Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой

Аппанов, Александр Юрьевич

Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Аппанов, Александр Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой»

Автореферат диссертации на тему "Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой"

На правах рукописи

Аппанов Александр Юрьевич

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ДИФФУЗИОННОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПУТЕМ УЧЕТА РАССЕЯНИЯ КОНЕЧНОЙ КРАТНОСТИ В ЗАДАЧЕ ОБ ОТРАЖЕНИИ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ

Специальность 01.04.21 - Лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Обухов Юрий Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор,

член-корреспондент РАН Никитов Сергей Аполлонович;

кандидат физико-математических наук

Пожар Витольд Эдуардович.

Ведущая организация: Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, г. Москва.

Защита состоится « tl » декабря 2005 года в « / i» часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.01 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

Автореферат разослан «.{$_ » ноября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Скорик В.А.

MQb't z í5&¿03

z 3 5-33

Актуальность работы

Методы зондирования сред путем отражения узкого лазерного (монохроматического оптического) пучка позволяют получать информацию о состоянии объекта в реальном времени. Широкое распространение оптические методы получили в медицине для диагностики и терапии [1-3]. Основное преимущество этих методов заключается в их неинвазивности, так как применение низкоинтенсивного лазерного излучения в ближнем ИК-диапазоне не оказывает вредного воздействия на биологическую среду. Более того, помимо структурной информации есть возможность получать функциональную информацию о биологическом объекте, например, анализ гемодинамики и метаболических процессов (мозговое кровообращение, объем крови, оксигенация мышечной ткани), локализация неоднородностей (раковых опухлей, разрушения зубной эмали), диагностика заболеваний и т.д. [1-4].

Одной из актуальных задач оптической диагностики является разработка неинвазивных методов, позволяющих in vivo определять относительную концентрацию молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина в эритроцитах крови - степень оксигенации крови В основе данных методов лежит рассмотрение распространения оптического излучения в исследуемой среде на основе теории переноса излучения. Уравнение переноса излучения является сложным для анализа распространения света в рассеивающих средах, поэтому при обработке измерений в оптическом изображении биологических сред для каждой данной физической модели среды и поставленной проблемы рассматривается его адекватное приближенное решение. Так, например, в пульсовой оксиметрии, где речь идет о прохождении падающего пучка света через рассеивающую среду, для анализа результатов измерений используется закон Ламберта-Бера. Этот закон описывает экспоненциальное ослабление падающего пучка света вследствие поглощения и рассеяния излучения. Однако в случае определения церебральной или тканевой оксигенации рассматривается диффузное отражение падающего пучка от рассеивающей среды. В этом случае применепие одного закона Ламберта-Бера, конечно, не достаточно, хотя некоторыми авторами этот закон в модифицированном виде используется для определения церебральной оксигенации с использованием ряда подгоночных параметров [5,6]. Более адекватным подходом к обработке результатов измерений церебральной и тканевой оксигенации является диффузионное приближение, основанное на решении диффузионного уравнения для распространения света в среде с учетом граничных условий [7].

Тем не менее, диффузионное приближение не всегда обеспечивает достаточную точность и в ряде случаев нуждается в корректировке. Такая потребность возникает в задаче об

отражении узкого коллимированного пучка при достаточно малых расстояниях между точками падения пучка и наблюдения отраженной интенсивности вдоль поверхности среды.

Для решения прямых и обратных задач переноса излучения для сред с произвольной конфигурацией и заданными граничными условиями широко применяется метод Монте-Карло в качестве численного решения уравнения переноса излучения. Разработанные алгоритмы позволяют учесть многослойную структуру среды, конечный размер падающего пучка, отражепие света от границ раздела слоев. Но при универсальности и высокой точности метод Монте-Карло носит статистический характер и требует больших затрат машинного времени, что ограничивает его применимость в практических реализациях медицинских методик оптической диагностики.

В этой связи особую актуальность приобретают экономные гибридные модели, сочетающие точность метода Монте-Карло и быстродействие диффузионных теорий или аппроксимирующих аналитических выражений [1]. Существующие гибридные подходы улучшают точность диффузионного приближения, но основаны в значительной степени на наглядных (эвристических) представлениях [8,9]. Поэтому является актуальным дать последовательное обоснование гибридным подходам с выяснением границ их применимости на основе теории переноса излучения. В диссертационной работе такое обоснование дается гибридному подходу, предложенному в работе [8] на основе эвристических представлений. Следует отметить, что и гибридные методы могут оказаться довольно сложными для обработки результатов измерений, например, при определении тканевой оксигенации, поэтому представляется актуальным пайти способы аналитически простой перенормировки обычного диффузионного приближения для решения задачи об отражении узкого пучка от рассеивающей среды, что опять-таки выполняется в диссертационной работе.

Подводя итог вышеизложенному, представляется актуальным выполнение следующих

работ:

1) выбор адекватной физической модели для обработки результатов измерений определения тканевой оксигенации крови методом отражения лазерного пучка;

2) выбор гибридной модели описания распространения оптического излучения в среде и ее обоснование с точки зрения теории переноса для обработки результатов измерений тканевой оксигенации;

3) построение упрощенной перенормировки диффузионной асимптотики для практической реализации тканевого оксиметра.

Цель работы

Разработка метода усовершенствования диффузионного приближения в теории переноса излучения для аналитического описания диффузного отражения лазерного пучка от случайно-неоднородной среды в применении к медицинским методикам оптической диагностики биологических тканей.

Задачи исследования

• Провести анализ условий применимости традиционного диффузионного приближения для моделирования распространения оптического излучения в полубесконечных случайно-неоднородных средах путем сравнения диффузионной асимптотики с результатом численного моделирования методом Монте-Карло в зависимости от оптических параметров среды.

• Разработать и реализовать аналитический гибридный метод в теории переноса излучения, повышающий точность диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности и пространственного распределения эффективного источника диффузного излучения, позволяющий получить равномерную асимптотику коэффициента отражения как на малых, так и на больших расстояниях от точки падения пучка.

• Исследовать эффективность и получить оценку точности аналитического гибридного метода в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния. Получить аппроксимацию аналитического гибридного метода путем упрощенной перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред на заданных расстояниях, в частности для практического использования в задаче определения степени оксигенация крови.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

• С использованием свойства взаимности функции Грина получена итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

• Предложен метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионным приближением при вычислении функции Грина.

• Исследована зависимость комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.

• Построена упрощенная перенормировка диффузионной асимптотики для некоторых моделей биологических тканей на заданном интервале расстояний применительно к задаче определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение.

• Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропией фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90° до 180°.

Практическая ценность работы:

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов для определения параметров среды, в частности, в оптике биотканей предложенный метод позволяет неинвазивным способом по рассеянному назад излучению определять степень оксигенации крови человека.

Насыщение крови кислородом является важным клиническим параметром, определяющим состояние пациента, что особенно важно в процессе проведения хирургических операций, поскольку позволяет указать на необходимость введения больному физиологических растворов или повышения содержания кислорода во вдыхаемом воздухе.

Существуют два способа определения содержания кислорода в крови неинвазивным путем - оптическим методом на просвет и оптическим методом на отражение. Недостатком первого метода является то, что устройства на основе данного метода позволяют провести диагностику оксигенации лишь артериальной крови, так как обработка сигналов производится по пульсовой волне, и только лишь в тех местах организма человека, которые можно просветить оптическим излучением красного и ближнего инфракрасного диапазонов спектра. В то же время для широкого ряда медицинских приложений необходимо знать и общую оксигенацию венозной и артериальной крови, например, для слежения за процессом потребления кислорода тканью. Также данный метод не позволяет диагаостировать оксигенацию крови в отсутствие пульсовой волны, например, у людей находящихся в реанимации.

Известны также устройства для определения оксигенации крови оптическим методом на отражение, включающие облучение ткани оптическим излучением двух длин волн красного и инфракраспого диапазонов и регистрацию диффузно рассеянного излучения на фиксированных расстояниях от точки ввода зондирующего излучения. Но наряду с определенными

преимуществами этот метод имеет существенный недостаток, который заключается в том, что он не позволяет исключить нормировку регистрируемого сигнала на интенсивность падающего излучения, что приводит к дополнительным ошибкам при обработке результатов в определении оксигенации крови.

Предложенный в работе способ позволяет создать прибор для измерения общей оксигенации венозной и артериальной крови, усредненной по некоторой области ткани (рассматривая ткань как многокомпонентную рассеивающую среду), на основе метода отражения оптического излучения и измерения относительных значений интенсивности этого излучения.

Внедрение результатов работы: научные подходы и научные результаты диссертации могут быть использованы в ведущих российских научных организациях, занимающихся теоретическими и экспериментальными работами в области оптики и биомедицинской физики, как ИРЭ РАН, ИОФАН, Международный учебно-научный лазерный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, Международный институт оптики и биофотоники при С ГУ им. Н.Г. Чернышевского.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Полученная с использованием свойства взаимности функции Грина итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

2. Метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионной асимптотикой функции Грина. Оценка точности комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.

3. Связь немонотонного характера коэффициента отражения на малых расстояниях с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 180° до 90°.

4. Аппроксимация комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса путем перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред, в частности для задачи определения степени оксигенации крови.

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

- Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений» РОАИ-7,

2004, г. Санкт-Петербург;

- XLVII конференции МФТИ, 2004, г. Долгопрудный;

- II Евразийском конгрессе по Медицинской физике и инженерии «Медицинская физика -2005», МГУ, г. Москва;

- Международном конгрессе SPIE International Congress on Optics and Optoelectronics (SPIE COO-2005), г. Варшава, Республика Польша;

- IX Международной школе молодых ученых и студентов «Saratov Fall Meeting - SFM'05»,

2005, г. Саратов;

- XII Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-12), 2005, г. Москва.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 печатных работах, приведенных в списке литературы.

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения, содержит рисунки и таблицы.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи диссертации, показаны научная новизна и практическая значимость работы. Изложены защищаемые положения, описана структура диссертации.

Первая глава является обзорно-аналитической, в которой проведен анализ основных методов описания распространения излучения в случайно-неоднородных средах в рамках теории перепоса излучения. Первоначально рассмотрены основные механизмы взаимодействия ближнего ИК излучения с веществом - поглощение и рассеяние, характеризуемые коэффициентами поглощения ца и рассеяния Эти коэффициенты имеют размерность обратной длины [см"'] и смысл вероятности поглощения и рассеяпия излучения на единице длины. Полный коэффициент поглощения многокомпонентной среды можно определить как сумму индивидуальных коэффициентов поглощения отдельных компонентов, взятых в соответствующих пропорциях согласно относительным концентрациям этих компонентов.

Рассеяние характеризуется помимо коэффициента рассеяния также и средним косинусом угла рассеяния g — фактором анизотропии. Случайно-неоднородные среды в рамках теории переноса излучения описываются основными оптическими параметрами: коэффициентом поглощения (1а [см*1], коэффициентом рассеяния ^ [см"1], фактором анизотропии £ и относительным показателем преломления среды-наполнителя и.

В главе рассмотрена возможность описания биологических тканей как случайно-неоднородных многокомпонентных сред. При этом поглощение в биологических тканях определяется доминирующими поглощающими компонентами, известными как хромофоры, каждый из которых имеет свой уникальный спектр поглощения. В работе рассмотрены основные поглощающие центры в биологических тканях, приведены их спектры оптического поглощения. В оптике биотканей кожу человека обычно заменяют модельной плоской многослойной рассеивающей и поглощающей свет средой [1-3], каждый слой которой имеет свои оптические параметры. Но порой ограничиваются использованием только ограниченного или полуограниченного слоя многокомпонентной однородной среды, состоящей из смеси различных равномерно распределенных хромофоров [4]. Рассеяние и поглощение света на определенной длине волны в биоткани в этом случае зависит от типов и относительных концентраций содержащихся в ткани хромофоров.

На основе анализа приближенных методов решения стационарного уравнения теории переноса излучения, используемых для моделирования распространения излучения в биологических тканях, выявлены их основные недостатки и поставлена проблема получения аналитическим способом равномерной аппроксимации коэффициента диффузного отражения лазерного пучка от однородной полуограниченной среды с анизотропной фазовой функцией элементарного акта рассеяния как при малых, так и больших расстояниях между источником и приемником применительно к биологическим тканям.

Вторая глава посвящена постановке задачи об отражении лазерного пучка полуограниченным или ограниченным слоем случайно-неоднородной среды и проблеме получения равномерной асимптотики для коэффициента рассеяния как на малых, так и на больших расстояниях для поставленной задачи. Этого можно добиться, например, с помощью гибридных моделей, улучшающих точность диффузионного приближения за счет учета конечных кратностей рассеяния на малых расстояниях от источника и путем построения пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии. Но существующие и рассмотренные в обзорной главе гибридные модели основаны на наглядных эвристических представлениях. В данной главе дается вывод итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах с

использованием свойства взаимности функции Грипа в теории переноса излучения. Полученное уравнение лежит в основе аналитического гибридного метода усовершенствования диффузионного приближения. Следует подчеркнуть, что свойство взаимности функции Грина заменяет наглядные эвристические представления в существующих гибридных моделях [8,9].

Решение уравнения переноса излучения с произвольными источниками и граничными

условиями удобно представить в виде суперпозиции решений «фундаментальных задач», то

есть с помощью функций Грина, и это возможно в силу линейности уравнения переноса.

Основное соотношение взаимности для функции Грина <3(г,имеет наглядный

физический смысл и записывается как

С(?,?;?',?')=0(г',-5';г,-?). (1)

Оно означает, ч то лучевая интенсивность в точке г в направлении ? , обусловленная точечным источником, расположенным в точке г' и излучающим в направлении .?', совпадает с лучевой интенсивностью в точке г' в направлении - , обусловленной точечным источником в точке г и в направлении - 5 (рис. 1).

Стационарное уравнение переноса излучения в рассеивающей среде для лучевой интенсивности l(r,s) в точке г и в направлении единичного вектора ? имеет вид:

s V/(F,s) = ~M,l{r.?) + — ¡p(s,s')l{r,s')dCi' f Q(r,s), (2)

где коэффициент экстинкции /л, - fiz + д, равен сумме коэффициентов рассеяния /л, и поглощения д,; через dO' обозначен элемент телесного угла в направлении единичного вектора ?' при интегрировании по всему телесному углу

4л-; Q{r,s) - функция источника

излучения; фазовая функция p(s,s') нормируется на альбедо а согласно f-p{s, 's') = — = а.

Мл- ц,

Решение этого уравнения в терминах функции Грина G(r,.?;?,.?') и заданного источника излучения Q(r,s) может быть записано как

/(г, ï)= jdr' jdCï'G(r, s;r', s')Q(r,s) (3)

или в символической операторной форме I-GQ. Функция Грина G(r,?;?,?') удовлетворяет интегральному уравнению переноса излучения, которое имеет вид

G(r,s;r',7)= G0(r,s;?',?)+ Jdr' \d£ï" \Xi"G0{r,sJ",s")î(r,sm)

A* 4* ч (4)

xG(?*, s ";?',?').

Здесь G0 обозначает функцию Грина прямого ослабленного излучения источника и в подробной записи представляется выражением

G0(r,?;?',?')=—1 e-»Ws2{s-sff,)s>(s-ï), (5)

V ~г I

где s?r обозначает единичный вектор направления из точки г' в точку г . Дифференциальное сечение рассеяния Х(?,?') элементарного объема среды в уравнении (4) связано с фазовой

функцией равенством —p(s,s').

4л

Если поменять местами точку наблюдения г и точку г', где расположен источник, и одновременно изменить знаки единичных векторов ? и s' (т.е. перейти к рассмотрению, когда излучение и прием осуществляются в противоположных направлениях, рис.1), тогда функция Грина останется без изменений согласно (1). Далее, учитывая инвариантность фазовой функции относительно обращения времени p(s,s')= /з(— s', — s), получаем интегральное уравнение (4) во взаимной форме:

G(r,s; r',f) = G0(?,s; r'j)+ jdr' f dQ' fdiï"G(r,s; r',s')z(?,sw)

A* 4* (6)

xG0(r",sm;r',r).

Перепишем уравнение (6) в символической операторной форме как G = G0 + G 2 G0. Первая итерация этого уравнения дает G = G„ + G0 S G0 + G 2 G0 S G0. Путем ее сверки с заданным источником излучения Q легко получить аналитическое выражение = G0 Q + G0 S G0 Q для вкладов нулевой и первой кратностей рассеяния в лучевую интенсивность излучения, а также выражение для вклада двухкратного рассеяния в эффективный источник ='LG0'LG0Q, который характеризует излучение из объема

рассеивающей среды. После многократных итераций уравнспия (6) с его последующей сверткой с заданным источником излучения £), лучевая интенсивность излучения /(?,?) оказывается равной сумме двух слагаемых

/ = /("■ (7)

Из них первое слагаемое ^ учитывает вклады конечных кратностей рассеяния = О0(£С0)" (), где п = 0...ЛГ, и представляется суммой

/(о ")=/(о)+^/(") (8)

«-1

Второе слагаемое в уравнении (7) описывает излучение эффективного источника О^"*^ = , в формирование которого вносит вклад конечная кратность рассеяния (Д^ + 1). В подробной записи вклад /'"' кратностей рассеяния л в лучевую интенсивность представляется многократным интегралом по прямолинейным отрезкам путей рассеяния

о о и (9)

После нахождения такого многократного интеграла по путям рассеяния плотность эффективного источника в подробной записи принимает вид

е<"+"(г, 5) = £(5,?')<£?'/'"> (г,Г) (Ю)

Таким образом, полученная итерационная форма (7) интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неодпородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния (9) в лучевую интенсивность и описывающая излучение эффективного источника (10), составляет основу аналитического гибридного метода для вычисления диффузного отражения падающего узкого лазерного пучка от полуограниченного или ограниченного слоя рассеивающей среды. При этом заданный источник излучения ?) сосредоточен в начале координат на поверхности среды и задается выражением ?) = ()0 {?)32 (? - ?0 ), где ?0 - единичный вектор в направлении падении пучка.

Глава 3 посвящена практической реализации аналитического гибридного метода в задаче об отражении узкого лазерного пучка случайно-неоднородной средой. В ней рассматривается случай однородной полубесконечной рассеивающей среды, на поверхность которой нормально падает бесконечно тонкий оптический пучок. Для расчетов используется цилиндрическая система координат, начало которой совпадает с точкой падения пучка, а ось 2 направлена вниз вдоль линии падения пучка в направлении оси г. Длина радиус-вектора

(радиальная координата) и азимутальный угол обозначены через г и в соответственно. Измеряемой величиной является коэффициент диффузного отражения 7?(г), где г - точка наблюдения на поверхности, |г| - расстояние между точками источника и приемника излучения. В рамках данной работы коэффициент диффузного отражения R(r) определяется как вероятность выхода излучения из слоя среды на единицу площади поверхности, безотносительно к тому, находится ли источник излучения внутри или снаружи среды. Угловая апертура приемного устройства составляет 180°, иначе говоря, основной задачей является вычисление функции распределения диффузно отраженного выходящего излучения вдоль

поверхности среды, определяемой равенством R(r) = J7(?,?X?")c/Q , где Я - внешняя нормаль

(м)>о

к поверхности среды в точке г и в направлении свободного пространства, dCl - элемент телесного угла. Эта функция распределения вычисляется с помощью итерационной формы (7) интегрального уравнения переноса когерентного оптического излучения. Вычисление первого слагаемого в уравнении (7), учитывающего вклады конечных кратностей рассеяния, и эффективного источника во втором слагаемом сводится к расчету многократных интегралов (9) по прямолинейным отрезкам путей рассеяния. Для этого удобно использовать метод Монте-Карло, основанный на работах [8,9].

Процесс распространения оптического излучения в среде можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с элементами вещества. В результате столкновения может произойти поглощение или рассеяние, которое меняет направление движения фотонов [11]. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистической оценки искомых функционалов. Для оптимизации моделирования и сокращения времени счета используются весовые модификации метода Монте-Карло. Для моделирования бесконечно узкого падающего на среду оптического пучка рассматривается фотон с начальным весом W, влетающий в среду вдоль оси 7. Если показатель преломления исследуемой среды больше показателя преломления окружающей среды, то на границе раздела сред начальный вес фотона уменьшается вследствие френелевского отражения, иначе вес фотона остается неизменным. Длина свободного пробега между двумя актами взаимодействия моделируется в зависимости от средней длины свободного пробега по статистическому закону:

« = -1п(#)/0/.+//,), (11)

где /; - равномерно распределенная на интервале (0 < £ < l) случайная величина В конце каждого акта взаимодействия из-за поглощения вес фотона уменьшается на величину (1-я), где а - альбедо, а остальная часть рассеивается. Угол рассеивания определяется статистически

согласно аппроксимированной фазовой функции Хеньи-Гринштейна [1,8] и зависит от фактора анизотропии %. Затем генерируется новая длина свободного пробега с помощью (11) и процесс повторяется. Если в процессе блуждания фотон пересекает границу поверхности, то он вносит

вклад в диффузное отражение Л„ Л (г)= "'(Я,?)^, определяемое первым слагаемым

уравнения (7) аналитического гибридного метода; если же количество актов рассеяния достигает значения N, то фотон с координатами (г, г) и весом у/ вносит вклад в

формирование эффективного источника г). В силу стохастического характера метода

Монте-Карло требуется большое количество испытаний NрН для достижения достоверных оценок искомых функционалов.

Выходящее из полубесконечной среды излучение в точке с координатами (г,в,г = 0), формируемое изотропным источником, расположенным внутри среды в точке с координатами (г', в', г'), может быть получено в рамках диффузионной теории и определяется выражением:

Gdff{r-r,e-e,z)--z [feff+jJ-J,-+ j—-

(12)

Для удовлетворения граничных условий отсутствия входящего в среду потока энергии рассеянного излучения в диффузионной теории предполагают равным нулю средней диффузной интенсивности либо на физической границе раздела сред, либо на воображаемой границе вне среды на расстоянии zh = 2 AD от физической границы раздела сред. Для этого используют мнимый источник, который получается реального источника путем его зеркального отражения относительно плоскости z = -z4. Коэффициент А связан с внутренним отражением: в случае если относительный показатель преломления исследуемой среды nrel = 1, то коэффициент А = 1; в противном случае его можно оценить по формуле [8]:

л=Ь+г№-',). (13)

где величина г, = -1,.440п^ +0,710п^ +0,668 + 0,0636пы. Константа £> = 1/{з[иа при умножении на скорость света в вакууме дает коэффициент диффузии излучения в рассеивающей среде. В выражении (12) ц^ = {3//„ + -g)]}"2 обозначает эффективный коэффициент ослабления излучения в диффузионном приближении. Расстояние dl между точкой наблюдения с координатами (г,в, г = о) и точечным источником, расположенным в

точке с координатами (г',в',г') находится по формуле <f, = [г2 + г'2 - 2 г г'cos (в-в')+ г'2]''2, а расстояние d2 между точкой наблюдения с координатами ir,0,z = 0) и мнимым точечным

источником в точке {r',01, -z'-2zb) вне среды определяется формулой

d1 = [гг + г'1 - 2 г г' cos (в - 0')+(z' + 2 z„f\1/2.

Для вычисления вклада Rj,ff(r) пространственно распределенного эффективного источника Qp+%,r), описываемого вторым слагаемым уравнения (7), в коэффициент диффузного отражения /?(г), точную функцию Грина G во втором члене правой части уравнения (7) заменяем на ее диффузионную асимптотику (12). Тогда вклад пространственно распределенного эффективного источника представляется выражением:

Rw W = ]TiQiN+4r', (г - г\-в\ г'У dB' dr'dz'. (14)

00 о

В выражении (14) диффузное излучение эффективного источника не зависит от азимутального угла в вследствие цилиндрической симметрии, поэтому точку наблюдения удобно выбрать в точке 0 = 0. Таким образом, полный коэффициент отражения Я(г) определяется как сумма вкладов конечных кратностей рассеяния R0 N(r) и излучения эффективного источника

R(r) = R0..Ar)+R*ff(r)- (1.5)

В главе 3 также приведены результаты расчета зависимости коэффициента отражения (15) от расстояния г между точками источника и приемника вдоль поверхности среды для различных модельных сред. В чаетности, рассматривалась жировая эмульсия в виде 2%-го водного раствора интралипида - суспензии липидов, близких по оптическим свойствам к коже человека, со следующими оптическими параметрами: коэффициент рассеяния д, = 54 см'1, фактор анизотропии g = 0,1, коэффициент поглощения /ха = 0,02 слГ1 [10], для удобства относительный показатель преломления во всех расчетах положили nrd = 1. На рис. 2 приведены зависимости коэффициента отражения от расстояния между точками Источника и приемника вдоль поверхности среды для интралипида-2%, полученные с помощью аналитического гибридного метода (7)-(15) для N = 10 и численным моделированием методом Монте-Карло. При вычислениях среда разбивалась на элементарные ячейки с размерами dz = 0,003 см, dr - 0,02 см. В обоих случаях общее количество фотонов (число испытаний), используемых в расчетах при численном моделировании метом Монте-Карло, составило Nрк =107. Как видно из рис.2 кривые коэффициента отражения, полученные аналитическим гибридным методом и численным моделированием методом Монте-Карло, практически совпадают. Это подтверждается графиком относительной погрешности аналитического

гибридного метода по сравнению со стандартным моделированием методом Монте-Карло, приведенным на рис. 3.

Рисунок 2. Зависимость коэффициента отражения от Рисунок 3. Относительная погрешность расстояния меэвду точками источника и приемника, аналитического гибридного метода (N=10) по полученного с помощью аналитического гибридного сравнению с методом Моите-Карло для метода (N=¡0) и численным моделированием методом иитралипида-2% (общее число фотонов 107). Монте-Карло для иятралипнда-2% (общее число фотонов 107).

Относительная погрешнос1ь вычислялась по формуле [Ямс(г)~ КнуЬы{г))/Кмс{г)> где Кмс{г) - коэффициент диффузного отражения, полученный с помощью численного моделирования методом Монте-Карло, В-нуЪплЬ') ~ коэффициент отражения, рассчитанный с помощью аналитического гибридного метода (7)-(15).

Как видно из рис.2, аналитический гибридный метод позволяет получить равномерную асимптотику коэффициента отражения как на малых, так и на больших расстояниях между точками источника и приемника, в рассмотренном случае для 2%-го водного раствора интралипида на заданном интервале расстояний от 0 до 2 см. Это удалось осуществить за счет учета конечных кратностей рассеяния и построения пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии. На рис. 4 показывается, что эффективный источник для рассмотренного случая модельной среды действительно является пространственно распределенным. Кроме того, пространственное распределение источника на рис. 4 характеризует глубины проникновения излучения в исследуемую среду. На рис. 5 демонстрируется роль первого слагаемого (8) аналитического гибридного метода (7) в формирование коэффициента отражения. На этом рисунке приведены кривые для вклада конечных кратностей рассеяния Я0 м (/■) в коэффициент диффузного отражения, диффузного

отражения (г) эффективного источника г), в формировании которого вносит

вклад кратность рассеяния (Л^ +1), а также полный коэффициент отражения И (г) = Я0 м (г) для модельной среды в виде суспензии эритроцитов (значение

гематокрита II = 0,41), содержащих только неоксигенированные молекулы гемоглобина.

50 100 160 200 260 300 360

Рисунок 4.

Линии

одинаковой

объемной Рисунок 5. Зависимость коэффициента отражения плотности [ 1/см1 ] пространственно распределенного (кривая 1) от расстояния между точками 1„,,ь , источника и приемника в длинах пробега для

эффективного источника ^ '(г,г), построенного с суспензии эритроцитов (значение гематокрита помощью аналитического 1ибрилного метода (М = 10) Н-0,41), полученная с помощью аналитического для среды в виде 2-% водного раствора иитралипида. гибридного метода (N=600). Кривая 2 - вклад Размеры ячеек при вычислениях составили конечных кратностей рассеяния /?„ л (г) в ¿2 = 0,003 см, ¿г = 0,02 см полный коэффициент отражения; кривая 3 -

вклад пространственно распределенного источника б(ж+1'(г,/-) в коэффициент отражения. На длине волны Л = 960 нм эта среда имеет следующие оптические параметры: коэффициент

рассеяния = 668 см, фактор анизотропии g = 0,992 и коэффициент поглощения ца = 1,68 см'1 [12]. При моделировании методом Монте-Карло общее количество запущенных в среду фотонов составило Nрк =107, в том числе и для аналитического гибридного метода. Расстояния между источником и приемником излучения вдоль поверхности откладывались в длинах пробега, рассматривался интервал расстояний от 0 см до 0,5 см. Как видно из рис.5, в этом случае конечные кратности рассеяния до N = 600, учитываемые первым слагаемым, преобладают в основном на малых расстояниях от источника излучения (падающего п^чка). При этом малые расстояния имеют порядок транспортной длины свободного пробега 1 / ^, где !Л1Г = (1 - + ца. Для данной среды в виде суспензии эритроцитов 1///,, ~ 125///, . Следует отметить, что в случае N - 600 относительная погрешность аналитического гибридного метода по сравнению с численным моделированием методом Монте-Карло находится в пределах ±6% для' указанных оптических параметров среды в виде суспензии эритроцитов и параметров

вычислений на заданном интервале расстояний Кривая относительной погрешности приведена в главе 3 диссертационной работы.

Критическое значение кратности рассеяния начиная с которого происходит

асимптотическое сближение кривых коэффициента отражения, вычисленных с помощью аналитического гибридного метода и численным моделированием методом Монте-Карло,

оценивается по формуле N0

1-Я

. Данная оценка получения из соображений, что на одной

транспортной длине свободного пробега наступает изотропизация излучения. Возвращаясь к рассмотренным случаям модельных сред, видим, что истинное значение критической кратности рассеяние в несколько раз больше оценочного. Это показывает, что изотропизация излучения наступает на нескольких транспортных длинах.

В четвертой главе рассматриваются возможности практического использования аналитического гибридного метода в медицинских методиках диагностики биологических тканей. Для этих целей желательно использовать упрощенную аппроксимацию аналитического гибридного метода. Поэтому исследован вопрос о возможности простого моделирования эффекта распределенного источника, позволяющего улучшить точность диффузионного приближения.

.е-."0"-?

г. [СМ]

1 &

Рисунок 7. Относительная погрешность (%) перенормированной диффузионной асимптотики по

Рисунок 6. Перенормировка диффузионной асимптотики для интралипида-2%. Кривая 1 - диффузионная асимптотика ' (г,г); сравнению с методом Монте-Карло:

кривая 2 - коэффициент отражения Яис (г), полученный с помощью метода Монте-Карло; кривая 3 - перенормированная диффузионная асимптотика p■Gd^Q^r,{г;r). л

[Ямс (г)~ Р' (г, г^/Яис (г) для среды в виде

интралипида-2%.

На рис. 6 приводится сравнение кривых для коэффициента отражения, вычисленного с помощью традиционного диффузионного приближения кривая 1) и численным

моделированием методом Монте-Карло (кривая 2) с числом испытаний Nph =107 среды в виде 2%-го водного раствора интралипида с приведенными ранее оптическими параметрами. Как видно из рис. 6, начиная с расстояний 8 транспортных длин пробега кривые традиционного диффузионного приближения и метода Монте-Карло находятся на равноудаленном расстоянии друг от друга. Техника построения распределенного эффективного источника, рассмотренная в гретьей главе диссертационной работы, позволила усовершенствовать диффузионное приближение на больших расстояниях и добиться относительной погрешности полученных результатов в пределах ±6% для водного раствора интралипида 2% на заданном интервале расстояний. Результат распределенного эффективного источника можно пытаться получить, подобрав некоторый коэффициент перенормировки р кривой диффузионного приближения. Для интралипида-2% коэффициент перенормировки составил р = 1,7 (рис. 6, кривая 3). Введение такого коэффициента перенормировки р позволило получить аппроксимацию аналитического гибридного метода на определенном участке расстояний (рис. 6, кривая 3). Относительная погрешность перенормированной диффузионной асимптотики для рассмотренного случая находится в пределах ±6% (см. рис. 7). В главе 4 диссертации также показана возможность аппроксимации аналитического гибридного метода путем перенормировки традиционного диффузионного приближения для суспензии эритроцитов с приведенными выше оптическими параметрами и значением гематокрита на определенном интервале расстояний. Практическое значение существования данной аппроксимации состоит в том, что она позволяет использовать диффузионную асимптотику на этих расстояниях для измерениях относительных значений коэффициента отражения, что фактически было заложено в оптический способ определения общей оксигенации венозной и артериальной крови [7].

В главе 4 диссертации также рассматривается зависимость коэффициента отражения от малых расстояний между точками наблюдения и падения лазерного пучка. На малых расстояниях, где преобладают малые кратности рассеяния, уже нецелесообразно использовать функцию Хеньи-Гринттейна для аппроксимации фазовой функции В этом случае следует выбирать фазовую функцию с более точным учетом ее возможной анизотропии для больших углов рассеяния в пределах от 180° до 90°, так как эти большие углы рассеяния могут быть ответственны с физической точки зрения за немонотонный характер поведения коэффициента отражения в зависимости от малых расстояний между точками наблюдения и падения пучка [13]. Как отмечалось ранее, малые расстояния имеют порядок транспортной длины свободного пробега 1/д,, где цг ~ (l - g)pi,. Кроме того, необходимо учитывать конечную ширину диаграммы направленности как падающего пучка, так и приемного

устройства. Рассматривается фазовая функция элементарного акта рассеяния согласно работе [13], которая представляется выражением:

р(со80)=|-^(1+со80Г +(l-a)Acos^j {16)

где весовой коэффициент ore[0,l] обеспечивает нормировку фазовой функции. Параметр М = 0,1,2,3.... Весовой коэффициент а и параметр М определяют, в частности, положение локального минимума фазовой функции для больших углов рассеяния в пределах от 90° до 180°.

На рис. 8 демонстрируется зависимость коэффициента отражения от малых расстояний, отложенных по оси абсцисс в длинах пробега. Данная зависимость получена при значениях М = 21 и а = 0.9867 в формуле (16) с использованием только первого слагаемого уравнения (7) с числом итераций N = 60.

Рисунок 8. Зависимость коэффициента отражения от Рисунок 9.Вид фазовой функции (16) при М = 21 и малых расстояний от точки падения пучка в длинах а = 0.9867. Вставка: иллюстрация связи пробега. 1: Я0 ^ (г)> 2: данные из работы [13]. локального немонотонного характера поведения

коэффициента отражения на малых расстояниях с особенностями анизотропии фазовой функции вблизи углов рассеяния в = 90' в приближении однократного рассеяния. Полуширина источника 00=21,7.

На этом же рисунке приведены результаты вычисления стандартным методом МК для указанной фазовой функции, полученные в работе [13] и иллюстрирующие немонотонный характер поведения коэффициента отражения на малых расстояниях (/// ~ 3) Как видно из рис. 8, первое слагаемое аналитического гибридного метода описывает коэффициент отражения на малых расстояниях, где преобладают конечные кратности рассеяния и возможен немонотонный характер поведения коэффициента отражения.

Для физической интерпретации немонотонного поведения коэффициента отражения на рис. 9 приведен вид использованной фазовой функции (16) с резко выраженным минимумом для

углов рассеяния вблизи в = 90°. Показано, что локальный немонотонный характер поведения коэффициента отражения в окрестности расстояний ц,г~ 3 непосредственно связан именно с указанным минимумом фазовой функции (16), что подтверждается оценкой в приближении однократного рассеяния на вставке к рис.9. На этом рисунке 0а = 21,7° - полуширина диаграммы направленности падающего пучка в нашем расчете и в работе [13], /0 = 1/- длина свободного пробега излучения до первого акта рассеяния, р - расстояние между точкой падения пучка и точкой выхода однократно рассеянного излучения.

Заключение

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. В задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой возможен аналитический подход к проблеме повышения точности традиционного диффузионного приближения путем учета вклада конечных кратностей рассеяния как в интенсивность отраженного от среды излучения, так и в формирование эффективного источника.

2. На основе свойства взаимности функции Грина получена точная итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

3. Разработан гибридный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионным асимптотикой функции Грина.

4. В качестве параметра оценки точности гибридного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций можно выбрать критическую кратность рассеяния, начиная с которой происходит равномерное асимптотическое сближение кривых коэффициента отражения аналитического гибридного метода и метода Монте-Карло, на заданном интервале расстояний между точками падения пучка и приема отраженного излучения вдоль поверхности. Установлена зависимость критической кратности рассеяния (итерационного параметра оценки точности) от альбедо и вытянутости индикатрисы элементарного акта рассеяния.

использовать диффузионное приближение в тканевой оксиметрии, служащей для определения степени оксигенции крови оптическим методом на отражение при измерении относительных значений отраженного излучения на разных расстояниях от точки падения пучка вдоль поверхности среды.

6. Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропией фазовой функции элементарного акта рассеяния па большие углы, в интервале от 90° до 180°.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. «Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в оптическом изображении биологических сред» // Труды международной конференции РОАИ-7, Санкт-Петербург, 2004, том. 2, стр. 614-616.

2. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. «Усовершенствованное в малых кратностях рассеяния диффузионное приближение к переносу излучения в рассеивающих средах» // Труды XLVII научной конференции МФТИ. Долгопрудный, 2004, стр. 37.

3. Appanov A.Yu, Barabanenkov Yu.N. "Hybrid method of finite-order scattering and diffusion approximation in optical imaging of biological media" // Pattern Recognition and Image Analysis, 2005, Vol.15, No.2, pp. 503-505.

4. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. «Комбинированный метод учета конечных кратностей рассеяния и диффузионного приближения в оптическом изображении биологических сред» // Сборник материалов П Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2005». Москва, 2005, стр 177.

5. Appanov A.Yu., Barabanenkov Yu.N. "Hybrid method of finite multiplicity scattering and diffusion approximation in optical imaging of biological tissues" in Medical Imaging, edited by Andrzej Kowalczyk, Adolf F. Fercher, Valéry V. Tuchin // Proceedings of SPIE, 2005, Vol. 5959 (SPIE, Bellingham, WA), pp. 93-98.

6. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н., Обухов Ю.В. «Итерационный способ последовательного перехода от метода Монте-Карло к диффузионному приближению в оптическом изображении биологических сред» // Доклады XII Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-12), Москва, 2005.

7. Алланов А.Ю., Барабаненков Ю.Н., Обухов Ю.В. «Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в задаче об отражении узкого светового пучка от биологической среды». // Радиотехника, 2005,10, стр. 91-96.

8. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. «К проблеме перенормировки диффузионной асимптотики в задаче об отражении узкого пучка оптического излучения от биологической среды» // Квантовая электроника, 2005, №12.

Список актируемой литературы

[1] Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния // Успехи физических наук, Т. 167, №5, етр. 517-539,1997.

[2] Приезжев А.В., Тучин В.В., Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине. - М. Наука, 1989.

[3] Тучин В.В. Лазерная и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. -Саратов: Изд-во саратовского университета, 1998.

[4] D.T. Delpy, М. Соре. Quantification in Tissue Near-Infrared Spectroscopy // Phil. Trans. R. Soc. Lend. В 352,649-659, 1997.

[5] Режим доступа: http://peili.hut.fi/tfy99269/

[6] Режим доступа: http://www.somanetics.com/invos_principles.htm

[7] Годик Э.Э., Ахремичев Б.Б., Барабаненков Ю.Н., Борисов Н.А., Каргашин А.Ю., Трофимов Д.Е. // Патентное изобретение РФ № 2040912. - Научно-инженерный центр биомедицинской радиоэлектроники ИРЭ РАН, 1995.

[8] Wang L., Jacques S. Hybrid model of Monte Carlo simulation and diffusion theory for light reflectance by tabid media. // J. Opt. Soc. Am. А/ Vol.10, No. 8,1993, pp. 1746-1752.

[9] Flock S.T., Wilson B.C., Patterson M.S. Hybrid Monte Carlo - diffusion theory modeling of light distribution in tissue in Laser Interaction with Tissue, M.W. Berns, ed., Proceedings SPIE, 908, pp.20-28,1988.

[10] Попов А.П., Приезжев A.B., Мюллюля P. // Влияние концентрации глюкозы в модельной светорассеивающей суспензии на характер распространения в ней сверхтонких импульсов. Квантовая электроника, 2005,35(11), стр. 1075-1078.

[11] Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Дарбинян Р.А., Картин Б.А., Елепов Б.С. // Методы Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск, Наука, 1976.

[12] Cheong W-F etc. // A review of the optical properties of biological tissues, IEEE Journal of Quantum Electronics, 1990, v.26, no. 12, pp. 2166-2185.

[13] Bevilacqua F. and Depeursinge C. // Monte-Carlo study of diffuse reflectance at source-detector separations close to one transport mean free path. JOSA A 1999, v. 16 pp. 2935-2945.

»25147

РНБ Русский фонд АППАНОВ АЛЕКСА1 2006 4

28533

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ДИФФУЗИОННОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПУТЕМ УЧЕТА РАССЕЯНИЯ КОНЕЧНОЙ КРАТНОСТИ В ЗАДАЧЕ ОБ ОТРАЖЕНИИ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА СЛУЧАЙНО-

НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 10.lt.200S Формат 60x84 1/16, Усл. пет. 1,20 Тираж 100 эю. Заказ № 453

Московский физико-технический институт (государственный университет) Печать на аппаратуре Copy Printer 1280 141700, Московская область, Долгопрудный, Институтский пер., 9

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Аппанов, Александр Юрьевич

Введение.

ГЛАВА 1 Обзор литературы.

1.1 Распространение оптического излучения в биологических тканях.

1.1.1 Поглощение света.

1.1.2 Рассеяние света.

1.1.3 Модели распространения оптического излучения в рассеивающих средах.

1.2 Методы определения степени оксигенации крови человека.

1.3 Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2 Итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Свойство взаимности функции Грина.

2.3 Вывод итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения.

2.4 Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3 Комбинированный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса.

3.1 Метод Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния (численная оценка многократных интегралов).

3.2 Диффузионная асимптотика функции Грина.

3.3 Результаты вычислений коэффициента отражения комбинированным методом решения итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения.

3.4 Оценка точности комбинированного метода решения и критическая кратность рассеяния.

3.5 Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4 Перенормированная диффузионная асимптотика в практических задачах биомедицинской диагностики.

4.1 Упрощенное моделирование пространственно распределенного эффективного источника.

4.2 Возможность использования перенормированной диффузионной асимптотики для определения степени оксигенации крови.

4.3 Немонотонный характер поведения коэффициента отражения на малых расстояниях.

4.4 Выводы к четвертой главе.

Введение диссертация по физике, на тему "Итерационный метод усовершенствования диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности в задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой"

Методы зондирования сред путем диффузного отражения узкого лазерного пучка позволяют получать информацию о состоянии объекта в реальном времени. Широкое распространение оптические методы получили в медицине для диагностики и терапии [1-12]. Основное преимущество этих методов заключается в их неинвазивности, так как применение низкоинтенсивного лазерного излучения в ближнем ИК диапазоне не оказывает вредного воздействия на биологическую среду. Более того, помимо структурной информации есть возможность получать функциональную информацию о биологическом объекте, например, анализ гемодинамики и метаболических процессов (мозговое кровообращение, объем крови, оксигенация мышечной ткани), локализация неоднородностей (раковых опухолей, разрушения зубной эмали), диагностика заболеваний и т.д. [4-12].

Одной из актуальных задач оптической диагностики является разработка неинвазивных методов, позволяющих in vivo определять относительную концентрацию молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина в эритроцитах крови - степень оксигенации крови. В основе данных методов лежит рассмотрение распространения оптического излучения в исследуемой среде на основе теории переноса излучения. Уравнение переноса излучения является сложным для анализа распространения света в рассеивающих средах, поэтому при обработке результатов измерений в оптическом изображении биологических сред для каждой данной физической модели среды и поставленной проблемы рассматривается его адекватное приближенное решение. Так, например, в пульсовой оксиметрии, где речь идет о прохождении падающего пучка света через рассеивающую среду, для анализа результатов измерений используется закон Ламберта-Бера. Этот закон описывает экспоненциальное ослабление падающего пучка света вследствие поглощения и рассеяния излучения. Однако в случае определения церебральной или тканевой оксигенации рассматривается диффузное отражение падающего пучка от рассеивающей среды. В этом случае применение одного закона Ламберта-Бера, конечно, недостаточно, хотя некоторыми авторами этот закон в модифицированном виде используется для определения церебральной оксигенации с использованием ряда подгоночных параметров [9,10]. Более адекватным подходом к обработке результатов измерений церебральной и тканевой оксигенации является диффузионное приближение, основанное на решении диффузионного уравнения для распространения света в среде с учетом граничных условий [ПД2].

Тем не менее, диффузионное приближение не всегда обеспечивает достаточную точность и в ряде случаев нуждается в корректировке [13-20]. Такая потребность возникает в задаче об отражении узкого коллимированного пучка при достаточно малых расстояниях между точками падения пучка и наблюдения обратно рассеянной интенсивности вдоль поверхности среды.

Для решения прямых и обратных задач переноса излучения для сред с произвольной конфигурацией и заданными граничными условиями широко применяется метод Монте-Карло [21-24] в качестве численного решения уравнения переноса излучения. Разработанные алгоритмы позволяют учесть многослойную структуру среды, конечный размер падающего пучка, отражение света от границ раздела слоев. Но при универсальности и высокой точности метод Монте-Карло носит статистический характер и требует больших затрат машинного времени, что ограничивает его применимость в практических реализациях медицинских методик оптической диагностики.

В этой связи особую актуальность приобретают экономные гибридные модели, сочетающие точность метода Монте-Карло и быстродействие диффузионных теорий или аппроксимирующих аналитических выражений [4,25]. Существующие гибридные подходы улучшают точность диффузионного приближения, но основаны в значительной степени на наглядных эвристических представлениях [25,26]. Поэтому является актуальным дать последовательное обоснование гибридным подходам с выяснением границ их применимости на основе теории переноса излучения. В диссертационной работе такое обоснование дается гибридному подходу, предложенному в работе [25] на основе эвристических представлений. Следует отметить, что и гибридные методы могут оказаться довольно сложными для обработки результатов измерений, например, при определении степени оксигенации крови в мышечной ткани [11], поэтому представляется актуальным найти способы аналитически простой перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для решения задачи о диффузном отражении узкого лазерного пучка рассеивающей средой, что опять-таки выполняется в диссертационной работе.

Подводя итог вышеизложенному, представляется актуальным выполнение следующих работ:

1) выбор адекватной физической модели для обработки результатов измерений в задаче определения степени оксигенации крови в мышечной ткани методом диффузного отражения лазерного пучка;

2) выбор гибридной модели описания распространения оптического излучения в среде и ее обоснование с точки зрения стационарной теории переноса для обработки результатов измерений степени оксигенации крови;

3) построение упрощенной перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для практической реализации тканевого оксиметра.

Цель работы

Задачи исследования

• Провести анализ условий применимости традиционного диффузионного приближения для моделирования распространения оптического излучения в полуограниченных случайно-неоднородных средах путем сравнения диффузионной асимптотики с результатом численного моделирования методом Монте-Карло в зависимости от оптических параметров среды.

• Разработать и реализовать аналитический гибридный метод в теории переноса излучения, повышающий точность диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности и пространственного распределения эффективного источника диффузного излучения, позволяющий получить равномерную асимптотику коэффициента диффузного отражения как на малых, так и на больших расстояниях от точки падения пучка.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

• Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90° до 180°.

Практическая ценность работы:

Существуют два способа определения содержания кислорода в крови неинвазивным путем - оптическим методом на просвет и оптическим методом на отражение. Недостатком первого метода является то, что устройства на основе данного метода позволяют провести диагностику оксигенации лишь артериальной крови, так как обработка сигналов производится по пульсовой волне, и только лишь в тех местах организма человека, которые можно просветить оптическим излучением красного и ближнего инфракрасного диапазонов спектра. В то же время для широкого ряда медицинских приложений необходимо знать и общую оксигенацию венозной и артериальной крови, например, для слежения за процессом потребления кислорода тканью. Также данный метод не позволяет диагностировать оксигенацию крови в отсутствие пульсовой волны, например, у людей находящихся в реанимации.

Известны также устройства для определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение, включающие облучение ткани оптическим излучением двух длин волн красного и инфракрасного диапазонов и регистрацию обратно рассеянного излучения на фиксированных расстояниях от точки ввода зондирующего излучения. Но наряду с определенными преимуществами этот метод имеет существенный недостаток, который заключается в том, что он не позволяет исключить нормировку регистрируемого сигнала на интенсивность падающего излучения, что приводит к дополнительным ошибкам при обработке результатов в определении степени оксигенации крови.

Научные положения, выносимые на защиту:

3. Связь немонотонного характера поведения коэффициента отражения на малых расстояниях с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 180° до 90°.

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

- Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений» РОАИ-7, 2004, г. Санкт-Петербург;

- XLVII конференции МФТИ, 2004, г. Долгопрудный;

- II Евразийском конгрессе по Медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2005», 2005, МГУ, г. Москва;

- Международном конгрессе SPIE International Congress on Optics and Optoelectronics (SPIE C00-2005), 2005, г. Варшава, Республика Польша;

- IX Международной школе молодых ученых и студентов «Saratov Fall Meeting - SFM'05», 2005, г. Саратов;

- XII Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-12), 2005, г. Москва.

Публикации

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы (107 наименований) и приложения. Работа изложена на 114 страницах, содержит 40 рисунков и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

2. На основе свойства взаимности функции Грина получена точная г итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.

3. Разработан гибридный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионной асимптотикой функции Грина.

5. Рассмотрена и установлена возможность упрощенного моделирования пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии с помощью простой перенормировки традиционной диффузионной асимптотики, что позволяет использовать диффузионное приближение в тканевой оксиметрии, служащей для определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение при измерении относительных значений отраженного излучения на разных расстояниях от точки падения пучка вдоль поверхности среды.

6. Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90° до 180°.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Обухову Юрию Владимировичу за научное руководство и внимание к работе. Особое спасибо соавтору публикаций по теме диссертации Барабаненкову Юрию Николаевичу за совместную работу и постоянную поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ t

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Аппанов, Александр Юрьевич, Москва

1. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. - М.:Мир, 1981, в 2-х томах.

2. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. M.-JL, 1951.

3. Иванов А.П. Оптика рассеивающих сред. Минск, 1969.

4. Тучин В.В. «Исследование биотканей методами светорассеяния». // Успехи физических наук, 1997, Т. 167, №5, с.517-539.

5. Приезжев А.В., Тучин В.В., Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине. М.: Наука, 1989.

6. Тучин В.В. Лазерная и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. С: Изд. Сарат. ун-та, 1998.

7. Delpy D.T., Соре М. "Quantification in Tissue Near-Infrared Spectroscopy" // Phil. Trans. R. Soc. Lond. В 352, 1997, p.649-659.

8. Аниконов Д.С., Ковтанюк A.E., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2004.

9. Режим доступа: http://peili.hut.fi/tfy99269/

10. Режим доступа: http://www.somanetics.corn/invosprinciples.htm

11. Годик Э.Э., Ахремичев Б.Б., Барабаненков Ю.Н., Борисов Н.А., Каргашин А.Ю., Трофимов Д.Е. Патентное изобретение РФ № 2040912 // Бюллетень изобретений, №22, 1995, с.1-12.

12. Barabanenkov Yu.N., Kargashin A.Yu. "Diffusion calculation of change of back-scattered light beam intensity from turbid medium owing to the existence of an inhomogeneity". // J. Mod. Opt., Vol.40, No. 11, 1993, pp.22432355.

13. Wang L.V., Jacques S.L. "Source of Error in Calculation of Optical Diffuse Reflectance from Turbid Media Using Diffusion Theory". // Comput. Meth. Progr. Biomed., Vol. 61, 2000, pp. 163-170.

14. Martelli F., Bassani M., Alianelli L., Zangheri L., Zaccanti G. "Accuracy of the Diffusion Equation to Describe Photon Migration through an Infinite Medium: Numerical and Experimental Investigation," Phys. Med. Biol., Vol.45, 2000, pp. 1359-1373.

15. Del Bianko S., Martelli F., Zaccanti G. "Penetration Depth of Light Re-emitted by a Diffusive Medium: Theoretical and Experimental Investigation". // Phys. Med. Biol., Vol.47, 2002, pp.4131-4144.

16. Graaff R., Rinzema K. "Practical Improvements on Photon Diffusion Theory: Application to Isotropic Scattering" Phys. Med. Biol., Vol.46, 2001, pp.3043-3050.

17. D. C. Sahni, E. B. Dahl, and N. G. Sjostrand, "Diffusion Coefficient for Photon Transport in Turbid Media," Phys. Med. Biol., vol. 48, 2003, pp. 39693976.

18. Khan Т., Jiang H. "A New Diffusion Approximation to the Radiative Transfer Equation for Scattering Media with Spatially Varying Refractive Indices". //J. Opt. A: Pure Appl. Opt., Vol.5, 2003, pp.137-141.

19. Farrell T.J. Patterson M.S. "Experimental Verification of the Effect of Refractive Index Mismatch on the Light Fluence in a Turbid Medium". // J. Biomed. Opt., Vol.6, No.4, 2001, pp.468-473.

20. Dickey D.J., Moore R.B., Rayner D.C., Tulip J., "Light Dosimetry Using the P3 Approximation". // Phys. Med. Biol., Vol.46, 2001, pp.2359-2370.

21. Ермаков C.M., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования, М.: Наука, 1982.

22. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло, М.: Наука, 1973.

23. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А., Дарбинян Р.А., Каргин Б.А., Елепов Б.С. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике. Н.: Наука, 1976.

24. Михайлов Г.А., Медведев И.Н. "Оптимизация весовых методов Монте-Карло по вспомогательным переменным". // Сиб. матем. журн., т.45, №2, 2004, с.399-409.

25. Wang L., Jacques S. "Hybrid model of Monte Carlo simulation and diffusion theory for light reflectance by turbid media" // J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 10, No.8, 1993, p. 1746-1752.

26. Flock S.T., Wilson B.C., Patterson M.S. "Hybrid Monte Carlo -diffusion theory modeling of light distribution in tissue" // Proc. SPIE, Vol.908, 1998, pp.20-28.

27. Anderson R.R., Parrish J.A. The Science of Photomedicine. New York: Plenum Press, 1982.

28. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973.

29. Bohren C.F., Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles, New York: Wiley-Interscience, 1983.

30. Jenkins F.A., White H.E. Fundamentals of optics. Fourth edn. New York: McGraw-Hill.

31. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами, М.: Изд. иностр. литер., 1961.

32. Ландсбрег Г.С. Оптика. 5-е изд., М.: Наука, 1976.

33. Соре М. "The development of a near infrared spectroscopy system and its application for non invasive monitoring of cerebral blood and tissue oxygenation in the newborn infant". // PhD, University College London, London, 1991.

34. Hollis V.S. "Non-Invasive Monitoring of Brain Tissue Temperature by Near-Infrared Spectroscopy", PhD, University College London, London, 2002.

35. Marieb E.N. Human anatomy and physiology. Third edn. Redwood City, California: Benjamin/Cummings, 1995.

36. Мари P., Греннер Д., Мейес П., Родуэлл В. Биохимия человека. Т.1, М.: Мир, 1993.

37. Васьковский В.Е. «Липиды» // Соросовский образовательный журнал, №3, 1997, с.32-37.

38. White D.R., Widdowson Е.М., Woodard H.Q., Dickerson J.W. "The composition of body tissues (II). Fetus to young adult". // Br. J. Radiol., Vol.64, No.758, 1991, pp.149-159.

39. Попов А.П., Приезжев A.B., Мюллюля P. "Влияние концентрации глюкозы в модельной светорассеивающей суспензии на характер распространения в ней сверхкоротких лазерных импульсов". // Квантовая электроника, т.35,№11, 2005, с.1075-1078.

40. Troy T.L., Thennadil S.N. "Optical properties of human skin in the near infrared wavelength range of 1000 to 2200 nm". // J Biomed Opt, Vol.6, No.2, 2001, pp. 167-176.

41. Conway J.M., Norris K.H., Bodwell C.E. "A new approach for the estimation of body composition: infrared interactance". // Am. J. Clin. Nutr., Vol.40, No.6, 1984, pp.1123-1130.

42. Matcher S.J., Cope M., Delpy D.T. "In vivo measurements of the wavelength dependence of tissue-scattering coefficients between 760 and 900 nm measured with time-resolved spectroscopy". // Appl. Opt., Vol.36, No.l, 1994, pp.386-396.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория поля. 7-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

44. Heney L.G., Greenstein J.L. "Diffuse radiation of the galaxy". // Astrophys. J., Vol.93, 1941, pp.70-83.

45. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд. иностр. лит., 1953.

46. Городничев Е.Е., Рогозкин Д.Б. «Малоугловое многократное рассеяние света в случайно-неоднородных средах». // ЖЭТФ, Т. 107, вып.1, 1995, с.209-235.

47. Muller G. et al. "Medical Optical Tomography: Functional Imaging and Monitoring". // Proc. SPIE Institute Ser., Vol.11, 1993, pp.5-13.

48. Tuchin V.V., Utz S.R., Yaroslavsky I.V. "Tissue optics, light distribution and spectroscopy". //Opt. Eng., Special Issue on Optics in Russia, Vol.33, No. 10, 1994, pp.3178-3188.

49. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

50. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960.

51. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

52. Farrell T.J., Patterson M.S., Wilson B.C. "A diffusion theory model for spatially resolved, steady-state diffuse reflectance for the noninvasive determination of tissue optical properties in vivo". II Med. Phys., Vol.19, 1992, pp.879-888, 1992

53. Ishimaru A. "Diffusion Light in Turbid Material". // Appl. Opt., Vol.28, No. 12, 1989, pp-2210-2215.

54. Kienle A., Patterson M.S. "Improved solutions of the steady-state and time-resolved diffusion equations for the reflectance from a semi-infinite turbid medium". //J. Opt. Soc. Am. A, Vol.14, No.l, 1997, pp. 246-253.

55. Hielscher A.H., Jacques S.L., Wang L., Tittel F.K. "The influence of boundary conditions on the accuracy of diffusion theory in time-resolvedreflectance spectroscopy of biological tissue". // Phys. Med. Biol., Vol.40, 1995, pp.1957-1975.

56. Contini D., Martelli F., Zaccanti D. "Photon migration through a turbid slab described by a model based on diffusion approximation. I. Theory". // Appl. Opt., Vol.36, No. 19, 1997, pp.4587-4599.

57. Contini D., Martelli F., Zaccanti D. "Photon migration through a turbid slab described by a model based on diffusion approximation. II. Comparison with Monte Carlo results". // Appl. Opt., Vol.36, No.19, 1997, pp.4600-4612.

58. Wyman D., Patterson M., Wilson B. "Similarity Relations for Anisotropic Scattering in Monte Carlo Simulations of Deeply Penetrating Neutral Particles". //J. Сотр. Phys., Vol.81, No.l, 1989, pp. 137-150.

59. Wyman D., Patterson M., Wilson B. "Similarity relations for the interaction parameters in radiation transport". // Appl. Opt., Vol.28, No.24,1989, pp.5243-5249.

60. Arridge S.R., Cope M., Delpy D.T. "The theoretical basis for the determination of optical pathlengths in tissue: temporal and frequency analysis". // Phys. Med. Biol., Vol.37, No.7, 1992, pp. 1531-1560.

61. Schweiger M., Arridge S.R., Hiraoka M., Delpy D.T. "The finte element method for the propagation of light in scattering media: boundary and source conditions". // Med. Phys., Vol.22, No.l 1, 1995, pp. 1779-1792.

62. Wilson B.C., Jacques S.L. "Optical reflectance and transmittance of tissues: principles and applications". // IEEE J. Quant. Elec., Vol.26, No. 12,1990, pp.2186-2199.

63. Cheong W.F., Prahl S.A., Welch A.J. "A review of the Optical Properties of Biological Tissues". // IEEE J. Quant. Elec., Vol.26, No. 12, 1990, pp.2166-2185.

64. Srinivasan R., Kumar D., Singh M. "Optical tissue-equivalent phantoms for medical imaging". // Trends Biomat. Artif. Organs, Vol.15, No.2, 2002, pp.42-47.

65. Groenhuis R.A.J., Ten Bosch J.J., Ferwerda H.A. "Scattering and Absorption of Turbid Materials Determined from Reflection Measurements. 1. Theory". // Appl. Opt, Vol.22, 1983, pp.2456-2462.

66. Groenhuis R.A.J, Ten Bosch J.J, Ferwerda H.A. "Scattering and Absorption of Turbid Materials Determined from Reflection Measurements. 1. Measuring Method and Calibration". // Appl. Opt, Vol.22, 1983, pp.2463-2467.

67. Ishimaru A. "Diffusion of light in turbid media". // Appl. Opt, Vol.28, 1989, pp.2210-2215.

68. Bevilacqua F, Depeursinge C. "Monte Carlo Study of Diffuse Reflectance at Source-Detector Separations Close to One Transport Mean Free Path". // J. Opt. Soc. Am. A, Vol.16, 1999, pp.2935-2945.

69. Prahl S.A, Van Gemert M.J.C, Welch A.J. "Determining the optical properties of turbid media by using adding-doubling method". // Appl. Opt, Vol.32, 1993, pp.559-568.

70. Welch A. "The thermal response of laser irradiated tissue". // IEEE J. Quant. Elec, Vol.26, No. 12, 1984, pp. 1741-1476.

71. Рогаткин Д.А. "Развитие двухпотоковой модели Кубелки-Мунка для решения одномерных задач распространения света в рассеивающих биологических тканях и средах". // Оптика и спектроскопия, Т.87, №1, 1999, с.109-113.

72. Vargas W.E, Niklassan G.A. "Applicability conditions of the Kubelka-Munka theory". // Appl. Opt, Vol.36, No.22, 1997, pp.5580-5585.

73. Тучин В.В. "Основы взаимодействия низкоинтенсивного лазерного излучения с биотканями: дозиметрический и диагностический аспекты". // Известия Академии наук, серия физическая, Т.59, №6, 1995, с.120-144.

74. Рогаткин Д.А. "Разработка спектрофотометрических методов и приборов для решения задач многофункциональной неинвазивной диагностики в медицине". // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Москва, 2002.

75. Pickering J., Bosman S., Posthumus P., Blokland P., Beek J., Van Gemert M. "Changes in the optical properties (at 632.8 nm) of slowly heated myocardium". // Appl. Opt., Vol.32, 1993, pp.367-371.

76. Wilson B.C., Adam G. "A Monte Carlo model for the absorption and flux distribution of light in tissue". // Med. Phys., Vol.10, 1983, pp.824-854.

77. Keijzer M., Jacques S.L., Prahl S.A., Welch A.J. "Light distribution in artery tissue: Monte Carlo simulations for finite-diameter laser beams". // Lasers Surg. Med., Vol.9, 1989, pp.148-154.

78. Словецкий С.Д. "Моделирование распространения оптического излучения в слоистой случайно-неоднородной среде методом Монте-Карло". // Радиотехника, №7, 1994, с.73.

79. Меглинский И. "Моделирование спектров отражения оптического излучения от случайно-неоднородных многослойных сильно рассеивающих и поглощающих свет сред методом Монте-Карло". // Квантовая электроника, т.31, №12, 2001, с. 1101-1107.

80. Ярославский И.В., Тучин В.В. "Распространение света в многослойных рассеивающих средах. Моделирование методом Монте-Карло" // Оптика и спектроскопия, т.72, 1992, с.934-939.

81. Wang L., Jacques S.L., Zheng L. "MCML Monte Carlo modeling of light transport in multi-layered tissues". // Computer Methods and Programs in Biomedicine, Vol.47, 1995, pp.131-177.

82. Mourant J., Fuselier Т., Boyer J., Jonson Т., Bigio I. "Prediction and measurements of scattering and absorption over broad wavelength ranges in tissue phantoms" // Appl. Opt., Vol.36, No.4, 1997, pp.949-956.

83. Marquet F., Bevilacqua F., Depeursinge C. "Light scattering in biological tissues: comparison between experiments of spatial and temporal intensity profiles". //Proc. SPIE, Vol. 2626, 1995, pp. 9-16.

84. Bevilacqua F., Marquet F. et al. "Role of tissue structure in photon migration through breast tissues". // Appl. Opt., Vol.36, No.l, 1997, pp.44-51.

85. Phylips-Invernizzi В., Dupont D., Caze C., "Bibliographical Review for Reflectance of Diffusing Media". // Opt. Eng., Vol. 40, No.6, 2001, pp. 10821092.

86. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в оптическом изображении биологических сред". // Труды международной конференции РОАИ-7, Санкт-Петербург, т.2, 2004, с.614-616.

87. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "Усовершенствованное в малых кратностях рассеяния диффузионное приближение к переносу излучения в рассеивающих средах". // Труды XLVII научной конференции МФТИ. Долгопрудный, 2004, стр. 37.

88. Appanov A.Yu, Barabanenkov Yu.N. "Hybrid method of finite-order scattering and diffusion approximation in optical imaging of biological media". // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol.15, No.2, 2005, pp. 503-505.

89. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н., Обухов Ю.В. "Гибридный метод рассеяния конечной кратности и диффузионного приближения в задаче об отражении узкого светового пучка от биологической среды". // Радиотехника, №10, 2005, с.91-96.

90. Аппанов А.Ю., Барабаненков Ю.Н. "К проблеме перенормировки диффузионной асимптотики в задаче об отражении узкого пучка оптического излучения от биологической среды" // Квантовая электроника, №12, 2005, с.1157-1162.

91. Cui W., Kumar С., Chance В. "Experimental Study of Migration Depth for the Photons Measured at Sample Surface". //Proc. SPIE, Vol. 1431, 1991, pp. 180-191.

92. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. "Numerical Recipies in C. The art of Scientific Computing", Second Edition, Cambridge University Press, 1992.

93. Bruce N., Barabanenkov Yu. et al. "Diffuse reflected of light from a dense random medium". // Waves in random media, No.6, 1996, pp. 197-211.

94. Скипетров C.E., Чесноков С.С. «Анализ методом Монте-Карло применимости диффузионного приближения для анализа динамическогомногократного рассяния света в случайно-неоднородных средах». //

95. Квантовая электроника, т.25, №8, 1998, с.753-757.

96. Котова С.П., Майорова A.M., Якутии В.В. "Определение оптических параметров среды по профилю рассеянного назад излучения".

97. Оптика и спектроскопия, т.95, №3, с.452-457.

98. Kumar G., Schmitt J.M., "Optimal Probe Geometry for Near-Infrared Spectroscopy of Biological Tissue". // Appl. Opt., Vol. 36, No. 10, 1997, pp.2286-2293.

99. Kienle A., Forster F.K., Hibst R. "Influence of the Phase Function on Determination of the Optical Properties of Biological Tissue by Spatially Resolved Reflectance". // Opt. Lett., Vol.26, 2001, pp.1571-1573.

100. Hayakawa C.K., Spanier J., Bevilacqua F., Dunn A.K., You J.S., Tromberg В .J., Venugopalan V. "Perturbation Monte Carlo Methods to Solve Inverse Photon Migration Problems in Heterogeneous Tissues" // Opt. Lett., Vol.26, 2001, pp.1335-1337.

101. Bevilacqua F. "Local optical characterization of biological tissues inVvitro and vivo". // PhD dissertation, No. 1781, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne, Switzerland, 1998.

102. Van de Hulst H.C. Multiple Light Scattering, Tables, Formulas, and Applications. Vol.11, London: Academic, 1980.