Изменение метода декомпозиции для построения управления в динамических системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

п О О.м

РЕШМГ1Н Сергей Александрович

С 2 пит и{С

[МЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научиый руководитель:

академик РАН Ф. Л. Черноусько

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Сазонов, кандидат физико-математнчсских наук Б.Н. Соколов.

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН. г. Москва.

Защита диссертации состоится 2000 г. в 15 часов на

заседании диссертационного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского, 101-1, ИПМ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

<

Автореферат разослан г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д002.87.01 кандидат физико-математических наук

Е.Я. Сысоева

3 £16. <1 - О ¿Г. О

Диссертация посвящена исследованию возможностей применения метода декомпозиции в задачах управления динамическими системами.

Актуальность работы. Основные проблемы, возникающие при решении задач управления динамическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, обусловлены существенной нелинейностью и высоким порядком этих систем. Для них характерно наличие динамического взаимодействия между различшлми степенями свободы, которое характеризуется элементами матрицы кинетической энергии.

Примером таких систем могут служить манипуляциоиные роботы, которые являются важнейшей составной частью автоматизированных производственных систем. Уравнения движения манипуляционного робота (в форме Лагранжа) содержат составляющие обобщенных сил, обусловленные силами веса, сопротивления, которые бывают известны лишь в общих чертах и могут существенно изменяться в процессе эксплуатации манипулятора.

Часто возникает задача о переводе лагранжевой системы из некоторого начального состояния в заданное терминальное состояние при помощи ограниченного управления. При этом предполагается, что обобщенные координаты и скорости доступны измерению, а управления подвержены некоторым ограничениям.

Для решения этой задачи могут быть использованы методы оптимального управления. Они учитывают накладываемые ограничения на управление и позволяют привести систему в терминальное состояние за минимальное время. Тем не менее, нахождение оптимального закона управления для нелинейной системы — задача достаточно трудная. Точное решение задач оптимального управления возможно крайне редко и только для специального типа динамических систем.

Различные подходы были предложены для решения задач управления в нелинейной постановке в работах Дж. Лейтманна. М. Кор-лесса, А. Исидори, X. Нимейера, А. ван дер Схафта, С. В. Емельянова, В. И. Уткина, Е. С. Пятницкого, Ф. Л. Черноусько и других.

Необходимость рассмотрения задач управления динамической системой именно в нелинейной постановке без перехода к упрощенному линеаризованному описанию связана с несколькими причинами. Классические методы автоматического управления, применяемые к линейным системам, представляют управление в виде линейного оператора текущего состояния системы. Таким образом, в окрестности терминального состояния управление оказывается малым. Следовательно, используются не все возможности управления, и время процесса управления бесконечно. Вдали от терминального состояния управле-

нне становится достаточно большим и может нарушить ограничения, которые обычно на него накладываются. Кроме того, область допустимых возмущений дли систем управления, построенных на основе линейных моделей, часто не охватывает возмущений, которые встречаются в реальных эксплуатационных режимах. При изменении цели управления п системах, построенных на основе линейных моделей, изменяются как структура, так и параметры алгоритмов управления. Указанные причины затрудняют синтез универсальных систем управления. В этой ситуации оказывается целесообразным использовать метод декомпозиции.

В диссертации дано развитие метода декомпозиции для построения субонтимального управления в системах, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода. Этот метод явно учитывает наложенные геометрические ограничения на управление и обеспечивает приведение системы в заданное состояние с нулевыми скоростями за конечное время. Данный метод использует декомпозицию исходной нелинейной системы со многими степенями свободы на простые подсистемы с одной степенью свободы каждая. Далее, для каждой подсистемы применяется подход теории оптимального управления и дифференциальных игр. В результате получено в явном виде управление по обратной связи для исходной нелинейной системы. Это управление близко к оптимальному (субоптимальио), если величины возмущении и нелинейностей в системе оказываются малыми.

В диссертации также исследуется задача динамического управления в лагранжевой системе, моделирующей динамику манипуляцион-ных роботов с упругими шарнирами. Одной из важных технических характеристик манипуляторов является точность позиционирования схвата. Для того, чтобы добиться ее повышения, приходится производить анализ динамики механической модели манипулятора с учетом его упругой податливости. Экспериментальные исследования показывают, что основной вклад в упругую податливость роботов, снабженных электромеханическими приводами с многоступенчатыми редукторами, вносит упругость шарниров. Упругость же звеньев во многих случаях может не учитываться ввиду их относительно небольшой длины и большой жесткости. Анализ упругих колебаний, возникающих в таких системах, может проводится с использованием асимптотического метода разделения движений на "быстрые" и "медленные" составляющие. Члены, описывающие влияние упругой податливости, находятся в аналитическом виде, а полученные уравнения для медленных движений не содержат высокочастотных осциллирующих слагаемых и могут быть проинтегрированы численно с большим шагом. Таким образом, полуаналитический метод исследования позволяет уменьшить вычи-

слительные затраты при моделировании динамики роботов.

Цель работы. Решение задач управления динамическими системами и исследование возможностей использования для этого метода декомпозиции. Приложение полученных результатов к решению задач управления манипуляционными роботами. Применение асимптотического подхода для решения динамической задачи управления в лагран-жевой системе, моделирующей динамику манипуляционных роботов, шарниры которых обладают крутильной упругостью.

Методы исследования. В диссертации использовались методы теоретической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений и компьютерного моделирования.

Научная попизна. Дано развитие метода декомпозиции для построения управления нелинейными лагранжевыми системами. При предположении, что в уравнениях движения матрица кинетической энергии близка к некоторой постоянной диагональной матрице, указан способ расчета субоптимального управления, переводящего систему за конечное время из произвольного начального состояния в заданное терминальное состояние с нулевыми скоростями.

Рассмотрены приложения предложенного подхода к проблемам управления манипуляцноннымн роботами, снабженными электроприводами, и двузвенным манипулятором с безредукторными приводами.

С использованием полуаналнтического подхода, основанного на методе осреднения, решена динамическая задача управления манипуляционными роботами, звенья которых соединены друг с другом при по мощи шарниров, обладающих упругостью. Исследован случай, когда одновременно велики жесткость упругих элементов и передаточные числа редукторов электроприводов.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения систем управления по обратной связи манипуляционными роботами. Предложенный способ управления учитывает возмущающие факторы и различные конструктивные ограничения, включая ограничения на управляющие электрические напряжения, силы и моменты сил, развиваемые исполнительными устройствами.

Решение динамической задачи управления манипуляционными роботами с упругими шарнирами на основе асимптотического метода может быть использовано в целях усовершенствования методик математического моделирования робототехнических систем.

Достоверность полученных результатов следует из корректности постановок задач управления и строгости их решения математическими методами. Теоретические выводы н работа алгоритмов управления подтверждаются результатами компьютерного моделирования.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре Института проблем механики РАН "Теория управления н динамика систем" (руководитель семинара — академик PAII Ф. Л. Черпоусько), на международной конференции по информатике и управлению (International Conference on Informatics and Control, June 1-3, 1998, St.-Petersburg) [3], на четвертой конференции по нелинейным управляемым системам Международной Федерации по автоматическому управлению (4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium, July 1-3, 1998, Нидерланды) [4], на четвертой конференции Европейского совета за мир и развитие по робототехнике, интеллектуальной автоматике и активным системам (Forth ECPD Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems, 2426 August, 1997, Moscow) [5], на второй международной конференции "Управление колебаниями и хаосом" .(2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (COC'2000), July 5-7, 2000, St.-Petersburg) [6].

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ в журналах Российской Академии наук [1, 2] и трудах международных конференций [3, 4, 5, 6].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 55 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

Краткое содержание работы.

Во введении формулируется цель работы, обосновывается актуальность рассматриваемых задач, в сжатом виде излагается содержания всех глав, сделан обзор литературы по теме диссертации.

В первой главе рассматривается нелинейная управляемая динамическая система, имеющая п степеней свободы и описываемая уравнениями Лагранжа второго рода

d дТ дТ'" гт ^

Ttwrwh=Ui+Qi (1)

Здесь Ui - управляющие обобщенные силы, на которые наложены ограничения \Ui| < Uf\ Qi = Gi + L\ — все прочие обобщенные силы (включая неконтролируемые возмущения), состоящие из ограниченных обобщенных сил Gi, \G{\ < < Uf, и обобщенных сил F), которые достаточно малы при малых скоростях и удовлетворяют ограничениям l^i I £ -Ь , где а, Ь - некоторые положительные постоянные. Точный вид функций Gi(q,q,t), F{(q,q,t) может быть неизвестен.

В уравнениях движения T(q,q) — ~ (Q)QiQj — кинетиче-

ская энергия системы, заданная в виде положительно определенной

квадратичной формы по обобщенным скоростям q, с коэффициентами, зависящими о г обобщенных координат g,-. Предполагается, что матрица кинетической энергии Л (g) близка к некоторой диагональной матрице J с положительными постоянными диагональными элементами ,/,-, так что для любого n-мерного вектора z выполнено неравенство

\(А(д)~ J)z\<n\z\, ц> О, VqÇD (2)

Здесь fi - достаточно малый параметр, возможные значения которого указаны ниже. Область D, в которой могут происходить движения рассматриваемой системы, задана в виде независимых ограничений на координаты fr: D = {q : q~ < qi < qf}.

Для системы (1) ставится следующая задача управления.

Задача. Требуется определить управляющие функции 0Г,•(</,•, g,), которые удовлетворяют наложенным ограничениям |i/;| < и обеспечивают перевод системы (1) из некоторого начального состояния

ç(0)=ç°, m = 9°, Я0 en (3)

в заданное конечное состояние покоя

Я(т) = ч\ 7(г) = 0, q1 € D (4)

Время процесса управления г конечно и не фиксируется. Без ограничения общности начальный момент времени принят равным нулю.

Система (1) представляется в эквивалентном виде

Ji<ii = Ui -f Vi, i = 1,..., n (5)

где Vj включают все нелинейные слагаемые, и, кроме того, зависят от управляющих и прочих обобщенных сил.

Если предположить, что имеют место неравенства |У;| < piU¡, Pi < 1, где pi - некоторые постоянные, то функции V, можно рассматривать в (-5) как независимые ограниченные возмущения. При этом исходная нелинейная система распадается на п линейных подсистем, подверженных возмущениям, с одной степенью свободы каждая. Таким образом, решение исходной задачи сводится к решению тг более простых задач управления для подсистем второго порядка (5).

Скалярное управление t/;, переводящее г-ю подсистему (5) за конечное время из произвольного начального состояния (<7?, <7°) в конечное состояние при любом допустимом возмущении Vi, задается в форме синтеза

Ui{n, ?«) = t^sign ?»), Ф 0

VI (<Л, Ъ) = -Чг, Фг = О (С)

^¿(<7«, <н) - ч] -(1г- Ч, Ы/(2^|) Здесь X,- - положительный параметр управления, связанный с константой соотношением = — )/(конкретное значение А,-неизвестно, поскольку неизвестна постоянная /?,). На рис. 1 изображена некоторая возможная фазовая траектория подсистемы (5). Стрелками указано направление роста времени I.

Проблема заключается в том, чтобы найти такие значения параметров А',-, при которых предположение об ограниченности функций действительно выполняется.

Произведена оценка максимальных значений возмущений Ц и получена нелинейная система неравенств, которая задает множество допустимых параметров управления А,-

1/2

( 1 + - ) 5° < М

■Лат У-/ "Лит

(7)

Здесь Jm■m — наименьшая из величин ,/,-; величина 5'о зависит от А,-, г = 1,..., п таким образом, что 5° —0 при А,- —> 0.

Если параметр // достаточно мал, так что выполнено условие

и <- 1ти'{11' ~ )-Лп1" ГМ

^ ^ тш.-^Р - С?) + [£(<7/ + <?°)2]1/2 1 ;

то выражения в правых частях неравенств (7) положительны. Поэтому всегда найдутся положительные значения Аг-, при которых выполняются неравенства (7). Указан конкретный способ выбора допустимых значений А,-, удовлетворяющих этим неравенствам.

Полученные результаты сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Пусть выполнено условие (8). Тогда синтез управления */,■(?;, (}{), решающий поставленную задачу, задается соотношениями (6), в которых параметры А; должны выбираться так, чтобы выполнялись неравенства (7). Это управление переводит систему (1) из начального состояния (3) в заданное терминальное состояние (4), если в начальный момент времени величины удовлетворяют ограничениям /Г (<7,°) < < /+(<??), где /г(?<) = -[2А- 9Г)11/2.

/,+ («) = [ 2Х|-(д+-д,-)]1/2.

Особое внимание уделено рассмотрению случая, когда в начальном состоянии скорости равны нулю. Предложена незначительная модификация закона управления для того, чтобы уменьшить гарантированную оценку времени управления.

Рассмотрены приложения предложенного подхода к проблемам управления машшуляционнымн роботами, снабженными электроприводами. Найдены ограничения на передаточные числа редукторов, при которых осуществим предложенный способ управления. Показано, что декомпозиция возможна, если передаточные числа редукторов достаточно велики. Полученные алгоритмы расчета управления иллюстрируются на примере трехзвенпого антропоморфного робота-манипулятора.

Во второй главе рассматривается управляемая динамическая система заданной структуры, которая представляет собой упрощённую модель двузвенного манипуляционного робота с абсолютно жёсткими элементами конструкции. Двузвенник состоит из неподвижного основания Со и двух абсолютно жёстких звеньев С\,С?2- Элементы конструкции соединены между собой двумя идеальными цилиндрическими шарнирами Оь О2 таким образом, что оба звена могут совершать движения в горизонтальной плоскости.

Для описания рассматриваемой системы используются следующие обозначения: 71—угол поворота звена С\ относительно основания Со; ?2~угол между прямыми 0\0-2 н О2С2 (Сз-дентр масс звена Сч), характеризующий положение звена С?2 относительно звена С1; /¡-длина отрезка 0\02; /а2~длииа отрезка С^СЧ; шг-масса звена Сг; /¿-момент инерции г-го звена относительно оси шарнира О,-; Л/,— момент сил, создаваемый в шарнире О,, здесь и всюду далее г = 1,2.

На величины управляющих моментов наложены геометрические ограничения

|М,| < М- (9)

где -заданные постоянные.

Решается задача управления, сформулированная в первой главе диссертации, применительно к рассматриваемой системе с ограничениями (9) на управления Л/;. Строится ограниченное управление, приводящее систему в заданное положение за конечное время. Для построения управления применяется метод декомпозиции. Указываются достаточные условия, при которых исходную нелинейную систему удается разбить на подсистемы с одной степенью свободы каждая. Затем управление задается в виде (6) отдельно для каждой из подсистем. При этом алгоритм расчета управления по существу аналогичен тому, который приведен в первой главе, где накладываются ограничения на величины передаточных чисел редукторов. Главное отличие состоит в том, что система, рассматриваемая в данной главе, моделирует движение манипулятора с безредукторными приводами. Поэтому здесь накладываются ограничения на другие параметры системы.

а) Предполагается, что имеет место неравенство

0 = —гг < 1 (10)

Например, если звено С?2 представляет собой тонкий стержень длины и <1\ с произвольным распределением плотности р(х), то неравенство (10) выполнено.

б) Требуется, чтобы величины ц^ , д^, задающие возможный диапазон изменения угла между звеньями, были ограничены

— агссоз(—в) < (¡2 , (¡2 < агссоз(—в) (11)

в) Предполагается, что отношение величин М®, ограничивающих управляющие моменты М\, М2, удовлетворяет неравенствам

,/3+1 М° а+ /? + 2 _ Л + т21\

0 ^ М§ Р + 1 ' т2к1д2 1'

Поскольку (а + /3 + 2)/(/? +1) - (/? + 1)//? = (а/3 - 1)/[/?(/? + 1)] > О, то выполнения соотношений (12) можно всегда добиться, накладывая более жёсткие ограничения на величину одного из моментов Л/,- в (9).

Алгоритмы расчета управления иллюстрируются на примере системы двух тел, моделирующей движения руки манипуляцнопного робота в горизонтальной плоскости.

В третьей главе излагается способ решения динамической задачи управления многозвенным манипулятором с использованием полуаналитического подхода, который основан на методе осреднения и позволяет отделить динамику робота как целого от его упругих вибраций. Манипуляционный робот состоит из п звеньев, которые соединены между собой цилиндрическими шарнирами. Предполагается, что звенья абсолютно жесткие, а упругая податливость сосредоточена в его шарнирах. При составлении уравнений движения учитывается также динамика роторов электродвигателей в шарнирах (инерция подвижных частей редукторов не учитывается). Через х — 1 ,...,п, обозначены передаточные числа редукторов, а через Ji, г = 1,...,п, моменты инерции роторов относительно осей собственного вращения. Вводятся обобщенные координаты в = (.">1,..., й„) так, чтобы величины в; • Лг,-, г = 1,..., п, были равны углам поворотов роторов электродвигателей в приводах, и х = (^1, ...,хп) — дополнительные обобщённые координаты, обусловленные упругостью шарниров. Положение звеньев робота в пространстве характеризуется их относительными углами поворотов Я = (91, •••,?»), Я-в + х.

Робот приводится в движение моментами сил <3'! = со-

здаваемыми приводами робота. На систему также действуют внешние моменты, возникающие в результате действия сил тяжести, трения и др. Кроме того, к ним добавляются силы, обусловленные упругой податливостью элементов в шарнирах и диссипацией энергии в них. Потенциальная энергия упругих элементов и днссипативная функция Рэлея, описывающая диссипацию энергии в упругих элементах, заданы в виде квадратичных форм П = ^хтКх, й = Ох. Здесь К, Б - диагональные п х п-матрнцы с положительными диагональными элементами.

Кинетическую энергию робота можно представить в виде

т=Л 2

(¿, NJNi) + 2(я, В{д)д) + (д, А{д)д) (13)

Здесь введены обозначения N = diag(iV1,..., ЛГ„), J — diag(Jl,.... Jn), а А(д), В(д) — некоторые матрицы, причем А(д) — симметрическая положительно определенная. В этом случае уравнения Лагранжа (за обобщённые координаты принимаются й,г) имеют вид:

(Дг,/Л; + В + Вт + А) в + {В + А)х + Н'(д, д, ¿) = (14)

(В г + + ^х + Н"{д, д,ё) = ЯЦд, д,1) - Кх - Вх (15)

Здесь

в'= {н[,...,н'п), Я" = (Я?,...,//;'), К = +

и" (дАы 1 - ■ двЛ . .

Относительно параметров рассматриваемой системы делается упрощающее предположение. Предполагается, что существует достаточно малый положительный параметр е такой, что выполнены соотношения

К = е~Ч<, х{1) = е2Х(<) (16)

Б = 0(1) (17)

Д^АГ = --1= (18)

где Л', X(t), J, Q*(ti,i,t) ограничены при e —> 0. Условие (16) означает, что жесткость упругих элементов велика, а условие (17) - что диссипация в этих элементах невелика. Условие (18) выполняется в случае, когда передаточные числа редукторов N,, i = 1, ..., п, достаточно велики.

Ставится следующая задача (задача динамического управления).

Задача. Требуется определить движение системы (И), (15) в случае, когда выполнены условия (16)-(18), задан вектор Qs(s,é,t) и начальные значения ¿>¿(0), ¿;(0), аг,-(0), ¿¡(0).

Решение системы (14), (15) представляется в виде

s = s°(t)+e3u{T),

X =y°(t) + z(r), (19)

т — ije

Здесь г - быстрое время.

Получена система дифференциальных уравнений для нахождения вектора s°(<) с погрешностью 0(s3), выражение для квазистатических нормированных (деленных на s2) упругих смещений y°(t), а также линейная однородная система дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами для нахождения z(t), решение которой получено с использованием асимптотического метода.

Таким образом, решение задачи распадается на два этапа. Сначала численно решаются уравнения, описывающие ''медленные'' движения s°(f), y°{t)- Они не содержат высокочастотных осциллирующих слагаемых и могут быть проинтегрированы численно с большим шагом. Затем в аналитическом виде (с использованием разложения но собственным колебаниям) находятся члены г(г), определяющие влияние упругой податливости.

В заключение главы приводится пример численного решения задачи динамического управления с использованием предложенного метода. При расчетах использовались параметры экспериментальной модели двузвенного робота-манипулятора. Расчеты показали, что время интегрирования уравнений при определении "медленных" движений значительно меньше времени интегрирования полной системы.

Основные результаты диссертации.

1. Дано развитие метода декомпозиции для построения субоптимального управления в лагранжевых системах. При предположении, что матрица кинетической энергии системы не сильно отличается от постоянной диагональной матрицы, построено эффективное управление, которое переводит систему в заданное терминальное состояние.

Предлагаемый закон управления применен к машшуляционным роботам со многими степенями свободы.

• Управление применимо, если

(1) число управлений равно числу степеней свободы;

(2) конечные скорости равны нулю;

(3) передаточные числа редукторов достаточно велики.

• Учитываются ограничения, наложенные на управление и фазовые координаты.

• Время движения конечно и оценивается заранее.

• Управление робастпо и справляется с неизвестными возмущениями п вариациями параметров.

2. Указаны условия, при которых метод декомпозиции применим для построения субоптимального управления двузвенным манипулятором с безредукторными приводами. Для рассмотренной системы удается полностью устранить динамическое взаимовлияние между звеньями, что важно при конструировании систем управления.

3. Асимптотический подход адаптирован для решения динамической задачи управления роботами со многими степенями свободы, шарниры которых обладают крутильной упругостью.

• Предложенный метод применим, если

(1) жесткость упругих элементов в шарнирах велика;

(2) диссипация в этих элементах невелика;

(3) передаточные числа редукторов достаточно велики.

• Полуаналитический метод позволяет уменьшить время численного интегрирования уравнений движения роботов.

• Относительные углы поворотов звеньев и упругие смещения определяются с одинаковой точностью.

Список работ по теме диссертации.

1. Решмин С. А. Синтез управления двузвенным манипулятором // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1997, №2, С. 146-150.

2. Решмин С. А., Черноусъко Ф. Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // Прикладная математика и механика (ПММ), 1998, т. 62, №1, С. 121-128.

3. Chernousko F. I.., Reshmin S. A. Decomposition and Synthesis of Control in a Nonlinear Dynamic System // Proc. International Conference on Informatics and Control, June 1-3, 1998.

4. Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition of Control for Nonlinear Lagrangian Systems // Preprints, 4th 1FAC Nonlinear Control Systems Design Symposium (NOLCOS'98), July 1-3, 1998.

5. Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition of Control for Robotic Manipulators // Proc. 4tli ECPD International Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems, August 24-26, 1998.

6. Reshmin S. ^4. Control of Robots with Flexible Joints, Proc. 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (COC'2000), July 5-7, 2000.

PHC. 1