зависимость расстояния между полосами псевдомуара в центральной части усеченного островка от характеристического отношения 8 для системы 1п8Ь/1пАз, которая была верифицирована экспериментальными данными. Расхождение составляет менее 7%, что является незначительной величиной для данного типа результатов.

Таким образом, рассчитанная зависимость Д(8) позволяет определять характеристическое отношение КТ путем измерения величины А. А при известном латеральном размере квантовой точки и характеристического отношения можно вычислить высоту КТ. При известных же геометрических параметрах КТ эта зависимость позволит определить степень однородности материала квантовой точки по отклонению экспериментально измеренного значения Д от рассчитанного значения для соответствующей точки на полученной зависимости Д(8).

В приложении развивается новый подход к построению сетки конечных элементов, которая может быть использована при численном моделировании развития областей новой фазы в теле без перестроения сетки при минимизации влияния топологии сетки на развитие процесса. Это позволяет сохранять информацию о последовательном изменении свойств элементов структуры материала. В данном случае термин «новая фаза» можно трактовать в широком смысле, а именно — наличие в теле объектов, различающихся по упругим и/или иным характеристикам.

Сформулированы основные требования, предъявляемые к конечно-элементным сеткам, для минимизации влияния топологии сетки на развитие процесса. Представлена оригинальная топология сетки конечных элементов, которая отвечает сформулированным требованиям и проведена ее верификация на примере роста усталостной трещины на основе накопления повреждений.

Выводы

Разработана двухуровневая конечно-элементная сетка на основе сформулированных принципов построения сетки конечных элементов для решения задачи исследования взаимосвязи процессов накопления повреждений и развития усталостной трещины.

Проведена верификация предложенной сетки с целью оценки чувствительности траектории трещины к топологии сетки и точности расчета КИН при ее использовании.

Показано, что отклонение величины коэффициента интенсивности напряжений от справочных данных составляет менее 3%.

Продемонстрировано, что двухуровневая ячеистая сетка обеспечивает моделирование подрастания трещины в соответствии с локальным полем напряжений и полем повреждений в элементах (структуры материала).

Влияние топологии сетки может считаться приемлемым при дальнейшем развитии модели усталости поликристаллической структуры.

В результате получен эффективный инструмент для конечно-элементного моделирования накопления повреждений и развития усталостной трещины в материале. Моделирование учитывает связь кинетики распространения усталостных трещин в упругом материале с информацией о текущем накоплении поврежденности в рассматриваемой области в процессе циклического нагружения.

Данный инструмент может быть распространен и на моделирование других объектов, свойства которых меняются в ходе решения задачи.

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1) Разработана новая модель, позволяющая описать взаимное влияние трещины и включения, претерпевающего фазовое превращение. Разработан алгоритм определения текущего фазового состояния включения в поле трещины и проведена его конечно-элементная реализация. На основе вычислительного эксперимента установлено как изменение фазового состояния включения влияет на траекторию распространения трещины.

2) Проведена* численная реализация модели кинетики фронта химической реакции в упругом теле. Исследовано влияние напряжений на кинетику роста плоского слоя превращенного материала. Показано существование «запирающего» начального слоя превращенного материала, порождающего внутренние напряжения, блокирующие химическую реакцию. Исследована кинетика фронта химических реакций в пластине с выточкой. На основе вычислительного эксперимента продемонстрировано увеличение скорости химической реакции вблизи концентратора напряжений.

3) Исследованы напряжения и деформации в системе «квантовая точка -подложка». На основе найденного поля перемещений построен псевдомуар этой системы. Найденная ширина полос псевдомуара верифицирована экспериментальными данными для системы 1п8Ь -1пАя. Предложена новая методика оценки однородности материала квантовой точки на основе сравнения расчетного и экспериментально определенного расстояний между полосами псевдомуара.

4) Разработана и апробирована на примере усталостной трещины новая структура построения сетки конечных элементов, которая позволяет реализовать численное моделирование зарождения и развития трещин с сохранением информации о накопленных изменениях в структуре материала без перестройки сетки.

1. Анциферов В.Н. и др. Новые материалы // под научной редакцией профессора Карабасова Ю.С. // М.: МИСИС, 2002. 735с.

2. Афанасьев H.H. Статистическая теория усталостной прочности металлов. Киев: Изд-во АН УССР, 1953. - 128с.

3. С. П. Беляев, А. Е. Волков и др. Материалы с эффектом памяти формы. // Под ред. В. А. Лихачева. СПб.: НИИХ СП6ГУ„Т.1. 1997. с.424; Т. 2., 1998. с.374; Т. 3, 19981 с.474; Т. 4, 1998. с.268.

4. Бердичевский B.JIi Вариационные принципы механики сплошных сред. М.: Наука, 1982. 447 с.

5. Бердичевский B.JI. Зародыши расплава в твердом теле // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. N 1. С. 80-84.

6. Берт H.A., Колесникова А.Л., Королев И.К., Романов А.Е., Фрейдин А.Б., Чалдышев В.В., Aifantis Е.С. Упругие поля и физические свойства поверхностных квантовых точек // Физика твердого тела, 2011, т.53, вып. 10, С. 1986-1996.

7. Бойко B.C., Гарбер Р.И., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов. // М. 1991. 280с

8. Вакуленко A.A. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений/ / Изв. РАН. МТТ. 2001'. No 5 С. 43-62

9. Вильчевская E.H., Королев И.К., Фрейдин А.Б. О фазовых превращениях в области неоднородности материала. 4.2. Взаимодействие трещины с включением, претерпевающим фазовое превращение // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 5, С. 32-42.

10. Вильчевская E.H., Фрейдин А.Б. О фазовых превращениях в области неоднородности материала. 4.1. Фазовые превращения включения в однородном внешнем поле // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 5. С.208-228.

11. П.Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982

12. Гольдштейн Р.В., Городцев В.А., П.С. Шушпанников П.С. Изв. РАН. Механика твердого тела 45, 3, 7 (2010).

13. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М. Наука, 1990, 312с.

14. Гринфельд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251.N 4. С. 824-827.

15. Гринфельд М.А. Асимптотика малой разности плотностей в проблеме когерентных фазовых превращений // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С. 582-592.

16. Гринфельд М.А. О гетерогенном равновесии нелинейно-упругих фаз и тензорах химического потенциала // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллинн: Валгус. 1985. С. 33-47.

17. Гринфельд М.А. Построение физически линейной теории когерентных переходов // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела 1986. N5. С. 79-91.

18. Гузев М.А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // ДАН. 2007. - Т. 416. - №6. -С. 1-3.

19. Гузев М.А. Структура тензора химического потенциала для двухфазной упругой среды в динамических условиях // ЖФХ. -2005. Т. 79. —№9. - С. 1-5.

20. Де Донде Т., ван Рисельберг П. Термодинамическая теория сродства (книга принципов). М.: Металлургия. 1984. 134с.

21. Еремеев В.А., Никитин Е.С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Докл. АН. 1995. Т. 345. №2. С.188-192.

22. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала , на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемы деформируемых сред и конструкции: Труды межвузовской научной программы. Вып:1. 1993. Н-Новгород, С. 187-193.

23. Еремеев В.А. О кручении двухфазного цилиндра // Механика деформируемых тел: Межвузовский сборник научных трудов; 1994. Ростов-на-Дону. С. 56-60.

24. Еремеев В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовое превращение // Мат. моделирование. 1997. Т; 9; №2: С. 66-69.

25. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. РАН. МТТ. 1991.N2. С. 56-65

26. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой '// Доклады АН (Россия). 1992. Т: 322, N 6. С. 1052-1056.

27. Зейтц Ф. Физика металлов. М.: ОГИЗ. 1995. 364с.

28. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в- механике композитных материалов. // Петрозаводск: Издательство Петрозаводского ун-та. 1993. С.59-67, 529-542.

29. Кондауров В.И., Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах//Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. №6. С. 96 1348-1351.

30. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №4. С. 130-139.

31. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях // Матем. методы мех. деформ. тверд, тела. М.: Наука, 1986. С. 56-63.

32. Кауфман JL, Коэн М. Термодинамика, и кинетика мартенситных превращений. // Успехи физики металлов. Т. 4. М.: Металлургиздат. 1961. С. 192-289.

33. Королев И.К., Петинов C.B., Фрейдин А.Б. Численное моделирование накопления повреждений и развития усталостной трещины в упругих материалах. // Вычислительная механика сплошных сред, Пермь, 2009, т.2, №3, С.34-43.

34. Кристиан Дж. Теория превращений в металлах и сплавах. М.: Мир, 1979. 806 с.

35. Кубланов Л.Б., Фрейдин А.Б. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ. 1988. Т.52. Вып.З. С.493-501. (1-13)

36. Лободюк В.А., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. М.: Физматлит., 2009. 352 с.

37. Мовчан A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. АН. Механика тверд, тела. 1995. N 1. С. 197-205.

38. Морозов Н. Ф., Назыров И. Р., Фрейдин А.Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. АН. 1996. Т.346, № 2. С.188-191.

39. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С.220-232

40. Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре// Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С.52-71.

41. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел // СПб.:Профессия, 2002. 320с.

42. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: Наука, 1966.

43. Ройтбурд А.Л. Теория формирования гетерофазноий структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии // УФН. 1974. Т. 113. Вып. 1.С. 105-128.

44. Ройтбурд А.Л., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. Итоги науки и техники. Металловедение и термообработка. ВИНИТИ. М. 1968.

45. Русанов А.И. Термодинамические основы механохимии. СПб.: Наука, 2006,-221с.

46. Установщиков Ю.И., Пушкарев Б.Е. Упорядочение, расслоение и фазовые превращения в сплавах Бе-М // УФН. 2006. Т. 176. Вып. 6. С. 611—621.

47. Фрейдин А.Б. Приближение малых деформаций в теории фазовыхпревращений при деформировании упругих тел // Прочность иразрушение материалов и конструкций. Межвуз. сб. под ред.

48. Н.Ф.Морозова. (Исследования по упругости и пластичности.

49. Вып. 18.) СПб: Изд-во СПб ун-та. 1999. С.266-290.104

50. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990 - Т. 1. - 448с.

51. Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и равновесие фаз при деформировании упругих тел. Дис.на соиск. уч. степени д.ф.-м.н. ИПМАШ РАН. СПб, 1997, 223с.

52. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. М.: Наука. 1974. 384 с.

53. П. Хирш, А. Хови, Р. Николсон, Д. Пэшли, М. Уэлан. Электронная микроскопия .тонких кристаллов. М. Мир, (1968). 574 с.

54. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М. Изд-во иностр. лит. 1963. 247 с.

55. A series of reports on the development of a unified procedure for fatigue design of ship structures // IACS-ABS. 1996-1998.

56. Aamodt B. Application of the Finite Element to Fracture Mechanics. // Dep. of Structural Mechanics. Trondheim, NTH, 1974. P. 117.

57. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics of incompressible materials // J. of Elasticity. 1980.' V. 10., P. 255-293.

58. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in the finite twistingiof an incompressible elastic tube 11 J. of Elasticity. 1981. V. 11. No. 1. P. 43-80. i

59. Abeyaratne R., Knowles J.K. Equilibrium shoks in plane deformation ofIincompressible elastic materials // J. of Elasticity. 1989. V. 22. No. 2. P. 193-200.i

60. Abeyaratne R. and Knowles J. K. Kinetic relations and the propagationof phase boundaries, in solids. Arch. Rational Mech. Anal., 114(2): 119i154, 1991.

61. Abeyaratne R., Knowles J. K. Evolution of phase transitions. Cambridge University Press, 2006.

62. Androussi Y., Benabbas T., Lefebvre A. Ultramicroscopy 93, 161 (2002).

63. Androussi Y., Benabbas T., Kret S., Ferreiro V., Lefebvre A. Phil. Mag. 87, 1531 (2007).

64. Barker J.A., O'Reilly E.P. Phys. Rev. B 61, 13 840 (2000).

65. Basquin O.H. The exponential law of endurance tests // Proc. of ASTM. 1910. - V. 10, Part II. - P. 625.

66. Basu B. Toughening of yttria-stabilised tetragonal zirconia ceramics // International Materials Reviews. 2005. №4. Vol. 50, P.239-256.

67. Benabbas T., Francois P., Androussi Y., Lefebvre A. J. Appl. Phys. 80, 2763 (1996).

68. BertN.A., Freidin A.B., Kolesnikova A.L., Korolev I.K., Romanov A.E. Phys. Status Solidi A 207, 10, 2323 (2010).

69. Bongiorno A., Pasquarello A. Multiscale modeling of oxygen diffusion through the oxide during silicon oxidation // Physical review, B 70, 195312, 2004.

70. Davies J.N. J. Appl. Phys. 84, 1358 (1998).

71. Davies J.N. Appl. Phys. Lett. 75, 4142 (1999).

72. Electronic archive. New semiconductor materials. Characteristics and properties. Ioffe PhysicoTechnical Institute; http://www.ioffe.ru/SVA/NSM.

73. Ellyin F, Fakinlede C.O. Probabilistic simulation of fatigue crack growth by damage accumulation // Engineering Fracture Mechanics. 1985. -V. 22, №4.-P. 697-712.

74. Epstein, M., and Maugin, G. A. Thermomechanics of volumetric growth in uniform bodies. Int. J. Plasticity (2000) 16, 951-978.

75. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. R. Soc. Lond. 1957. A 241. P.376-396.

76. Freidin A.B., Vilchevskaya E.N. On phase transformations of an inclusion in an external strain field // Proc. XXXII Summer School APM-2004. St.-Petersburg. IPME RAS. 2004. P.447-454.

77. Freidin A.B. On new phase inclusions in elastic solids // ZAMM 2007. V.87. № 2. P. 102-116.

78. Jiang H., Singh J. Physica E (Amsterdam) 2, 614 (1998).

79. Jonsdottir F., Halldorsson D., Beltz G.E., Romanov A.E. Mod. Simul. Mater. Sei. Eng. 14, 1167 (2006).

80. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations, Wiley-Interscience, London, NY, Sydney, Toronto.

81. Glinka G. A Cumulative model of fatigue crack growth // Int. Journal of Fatigue. 1982. - V. 4, № 2. - P. 59-67.

82. Groenen J.H., Priester C., Carles R. Phys. Rev. B 60, 16 013 (1999).

83. Grundmann M., Stier O., Bimberg D. Phys. Rev. B 52, 11 969 (1995).

84. Guillou A., Ogden R.W. Growth in soft biological" tissue and residual stress development. In: Holzapfel, G.A., Ogden, R.W. (eds.) Mechanics of biological tissue. Springer, Heidelberg (2006)

85. Gupta T.K., Bechtold J.H., Kuznicki R.C., Cadoff L.H., Rössing B.R. Stabilization of tetragonal phase in polycrystalline zirconia // Journal of material science. 1977. №12. P.2421-2426.

86. Kolesnikova A.L., Romanov A.E. J. Appl. Mechan. 71,3,409 (2004)

87. Knowles J.K. On the dissipation associated with equilibrium shocks in finite elasticity, J. Elasticity, 9 (1979) P. 131-158.

88. Lee E. H. Elastic-plastic deformation at finite strains. ASME J. Appl. Mech., (1969) 36, P. 1-8.

89. Liao X.Z., Zou J., Cockayne D.J.H., Leon R., Lobo C. Phys. Rev. Lett. 82,5148(1999).

90. Liu C.-P., Gibson J.M., Cahill D.G., Kamins T.I., Basile, R.S . Williams

91. D.P. Phys. Rev. Lett. 84, 1958 (2000).

92. Lubarda V.A. Constitutive theories based on the multiplicative decomposition of deformation gradient: Thermoelasticity, elastoplasticity, and biomechanics. Appl Mech Rev. (2004) 57, No 2, P.95-108

93. McCaffrey J.P., Robertson V.D., Fafard S., Wasilewski Z.R., Griswold

94. E.M., Madsen L.D. J. Appl. Phys. 88, 2272 (2000).

95. McCaffrey J.P., Robertson V.D., Poole P.J., Riel B.J., Fafard S. J. Appl. Phys. 90, 1784 (2001).

96. Miller P.D., Liu C.-P., Henstrom W.L., Gibson J.M., Huang Y., Zhang P., Kamis T.I., Basile D.P., Williams R.S. Appl. Phys. Lett. 75, 46 (1999).

97. Miner M.A. Cumulative damage in fatigue // Journal of Applied Mechanics. 1945. V. 12; Trans. ASME V. 67. P. A159-A164.

98. Muhlstein C.L., Brown, S.B., and Ritchie, R.O. (2001). High-cycle Fatigue and Durability of Polycrystalline Silicon Thin Films in Ambient Air. // Sensors and Actuators, A 94. Elsevier, pp. 177-188.

99. Muhlstein C.L., Stach E.A., Ritchie R.O. A reaction-layer mechanism for the delayed failure of micron-scale polycrystalline silicon structural films subjected to high-cycle fatigue loading. // Acta Materialia. 2002. №50. P.3579-3595.

100. Muhlstein C.L., Brown S.B., Ritchie R.O. High-cycle fatigue and durability of polycrystalline silicon thin films in ambient air // Sensors and Actuators, A 94, 2001, P. 177-188

101. Muhlstein C.L., Ritchie R.O. High-cycle fatigue of micron-scale polycrystalline silicon fIlmsA fracture mechanics analyses of the role ofthe silica/silicon interface // International Journal of Fracture, 119/120, 2003, P.449-474

102. Munoz M.C., Gallego S., Beltran J.I., Cerda J. Adhesion at metal-Zr02 interfaces // Surface Science Reports. 2006. № 61. P. 303-344.

103. Offshore installation: guidance on the design, construction and installation. // UK Department of Energy. London: HMSO. - 1990. -536p.

104. Petinov S.V., Letova T.I., Yermolaeva N.S. FEM modeling of the aluminum alloy microplasticity. // Advanced Light Alloys and Composites. NATO ASI Series / Ed. by R. Ciach. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998. - P. 427-433.

105. Roitburd A.L. Martensitic transformation as a typical phase transformation in solids // Solid state physics: advances in research and research and application. New York: Acad. Press. 1978. V. 33. P.317-390.

106. Romanov A.E., Wagner Т. Scripta Mater. 45, 325 (2001).