История формирования метода тригонометрических сумм в работах И.М. Виноградова по распределению целых точек в областях трехмерного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

БУРЛАКОВА ЕКАТЕРИНА АНАТОЛЬЕВНА

ИСТОРИЯ ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ В РАБОТАХ И.М.ВИНОГРАДОВА ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

01.01.06- математическая логика, алгебра и теория чисел 07.00.10 - история науки и техники (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

□03468047

003468047

Работа выполнена на кафедре геометрии и методики преподавания математики физико-математического факультета Орловского государственного университета

Научные руководители доктор физико-математических

наук,

профессор

АРХИПОВ Геннадий Иванович

доктор педагогических наук, доцент

АВДЕЕВА Татьяна Константиновна

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук,

профессор

ЧУБАРИКОВ Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

ПОСТНИКОВА Людмила Петровна

Ведущая организация Тульский государственный

педагогический университет им. Л.Н.Толстого

Защита состоится «18» мая 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного Совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет Mill У, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская 1. Автореферат разослан^£>Г /И_2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета ^Jy^^ Муравьева О.В.

Общая характеристика работы.

Изучение развития аналитической теории чисел следует рассматривать как составную часть исследований по истории математики XX века. К числу наиболее ярких достижений вообще и теории чисел в частности, следует отнести создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Он является основным методом доказательства многих задач теории чисел.

Настоящая диссертация посвящена истории разработки И.М.Виноградовым той части его метода, которая касается проблем распределения точек целочисленной решетки в трехмерном евклидовом пространстве. Кроме этого рассматривается вопрос о классификации математических работ И.М.Виноградова по различным научным направлениям. Отдельный результат диссертации состоит в доказательстве теоремы о том, что любая фиксированная степень простых чисел образует базис конечного порядка относительно всего натурального ряда чисел.

Актуальность темы исследования. Разработка метода тригонометрических сумм явилась одним из важнейших достижений XX века в области теории чисел. На его основе в 1937 году И.М.Виноградовым была решена знаменитая проблема Гольдбаха о представлении нечетных чисел суммой трех простых. Он же внес основополагающий вклад в развитие самого метода.

Научную деятельность И.М.Виноградова освещали такие известные математики, как академики Я.В. Успенский, Ю.В. Линник, К.К. Марджанишвили, член-корреспондент АН СССР Б.Н. Делоне, профессора A.A. Карацуба, А.Г. Постников, В.И. Нечаев, Б.И. Сегал,

A.Б. Шидловский, А.П. Юшкевич и другие. Кроме этого, многие известные ученые и знаменитые люди посвятили страницы своих воспоминаний И.М. Виноградову. Однако статьи, освещавшие его математическую деятельность, носят в основном ознакомительный характер и касаются лишь некоторых ее сторон, вероятно в виду обширности математического наследия академика. Сам Иван Матвеевич во введениях к своим монографиям «Метод тригонометрических сумм в теории чисел» и «Особые варианты метода тригонометрических сумм» дал лишь краткую характеристику своих научных исследований.

Начало систематического подхода к изучению математического творчества И.М. Виноградова было положено в работе Г. И. Архипова и

B.Н. Чубарикова «On some applications of Vinogradov's method»' , в которой выделены 11 научных направлений в области аналитической теории чисел, в развитие которых он внес свой вклад. Там же дана краткая характеристика тех оригинальных научных идей, которые позволили ему сделать новые открытия в математике. Однако главное внимание было уделено идейной стороне и приоритетности исследований И.М. Виноградова, подтвержденные новизной полученных им результатов.

1 Arkhipov G.I., Chubarikov V.N. On some applications of Vinogradov's method. Bonner mathematische scriften. Nr. 360, Bonn, 2003.

В связи с этим актуальной задачей является проведение новой классификации математических работ И.М. Виноградова, основанной на их научной тематике и доведение се до полной систематизации в соответствии с указанными направлениями.

Для этого необходим исторический анализ математических работ И.М. Виноградова, оценка их научной значимости и роли в развитии аналитической теории чисел вообще и метода тригонометрических сумм в частности.

Цели диссертационного исследования:

анализ предпосылок формирования и развития метода тригонометрических сумм в конце XIX и первой половины XX веков;

- классификация математических работ И.М. Виноградова, основанная на научной тематике и выделение отдельных направлений в его творчестве;

- анализ всех математических работ И.М.Виноградова, касающихся вопросов распределения целых точек в трехмерных областях;

- получение новых результатов в проблеме Варинга-Гольдбаха.

Методы исследовании, применявшиеся в диссертации, основаны на

историко-научном анализе работ ученых, творчество которых в ней рассматривается. При доказательстве теоремы о существовании конечного базиса и оценке его порядка в проблеме Варинга-Гольдбаха использованы метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова и результаты докторской диссертации В.Н.Чубарикова.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

Все положения, выносимые на защиту, являются новыми.

I. Новая классификапия всех математических работ И.М. Виноградова.

II. Научный анализ истории разработки метода Виноградова-Корпута и определение роли каждого из этих ученых в создании метода.

III. Исследование особенностей формирования метода тригонометрических сумм в цикле работ И.М. Виноградова по проблеме распределения целых точек в шаре и в проблеме оценки остатка асимптотики для среднего значения числа классов форм отрицательного дискриминанта.

IV. Доказательство теоремы о том, что фиксированные степени всех простых чисел образуют базис конечного порядка в натуральном ряде и получение верхней оценки порядка этого базиса.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшем изучении математических работ И.М. Виноградова; при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в ВУЗах для студентов математических специальностей; при доказательстве новых предложений в области аддитивной теории чисел. В научных исследованиях, проводимых в МГУ, МИРАН, МПГУ, ОГУ, ТПГУ.

Апробация диссертации.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И. Архипова

и В.Н. Чубарикова на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, Международной конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики», посвященной 100-летию академика С.М. Никольского (4-8 мая 2005г.), на Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» 9-14 октября 2006 года в Орле.

Объем и структура диссертации.

Диссертация содержит 182 страниц текста и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы (229 наименований).

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты опубликованы в 10 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Содержание и основные результаты диссертационной работы.

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цели исследования и задачи, которые решались для ее достижения. Показана новизна поставленной темы и намечены возможные приложения результатов исследования. Кратко изложено содержание диссертации с делением на главы.

В первой главе дан краткий очерк жизни и деятельности И.М.Виноградова. В настоящее время изучение биографических материалов о нем является предметом исследований научного коллектива сотрудников мемориального дома-музея И.М.Виноградова в городе Великие Луки.

Сведения, приводимые в главе, опираются в основном на юбилейные статьи и воспоминания Б.Н. Делоне, A.A. Карацубы, П.Я. Кочиной, Ю.В. Линника, К.К. Марджанишвили, Е.П. Ожиговой, А.Г. Постникова и на материалы исторического характера, опубликованные в научных журналах. Эти материалы дают определенные представления о формировании личности И.М. Виноградова, его научных интересов, научной и педагогической деятельности. Выделен ряд существенных моментов, важных для характеристики его творчества и приоритетности научных исследований.

В этой главе приведены также основные биографические сведения о научном руководителе Ивана Матвеевича академике Я.В. Успенском, который определил И.М. Виноградову темы всех исследований в области аналитической теории чисел.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с историей формирования метода тригонометрических сумм, как мощного инструмента для исследования в области аналитической теории чисел.

Отмечается, что в основе метода тригонометрических сумм лежат метод производящих функций Эйлера и метод разложения периодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Опирающиеся на них технические приемы стали одновременно использоваться только в работах И.М. Виноградова. В результате им был получен ряд выдающихся научных открытий. Все это дало возможность отождествления терминов «метод

тригонометрических сумм» и «метод И.М. Виноградова», понимаемый в широком смысле.

Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана. Но уже в 1922 году И.М. Виноградов нашел новый способ1: вместо бесконечных производящих рядов стал рассматривать конечные тригонометрические суммы.

В работе 1811 года «Суммирование некоторых рядов особого вида»2 К. Гаусс первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы и первым показал пользу этих сумм как средства решения задач теории чисел. В частности, он исчерпывающим образом исследовал свойства

„ .ох^ <хр- Р 2Я7—-

носящей его имя «суммы Гаусса» -) = Те у , (я,Р)=! и, используя

Р ' х=1

эти свойства, построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов3.

Однако применение тригонометрических сумм Гауссом не было связано напрямую с числом решений уравнений, для которых разрабатывался метод производящих функций. Использование его аппарата показывает, что метод вспомогательных функций шире, чем задача, рассмотренная Эйлером.

Применение И.М. Виноградовым и его последователями метода тригонометрических сумм оказалось весьма полезным в двух знаменитых проблемах теории чисел, а именно в проблеме круга и проблеме делителей Дирихле4.

К. Гаусс и Л. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X7 + Г2 < N равно лМ + . А Л. Дирихле доказал,

что число целых точек с положительными координатами под гиперболой ху = N равно Ы(\пЫ+ 2у-\) +Н\{4Й), где у — постоянная Эйлера. Обобщения этих двух предложений, а также нахождение возможных наилучших остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы теории чисел5.

В третьей главе диссертации изложена новая классификация математических работ И.М. Виноградова, основанная на их научной тематике. Выделено 8 различных направлений.

1 Виноградов И.М. Sur un theoreme general de Waring.—Мат. сб., 1922—1924, г. 31, с. 490—507. Рез. на рус. яз.

2 Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Иэд-во АН СССР. - M., 1959.

1 Там же.

4 Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций.— Изв. РАН, 1917, т. II, J® 16,5. 1347—1378.

5 Карацуба А. А. И. М. Виноградов и его метод тригонометрических сумм. Труды математического

института РАН, т. 207, 1994, стр. 3-23.

К первому направлению отнесены работы, касающиеся проблем распределения целых точек в областях евклидова пространства и формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования.

Цикл работ И. М. Виноградова, относящийся к данному направлению, открывается первой опубликованной его работой5 по теории чисел, в которой получено доказательство асимптотической формулы Гаусса для суммы числа классов чисто коренных квадратичных форм отрицательного дискриминанта. Тем самым была решена проблема, стоявшая почти целое столетие.

Работы второго направления относятся к оценкам сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования.

Наиболее известными результатами, относящимися к данному направлению, является оценка суммы характеров Дирихле, когда переменная суммирования пробегает сплошной промежуток, а также оценка верхней границы наименьшего квадратичного невычета по простому модулю. Первый из этих результатов сейчас носит название «оценка Виноградова-Пойа». Она до сих пор никем не улучшена. Тематика второго результата в настоящее время носит название «проблема Виноградова о наименьшем невычете».

Темой работ третьего направления являются аддитивные проблемы варинговского типа.

Среди научных результатов И.М.Виноградова, содержащихся в работах включенных в данный цикл, наибольшей известностью пользуется оценка функции G(n) в проблеме Варинга (функция Харди). Эта функция обозначает порядок базиса по сложению, порожденного я-ми степенями натуральных чисел в натуральном ряде при выбрасывании из него достаточно большого количества начальных членов. Как известно, при растущих п до исследований И.М.Виноградова наилучшим был знаменитый результат Г. Харди и Дж. Литтлвуда, которые в 20-х годах прошлого

столетия получили оценку G(n)«n2n. Начиная с 1934 года, Иван Матвеевич неоднократно улучшал оценку функции G(n), доведя ее до неравенства вида G{n) й 2и(1 + о(1))1пи.

Другим замечательным научным открытием, полученным в работах данного цикла, является знаменитая «теорема о среднем И.М. Виноградова», то есть теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы Г. Вейля. Эта теорема содержит в себе асимптотически точную оценку момента высокого порядка этой суммы, которая одновременно выражает количество решений системы диофантовых уравнений в проблеме Терри. Теорема о среднем является неотъемлемой частью метода И.М. Виноградова оценок сумм Г. Вейля.

6 Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций.— Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16, 5. 1347—1378.

В четвертом направлении рассмотрены работы, посвященные распределению дробных долей арифметических функций.

Основной результат работы, данного направления, состоит в нахождении элементарного метода, позволяющего реализовать идею понижения степени многочлена аналогичную методам К. Гаусса и Г. Вейля в оценках тригономе'фических сумм от многочлена. В работе8 И.М. Виноградов впервые применил разработанный «метод стаканчиков Виноградова», известный за рубежом под термином «the Vinogradov сир». Следует, однако, сказать, что близкий в идейном отношении метод в теории функций, был ранее предложен В.А. Стекловым, который получил название «метода функций Стеклова».

Последующие результаты в распределение дробных долей были связаны с использованием оценок тригонометрических сумм, включая случай, когда переменная суммирования пробегает простые числа. Это дало возможность впервые в теории чисел исследовать распределения дробных долей значений многочлена от простого аргумента, что также явилось выдающимся научным открытием в математике.

В пятом направлении рассмотрены работы, относящиеся к оценкам тригонометрических сумм Вейля.

С 1935 года И.М. Винофадов начинает исследования тригонометрических сумм от многочлена с вещественными иррациональными коэффициентами. Впервые такие суммы в 1914 году стал рассматривать известный немецкий математик Герман Вейль при изучении некоторых вопросов, относящихся к небесной механике. Поэтому И.М. Винофадов стал называть их ((суммами Вейля». В дальнейшем это название стало общепринятым.

Для оценки таких сумм Г. Вейль предложил метод итераций, позволяющих последовательно понижать степень многочлена в экспоненте слагаемых суммы. Заметим, что в случае п=2 этот прием впервые использовал К. Гаусс еще в начале XIX века при оценке «сумм Гаусса». В 20-х годах прошлого столетия Г. Харди и Дж. Литтлвуд указанным методом получили степенное понижение в оценке «сумм Вейля». Если обозначить через п степень многочлена в экспоненте суммы, то это понижение рп имело

порядок 2~п. Данная оценка дала им возможность оценить сверху значение G(n) величиной п2".

И.М.Винофадов нашел совершенно новое соображение, позволяющее свести оценку индивидуальной «суммы Вейля» к оценке ее среднего значения, или, как говорят еще, к моменту Jk(P) для к-ой степени этой суммы. Здесь параметр к должен превосходить некоторую фаницу кЛп),

1 Виноградов И.М. О дробных частях целого многочлена.— Изв. АН СССР, 1926, т. 20, № 9, с. 585—600,

8 Виноградов И.М. Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных частей целого многочлена.— Изв. АН СССР, 1927, т. 21, № 7-8, с. 567—578.

начиная с которой по существу требовалось наличие асимптотики при растущих Р для величины Jk{P). Следует сказать, что сама идея сведения оценки индивидуального значения функции к ее среднему значению была хорошо известна и достаточно очевидна, но для получения нетривиального результата по этой схеме в задачах, представляющих научный интерес, всегда требуется использование новых соображений. Оценка величины У, (?) носит название «теоремы Виноградова». Эта теорема является важнейшей составной частью метода И.М.Виноградова оценок тригонометрических «сумм Вейля», которую многие авторы вообще отождествляют с методом тригонометрических сумм И.М.Виноградова, что, на наш взгляд, существенно снижает его трактовку.

В шестом направлении рассмотрены работы, связанные с оценками линейных тригонометрических сумм с простыми числами и проблемой Гольдбаха.

И.М. Виноградов установил, что «метод решета Эратосфена» позволяет выразить тригонометрическую сумму с простыми числами в виде некоторой двойной тригонометрической суммы. После этого для получения нетривиальной оценки таких сумм по методу сглаживания требовалось еще обеспечить независимость промежутков суммирования. Для этого И.М. Виноградов по существу использовал метод исчерпывания, разработанный им ранее для оценок двойных сумм. Далее он применил круговой метод Харди-Литглвуда, переработанный им для случая конечных тригонометрических сумм и в 1937 году в работе5 дал полное решение проблемы Гольдбаха о том, что всякое достаточно большое нечетное натуральное число может быть представлено в виде суммы грех простых чисел. Эта знаменитая проблема была поставлена в 1742 году в письме X. Гольдбаха к Л. Эйлеру, и оставалась не решенной в течение почти 195 лет, находясь при этом в центре внимания всех крупнейших математиков мира.

Седьмое направление охватывает исследования И.М. Виноградова, относящиеся к суммам Г. Вейля с простыми числами и проблеме Варинга-Гольдбаха.

Как и первые работы по оценкам линейных тригонометрических сумм с простыми числами, оценки И.М. Виноградова для сумм Вейля с простыми числами давали довольно слабые понижения логарифмического типа. Однако уже в работе'0 1938 года он получил оценки приблизительно той же точности, что и для обычных сумм Вейля. Это открыло возможность для степенной оценки количества слагаемых Н(п) достаточного для существования асимптотики количества представлений в проблеме Варинга-Гольдбаха, то есть проблеме Варинга с ограничением на слагаемые, которые должны принимать только значения степеней р" простых чисел р.

' Виноградов И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел.— Докл. АН СССР, 1937, т. 15, № 6-7, с. 291—294.

10 Виноградов И.М. Оценка некоторых сумм, содержащих простые числа.— Изв. АН СССР. Сер. мат,, 1938, №4, с. 399—416. Рез. на англ. яз.

Восьмое направление включает работы И.М. Виноградова о суммах характеров Дирихле по сдвинутым простым числам.

В 1938 году в работе" И.М. Виноградов получил глубокий результат, касающийся распределения квадратичных вычетов по простому модулю q, образованной «сдвинутыми» простыми числами, то есть числами вида р+к, где к - фиксированное натуральное число, меньшее q, а число р - простое. Из него вытекало, что при N > q3+c на отрезке [1;NJ количество квадратичных вычетов и невычетов асимптотически одинаково.

В последней своей статье по данному направлениюон доказал, что сумма характеров Дирихле по простому модулю q на последовательности сдвинутых простых чисел имеет нетривиальную оценку со степенным понижением, как только длина промежутка суммирования по р становится большей, чем д°'75+г, где с >0 - сколь угодно мало. Необходимо отметить, что данный результат не является следствием даже таких знаменитых не доказанных предположений, как расширенная гипотеза Римана для L-функций Дирихле. Заметим еще, с помощью теоремы А. Вейля для оценок полных сумм характеров по простому модулю A.A. Карацуба в работе73 на основе метода И.М.Виноградова получил подобную оценку нетривиальную уже при N » q0,5+E.

В четвертой и пятой главах изложены основные результаты диссертации. В четвертой проводится анализ всех математических работ И.М.Виноградова, отнесенных нами к первому направлению и касающихся вопросов распределения целых точек в трехмерных областях. При этом рассмотрено появление новых идей и их реализации в виде технических приемов. Полученные результаты сравниваются с достигнутыми ранее как самим Иваном Матвеевичем, так и другими учеными, включая его предшественников и современников,

В начале этой главы дан обзор полученных ранее научных результатов за весь период до начала исследований И.М. Виноградова в данном направлении. Приведены формулировки классических проблем Гаусса о числе целых точек в круге и среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного дискриминанта, а также проблема Дирихле о среднем значении функции делителей. Отмечается выдающийся вклад, внесенный Г.Ф. Вороным и его учеником В. Серпинским в исследования по проблеме делителей и проблеме круга. В связи с этим даны основные этапы научной деятельности Г.Ф. Вороного.

" Виноградов И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р+к) по простому модулю.— Мат. сб. Нов. сер., 1938, т. 3, вып. 2, с. 311—319. Рез. на англ. яз.

12 Виноградов И.М. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической профессии,— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, т. 30, № 3, с. 481-496.

13 А. А. Карацуба, Суммы характеров с простыми числами. Изв-я АН СССР, серия математическая, 34(1970), 299-321.

Вторая часть четвертой главы касается непосредственного изучения трудов И.М. Виноградова. Первая из всех опубликованных работ''' И.М. Виноградова была посвящена решению проблемы нетривиальной оценки остатка в приведенной без доказательства К. Гауссом асимптотической формуле для среднего значения числа классов чисто коренных форм отрицательного дискриминанта. Эта формула имеет вид

4ж - 2

Л(-1) + й(-2) +... + й(-Л0 = —-Ы2--+ Л(ЛГ)

21е л-2

при ЩЫ)=о(М) и Лг-»+<я. Здесь через А) обозначено число неэквивалентных бинарных форм вида ах2 + 2Ьху + су, а>0, Ь, с - целые,

данного отрицательного определителя -Д = Ь2 - ас с условием, что а, 2Ь, с не имеют общего делителя. Другими словами, /¡(-Д)есть число классов дивизоров минимального квадратичного поля .

В указанной работе дано доказательство и уточнение гипотезы Гаусса.

с / с О / *5

Для ее остаточного члена Д(АО был указан порядок 0(М !п /V).

Основное внимание уделено методу, разработанному

И.М. Виноградовым при решении данной задачи, так как он положил начало широкому кругу исследований, далеко выходящему за пределы рассматриваемой тематики математических работ. Что касается именно этого направления, то Иван Матвеевич неоднократно к нему возвращался и в течение последующих 50 лет посвятил ему более десятка научных трудов.

Метод, использованный в статье'15, подробно изложен в книге Б.Н. Делоне10 и учебнике" И.М. Виноградова. Следует, однако, заметить, что ранее не обращалось внимание на то обстоятельство, что именно в данной статье впервые применяется прием, сводящий оценку остатка в задачах об асимптотике числа целых точек в областях к нахождению асимптотики дробных долей для значений гладких функций от целочисленного аргумента.

Следующая статья18 по данной тематике ранее подобному анализу не подвергалась, несмотря на то, что она имела принципиально важное значение для развития метода тригонометрических сумм. Данная статья, а также последующая работа19 И.М. Виноградова имеет важное значения для понимания истории формирования известного в аналитической теории чисел метода, применяемого для исследования тригонометрических сумм и носящего название «метод Ван дер Корпута».

14 Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций.— Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16,5. 1347—1378.

15 Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций.— Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16,5. 1347—1378.

" Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М-Л: Изд-во АН СССР, 1947.

" Виноградов И.М. Основы теории чисел. [Учебник для университетов]. Изд. 8-е, испр. М., «Наука», 1972, 168с.

" Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

" Виноградов И.М. Об асимптотических равенствах в теории чисел.— Изв. РАН, 1921, т. 15, с. 158—160.

Первым важнейшим шагом, сделанным И.М. Виноградовым в работе2" в процессе выделения главного члена асимптотики из суммы дробных долей в конечный ряд Фурье с наилучшей оценкой остаточного члена. Начиная с этой работы, данный прием стал восприниматься как стандартный и само собой разумеющийся. Но мы можем считать, что именно с этого приема и берет свое начало метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова, понимаемый как метод систематического использования тригонометрических сумм при выводе оценок и асимптотических формул для различных арифметических функций и их средних значений в аналитической теории чисел.

Другим важнейшим элементом рассматриваемой статьи явились первые в истории чисел нетривиальные оценки тригонометрических сумм, дающие для них степенное понижение и относящиеся к широкому классу функций связанных с центральными проблемами теории чисел. В данной работе исследуется конкретный случай таких сумм. Однако разработанный И.М. Виноградовым метод их оценки носит общий характер.

Суть этого метода состоит в выражении с допустимой погрешностью исходной тригонометрической суммы через другую тригонометрическую сумму, промежуток суммирования которой существенно короче, чем в исходной сумме. В работе21 явный вид членов новой суммы не выписывался, поскольку каждый ее член оценивался тривиально. В последующих работах этого направления И.М. Виноградов приводит явное выражение для каждого члена новой суммы, а для погрешности дает по существу окончательную оценку. В наиболее совершенном виде теорема о преобразовании с полным ее доказательством приведена в монографии22 (лемма 6, с.22-28). В отечественной литературе ее обычно называют «формула обращения Виноградова». В зарубежной литературе эту формулу называют «теоремой Ван дер Корпута». Она была опубликована в работе" немецкого математика Ван дер Корпута в 1922 году.

Иван Матвеевич в книге «Особые варианты метода тригонометрических сумм»24 (с. 11) пишет о том, что «...в грубом виде схема метода была показана в применении к частным областям двух и трех измерений в моей работе25». Под словом «грубый» в данном контексте, по-видимому, надо понимать следующие обстоятельства. Во-первых, теорема об обращении тригонометрической суммы не была сформулирована в общем виде. Во-вторых, способ, с помощью которого И.М. Виноградов преобразовывал исходную сумму, опирался на контурное интегрирование и

20 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

21 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

22 Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., «Наука», 1976,120 с.

23 Corput J.G. van der Verschärfung der abschatzung beim Teilerproblem. Math. Ann. 87, 1922. c.39-65.

24 Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. M., «Наука», 1976, 120 с.

25 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

теорию вычетов для функций комплексного переменного, изобиловал введением большого числа специальных обозначений и был весьма громоздким. И, в-третьих, что И.М. Виноградов не выделил в данной работе главные члены асимптотик для возникающих тригонометрических интегралов, а ограничился лишь их оценками. В тоже время Ван дер Корпут в работе26 1922 года с помощью метода перевала выделил эти асимптотики.

Здесь следует иметь в виду еще один важный момент. Дело в том, что применение формулы обращения для оценки тригонометрических сумм может давать эффект только для достаточно узкого класса случаев.

В работе2 1921 года (с.60) И.М. Виноградов пришел к оценке тригонометрической суммы от функции f(x) и суммы дробных долей от той же функции по третьей производной. В частности, он сформулировал следующую теорему.

Если в промежутке Q<x<R функция f(x) имеет третью 1 к

производную, причем — < /т(х) < — ,где к постоянное число, то А А

sW))4(Ä - в)+- 0(м2л-ш+А5п\

x>Q 1

Спустя год, то есть в 1922 году Ван дер Корпут опубликовал свою известную работу25 , в которой по существу дал законченное изложение своего метода. В частности, приведено достаточно простое доказательство формулы обращения И.М. Виноградова. Другим очень существенным элементом метода этой работы стало изобретенное Ван дер Корпутом неравенство, которое можно рассматривать как удачную модификацию восходящего к Гауссу рекуррентного приема, использованного Г.Вейлем в работе29 при оценке тригонометрических сумм S = ^ e27t>f^ в случае, когда функция

хеЕ

f(x) представляет собой многочлен «-ой степени без свободного члена и с вещественными коэффициентами, среди которых по крайней мере один является иррациональным числом.

Комбинирование последовательного применения неравенства Корпута и формулы обращения подводит Ван дер Корпута к созданию так называемой «теории экспоненциальных пар». С ее помощью в работе30 впервые дается степенное улучшение оценки Г.Ф. Вороного остаточного члена в проблеме делителей Дирихле.

В случае, когда формула обращения применяется однократно, этот метод называется «оценкой тригонометрической суммы по к-ой производной». Уточним, что здесь кратность предварительного применения

26 Corput J.G. van der Verschärfung der abschatzung beim Teilerproblem. Math. Ann. 87, 1922. c.39-65,

21 Виноградов И.М. Об асимптотических равенствах в теории чисел.— Изв. РАН, 1921, т. 15, с. 158—160.

21 Corput J.G. van der Verschärfung der abschatzung beim Teilerproblem. Math. Ann. 87,1922. c.39-65.

29 Weyl II. Über die Gleichverteilung der Zahlenmod. Eins, Math. Ann., 77 (1916),313-352.

!0 Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций.—

Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16,5.1347—1378.

неравенства Корпута равна к-2. Теорема об оценке тригонометрической суммы по £-ой производной была доказана в 1929 году Ван дер Корпутом в работе31.

Необходимо отмстить, что Ван дер Корпут в работе32 , также как и И.М. Вино1радов в работе33 , использует разложение дробной доли от функции f(x) в ряд Фурье с дальнейшей оценкой возникающих тригонометрических сумм. При этом никаких ссылок на работу И.М. Виноградова он не делает. Поэтому, вероятно, метод, изложенный в работе Корпута, обычно рассматривается как совершенно оригинальный и носит его имя.

Но справедливость такого подхода вызывает возражение. Дело в том, что оттиски статьи34 И.М.Виноградова появились в 1917 году, и как выяснилось, они были направлены академиком Я.В. Успенским за границу, в частности, в Гёттинген профессору Э. Ландау. Информация об этом содержится в статье A.A. Карацубы35, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.М. Виноградова.

Таким образом, ведущие специалисты в области теории чисел, работавшие в то время за пределами России, получили представление об эффективности использования оценок тригонометрических сумм при исследовании классических проблем в теории чисел и о возможности применения формулы обращения для оценок таких сумм. Следует еще подчеркнуть, что в своих работах И.М. Виноградов пишет о том, что все результаты с 1917 года по 1921 год, были получены им гораздо раньше. В работе36 (с. 193) он упоминает о своей диссертации 1920 года, где получена асимптотическая формула для суммы А(-1) + А(-2) + ... + h{-m) с

3/4

остаточным членом порядка m

Этот результат лучше опубликованного им в работе37 на положительную степень In т. Там же отмечено, что результат этой работы был изложен И.М. Виноградовым в неопубликованной работе 1916 года.

Для объяснения причин породивших данную ситуацию приведем цитату из его статьи38 (с. 158). «Занимаясь асимптотическими равенствами теории чисел еще в 1916 году, я нашел совершенно новый метод нахождения

31 Van der Corput J. G. Neue Zahlentheoretische Abschätzungen, Mathem. Zeitschr., 29 Band (1929), Satz 4, 397426.

32 Corput J.G. van der Verschärfung der abschattung beim Teilerproblem. Math. Ann. 87, 1922. c.39-65.

33 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

34 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

35 Карацуба A.A. Теория чисел - одна, но пламенная страсть. Вестник АН СССР, №9, 1991.

35 Виноградов И.М. Demonstration elementarie d'un theorem de Gauss.— Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1927, т. 1, вып. 2, с. 187—193. Рез. на рус. яз.

37 Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя.— Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

38 Виноградов И.М. Об асимптотических равенствах в теории чисел.— Изв. РАН, 1921, т. 15, с. 158—160.

асимптотических выражений сумм вида определяя

асимптотические выражения сумм вида > который я

тогда же изложил на заседаниях математического кружка при Петроградском университете.

Однако почти четырехлетние попытки опубликовать мой новый метод не увенчались успехом. Потеряв всякую надежду и з дальнейшем опубликовать се полностью, для характеристики его привожу здесь некоторые частные результаты... ».

В последующих работах по данной тематике, И.М. Виноградов рассматривал задачу об оценке остатка в асимптотике среднего значения числа классов параллельно с задачей об оценке остаточного члена в проблеме шара, поскольку с точки зрения техники исследования эти задачи оказываются очень близкими. В диссертации показано применение И.М. Виноградовым все новых и новых соображений, которые позволяют получать другие существенные улучшения остатков в упомянутых выше асимптотических формулах.

В пятой главе диссертации доказывается следующая теорема. Для каждого натурального п существует число V(n) со свойствами: существует с=с(п) с условием, что всякое целое N >с представляется в форме

N = pï+... + pnk,

где р,,...,рк - простые числа, причем число слагаемых к удовлетворяет неравенству к = k(N)< V{n)<В2п, где B=Y\p-

рй2п

Вопрос о представлении числа N в заданном виде называют проблемой Варинга-Гольдбаха. Он обсуждается в главе 3 настоящей диссертации и относится к седьмому направлению. И.М. Виноградов данной задаче посвятил несколько своих работ. Она рассмотрена в главе 9 его монографии39.

В этих работах И.М.Виноградов выводит асимптотическую формулу

I

для числа представлений /дг при фиксированном значении параметра г >Г2,

где Pi =[2и2(21п« + 1п1пи + 5)].

Указанная асимптотика имеет вид

/дг' = H(N)a'+ 0(Nrv~l (In P)~r~l0n). Здесь через H(N) обозначен особый интеграл, а через а' - особый ряд

проблемы. При этом величина H(N) имеет порядок Nrv~\\nP)~r, а значение особого ряда зависит от арифметических свойств чисел г и N.

"Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.-М., Наука, 1971.

Для того чтобы эта формула была нетривиальной необходимо доказать, что (т'>0, однако это затрудняется необходимостью исследования зависимости значения сингулярного ряда сг от указанных аргументов.

Использование в арифметических условиях разрешимости для систем диофантовых уравнений варинговского типа в простых числах, найденные в работах40 4|, по существу позволяет нам решить вопрос об отличии величины с' от 0 и тем самым доказать существование величины У(п) указанной в формулировке теоремы.

В заключении подведены итоги и сформулированы основные выводы. В диссертации:

1) дана новая классификация всех математических работ И.М.Виноградова, основанная на их научной тематике;

2) дан научный анализ истории разработки метода Виноградова-Корпута;

3) проведено исследование особенностей формирования метода тригонометрических сумм, в цикле работ И.М.Виноградова по проблемам распределения целых точек в областях евклидова пространства;

4) доказана теорема о представлении достаточно больших натуральных чисел ./Vв виде ограниченного числа слагаемых вида р", где р- простое, а п -фиксированное натуральное число.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих

публикациях:

1. Бурлакова Е.А. О проблеме Варинга в простых числах // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. -2008. - №5. - С. 61-62. - 0,125 пл.

2. Бурлакова Е.А. О жизненном пути и дооктябрьском периоде научного творчества академика И.М.Виноградова // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета. Выпуск 4. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2005. - С. 27-37. - 0,625 пл.

3. Бурлакова Е.А. Об истоках формирования метода тригонометрических сумм // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета. Выпуск 5. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006. - С.16-24. - 0,56 п.л.

4. Бурлакова Е.А. О жизни и творчестве Я.В.Успенского // Современные

,0 Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. -1985.

" Г.И.Архипов, В.Н.Чубариков. О числе слагаемых в аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях. IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 10-15 сентября 2002, Актуальные проблемы, с.5-38.

методы физико-математических наук. Труды Международной конференции. 9-14 октября 2006 г., г. Орел. Том 3. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2006. - С. 43-45. - 0,19 п.л.

5. Бурлакова Е.А. Об основных направлениях математических исследований академика И.М.Виноградова // Чебышевский сборник. Том 7. Выпуск 4 (20). - Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого, 2006.-С. 4-25. - 1,38 п.л.

6. Бурлакова Е.А. Об истории формирования метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова в его применение к проблемам Гаусса и Дирихле // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета. Выпуск 6. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 28-33. - 0,38 п.л.

7. Бурлакова Е.А. О начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета Орловского государственного университета. Выпуск 6. - Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 33-38. - 0,31 п.л.

8. Бурлакова Е.А. Метод оценки сумм характеров Дирихле в работах И.М.Виноградова // Актуальные проблемы обучения математике (к 155-летию со дня рождения А.П.Киселева): Труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. Орел: Издательство Орловского государственного университета, Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 395-399. - 0,25 п.л.

9. Бурлакова Е.А. Об истории открытия И.М.Виноградовым формулы обращения тригонометрических сумм и развитие метода Ван дер Корпута // Математика в образовании: сборник статей. Выпуск 4 / Под ред. И.С.Емельяновой. - Чебоксары: Издательство Чувашского университета, 2008. - С. 161-167. - 0,44 п.л.

Ю.Бурлакова Е.А. О проблеме Варинга-Гольдбаха // Чебышевский сборник. Том 9. Выпуск 1(25) - Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого, 2008. - С. 5-20. - 0,94 п.л.

Подп. к печ. 13.04.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 76 Тир 100 экз. Типография МГТГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. О ЖИЗНЕННОМ ПУТИ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА, СОЗДАТЕЛЯ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ.

1.1 жизнь и общественная деятельность и.М.виноградова.

ГЛАВА 2. ОБ ИСТОКАХ ФОРМИРОВАНИЯ4 МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ.

ГЛАВА 3. ОБ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА.

3.1 Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования.

3.2 Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования

3.3 Аддитивные проблемы варинговского типа.

3.4 Распределение дробных долей арифметических функций.

3.5' Оценки тригонометрических сумм Вейля.:.

3.6 Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха.

3.7 Суммы Г. Вейля с простыми числами и проблема Варинга-Гольдбаха.

3.8 Суммы характеров Дирихле по сдвинутым простым числам.

ГЛАВА 4. ПРОБЛЕМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ

4.10 начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях.

4.2 Проблемы распределения целых точек в областях в работах И.М.Виноградова.

ГЛАВА 5. О ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ.

Изучение развития аналитической теории чисел следует рассматривать как составную часть> исследований по истории математики XX века. К числу наиболее ярких ее-достижений вообще и теории чисел в частности, следует отнести создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Настоящая- диссертация посвящена, в основном, истории разработки И.М.Виноградовым той части его метода, которая касается проблем распределения точек целочисленной решетки в трехмерном евклидовом пространстве. При этом впервые рассматривается вопрос о классификации его математических работ по отдельным научным направлениям.

Самостоятельным научным результатом данной диссертации, относящегося к аналитической теории чисел, является теорема о том, что1 последовательность, порожденная фиксированной степенью простых чисел, образует базис конечного порядка во< всем множестве натуральных чисел. Данную теорему можно рассматривать, как некоторый шаг в, развитии» исследований И.М.Виноградова по знаменитой проблеме Варинга-Гольдбаха.

Диссертация'состоит из введения, пяти глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Завершающим этапом исследований отраженных в настоящей диссертации является краткая формулировка ее результатов.

I. В диссертации дана новая классификация всех математических работ И.М.Виноградова, основанная на их научной тематике. В ней выделено восемь научных направлений, каждое из которых содержит краткую характеристику той проблемы, которая в ней рассматривается.

II. Проведен научный анализ истории разработки метода Виноградова-Корпута и определение роли каждого из этих ученых в создании метода.

III. Исследованы основные особенности формирования метода тригонометрических сумм в цикле работ И.М.Виноградова по проблеме распределения целых точек в шаре и в проблеме оценки остатка асимптотики для среднего значения числа классов форм отрицательного дискриминанта. При этом рассмотрено появление новых идей и их реализации в виде технических приемов. Проведено сравнение результатов с достигнутыми ранее как самим Иваном Матвеевичем, так и другими учеными, включая его предшественников и современников. Так же дан обзор полученных ранее научных результатов, по данному направлению, начиная с работ К.Гаусса и Л.Дирихле до начала исследований И.М.Виноградова.

IV. Доказано существование постоянной V(n), такой, что любое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде суммы п-х степеней простых чисел в количестве, не превышающем значения этой постоянной.

Схема доказательства теоремы в основном соответствует рассуждениям И.М.Виноградова при оценке функции G(n) в проблеме Варинга в главе 4 книги «Избранные труды»[212] (с. 278). Кроме того, используются условия разрешимости для системы уравнений варинговского типа в простых числах, указанные в докторской диссертации В.Н.Чубарикова [213] лемма 21 (с.98).

164

1. Po'lya G. Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtigste, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1918), 21-29.

2. Венков Б.А. Об арифметике кватернионов. I-V. // Изв-я Российской АН, 1922, т. 16, с.205-220, 221-246. Изв. АН СССР, отделение физ-мат. наук, 1929, №5, с. 489-504, №6, с. 535-562, №7, с. 607-622.

3. Виноградов И.М. Sur un theoreme general de Waring // Мат. сб., 1922—1924, г. 31, с. 490—507. Рез. на рус. яз.

4. Виноградов И: М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М., Наука, 1971'.

5. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Общая редакция ак. И.М.Виноградова, перевод к.ф-м.н. В.Б.Демьянова. Изд-во АН СССР. -М.,1959, стр.967-976.

6. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlenmod. Eins, Mathematische Annalen, 7,1916,313-352.

7. Карацуба А. А. Иван Матвеевич Виноградов (к девяностолетию со дня рождения) // УМН, т.36, вып. 6(222), 1981. с. 2-15.

8. Hardy G. H., Littlewood J.E. A new solution of Waring's problem. Gött. Nachar. 1920, 33-54.

9. Карацуба A. A. И. M. Виноградов и его метод тригонометрических сумм // Труды математического института РАН, т. 207, 1994, стр. 3-23.

10. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 2. Изд-во АН УССР, Киев, 1952.

11. Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций // Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16, 5. 1347— 1378.

12. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., «Наука», 1976, 120 с.

13. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N. On some applications of Vinogradov's method // Bonner mathematische scriften. Nr. 360, Bonn, 2003.

14. Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя // Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

15. Виноградов И.М. Об одном асимптотическом равенстве теории квадратичных форм // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1918, вып. 1, с. 18—28.

16. Виноградов И.М. Об асимптотических равенствах в теории чисел // Изв. РАН, 1921, т. 15, с. 158—160.

17. Виноградов И.М. Demonstration elementarle d'un theorem de Gauss // Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1927, т. 1, вып. 2, с. 187—193. Рез. на рус. яз.

18. Виноградов И.М. О числе целых точек внутри круга // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1932, № 3, с. 313—336.

19. Виноградов И.М. О некоторых новых проблемах теории чисел // Докл. АН СССР, 1934, т. 3, № 1, с. 1—6. Текст на рус. и англ. яз.

20. Виноградов И.М Новый вариант вывода теоремы Варинга // Тр. Мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 5-15.

21. Виноградов И.М. Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1949, т. 13, № 2, с. 97—110.

22. Виноградов И.М. Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1955, т. 19, №1, с. 3-10.

23. Виноградов И.М. К вопросу о числе целых точек в заданной области // Изв. АН СССР. Сер. мат, 1960, т. 24, № 6, с. 777—786.

24. Виноградов И.М. О числе целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. мат, 1963, т. 27, № 1, с. 3—8.

25. Виноградов И.М. К вопросу о числе целых точек в шаре // Изв. АН СССР. Сер мат, 1963, т. 27, № 5, с. 957—968.

26. Fernando Chamizo, Henryk Iwaniec, On some sphere problem // Revista Mathematica Iberoamericana Yol. 11, №2, 1995.

27. Виноградов И.М. Sur la distribution des residus et des non- residus des puissances // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1918, вып. 1, с. 94—98.

28. Виноградов И.М. О' распределении квадратичных вычетов и невычетов // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1919, вып. 2, с. 1 — 16.

29. Виноградов И.М. Элементарное доказательство одной общей теоремы аналитической теории чисел // Изв. РАН, 1925, т. 19, № 16-17, с. 785— 796.

30. Виноградов И.М.Элементарное доказательство одного общего предложений из аналитической теории чисел // Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1925. т. 29, с. 3—12.

31. Виноградов И.М. О границе наименьшего невычета n-й степени // Изв. АН СССР, 1926. т. 20, № 1-2, с. 47—58.

32. Виноградов И.М. О распределении индексов // Докл. АН СССР-А, 1926, № 4, с. 73—76.

33. Виноградов И.М. On a general theorem concerning the distribution of the residues and non- residues of powers // Bull. Am. math. Soc., 1926, v. 32, № 6, p. 596.

34. Виноградов И.М. On a general theorem concerning the distribution of the residues and non- residues of powers // Trans. Am. math. Soc., 1927, v. 29, №1, p. 209-217.

35. Виноградов И.М. On the bound of the least non-residue of n-th powers // Ibidem, p. 218-226.

36. Виноградов И.М. О наименьшем первообразном корне // Докл. АН СССР-А, 1930. № 1, с. 7—11.

37. Виноградов И.М. Об одной тригонометрической сумме и ее приложениях в теории чисел // Докл. АН СССР, 1933, № 5, с. 195—204.

38. Виноградов И.М. О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях // Докл. АН СССР, 1933, № 6, с. 249—255.

39. Виноградов И.М. Новые приложения тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 1, с. 10—14. Рез. на англ. яз.

40. Виноградов И.М. Новые асимптотические выражения // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 2, с. 49—51. Рез. на англ. яз.

41. Виноградов И.М. Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 5, с. 225—229.

42. Виноградов И.М. Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 6, с. 289—290. Рез. на франц. яз.

43. Виноградов ым. Новые теоремы о распределении первообразных корней // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 7, с. 366—369.

44. Виноградов И.М. Некоторые теоремы аналитической теории чисел // Докл. АН СССР; 1934, т. 4, № 4, с. 185—187. Рез. на англ. яз.

45. Виноградов-ИМ'. Некоторые теоремы о распределении индексов-и первообразных корней // Тр. Физ.-мат. ин-та, 1934, т. 5, е.87—93.

46. Виноградов И:М. Арифметический метод в применении к вопросам-распределениям чисел с заданным'свойством-индекса // Изв. АН. СССР. Сер мат., 1951, т. 15, № 4, с. 297—308.

47. Виноградов И.М. О теореме Варинга// Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4, с. 393-400.

48. Виноградов И.М.О представлении* числа целым многочленом от нескольких переменных // Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4; с. 401—414.

49. Виноградов И.М.Об одном классе совокупных диофантовых уравнений // Изв. АН СССР. ОФМН, 1929, № 4, с. 355—376.

50. Виноградов И.М. О верхней границе G(n) в,проблеме Варинга // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1934, № 10, с. 1455—1469. Рез. на англ. яз.

51. Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга // Докл. АН СССР, 1934, т. 2, № 6, с. 337—341. Рез. на англ. яз.

52. Виноградов И.М. Новая оценка G(n) в проблеме Варинга // Докл. АН СССР, 1934, т. 4, № 5-6, с. 249—253. Текст на рус. етангл. яз.

53. Виноградовым. Sur quelques nouveaux résultats en theorie-analytique des nombres // C. r. hebd. Seans. Acad. Sci., Paris, 1934, t. 199, № 3, p. 174-175.

54. Виноградов И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Тр. Мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 5-15.

55. Виноградов И.М. An asymptotic formula for the number of representations in. Waring's problem // Мат. Сб., 1935, т. 42, вып. 5, с. 531—534. Рез. на рус. яз.

56. Виноградов И.М. Une nouvelle variante de la demonstration- du theoreme de Waring // С. r. hebd. Seanc. Acad: Sci., Paris, 1935,t. 200, №3, p. 182—184.

57. Виноградов И.М. On Waring's problem // Ann. Math., 1935, v. 36, № 2, p. 395— 405.

58. Виноградов И.МС A new method of resolving of certain general questions of the theory of numbers // Мат. Сб. Нов. Сер., 1936, т. 1, выт 1, с. 9-— 20.

59. Виноградов; И.М. On asymptotic formula in Waring's problem // Мат. сб., Нов, сер., 1936, т. 1, вып. 2, с. 169—174. Рез. на рус. яз,

60. Виноградов И:М. Некоторые общие, леммы и их применение к оценке тригонометрических сумм // Мат. сб; Нов. сер., 1938, т. 3, вып. 3; с. 435—471. Рез. на англ. яз.

61. Виноградов И.М. Две теоремы, из аналитической теории чисел // Тр. Тбил. мат. ин-та, 1938, т. 5, с. 153—180. Текст на рус. и нем. яз.

62. Виноградов И.М. Об одном кратном интеграле// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 5, с. 577—584.

63. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637-642.

64. Виноградов И.М; О дробных частях целого многочлена // Изв. АН СССР, 1926, т. 20, № 9, с. 585—600.

65. Виноградов И;М: К вопросу о распределении дробных долей значений функций?одного переменного // Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1926, т. 1, вып. 1, с. 56—65. Рез. на франц. яз.

66. Виноградов И.М. Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных частей целого многочлена // Изв. АН СССР, 1927, т. 21, №7-8, с. 567—578.

67. Виноградов- И.М. О распределении дробных долей значений функций двух переменных // Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1927, т. 30, с. 31—52. Рез. на франц. яз.

68. Виноградов И.М. Применение конечных тригонометрических сумм к вопросу о распределении дробных долей целого многочлена // Тр. Физ.-мат. ин-та, 1933, т. 4, с. 5—8.

69. Виноградов И.М. О приближениях посредством рациональных дробей, имеющих знаменателем точную степень // Докл. АН СССР, 1935, т. 2, № 1, с. 1—5. Рез. на франц. яз.

70. Виноградов И.М. О некоторых рациональных приближениях // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, №1, с. 3—6.

71. Виноградов И.М. On some rational approximations // С. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, № 1, p. 3 6.

72. Виноградов И.М. О дробных частях многочленов и других функций // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, № 3, с. 99-100.

73. Виноградов И.М. On fractional terms of polynomials and of other functions // C. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, № 3, p. 99—100.

74. Виноградов И.М. On approximation to zero with help of numbers of certain general form // Мат. сб, 1935, т. 42, вып. 2, с. 149—156. Рез. на рус. яз.

75. Виноградов И.М. Новые результаты в вопросе о распределении дробных частей многочлена // Докл. АН СССР, 1936, т. 2, № 9, с. 355—357.

76. Виноградов И.М. New results concerning the distribution of fractional parts of a polynominal // С. r. Acad. Sci. URSS, 1936, v. 2, № 9, p. 361 — 364.

77. Виноградов И.М. On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval // Мат. сб. Нов. сер, 1936, т. 1, вып. 1, с. 3—8. Рез. на рус. яз.

78. Виноградов И.М. Approximation by mean of fractional parts of a polynomial // Мат. Сб. Нов< Сер., 1936, т. 1, вып. 1, с. 21—27. Рез. на рус. яз.

79. Виноградов И.М. Supplement to the paper «On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval» // Мат. сб. Нов. сер., 1936; т. 1, вып. 3, с. 405—408.

80. Виноградов И.М. Approximation with help of certain fractions // Ann. Math., 1936, v. 37, № 1, p. 101 — 106.

81. Виноградов И.М. On fractional parts of certain functions // Ann. Math., 1936, v. 37, № 2, p. 448-455.

82. Виноградов И.М.' Распределение дробных частей значений многочлена при условии; что аргумент пробегает простые числа арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, № 4, с. 505— 514. Рез. на англ. яз.

83. Виноградов И.М. Улучшение оценки одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа// Изв. АН СССР.1 Сер. мат., 1938, № 1, с. 15—21. Рез. на англ. яз.

84. Виноградов И.М. Распределение по данному модулю простых чисел, принадлежащих арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1940, т. 4, № 1, с. 27—36. Рез. на англ. яз.

85. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Мат. сб. Нов. сер., 1940, т. 7, вып. 2, с. 365—372. Рез. на англ. яз.

86. Виноградов И.М. Некоторый общий закон распределения дробных частей значений многочлена, когда аргумент пробегает простые числа // Докл. АН СССР, 1946, т. 51, № 7, с. 489^190.

87. Виноградов И.М. A general distribution law for the fractional parts of values of a polynomial with the variable running over the primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1946, v. 51, № 7, p. 491—492.

88. Виноградов И.М. Некоторый общий закон теории простых чисел // Докл. АН СССР, 1947, т. 55, № 6, с. 475—476.

89. Виноградов И.М. A general law of the theory of primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1947, V. 55, № 6, p. 471—472.

90. Виноградов И.М. Элементарное доказательство одной теоремы теории простых чисел// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1953 , т. 17, № 1, с. 3—12.

91. Виноградов И.М. Распределение по простому модулю простых чисел с заданным значением символа Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1954, т. 18, №2, с. 105-112.

92. Виноградов И.М' К вопросу о распределении дробных частей значений многочлена //Изв. АН СССР." Сер. мат., 1961, т. 25, № 6, с. 749-754.

93. Виноградов И.М. О распределении систем дробных .частей от значений нескольких многочленов' // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, № 6, 793-796.

94. Виноградов И.М. Новые оценки» сумм Вейля // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, №5, с. 195-198.

95. Виноградов И.М. Nouvelles evaluations des sommes de Weyl // С. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, №5, p. 195—198.

96. Виноградов И.М. On Weyl's sums // Мат. сб., 1935, т. 42, вып. 5, с. 521—530. Рез: на рус. яз.

97. Виноградов И.М. Sur les sommes de M. H. Weyl // С. г. hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris, 1935, t. 201, № 13, p. 514—516.

98. Виноградов И.М. Новое улучшение оценок тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1936, т. 1, № 5, с. 195—196.

99. Виноградов И.М. A new improvement, of the estimation' of trigonometrical sums // С. r. Acad. Sci. URSS, 1936, v. 1, № 5, p. 199—200:

100. Виноградов И.М. A new method of estimation of trigonometrical sums// Мат. сб., Нов, сер., 1936, т. 1, вып. 2, с. 175—188. Рез. на рус. яз.

101. Виноградов И.М. Оценки тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, № 5-6, с. 505—524. Рез. на англ. яз.

102. Виноградов И.М. Улучшение оценок тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1942, т. 6, № 1-2, с. 33—^0: Рез. на англ. яз.

103. Виноградов И.М. Об оценках тригонометрических сумм//Докл. АН СССР, 1942. т. 34, № 7, с. 199—200.

104. Виноградов И.М. On the estimation of trigonometrical sums // С. r. Acad. Sei. URSS, 1942, V. 34, № 7, p. 182—183.

105. Виноградов И.М. Общие теоремы об оценках тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1944, т. 43, № 2, с. 51—52.

106. Виноградов И.М. General theorems of the estimation of trigonometric sums // С. r. Acad. Sei. URSS , 1944, v. 43, № 2, p. 47—48.

107. Виноградов И.М. Верхняя граница модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1950, т. 14, № 3, с. 199—214.

108. Виноградов И.М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН ¡ СССР. Сер. мат., 1951, т. 15, № 2, с. 109—130.

109. Виноградов И.М. Особые случаи оценок тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1956, т. 20, № 3, с. 289-302.

110. Виноградов И.М. Некоторые проблемы аналитической теории чисел.— В кн.: Труды Третьего Всесоюзного математического съезда. Москва, июнь — июль 1956 г. Т. 3. Обзорные доклады. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 3—13.

111. Виноградов И.М. Новая оценка функции Ç(I + it) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 2, с. 161—164. Библиогр. с. 164.

112. Виноградов И.М. О функции Ç{s) И Докл. АН СССР, 1958, т. 118, №4, с. 631.

113. Виноградов ИМ. 193. Об оценках тригонометрических сумм. Приложение 1.— И кн.: Хуа JIo-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М., «Мир», 1964, с. 169—170.

114. Виноградов И.М. Representation of an odd number as a sum of three primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1937, V. 15, № 6-7, p. 291—294.

115. Виноградов И.М: Некоторые новые проблемы теории- простых чисел // Докл. АН СССР, 1937, т. 16; № 3, с. 139—141.

116. Виноградов. И.М. Некоторые новые, оценки, относящиеся к аналитической теоришчисел // Докл. АН СССР, 1938, т. 19,№ 5; с. 339—340.

117. Виноградов И.М. Элементарные оценки одной тригонометрической суммы с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер.,мат, 1939, №>2, с. 111 — 122. Рез. на англ. яз.

118. Виноградов И.М. A new improvement of the method of estimation of trigonometrical sums with primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1939, V. 22, № 2, p. 59.

119. Виноградов И.М. Две теоремы, относящиеся к теории распределения простых чисел // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 285— 286.

120. Виноградов И.М. Two theorems relating to the theory of distribution of prime numbers//С. r. Acad. Sci. URSS, 1941, v. 30, №4, p. 287—288.

121. Виноградов И.М. Some general property of distribution of products of prime numbers// С. r. Acad. Sci. URSS, 1941, V. 30, № 8, p. 681—682.

122. Виноградов, И.М. Уточнение некоторых теорем теории простых* чисел. // Докл. АН СССР, 1942, т. 37, № 4, с. 135-137.

123. Виноградов И.М. Improvement of some theorems in the theory of primes // С: r. Acad. Sei. URSS, 1942; V. 37, №-4, p. 115—117.

124. Виноградов И.М: Аддитивные'проблемы теории простых чисел.— В» кн.: Юбилейный» сборник, посвященный тридцатилетию- Великой. Октябрьской социалистической'революции. Ч. 1. М-.— Л:, Изд-во -АН СССР, 1947, с. 65—79.

125. Виноградов И.М. Аддитивные проблемы теории простых чисел.— В кн.: Общее-собрание Академии наук СССР, посвященное тридцатилетию1 Великой Октябрьской социалистической революции. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1948, с. 458-464.

126. Виноградов И.М. О распределении произведений простых чисел и значений функций Мебиуса // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, № 4, с. 341 —350.

127. Виноградов И.М. Some new problems of the theory of primes // С. r. Acad. Sei. URSS, 1937, v. 16, №3, p. 131-132.

128. Виноградов И.М. New estimations of trigonometrical sums containing primes // С. r. Acad. Sei. URSS, 1937, v. 17, № 4, p. 165-166.

129. Виноградов И.М. Новая оценка одной суммы, содержащей-простые числа// Мат. сб; Нов. сер., 1937, т. 2, вып. 5, с. 783—792'. Рез: на англ. яз.

130. Виноградов-И.М. Новая оценка одной тригонометрической» суммы, содержащей простые числа// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938; № 1, с. 3—14.

131. Виноградов И.М. Оценка некоторых сумм, содержащих простые числа // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, № 4, с. 399—416. Рез. на англ. яз.

132. Виноградов И.М. Some new estimations of the analytical theory of numbers // С. r. Acad. Sei. URSS, 1938, V. 19, № 5, p. 339—340.

133. Виноградов И.М£. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел //Тр. Тбил. мат. пн-та, 1937, т. 3, с. 1—67.

134. Виноградов И.М: Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1939, № 4, с. 371—398. Рез. на англ. яз.

135. Виноградов И:М. Новое усовершенствование метода оценки тригонометрических сумм с простыми числами // Докл. АН.СССР, 1939, т. 22, № 2, с. 591—60.

136. Виноградов ИМ. Простейшие тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1939, т. 23, № 7, с. 615—617.

137. Виноградов И:М. Simplest trigonometrical sums with primes // С. г. Acad. Sei. URSS, 1939, V. 23, № 7, p. 615-617.1*45. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 8, с. 675—676.

138. Виноградов И.М. Об оценке тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, № 3, с. 225—248.

139. Виноградов И.М. Тригонометрические суммы, содержащие значения многочлена // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1957, т. 21, № 2, с. 145-170.

140. Виноградов И.М. Особый случай оценки тригонометрических сумм с простыми: числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 1, с. 3—14.

141. Виноградов И.М. Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23", № 2, с. 157—164.

142. Виноградов* И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р+к) по простому модулю // Мат. сб. Нов. сер., 1938, т. 3, вып. 2, с. 311—319. Рез. на англ. яз.

143. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1943, т. 7, № 1, с: 17—34. Рез. на англ. яз.

144. Виноградов И.М. Аналитическая теория чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1945, т. 9; № 3, с. 159—168. Рез. на англ. яз.

145. Виноградов И.М. Новое усовершенствование метода оценки двойных сумм // Докл. АН СССР, 1950, т. 73, № 4, с. 635-638.

146. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений %(р + к) II Изв. АН СССР. Сер. мат., 1952, т. 16, № 3, с. 197—210:

147. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв-я АН СССР, серия математическая, 34(1970), 299-321.

148. Липшиц и Мертенс. Ueber einige asymptotische* Gesetze der Zahlentheorie // Crelle's Journal; B. 78,1865.

149. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М-Л: Изд-во АН СССР, 1947.

150. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Учебник для университетов. Изд. 8-е, испр. М., «Наука», 1972, 168 с.

151. Van der Corput J.G. Verschärfung der abschatzung beim Teilerproblem // Math. Ann. 87, 1922. c.39-65.

152. Г.И.Архипов. Лекции по математическому анализу: Учеб. Для вузов/ Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков; под ред. В.А.Садовничего. 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Дрофа, 2003. - 640'с.

153. Van der Corput J. G. Neue Zahlentheoretische Abschätzungen // Mathem. Zeitschr., 29 Band (1929), Satz 4, 397-426.

154. Карацуба A.A. Теория чисел одна, но пламенная страсть // Вестник АН СССР, №9, 1991.

155. Чубариков B.H. Многомерные проблемы теории простых чисел. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. -1985. (на правах рукописи)

156. Архипов. Г.И., Чубариков В.Н. О числе слагаемых в-аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях. IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 10-15 сентября 2002, Актуальные проблемы, с.5-38.

157. Иван Матвеевич Виноградов (некролог) // Изв-я АН СССР, мат-ка; т.47, №4, 1983. с. 691-706.

158. Линник Ю. В., Постников А. Г. Математическая жизнь в СССР. Иван Матвеевич Виноградов (к 70-летию со дня рождения) // УМН, Т. 17. Вып. 2 (104), 1962.

159. Кочина П. Я. Наука. Люди. Годы. М., Наука, 1988.

160. Кочина П.Я. Воспоминания. М., Наука, 1974, с. 96-102. 1171'. Иван Матвеевич Виноградов. К 80-летию со дня-рождения // Изв. АН СССР. 1971. Т. 35. Вып. 5.

161. Иван Матвеевич Виноградов. Материалы к библиографии ученых СССР. Серия математики, вып. 14 -М.: Наука, 1978.

162. Постников А.Г. К семидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Известия АН СССР, сер. мат., 25 (1961), 621-628.

163. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. Л., Наука, 1972.

164. Ожигова Е. П. Математика в Академии наук в первые годы советской власти // Истор.- матем. исследования, вып. 17. М., 1986.

165. Марков А. А., Стеклов В. А., Крылов А. Н. Записка об ученых трудах- профессора Петроградского университета Якова*. Викторовича Успенского // Известия Российской АН, VI серия, том XV, 1921'.

166. Математика в СССР за 15 лет / под ред. П.* С. Александрова; М: Л. Выгодского, В. И. Гливенко М-Л., Гос. тех. теор: изд-во, 1932, с.240.

167. Юшкевич А. П. Жизнь- и математическое творчество' Л.Эйлера //Успехи мат. Наук, т. 12, вып. 4,1957, стр. 3-28.

168. Юшкевич А. П. JL Эйлер. М, ЗнаниеД982.

169. Hardy G.H, Littlewood J.E. Some problems of "Partitio Numerorum":III On the expression of a number as a sum of primes // Acta Math, 44, 1923, 1-70.

170. Сегал1 Б. И. Тригонометрические суммы и некоторые их применения в теории чисел // Успехи мат. наук т.1, вып 3-4 (13-14), 1946, стр. 146-193.

171. Успенский Я.В. Записка об ученых трудах проф. И.М.Виноградова. В кн.: Записки об ученых трудах действительных членов АН СССР по Отделению физико-математических наук, избранных 12 января 1929 года: JI, Изд-во АН СССР, 1930, с.41-43.

172. Burgess D, The distribution of quadratic residues and nonresidues, Mathematica, 4, p. 2, № 8 (1957), 106-112.

173. Карацуба А. А. Об оценке сумм характеров // Известия АН СССР, серия математическая, 34 (1970); 20-30:

174. Gauss С. F. De nexu inter multitudinem classium etc, Werke, 2, 1863, 269-291.

175. Lejeune Dirichlet P.G,Über die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie, Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66), 1849, Math. Abh, 69-83.

176. История отечественной математики. В 4-х томах. Глав. ред. И.З.Штокало. Т. 2 Киев, Наукова думка, 1967.

177. Hardy G. Н. On Dirichlet's divisor problem, Proc. London, math. Soc, 15 (1916), 1-25.

178. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 3. Изд-во АН УССР, Киев,1953.

179. Вороной Г, Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 1. Изд-во АН УССР, Киев, 1951.

180. Voronoi G, Sur on probleme du calcul des fonctions aszmptotiques, J, für Math, 126 (1903), 241-282. (См. также Вороной Г.Ф, Собрание сочинений, том 1, стр. 5, Изд. АН СССР, Киев, 1952. Прим. перев.).

181. Sierpinskii. Sur un ргоЬГете du calcul des fonctions asymptotiques // Prace matematzcyno-fizicne, t. 17,1906.

182. Littlewood J., Walfisz A. the lattice points of a circle // Proc. roy. Soc. Lond. Ser(A). 1925, v. 106, p. 478-488.

183. Walfisz A. Teileprobleme //Math. Z. 1927, b. 26, s. 66-88.

184. Nieland L. W. Über das Kreisproblem // Math. Ann. ß 1928, b. 98, s. 717-736.

185. Titchmarsh E. C. The lattice points in a circle // Proc. Lond. Math. Soc. (2).-1935, v. 38, p. 96-115.

186. Chin Т. T. The Dirichlet's divisor problem // Science Report of Tsing Hua Univ. 1950, p. 402-427.

187. Усольцев JI. П. Новый метод оценки тригонометрических сумм в приложении к задачам аналитической теории чисел. Изд-во Самарского научного центра Российской АН, Самара, 2001.

188. Jarnik V. Uber die gitterpukte auf konvexen kurven // Math. Zeitschrift, 24, 1925.

189. Марджанишвили K.K. Иван Матвеевич Виноградов (к шестидесятилетию со дня рождения). Математическая жизнь в СССР // УМН, т. 6, вып. 5(45), 1951.

190. Делоне Б.Н. К шестидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Известия АН СССР, серия математическая, 15, 1951, с. 385-394.

191. Хуа Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. М.: Мир, 1964.

192. Graham S.W. and Kolesnik G. Van der Corput's method of exponential sums. London mathematical society lecture note series, 126, Canbridge University Press, 1991.

193. Van der Corput J. G. Neue Zahlentheoretische Abschätzungen //Mathem. Zeitschr., 29 Band (1929), Satz 4, 397-426.

194. Voronoi G. Об одной трансцендентной функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов // Annales scientifiques del'Ecole normale supérieure (3) XXI, 207-267, 1904.

195. Hardy G. H: and Littlewood J. E. The trigonometrical series associated with the elliptic 0 function // Acta Math. 37, 193-239, 1914.

196. Menchoff D: Sur les séries de functions orthogonales, I // Fund. Math, 1923, t. 4, p. 82-105.

197. Chen, Jing-Run. Improvement on the asymptotic formulas for the number of lattice points in a region of the three dimensions. Sci. Sinica. 12 (1963), 751-764.

198. Burgess D. On character sums and L-series, II, Proc. London Math. Soc. 13 (1963), 524-536. (See also Burgess D. The character sum estimate with r=3. J. London Math. Soc 33 (1986), 219-226).

199. Waring E. Meditationes algebraicae; Cambridge, 1770, 204-205, Gp. Dickson L. E. History of the theory of numbers, v. 2, New York, 1934, 717-729.

200. Hilbert D. Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl «-ter Potenzen // Math. Ann., 67 (1909), 281-300.

201. Виноградов И.М. Избранные труды. Ответственный редактор доктор физ.-мат. наук Ю.В.Линник. М., Изд-во АН СССР, 1952, 436 с. Библиогр. с. 428—433.

202. Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. -1985.

203. Нечаев В.И. Академик Иван Матвеевич Виноградов, (к 80-летию со дня рождения) // Мат. в шк., 1971, №6, с.79.

204. Шидловский А.Б. Старейшина математиков // Веч. Москва, 1971, 14/IX, № 217.

205. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., Наука, 1968, с.95-96, 377-379.

206. Heath-Brown D.R. Lattice points in the sphere. Elementary and analytic number theory. Berlin: de Gruyter: 883-892, 1999:

207. Huxley M.N. Area,, lattice points and exponential sums. College of Cardiff University of Wales. Glarendon Press. Oxford, 1996.

208. Бурлакова Е.А. О проблеме Варинга-Гольдбаха // Чебышевский сборник. Том 9. Выпуск 1(25) Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого,.2008: - С. 5-20. ' ' '