Исследования из экстремальных задач теории сильного суммирования рядов и интегралов Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДВД1Я НАУК УКРА1НИ ' ОРДЕНА ТРУДОВОГО ЧЕРВОНОГО ПРАПОРА

[НОТИТУТ МАТЕМАТИКИ *

Иа правах рукопаоу ПАЧУЛ1А Шазбай Лукич /

УДК_517.5

' ( досл1дквння 3' екстрммьшх 'задач tbopiI сильного

I

о v

\ СУМУВАНШ РЯД1В I 1НТЕГРАЛ1В К0Ш1

<01.01.01 - математчняй аяал!э)

, автореферат

диовртадН аа здобуня вчааого сиупвая домора,ф1зяко~ма1вма1иЧ(Шх науя

Кя!в - 1992

)

Робота вяконана в Абхазькому державному .ун 1 в ерс и га гI I Ордена рудового Червового Прапору 1нс титут! математики АН Ук-Г"1нп. •

Оф|ц!йй! опонвн1ш доктор ф1зйко-математпчних наук ■ проф<эоор~0.Д.ГАБ1С0Н1Я

доктор ф1зико-матаматичних наук В.М.КОНОВАЛОВ

доктор $1эгто-.матаматичних наук профеоор В.П.Моторний

■Пров1дна орган!зац!я ТбШйькпй державний ун1ввраятет

1м. 1.Дяава11ив1л1

Захиот в!дбудатьая "2Н" МояТр^ 1992 р. о годин! на зао!данн! спец1йя1зовано!радиД 016 50г01 при 1но-гятуг1 матегатпки АЙ Укра1нп за- адрааоя:

252501, Кп!в - 4, МОП, вул. Реп1па,

3 дш1ертап1ею мота оэнайоммиоь в б!бл1огец1 !нотитуту.

Авгор^трат роз!олано 1992 р.

Вчони'Т оегфатар • .

оп'1ц1ал!повано1 ради ^ ' • Гусад Д.В;

Я*'.: 1

ЗАГАЛШ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальв|охь тема. В робох! розглядангьоя питания, зв"яза-п! з одним 1з в!дгаяузвдь /те/лагичного аналгзу - з таор!ею сильного оумувапня ряд!в I 1нгеграл!в Фур"е. Ця тематика баре овН1 початок у в ¡до;/..г1х роботах Хард! I Л1 гльвуда. На оьогодн! у даному надряшу в велика к!льк!оть роб!г, в яких отршлана ц!ла низка ваяливях разультат!в. Значна часпша рашпх результат!в вакладена в фундалкнтальнах монографиях Н.К.Бар1 1 А.Зигмунда, а також в книз! Г.Алакоича. Б!льш п1зн1 результат чаатково в1добракв!11 в книгах Л.ЛаЬидлара, Б.С.Калина ! А.А.Саакяна, ОЛ.Сгапанця хода, в доктороьких диоертац!ях О.Д.Габ1оон11, Л.Д.Гоголадзв, Р.М.Три-губа, а також в оглядових отаттях Л.В.ЖШаивШ, БЛ.Голубова, Л.ВД!х!а1Пв1л! I С.Б.ТопурП тощо. В названия публ!кац!ях м!оти-тьоя валика б!бл!ограф1я, яка охоплюв основн1 разультати, отрима-н! в даному налрямку.

В прадотааленШ робот! пропонуетьоя загальний п!дх!д, який дозволяе доол!дяувати задач!, пов"язан! з оильншл оумуваняям як ряд!в, так ! !атеграл!в Фур"в, а такоа ряд!в Фур"е за ортоаормо-ваяш.ш системами функцМ пол!ном!ального виду. При цьому узага-льнюетьоя 1 о шла класична поняття сильного оумування шляхом ввэ-дання так званях , Д,)-сильних оередн!х, як! визяачалгься на-огупним чаном:

ро

*) = г дЛ (№-$к({,, (I)

* ' К - о

да ¡.А'*:] , - Дов!льна поол!довя1ать чисел,

($(•) - нев!д"емна фуикцЫ, означена на [0, ,

Sк(f¡x) ~ чаогкова оума порядку к ряду Фур"в функц!1 /с 1-(т), г= . Б1дм1тймо, що пра певних ф1коованях

значениях параметр!в I X ап!впадаюгь з в!домями ран!-

Ш8 величинами.

Огряман! в робот! результата охоплюпть результат попередяи-к!в в даному ягшрямку, доповнгаочя ! угочнпюча 1х. Значна чаоиша результата ран!пе ово!х апаюг!в не мала, шо обумовлено, головни,1 чипом, эагачьн!отп ) Д) -опльних оерздн1х, а такоя роз-

глядуваниш б робот 1 клаоами функц!й.

Мата робот. Досл!дкення екогренальних задач, зв"язаних з Л) -методом сильного сумуваная як ряд1в, так 1 !нтеграл!в Фу-р"е. Отримшшя р!вном!рних оц1нок (($, Я)-сильних оередн!х ряд!в Фур"е за тригонометрпчноп оиотемою |ункц!й, а такох за системами фулкц!й пол!ном!ального виду для р!знох клао1в функц!й. Отрцмання р1в/юи1рнпх оц!нок 1нтегральних ((§, Д^-оильних оередн!х в)дхя-лвнь агрвгат1в наближення для, взагал! кажучи, напер!одичних на

/2"' функЩй.

Методика дойл!даенвя. В дшзвртац!йн!й робот! розроблеяо метод, який дозволяе досл!джуватя ((£, Л,) -сильн! середн! мэтод!в а уму валяя кратких ряд!в I 1нтеграл!в Фур"е для дов!лышх значвнь параметр!в С(> I Я . Цей метод базуетьоя на доолдаенн! 1н-твгральних предотавлень в!дхилвнь (у> , А)-опльаих середн1х з вра-хувашшм оста!ш!х дооягнонь в розв"язуванн! екотремальних задач, зокрвма, в!домпх !двй В.Тотика.

Наукова новизна. Запропонованай метод доол!дження дозволив отрпчати:

- р!виом!рн! оц!нки (у, Я)-опльних оередн!х кратних ряд!в як за тригоноштрйчниш, гак I за с по те мами функцЮ пол!ном!аль-пого виду для р1знпх клао1в функц!й;

- р1вно).!1рн! оц(нкя огепоневга опльнах оерадн!х крагннх ряд!в Фур"е для дов!льного методу сумуБання;

- р!Еном1ри! оц!икп (0?, Я)-сильних середн!х типу Марцинкевича ряд1в Фур"е за трагонометричною оиотемою функц!!!;

- р!впом!рн! он! шеи !нтегральних (у, Я)-опльних аередн!х в!д-хилвиь агрогат!в найлпкання в!д нвдврервно! на функцН;

- р1в11см!рн! оЩнкп йпегральних (($ , Л) -оильнпх оередн!х типу '.Ьрцппковпча в !дхшгень агрегат {в наблжанял в!д недерервно! на

кт функц! I.

Вказан! оц!нкн не модна пол!шштп в тому розум1ня1, що кожного раз?, мо*на вказатина значения параметр!в! мшсгни фушщ!Гг, лля як их ц! outiiF.ii будуть точнимд-за порядком.

Теоротячиа 1 практична значущ!огь. Сукупн!оть розроблених в ре "¡от! полог,ень мае теоретично значения в теорН сильного аумуван-ил I;;;--; гппх. ряд(в Фур"е, а так ох коав бутя використана при розв"я-

зуванн! низка,з/?здл з гаор! I наближення.

Пубд}кацП. 1(По хем1 дисертацН опубл1ковано 47 роб1г, з них II росНг окладпсдсцову диоертацп. Список цих роб!г наведено в к1нд! автореферату.

Структура { об"ем дисертацН. Робота складаетьоя з трьох роздШв, дередмови 1 слиоку л!тератури, в якай входить 63 найма-нування. Коляда розд(л складаетьоя з чотирьох параграф1в. Об"ем диоертацИ - отор{нок машшошюу.

Адробад1я. Диоертац1я впконувалаоь в Абхазькому держуа1вер-оитат! 1 остаточно була зак(нчена у в!дд1л1 теорИ функц!й ^статуту математики АН Укра1ни. Результата дисертацП неодноразово до-дов!далиаь автором яа cej.ilнар!, керованому проф. 0.1.Степанцем у 1нстигут{ математика АН Укра1нп, на сешнар! чл.-кор. АН СРСР П.Л.Ульянова I на аам1нар1 про$еоор!в Б.С.Каяина 1 КЛ.Осколкова в ВДУ, на сем1нар1 чл.-кор. АН ГрузН Л.В.ЖЫалшШ в ТДУ, а та-коа:

- на м1кнародн!3 ронференц!! з таор!! наближення функций (Ка!в, 1983)}

- на воесоюзн1й школ! з гвор!I наближення функц!й (Луцьк, 1989);

- на воеооюзн!й конференцН з теорН функц!й (Дн1дропетроваьк, 1985);

- на реопубл{каноьк1й конференцН з екотремальдих задач таорЛ наближення 1 1х заотооувань (Ки!в, 1990);

- на роэпшреяому зао!данн! оем!нару 1нотитуту прикладно! математика 1м. ¡.Н.Векуа (Тб1л1о1, 1990);

- на конфаранц!ях профеаороько-викладацького окладу АДУ.

Перше коло роэглянутих в робот! пятань мае в!дногаання до до-ал! дження багатовим!рного аналогу величия (I). Як1вд в (I) поклаоти

Ш1СХ РОБОТИ

К > И ;

i i¿p, p>0, 10

n

HWfr*) = &n/M =

да f>K(f;oc)= f(x)-SK(f;0L).

0ц1нки величин (f \x) , що отановлять для нас íhtb-

pao, були отршлан! Г.Алексичвм 1 Д.Краликом (1963) при р = 1 I Л.ЛоВяллером (1965) для будь-якого р> 0 , в яких показано, що \f f £ С(Т) оправедлива нар!вн1оть

да /Iр - величина, яка може залежам т1лыщ в1д р , а

Ek(f) - найкраще р!вном!рна наблаженяя фуакцН f(') три-гононотрпчнш.ш пол! нсмами (%) порядку ¿ К :

к ,/л

Подальше прооування в доал1дяанн1 величин

(4)

ПО-

в"язэле з 1монами В.Тотика t Л.Гоголадза, як! доол1дяли !х при

, р > 0 » мв вже для дов1льних поол1довноотеа

члоел, п!дпорядковал1К павним умовэл. Так, в 1979 р. В.Тотпком було отримана наступив твардкення.

TE0FE.1A Т. Нехай

kqNo

- будь-яка поол!дов-

н1оть чиаал, (^yjvf/v (Kb~0, i) ~ отрого зроогаюча поол1-доз(Нсть чиоал 1з /У0 ; , К , - иезростаю-

чг н^рзотансвка модул1в система чисел

I Р > 0 . r nv*i

П-»

Пу

К-n.fi Хе+ TLt

К

(5)

Тод! \/ { € С (Г)

РО

Нх^'С?:*) = 11 К *

У = С

Для формулпвання разулыату Л.Гоголадзе введеыо наотупн! по-значення.

Нехай ^ (ос) - ~ -пар!одпчна по кожн!Й

1з зм!нндх, оумовна на куб! пар!од!в Тт функц!я ( ^ С

€ 1_,(Тт))• II РВД ®УР"е 51( можна запиоатя у вигляд! -о т

5[(] = Г" г я-'т \ П СИ, (?)

^--ОО '

да знак / ^_^ означае, пдо оумування проводитьая по во1х

координатах точки К , ^ (к) = , ..., ) - к!льк!оть

нульових координат точки /С .

Вираз (7) будемо називати повним рядом Фур"е функцИ ?(•) , або просто рядом Фур"е, на в!дм!ну в!д чаогинних ряд!в Фур "в фун-кцН {(•) , по ф1кооваяому набору зм!нних, як! визначаютьоя таким чином.

Нехай т = [4-,2, ^ I у/ - будв-яна п!дмножина

!з т , I и | - погужн!оть множим ^и . Тод! {6"ЦТ")

покладемо , ~

+ п ео% к.-Ь с/^. (8)

Д0 Яц^К) - к!льк!оть нульових координат Ку . ,¿6 ^ , точки к , t=(tí,....tn) , ^ = яркому кали ^ е ^ , ! = 0 , коли j £ С^ = Л7 4 у{ ,

сИ1^ = Л.. сГЬ .

¿€ ^ П

Ч?раз ^ (Тх) будемо позначати прямокутну чаотинчу

о уму порядку п^ ряду (8), тобто

Sn Jf;*) = t_ П eos к, t, di^. <9}

ShW jJ jeji

Очевидно, що Sn n(f¡%) - Sf¡ jij(f¡ 6 прямокутною частшшою оумоп ряду (7).

Нехай £ Иц J yjg. д^ tj6 tñ, - отрого зроотаюча поол!дов-н1оть чиоел 1з N0 i (¡¿-[Пц]?Л^.

Будемо говорит, що при деякому f > d поол1довн!оть Л - {?iK ] ке щп наложить клаоу Q^ (fó) , якщо

20, Vк € М0т° 1 Vj* С- М

И я; *

¿V J jJ к'Ч^-еУ

де С - (i , ..., i) , - ,' fl - абоолютна ахала.

Через Gr {Tí, £) будемо позяачати мвокяиу поол1довяоо-гей Д = A(t) = {ЛКМ}К<£/Ч»> С для яки нвр1вн1оть

(10) вппонуетьоя р!впом1рно на Е . В1дм!тпмо, що якио А». = ~ % ^> é ~ * • то Ш0!Шна fá> оп1впадае з

гпочшою А /I n т , введено» Л.Гоголадзо ран1ше.

T30PBI.1A Г. Якщо матриця /\ = (начежить клаоов! ti Г т > 10 У f б С(Тт) при будь-якому р > О с праве гляву nepiBüiOTb

- Z-^rtMt^y.' <">

де $м,г> ~ величина, яка залегать т!лыси в1д \ р ,

а Е.^^ £ ~ чаогинае наЯкраще наблнмння функцП ^(•)

тригономагричнимп пшпномами порядку К^- по зм!нних Ху , ^ € ^ , коефШенти яких е неперарвнимн -пар!одичншш

функщяма В1д оотанн!х зм!няих X; , с е Ш \ /у/ .

Якщо виконан! унови (10) при т = / , то безпооередньою перев!ркоп иокна переконатиоя, що нер!вн!оть (II) випливае !з (8), тобто в одновимЛрному випадку тверджання В.Тотика виявляеть-оя оильн!дшм. Багаговим!рного аналогу результату В.Тотика доо! не !снувало.

В диоертац!йн!й робот! такий аналог знайдено. Матер!ала з цього питания викладано в § 1.1. Ооновний результат при цьому м!отитьоя в наотупному тверд,«анн!.

ТЕОРЕМА 1.1.1. "Л-у^^./бда, -

дов!льн! поол!довноот! чиаел, чиола € А/0) отрого

зростають, причому П0- О \ П£ = { . Тод! У/ €. С(Тт), \/р>0 ^ Г7 />

к = о J =1 * и с=»о т т

да //р - величина, яка залежать в!д р , ! К-, .. ,

Ну = , ... а величина визначаетьоя форму-

лою (5). с/

Очевадно, що при IV - { нер!вноог! (6) ! (12) оп!впадають. В1дм!гимо також , що якщо в теорем! Г вважати Д^ -

=л«1 1 ***КОХЯОГО ¡/ ем вважати ваконаяою умову (10) при т = I , то !з (12) мо-

можна отримати нер!вн1агь (II). Таким чином, тварджаняя теорем

1.1.1 ! Г мокуть ператинатиоь. I в той же чаа очевидно, що кодна

з нлх на перэкрпвае !ншу: в теорем! Г поол!довноо1!

п!дпорядковая! умовам (10), а в теорем! 1.1.1 вони малть спгц!-апьниЧ впгляд: задан! добутк?ли дов!льнях поол!доЕносгв1!.

Наступав твердавнля параграфу 1.1 - теорема 1.1.2, в як!й

отридане узагальнення теоремы 1.1.1 для поелIдовноатайк^^т,

не обов"язково таких, що мавть зображення у вигляд! добутку од-новшл!рних поол1довноотей, проте п!длоряцкованах певним обмеяен-ням.

Доведения теорем 1.1.1 1 1.1.2 проводятьоя за допомогою стандартна* м!ркуваль. Пра цьому новим ал е.мантом е залучення до бага-товим!рного вияадку низки {дей, застосованих ран1ше В.Тотиком у одновпм1рному випадку. А оаме, в наших м1ркуваннях важливу роль в!д1грае лема 1.1.1, яка е кратнии аналогом одного 1з твердаеяь

В.Тотика (1979). __

ЛЕМА 1.1.1. Нехай ~ отрого зростаг>-

ча посл!довн1оть натуральних чиоел ,Ьсо п - (К; .... К и,? -

Ш>АЧ г С 1 ' Ч/ дов¡льда множила натуральних чисел сегменту |Лу, J ,

- прямий добуток шохин ^¡¿у и). > </ ^ у/ с /п • т°д1

' Ур>0 справедлива нер}вн1сть

дз ^ заложить г!лыси в!д р 1 м , а С^ = ¡п.

Лена 1.1.1 в!д1 грае велику роль I при отримаин! резулыат!в параграфу 1.2. 3 II допомогою вдаеться продовжяти на кратний вя-падок наступив твердження В.Тотика (1985) про те, що при певнлх умовах, намадених на функц!ю <£(•) , У ^ £ С(Т) ваконуеть-оя нер!вн1сть 2/1

. ¿гу (№/;*)]) * Яч(Елф). <">

Отришаяе при цьому тверддашш (лема 1.2.3) дозволяе продовжа-тя теорему Г на величину Нц ) за умови, що (£(') наложить ьшояин! .элемента (д яко! задовольняють наступн! уыо-

вя : a) <$(<¿) на опадае на , ö) CffteJ > О при

■il > О 1 Ü¡(U) = (ß(0)-0 в) знайдетьоя додатна чиоло

^и —> О

Ci - Q,(g , лля якого

q(2a) ó а ($(«.) , Iiu€[o,i]> (15)

г) при даному У > О

tnq(a)- (О (и*) г -й-^оо. (is)

До шоясини » кр!м отапенввих функц!й Up, р> О,

налеяать, напраклад, функцН С&р -U?- t j у > О ; (йХр tí*-i)'UPátcL('t+'U) , сС>0, romo.

ТЕОРЕМА I.2.I. Нехай т. в /У . поол!довн!оть 7Ï ~

^MveN» = '%)]>>( N? 1ака* рдо чиола n»j €

! У Уj £ А/0 , j £ M, задовольняюгь умову

* «У* с< (17)

А = [ Я* ? к £ Nm € Q^Tl) • T0*!' ЯКЩ0 У € Д»Я ДИ-

КОГО ¿г £ (0, í/to] » 10 для ФункцН ^ £ С (Тм) виконуетьоя нар1вн!оть

оо

e^go^i) í ЛК«(П EljlK(f)), m

да Й - величина, то залехить в!д , Л* I (П , а С; > I - абоолютн! огал!.

В!дм!тимо, що якщо ($(U) = ЧР, [» 0, » ^

ю твердяення теорема 1.2.I i теореми Г оп1впадаять,

Умови теорема 1.2.1 оататочн1 в юму розум1нн1, що якщо фун-кц!я (Ç (> ) задовольняе умову

Ж {а ($(и) = , (19)

■Ц —*- ОО

то можяа вказати матриц» А € ) • МЯ яко! (18) ив вя-

г.опуетьоя (див. теорему 1.2.3) У ^ £ С(ТМ) ■

Якщо матриця А ~ С^-к) задовольняе умовд теорема 1.2.1 I така, що при п —»■ <=*о права чаотина (18) прямую до нуля, то 1э (18) отримуемо (теорема 1.2.2)

. т л?}У(\Рк(/;х)\)=о (20)

п ;гго * у о к 1 '

Зокрема, оп1вв1дношевля (19) виконуетьоя р!вном!рно для по-

ол!довноогей /у» » як! визначають метода оерадя!х

арифметпчних, оередн1х Абеля, логарифм!чних оередн1х тоцо.

В тратьому параграф! ооновн! результата §§ I ! 2 продовжу-ютьоя на методи оумування кратких ряд1в Фур"е за оиотемамп функ-

ц!й пол!ном!ального виду к£ N ) » ортоаормованях з де-

якою додатною вагою на мноклн! гр . На оегмангах 7* ~ [й, 6} такими оиатемамя будуть: трагонометрачна а но тана, ортонормоваяа опотема алгвбра!чнпх пол!ном!в, в тому чиол!, пол1номя Якоб! !, зокрема, пол!номи Леяандра, Чебшпева тощо.

Отримая! повн! аналога теорем 1.1.1, 1.1.2 ! 1.2.1 (дав. теорема 1.3.1 - 1.3.3) аа сегментах Т' с: 7* » Д® ФункцИ ! в!дпов,!дн1 вагов1 функц!I р!вном!рно обнажен!.

В!дм!тшз, що доведения теором 1.3.1 - 1.3.3 проводяться з впкориотаяням аналогу леми 1.1.1 (лема 1.3.1), продовзано1 нами на ряди Фур"б за ортонормованою оиотемою функц!й пол 1но;лольного виду.

В четвертому параграф! розглядачтьоя задач! §§112 для так званпх (<-$, %) -омьндх озреди!х талу Марцинкевича меюд1в оумування ряд!в Фур"е за трагонометрачною системою функц!й, як! в:1?ярчеютьоя-дня кожно1 Функц! I £ £ А (Тт) , Функц! I (■) ,

псо.^довноот! А ~ I вектора оС . /с^,.,.

Топнуло» • оо ■ 1

= Ч^Ом/;*)!)- <">

Д! оередн! так назвал! на честь Марцинкевича, який досл!див величина 1

*■„<?;*)•-¿г

як!, як цз виявилооь ni3HiHa, маюгь низку пареваг пор!вняно з клаоачнома середн!ми. арифметичаима сумування ряд1в Фур"е.

Вяраз (21) можа бугз отрицаний як чаотаннаЯ випадок л1во! ча-отина оп1вв1дношапая (18) при в!дпов1дному Baóopi чаоел ?1К .Про-

1в в такому випадку послщовн1оть ^Я^/ к€ N 6 ол'до,л

довяосг! [ %?>] к ¿ ¡\¡m f иоиа не задовслышги умовд та орана

I.2.I (I теорема Г). Тому Л) -оильн! оередн! типу Марцин-кевача доц1льно розглядати окремо.

У випадку, коли - , р> О, величина Мп ^(f, *,

= М^(fl ) вавчен! Л.Гоголадзе, який вотановив гака

твердження. ?

ТЕОРЕМА Г.2. Нехай [Яр£ Л д r t . Тод! Vf £

£ QffM^ f \fp>0 справедлива нер!вн!оть

к = О К= О

да величина Ср заложить Ильки в!д р .

Основном твардяення параграфу 1.4 в наотупна георема. ТЕОРЕМА I.4.I. Нехай ¡H)) jy€ ^ П±~ i ) -

дов!льна отрого зроотапча поол1довн!оть чаоел 1з А/0 . Тод!, якою б на <5ула посл!довя!оть >V f € С(Т,

>Оу \f у 6/V I УоС <£ Мт оправедлива HepfBHiotb

оо

ZL К\ьМ>*)\р *

К= Пчн

г

дв величина Др.ы. > Ь, 2 /)i мають юй же эм!ат,

що I в теорем! 1.1.1. J ' к

В!дм!тимо, що при \

la (23) вяллявае оп1ав1дношвняя (22).

Доведения теоремя 1.4.1 базувться налам! 1.4.1, яка являв

собою один !з можливих аналог!в результату В.Тотака, адаптованого до оередн!х типу Марцинкевича.

ЛШ 1.4.1. Нохай гя £ Д/, поол1довн1сть

^ ^у] /V натуральнпх чисел строго зростав. Тод! Ур> О,

У сС € /V1" виконуеться нер!вн!сть

де Вц^ - дов!льна п1дмнохина натуральних чисел оегиенту

а Н потужн!оть, число Др^ зале-

гать т!льки в!д р \ о6 .

Ця лема дозволяв отриматя аналог оп!вв!днотешш (23) гакоа 1 ДЛЯ ((£, %) -сильних середн!х, коли (£ в р £ (0,*/ь]>1

{ ^к! к £ N ^ Цьому вииадку мае м!сцо оц!нка

г- Со г-00

^ и)

Нер1вн1оть (25) остаточна в тому розум!нн!, що для будь-яко! нев1д"емно1 поол1довност! {Я>/с] ц £ М знайдеться функц!я

(€ С(ТМ) I *оч*а Я0 t дляякях

г—— СХЭ 1. ОО

с. * г ¿м^ф)- ш

к-Иу и к =

В другому розд!л! продовкуютьоя доол!дяеаня величин виду (I), як! в першому розд!л! розглядалиоь'иа Боьому простор! С(Тт)> I тут нао ц1кавмь, головним чином, швидк1оть зб1:шост! ряд!в виду (I) з одновям1рному 1 багатовим!рному вппадках на ф1ксованих класах функц!й - п!г,?.шол:ияах !з С(Тт) « Д° Цього кола задач увагу автора привернув О.ЬСтепанець, в оп1вавторств! з яким було отримано низку перших резулыаПв.

Приводом до розгляду ряд!в виду (I) на клаоах функц!й поолу-хпв результат Л.Гоголадзе (1981), отвердяугсчиЗ, що для будь-яко! йозроотаючо! посл1довноот1 додатних чпоел 1 Ур>0,

У { £ С(Т), V пел/

г- ОО г-

г 1к\я({;*)\р -Яр £1 КЕкСП- (27)

Оок!льки права чаотина ц!е! нер!вноот! м1атигь в аоб! додан-кя з номерами, яках не мае в л!в!й чаотин!, го ол!д чеката, що на деяких класах функц1й !з С(Т) вона (нер!вн!оть) мохе бутя зна-чно уточнена. Такими клаоама виявалиоь клааи С^ Ж , введен! ОЛ.Ствпанцем в тому випадку, копи поал¡довлеть [Ч1^^

опадае до нуля з! швидк1отю б1льшою, н!ж отепенева.

Клаои С^ вязначавтьоя наотупним чином. Нехай ^ €

£ЦГ)1 ж

5ГЛ = =

= г а л f-.it)

К - о к

(28)

- II ряд фурие. Дал!, нехай Ц^СК) - дов!льна функц!я натурального аргументу ! £ - ф!кооване чиоло, £ € . При-пуотамо, що ряд

ТУ ^ [а, де(кх+ ёк т (кх+ ф

в рядом Фур"е деяко! функц!I !з /. (Т) . Цо функц1ю позначають через 1 називають ) -пох!дною функц!! ,.

а множапу функц!й ^ (• ) , як! задовольняюгь ц! умови , позаа-чагогь через • Якщо ! при цьому/^в ,

дг 71 - деяка п1дмножяна !з ¿.(Т). 10 кажуть, що {(') яалежить клаоов! ^ . Шдмнозшна непврврвних функд!й 1з Ь^^С позначаетьоя через

В дан!й роб«! за беремо або множяну С СУ)*330

клао М -пер!одачних 1ототй0 обмвжаних фуякц!й

€к I покладаемо С?ССГ)=С*С ! С^М'-С/^

Також вватаемо, що Ц> (К) - випукла вниз, зникавча на нескЛнчен-ноот! поол1довн!огь, причому, баз обмежеиня загальноат!, вважаемо, що числа Ц>(К) е значениями деяко! функцП У иеперер-

виого аргументу V Ъ £ , яка належить мнокид! (вапук-

лих вниз при 5 ± функц!й, для яких &т - О ).

__ у—> срО '

Кокн1й функц! I € ум лоотавиыо у в!дпов!дн!оть пару функц! й 1 Д°помогою формул

к*) = гЧъМ^'^ю^у&рг (2э)

I покладамо

^ = ,/*(*) (30)

Ш0={у€Ш'. Ос^^К^оо] , (31)

Дв К^ , , К^ - абоолптн! константи, - обернана до ^

По я пая шло також через Шдмнокияу Функц1й

для яких величина ) монотонно зроотае 1 необмежена звар-ху, тобю

^ = ,/*(*) ]■ (зг)

Якию через /-" позначлти п!дмнояину функцШ у(') 1з , для яких

сН .

S

f(t+i)-(33)

1, кр!м того, майжа воюди / JU'(t) \ — К » 10 "звахко перекопа моя В ТОМУ, ЩО О Йоо ^ F.

Природами' предо тавниками множила ffliç е функЦИ (t)=

— t ~f при будь-яких Р > 0 , маожлна ~ I • >

що аппла'л ь не лвядша , н!;к k ÔCi(i+I). Такими предотав-mnwn rj¡n множш! е функц!I (pr(i)= ехр(№), &>1,

Г>0 . Якщо <p(t) = tr f Г >0 , го клаои Cg 71 оп!в-

палготь з в!дош1МИ клаоами ВеИля - Надя; якщо (у С Tftoa • 10 с р - множили пеок!нченяо диферевд1Яовнах функц!Д.

В прийнятий позначеннях оправздлпва гака теорема. ТЕОРЕМА С.П.1. Нехай (р £ Жоо « { Л к } к е А/0 " д0~ в!льна поол!довп!оть чиоел. Тод! якцо \/ £ ^ £ . ^

то Ур>0, I Ун € N

Н'^с/^л) = до , ц

^ ^ II | (34)

Якио г <р Шс иЖ^ I поел 1 доля /<£//'

^ 0, така, що числа %к <р(к) Н0 зрооталгь при во!х КЪП , ю I У И £ Н

де величина ^(И) визначаетьоя формулой (29)', а йр -отал1 , як! залежать т!льки в!д р.

Монна показам, що та обставияа, коли права частила нер1вно-от! (2?) м{отить в соб{ доданкл, яклх леиае в його л!в!й частия!, пе е 1 с тотним для функцП £ £ С^ ^ при Ц> £ 2Т[С , проге

вояа в!д!грае в сил ив у роль при Ц) <£ ^^ . 1 тод! при одиа-

кових умсвах оц!нкд (35) - (34) будуть точн!ш!,я!я оц1яга (27). Звачайно, е ! так1 випадки, коли !нформац!я, яка виплявае 1з не-р!вност! (27), не мояе бути огримана я! з (35), а! з (34).

Доведения теореми С.П.1 базуетьоя на паступкему твардденн!, яке, очевидно, мае ! оамоот!йну варт!оть.

ТВЕРДдЕННЯ С.П.1. ПехаЗ Ц) & Шс ^ . Тод! УП£ N ,

£ Ср у (К) , СЗб)

де Гсб] - ц!ла чаогяяа члола" оС , ¡р - [^(п)]- П.Н , "£(<1)=

= ytyn), Cp - огала , яка заложить Ильки в!д р . Анаюг!чне твердження мае м1оце t для у € ?it0 • '^ЕРДЗШНЯ С.П.2. Нехай (¡> € М0 . Тод1 У цбН I

Vp>0 г Zn Y/p

f£&J ™ & №!Я)Ч * Cpf(n)'(37)

да Ср - отала , яка залажить Илька в1д р .

Ваходячи з цього твердження, отримуемо аналог георами С.П.1. TEOPESA С.П.2. Нехай (¿> € Ш0 i пошпдовн1сть \%к J та-ка, що > О i числа Ц)^(К) на зроотаюгь. Тод1 УИ€

ЗаотооуБавши теорему С.П.1, наприклад, у випадку, коли числа Як вдзначшотыш р!вноатями (2), будамо махи

тобто отримуемо оц!нку швидкооН зб1жноотГари$матвчявх в!дхилань оум ®ур"е на клаоах Qjjf ^ •

Отриманяй такай аналог теорема 0.П.1 на клаоах С^ С .

ТЕОРЕМА С.П.1'. Якщо Ц>¿Ше^ t поол1довн1ать[ЯА:^уу»

О , така, що чиола Я^ У (К) не зроотають прн во fx

К>,П, то У{€СрС , для будь-якого р>0

Шрерахован! твердавння опубл1кован1 в сп1лышх роботах -автора { ОЛ.Степанця. Ш сп!льн1 резулыати в диоерггспп не вв1~ Яшли. Ооновшид же результатом параграфу I розд!лу 2 роботп е на-отупн! узагальнення теорем С.ПЛ ! С.ПЛ'.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Неха" Ц) £ Ср^- при у = £ I посл*дов-

н1сть /\ к £ д/ така, то числа Я) не зроотапть.

Тод1,якцо ц) £ Ше^^т

будь-якого числа (?> справедлива нер1вн1оть

М) = ТГлк <*(\&ф -

к-и

I ЯКЩО уеЯЪ, то У( £ С%С к = п

У випадку, коли (£(-и) = </ , р>0, з ц!е! теорема, очевидно, вшиваз твердаення теорема С.ПЛ.

ТЕОРЕМА 2.1.2. Нехай С1>(У)-{4Р, Р>0, 1 поол!довн!сгь 1 к. € М 1ака» щ0 чиола на зроогають. Тод!

Жохе, \н:«:*.л)\е*

1 (43)

к= н

^ е с

^ л /а2я у(т£) + .¡г' як ц(шрк) }. (44)

до величина Д на залекигь в1д ц , поол!довн!оть F-[Fnlnc опэдаючи, прямуе до нуля, а

Звернамо увагу на ту оботавину, що 1з нер!вноотей (43) i (44) вишшвае, що

оо оо

sup ы 1 n^tfif/f;*)!)|l ¿flyl (45)

i¿c£ef c *=o

Влзначившп за формулою (2) чиола Ял , 1з Н8р1вяоог! (45) отряжаемо

' fi F

Доведения теорем 2.1.I 1 2.1.2 прбводитьоя з заотооуван-ням -згадуванах ран!ша !дай В.Тотика, пов"язалих з -оерадн!ми i 1СТ0ТНШ чином опираетьоя на оц(нки С? -ояльних оарадн!х Валла Пуооана, справедпив!оть яках випливае !з наотупяого твардження -аналогу твардження С.П.I. ' .

ЛЕМА 2.1.1. Нахай f ^ , Ш>п)>

KjüNf) [n,o¿(ng^J7F. Тод! якщо feC¡¡C ,Jl£l?, то Ур>0

справедлива нер!вн!оть

¡л/;*»'}**

i яио уе №:„.*> Vfe efe, VneN, K¿eN(\

fl[«,j?ft] випливае У p>0

АрП^ЫГо), <49>

да величина ' Д • залехать Нльки в!д р , a £tl+t-\0,&itj,

В другому параграф! розд!лу 2 вивчаютьоя в!дхилання прямокуг-них чаотишшх о ум Шур"е на кнолинах (</>,^)-диферв1щ1йовиих функ-

ц!й багатьох зм!пнлх. Основа! результаты цього параграфу orp:i.\;oHi сп!лыш з 0.1 .Степапцем (1991) i е продовлсенням на багатоБпНр.тй В1шадок в!дпов!дного одаовш!рного тзерд:?.еная 0.1 .Степя.чця (1936). Щ результат в дасертацН нооягь допсм!инлй характер i викоржзто-вуяться в настудяах параграфах np:i вг.зчвнн! величин, яд! характе-рпзупть сильна сумувапня кратних ряд ¡в ®ур"в на класах CfC 2#*-пер!од.г1Чнпх фупкц!й багатьох зм!нпих.

В наотупному нам зяадобятьоя низка позначепь 1 озпачеаь. Нехай f(x) г f(ocit..,, 0Ст ) - -пер!сдачна по ко::;н!:! ¡3

зм!наих оумовяа па Ky6i пор! од 1 в Тт функц!я ( féL(Tn')) t S [f] - 51 PW (дав. сп1вв1днопання (7)-.(8)). Hexai,

дал!, У- (¡(¿) ,t = i,M, - дов!льа! функц! ï натурального аргументу ! JS - ф!ксовгл(а вектор !з R. , Jb - ,-•> fin).

_ Прлпустамо, що для дано! функц! ï fÇLCT177) ' набору J1 с

/И ряд

Jra S !«>

де i - (i, ..., 1 ) ! IJ1 I - потухнуть мног.шщ JH , e рядом Фур"е деяко! функц!! (g

€ i (Tnt)

по зм!ннях ac^iGJt.

Ця функц1ю будемо позначатл через fji,jj (') 1 назшзатл i^.jî)^ -пох!даою функц!I . Маожииу $ункц!й feLÎT*1)'

таких, що УJ4 С И1 !сяуе пох!дна будзмо лозначатн

L^ jpf або ж Lfi • Якщо { € L^ ' ?ого « Vj!

f^j, G. ТС , да fi - деяка п!дмнояина !з L(Tm) , то мно-айа'у таких фуакц!Я f (• ) будемо позначати через L\7t '

мнокину яеперервнлх фуакц!й !з L^ i Lj^ fît будемо позначати с^ ! С*!) Ж , в!дпов!дно.

Нехай, дал!, ^ - маомяа функций tj^ nC[J(Tm), як!

являптьоя тритон оме тричнши пол! номами порядку tt^ по зм!и-п!2 Х- f с , тобто мапть вигляд

> Е. V П^Нл'Кс Ь

1 Л

да X ■ причо:.1у е /V/ при&лають

значения або нуль, або одшшця, ^) - Функщя зм^нних

СС- г I € - М \, оушвна на куб! аер1од1в У'^

^ Гм

- аайкраща наблаження функцН € г I за додомогою функ-

/V

- дноаина 1оюгно обмеженах функ-

ЩА 13 ЦТ'").

В третьему параграф! результата параграфу 2.1 продовжуютьоя на багатоЕшНрний випадок. Ооновними результатами тут е наотупн! аналоги теорема С.П.1.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Нехай П7 € //, , р>0 I

К£ - нев!д"еш1а посл1довн1сть 'чисел гака, що чао-

ла /у У^С^) нв зроотають при зб1льшенн1 координат К^,

к . тод. \tfeCjC ,

оправеддива аер1ва1огь

оо оо

V ~ чаало, яке не залегать в»д

Л € Н .

(52)

! ^ ?-сЛ? озпачав' с;о оумуэашш проводягьоя по вс!х пиишожн-

нах <?~ 1з мно^анп № .

ТЗОРЕПА 2.3.2. Нахай /И € Н, Ц^ €. , ^€Мгр>0 ! Кё Ит ~ нев'д"емпа пошПдовнЮть чаоел гака, що числа ЯКП ) ПРЛ зб!льиенн! коордпнати /у- точки К не

зростають. Тод! С^С, впконуеться нер!вн!оть

дъ Ар - чаоло, яке не заложить в!д £ ёГ С^С, И ^, ¿€С<й- 0

а £¿<£.(£1$) вазначаптьоя за формулою (51).

Для доведения цих теорем вакориотовуютьоя багатовнм1рн! аналога сп!вв!дношень (37)- (33), як! м!отяться в наатулних лемах.

ЛЕМА 2.2.3. Нехай те//, ^ € Шс ^ Тод!

У{еС^С, У^бР" УлвН", у'р>0 ваконуетьоя нер!в-

н!оть

"¿С"-) 11/

до 2(л) - (Ч0\), ... вэличини £п ) вазнача-

ються за формулою (51), - число, яке не залежлть в!д ^ £

еС^С /г ! осе _

"" ЛЯ.1А 2.2.4. Нехай М £ Н, ^ £ Тод! У/£

¿С^С, УиеИм, ур>0 ! ¡/свиконувтьоя нер!в-

н!оть .

т. . 2к 1у0

дф!1[р№\>у * А хг.). <*>

В б!лш загальному вигляд! основн! результат цього параграфу одубл!кован! автором в робот! [ 10 J , да доводиться в!рн!оть наотуянчх твердяань.

,J Ти'ОРЗМА ПЛ. Hexaii Wie N. Ф^ , [О, ¡/ni ] , функ-

ц!1 Cij. £ Я, i доол!довн!ои> j д. е д/» така.що

числа I Г~1 <М.(К;) иа зросгашь по кожн1й координат! точка

К Jeff) V <!' а>

К . Тод1,явдо ß eß,feCßC. ТО Jin€ Nm ваконуегь-ся нер!вн!огь

оо г _ оо

z_ ¿fa

К - ¡Ь К — fZ

н3

Дв зале;:

^ (f l3 ) БИЗ"ачаються за формулою (51), величина /j на 1ждгь в!д у, 1 =

TfiOPEÜA П.2. Нахай К)вН> У £ (О, У™] -

цН , j€M. i поол!довн!сть [ЯА] ке /¡J* гака, що

числа /7 ^ ( /у ) fls зроотають по когнЫ координат! точки

К . Тод^якщо fG CqC ,то faf/У" виконуетьоя нар!в-н!оть

к

><р

да £K(fjs ) ■ внзначаютьоя за формулою (51), чиоло /7 на залекигь в !д п I ге ßm , а

В четвертому параграф! розд!лу 2 досл!джуютьоя (if, Я) -ои-льа! оередн! типу Марщшкавича (див. оп!вв!дноиення (23)) методом сумузання ряд1в Фур"е аа клаоах С%С ' доводяться на-oiynHt гвепдкення.- гп

TSOИМ*-2.4.1. Нахай Ш € N, Щ- ,^е(0,Ут\, f€

Н ~ Н9в1д"еша поол1дови!о» чип ел така, що числа Хк f(K) на зроотаюгь. Тод!, якшо f € СрС ' ß € ß.M, to

виконуетьоя нер1вн!сть

Дв 8.к({%) влзлачаеться за формулой (51) I число $ не зплз-жить в!д "и I X €

ТЕОРЕМА 2.4.2. Нехац т£ Н, Ц€ , (О, ^ 6

[ £/V ~ нев'д"с;',11а посл1довн1сть чисел тала, по числа

не 3Р°аталть. Тод!, якщо £ € С^ С > 10 в-шонуеться ¡12£1Р-

н1сть

^_оо

¿-а

дз 8к^с ) влзнача^ться за формулой (51) ! число Д ив залечить в1д ос е ^ 1/1 .а

В!дм!тпмо,цо у одновшл!рно.\1у випадку (при т- ± ) ((£//[)--сальн! сервдн! типу Марцилкевача сумування рпд!в Фур"е ол!впадать з взлачинзми Я), розглянутпма в § 2.1, 1 тод1 твер-дження теорем 2.1.1 1 2.4.1, 2.4.2 такок сл!впадуть. Результата параграфу 2.4 опубл!кован! в робот! [ 10^ .

В третьему розд!л! розглядгтаться патання сильного сумування !нтеграл!в Фур"е для функцН!, означвипх на (1 на ).

За изблчжумч! агрегата для $уакц!й Iз С'(@) беруться оператора

{ЫИХсо* 61-т (62)

як! в зчгзльиому вяпадку, як напраклад, для функцП {(■) тзко!,

що {(ос)//'{1+1х\) оумовна на /? з квадратом ( /б" Р^. ), е Шлнми функц!ямл експоненц!альиого типу б 6ч- 1 - В1да!т1и.ю, со

як.о {еС(т)1 е-йН, ю а при [г]*

в!др!зияеться п!д (// СС) на веллчану

((¥+■1- де <Х ) означаться формулою

П1; волачини.як! характер.чзупть (у, Д, )-сяльне сумувоиыя, розглядаптьзя зелдчанл:

со>о 24

в якях :х) - ?(ос)-2/&(?;Х) 1 %(&) - двяка функц!я,

означена при О х •

Зоозутло, що в периодичному випадку, взявши за функций Л(Э") поотпЫу па 1нтервалах можна !з резульгат!в

§ 3.1 отри,маги результат для величин > • Ш заува-

ження повн!стю стооуетьоя такоя т бггатовпм!рного випадку.

3!дм!тимо, що величипи '¿^(//яО в!дом!. Вони вчвчались, напрнклад, в монограф!ях Н.Ах1езара I А.Ф.Т1мана. Ц! величини ма-ють низку плаотивоотей, адалопчних пластивоатям частшших о ум ряд!в Фур"е. Зокрема, для них викокуетьоя аналог нэр!вноат! Лебега:

№ - ||с - Де&({) Ьъ (&+2), (64)

де - дайкраще наблияенкя функцН ОСJ ц!лими функ-

шями екопоненц1ального типу 4 & 1з мншшш .

В першому параграф! розд!лу 3 вивчаюгкш -величини с/^/У/я)

в однсваШрному випадку - для ££С0(@) й <яйа!д"емяих функц!Й Я (6~) , як1 задоволышють гаку умову: 1 Р > I ви-

конуетьоя нер!вн!оть: ,

д?^}/гй /1 «)

де величина $ не заленить в!д Са- множила р!в-ном!рно неперервних функц!й на £ . Множину ,функц!й, як! задо-вольняють умочу (65), поатчимо /\_г .

Ооновний результат параграфу м!отитьоягр лакому тверджанн!.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Кехай {€ С0($) « Щ. •

д! \/ у/ > 0 виконуетьоя нер!вн!оть

^ тЫ^Ш. (ее)

2у/ С^

11ю теорему к,ома розглядати як Гнюрральний аналог теореми Г. Як випливае !з зроблених вище зауважень, пря р>0,

в пер!одичному випадку твердженяя теореми З.ГЛ оп!впрдав з теоремою Г.

Доведения теорема 3.1.1 опараегьоя aa H¿e?/niie roep;.xmi!Ui, яка e пиегральшьм аналогом HapfBaocToii в аду (14).

ЛЕ.1А 3.I.I. Не;саЛ fe C0(ß) i CPÍ . To;u Ífi>Q вакоауатьоя пер!вн!сть

J % У * ЙЦ(еи(П) , cm

де чаоло Д не золе^дть В1д J.I t ОС € R..

Результата параграфу 3.1 опублп;овглн в робот! j. В параграф! 3.2 огриланг iarerjruibHi аналоги результат! в параграфу 2.1 для функц!Л !з кяаоу С%С • Хаоод. фуанцП!

QJ J)

CßC введен! ОЛ.Сгепаацел (1938) як мноу-яш функцЫ f , зображуванах у вкгляд!

f(x) = (\0 + %(z+t)<j>(i)c/t, т)

/2

да /¡0 - деяке отале чиоло, % 6 С ( ß),

= VM^Cvt+jS^dt, (69)

ß € f¿ , Функц i я y£C([0,°o)) 1 ç - оумоваааа £ .

¡нтеграл (68) розум!сгьоя як маха !нтеграл!в по оиматрнчнлх про-Mlairax, ян! рэзипргпться. 0ункц1ю % , як ! в переданному вкладку, назаваоть ( Ф, ß ) -пох!дною функц! I / ! позначапть РЧ> и 1

fß-

Дол!, як агрегат наблаяеаяя вводять оператора' де ^Ç- (' ) влзначаетьоя за формулой (69) по функц!i

fyc*) , О * t é i\

О ■ & ± t.

Олерагор

дз я С-) I (') ~ пав1д"е:.ш1 функцН, означен! на

[О, оо ), х)~ 2)• е {и1ег,Рсльа'-л аналогом вб—

легаши с/ ' ) ■ РозгляяутоГ в § 2.1.

ОонобндЛ разулы£11 параграфу 3.2 м!стнться в такому тварджен-

н!.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Нахай ^ € <3^ , ^ € . Функц!я

Я (■ ) означена на \с!,оо) , ^5 ^ 1 пака, що из сфоогае. Тод1,якдо ^С^)'^ ^ го ^ £ £

£ С ваконуегьоя нар!вн1огь

* Й {тт-ШЩ))*\ 'шЫр)^}. (7°)

I яхщо (ре Ш0 ,10 У { С%С I I викону-

егьоя нар1вн1оть

да величина /} аа залеавд р!д <£■ | X € £.

Цей результат дри Ур>0, одубл!ковано в од!~

лыШ! з О.ЬСгедаяцеу робот! (1991), а для дов!льно! функцН в - автором в [ Г ] ,

В параграф! 3«8 дродовжен! да багатовш!рний видадок твер-дкзиня параграфу 3,1» Э параграф! 3.4 введена донягтя 1нтаграль-дих аилыци овредн|* гиду Марцадкевича в такий опоо!б:

I = , I). ФУ«««»» ?[(•) >\ ($(•) иев!д"ем-

н! ! означен! на , .

Основпий результат параграфу формулювтьоя таким ч.шом. ТЕ0РЕ"А 3.4.1. Нзхай /б при. (О, ,

^ € ^ 1 Я £ , г > 1 . Тод! У ы Ь О же .'/.} оде

пер1вн1оть

2с1 с!

да чяоло // не залезать в!д ОС € 1 с! , а / =

41,...,!).

Вваяал сво!м лрявшш! обов"язком вноловятя гллбоку яодяку моему науковому кер!внаку по калдидатоьк!й даоертацИ члону-коре-опонденту АН Груз!! Л.В.ЯШанвШ за пооталовку нязкд задач з сильного оумувашщ ряд (в Зур"е, за допомогу 1 лорзда, якамл я корпотувавоя при ваконанн! робота.

Я [чпро I глабоко вдячнаЛ профеоору 0.1.Степашр за то, цо в!я правернув моя увагу до тематики з (у, ^З^-дифервацШованих функц!3, за поат!йну увагу ! допомогу, ваявлену мен! при впконан-п! дано! роботи.

Ооновн! полокеиня робот опубл!кован! в таких роботах:

1. Пачулиа Н.Л. О оильной оушируемоота рядов Фурье по аистемам функций полиномиального вида // Тр. мат. ия-та АН СССР. -198?. - 180. - С. 172-174.

2. Пачулиа Н.Л. Об оценках оильних средних методов суммирования рядов Фурье // Тр. ЛГУ . - 1991. - С. 251-257.

3. Пачулиа Н.Л. О оильной сушируемоати рядов Фурье // Вопроса суммирования простых и кратшх рядов Фурье. - Киев, 1987. -С. 9 - 50. - (Препр./АН УССР. Ин-Т математшш;87.40).

4. Пачулиа Н.Л. Оценка сильных средних уклонений рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР . - 1989. - 134, i,i 2. - С. 249-252.

5. Пачулиа Н.Л. О сильной суммируемости рядов Фурье диздзеренцируешх функций // Укр. мат. кури. - 1989. - 41 , й 6. - С. 808-814.

6. Пачулиа Н.Л. Об оценках сильных оредних типа Марцинкевича // кратшх рядов Фурье // Тр. АГУ. - Сухуми, 1989. - С. 147155.

7. Пачулиа Н.Л. О оильной оушируемоати рядов Фурье на классах лериодичеоких функций // Укр. мат.журн. - 1989. - 41, JS 3, -С. 354-380.

8. Пачулиа Н.Л. Равномерные оценки интегральных аильных средних уклонений непрерывных функций целыми функциями // Укр. мат. курн. - 1991. - 43, й 2. - С. 235-241.

9. Пачулиа Н.Л. Равномерные оценки (Я, if)- оильных интегральных оредних уклонений операторов Фурье // Укр. мат.журн. -1990. - 42, Ц 10. - С. 1434-1441.

10. Пачулиа Н.Л, Сильное суммирование рядов Фурье ( ^дифференцируемых' функций т> переменных П Кратные суммы Фурье на мложеогеох £ (3 )-дифференцируемых функций. - Киев, 1990. - С.17-67, - (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 90.55).

11. Пачулиа ИЛ, Некоторые вопросы оильной оуммяруемооти рядов Фурье » - 1984. - Сове! по авг.научп.иоол. при Президиуме АН ССС?, »ГУ. - 22 о.