Излучение релятивистского магнитного момента тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гущина Вероника Сергеевна

Излучение релятивистского магнитного момента

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск — 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Томского государственного университета

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор Бордовицын В.А.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Эпп В.Я., кандидат физико-математических наук Кожевников A.B.

Ведущая организация: Институт сильноточной электроники СО РАН

Защита состоится_^ 0 lL _1995 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д 063.53.07

по присуждению ученых степеней по специальности 01.04.02 (теоретическая физика) в Томском государственном университете (634010, Томск, пр. Ленина, 36).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан_^ _1дд5 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

fuj^

С.Л. Ляхович

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Вопрос об излучении собственного магнитного момента элементарных частиц (электрона, нейтрона) долгое время оставался малоизученной областью не только в квантовой, Но ив классической электродинамике. Хотя в атом направлении и появлялись отдельные работы (Я.И. Френкель, 1926; A. Bialas, 1962; М Kolsrud, Е. Leer, 1367 и др. в классической теории; И.М. Тернов, В.Г, Багров, В.А. Бордовицын и др. в квантовой теории), тем не менее систематического и всестороннего исследования с привлечением принципа соответствия до сих пор не проводилось.

Возможно, эта ситуация связана с тем, что излучение собственного магнитного момента по своей мощности значительно уступает мощности излучения заряда. Можно показать, что в наиболее интересном случае движения электрона по окружности в однородном магнитном иоле отношение мощности излучения собственного Магнитного момента »лектрона (JV¿) к мощности излучения его заряда (Ne) равно (коэффициент отношения зависит от ориентации спина)

- 1*4'. (О

где £ — известный в релятивистской квантовой теории излучения инвариантный параметр

•f Ä72 \ßoH 3 Я 3 h ,--

h — постоянная Планка, у = 1/ у/1 — ß1.— релятивистский Лоренц-фактор, цо e0Ä/2trtoc — магнетон Бора, Я* = m\(?Jeh — критическое шв'ингеровское поле, ьи'1 — четырехмерное ускорение электрона. В случае нерелятивистского электрона (7 «-1) даже для сверхсильных магнитных полей Я « 10е Э при Я' я 4,4-10" Э величина £ ничтожно мала (£ « 3,4 • Ю-8).

Кроме того, сам по себе собственный магнитный момент, как физическая величина обладает по сравнению с зарядом более

сложными тензорными свойствами, в результате чего все расчеты математически значительно усложняются.

В настоящее время задача об излучении релятивистского магнитного момента приобрела особую актуалыюсть в связи с выходом современных ускорителей электронов на рубежи сверхвысоких энергий порядка десятков ГэВ. В результате мощность излучения магнитного момента релятивистского электрона стала экспериментально достижимой величиной. В этом случае для рассмотренного выше примера' -у « 105 и, если даже Я и 10Г' Э, то £ « 3,4-Ю"4. Стало возможным более детальное исследование сиихротронного излучения (СИ), которое, оказывается, имеет очень сложный стуктурный состав. Наряду с эффектами отдачи при излучении он определяется рядом фундаментальных факторов, среди которых и излучение собственного магнитного момента.

Хотя квантовые поправки к мощности СИ известны уже давно

. *г '"СИ

4 С<""2Г4+ТГ ~

(3)

их физическая интерпретация долгое время оставалась неясной.

В 1983 г. в ИЯФ СО АН (Новосибирск) была идентифицирована зависящая от ориентации спина первая квантовая поправка, к мощности сиихротронного излучения (СИ). Этот эксперимент стал, по-существу, первым наблюдением спиновой зависимости СИ свободного релятивистского электрона, движущегося в макроскопическом магнитном поле. ;

Заметим, что проблема наблюдаемости электронного спина имеет долгую и сложную историю. Как показал еше Бор, прямое измерение спина свободного электрона в экспериментах типа Штерна и Герлаха невозможно, так как при наличии силы Лоренца условия наблюдения спина вступают в противоречие с соотношением неопределенностей и волновой природой электрона. Подробный анализ этой проблемы содержится в статье Пауля, опубликованной в 1930 году. В связи с тем, что прямой метод измерения спина, фильтр Штерна и Герлаха, для электронов оказался

непригоден, были предложены другие обходные пути получения и наблюдения свободных поляризованных электронов. Некоторые из них были успешно реализованы. Однако вопрос о прямом наблюдении спина в макроскопическом магнитном поле попрежнему оставался открытым. Возможно, что синдром '.'табу" Бора и Паули сказался на том, что выдающееся значение новосибирского эксперимента осталось почти незамеченным.

Многих трудностей и сложных ситуаций, описанных выше, удалось бы избежать, если бы была возможность обоснования эксперимента в рамках классической теории. Оказывается для анергий, используемых в современных ускорителях электронов, такая возможность существует.

Дело в том, что с ростом энергии электрона движение его становится все более классическим, а связанные с квантованием энергии эффекты отдачи При излучении в лабораторных условиях имеют порядок (C.B. Вонсовский, 1973)

t-T^TF«1- W

где Е = тас2ч, шц — еН/т^сгу — частота обращения электронов в магнитном поле, Я' = m^/eft = 4.41 • 1013 Э — швингеровское магнитное поле. Можно показать, что критерий (4) совпадает с условием применимости квазиклассической теории (И.М. Тернов, В.Р. Халилов, OsC. Павлова, 1978). В математическом аппарате квантовой электродинамики этот факт находит свое выражение в том, что определяющая величину квантовых эффектов некоммутативность динамических переменных частицы, движущейся п

произвольном магнитном поле, имеет порядок

• è = = = ——10~'8- • (»)

Я'У 3 то сур Движение заряда и спина в этих условиях можно описывать классическими уравнениями, а процессы, связанные с излучением вычисляются на основе квантовой теории. Движение спина в этом случае определяется, по существу, классическим уравнением Баргманна-Мишеля-Телегди (БМТ). (V. Bargman, L. Michel,

V.L. Telegdi, 1959; B.B. БерестецкиЙ, ЕЛ1. Лифшиц, Л-П. Питаев-ский, 1980).

Серьезные трудности принципиального характера возникают всвязи с тем, что излучение собственного магнитного момента непосредственно затрагивает спиновые свойства частиц, а спин является квантовой величиной. Проблема состоит в том, что классическая и квантовая теории спина до сих пор развивались параллельно и независимо друг от друга, а понимание того факта, что спин имеет классический предел было достигнуто сравнительно недавно (В.Л. Маслов, 1953). Оказалось, что при ft —» 0 классическое уравнение Еаргманпа-Мишеля-Телегди (БМТ) можно получить на основе квазиклассического приближения уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Паули (S.I. Rubinow, J.B. Keller, 1963; К. Rafanelli, R. Schiller, 1964; M. Kolsrud, 1965). Более подробную информацию об этом можно найти в работах В.А.Бордоьицына.

В связи с наличием классического предела в квантовой теории спина, можно ожидать, что некоторые поляризационные аффекты, считавшиеся ранее чисто квантовыми, описываются методами классической электродинамики, поскольку область релятивистской квазиклассичности (5) укладывается, в пределы применимости классической теории (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, 1973)

alt« Н", (6)

где а = eJ/?ic — постоянная тонкой структуры.

Таким образом, развитие классической и квазиклассической теории излучения собственного магнитного момента, несомненно, является в данный момент актуальной задачей, поскольку это позволит не только дать физическую интерпретацию уже известных в квантовой теории результатов, но и рассмотреть некоторые малоизученные вопросы релятивистской теории излучения, а также будет способствовать дальнейшему развитию эксперимента.

1.2 Цель работы

Целью данной диссертации являются систематические исследования излучения релятивистского собственого магнитного момента в классической и полуклассической электродинамике.

1.3 Научпад новизна

В рамках классической электродинамики разработана систематическая теория излучения релятивистского магнитного момента и решены следующие задачи:

1. Получены напряженности полей произвольно движущегося магнетона и подробно исследованы поля излучения равномерно и прямолинейно движущегося релятивистского магнетона, а также произвольно движущегося магнетона с постоянной ориентацией магнитного момента (спин — интеграл движения).

2. Показано, что, пользуясь преобразованиями Лоренца, эти выражения можно получить из соответствующих выражений в системе покоя магнетона.

3. Получено выражеаие для полной мощности излучения магнетона, движущегося равномерно и прямолинейно в постоянных и однородных полях.

4. В качестве приложения классической теории излучения релятивистского точечного магнитного момента рассмотрено излучение магнетона, движущегося равномерно и прямолинейно в однородном магнитном поле, в однородном электрическом поде, а также в электромагнитных полях различных конфигураций (Е || Н р Б ± Н, где Е ф Н). В некоторых частных случаях полученные результаты оказались в согласии с имеющимися результатами квантовой теории излучения. . Таким образом, установлена адекватная классическая модель излучения с переворотом спина.

5. На основе общего решения уравнения БМТ вычислены выражения для прецессии спина в перечисленных выше случаях.

Построена квазиклассическая теория излучения релятивистского электрона с собственным магнитным моментом для произвольной ориентации спина в пределах длины формирования из-

лучения. В рамках квазиклассической теории излучения впервые дана интерпретация спиновых поправок к мощности СИ. Сформулирован ' принцип соответствия для излучения с переворотом и без переворота спина.

1.4 Практическая ценность

Результаты, полученные в работе, можно использовать в создании генераторов электромагнитного излучения принципиально нового типа. Релятивистская теория излучения «южной частицы, обладающей собственным магнитным и электрическим диполышм моментом может оказаться полезной при моделировании излучения протяженных сгустков заряженных частиц в накопительных кольцах. Спектральные характеристики и угловое распределение излучения можно использовать также в «петрологических целях (определение фундаментальных постоянных, измерение скорости частицы и др.).

1.5 На защиту выносится:

1. Классическая теория излучения релятивистского собственного магнитного момента и конкретные приложения этой теории в случае равномерного и прямолинейного движения магнетона в постоянных неоднородных электромагнитных полях (Б |( Н и Е X Н, где Б ф Н).

2. Новый метод квазиклассического описания излучения релятивистского электрона с произвольной ориентацией спина на отрезке длины формирования излучения.

3. Интерпретация квантовых поправок к мощности синхротронного излучения, описывающих эффекты отдачи при излучении, интерференцию полей излучения заряда и спинового магнитного момента электрона (смешанное излучение), излучение самого спинового момента (спиновый свет), н наконец, излучение, связанное с аномальным магнитным моментом электрона.

I.в Апробация

Результаты, полученные в диссертации докладывались на Международной конференции "International symposium on radiation of relativistic electrons in periodical structures" (RREPS-93, 6-10 сентября 1993 г., Г.Томск), на Научной конференции отделения ядерной физики АН России по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц (4-7 апреля 1994 г., г. Москва), на Международной конференции по использованию синхротронного излучения (СИ-94, 11-15 июля 1994 г., г. Новосибирск), на Международной конференции по квантовой теории поля и гравитации (2227 августа 1994 г., г. Томск).

1.7 Структура и объем работы

Диссертация изложена на 105 машинописных страницах, содержит 6 рисунков и состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы (около 70 наименований).

2 Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, дано описание структуры диссертации и основных решаемых задач.

В первой части работы рассматривается классическая теория излучения релятивистских точечных диполей. Для описания поля, создаваемого точечным магнитным моментом (магнетоном) вводится поляризационный тензор-потенциал Р" — (G,F), связанный с обычнклм векторным потенциалом А*1 = (iр, А-) соотношением

A»=d„F»u. (7)

Получаемое из вариационного принципа уравнение для тензора Р1" имеет вид ~

ар» = -—Л/*", (8)

«^

Рис.1

где М>>"' ~ (К, М) — тензор плотности поляризации, который зависит от тензора спина 1Р" = (Ф,П) следующим образом

. Л!"(О в*«™к-г(01, (9)

причем 7г/"/ = Ир"/у, ( — вектор "размазанного магнетона" в момент времени 4, связанный с моментом наблюдения излучения I соотношением <=< — г/с.

Решение уравнения (8) ищется по аналогии с решением уравнения для потенциалов Лиенара-Вихерта: .

" рр" « (10)

где ц — величина магнитного момента магнетона; ир — ¿гр/<1т — его четырехмерная скорость; г9 ¿= № - гр —четырехмерный вектор, проведенный из мировой точки магнетона в ^мировую точку наблюдателя (ей. рис. 1).

Пользуясь правилами дифференцирования функций с запаздывающим аргументом

где ди — д/дги, согласно (7) й (10) можно получить четырехмерный

векторный потенциал в виде

А" = -цс

Паи =

Г,и М Г„ , л „1

(с* + Гцги')

(г^'У (г^р)3

где и>р в (1ур/с1т— четырехмерное ускорение магнетона, кружочком проставлена производная по собственному времени.

Лалее рассматриваются компоненты векторного потенциала (в том числе и в системе покоя магпетопа). Для проверки полученных результатов выражения для А и р в системе наблюдателя можно получить при помощи преобразований Лоренца из системы покоя. Затем, пользуясь стандартным определением тензора электромагнитного поля, на основе потенциалоп (12) и правил дифференцирования (И) получаем тензор электромагнитного поля/который имеет довольно сложный вид и удовлетворяет уравнению Максвелла = 0. В зависимости от расстояния до магнетона г тензор поля ковариантиым образом распадается на три части, пропорциональные г-1, г~'1, г-5. Мы не рассматриваем напряженности электрического и магнитного полей в общем случае, поскольку оии представляют собой довольна громоздкие выражения, а кроме Того и этом пока пет необходимости. Однако приведены некоторые частные случаи этих формул, например выражения в абсолютной (/3 = /3 = Д = 0) и в собственной (/3 = 0) системе 'покоя. Последние также можно получить и по обычным формулам электродинамики из потенциалов (12), записанных в линейном по 0 приближении, отбросив в окончательном выражении члены, содержащие 0. Как частный случай рассматриваются также потенциалы и поля равномерно и прямолинейно движущегося магнетона. Показано, что потенциалы и поля в лабораторной системе могут быть получены из соответствующих выражений в системе покоя магнетона при помощи преобразований Лоренца.

Электрический дипольный момент описывается поляризационным тензор- потенциалом С" = (-V, в), дуальным тензор-потеп-

циалу магнитного момента

С" =

Формально соотношения для электрического дипольного момента аналогичны тем, что были в теории электромагнитного поля релятивистского магнетона, однако поскольку векторный потенциал А* определяется прежним соотношением (см. (7)),то тензор электромагнитного поля электрического дипольного момента усложняется за счет того, что условие г^П''" — 0, использованное ранее для его упрощения, сейчас уже не выполняется. Это приводит к появлению дополнительных членов во всех структурных элементах На$.

Особый интерес представляет поле в волновой зоне излучения. Вычисление тензора электромагнитного ноля здесь значительно упрощается, а при 0 « 0 напряженности волей излучения равномерно и прямолинейно движущегося магнетона имеют вид

В = -[пН| (13)

И в заключении первой части рассматривается полная мощность излучения магнетона как релятивистский инвариант. Получено выражение для полной мощности излучения магнетона, движущегося в постоянных и однородных полях

Я = 04)

где А = 7и = 7^/(Ь — [/Зе])2 — (/ЗЬ)2 — частота прецессии спина, а величина V1 = характеризует потенциальную

энергию-магнетона Ь начальный момент времени, ( — спиновый инвариант.

Во второй части в качестве приложения классической теории излучения рассматривается излучение точечного магнитного момента, движущегося с постоянной скоростью в произвольном направлении относительно линий напряженности однородного маг-

нитного поля, однородного электрического поля, а также в постоянных и однородных электромагнитных полях различных конфигураций (В 1 Н, Е || Н,где Б ф Н). Прецессия спина в этих случаях описывается выражениями, полученными на основе общего решения уравнения БМТ, которые даны в приложении. Подробно рассматривается угловое распределение излученкч и поляризация, которые во всех перечисленных случаях отличаются лишь частотой прецессии спина Л (а » ж, а)

W):

_ 14- j^cos'r/cos'ct

(15)

(1 -/Scosfl')3

f f 1 n¡t13fl'1'"3^cos2'?cos2Q:

МЮ - f.P) + o (llPcos№)b •

где к — 3/I674 — нормировочный множитель, = (2/3)(/i2(2A4/c5) — полная мощность излучения, tan 7 = Е/Н, q = (ge/2moc)Q, + Я2. Движение магнетона происходит под углом а к направлению магнитного поля. При движении магнетона в направлении, перпендикулярном плоскости скрещенных полей, а также в однородном электрическом поле формально получаются такие же чыражения, как при движении магнетона поперек однородного магнитного поля (eos r¡ = 1,а = тг/2).

Спектрально-угловое распределение излучения, получено при помощи преобразований Лоренца из спектрально-углового распределения в системе покоя магнетона, где основная частота излучения совпадает с частотой прецессии спина. Нормированная на единицу функция спектрального распределения имеет вид (см. рис. 2)

F(í) *ф(1 +cos2a) + 2(1 - 3cos'a)(42 - О]. (16)

Здесь i « ш/й)„М1, Штаг — — максимальная частота излучения. '

а = О а » ж/А

а= гг/2

е

Все характеристики излучения согласуются с релятивистской квантовой теорией излучения нейтрона Тернова-Багрова-Хапаева. Тем самым установлена адекватная классическая модель излучения с переворотом спина.

Как уже было отмечено выще, несмотря на то, что квантовые поправки к мощности СИ известны уже давно, их физическая интерпретация оставалась неясной. Лишь сравнительно недавно было установлено, что СИ имеет очень сложный структурный состав, который определяется рядом фундаментальных факторов. Среди них прежде всего излучение самого заряда (обычное СИ), эффекты отдачи при излучении, интерференция полей излучения заряда и спинового магнитного момента электрона (смешанное излучение), излучение самого спинового момента (спиновый . свет), наконец, излучение, связанное с аномальным магнитным мо- „ ментом электрона. Кроме того, в излучении спинового магнитного момента электрона можно выделить еще излучение "истинного" магнитного момента, куда входит также излучение аномального магнитного момента электрона. Оставшаяся часть спинового излучения обусловлена прецессией Томаса и непосредственного отношения к магнитному моменту электрона не имеет.

Рис.2

Интерпретация спиновых поправок к мощности СИ затрудняется тем, что они имеют равноправного конкурента в виде эффектов отдачи при излучении. Они также дают вклад в мощность СИ, пропорциональный не только Л, по и ft2, причем во втором порядке по h эффекты отдачи электрона и бесстгаовой частицы с зарядом (бозона) существенно отличаются друг от друга.

В третьей части работы обсуждается проблема идентификации спинового излучения па фоне мощного синхротронного излучения, эффектов отдачи, которые наиболее просто и убедительно можно выделить на примере излучения бессяиновой частицы (бозона), и других релятивистских факторов. В качестве источника чистого спинового излучения рассматривается релятивистский нейтрон.

В этой деликатной ситуации наиболее удобным методом исследования является предложенная Швингером и развитая Байером релятивистская квазиклассическая теория излучения. Здесь используется упрощенный полуклассический вариант этой теории, разработанный Джексоном, согласно которому все траекторные свойства движения релятивистского электрона рассматриваются чисто классически, а связанные с излучением квантовые процессы учитываются заменой скорости электрона на матричный элемент перехода

¡}-+<i\a\i>, (17)

где а = a(t) —.хорошо известные дираковские матрицы в представлении Гейзепберга. В характерном для СИ диапазоне скоростей пеинерциальпость движения электрона становится несущественной для квантовых переходов и матричный элемент вычисляется па волновых функциях свободного электрона.

Магнитно-дипольяое излучение, сопровождающее спиновые переходы, на фоне СИ заряда элекрона ничтожно мало. В чистом виде излучение спинового магнитного момента (спиновый свет) входит В мощность СИ' в качестве малой поправки, пропорциональной ti2. В новосибирском эксперименте наблюдалось излучение, пропорциональное первой степени h. В третьей части работы показано, что это излучение обусловлено интерференцией излуче-

■Х'(х)

-*.00 — 1ЛХ) -ьии • М.иы ».«и «Л*)'" *" '¿¿О

X

Рис.3 Угловое распределение СИ (1) и смешанного излучения (2).

ния заряда и излучения сшшового магнитного момента электрона, что и приводит к появлению пропорционального Н смешанного излучения. -

Угловое распределение смешанного излучения в отличие от СИ обладает большей остронаправленностью (см. рис. 3). Максимальная частота излучения и™"' по сравнению с и™' заметно смещается в область более высоких частот (см. рис. 4). Учет аномального магнитного момента сводится к замене

В наиболее интересном случае поперечно поляризованных электронов полная мощность излучения определяется выражением

а —* а— а— -(/>з[5п| + р^сг).

(18)

ЛГ = Лси/(0

(19)

и)

(2)

(3)

у Чу)

На у(ю

Рис.4 Спектральное распределение СИ (1) и смешанного излучения (2).

"Г

(5)

(4)

(5)

Вертикальные линии отделяют излучение заряда электрона (1) от эффектов отдачи (2), смешанного излучения (3), излучения спинового магнитного момента (4) и излучения, связанного с аномальным магнитным моментом (5).

Особое внимание уделено обсуждению принципа соответствия. Показано, что классическая и полуклассическая теории излучения частицы с собственым магнитным моментом полностью согласуются в случае движения перпендикулярно магнитному полю. Можно показать, что это утверждение справедливо п для произвольной конфигурации постоянных и однородных электромагнитных полей.

В приложении рассмотрено общее решение уравнения БМТ в ковариантном виде, на основе которого получены выражения Для прецессии спина равномерно и прямолинейно движущегося магнетона в однородных полях. Приведен ряд спектрально-угловых интегралов, используемых при вычислении полной мощности СИ

о третьей главе, а также накоторые выражения для спектрально-углового распределения СИ.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, а также намечены направления дальнейшей работы.

3 Основные результаты работы

Таким образом, основные результаты, полученные в диссертации, состоят В следующем:

— разработана классическая теория излучения релятивистского магнитного момента (получен удовлетворяющий уравнениям Максвелла тензор электромагнитного поля магнетона; показано, что в зависимости от расстояния до магнетона г тевзор поля ко-вариаатпым образом распадается на 3 части, пропорциональные г-1, г-', г~-; рассмотрены электромагнитные цоля раввомерно п прямолинейно движущегося магнетона, а также показано, что те же формулы получаются посредством преобразований Лоренца из соответствующих выражений в системе покоя; с использованием дуальных преобразований тензора электромагнитного поля устанавливается связь Между нацряженностями электрического Е и магнитного Н полей произвольно движущихся релятивистских точечных магнитного ц и электрического V дипольных моментов, показано, что переход ц •> у сопровождается заменой Н -> Е, Б *» —Н; разработан ковариантпый формализм описания электромагнитных полей в волновой зоне излучения, анализируется связанный с излучением тензор электромагнитного поля; для равномерного и прямолинейного движения магнетона в постоянных и однородных полях получено ковариантное выражение для полной мощности излучения магнетона);

— рассмотрены конкретные примеры излучения, подтверждающие справедливость развиваемой теории;

— рассмотрен структурный состав СИ; идентифицированы квантовые поправки в мощность СИ, связанные с аффектами отдачи, излучением спинового магнитного момента, смешанным излуче-

иием, излучением аномального магнитного момента; сформулировал принцип соответствия для излучения с переворотом и без переворота спина. '

Результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Гущина B.C. О применимости метода Джексона в релятивистской полуклассической теории излучения / Ред. журн. "Изв. вузов. Физика".— Томск, 1991— Деп. в ВИНИТИ'29.12.91, N 4898 — В01.

[2] Вордовицын В.А., Гущина B.C., Жукова И.Н. Излучение релятивистских диполей. Г// Изв. вузов. Физика.— 1993.— N2— С. 60-64

[3} Вордовицын В.А., Гущина B.C. Преобразования Лоренца и поля релятивистских зарядов // Изв. вузов. Физика.— 1993.— N 2 — С. 113-114

[4] Бордовицып В.А., Гущина B.C., Жукова И.Н. Излучение релятивистских диполей. II // Изв. вузов. Физика.— 1993.— N 3.— С. 73-78

[5] Вордовицын В.А., Гущина B.C. Излучение релятивистских диполей. III // Изв. вузов. Физика.— 1994.— N 1 — С. 53-59

[6] Вордовицын В.А-, Гущина B.C. Излучение релятивистских диполей. IV // Изв. вузов. Физика.— 1995.— N 2,— С. 61-71

[7] Вордовицын В.А., Гущина B.C. Излучение релятивистских диполей. V // Изв. вузов. Физика.— 1995.— N 3.— С.

[8] Bordovitsyn V.A., Gushchraa V.S., Ternov l.M. Structural composition of synchrotron radiation // Nucl. Instr. Methods Phys. Res.— 1995. - No. 1-2