Распределение представлений целых чисел квадратичными формами в поле рациональных чисел и в мнимых квадратичных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

. САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УД{ 511.466 + 517.863

ФСМЕНКО Олег Мсгаславович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ' ФОРМАМИ В ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И В МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ' диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 19 9 3

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Б.М.ЕРЕДОШН,

доктор физико-математических наук А.И.ВИНОГРАДОВ, ■

доктор физико-математических наук, профессор Н.Л.ГОРДЕЕВ

Ведущая организация: ^статут прикладной математики (Хабаровское отделение) ДВО РАН

Защита состоится " 13 " (Жр^рА 1993 г. в 11 часов на ааседании специализированного совета Д 063.57.29 по заявите диссертаций на соискание ученой степени доктора физш:о-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СГПУ.

Заддита будет провериться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.реки Фонтанки, 27, зал 311 (помещение ПШИ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская

наб., 7/9. •

\

Автореферат разослан " "ССН'рГрА 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук у

С.М.Ананьевский'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ"

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Проблема представления целых чисел индивидуальной целочисленной квадратичной формой в полях алгебраических чисел на протяжении длительного времени является одной из центральных задач в теории чисел.

Исторически исследования начались с рационального • случая, на котором ш особо остановимся, ограничившись при этом положительно определенная! формами. При рассмотрении проблемы по степени сложности выделяются вопросы: качественные результаты (доказательство представимости) и количественные результаты (количественные характеристики для числа решений и изучение распределения представлений или, что то же, изучение распределения'целых точек на соответствующих поверхностях). Первые результаты в данной тематика касались представления целых чисел суммой квадратов целик чисел и были доказаны еще в 19 веке. Наиболее знаменитые формулы были получены Гауссом (для количества представлений целого числа суммой трех квадратов) и Якоби (для количества представлений целого числа суммой четырех квадратов). В дальнейшем уже в нашем веке создание кругового метода Харди-Литтлвуда и продвижение этого метода Клостер-мгшом и прогресс в теории модулярных форм (Гекке) привели к исследованию проблемы представления чисел общими положительно определенны}® квадратичными формами от I переменных, где I 4. Значительные результаты в случае тернарных квадратичных форм получили акад. Ю.В.Линник и его школа (А.Б.Малышев, В.Г.Тетерин) и Е.П.Голубева, а в последние годы •• Иванец.

Прогресс в теории модулярных форм как целого веса (Делинь), так и полуцелого веса (Шимура, Вальдшпуржер, Иванец), наблюдаемый'в последние десятилетия, делает актуальной задачу создания метода, использующего ети достижения для получения новых результатов в проблеме распределения целых точек на I -мерных эллипсоидах, где i 3.

Методы и (многие) упомянутые выше результаты могут быть (и уже) перенесены на случай вполне положительно определенных квадратичных форм над вполне вещественны/ полем алгебраических чисел.

Весьма труден и значительно менее изучен случай представления целых чисел не вполне вещественного поля алгебраических чисел К квадратичными формами над кольцом целых чисел этого поля. Эта проблематика относится к т.н. "неопределенному случаю". Зигель доказал, что если К -не вполне вещественное поле алгебраических чисел, то все вполне положительные числа в Т2 (= кольцо, порожденное квадратами всех целых чисел из К ) являются суммами пяти квадратов целых чисел этого поля. Известную гипотезу о том, что четырех квадратов в данной задаче достаточно, в случае мнимого квадратичного поля доказали Кон и Полл, а в общем случае (с помощью созданной Айхлером и Кнезером в 50- 60-е годы теории спинорных родов)5 - Корнер.

Вце Зигель показал, что в общем случае трех квадратов не хватает для представимости. Недавно теория спинорных родов Лйхлера-Кнезера была с успехом применена Эстесом и Сия для исследования вопроса о представимости целых чисел мнимого квадратичного поля суммой трех квадратов целых чи-сзл втого поля.

Зигель получил свои результаты уах следствие некоторых асимптотических формул, связанных с распределением представлений целих чисел суммами квадратов ( Ь) • В наиболее интересных случаях четырех и особенно трех квадратов никаких фактов, связанных с количественными характеристиками распределения представлений, не известно, за исключением представления 1 суммой четырех квадратов в мнимом квадратичном поле (йрикер, Эльстродт-. Грюневальд- Мен-нике); в этом частном случае найденное авторами утверждение сводится к счету числа точек решетки в трехмерном ги~ перболдаеском шаре и тем самым к известной теореме Лакса -Филлипса и Б.М.Левитана.

-5т

Поэтому является актуальной задача получения количественных характеристик распределения представлений целых тесел не вполне вещественного поля алгебраических чисел квадратичными формами от I >> 3 переменных, пробегавших целке числа отого поля; в частности, актуальна задача получения аналогов теорем Гаусса и Якоби в случае мнимого квадратичного поля.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в получении новых результатов о распределении целых точек на эллипсоидах с числом переменных Ь ^ 3 ив получении количественных характеристик распределения представлений целых чисел мнимых квадратичных полей ершами трех и четырех квадратов целых чисел этих полей.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются современные методы теории модулярных форм целого и полуцелого веса и аналитической теории чисел,

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе имеются следуйте новые научные результаты:

1. Получены количественные характеристики распределения ^представлений целых чисел мнимых квадратичных полей суммами -трех и четырех квадратов целых чисел этих полей.

2. Получены новые результаты в проблеме распределения целых точек на эллипсоидах с числом переменных 3 .

3. Введены и исследованы тригонометрические суммы нового типа.

4. Получены новые результаты о распределении корней квадратичного сравнения.

5. Получены оценки коэффициентов Фурье параболических форм, равномерные по параметрам формы (т.э. весу, ступени).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных ферм как над рациональным полем, так и над полями алгебраических чисел (не вполне вещественными и вполне вещественными),

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты представлялись на Всесоюзной конференции по те.рии трансцендентных чиссл и ее приложениям (Москва, 1983), на Вс-союзной конференции по теории чи-

сел и её приложениям (Тбилиси, 1985), а также докладывались на семинарах ЛОМИ АН СССР (ПОМИ РАН) по алгебраическим методам и теории чисел.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l] - [9], список которых приведен в конце автореферата. •

ОШМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 96 названий и составляет 170 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖА!DIE РАБОТЫ

Глава I. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ МНИМОГО КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ СУММАМИ КВАДРАТОВ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ЭТОГО ПОЛЯ

Первая глава посвящена нахождению аналогов теорем Гаусса и Якоби для мнимых квадратичных полей. Пусть К = &(>/-Ъ) ,

D>0 бесквадратно, - мнимое квадратичное поле; СО = 4~ D ,

если -Б = 2, 3 (mocU), 0) =-i(i+J-D\eom -D s I(mocUl;

J - кольцо всех целых чисел в " К ; Tz - кольцо, по-роуденное квадратами- всех целых чисел из К • Рассмотрим

целое число et -4- ßcO fe J2 (cC Ж p € iZ ) . Обозначим

через A^C^DjCC+ßCO) количество представлений з виде

• с(+рсо = £_ (34 +1^(0)2, 1=1

¿И- ^

Естественно изучать величину <

А^^еЦ-ри»), Хч-оо .

Их

Б § 1.1 рассматривается случай П = 4 и частный случай (X - 3 (при ограничении р - 0).'

ТЕОРЕМА I.I. Пусть -D = 2, 3(mod. 4) (это ограничение вводится лишь для простоты) ;ct+pcúé-J^, т.е. р =2р0 четное; (of,p) = í . Имеет место асимптотическая фор!ула Сх —>оо) . (

21 A4(f,D,c(+pco) = 8яР7Н(р)хг+ 0(х"2 + £),

где

- сингулярный ряд, Н(р) >0 .

При oí+pü) = 1 результат был получен другим методом ( Фрикер, Эльстроде - Грюневальд-Меннине; сы. раздел "Апробация работы").

Далее в § 1,1 рассматриваются суммы

Z A3C*,D,a), fí*

ct & Ж • Метод получения асимптотики для такой суммы демонстрируется на примерах cí = \ , с(=-1 , причем для простоты берем случай D э 2 (mod 4) (теоремы 1.2 и 1.3).

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть ?(4DC*) = (-§-) = (^г) ,

L(s,X) - L-ряд Дирихле с характером . ^ . Имеем

Основные результаты первой главы излагаются в 5 1.2 и посвящены исследовании асимптотического поведения суыш

J_ A3G,D,c(+pco)

при р jí 0 ; для этого требуются новш и весьма словные средства.

Набран следующий порядок изложения: сначала докааывает-ся теорема 1.4, d которой рассматривается частный случай

D = 2, CX = 0, p « 2, а затем изучается 061ЦИЙ случай a+-pСО (для простоты мы ограничиваемся полями с D= 2 (mod. 4)) (теорема 1.5).

ТЕОР0ЛА. 1.5. (I) Пусть D = 4 D04- 2 > 0 - бесквадратное число; р=2р0 ,.где р0 нечетно; (ct,2f50)=1 ;

ciz 4- Dp2 Ф □ • Тогда имеем

I АЛА«^) = сЦЦ»

f^X-

где C^.0 - некоторая константа; S = ^ = 0,292... ;

L(S) - дзета-функция, ассоциированная с новой формой

У60 п 2jtie

CUn)C| , £J = e , a(1)= 1 , веса 1 и некоторого вещественного характера £ относительно некоторой кон-

грушц-подгрутаы Г0(Л/) , причем при р \ DpC^H-Dp1) ( р простое )

acp) = ZL . ("р") '

о < f ^ Р ,

(Df+ <*) fr - S О (modp) известно, что L (О > 0 .

(ГО При дополнительных условиях <Х = I (mod 4), (p,2D+ci) = 1 имеем с>0 ..

Заметим, что можно значительно ослабить ограничения на оС + ра) , гарантирующие С>0 (последаее влечет, естественно, факт представимости &+ рсО тремя квадратами). Можно сочетать теорему 1.5 с уже известными результатами о представимости, поскольку из факта представимости следует С> О .

Пусть f (и.) - неприводимый примитивный полином второй степени:

^(U) = Ц2 +• 2TU -р ,

где Х£ Ж , р Ь N, причем гг+ Р ф □ , р О . Нижа к означает нечетное число. Основное средство при доказательстве теорем 1.4 и 1.5 - исследование суш нового яша

£Мз0(т0с1к),

где Ь - целое число, ) - символ Кронекера.

При изучении главного члена задачи мк опираемся на тог факт, что при (с=р (простое число), где р )( 2р (%24-р) , величина

= Т_ ф

Ну5но(ш о<1 к), 00/4 к

есть р-ыи коэффициент Фурье некоторой (о(АО-новой форин веса \ и некоторого вещественного характера, где А/ зависит от коэффициентов многочлена •{'(и.)

При исследовании остаточного члена, задачи необходам нетривиально оценить суммы

• К*(1г,х), кфО .

Отметим аналогию рассматриваемой наш задачи о трех' квадратах (в теоремах 1.4 и 1.5) с классической задачей о представлении целых рациональных чисел териарншч квадратич- ■ ними формами над Ж . Суъмы Н*(1г,Х) , к.^0 , соответ-ству1ат суммам С.алье в классической задаче. Имеется сходство и в структуре главных членов указанных за^ач.

Кроме указанного приложения сумм Р. (К,Х), б § 1.3 дается их приложение к доказательству нозкх результатов о распределении корней квадратичного сравнения ( предложения 1.2 и 1.3).' Приведем первое из этих предложений. Пусть к по-прежнему означает нечетное число.

Пусть р+(к) - число корней £ сравнении

0 <■ £ £ к > с условием (~) == -+ 1 ; р_(Ю - аналогичная ве-

А X.

личина,, но с заыоной услоЕИя (-г-) =+1 на (-г-) = — 1 •

Пусть * к

Т+ (х) = 22 Т_(х) = 21 р-(Ю . -

к^х Ых

предложит 1.2.

Т+(х) = Т_(х) = -|Гсх)-ех^+е,

где 181 < 0, е>0 ; Т*(Х) = Т+IX) + Т_ (X) . причем,

как легко видеть, X Т*(х) X .

Кроме того, в § 1.3 показано, как пользуясь спектральной теорией автоморфных функций, можно несколько уточнить остаточные члены з теоремах 1.2 и 1,3 (предложение 1.1).

Глава 2. АСШСТОГИЧЭСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА ЭЛЛИПСОИДАХ

Вторая глава посвящена получении новых результатов в проблеме распределения целых точек на целочисленных эллипсоидах с числом переменных ¿^ 3 , а такхе саежнта вопросам. § 2.1 посвящен аллипсоидам о четный числом переыеаякх.

Пусть 0СХ()...,Х^) - положительно определенная целочис -ленная примитивная квадратичная форма ох ¿ = 2^4 (I -четное число) переменных, Л/ - ступ а! ь 0. , Т(Ц) -число решений уравнения (в целых числах) СК^,...,^) =■ М .

ТЕОРБШ 2.?.. Пусть - число решений уравнения

0(Х„...,ЗС.) = П таких, что (Х„... ,Хг)/7а Я,

где - произвольная выпуклая область иаОСх„...,Х^) = 1

о кусочно-гладкой границей. Тогда при четком 4 и (п,Л')—1 имеем

г{п>Я)=./ч{Я)г{п-) + ОСп ),

где = > М-С^?) = с 5 с1Б - мера области Й ,

Ъь ' , г—

нормированная условием Ь / ~ 1 , гдо с - эллипсоид

. а(х„...,х1)=1 , Ос )«Оа2 ( ), е>0 -

произвольное постоянное число. ' '

Для областей специального вида результат «окно улучшить. Рассмотри лишь следующий простерший случай:

ОСх^,...,^-)-Х?+...+ } - паровой пояс.

В теореме 2,3 показано, что 5(1) можно в этом случае довести до

Указанное теоремы значительно уточняют более рышне результаты на эту тему (Псмкеренке, А.В.Малышев).

При доказательстве теорем 2.2 и 2.3 залнейауа роль играет леша 2.2, в которой строится и исследуется сглаженная'характеристическая функция области на I- мерной единичной сфер«, в частности, изучается её разложение в ряд по сферическим функциям. Лекма справедлива для I -мерной единичной сферы с числом переменных 3 и используется также в § 2.2 при изучении эллипсоидов с нечетным числом перемзнных. Но менее важную роль играет в случае четного -6^. 4 следующая теорема, в которой оценка собственных чисел операторов Гекке в пространства БГ^,(.ЛЛ, X ) » 2 - целое число, принадлежащая Делинв, переносится на случай коэффициентов Фурье произвольной параболической формы из Г^ (Л/), ?() ; едссь Б^С Г^С^), - пространство голоморфных. Г0(А/)-параболических форм целого веса кс метрикой Петерсона

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть ¿(н) G Sk(QW), , ГД® ^ 2 " цешоо число, ?( - характер (mod Л/) J

/V ZillriZ

Тогда для К с условием (n;/V) = 1 имеем

К

Л(п) | « сЫ п™ ÜElík",,/2

(Г( k-i))1/z

где <^-константа абсолютная, d(a) = Т 1 ■

т, i „ л ¿\n,¿>o

В 5 2.2 рассматривается 8лляп сойди с нечетным числом

переменных 3 .

ТЕСРЕМА 2.4. Сохраним все обозначения теоремы 2.2. Тогда при нечетном 3 и (n,,/V)= 1 имеем

-г-Ш + е,

г(п,9) = jt(QHlrO + ОЫ ),

^^-шгМ- 0( 1-О^с )• t>0-

произвольное постоянное число.

Теорема 2.4 дает в случае I = 3 очень небольшое понижение: <54 3/ = 7/785.

В теореме 2.5 при Q.ÍXvZ2lX3) = X¿-Ь Х^ и Q -шаровом поясе рассматривается некоторая подпоследовательность П , для которой пониаение нашого сильнее.

Теорема 2.4 при нечетных 5 значительно уточняет более ранние результаты Поымеренке и А.В.Малылеза. Случай £ = 3 долго не поддавался полному решению. Важные результаты в нем были получаны акед.В.В.Линником и зго школой и Е.П.Голубевой. Прогресс для Z = 3 был обеспечен замечательной работой Иванца, который сумел улучшить старую оценку Салье коэффициента Фурье fía) нормализованной -пара-

болической формы полуцелого веса к= 1/2.+"t 5/2

1/4 . - + е

к ,А/,е

доведя её до •

к 2. А I 2 ? /

м- (ЦпНо^гп, •

Геометрическая часть доказательства теоремы 2.4 ( по сравнению с четным случаем) не меняется, но вместо теоремы 2.1 используется равномерный (по к.) вариант оценки Иванца (ле:л.!а 2.3). Отметим, что условия на П , гарантирувшке в приведенных вше теоремах оценку снизу

¿-1-е г(п) Р п 2

£,й

(при П §>0 ) , хорошо известны,

Б § 2.3 доказаны результаты, связанные с приведенными выше теоремами. Мы видели, как используется теорема 2.1 в аспекте по весу в проблемах равномерного распределения. Мы показываем, что и в аспекте по ступени она дает весьма точные результаты. Рассмотрим простейшие кватернарнне формы:

Р, = зс? + рх22+ рх32 + рхчг, + х~+ рх3*+ рх%,

'"з = Х< + Х2 + Х3 + Ра4 ' Р " пР°стое ЧКОЛО.

Пусть 0, (ц) - количество представлений И. формой Р-^ (I = 1,2,3). В теореме 2.6 доказаны асимптотические формулы для Э-^П.) , П—I* оо , с весьма точной оценкой остатка по а (это - заслуга известного результата Айхлера- Делиня)и по р. Следствием такой оценки является почти предельная граница действия указанных асимптотических формул, а именно, имеет место

СЛВДСТВИЕ. Пусть I = 1,2,3; ¿: - дискриминант Ь- . Тогда при- П <Х-Ь '(1=1, 2), И а-^ (I » 3) имеет

место оценка снизу

П

д^П) $

£ УЩ 1оу {од и-

если (П.,2р) = 1 .

Далее обсуждается вопрос о точности теоремы 2,1. Пример параболической формк, входящей в тета-ряд Рг) > где

(— 2 2 2 2

г,_ = х1 •+ Х2+ рх^+рх^ , показывает, что теорема 2.1

неулучшаема по ступени ( неулучшаемость оценки по номеру п. есть хорошо известный факт). Тем самым опровергается ( в аспекте по ступени) известная гипотеза Иволца. По-видимому, гипотеза Иванца справедлива для новых фор! (от от последний факт обсуждается в работе).

Конец § 2.3 посвящен некоторым более частным результатам равномерного распределения {предложения 2,1 и 2.2). Мы такте о иллюстрируем интересное явление - в задачах равномерного распределения иногда выгоднее иметь оценку коэффициентов Фурье параболических форм менее сильную по номеру, но более сильную по весу. В лемме 2.4 ш получаем вариант оценки Салье (см. выше"), весьма сильный по весу К . С помощью этой оценки мы в предложении 2.3 доводим величину из теоремы 2.4 Д0

если ЬЪ- б нечетное.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фоменко О.М. О некоторых диофантовых системах.// Зап.

научн. семин. ЛОМИ. - 1982. - 116. - С.155-160.

2. Фоменко О.М. Суммы квадратов в мнимых квадратичных по-

лях // Тез. докладов Бсесоюзн, конф. "Теория трансцендентных чисел и ей приложения." - М.: МГУ. -

СЛ51-152.

3. Фоменко О.М. Суши квадратов в шжмых квадратичных полях.

I, П // Зал. научи, секта». ЛОМИ. - 1983. - 125. -

С.184-197 ; 1990. - IG5. - C.I60-I67.

. * '

4. Фоменко О.М. Ультрасфэричестше многочлена и равномерная

распределенность целлх точек на шогомеркшс эллипсоидах //' Тез. докладов Есесоюак.' кокф. "Тесрия чисел и её приложения." - Тбилиси: Тбил.ГУ. - 1985. - . С.281-283.

5. Яомекко О.М. О равномерном распределении целых- течек на

многомерных эллипсоидах // Зел. научн. ссвм, ЛОМИ. - 1986. - 154. - С.144-153.

6. Фоменко О.М. Оценки скалярных.произведений Петереона па-

раболических форы и арифметические приложения // Зап. научн. семин. JOT. - 1988. •• 168. - C.I5S-I79. . 7. Зоменко О.М. О распределении норией квадратичного сравнения // Зап. научн. семик. JKM. - I9P0. - 183. -С.155-164.

8. Фоменко O.K. Суммы трех квадратов в мнишх квадратичных

полях // Алгебра и анализ. - 1991. - 3, Р 5. -' С.190-212,

9. Фоменко О.М. Применения формулы Пет ере она для билинейной

формы от ковффициентов Фурье параболических форм // Зал. научн. семин. ПШИ. - 1993. - 204. - С.143-166'.