Квадратичные характеры в проблеме распределения целых точек в шаре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 511.34

005054^

Архипова Людмила Геннадьевна /

Квадратичные характеры в проблеме распределения целых

точек в шаре

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

Москва — 2012

005054222

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты:

Добровольский Николай Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО Тульский государственный университет имени Л.Н. Толстого, заведующий кафедрой

Ведущая организация:

Сухарев Иван Юрьевич, кандидат физико-математических наук, Евразийская экономическая комиссия, консультант департамента статистики

ФГБОУ ВПО Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 16 ноября 2012 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: РФ 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 16 октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел, теории квадратичных характеров и арифметических проблем распределения целых точек в областях.

Проблемой шара называют задачу о выводе асимптотической формулы для Т(а) — числа узлов трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри шара растущего радиуса а с центром в начале координат, а также возможно более точной оценке остаточного члена R(a) данной асимптотики.

Из рассуждений К.Ф. Гаусса, касающихся проблемы круга, легко следует асимптотическая формула для количества Т(а) вида Т(а) = |7ra3+i?(a), R(a) < а2. Главный член этой формулы есть просто объем шара радиуса а. В 1926 году венгерский математик Сеге1 доказал, что R(a) есть i)(aVina). В 1935 году И.М. Виноградов свел проблему оценки остатка R(a) к сферическим суммам, то есть тройным суммам по целым точкам, лежащим на сфере переменного радиуса, и применил к ним свой метод 2,3 оценок тригонометрических сумм, разработанный для исследования числа классов квадратичных форм отрицательного дискриминанта и для исследований по проблеме Варинга4, и получил первое со времен Гаусса улучшение оценки остаточного члена в проблеме шара5. Оценка Виноградова имела вид R(a) <§; о1,4+е. В дальнейшем он же неоднократно улучшал этот результат. В 1949 году® была получена оценка R(a) < Оценка 1955 года7 имеет вид R{a) <С Оценка 1960 года8 R(a) < a"+E. И, наконец, в 1963 году И.М. Виноградов9 оценил остаток R(a) величиной аз In6 а. Более совершенное изложение последнего результата содержится в моно-

Szego, "Beitrage zur Theorie der Laguerreschen Polynome", II, Zablentheoretische Anwendungen, Math. Z., 25 (1926), 388-404.

2 И.М. Виноградов, "О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя", Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918 т.16, 1-2, с. 10-38.

3 И.М. Виноградов, "Докторская диссертация"

4И.М. Виноградов, "О верхней границе G{n) в проблеме Варинга", Изв. АН СССР, ОМЕН, 1934,10, с. 1455-1469. Рез. на англ. яз.

5И.М. Виноградов, "Число целых точек в шаре", Тр. мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 17-38.

6И.М. Виноградов, "Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы", Изв. АН СССР, Сер. мат. 1949, т. 13, 2, с. 97-110.

7И.М. Виноградов, "Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений", Изв. АН СССР, Сер. мат. 1955, т. 19,1, с. 3-10.

8И.М. Виноградов, "К вопросу о числе целых точек в заданной области", Изв. АН СССР, Сер. мат. 1960, т. 24, 6, с. 777-786.

9И.М. Виноградов, "К вопросу о числе целых точек в шаре", Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, 5, с. 957-968.

графии "Особые варианты метода тригонометрических сумм" 1976 года10. Следует отметить, что несколько позднее И.М. Виноградова, но независимо от него известный китайский математик Чен Джин Ран11 также получил оценку вида R(a) <С аз+£.

Метод Виноградова, использованный в работе12 1963 года, по существу состоит в сведении задачи к оценке сферической тригонометрической суммы Р(а) вида

e2ma\/W+r^+r?

Р(а) = а > -т»-5——5- •

4 ' , I2 + т2 + п2

при условии, что параметр а меняется в промежутке Е = (0; |). При каждом значении а сумма Р{а) оценивается и применяется к исследованию остатка R(a) в асимптотической формуле. В современном виде зависимость оценки суммы Р(а) от а приведена в работе13 Г. Иванца и Ф.Чамизо. В диссертации приводится явное аналитическое и графическое представление этой оценки.

До 1995 года результат И.М. Виноградова в проблеме шара оставался наилучшим. Лишь в 1995 году Г. Иванец и Ф.Чамизо доказали, что R(a) <С аМ+'. Идея данной работы состоит в том, чтобы найти асимптотическую формулу для количества целых точек в узком шаровом слое вида а2 <С I2 + т2 + п2 < (о 4- К)2, где h - маленькое число, являющееся отрицательной степенью числа а, и за счет этого учитывать вместе с точками внутри шара точки, лежащие вне его, но с коэффициентом, гладко убывающим от единицы к нулю с ростом радиуса внутри этого слоя. Такое "сглаживание" позволяет вместо отрезка Е = (0; |) при оценке суммы Р(а) ограничиться отрезком Е.( — (0; | - 7), где 7 > 0 — некоторая постоянная. На новом отрезке сумма Р(а) по Виноградову оценивается лучше, чем на Е, тем самым улучшается оценка остатка R(a).

В 1997 году Д. Р. Хис-Браун усилил результат работы Г. Иванца и Ф.Чамизо. Он доказал14, что R(a) <С ай+£. С помощью новых соображений он увеличил значение параметра h и благодаря этому еще более сузил промежуток Е1 до величины = (0; § - = (0; £). Оценка Виноградова

10И.М. Виноградов, "Особые варианты метода тригонометрических сумм", Москва, Наука, 1976.

"Chen Jing-Run, "Improvement оп the asymptotic formulas for the number of lattice points in a región of the thrce dimentions", Sci. Sínica, 12, 1963, 751-764.

12И.М. Виноградов, "К вопросу о числе целых точек в шаре", Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, 5, с. 957-968.

13F. Chamizo and Н. Iwaniec. "Оп the Sphere РгоЫет", Rev. Mat. Iberoamericana Vol.ll, 2,1995,417-429.

I4D.R. Heath-Brcrwn "Lattice points in the sphere", Number theory in progress. Pr. Int. conference. Zacopane, Poland, 30.06-09.07, 1997. Vol.2: Elem. And anal. numb. Theory. Berlin: de Gruyter. 883-892 (1999)

для Р{а) на уменьшенном промежутке лучше, чем на старом. В указанной работе Хис-Браун утверждает, что правый конец а = \ промежутка Е1 можно еще несколько уменьшить. Однако это уже не ведет к улучшению оценки для Л (а), поскольку показатель степени в виноградовской оценке для Р(а) в точке а = 1 имеет локальный максимум, равный который вместе с точкой а — \ является глобальным на Е1=х = (0;

Основной результат данной диссертации состоит в получении новой оценки суммы Р(а) в фиксированной окрестности точки а = 1. Здесь доказано, что при а е (0; ||) сумма Р(а) оценивается так

Р{а) -С .

Хотя из этой оценки не следует улучшение оценки остатка Д(а) в проблеме шара, однако реализация схемы Хис-Брауна, направленная на дальнейшее уменьшение длины промежутка Е1, вместе с нашей оценкой позволяет рассчитывать на получение новых оценок остатка Н{а).

Цель работы

Вывод новых форм остаточного члена в проблеме шара, выраженных через сферические тригонометрические суммы, а так же суммы, скрученные с квадратичным характером, и получение новых оценок сферических сумм в зависимости от длины промежутка суммирования, в том числе в одной из двух точек глобального максимума прежних оценок.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Предложен новый метод выражения остаточного члена асимптотической формулы в проблеме шара через сферические тригонометрические суммы И.М. Виноградова.

2. Найдено выражение сферических сумм через тригонометрические суммы, скрученные с квадратичным характером.

3. Предложены специальные представления гибридных сумм.

4. Получены новые оценки сферических тригонометрических сумм. Благодаря этому проблема нахождения новых оценок остатка в проблеме

шара сведена к оценке сферических сумм в окрестности второй точке глобального максимума.

5. Найдено новое неравенство типа Вейля - Корпута.

6. Предложено новое доказательство квадратичного закона взаимности, основанное на применении тригонометрических сумм, скрученных с квадратичным характером.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы аналитической теории чисел, в том числе многомерная формула суммирования Пуассона с остаточным членом, формула И.М. Виноградова для обращения тригонометрических сумм, результаты теории теории представления чисел квадратичными формами, метод сглаживания, метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах аналитической теории чисел, связанных с применением тригонометрических сумм, изучением распределения целых точек в областях, в теории производящих рядов Дирихле.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

• Семинар «Аналитическая теория чисел» МГУ, Москва (неоднократно в 2006 - 2012 гг.)

• XVI международная конференция серии "Математика. Компьютер. Образование, г. Пущино, 19-24 января 2009г. •"•

• VII международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященная памяти профессора A.A. Карацубы, г. Тула, ТГПУ им. JI.H. Толстого, 11-15 мая, 2010 г.

• Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел» (Белгород, Белгородский государственный университет, 17-21 октября 2011 г.).

• X международная конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения г.Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10-16 сентября 2012 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и библиографии (29 наименований). Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемых вопросов, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты. Приведены формулировки известных ранее результатов в рассматриваемых направлениях исследований, снабженные подробными ссылками.

Содержание главы 1

В первой главе находится аналитическое представление для выражения остатка асимптотической формулы для числа целых точек в шаре через сферическую тригонометрическую сумму. Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Обозначим через Т(а) количество точек целочисленной решетки, лежащих в шаре радиуса а. Пусть д - некоторая положительная постоянная с условием 6 <~, В = 5а5+2<51па и Во = 10£?1па. Тогда

Т{а) = 2 т,п) + 0 (аИ+с) ,

¿,771,71

/2+т2+п2^В0

где при i1 + т2 + п2 ф 0 выполняется равенство

cos (2тга^(12 + т2+п2)) sin (2na^/(l2 + m2 + п2))

К{1'т'П) = й TT(Z2 + т2 + п2) + 27Г2(/2 + т2 + п2)§ '

и ЛГ(0,0,0) = |тга3.

Подобное представление ранее получалось И.М. Виноградовым разбиением шара на 48 частей и выражением остатка через дробные доли арифметических функций с последующим разложением "сглаженной" дробной доли в ряд Фурье. Г. Иванец и Ф. Чамизо для тех же целей применяли кратную формулу суммирования Пуассона, но делали это формально и без оценки остатка. Наш вывод основан на троекратном применении одномерной формулы суммирования Пуассона15 с остаточным членом. Кроме того, оценка остатка проводится в явном виде. Здесь же следует сказать, что мы ради простоты изложения не пользуемся "сглаживанием" количества целых точек по шаровому слою, оценивая их количество тривиально. Из-за этого параметр а в нашем случае выходит за пределы отрезка Е = (0; |), что в данном случае несущественно, поскольку наши дальнейшие усилия направлены в основном на оценку величины Р(а) в окрестности точки а = 1.

Содержание главы 2

Во второй главе диссертации мы сводим вопрос об оценке сферических сумм к тригонометрическим, скрученным символом Якоби, которые мы далее называем гибридными суммами. Для этих сумм мы находим новые представления, которые, на наш взгляд, могут быть использованы для улучшения существующих оценок остаточного члена асимптотики в проблеме шара. Обозначим через Т = К) гибридную сумму вида

Е, 1 ._, р2тоЛ-/к /_Ь\

Здесь символ 52' означает, что суммирование ведется по нечетным числам п, свободным от квадратов, а для N и К выполнены неравенства N С ЛЬ х Я, К < аз+ттт, Кх ж.К.йе N. Для суммы Т = Т{И,К)

15Г.И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков, "Лекции по математическому анализу", Москва, Дрофа, 2004г., с. 442.

найдены следующие представления:

T(N, К) =

?1 ' 1 П2

- Е' Е

N<n<Ni " У=0

da

г7к,

п-1

\2 у/к П,

■Г I Е, (»-^

Далее в этой главе получены новые оценки для величины Р(а) на различных промежутках изменения параметра а. Мы вводим величину IV(а) = а~1Р(а), то есть

Ща) = V -=-—•

к ' I2 +тп2 + п2

г2+т2+п2жо"

Показываем, что оценка И.М. Виноградова для величины \¥(а) на отрезке Е = (0; |) может быть записана в виде

W{a) «С а'

ф{а)+(

где

Ф(<*) =

а 2 при 0<а<М,

7 24 4- — ^ 48 при ¿f <а<1,

3 8 а 16 при 1<«<|.

а 1 4 при

W(a) < а'

к(а)+е

где

/с(а) =

2

65 I 9а 224 ^ 448

2 _ 8 16

Наша оценка, полученная в главе 2, имеет вид

при при при

Л~\ + ш при

Сравнение этих оценок показывает, что наша оценка лучше оценки И.М. Виноградова на промежутках Е' = (Ц; §§) и Е" = (|; §§). Следует отметить, что sup ф{а) = sup ф(а) и sup ф(а) - sup к(а) = ^ > 0. Поэтому Е> (0;J) Е> Е'

0<а<§,

26 < а < 38 43 — 37 ' 38 < а < 406 37 — 333 ' 406 < < 4 333 — " — 3 •

сужение отрезка Еу за точку Хис-Брауна а = § позволило бы из нашего результата получить новое степенное понижение в остаточном члене асимптотической формулы в проблеме шара.

В настоящий момент проблема получения новых оценок этого остатка остается открытой.

Материалы настоящей диссертации открывают новые возможности для степенных улучшений в данном направлении. Во-первых, можно реализовать указание Хис-Брауна с целью некоторого увеличения значения параметра 7 и получения новых оценок по указанной выше схеме. Во-вторых, можно воспользоваться полученной в разделе 2.4 новым выражением гибридной суммы Т(Ы, К) и применить к нему схему оценки, разработанную И.М. Виноградовым для оценки сумм, скрученных с функцией Мебиуса16. При этом следует учесть, что в новой записи сумма Т(ЛГ, К) представляет собой тригонометрическую сумму, скрученную с произведением символа Якоби ) на аргумент суммы Гаусса дп. Указанное произведение принимает четыре различных значения ±1,±г, в то время как функция Мебиуса равна ±1. По-видимому, модификация метода работы И.М. Виноградова для наших целей не представляет непреодолимых трудностей. И, наконец, третий подход к оценке сумм Т(ДГ, К) состоит в применении к формулам из раздела 2.3 новой формы неравенства Вейля - Корпута, вывод которой приводится в главе 3.

Содержание главы 3

Третья глава диссертации посвящена приложению рациональных тригонометрических сумм, скрученных символом Лежандра к выводу нового доказательства квадратичного закона взаимности. Кроме того в этой главе мы выводим новою форму известного неравенства Вейля-Корпута, полезную для оценок тригонометрических сумм от функций, принадлежащих классу Корпута - Виноградова, к которым относятся и суммы, рассматриваемые в данной диссертации. Указанное неравенство представлено в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть /(ж) — вещественная функция. Обозначим через 5 и Т суммы вида

5 = £ е2^<*>, Т = Т( Я) = 1 £ X) е2"/(ж).

х—а к=0 а+2к<х<Ь-2к

1бИ.М. Виноградов, "Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел", Док. АН СССР, 1941 т.ЗО 8.

Здесь Н — натуральное число, меньшее, чем (Ь — а)/2. Для суммы Т = Т{Н) справедлива оценка

|Т2| ^ Ь - а - 2Н + 1 ^ е2™ту+г)-/{у-г)\

^ 0<з<2Я-2 а+з<у<Ь+а-2Я -Л(«)<г<Л(з)

r=s mod 2

г<?е s, у, г — целые числа, A(s) = s при 0 < s < Н — 1, и -A(s) = 2Я — 2 — s при Н <5 < 2Я - 2.

Кроме того, имеет место очевидное равенство

S = T(H) + 0{Si),

где S\ — есть сумма того же вида, что и S, но содержащая не более чем Н слагаемых.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Николаевичу Чубарикову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит весь коллектив кафедры математических и компьютерных методов анализа и кафедры математического анализа Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова за создание творческой обстановки.

Работы автора по теме диссертации

[1] Л.Г. Архипова, "О числе целых точек в сфере", Вестник МГУ, вып. 5, с. 59-61, 2008г.

[2] Л.Г. Архипова, "Новые оценки сферических сумм И.М. Виноградова", Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №4(48), 2012, с. 19-28.

[3] Л.Г. Архипова, "О квадратичном законе взаимности", Чебышевский сб., т. I , вып. 1(17), с. 155-163,Тула, 2006 г.

[4] Л.Г. Архипова, "Об оценках экспоненциальных сумм, связанных с распределением целых точек в трехмерных областях", Изд. Р&С Dynamics. Тез. док. XVI межд. конф. сер. МКО, Пущино, 19-24 янв. 2009г., Вып. 16, Ч. 1, с. 14.

[5] Л.Г. Архипова, "Новые продвижения в проблеме шара", Тез. док. VII межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Тула 11-15 мая 2010г. Тула, изд-во ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2010, с. 30-31.

[6] Л.Г. Архипова, "Оценка тригонометрической суммы, скрученной символом Лежандра", Тез. док. межд. конф. Компл. ан. и его прилож. в дифф. ур-ях и т.ч., Белгород, 17-21 окт., 2011, с. 14-15.

[7] Л.Г. Архипова, "Новый вариант неравенства Вейля - Корпута в методе тригонометрических сумм", Тез. док. X межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Волгоград 10-16 сен. 2012г. Изд. ВГСПУ Перемена, с. 5.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № <53

Введение

Глава 1. Сферические суммы в проблеме шара

1.1 Вывод "сглаженной"формулы для числа целых точек в шаре

1.2 Кратное применение формулы суммирования Пуассона.

Глава 2. Суммы, скрученные с квадратичным характером

2.1 Представление сферических через суммы, скрученные с символом Якоби.

2.2 Выделение основного промежутка изменения параметров в гибридных суммах.

2.3 Применение формулы обращения Виноградова - Корпута

2.4 Специальное представление гибридной суммы.

2.5 Оценка суммы Т(ЛГ, К).

2.6 Применение метода экспоненциальных пар.

2.7 Оценка гибридной суммы по современной экспоненциальной паре

2.8 Выбор значения целевого параметра.

2.9 Анализ полученных оценок.

Глава 3. О некоторых приложениях гибридных сумм

3.1 Новое неравенство типа Вейля - Корпута.

3.2 Новое доказательство закона взаимности.

Квадратичный характер — это функция целого аргумента, периодическая по некоторому натуральному числу га, квадрат которой равен 1 для всех чисел, взаимно простых с га, и равен нулю в противном случае. Еще предполагается, что эта функция мультипликативна, то есть ее значение для произведения целых аргументов, взаимно простых между собой, равно произведению значений. Исследования по применению квадратичных характеров в теории чисел ведутся на протяжении более двухсот лет, начиная с работ Л. Эйлера, К.Ф. Гаусса и Ж.Л. Лагранжа. В настоящей диссертации исследуются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами, скрученными с квадратичным характером. Другими словами, рассматриваются тригонометрические суммы, каждое слагаемое которых представляет собой произведение квадратичного характера на экспоненту от некоторой комплекснозначной функции. В качестве квадратичного характера мы рассматриваем символ Якоби или его частный случай — символ Лежандра.

Основная цель диссертации состоит в выводе новых форм остаточного члена в проблеме шара, выраженных через сферические тригонометрические суммы, а также суммы, скрученные с квадратичным характером, и получении новых равномерных оценок сферических сумм.

Проблемой шара называют задачу о выводе асимптотической формулы для Т(а) — числа узлов трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри шара растущего радиуса а с центром в начале координат, а также возможно более точной оценке остаточного члена И(а) данной асимптотики.

Из рассуждений К.Ф. Гаусса, касающихся проблемы круга, легко следует асимптотическая формула для количества Т(а) вида Т(а) = §7гй3 + R(a), R(a) а2. Главный член этой формулы есть просто объем шара радиуса а, а остаток имеет тот же порядок, что и площадь сферы радиуса а. В 1926 году венгерский математик Сеге доказал (см.[1]), что R(a) есть f2(aVlna). В 1935 году И.М. Виноградов свел проблему оценки остатка R(a) к сферическим суммам и применил к ним свой метод (см.[2], [3])оценок тригонометрических сумм, разработанный для исследования числа классов квадратичных форм отрицательного дискриминанта и для исследований по проблеме Варинга (см.[4]), и получил первое со времен Гаусса улучшение оценки остаточного члена в проблеме шара (см.[5]). Оценка Виноградова имела вид R(a) а1,4+е. В дальнейшем он же неоднократно улучшал этот результат. В 1949 году в работе [6] была получена оценка R(a) Оценка 1955

11 19 года (см.[7]) имеет вид R(a) <С а~*+е. Оценка 1960 года (см.[8]) R(a) <С ап+е. И, наконец, в 1963 году И.М. Виноградов оценил остаток R(a) величиной at In6 а (см. [9]). Более совершенное изложение последнего результата содержится в монографии "Особые варианты метода тригонометрических сумм" 1976 года (см.[10]). Следует отметить, что несколько позднее И.М. Виноградова, но независимо от него известный китайский математик Чен Джин Ран в работе [11] также получил оценку вида R(a) <С а%+е.

Метод Виноградова, использованный в работе [9], по существу состоит в сведении задачи к оценке сферической тригонометрической суммы Р(а) вида e2TTÍaVl2+m2+n2

Pia) = а V -г-5-т .

Z2+m2+n2xa° при условии, что параметр а меняется в промежутке Е — (0; |). При каждом значении а сумма Р(а) оценивается и применяется к исследованию остатка R(a) в асимптотической формуле. В современном виде зависимость оценки суммы Р(а) от а приведена в работе [12]. В диссертации приводится явное аналитическое и графическое представление этой оценки.

До 1995 года результат И.М. Виноградова в проблеме шара оставался наилучшим. Лишь в 1995 году Г. Иванец и Ф.Чамизо доказали(см. [12]), что

29

R(a) <С а.22+е. Идея данной работы состоит в том, чтобы найти асимптотическую формулу для количества целых точек в узком шаровом слое вида а2 «С I2 + т2 + п2 «С (а + h)2, где h — маленькое число, являющееся отрицательной степенью числа а, и за счет этого учитывать вместе с точками внутри шара точки, лежащие вне его, но с коэффициентом, гладко убывающим от единицы к нулю с ростом радиуса внутри этого слоя. Такое "сглаживание" позволяет вместо отрезка Е = (0; при оценке суммы Р(а) ограничиться отрезком Ery = (О; | — 7), где 7 > 0 — некоторая постоянная. На новом отрезке сумма Р(ое) по Виноградову оценивается лучше, чем на Е, тем самым улучшается оценка остатка R(a).

В 1997 году Д.Р. Хис-Браун усилил результат работы [12]. Он доказал (см. [13]), что R(a) <С С помощью новых соображений он увеличил значение параметра h и благодаря этому еще более сузил промежуток Ery до величины i?7=L = (О; | — -j^) = (О; |). Оценка Виноградова для Р(а) на уменьшенном промежутке лучше, чем на старом. В указанной работе Хис-Браун утверждает, что правый конец а = | — точку Хис-Брауна — промежутка jЕ1 можно еще несколько уменьшить. Однако это уже не ведет к улучшению оценки для R(a), поскольку показатель степени в виноградовской оценке для Р(а) в точке а = 1 имеет локальный максимум, равный который вместе с точкой а = | является глобальным на E1=i = (0; |).

Основной результат данной диссертации состоит в получении новой оценки суммы Р{а) в фиксированной окрестности точки а = 1. Здесь доказано, что при а £ (0; Ц) сумма Р(а) оценивается так

Р(а) <С 2+е.

Хотя из этой оценки не следует улучшение оценки остатка R(a) в проблеме шара, однако реализация схемы Хис-Брауна, направленная на дальнейшее уменьшение длины промежутка Е1, вместе с нашей оценкой позволяет рассчитывать на получение новых оценок остатка R(a).

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам.

В первой главе находится аналитическое представление для выражения остатка асимптотической формулы для числа целых точек в шаре через сферическую тригонометрическую сумму, то есть тройную сумму по целым точкам, лежащим на сфере переменного радиуса. Подобное представление ранее получалось И.М. Виноградовым разбиением шара на 48 частей и выражением остатка через дробные доли арифметических функций с последующим разложением "сглаженной" дробной доли в ряд Фурье. Г. Иванец и Ф. Чамизо для тех же целей применяли кратную формулу суммирования Пуассона, но делали это формально и без оценки остатка. Наш вывод основан на троекратном применении одномерной формулы суммирования Пуассона с остаточным членом. Кроме того, оценка остатка проводится в явном виде. Здесь же следует сказать, что мы ради простоты изложения не пользуемся "сглаживанием" количества целых точек по шаровому слою, оценивая их количество тривиально. Из-за этого параметр а в нашем случае выходит за пределы отрезка Е = (0; |), что в данном случае несущественно, поскольку наши дальнейшие усилия направлены в основном на оценку величины Р(а) в окрестности точки а = 1.

Во второй главе диссертации мы сводим вопрос об оценке сферических сумм к тригонометрическим, скрученным символом Якоби, которые мы далее называем гибридными суммами. Для этих сумм мы находим новые представления, которые, на наш взгляд, могут быть использованы для улучшения существующих оценок остаточного члена асимптотики в проблеме шара. Далее в этой главе получены новые оценки для величины Р(а) на различных промежутках изменения параметра а. Мы вводим величину = а~1Р(а), то есть

Щ<*) = Е

2тгга\/I2 +т2 +п2

12 + га2 -+- п2

Р+т2+п2~аа

Показываем, что оценка И.М. Виноградова для величины \¥(а) на отрезке Е = (0; |) может быть записана в виде

IV(а) < а' ф(а)+е где ф(а) = < а 2 при 0<а<М

7 24 < + — ^ 48 при й<а<1

3 8 а 16 при 1 <а<|, а и при

Наша оценка, полученная в главе 2, имеет вид

Иг (а) < ак(о)+е, где к(а) = < а 2 при 0<а<§,

65 224 , 9а "1" 448 при 26 < < 38 43 —37 '

3 8 а ' 16 при 38 < а < 406 37 — 333 а 2 3 ^ 222 при 406 < <4 333 — 3 '

Сравнение этих оценок показывает, что наша оценка лучше оценки И.М. Виноградова на промежутках Е' = (||; ||) и Е" = (|; Следует отметить, что вир0(а) = вир ф(а) и зир</»(о;) — 8ирк(а) = нно > 0. Поэтому сужение

Е'

0;|)

Е'

Е' отрезка Е1 за точку Хис-Брауна а = | позволило бы из нашего результата получить новое степенное понижение в остаточном члене асимптотической формулы в проблеме шара.

Третья глава диссертации посвящена приложению рациональных тригонометрических сумм, скрученных символом Лежандра к выводу нового доказательства квадратичного закона взаимности. Кроме того в этой главе мы выводим новою форму известного неравенства Вейля-Корпута, полезную для оценок тригонометрических сумм от функций, принадлежащих классу Корпута - Виноградова, к которым относятся и суммы, рассматриваемые в данной диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем диссертации 79 страниц. Список литературы включает 29 названий.

1. G. Szego, Beitrage zur Theorie der Laguerreschen Polynome, 1., Zahlentheoretische Anwendungen, Math. Z., 25 (1926), 388-404

2. И. M. Виноградов, О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918 т. 16, №1-2, с. 10-38

3. И. М. Виноградов, Докторская диссертация,

4. И. М. Виноградов, О верхней границе G(n) в проблеме Варинга, Изв. АН СССР, ОМЕН, 1934, №10, с. 1455-1469. Рез. на англ. яз.

5. И. М. Виноградов, Число целых точек в шаре, Тр. мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 17-38

6. И. М. Виноградов, Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1949, т. 13, №2, с. 97-110

7. И. М. Виноградов, Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1955, т. 19, №1, с. 3-10

8. И. М. Виноградов, К вопросу о числе целых точек в заданной области, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1960, т. 24, №6, с. 777-786

9. И. М. Виноградов, К вопросу о числе целых точек в шаре, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, №5, с. 957-968

10. И. М. Виноградов, Особые варианты метода тригонометрических сумм, Москва, Наука, 1976.

11. Chen Jing-Run, Improvement on the asymptotic formulas for the number of lattice points in a region of the three dimentions, Sci. Sinica, 12, 1963, 751-764

12. F. Chamizo and H. Iwaniec. On the Sphere Problem, Rev. Mat. Iberoamericana Vol.11, 2,1995, 417-429.

13. D. R. Heath-Brown Lattice points in the sphere, Number theory in progress. Pr. Int. conference. Zacopane, Poland, 30.06-09.07, 1997. Vol.2: Elem. And anal. numb. Theory. Berlin: de Gruyter. 883-892 (1999)

14. Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.H.Чубариков, Лекции по математическому анализу, Москва, Дрофа, 2004г.

15. D. R. Heath-Brown A mean value estimate for real character sums, Acta Arith. 72(1995), 235-275

16. И. M. Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Москва, Наука, 1971

17. S.W.Graham, G.Kolesnik Van der Corput's method of exponential sums, Cambridge, Cambridge university press, 1991.

18. И. M. Виноградов, Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел, Док. АН СССР, 1941 т.ЗО №8

19. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана, М.: Ин.лит.,1953

20. А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел, Москва, Наука,

21. К. Айерленд ,М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел, Москва, Мир, 1987

22. И. М. Виноградов, Основы теории чисел, Москва, Наука, 1965

23. J1. Г. Архипова, О квадратичном законе взаимности, Чебышевский сб., т. I , вып. 1(17), с. 155-163,Тула, 2006 г.

24. JI. Г. Архипова, О числе целых точек в сфере, Вестник МГУ, вып. 5, с. 59-61, 2008г.

25. JL Г. Архипова, Об оценках экспоненциальных сумм, связанных с распределением целых точек в трехмерных областях, Изд. Р&С Dynamics. Тез. док. XVI межд. конф. сер. МКО, Пущино, 19-24 янв. 2009г., Вып. 16, Ч. 1, с. 14.

26. Л. Г. Архипова, Новые продвижения в проблеме шара, Тез. док. VII межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Тула 11-15 мая 2010г. Тула, изд-во ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2010, с. 30-31.

27. Л. Г. Архипова, Оценка тригонометрической суммы, скрученной символом Лежандра, Тез. док. межд. конф. Компл. ан. и его прилож. в дифф. ур-ях и т.ч., Белгород, 17-21 окт., 2011, с. 14-15.

28. JI. Г. Архипова, Новый вариант неравенства Вейля Корпута в методе тригонометрических сумм, Тез. док. X межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Волгоград 10-16 сен. 2012г. Изд. ВГСПУ Перемена, с. 5.

29. JI. Г. Архипова, Новые оценки сферических сумм И.М. Виноградова, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №4(48), 2012, с. 19-28.1983