Исследования по теории вещественного метода интерполяции операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В.А. СТЕКЛОВА

1 ] <)

на правах рукописи 1 5 УДК 517.98

Кругляк Натан Яковлеяич

Исследования

по теории вещественного метода интерполяции операторов

01.01.01. Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург

1996 г.

¿и

Работа выполнена в Ярославском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Б. Александров,

доктор физико-математических наук, профессор М.Ш. Бирман,

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Тихомиров.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 1Х 1994 г. в •/V часов на заседании Специализированного Совета Д 002.38.04 в Санкт-Петербургском отделении Математического института Российской Академии Наук ( г. Санкт-Петербург ул. Фонтанка, 27, комн. 311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института АН России.

Автореферат разослан # а . 199 ¿года.

Ученый секретарь

Специализированного Совета Д 002.38.04

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Начиная с замечательной работы М.Рисса 1926 года появились тысячи оригинальных статей и около десятка монографий, посвященных новой области анализа, получившей название теории интерполяции операторов. В настоящее время эта теория представляет собой самостоятельный раздел анализа, имеющий как свою внутреннюю структуру и задачи, так и многочисленные и разнообразные приложения в гармоническом анализе, уравнениях в частных производных, теории приближения функций, геометрии банаховых пространств и других областях математики.''

В основе современной теории интерполяции лежат два метода, получивших названия комплексный и вещественный методы интерполяции. Первый из них предложен А.П.Кальдероном и представляет собой обобщение комплексного доказательства О. Торина теоремы Рисса. Второй предложен Я.Питре и восходит к классической интерполяционной теореме Марцинкевича. Вещественный метод интерполяции операторов оказался удобным инструментом во многих задачах анализа и, в особенности, в задачах теории приближения функций, с которой, как было показано Я. Питре и Г. Спарром, он тесно связан.

Однако, ряд интенсивно исследуемых в последние два десятилетия задач теории приближений и, в частности, задачи нелинейной ( кусочно-полиномиальной, сплайн, рациональной ) аппроксимации ... потребовали дальнейшего развития вещественного метода интерполяции. В частности, возник вопрос о возможности распространения реитерационной формулы Лионса-Питре на нестепенные параметры.

В качестве второго примера отметим, что аппроксимационные пространства, возникающие в задаче кусочно-полиномиальной аппроксимации со свободными

узлами, могут быть получены при вещественной интерполяции

1 \ ■ ■

пары , Вр ) с р -Ф Ц ( Брудный, Де Вор, Попов и др. ).

Однако, вещественная интерполяция пар, в которых меняется как показатель интегрируемости, так и показатель гладкости, практически исследована не была.

Эти и некоторые другие конкретные задачи и привели к необходимости более глубокого исследования как свойств пространств вещественного метода интерполяции, так и разработку общих подходов к их вычислении?.

Цель работы. !

Разработка общих подходов к задачам вычисления и установления наиболее фундаментальных свойств пространств вещественного метода интерполяции операторов.

Научная новизна.

Установлены новые свойства ^-функционала Питре, из которых следуют ранее неизвестные и нетривиальные свойства таких классических характеристик функций, как модуль непрерывности и максимальная функция Харди-Литтльвуда.

Введена новая геометрическая характеристика (а- емкость ) и показана ее важность при вещественнной интерполяции пар пространств гладких функций, в которых меняется как показатель интегрируемости, так и показатель гладкости.

Установлены теоремы о покрытиях, представляющие собой количественные аналоги классических теорем о покрытии, принадлежащих Уитни и Бсзиковичу. .. ;

Построены гладкие аналоги разложения Кальдерона-Зигмунда, введена новая характеристика функции ( Ра -характеристика ).

С помощью количественных теорем о покрытии и гладких аналогов разложения Кальдерона-Зигмунда показано, что через Ра характеристику может быть выражен ^-функционал Питре

для пар вида ¿¿ра) и др. . Полученные формулы

для К - функционала применены для вычисления интерполяционных пространств и получения новых интерполяционных теорем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств; апробацией результатов на многочисленных конференциях и семинарах, проверкой части результатов в последовавших работах других авторов.

Практическая значимость.

Полученные результаты применимы как в самой теории интерполяции операторов, так и в ее приложениях. Часть из

полученных результатов вошла в монографии и использовалась в научных исследованиях рядом математиков ( Ю.А. Брудный, М. Цвикель, Е.М. Семенов, В.И. Овчинников, К. Бениет, Р. Шарили , Е.И. Пустылышк и др. ).

Апробация работы.

По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах по анализу математического института им. В.А. Стеклова, Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова, ряда университетов Швеции ( Уппсала, Лунд, Люлеа), Израиля ( Тель-Авив, Технион г. Хайфы, институт им. Вейцмана ), Франции ( Париж, университет им. Пьера и Марии Кюри ), а также на конференциях:

2-ая международная конференция по функциональным пространствам, август-сентябрь 1989, Познань, Польша;

международная конференция по интерполяционным пространствам, июнь-июль 1990, Хайфа, Израиль;

международная конференция по теории банаховых пространств и ее приложениям, июнь 1991, Иерусалим ( пленарный доклад );

международная конференция, посвященная 90-летию академика С.М. Никольского, апрель-май 1995, Москва;

международная конференция по интерполяционным и функциональным пространствам, июнь 1995, Хайфа, Израиль;

4-ая международная конференция по функциональным пространствам, август-сентябрь 1995, Зелена Гора, Польша ( пленарный доклад );

международная конференция по анализу Санкт-Петербургского отделения института им. В.А. Стеклова, август 1996.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе две монографии ( см. [4,11] ). Основные результаты работы содержатся в этих публикациях.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых по параграфам, и списка литературы. Работа занимает 267 страниц машинописного текста, список литературы содержит 97 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий литературно-исторический обзор, указаны основные задачи, дано описание основных результатов и методов работы.

В первой главе устанавливаются два важных свойства К-функционала Питрс: К - делимость и К0 - полнота.

Эти свойства тесно связаны с классической обратной теоремой теории приближений, принадлежащей С.Н. Бернштейну. В частности, теорема о К0 - полноте была применена Ю.А. Брудным для обобщения теоремы С.Н. Бернштейна на случай, когда аппроксимирующие подмножества не являются конечномерными подпространствами и даже не обязательно линейны.

Для того, чтобы пояснить о какого рода обратных утверждениях идет речь, приведем простейший, однако далеко не тривиальный пример.

Рассмотрим пару (С, С1), состоящую из функций, определенных на отрезке [0,1] . Теорема о К - делимости, примененная к этой паре, приводит к следующему утверждению:

если для модуля непрерывности функции/ еС для всех t > 0 справедливо неравенство

®(/,о= sup I/(X)-/CV)|<?>O(O+PI(O

\x-y\st

с неотрицательными и вогнутыми на R+ функциями <Pi (i — 0,1), то существует такое разложение f — /о + f\ (/сЛ £ С), что имеет место неравенство

co(fi)-)<(3 + 2.l2)-<pi (/ = 0,1).

Для формулировки результатов напомним основное понятие вещественного метода интерполяции - К- функционал Питре .

Определение 1. Пусть Х= (Х0, Х\) - банахова щра, т.е.

Х0,Х1 - банаховы пространства непрерывно и линейно вложенные в некоторое линейное топологическое ( с отделимой топологией ) пространство II. К-функционалом Литре элемента х + Хх называется неотрицательная вогнутая функция на = (0,+со), определяемая формулой

(1) КЦ,х\Х)= тГ ОЫк+'И^к) С>0)-

х=д:0+х1

Вычисление К - функционала для конкретных пар представляет собой, как правило, трудную экстремальную задачу. Тем не менее, усилиями ряда математиков для ряда пар К -функционал был посчитан. Приведем две, на наш взгляд, наиболее яркие формулы:

(2) Ку,/;1р,1¥рк)*а)к(/У*)р ,

(3) К(!,/ЯМ»1ЩГ)\0 ,

где ¿ок(/^)р - Ьтый модуль непрерывности в Ьр , а -неубывающая перестановка максимальной функции Харди-Литтльвуда. Здесь и далее через Жр обозначается однородное пространство Соболева.

Первая из этих формул указывает на тесную связь вещественной интерполяции с теорией приближений, а вторая -с гармоническим анализом. Например, из (3) и хорошо

известного равенства Ь = (Ь1,Ьсо)1_! легко следует

р,р

максимальная теорема Харди-Литтльвуда:

+со -Г1 —1Л Ж 1 J

11/11, - (I С (ОГ -У = (¡[М(Л(х)]рс1ху

О I

Перейдем теперь к формулировке теоремы о К - делимости. Обозначим через Сош конус неотрицательных вогнутых функций, определенных на Я+.

Теорема 1.1.1. ( О К -делимости ).

Пусть (р1 еСот (/' = 1,2,...), причем £¡<^¡(0 < +со.

Тогда, если

К(;Х-,Х)<£<Р> ,

¿=1

то х можно представить в виде абсолютно сходящегося в 2Х-ЛГ) ряда х = Х1 такого, что

К{-, х;Х)<у <р1 0 = 1,2,...),

где у > 0 - некоторая абсолютная постоянная.

Из первоначального доказательства теоремы 1.1.1 следовало, что у < 14 .В настоящее время известно, что у < 3 + 2л/2 ( М. Цвикель, М. Мильман и Б. Яверт ).

Из формул (2), (3) и теоремы о К - делимости следуют новые свойства модуля непрерывности и максимальной функции Харди-Литтльвуда и, в частности, приведенный на стр. 6 пример.

Одним из наиболее важных следствий теоремы о К -делимости является возможность распространения замечательной реитерационной формулы Лионса-Питре

на произвольные параметры К - метода. Для ее формулировки нам понадобится

Определение 2. Функциональная банахова решетка Ф состоящая из измеримых функций на R+ , называется параметром К-метода, если min (1,0 £Ф . Если Ф - параметр К-метода, то через КФ(Х) обозначается банахово пространство, состоящее из элементов X , для которых конечна норма

\\х\\Кфф=\\К(-,х;Х)\\ф<+со .

В частности, пространство (X)g q по определению совпадает

с пространством КФ(Х), если в качестве Ф берется решетка фд дС нормой

+О0 Jf I

II/II®,

О I

с обычными изменениями при q = +°о .

Теорема 1.1.5. ( О реитерации ).

Пусть Ф0,Ф],Ф - параметры К-метода. Тогда существует параметр К -метода VF такой, что

(4) Кф(Кф0(Х),Кф1(Х)) = Kv(X) , ,

причем константы эквивалентности норм пространств в (4) не зависят от X.

Отметим, что в качестве ХР можно взять решетку А"ф(Ф0,Ф1) , где через Ф, обозначены банаховы решетки, нормы в которых, определяются формулами

11/11ф,.Н1/11ф( ' 0'= 0,1).

Здесь через f обозначена наименьшая вогнутая мажоранта функции |/| .

Замечание. Теорема о реитерации получена совместно с Ю.А. Брудным. Ее первоначальное доказательство (оно принадлежит автору) содержало доказательство теоремы о -делимости для двух слагаемых. Распространение этого доказательства на случай счетного числа слагаемых было осуществлено по предложению Ю.А. Брудного .

Другим важным свойством К -функционала является свойство Kq - полноты.

Для формулировки результата обозначим через Conv(j подконус конуса Conv, состоящий из функций (р с Conv, для которых имеют место соотношения

lim= lim — =0 .

f-»0 f—>+со t

Теорема 1.1.7. ( О Х0-полноте ).

Пусть пара X = (XQ,X\) такова, что существует элемент

Xq для К-функционала которого при., некотором

в € (0,1) имеет место эквивалентность

K{t,xb-X)*te .

Тогда для произвольной функции <р € Conv0 найдется элемент х<р £ такой, что

К{-,х9\Х)"<Р ,

причем константы эквивалентности не зависят от (р .

В последнем параграфе главы 1 приводится элементарное вещественное доказательство теоремы Рисса-Торина, основывающееся на числовом неравенстве

(5) max Elidel .

i=l-JV ± ¡=1

В главе 2 устанавливается новая, достаточно трудная теорема о покрытии, в которой контролируется поведение нового количественного параметра, названного нами (X - емкостью.

Эта теорема играет центральную роль в главах 3 и 4 при построении "почти" оптимальных разложений, т.е. - таких разложений, на которых "почти" достигается инфимум в формуле (1) для К - функционала. Отсутствие этой теоремы для случая (X = 0 ( приведен контрпример ) является единственным препятствием для проведения доказательств в случае так называемого предельного показателя.

Приведем понятие а - емкости.

Всюду ниже - ограниченное множество. Пусть

также в каждой точке х е О задан куб 0Х с центром в х ( здесь и далее рассматриваются кубы с гранями параллельными координатным плоскостям) .

Определение 3. Будем говорить, что семейство кубов {вх}хе& и*1еет ограниченную а-емкость ( а б Я ), если конечна величина

(б)|Ш|а=зир(ШГ)<оо ,

п Qan

где sup взят по всем укладкам К, состоящим из кубов семейства {Qx}^q-

Здесь и далее под укладкой л= {0/}/=i мы понимаем

семейство попарно непересекающихся кубов.

Ограничимся здесь частным случаем теоремы о покрытии, который сравним с классической теоремой Безиковича.

Рассмотрим семейство кубов \QX} Из теоремы о

покрытии Безиковича следует, что из этого семейства кубов можно выбрать не более чем счетное подсемейство кубов

такое, что имеют место свойства:

{&.L

a) fic U Qx ( покрытие ) ;

¿е/

Ь) X Хб — М(п) ( конечнократность ) . Ш Х1

Отметим также, что из свойства Ь) следует, что семейство кубов |<2Х | ^ распадается на конечное и зависящее только от

размерности П число укладок. Поэтому, если семейство {{2х}имеет ограниченную а - емкость, то справедливо неравенство

С) Ц^Г^йЩ^ .

/б/

Теорема 2.1.9. ( О покрытии ).

Предположим, что семейство кубов {Ох}хец имеет

ограниченную а-емкостъ, причем ОС > 1 .

Тогда существует не более чем счетное семейство кубов {Кх.}ш с центрами х; € Г2 (г €/), которое является расширением

исходного семейства {0х}хе^> т-е- (2х Кх (г е/), и для которого сохраняются свойства а)-с) (естественно, с заменой в них ()х на Кх ). Кроме того, семейство кубов {Кх.}{е1 обладает свойствами:

д.) О а \]~КХ ( семейство {Кх.}1е1 остается

Т 1 '

¡с/

покрытием даже при сжатии кубов в 2 раза );

е) если КХ,Г\КХ^ ^ 0 (/,7 е/), то с постоянной £->0, зависящей только от размерности, имеет место неравенство

\КХ1Г\Кх.\>е шах(1^.1,1^1) .

Последнее свойство означает, что если какие-то два куба пересекаются, то в их пересечение можно вписать куб, пропорциональный каждому из них ( с коэффициентами пропорциональности, зависящими только от размерности ).

Теорема о покрытии остается верной ( при некоторых изменениях ) и при а = 1 и отрицательных а. Трудности в построении семейства кубов обладающих

дополнительно свойствами с!) и е) связано с тем, что свойство с) препятствует существенному расширению кубов, а конечнократность семейства плохо совместима с <1).

Отметим также, что построение искомого семейства

конструктивно.

Наличие дополнительных свойств (1)-е) существенно при проведении оценок норм производных гладких аналогов разложения Кальдерона-Зигмунда в главе 3 .

Из этих свойств, в частности, легко следует, что существует

бесконечно дифференцируемое разбиение единицы = 1

( на множестве О ) такое, что

a) яирр у/1 С КХ[ (/ б/) ;

b) имеют место оценки

I Кху

где у > 0 - некоторая постоянная, зависящая только от размерности п и а = (а1,а2,...,ап).

Замечание. Для построения такого рода разбиения единицы ( Стейн; Фефферман, Ривьер, Загер ) обычно использовалась лемма о покрытии, восходящая к Уигни, с которой доказываемая теорема; тесно связана. Так, из доказательства приведенной выше теоремы, в частности, следует усиление этой леммы Уитни ( следствие 2.1.17).

Глава 3 посвящена задаче нахождения -функционала для важных в приложениях пар. Как уже отмечалось, нахождение ( или оценка ) К-функционала является, как правило, трудной экстремальной задачей. Однако, именно на ней основаны все приложения вещественного метода интерполяции. Поэтому разработка общего подхода, позволяющего охватить достаточно большое количество важных в приложениях пар, представляется интересным и важным.

Как уже говорилось выше, усилиями ряда математиков К -функционалы для многих важных в приложениях пар были найдены. В частности, они были найдены для пар

Однако, для пар , Ыра), (Ьс}, ), в которых

одновременно изменяется как показатель интегрируемости, так и показатель гладкости, К- функционал оставался неизвестным, несмотря на несомненный интерес к интерполяции этих пар .

Задаче нахождения К-функционала и построения почти оптимальных разложений для этих пар, т.е. дающих с точностью до эквивалентности инфимум в формуле (1) для К -функционала, и посвящена глава 3.

По-видимому, основная трудность в нахождении К-функционала для этих пар была связана с тем, что для них К -функционал не выражается через такие классические характеристики функций, как модуль непрерывности и максимальные функции ( это следует из одной работы Де Вора и Шарпли ) и требовалась новая характеристика, переходящая в известные в изученных ситуациях.

На наш взгляд такой характеристикой функции является вводимая ниже - характеристика и ее перестановка. Для ее определения нам понадобится основное понятие теории локального приближения функций - локального наилучшего приближения.

Определение 4. Пусть О. а Я" - некоторое множество. Наилучшим приближением функции f в метрике на

кубе алгебраическими многочленами степени < к — 1

называется величина

(Ъ W,Q)q= inf \\f-P\\L,Qnn),

degP<i-l

причем будем считать, что при к = О пространство многочленов степени < к — 1 состоит из одного нуля.

Приведем теперь определения Fa - характеристики и ее перестановки.

Всюду далее / eLq = Lq(Q0), где О0- П-мерный

единичный куб. Обозначим через G совокупность кубов Q с гранями, параллельными координатным плоскостям, центры которых лежат в Oq .

Определение 5. Fa- характеристикой функции f называется функция, определенная на G формулой

(8) =

\Qf

Определение 6. Перестановкой Fa-характеристики называется невозрастающая, непрерывная справа функция переменного t > О, определенная формулой

(9) Fa(f?(0= sup (infFa(/)(0) ,

wa>t e&r

где Slip берется no всем укладкам К — {Qi}, состоящим из

кубов Qi из G, таким, что wc ос - емкость \я\а = X/1 Q Г строго больше t.

Замечание. Как видно из определения, функции Fa и ее

перестановка в действительности зависят еще от параметров к и q . В дальнейшем мы будем предполагать, что эти параметры фиксированы. В тех же случаях, когда они существенны, мы будем

вместо Ра и ее перестановки писать и С^а^)*

соответственно.

Нетрудно доказать, используя теорему о покрытии

£

Безиковича, что при а = (¡ = \ и к = О функция (/) (¿) эквивалентна перестановке максимальной функции Харди-Литтльвуда М(/)(1) с постоянными, не зависящими от / и /, а при а = д=1 и к=1- перестановке максимальной функции

Феффермана-Стейна _/"(/). Так как в силу теорем Херца и Беннета-Шарпли справедливы формулы

(10)

(И) о,

то отсюда следуют эквивалентности

(12) « íFa(f)\0 ( ^ = ^ );

(13) К^/'^ВМО) « = )■

Основной результат главы 3 состоит в том, что формулы (12)-(13) допускают широкое обобщение.

Теорема 3.4.1 ( в 3.5.2 ).

а) Пусть £7 е (0,к) и д < +оо. Положим + Тогда

с постоянными, не зависящими от / Е^ и имеет место эквивалентность

(14) 0 .

b) Пусть Я = - + - — — > 0 ( т.е. имеет место компактное ' J п q р '

вложение Wp d Lq ) и р Ф q. Положим а = 1 + ----. Тогда с

ч р

постоянными, не зависящими от f G L^ и t, имеет место эквивалентность

(15) K{t^,f-,Lq,Wkp)«tha{f)\t) .

Замечание. В случае, когда р = q, доказательство теоремы приводит к формуле

(16) K(t,f-,Lq,Wj)» sup( S Ek (/, Q)qq у ,

к Qzn

где Slip берется no всем укладкам Ж, состоящим из кубов

п

Q eG объема tk. Отсюда и из «атомного» разложения модуля непрерывности следует известная формула

K(t ,f;Lp,Wp)»&k(f, f *) р .

Отметим также, что так как при с е (0,1) имеет место равенство Lip С = В^ , то из (14) следует формула для К -функционала пары (LC], Lip <r).

Теорема получена совместно с ЮЛ. Брудным. Ее доказательство ( оно принадлежит автору) основано на построении специального семейства разложений

(17) f = 8t+bt

на "хорошую" g¡ и "плохую" Ь( функции, представляющие собой аналоги замечательных разложений Кальдерона-Зигмунда.

Эти разложения и оказываются почти оптимальными, т.е. на них достигается инфимум ( с точностью до множителя ) в определении К - функционала.

Построение g[ осуществляется по следующей схеме {Ь( находится из равенства (17) ).

Сначала на основе Еа(/) (/) с помощью техники

момента остановки строится семейство кубов {Ох}хедо , СС-

емкость которого не превосходит I. Затем к построенному семейству кубов применяется теорема о покрытии главы 2, в результате чего получается семейство кубов {Кх.}1^1 ,

обладающее специальными свойствами. В частности, по нему может быть построено бесконечно дифференцируемое

разбиение единицы {^¡Ье/ с вирр а Кх . Затем

бесконечно дифференцируемая функция определяется

формулой:

(18) ^ = , ¿6/

где Рк (/ е /) - полиномы степени < к — 1, дающие

почти наилучшее приближение функции / на кубе Кх в

метрике Ь .

ч

Глава 4 посвящена обобщению результатов главы 3 на пары

вида где через обозначены

обобщенные пространства вариаций, введенные Ю.А. Брудным. Интерес к этому классу пар связан с тем, что он не только содержит пары, рассмотренные в главе 3, но и ряд

новых ( например, он содержит важную пару {ВМО, Ж ) ).

Наличие в определении перестановки Fa(f) супремума по укладкам К приводит к естественному вопросу: является ли эта величина "рабочей", т.е. не является ли теорема 3.4.1 ( и 3.5.2 ) сведением одной трудной экстремальной задачи к другой, не менее трудной. Основная цель главы 5 - показать, что это не так на примере вычисления диагональных интерполяционных пространств.

Прежде всего отметим, что ранее было известно, что

диагональное пространство (Lq, W^ рд ( диагоналыюсть

означает, что — = — + - ) равно (<7Л = 9к), если

Ре ЯР Р& J

параметры q и р отличны от 1 и со. Это ограничение

было вызвано тем, что доказательство основывалось на теории

Литтльвуда-Пэли, для которой эти требования существенны.

Такой подход не работал в предельных случаях и, в частности,

не было известно будут ли получаться пространства Бесова при

интерполяции пар {Lq,Lip с), (Lq,C ), (Lq,).

Теоремы 3.4.1 и 3.5.2 открывают новый путь к вычислению интерполяционных пространств для такого рода пар.

Для его объяснения обозначим через V пару, удовлетворяющую условиям теоремы 3.4.1 ( или 3.5.2 ), а через Vq - диагональное интерполяционное пространство для этой пары. Тогда из теорем 3.4.1 и 3.5.2 следует, что

+С0 л

(19) ||/Нгй *(№«(/) (ОГ dtr ,

где параметр а выбран для пары V в соответствии с теоремой 3.4.1 ( или 3.5.2).

С другой стороны, Ю.А. Брудным было дано описание пространств Бесова в терминах локальных наилучших приближений, т.е. величин Е^ (/, 0)д . Поэтому для

доказательства того, что диагональное пространство Уд совпадает с соответствующим пространством Бесова, достаточно преобразовать правую часть (19) к выражению для

нормы пространств Бесова из теоремы Брудного. Эта программа была осуществлена в главе 5. Одним из ее следствий является

Теорема 5.1.6 . Справедливо равенство

(20) (Ьд,Ырсу)о>Р9 = ВЦ (¿. = ^ = о а) .

Анализ теорем 3.4.1 и 3.5.1-3.5.2 показывает, что в них параметр О, принимает произвольные значения вне сегмента [0,1). Поэтому естественно возникает вопрос, что соответствует случаю СС е [0,1) .

Основной результат главы б состоит в том, что при а е[ 1 — ^,1) выражение в правой части соотношения из

теоремы 3.4.1 является уже не /^-функционалом, а расстоянием до некоторого аппроксимационного семейства кусочно-полиномиальных функций • Причем, в одномерном случае получается формула для расстояния до множества кусочно-полиномиальных функций со свободными узлами.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору Ю.А. Брудному за многочисленные и в высшей степени полезные обсуждения изложенных выше результатов.

На защиту выносятся:

1. Теоремы о свойствах К - функционала Питре (отделимость, К0 - полнота ) и некоторые следствия из них.

2. Элементарное вещественное доказательство теоремы Рисса-Торина.

3. сс - емкость и количественные теоремы о покрытий.

4. Ра - характеристики и построение гладких аналогов разложения Кальдерона-Зигмунда.

5. Формулы для К - функционала Питре для пар вида

, 1Ур ), (¿^, Ь1р а) и новые интерполяционные теоремы для этих пар.

Публикации по теме диссертации

1. Кругляк Н.Я., Об одном семействе метрических пространств, // Межвуз. Сб. / Количественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, - Ярославль: Яросл. Гос. Ун-т. - 1978. - вып. 3. - С. 112-121, :

2. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Об одном семействе аппроксимационных пространств // Межвуз. Сб. / Исследования по теории функций многих вещественных переменных. - Ярославль: Яросл. Гос. Ун-т. - 1978. - вып. 2. -С. 15-42 .

3. Кругляк Н.Я., О константе К делимости для пары (С, С1) // Межвуз. Сб. /Исследования по теории функций многих вещественных переменных, - Ярославль: Яросл. Гос. Ун-т. -1978. - вып. 4 - С. 37-44.

4. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции / Яросл. Гос. Ун-т. - Ярославль, 1981. - 212 с. -Деп. ВИНИТИ 13.05.81, № 2620-81.

5. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции // ДАН СССР. - 1981. - 256 . - С. 14-18.

6. Bradnyi Yu.A., Krugljak N. Interpolation. of operators and approximation, of functions // Proceedings of the International conference on Constructive Function Theory, Sofia, 1981.: Sofia, 1983.-P. 248-253.

7. Кругляк Н.Я. Новое доказательство теоремы Рисса-Торина и интерполяционное свойство конструкции Кальдерона-Лозановского / Яросл. Гос. Ун-т. - Ярославль, 1983. -8с.-Деп. ВИНИТИ 21.12.83, № 6906-83.

8. Кругляк Н.Я. Интерполяция компактных операторов в пространствах вещественного метода // Тезисы 15 Всесоюзной школы по теории операторов5 в функциональных пространствах, Ульяновск, 5-12 сентября 1990.- Ульяновск, 1990.- С. 134.

9. Krugljak N. A set of if-functional for a fixed Banach couple // Proceedings of the Second International Conference on Function Spaces, Poznan, 1989, August 28 -September 2, Teubner-Texte zur Mathematic, Band 120, 1991.- P. 248-251.

Ю.Кругляк Н.Я., О распространении операции Кальдерона-Лозановского на произвольные банаховы пары// Межвуз. Сб. /Исследования по теории функций многих вещественных переменных, - Ярославль: Яросл. Гос. Ун-т. - 1990. - С. 77-90.

11.Brudnyi Yu.A., Krugljak IS?,, Interpolation functors and Interpolation Spaces V.l. - Amsterdam: North Holland. - 1991. -722 p.

12.Krugljak N., Mastylo M. Correct interpolation functors of orbits // J. of Functional Analysis. - 1991. - 102, №2. - P. 401-413 .

13.Krugljak N., Maligranda L., Persson L.-E. Carlson type inequality with blocks and interpolation // Studia Math. - 1993. - 104 . - P. 161-180.

14.Krugljak N. On the reiteration property of X^ q spaces // Math.

Scand. - 1993. -73. -P. 65-80.,

15.Asekritova I., Krugljak N., Maligranda L., L.-E. Persson. Distribution and rearrangement estimates of the maximal function and interpolation// Research Report, -Lulea: Lulea University, Sweden. - 1995,- 27 p.

16.Асекритова И.У., Кругляк Н.Я. Об эквивалентности К- и J- методов для (jl+ 1)- наборов банаховых пространств //

Тезисы Международной конференции «Функциональный анализ, теория приближений, нелинейный анализ», Москва, 27 апреля - 3 мая, 1995,- .С. 164.

17.Krugljak N. Rearrangements of maximal functions, real interpolation and quantitative covering theorems // Thesis of international workshop on Function spaces, Interpolation spaces and Related topics, Haifa, 7-13 June, 1995.- P. 16.

18.Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Вещественная интерполяция одного семейства пространств гладких функций // Доклады РАН. - 1996. - 349, №6 . - С. 729-731.

19.Кругляк Н.Я. Гладкие аналоги разложений Кальдерона-Зигмунда, количественные терремы о покрытии и К -

функционал ддя пары (Lq,W*)J/ Алгебра и анализ. - 1996. -

8, №4, С. 110-161.

3.1587Л.100.Типография Ярославского политехнического университета, гвл.,',30.'56 63 "■ '