Исследования флуктуационных явлений в нестационарных отражениях от случайной среды тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Коэффициент отражения, ядро оператора рассеяния и уравнение Риккати.

1.3. Разрыв импеданса на границе слоя.

1.4. Основные уравнения.

1.5. Отражение волны произвольной формы.

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

2.1. Численные схемы решения волновых задач.

Прямое решение.

Обратное решение.

2.2. Тестирование алгоритмов.

Случай неразрывной среды (падение дельта импульса).

Случай разрыва импеданса на границе раздела двух сред падение тетта-импульса).

Проверка работоспособности алгоритмов на случайных неоднородностях.

Глава 3. ОТРАЖЕНИЯ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Случай слабых флуктуаций.

Модель среды.

Результаты вычислений.

Выводы.

Настоящая работа посвящена численному моделированию распространения волн в случайно-неоднородных средах с сильными флуктуациями, решению прямых и обратных задач отражения нестационарных сигналов в условиях многократного рассеяния назад, исследованию флуктуационных явлений в отражениях с целью развития методов дистанционного зондирования.

Задача отражения нестационарных волн в случайной среде рассматривалась во многих работах [4-8,13,19,29,39,49-52,56-62,67,70-79]. В некоторых из них [6-8,29,51,52,56,57] особое внимание уделялось и флуктуационным явлениям. Решение для средней интенсивности было получено аналитически в рамках диффузионного приближения [17,33,49— 52,58,62] или локальной теории возмущений [70,65]. По сути своей оно явилось обобщением, найденным с помощью аналитического продолжения по спектральному параметру[76], хорошо известного решения стационарной задачи [58-60]. Вопросу о применимости полученного результата для случая падения на рассеивающую среду широкополосных сигналов был дан положительный ответ позднее, при сопоставлении аналитических выражений с численными экспериментами [6,8,29,56,57]. Решения для средней интенсивности отражений в случае сильных флуктуаций среды получены численно [52]. Надо отметить, что исследования средней интенсивности были выполнены и для многомерной задачи рассеяния назад в слоистых [68,40,50,67,79] и трехмерных средах [72,76,77,79].

Иная ситуация сложилась в исследованиях относительных флуктуаций интенсивности, в которых рассматривалось уравнение для четырехточечного момента четвертого порядка отраженного поля, полученное в диффузионном приближении [76,77]. Оно оказалось столь сложным, что не поддавалось точному анализу. Было сделано упрощение этого уравнения и получено приближенное решение с ростом относительных флуктуаций интенсивности отражений. Такой рост не наблюдался в экспериментах по рассеянию акустического излучения в океане [78] и регистрировался в измерениях обратного рассеяния света в океане [70] и атмосфере [54]. Относительная дисперсия интенсивности в первом случае оставалась на уровне, соответствующем гауссовым флуктуациям, а во втором заметно возрастала, что позволяло получить дополнительную информацию о среде. Возможность использования флуктуационных эффектов в дистанционном зондировании для одновременного определения коэффициентов рассеяния и поглощения показана в [70].

Отмеченные выше несоответствия различных данных стимулировали в дальнейшем численные исследования флуктуационных явлений в отражениях [6-8,29,51,56,57,79]. Однако авторы этих работ ограничились случаем слабых неоднородностей среды, что затрудняло статистический анализ нестационарных отражений, поэтому полного представления о природе флуктуаций в отражениях не было получено. В связи с этим и возник интерес к получению численных решений в широком диапазоне параметров среды, в том числе и при сильных флуктуациях неоднородностей [52].

В данной работе на примере одномерной задачи рассматриваются флуктуационные явления в отражениях в зависимости от характеристик слоистой среды (дисперсии и радиуса корреляции неоднородностей), от формы исходного импульса, его длительности и частотного заполнения. Обсуждается природа флуктуационных явлений, их связь с когерентными эффектами [59,61]. Исследуются условия возникновения стохастического волнового резонанса [52,59,61,79], особенности диффузионного и не диффузионного режимов рассеяния, динамика статистических распределений и корреляционные свойства отражений. Показана возможность использования флуктуационных явлений в дистанционном зондировании, и предлагаются различные подходы к решению обратных волновых задач в случайных средах, которые следуют из полученных статистических решений.

Для получения решений в данной работе использовались численные алгоритмы [51,52], созданные на основе метода инвариантного погружения [1— 53,55-64,67,72-77,79] непосредственно во временном представлении [21,53,63]. С их помощью определись функция Грина или ядро оператора рассеяния, а отражения при произвольной форме падающего импульса находились посредством свертки.

В работе рассматривается линейная среда, характеризующаяся двумя параметрами: импедансом и скоростью сигнала. В однопараметрических средах эти величины связаны между собой, этот случай будет рассмотрен особо. В общем случае динамические эффекты в рассеянном назад поле определяются локальным коэффициентом отражения (логарифмической производной импеданса), а распространение волны в среде и связанные с этим кинематические эффекты - скоростью сигнала. Поэтому с целью упрощения анализа флуктуационных явлений в отражениях основная часть исследований данной работы выполняется в предположении, что скорость волны -детерминированная функция. Обобщение требует увеличения объема вычислений, но не составляет принципиальных трудностей. В качестве статистической модели локального коэффициента отражения используется гауссов процесс с экспоненциальной корреляционной функцией, получаемый как решение уравнения Ланжевена [68].

Диссертация состоит их трех глав введения и заключения. Общий объем диссертации составляет 110 страниц и включает 42 рисунка и список литературы из 79 наименований.

Во введении обсуждается современное состояние методов решения задачи рассеяния волны слоем неоднородности, обосновывается актуальность работы и обосновываются цели и задачи исследований.

В первой главе осуществляется постановка задачи и вывод основных уравнений метода инвариантного погружения для нахождения отражений. Показана связь полученных уравнений с волновыми уравнениями акустики и радиофизики. Получено соотношение для нахождения откликов для падающих импульсов разной формы

Во второй главе описывается численная схема, решения уравнений метода погружения для случая падения импульса на слой среды с разрывом импеданса на границе и случая непрерывного импеданса. Приводятся результаты тестирования алгоритмов путем сравнения с известными аналитическими решениями и по замкнутой схеме. Также сравниваются два способа моделирования рассеивающей среды задачей импеданса и локального коэффициента отражения.

Третья глава посвящена результатам исследований флуктуационных явлений в нестационарных отражениях от случайной среды. Описываются численные статистические эксперименты моделирования отражений при падении волны на слой с разрывом импеданса и без разрыва импеданса на границе слоя. Исследованы влияния параметров среды и импульсов на флуктуации отражений. Установлена возможность получения статистических характеристик среды из статистических характеристик флуктуаций отраженного сигнала. Соотносятся различные аналитические решения с решениями, полученными численно для различных импульсов. 9

В заключении формулируются основные выводы и результаты работы. Обсуждаются возможность применения результатов исследований для решения обратных задач.

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены статистические решения для нестационарных отражений в слоистой среде и исследовано поведение статистических характеристик отражений в зависимости от параметров среды и падающего импульса, анализ решений выполнен с учетом многократного рассеяния. В связи с тем, что статистические распределения отражений слабо отличались от гауссовых, для выявления этих малых отклонений применялся кумулянтный анализ. Рассмотрены средняя интенсивность, четвертый, шестой и восьмой кумулянты.

Показано, что статистические характеристики отражений существенно зависят от соотношения параметров среды и падающего импульса, а также от частотного заполнения исходного сигнала, см. параграф 4 главы 3. Эта зависимость проявляется тем сильнее, чем выше номер кумулянта отражений. С увеличением длительности исходного сигнала возрастает затухание средней интенсивности и увеличивается размах колебаний кумулянтов отражений. Во временном поведении эксцесса отражений импульсов можно выделить две фазы колебаний: начальную подавления флуктуаций и последующую их роста. Момент смены фаз колебаний эксцесса определяется интенсивностью флуктуаций локального коэффициента отражения среды, а амплитуда колебаний эксцесса отражений - размером неоднородностей локального коэффициента отражения. С возрастанием номера кумулянта увеличивается число фаз и амплитуда их колебаний.

Эти особенности в поведении статистических характеристик дают дополнительные возможности для дистанционного определения параметров рассеивающей среды. Например, в случае статистически однородных сред при двукратном зондировании импульсами различной длительности по средней интенсивности отражений можно определить коэффициент диффузии (коэффициент рассеяния) и размер неоднородностей среды. А при зондировании импульсом только одной длительности эти же характеристики среды определяются по средней интенсивности и эксцессу отражений. Возможно использование и других, более высоких, кумулянтов.

Заметим, что диссипативные эффекты в данной работе не рассматривались, их проявление в статистических характеристиках отражений исследовалось ранее, так, например, в работе [54,70] средняя интенсивность и второй момент интенсивности отражений использовались для одновременного определения коэффициентов рассеяния и поглощения среды.

В заключение рассмотрим методы решения обратных волновых задач в случайных средах. Использованные в работе численные алгоритмы позволяют получить как прямые, так и обратные решения. С помощью обратных решений по ансамблю реализации откликов дельта импульсов можно найти ансамбль реализаций неоднородностей среды, а по ним уже определить все статистические характеристики неоднородностей. Это - прямой и самый эффективный путь решения обратной статистической задачи.

Однако в условиях реального эксперимента не всегда удается получить сами отклики. Чаще всего вместо амплитуды откликов регистрируется их интенсивность, усредненная по некому временному интервалу, определяемому параметрами приемного устройства. В этом случае частично или полностью теряется информация о флуктуационной компоненте отраженного сигнала и как следствие о размерах неоднородностей среды, тогда по средней интенсивности восстанавливается лишь коэффициент диффузии среды. Замкнутого уравнения для средней интенсивности, как и для спектра мощности не существует, вместо этого можно получить бесконечную систему уравнений для моментов коэффициента отражения [49,50,76,77,62]. На основе этой системы уравнений созданы процедуры решения обратной статистической задачи [6-8,17,40].

Сформулируем результаты и выводы работы.

1. С помощью метода инвариантного погружения и численного моделирования получены статистические решения для нестационарных отражений в случайной слоистой среде. Исследованы средняя интенсивность, четвертый, шестой и восьмой кумулянты, корреляционные функции амплитуды и интенсивности отражений в условиях многократного рассеяния при сильных и слабых флуктуациях среды.

2. Выполнен анализ поведения статистических характеристик отражений в зависимости от параметров среды и падающего импульса.

1. Ablowitz M.J. and Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. / SIAM Studies, N. 4, Philadelphia, 1981.

2. Agranovich Z.S. and Marchenko V.A., The Inverse Problem of Scattering Theory, Gordon and Breach, New York, 1963, V. 62.

3. Alfred M. Bruckstein, Bernard C. Levy and Thomas Kailath. Differential Methods in inverse scattering. // Siam J. Appl. Math. Vol. 45, No. 2 April 1985.

4. Andrew E. Yagle, Bernard C. Levy. A algorithm fast solution of inverse problem for a layered acoustic medium probed by spherical harmonic waves. // J. Acoust. Soc. Am. Vol. 78, No. 2, August 1985. P. 729

5. Andrew E. Yagle, Bernard C. Levy. Application of the Schur algorithm to the inverse problem for a layered acoustic medium. // J. Acoust. Soc. Am. Vol. 76, No. 1, July 1984. P. 301

6. Asch M., Kohler W., Papanicolaou G., Postel M. and White B. Frequency content of randomly scattered signals. // Siam Review. 1991. V. 33, P. 519626.

7. Asch M., Kohler W., Papanicolaou G., Postel M. and White B. Statistical inversion from reflections of spherical waves by a randomly layered medium. // Waves in Random Media. 1996. N. 6. P. 293-334.

8. Asch M., Papanicolaou G., Postel M., Sheng P. and White B. Frequency content of randomly scattered signals. Part I. // Wave Motion. 1990. N. 12. P. 429-450.

9. Balanis G.N. The plasma inverse problem. // J. Math. Phys. 1972, V. 13, P. 1001-1005.

10. Berryman J.G. and Greene R.R. Discrete inverse methods for elastic waves in layered media. // Geophysics, 1980, V. 45, P. 213.

11. Berryman J.G. Inverse methods for elastic waves in stratified media, preprint 1979.

12. Bruckstein A.M., Levy B.C., Kailath T. Differential method in inverse problem. // SIAM J. Appl. Math., 1985, V. 45, N. 2, P. 312-335.

13. Bube K.P. and Burridge R. The one-dimensional inverse problem of reflection seismology. // SIAM Rev., 1983, V. 25, P. 497-559.

14. Bube K.P., Burridge R. The one-dimensional inverse problem of reflection seismology. // SIAM Rev., 1983, V. 25, N. 4, P. 497-559.

15. Burridge R. and Chang H. W. Multimode one-dimensional wave propagation in a highly discontinuous medium. // Wave Motion. 1989, N. 11, P. 231-249.

16. Burridge R., Papanicolaou G. and White B. S. One-dimensional wave propagation in a highly discontinuous medium. // Wave Motion. 1988, N. 10, P. 19-44.

17. Burridge R., Papanicolaou G., Sheng P. and White B. S. Probing a random medium with a pulse. // SIAM J. Appl. Math. 1989, V. 49, P. 582-607.

18. Burridge R., The Gelfand-Levitan, the Marchenko, Gopinath-Sondhy integral equations of inverse scattering theory, regarded in the context of inverse impulse-response problems. // Wave Motion, 1980, N. 2, P. 305323.

19. Chadan K. and Sabatier P.C. Inverse Problem in Quantum Scattering Theory. Springer-Vverlag, New York, 1977.

20. Claerbout J. Fundamentals of Geophysical Data Processing. Blackwell Scientific Publications, 1995.

21. Corones J.P., Davison M.E. and Krueger R.J. Direct and inverse scattering in the time domain via invariant imbedding method. // J. Acoust. Soc. Am., 1983, V. 74, P. 1535-1544.

22. Courant R. and Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 11, Wiley, New York, 1962, P. 416.

23. Deift P. and Trubowitz E. Inverse scattering on the line. // Comm. Pure Appl. Math. 1979, V. 32, P. 121.

24. Fadeev L.D. The inverse problem of quantum theory of scattering. // J. Math. Phys., 1963, N. 4/1, P. 72-104.

25. Friedlander F.G. Sound Pulses. Cambridge University Press, London, 1958 Sections 3.6-3.9.

26. Gelfand I.M. and Levitan B.M. On the determination of a differential equation from its spectral function. // Izv.Akad. Nayk SSSR, 1951, V. 15, P. 309; also Amer. Math. Soc. Transl. 1956, N. 1, P. 253.

27. Gopinath B. and Sondhi M. M. Determination of the shape of humanvocal tract from acoustical measurements. // Bell Syst. Tech. Journal, 1970, V. 49 P. 1195-1214.

28. Gopinath B. and Sondhi M. M. Inverse of the telegraph equation and synthesis of nonuniform lines. // Proc. IEEE, 1971, V. 59, P. 383.

29. Gulin O.E. and Yaroshchuk I.O. Statistical modeling of the backscattered field in a one-dimensional non-stationary stochastic problem. // Waves in Random Media, 2001, V. 11, N. 11, P. 413-423.

30. Howard M.S. Inverse Scattering for a layered acoustic medium using the fist order equations of motion. // Geophysics, 1983, V. 48, P. 163-170.

31. Kay I. and Moses M.E. Inverse Scattering Papers: 1955-1963. Mathematical Sciences Press, Brookline, MA, 1982.

32. Kay I. The inverse scattering problem when the reflection coefficient is a rational function. // Comm. Pure Appl. Math, 1960, V. 13, P. 371.

33. Klyatskin V. I. The imbedding method in statistical boundary-value wave problem. // In Progress in Optics, edited by E. Wolf. 1994. V. 33. P. 1-127.

34. Krein M.G. On a method for the effective solution of the inverse boundary value problem. // Docl. Akad. Nauk SSSR, 1954, Y. 94, P. 987-990.

35. Kristensson G. and Krueger R.J. Direct and inverse scattering in the time domain for dissipative wave equation. I. Scattering operators. // J. Math. Phys., 1986, V. 27, N. 6, P. 1667-1693.

36. Kristensson G. and Krueger R.J. Direct and inverse scattering in thetime domain for dissipative wave equation. II. Simultaneous reconstruction of dissipative and phase velocity profiles. // J. Math. Phys., 1986, V. 27, N. 6, P. 1667-1683.

37. Krueger R.J. An inverse problem for a dissipative hyperbolic equation with discontinuous coefficient. // Quart. Appl. Math. 1976, V. 34, P. 129-147.

38. Landau H.J. The inverse problem for the vocal tract and moment problem. // SIAM J. Math. Anal. 1983, V. 14, P. 1019-1035.

39. Newton R.G. Inversion of reflection data for layered media: a review of exact methods. // Geophys. J. Royal Astr. Soc., 1981, V. 65, P. 191-215.

40. Papanicolaou G., Postel M., Sheng P. and White B. Frequency content of randomly scattered signals. Part II: Inversion. // Wave Motion, 1990, N. 12, P. 527-549.

41. Santosa F. and Schwetlick H., The inversion of acoustical impedance profileby methods of characteristics. // Wave Motion, 1982, N. 4, P. 99-110. 42.Schur I. Uber Potentzreihen, die im Innern des Einheitskreises Beschranki

42. Symes W. Inverse boundary value problems and a theorem of

43. Gelfand and Levitan. / Technical Summary Report, # 1846, Madison Mathematics Research Center, 1978.

44. Ware J.A. and Aki K. Continuous and discrete inverse-scattering problems in a stratified elastic medium. // J Acoust. Soc. Amer. 1969, V. 45, P. 911.

45. Wenston V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispersive partial differential equation. // J. Math. Phys. 1972, V. 13, 1952-1956.

46. Zakharov V.E. and Shabat P.B. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. // Sov. Phys. JETP, 1972 V. 34, P. 62-69.

47. Абрамович Б. С., Гурбатов С. Н. Нестационарные задачи многократного рассеяния волн в одномерной случайно-неоднородной среде. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1980, Т. 23, № 3, С. 442-451.

48. Аристов С. Н., Гурбатов С. Н. Многократное рассеяние волновых пучков в плоскослоистых случайно-неоднородных средах. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1981, Т. 24, № 8, С. 960-969.

49. Бубновский А.Ю., Шевцов Б. М. Отражения нестационарных сигналов в средах с большими флуктуациями неоднородностей. // Изв. ВУЗов, «Радиофизика», 2001, Т. 44, № 10, С. 847-859.

50. Бубновский А.Ю., Шевцов Б.М. Статистические характеристики нестационарного рассеяния назад в случайно-неоднородных средах. // Изв. ВУЗов, «Радиофизика» 1999, Т. 42, № 12, С. 1153-1164.

51. Бугров А. Г., Кляцкин В. И. // Метод погружения в решении обратных волновых задач. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1989, Т. 32, № 3, С. 321.

52. Букин O.A., Столярчук С.Ю., Тяпкин В.А., Шевцов Б.М. О возможности статистического описания обратного рассеяния света в атмосфере./ VIII Всесоюзный симпозиум по лазерному и акустическому зондированию. Томск, 1984, С. 87-90.

53. Гулин О. Э., Темченко В. В. Аналитико-численный метод моделирования нестационарных волновых полей в слоистых средах. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1997, Т. 37, № 4, С. 499-504.

54. Гулин О. Э., Ярощук И. О. О флуктуациях обратно рассеянного поля в случайной слоистой среде. // Акустический журнал, 1999, Т. 45, № 6, С. 781-788.

55. Гулин О. Э., Ярощук И. О. Флуктуации импульсов, рассеянных слоем случайно-неоднородной среды. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1999, Т. 42, № 4, С. 383-393.

56. Кляцкин В. И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986, 256 с.

57. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения). М.: Наука, Физико-математическая литература, 2001, 528 с.

58. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980

59. Кляцкин В. И., Гурарий Д. Когерентные явления в стохастических динамических системах. // Успехи физических наук, 1999, Т. 169, № 2, С. 171-207.

60. Кляцкин В. И., Саичев А. И. Статистическая и динамическая локализация плоских волн в хаотически слоистых средах. // Успехи физических наук, 1992, Т. 162, №3, С. 161-194.

61. Кляцкин В.И., Кошель К.В., Шевцов Б.М. О решении обратных волновых задач для слоистых сред. // Изв. АН, ФАО, 1995, т.31, N4, с. 517-525.

62. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973.

63. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

64. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М., Наука, 1978, 544 с.

65. Попов Г.В., Ярощук И.О. Спектральные компоненты поля точечного источника в случайно-неоднородной среде. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1990, Т. 33, № 11, С. 1232-1240.

66. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. М.: Наука, 1976.

67. Самарский А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

68. Фортус В.М., Шевцов Б.М. О возможности статистическогоподхода к описанию обратного рассеяния света. // Оптика и спектроскопия, 1986, Т. 60, вып. 3, с.578-582.

69. Чернов JI.A. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1975, 171 с.

70. Шевцов Б. М. К статистической теории обратного рассеяния в случайно-неоднородных средах. // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1981, Т. 24, № 11, С. 1351-1355.

71. Шевцов Б. М. Обратное рассеяние волн в слоистой случайной среде с регулярными неоднородностями. // Изв. ВУЗов, Радиофизика 1989 Т 32 № 9 С 1079-1083

72. Шевцов Б. М. Статистические характеристики волн в слоистой случайной среде с регулярными неоднородностями. Изв. ВУЗов Радиофизика 1990 Т. 33 №2 С. 191-195.

73. Шевцов Б. М. Статистические характеристики обратно рассеянного поля. Изв. ВУЗов Радиофизика 1985 Т. 28 №6 С. 717-724.

74. Шевцов Б. М. Трехмерная задача обратного рассеяния в слоистых случайно-неоднородных средах. Изв. ВУЗов Радиофизика 1982 Т. 25 №9 С. 1032-1040.

75. Шевцов Б.М. Задача обратного рассеяния в трехмерных случайно-неоднородных средах. Изв. ВУЗов Радиофизика 1983 Т. 26 № 4 С. 434-439.117

76. Шевцов В. П., Саломатин А. С., Юсупов В. И. Исследование объемного рассеяния звука частоты 12 и 30 кГц в Тихом океане. // Изв. АН СССР, Физика океана и атмосферы, 1985, Т. 21, № 6, С. 638-647.

77. Ярощук И. О., Попов Г. В. Статистическое моделирование распространения волн во флуктуирующих средах. Владивосток: Дальнаука, 2000, 155 с.