Исследования по проблеме погружения полей с некоммутативным ядром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербу ргскии государственный университет

На правах рукописи

ЛУРЬЕ БОРИС ВЕНИАМИНОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ПРОБЛЕМЕ ПОГРУЖЕНИЯ ПОЛЕЙ С НЕКОММУТАТИВНЫМ ЯДРОМ

01 01 Об - математичесьая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

оозшвави

с I

Санкт-Петербург 2008

003168880

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении математического института им В А Стеклова Российской Академии Наук

Официальные оппоненты

доктор физ -мат наук Востоков Сергей Владимирович доктор физ -мат наук Кузнецов Михаил Иванович доктор физ -мат наук Кузьмин Леонид Викторович

Ведущая организация Самарский гос университет

Защита состоится " ^ " Ц-К7 2008 г в {(р ча-

сов

на заседании диссертационного совета Л212 232 29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский просп , д 28, математико-механический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , д 7/9

Защита 6}дет проходить в Петербургском отделении Математического института имени В А Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб реки Фонтанки, д 27

Автореферат разослан " \ Р " ЛЛьр ^^ 2008 г

Ученый секретарь Совета доктор физико-математеских наук, профессор # Нежинский В М

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача погружения полей - одна из центральных проблем теории Галуа Будучи прямым обобщением обратной задачи теории Галуа, она в то же время является полезным инструментом при ее исследовании

У истоков теории погружения стоят такие известные математики 30-\ годов XX века, как А Шольц, Р Брауэр, Е Витт, X Рейхардт Отчетливая формулировка задачи погружения была дана в фундаментальной работе 1944 г "Исследования по геометрии теории Галуа" (Б Н Делоне и Д К Фаддеев) Несколько позже проблема погружения была повторно сформулирована X Хассе

В послевоенные годы интерес к задаче погружения растет, и самые крупные результаты в этом направлении связаны с именами X Хассе, Л\ -П Серра, Д К Фаддеева, И Р Шафаревича и их учеников Так, именно благодаря технике погружения удалось решить обратную задачу теории Галуа для числовых полей и разрешимых групп (И Р Шафарепич) В конце пятидесятых годов была решена задача погружения для локальных полей с коммутативным ядром (С П Демушкин, И Р Шафаревич), а в шестидесятые годы найдены полные условия погружения в гомологических терминах в случае коммутативного ядра (А В Яковлев)

Определенным этапом в теории погружения стала книга, написанная Д К Фаддеевым в соавторстве с В В Ишхановым и Б Б Лурье "Задача погружения в теории Галуа' (1990 г , имеется английский перевод) В этой книге излагаются различные подходы к задаче погружения, и в нее включены практически все значимые резу льтаты, полученные ьо времени написания (к сожалению, в связи с общей обстановкой конца восьмидесятых годов выход книги сильно задержался, и сам Д К Фаддеев не дожил до ее появления)

Если результаты в теории погружения с коммутативным ядром носят, в основном, законченный характер, то задача погружения с некомм^ тативным ядром весьма залека 01 завершения Причины, препятствующие созданию в этой проблематике сколько-нибудь сгройнои теории коренятся в отсутствии \довле-творительного описания групповых расширений с некоммутативным ядром, неразработанности аппарата некоммутативных гомо-

логий и его слабой применимости к теории погружения

Основные результаты в проблеме погружения с некоммутативным ядром получены, главным образом, немецкими математиками (К Хехсман, К Матцат, Ю Нейкирх и другие) и их коллегами из России — В В Ишхановым и автором

В диссертации собраны результаты автора в проблеме погружения, полученные за последние десятилетия Результаты, которые были получены в соавторстве с В В Ишчановым, где вклад автора невелик, в диссертацию не включены

Цель работы Основная цель диссертации - полное исследование условия согласности Фаддеева-Хассе, условия существования собственных решений задачи погружения для локальных полей, выяснение роли присоединенных задач погружения, исследование феномена универсальной погружаемости, нахождение достаточного признака неразрешимости в радикалах ^ равнения простой степени

Методы исследования. Применяю 1ся методы теории Галуа, теории алгебр, теории когомологий

Научная новизна В диссертации полечены следующие новые результаты

1 Условие согласности Фаддеева-Хассе редуцировано к сл\-чаю р-групп

2 В случае числовых полей условие согласности редуцировано к случаю абелева ядра

3 Доказана редукционная теорема, позволяющая существенно упростить нахождение собственных решений задачи погружения для локальных полей Найдены также простые достаточные условия такой разрешимости

4 Выявлено существование универсально разрешимых, но не расщепляющихся расширений Доказано, что такие расширения существуют для любой группы Галуа погружаемого поля, порядок которой больше двух

5 Доказано, что задача, определенная над р-расширением, эквивалентна присоединенной задаче с /)-гр\ ппами, если силов-ская подгруппа ядра коммутативна

6 Доказан аналог теоремы Кохендорфера-Фаддеева, когда ядро является группой диэдра Решена задача с ядром, изоморфным знакопеременной группе шести элементов

7 Доказано, что неприводимое \ равнение простой степени р = 1( (mod 4)) неразрешимо в радикалах, если его дискриминант не является суммой двух квадратов в основном поле

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре им Д К Фаддеева (Санкт-Петербург), на алгебраической школе в Омске, на различных алгебраических конференциях (междунаод-ная конференция памяти Д К Фаддеева, 1997 г , Международная конференция памяти 3 И Боревича, 2002 г )

Практическая ценность. Работа носит теоретическии характер Ее результаты могут быть использованы в теории Галуа, теории алгебр, алгебраической теории чисел и других областях

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в монографии и девяти научных статьях, список которых приведен в конце автореферата

В книге [5] диссертанту принадлежат результаты двух последних параграфов главы 2, глава 4 полностью и параграфы 1, 2 главы 5 В статье [3] соавтору принадлежат некоторые вычисления в конкретных задачах, позволившие диссертанту обобщить накопленный материал и написать данную статью В работе [7] диссертантом получены все результаты, кроме некоторых вычислений в теореме 2 В работе [10] соавтору принадлежит наблюдение, что резольвента не имеет целых корней, если а не четно, а Ь сравнимо с 2 по модулю 4 (в корпус диссертации не вошло) В остальных указанных публикациях все результаты принадлежат диссертанту

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 85 названий Общий объем диссертации составляет 117 страниц

Кратьое содержание работы

Во введении излагается краткая история проблемы погружения и краткая характеристика содержания глав диссертации

Глава 1 Основные понятия ieophh погружения Глава не содержит собственных результатов автора и вклю-

чена в диссертацию для возможности автономного чтения диссертации и единообразия терминов и обозначений

В главе дается постановка задачи погружения полей П^сть дано расширение Галуа полей К/к с группой Р, и задан эпиморфизм <р С? —>■ Р с ядром В Задача погружения в этой ситуации состоит в нахождении поля Ь, содержащего К и нормального над к, так что группа Галуа ва1 (Ь/к) равна (7, и элементы ^ £ б, ограниченные на К, совпадают с их образами 'Р(з) £ -Р = Са\(К/к) Такую задачу обозначают (К/к,С,<р) или (К/к, С, ¡р, В) Как правило, в качестве искомого объекта Ь рассматривается не обязательно поле, но алгебра Галуа Если же существует поле, решающее задачу погружения, то говорят о собственном решении задачи погружения

Лалее рассматриваются сопутствующие задачи погружения различного рода, как необходимое условие разрешимости исходной задачи Важным инструментом в теории погружения являются подъем и спуск, приводящие к эквивалентным задачам погружения Особую роль здесь играет подъем до алгебраически замкнутого поля

Затем в главе содержится теория погружения с коммутативным ядром Здесь рассказано о брауэровских задачах погружения, редукционной теореме Кохендорфера-Фаддеева, теории Лемушкина-Шафаревича и их результатах, о результатах А В Яковлева

В последнем параграфе главы сообщается о результатах в проблеме погружения с некоммутативным ядром, которые не принадлежат автору, либо не вошли в диссертацию

Глава 2 Условие согласности Фаддеева-Хассе

Условие согласности было открыто Л К Фаддеевым в 1944 г и через несколько лет переоткрыто X Хассе в другой формулировке

Пусть групповое расширение, и Р ре-

ализована как группа Галуа расширения К/к Модулем согласности для такой задачи погружения называется такой модуль Р, определенный над К (соответственно и над к), на котором группа С действует как группа ¿-автоморфизмов, (причем д 6 С действует на К как <р(д)) в котором существует Л-нормальный

базис над К Ясно, что существование таього модуля - необходимое условие разрешимости задачи погружения, и условие его существования называется у словием согласности

Две другие эквивалентные формулировки условия согласности, открытые Д К Фаддеевым, таковы

1 Существуют такие элементы 1д(д 6 С), принадлежащие групповому кольцу А'[Л], что для любых #1, <72 £ С выполняются равенства 1д1д2 = 1д'1д1, и 1а = иа-1 для а £ Л - базис группового кольца) Элементы {1д} образуют одномерный коцикл со значениями в группе обратимых элементов А [Л] и называются системой согласности

2 Скрещенное произведение С х А', те алгебра над К с образующими {ма} и правилами умножения ид1 ид2 = ид192, хид =

для } £ С, а £ А", изоморфно алгебре матриц порядка |А| над своей подалгеброй Эта формулировка играет наиболее существенную роль в исследованиях автора

Условие согласности в форме Хассе (в случае абелева ядра Л) означает, что канонический класс группового расширения распадается при подъеме Л до группового кольца А'[Л]

В случае абелева ядра Л условие согласности является достаточно сильным и довольно просто проверяемым Когда ядро -некоммутативно, смысл условия согласности был прояснен усилиями автора

Первая редукционная теорема позволяет свести условие согласности к случаю, когда группа А является ^-расширением Пусть р - простое число, делящее порядок А, Рр - силовская р-подгруппа группы А, Ст'(р) - ее полный прообраз в С, Кг - подполе поля А', отвечающее подгруппе Ар

Теорема 2.3.5. Условие согласности для исходной Jaдaчu равносильно выполнению усювий согласности дпя всех сопутствующих задач с группами С(Р) и расширением К/Кр, где р делит |А|

В действительности, достаточно рассматривать только те р, которые делят не только |А|, но и порядок ядра (если р не делит |Л|, то расширение Л посредством Ар является полупрямым)

Замечание. Указанная теорема содержится в кандидатской диссертации автора, и с формалльной точки зрения ее не следовало включать в основной текст диссертации Но в контексте всей

проблематики, связанной с условием согласности, ее включение выглядит вполне оправданным

Пусть теперь F является р-группой Тогда можно рассмотреть присоединенную задачу погружения с группой Gp (силовской р-подгруппой группы G) и ядром Ар = А П Gp - силовской р-подгруппой ядра Разрешимость присоединенной задачи гарантирует и разрешимость исходной, но, вообще говоря, они не равносильны

Теорема 2.4.1. Условия согласности для исходной и присоединенной задач совпадают

Основная сложность при доказательстве этой теоремы состояла в поиске идекватной формулировки на языке теории алгебр

Предложение 2.3.4. Пусть А - конечномерная ассоциативная ai-геМра над полем к, В - ее пода чгебра и единицы обеих алгебр совпадают Пусть А - свободный В-модуль размерности m Ec/iu А изоморфна алгебре матриц размерности I над некоторой своей подалгеброй, а чисаа I, m - взаимно просты, то и В изоморфна алгебре матриц порядка I над своей подалгеброй

Объединяя обе редукционные теоремы, можно проверку условия согласности в общем случае свести к проверке условия согласности для р-групп

Еще больше ситуация упрощается, если задача погружения определена над числовыми полями

Теорема 2.6 2 Пусть поле к таково, что в группе Браувра поля к и любого его конечного расширения показатель простой алгебры совпадает с индексом Тогда условие согласности для произвольной задачи погружения равносильно условию согласноит для сопутствующей задачи, полученной факторизацией по коммутанту ядра

В процессе доказательства теоремы 2 6 2 была доказана и теорема о строении скрещенного произведения G х К

Теорема 2.5.4. Пусть в задаче погружения, определенной последовательностью 1 ^ А — G ^ F = GaKA'/Jfc) — 1 поле К таково, что его характеристика не делит порядок ядра, и все неприводимые представления А над К абсолютно неприводимы Пусть Е - какой-либо минимальный центральный идемпотент алгебры

б х Л*, е - минимальный центральный идемпотент групповой аг-гебры Л'[Л], вюдящий в Е, Се - подгруппа зге ментов в С, коммутирующих с е, Ре = (р(Се), (I - степень представления, отвечающего идемпоненту е Тогда компонента скрещенного произведения Е(С х К) изоморфна алгебре матриц порядка с1 (б Се) над кгассическим скрещенным произведением поля К с группой Ре при некоторой системе факторов с€ Z"(Fe, К*)

Глава 3 Собственные решения задачи погружения для локальных полей

Решение задачи погружения называется собственным, если оно является полем В случае локальных полей разрешимость задачи погружения в смысле алгебр Галуа не гарантирует разрешимость в собственном смысле даже для р-гру пп, поскольку гр\ппа Галуа максимального р-расширения локального поля имеет конечное число образующих Поэтому вопрос о разрешимости в собственном смысле задачи погружения для локальных полей является содержательным

В представляемой главе рассматриваются задачи погружения с р-группами, определенные над локальными полями Доказано несколько редукционных теорем

Теорема 3.1 Рассмотрим задачу погружения для расширения ло-кагьных полей, связанную с точной последовательностью р-групп 1 — В —г С ^ Р ^ I Пусть Ф(С) - подгруппа Фраттини группы С, Во = В П Ф((?), В-взаимный коммутант В и Во За указанным ниже исключением такая задача разрешима в собственном смы-сге тогда и топко тогда, когда разрешима в собственном смысге сопутствующая задача погружения, полученная факторизацией по В Иск шчение может иметь место при одновременном выполнении трех ус ювий а) ядро В не содержится в Ф(б), б) р — 2, в) —1 не квадрат в К

Приведен пример, показывающий, что указанное исключение невозможно устранить

В условиях применимости теоремы 3 1 возможна дальнейшая редукция, позволяющая считать, что каждая подгруппа группы Во нормальна в С, а элементы из действуют на Во как возведение в степень, зависящую только от автоморфизма из С (Теорема

3 1') Если исключительный случай имеет место, задачу можно редуцировать к ситуации, когда Во - абелева группа (Теорема 3 2)

В §3 найдены необходимые и достаточные условия разрешимости в собственном смысле задачи погружения (Теорема 3 3) Эти условия состоят в существовании нескольких элементов основного поля к, решающих выписанную систем} уравнений и таких, что их образы в пространстве к*/к*г линейно независимы над подпространством (к* ПК*р)/к*р

В §4 найдены просто проверяемые условия арифметического характера, достаточные для разрешимости задачи погружения в собственном смысле Эти условия имеют различный вид в случае коммутативного и некоммутативного ядра

Теорема 3.4.1. Рассмотрим задачу погружения (К/к,С,р) с абе-левым ядром В Обозначим Во = В П Ф(С), Во - ее группу характеров Для ее разрешимости в собственном смысле необходимо, чтобы выполнялось условие согласности а также неравенство с1(1*) ^ (¡(С), где <3 - число образующих (пространства к*/к*р и р-группы С) Если, кроме того, выполняется неравенство (1(к*) > (1(С/В) + (1(В0), то задача погружения разрешима в собственном смысле

Когда ядро В некоммутативно, удается обосновать более грубые достаточные условия

Теорема 3 4 3. Пусть для задачи погружения (К/к,С,(р) с ядром В (поля локальные, С яв ляется р-группой) выполнено условие согласности Если, кроме того, с1(к*) = с?(С) + (¡(Во) + <5, эта задача имеет собственное решение Здесь Во = Нота(Во, к*), а 6 — 1, когда р = 2 и л/^Т ^ К, и равно нулю в остальных случаях

В последнем параграфе главы полученые ранее результаты позволяют достаточно просто строить примеры неразрешимых задач погружения с некоммутативным р-ядром, для которых сопутствующие силовские задачи погружения оказываются разрешимыми

Глава 4 Универсальная разрешимость

Хорошо известно, что задача погружения, связанная с полупрямым расширением групп, всегда разрешима (в смысле алгебр

Галуа) Верно ли обратное7

Назовем расширение конечных групп уни-

версально разрешимым, если для любого расширения полей К/к с группой F соответствующая задача погружения разрешима

В диссертации показано, что когда порядок F больше двух, существуют унивальные, но не полупрямые расширения Для этого строятся примеры, где F - циклическая группа нечетного порядка, порядка 4, а также четверная группа, а далее применяется конструкция "обобщенного сплетения", созданная Д К Фаддее-вым для других целей

Теорема 4.4. Пусть F - конечная группа, порядок которой больше 2 Тогда существует универсально разрешимое, но не по гупрямое расширение I —г А — G —г F —-1 с абе гевой группой А

Именно феномен универсальной разрешимости позволил /К -П Серру ввести понятие "ничтожных когомологий" ("Cohomolo-gie négligeable"

Глава 5 Присоединенные задачи погружения Рассмотрим расширение конечных групп

l^B^G —^ F-l (1)

и подгруппу такую G\ группы G, чей образ ip(Gi) совпадает с F Тогда существует расширение

-Gx F-1, (2)

где Вх - В П Gi

Если F реализована как группа Галуа расширения К/k, то задача погружения, отвечающая расширению (2) называется присоединенной для задачи (1) В отличие от сопутствующих задач, разрешимость присоединенной достаточна для разрешимости исходной В то же время ее исследование, как правило, проще, поскольку группа и ядро имеют меньший порядок

Когда F является р-группой, a G\ - силовская р-подгруппа группы G, такую присоединенную задачу называют силовской присоединенной

Теорема 5.2. Пусть К/к - р-расширение, и силовская р-подгруппа В\ ядра В - абелева Тогда задачи исходная и присоединенная равносильны

Когда группа В\ - неабелева, присоединенная задача в общем случае не равносильна исходной Соответствующий пример, когда исходная задача погружения разрешима, но силовская присоединенная неразрешима, построен в диссертации для расширения локальных полей (Теорема 5 4)

Лалее в главе исследуется задача погружения с ядром -знакопеременной группой шести элементов Когда ядро имеет единичный центр, в качестве "большой" группы можно расма-тривать группу автоморфизмов ядра (или ее подгруппу) (этот результат автора 1964 г в диссертацию не входит) При п ^ 3, )? ф 6 группой автоморфизмов знакопеременной группы является симметрическая группа и соответствующее расширение является полупрямым Но симметрическая группа 6g имеет внешние автоморфизмы, переводящие двучленные циклы в произведения трех независимых двучленных циклов (Именно это обстоятельство позволяет найти в Se транзитивную подгруппу, изоморфную 65, эта последняя и является группой Галуа резольвенты для уравнения пятой степени в общей ситуации) Соответственно, группа внешних автоморфизмов 21б является четверной группой, и Aut2lg не является полупрямым расширением ядра

Силовская 2-подгруппа группы 21б изоморфна группе диэдра восьмого порядка, т е неабелевой группой Однако в случае, когда ядро D задачи погружения является группой диэдра, оказывается справедлив аналог теоремы Кохендорфера-Фаддеева

Теорема 5 5. Пусть - точная последова-

тепъпостъ конечных групп, где D - группа dtiadpa восьмого порядка, F = Gal(A'/fc) Пусть G2 ~ силовская '2-подгруппа группы G, (f2 - ограничение ip на G2, F2 = <p(G2), А'т = I\F2 Задача погружения (I\/k,G, ip) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима сопутствующая задача (А'/А'г, G2, У2)

На этом результате основана и теорема об эквивалентности задачи с ядром 21 q и присоединенной задачи с ядром D

Теорема 5.6. Задача погружения с ядром 21б разрешима тогда и только тогда, когда разрешима присоединенная задача с ядром D

Найдено и ясное условие погружения Именно, если К = k(y/c,\/d), где с, d £ к*, /с неподвижен относительно ©о но переходит в -\/с при внешних автоморфизмах, а y/d переходит в — \fd при транспозициях из 6с, то для погружаемости должна быть изотропна над к квадратичная форма

х\ — 2dx\ — сх з + 2 cdx\ — сх\

В ходе доказательства построено групповое расширение с ядром D, которое не является полупрямым, однако его силов-ская часть - полупрямая Таким образом, для группы диэдра неверен аналог теоремы Гашюца Кроме того, это расширение является универсальным

В классе знакопеременных групп знакопеременная группа является уникальной, но другое ее представление позволяет перенести полученный результат на другие группы Именно, группа изоморфна линейном группе PSL(2,9)

Теорема 5.7. Пусть В - группа PSL(2,p2) при р = ±3 (mod 8) Тогда задача погружения с ядром В равносильна присоединенной 2-силовской задаче погружения

Глава 6 Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени

Результат данной главы относится к задаче погружения с некоммутативным ядром чисто формально Однако это пока единственный случай применения техники погру жения непосредственно к теории Галуа (а не к обратной задаче)

Рассматривается неприводимый над полем к многочлен f простой степени р > 2 Пусть D - дискриминант многочлена / (ичи уравнения / = 0), q - максимальная степень числа 2, делящая р- 1

Основная теорема Если характеристика поля к не равна 2 и группа Галуа многочлена f разрешима и не содержится в знакопеременной группе 01 р, то разреши ма задача погружения квадратичного расширения k(y/D) в поле с циклической 2-группой порядка Я

Содержателен этот результат в случае р = 1 (mod 4) Заменяя в этом случае указанную задачу погружения сопутствующей с циклической группой четвертого порядка, получаем

Критерий неразрешимости Для того, чтобы неприводимое \ равнение простой степени р над полем к было неразрешимо в радикалах, достаточно, чтобы его дискриминант не представлялся в виде суммы двух квадратов из к При р = 5 результат может быть уточнен

Теорема 6.2 Для того, чтобы неприводимое уравнение пятой степени пад полем к имело симметрическую группу Галуа, достаточно, чтобы его дискриминант не был суммой двух квадратов из к

Работы автора по теме диссертации Литература

1 Об }словиях погружаемости, когда ядро есть неабелева р-группа — Мат заметки 1907 т 2, N 3, 233-238

2 Об условии согласности в проблеме погружения полей — Зап научн семин ЛОМИ, 1977, т 71, 155-162

3 О вполне разрешимых задачах погружения с абелевым ядром для локальных полей — Зап на\ чн семин ЛОМИ, 1978 т 75, 67-73 (в соавторстве с О M Григорян)

4 О вполне разрешимых задачах погружения для локлаьных полей — Зап научн семин ЛОМИ, 1978, т 75, 121-126

5 Задача погружения в теории Галуа M , "На>ка", 1990, 272 с (в соавторстве с В В Ишхановым и Д К Фаддеевым) Английский перевод The Embedding Pioblem in Galois Theory Transi AMS, 1997, 182 p

6 Об j ниверсально разрешимых задачах погр> жения Тр>ды МИАН, 1990, т 183, 121-126

7 Задача погружения над р-расширением Алгебра и анализ 1997, т 9, N 4, 87-97 (в соавторстве с В В Ишхановым)

8 Условие согласности Фаддеева-Хассе в проблеме hoi ружения полей Зап научн семин ПОМИ, 2000, т 272, 259-272

9 Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени Докл РАН, 2003, т 388, 447-448

10 О неразрешимости в радикалах некоторого класса \ равнений пятой степени Зап научн семин ПОМИ, 2003 т 305, 163-104 (в соавторстве с M Б Гладких)

Подписано в печать 05 02 2008 г Заказ № 48-0129-48 Формат бумаги 60x84/16 Тираж 100 экз 01 печатано в «Типографии Унипринт» 191119, С анк"1 -П етербург, ул Звенигородская, д 11 тел/факс 740-11-80,315-78-88

Введение

Глава 1. Основные понятия теории погружения

1. Постановка задачи погружения полей

2. Алгебры Галуа

Сопутствующие задачи погружения

4. Подъем и спуск р. Задача погружения с коммутативным ядром

Случай некоммутативного ядра

Глава 2. Условие согласности Фаддеева-Хассе 23 Постановка задачи и необходимые определения

2. Условия согласности в форме Хассе

3. Первая редукционная теорема

4. Вторая редукционная теорема р. Строение скрещенного произведения

6. Третья редукция

Глава 3. Собственные решения задачи погружения для локальных полей

1. Редукционные теоремы

2. Исключительный случай

3. Условия существования собственных решений

4. Достаточные условия погружения р. О теореме Кохендорфера-Фаддеева

Глава 4. Универсальная разрешимость

Глава 5. Присоединенные задачи погружения

Глава 6. Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени

Задача погружения полей - одна из центральных теорий в теории Галуа. Будучи прямым обобщением обратной задачи теории Галуа, она в то же время является полезным инструментом при ее исследовании.

У истоков теории погружения стоят такие известные математики 30-х годов XX века, как А. Шольц [67, 68], Р. Брауэр [46], Е. Витт [73]. X. Райхардт [65]. Отчетлйвая формулировка задачи погружения была дана Д. К. Фаддеевым в [15] и X. Хассе в [47].

В послевоенные годы теория погружения интенсивно разрабатывается, и успехи в этом направлении, в основном, связаны с именами Ж.-П. Серра, X. Хассе, Д.К. Фаддеева, И. Р. Шафаревича и их учеников. Я не ставлю здесь задачу рассказать о всех сколько-нибудь значимых результатах в этой деятельности, но невозможно не отметить работы И. Р. Шафаревича по обратной задаче теории Галуа для разрешимых групп [39, 40], результаты С. П. Демушкина и И. Р. Шафаревича по задаче погружения для локальных полей [17] и найденные А. В. Яковлевым условия погружения в случае коммутативного ядра [42, 43, 44].

Систематическое изложение теории погружения и ее методов и основных результатов (на период написания) дано в книге [2], ставшей определенным этапом в данной проблематике (английский перевод - см. [8|. В этой книге дана и достаточно подробная библиография по задаче погружения. Это позволяет в настоящей диссертации дать библиографию в основном тех работ, которые появились после выхода книги. (Подробная библиография работ первого послевоенного периода содержится в книге [13]).

Диссертация разбита на шесть глав. Первая глава носит подготовительный характер, содержит основные понятия теории погружения, и написана, в основном, с целью автономного чтения рукописи и единообразия терминов и обозначений. Кроме того, в ней содержится и краткий исторический обзор (вероятно, неполный).

Вторая глава посвящена изучению условия согласности для задачи погружения (в случае некоммутативного ядра). Несколько результатов автора позволили редуцировать это условие к случаю р-групп, а для числовых полей - к задаче с абелевым ядром.

В третьей главе рассказывается об условиях существования собственных решений задачи погружения для локальных полей (т.е., коI гда решение должно быть полем). Этот вопрос именно в случае локальных полей достаточно содержателен. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых разрешимая задача погружения для локальных полей и р-групп имеет собственные решения. Также найдены простые достаточные условия, гарантирующие собственную разрешимость.

В четвертой главе исследуется феномен так называемой универсальной разрешимости. Достаточно неожиданным оказалось существование нерасщепляющихся групповых расширений, для которых соответствующая задача погружения разрешима для любого расширения полей с фиксированной группой Галуа. Более того, такие групповые расширения существуют для любых неквадратичных расширений полей.

Пятая глава посвящена задаче погружения над р-расширениями. Получен результат, согласно которому такая задача равносильна присоединенной силовской задаче, если силовская подгруппа ядра - абелева.

Показано, что от требования абелевости силовской подгруппы ядра отказаться в общем случае нельзя. Однако когда ядро - знакопеременная группа 21б, соответствующая задача погружения оказывается равносильной присоединенной силовской 2-задаче (у которой ядро - группа диэдра порядка 8). Попутно для задачи с ядром, изоморфным группе диэдра, оказывается справедливым аналог теоремы Кохендорфера-Фаддеева.

В последней главе, очень небольшой по объему, задача погружения применяется не к обратной, а к прямой задаче теории Галуа. I

Посредством весьма элементарных соображений найдено очень простое достаточное условие неразрешимости в радикалах для неприводимого уравнения простой степени р, сравнимой с 1 по модулю 4. В частности, если дискриминант уравнения не представляется в виде суммы двух квадратов из основного поля, такое уравнение неразрешимо в радикалах.

Настоящая диссертация не была бы написана, если бы не настойчивость моих коллег, а также моей семьи.

По завершении работы я склонен выразить им свою признательность.

1. Алгебраическая теория чисел. Под ред. Дж. Касселса и Ф. Фре-лиха. М., Мир, 1969, 483 с.

2. Ишханов В. В., Лурье Б. В., Фаддеев Д. К. Задача погружения в теории Галуа. — М., "Наука", 1990, 272 с.

3. Кэртис Ч., Райнер И., Тебрия представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., "Наука", 1969, 668 с.

4. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М., Мир, 1975.Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа. Т. 1. М.-Л., ОНТИ, 1934.

5. Escofier J. P. Theorie de Galois. Paris, 1997, 248 pp.

6. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Math. Surveys Monogr., v. 40.1, AMS, 1994.

7. Ishkhanov V. V., Lur'e В. В., Faddeev D. K. The Embedding Problem in Galois Theory. Translation of Math. Monographs. Amer. Math. Soc., 1997, 182 p. v. 40.1, AMS, 1994.

8. Lam T. Y. The algebraic theory of quadratic forms. W. A. Benjamin, Inc., Reading, MA, 1973, 344 pp.

9. Башмаков М. И. О задаче погружения полей. Мат. заметки — 1968, т. 4, N 2, 137-140.

10. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Исследования по геометрии теории Галуа. Мат. сб. — 1944, т. 15 (57), N 2, 243-284.

11. Демушкин С. П. Группа максимального р-расширения локального поля. Изв. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25, N 3, 329-346.

12. Демушкин С. П., .Шафаревич И. Р. Задача погружения для локальных полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1959, т. 23, N 6, 823840.

13. Демушкин С. П., Шафаревич И. Р. Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1962, т. 26, N 6, 911-924.1.

14. Зяпков Н. П. Яковлев А. В. Универсально согласные расширения Галуа. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1977, т. 71, 133-152.

15. Ишханов В. В. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р\ Труды МИАН СССР — 1990, т. 183, 116-121.

16. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Задача погружения для числовых полей с некоммутативным ядром порядка р4. Алгебра и анализ — 1990, т. 2, N 6, 161-167.

17. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. I, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1989, т. 175, 46-62.

18. Ишханов В; В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. II, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1991, т. 191, 101-113.

19. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. III, Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1991, т. 198, 20-27.

20. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. IV, Зап. научн. семин. ПОМИ. — 1994, т. 211. 120-126.

21. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. V, Зап*- научн. семин. ПОМИ. — 1994, т. 211, 127-132.

22. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения с неабелевым ядром порядка р4. VI, Зап. научн. семин. ПОМИ. — 1995, т. 227, 74-82.

23. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Универсально разрешимая задача погружения с циклическим ядром. Зап. научн. семин. ПОМИ, 1999, т. 265, 189-197.

24. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Универсальная задача погружения с циклическим ядром порядка 8. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2001, т. 281, 210-220.

25. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Об универсально разрешимой задаче погружения с циклическим ядром. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2006, т. 338, 173-179.

26. Лурье Б. Б. К задаче погружения с ядром без центра. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1964, т. 28, N 5, 1135-1138.

27. Лурье Б. Б. К задаче погружения с некоммутативным ядром порядка р3. Труды МИАН СССР — 1965, т. 80, 98-101.

28. Лурье Б. Б. О задаче погружения для локальных полей. Мат. заметки — 1972, т. 12, N 1, 91-94.

29. Лурье Б. Б. Задача погружения локальных полей с неабелевым ядром. Зап. научн. сем. ЛОМИ — 1973, т. 31, 106-114.

30. Меркурьев А. С. О задаче погружения с неабелевым ядром. Изв. АН СССР, сер. мат., 1977, т. 41, N 5, 1043-1052.

31. Фаддеев Д. К. Об одной гипотезе Хассе. ДАН СССР — 1954, т. 94, N 6, 1013-1016.

32. Шафаревич И. Р. О р-расширениях. Мат. сб., 1947, т. 20 (62), 2, 351-363.

33. Шафаревич И. Р. О задаче погружения полей. ДАН СССР. — 1954, т. 95, N 3, 459-461.

34. Шафаревич И. Р. О задаче погружения-полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1954, т. 18, N 5, 389-418.

35. Шафаревич И. Р. Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1954, т. 18, N 6, 525-578.

36. Шафаревич И. Р. Задача погружения для распадающихся расширений. ДАН СССР. — 1958, т. 120, N 6, 1217-1219.

37. Яковлев А. В. Задача погружения полей. ДАН СССР. — 1963, т. 150, N 5, 1009-1011.

38. Яковлев А. В. Задача погружения полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1964, т. 2.8, N 3, 645-660.

39. Яковлев А. В. Задача погружения для числовых полей. Изв. АН СССР, сер. мат. — 1967, т. 31, N 2, 211-224.

40. Black E., Swallow J. R. Relativ embedding problems. Trans. Am. Math. Soc. — 2001, v. 353, N 6, 2347-2370.

41. Brauer R. Uber die Konstruktion der Schiefkörper die von endlichem Rangsin Bezug auf ein gegebenes Zentrum sind. J. reine angew. Math. — 1932, Bd 168, N 1, 44-64.

42. Hasse H. Existenz und Mannigfaltigkeit Abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers. Math. Nachr. — 1948, Bd 1, N 1, 40-61; Bd 1, N 4, 213-217.

43. Hoechsmann K. Zum Einbettungsproblem. J. reine angew. Math. — 1968, Bd 229, 81-106.

44. Ledet A. Embedding problems with cyclic kernel of order 4, Isr. J. Math. — 1998, v. 106, 109-131.

45. Ledet A. Brauer type embedding problems Fields. Institute Monographs. 21 Providence, RI. AMS, 2005, 171 pp.

46. Michailov I. M., Ziapkov N. P. Embedding obstructions for the generazed quaternion group. J. Algebra — 2000, v. 226, N 1, 375-389.

47. Michailov I. M., Ziapkov N. P. Embedding problems with Galois groups of order 16. Math. Balk., New Ser. — 2001, v. 15, N 1-2, 99-108.

48. Minäc J., Swallow J. Galois embedding problems with cyclic quotient of order p. 1st. J. Math. — 2005, v. 145, 93-112.

49. Neukirch J. Einbettungsprobleme mit lokaler Vorgabe und freie Produkte lokaler Galois Gruppeij. J. reise angew. Math. — 1973, Bd 259, 1-47.

50. Neukirch J. Uber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie. Invent, math. — 1973, Bd 21, N 1-2, 59-116.

51. Neukirch J. On solvable number fields. Invent, math. — 1979, v. 53, N 2. 135-164.

52. Nomuro A. Embedding problems with ¡restricted ramifications and the class number of Hilbert class fields. Adv. Stud. Pure Math. — 2001, v. 30, 79-86.

53. Quer J. Embedding problems over abelian groups and an application to elliptic curves. J. Alebra 2001, v. 237, N1, 186-202.

54. Reichardt H. Konstruktion von Zahlkörpern mit gegebener Galoisgruppe von Primzahlotenzordnung. J. reine angew. Math. — 1937, Bd 117, N 1, 1-5.

55. Roquette P. On the local-global principle for embedding problems over global fields. Isr. J. Math. — 2004, v. 141, 369-379.

56. Scholz A. Uber die Bildung algebraischer. Zahlkörper mit auflösbarer Ga-loischer Gruppe. Math. Z. — 1929, Bd 30, 332-356.

57. Scholz A. Konstruktion algebraischer Zahlkörper mit beliebiger Gruppe von Primzahlpotenzordnung. Math. Z. — 1936, Bd 42, 161-188.

58. Serre J.-P. Cohomologie négligeable. Algèbre et géométrie. Annuaire du Collège de France. 1993-4, 91-99.

59. Sonn J. On the embedding problem for nonsolvable Galois groups of algebraic number fields: reduction theorems. Bull. Amer. Math. Soc. — 1972, v. 78, N 4, 553-557.

60. Spearman W. Condition for the insolvability of the quintic equation xb + ax 4- b. Far East. J. Math. Sei (FJMS), 2001, v. 3, N 2, 209-225.

61. Vela M. Resolution of a famHy of Galois embedding problems with cyclic kernel. Rev. Mat. Iberoom. — 2005, v. 21, N 1, 111-132.

62. Witt E. Konstruktion von Galoischen Körper der Charakteristik p zur vorgegebener Gruppe der Ordnung pf. J. reine angew. Math. — 1935, Bd 174, N 4, 237-245.i

63. I. Публикации автора по теме диссертации

64. Григорян О. М., Лурье Б. Б. О вполне разрешимых задачах погружения с абелевым ядром для локальных полей. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1978, т. 75, 67-73.

65. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Условие согласности для задачи погружения с р-расширением. Зап. научн. семин. ПОМИ, 1997, т. 236, 100-105.

66. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. Задача погружения над р-расшире-нием. Алгебра и анализ, 1997, т. 9, N 4, 87-97.

67. Ишханов В. В., Лурье Б. Б. О задаче погружения над р-расширением. Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева. Тезисы докладов, СПб, 1997, с. 206.

68. Лурье Б. Б. Об условиях погружаемости, когда ядро есть неабелева р-группа. Мат. заметки — 1967, т. 2, N 3, 233-238.

69. Лурье Б. Б. Критерий неразрешимости в радикалах уравнения простой степени. Докл. РАН, 2003, т. 388, с. 447-448.

70. Лурье Б. Б. Критерий неразрешимости в радикалах неприводиIмого уравнения простой степени. Международная алгебраическая конференция памяти 3. И. Боревича. Тезисы докладов. СПб, 2002, с. 46-47.

71. Лурье Б. Б., Гладких М. Б. О неразрешимости в радикалах некоторого класса уравнений пятой степени. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2003, т. 305, 163-164.