Изменение оптических свойств атомов в магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Диамагнитные восприимчивости третьего порядка водородо-подобного атома

1.1 Теория возмущений для вырожденных уровней атома водорода в магнитном поле.

1.2 Диамагнитные матричные элементы водородоподобного атома

1.3 Восприимчивости двукратно вырожденных состояний.

1.4 Результаты численных расчетов и обсуждения.

2 Смешивание двухчастотного излучения атомом в магнитном поле

2.1 Амплитуда рассеяния атомом фотона суммарной частоты в условиях двойного резонанса.

2.1.1 Смешивание частот свободным атомом.

2.1.2 Амплитуда когерентного смешивания частот атомом в магнитном поле.

2.2 Поляризационные эффекты и циркулярный дихроизм

2.3 Результаты и обсуждения.

3 Влияние тонкой структуры на процессы сложения частот в атомах

Взаимодействие атомных объектов с излучением и статическими внешними полями составляет один из основных разделов теоретической атомной физики. В последние десятилетия данное направление приобрело особую актуальность в связи с широким внедрением лазеров и методов получения сильных статических полей [1] в технику атомных экспериментов. Амплитудные значения напряженности поля в коротких лазерных импульсах сравнимы или даже превосходят характерные внутриатомные напряженности. В таких полях возникают качественно новые закономерности в типичных нелинейных явлениях взаимодействия атома с полем. Поэтому наряду с новыми экспериментальными технологиями актуальное значение принимают новые теоретические подходы к исследованию спектров излучения атомов во внешних полях, количественное описание которых на основе прецизионных квантово-механических расчетов дает возможность не только правильно спланировать эксперимент и объяснить его результаты, но и разработать сам метод экспериментального исследования оптических эффектов.

Одной из центральных задач теории взаимодействия атома с полями является расчет эффекта Зеемана [2] в простейшей квантовой системе -атоме водорода. При этом на довольно длительном историческом этапе ограничивались учетом лишь линейного по полю оператора возмущения, что естественно объяснялось сравнительно невысокими полями, достижимыми в реальных лабораторных экспериментах. Однако, в связи с открытием природных объектов с магнитными полями сравнимыми или превосходящими по величине внутриатомные — белые карлики, нейтронные звезды — ситуация значительно изменилась, и появилось большое количество работ, включающих в расчеты квадратичное по полю (диамагнитное) взаимодействие атома и магнитного поля [3, 4, 5, 6]. Последние достижения в решении этой задачи отражены в обзорных статьях и монографиях [7, 8, 9, 10, 11]. Тем не менее ответы на ряд вопросов до настоящего времени не получены. К таким вопросам относится расчет поправок к энергии атома в магнитном поле в высших порядках теории возмущений (ТВ). В отличие от эффекта Штарка, для расчета которого удобно использовать параболическую систему координат, и аналитические выражения для поправок высоких порядков получены в виде полиномов от параболических квантовых чисел уровня более 20 лет назад [12, 13], результаты, полученные к настоящему времени для эффекта Зеемана, ограничиваются первым и вторым порядками ТВ по диамагнитному взаимодействию [14], а также численными расчетами поправок высоких порядков [15, 16] или точных значений энергии [17, 18] только для конкретных уровней (основного и первых возбужденных). Объективной причиной данной ситуации является то обстоятельство, что полный набор интегралов движения для атома в электрическом поле можно представить с помощью параболических квантовых чисел, являющихся интегралами движения и для свободного атома, тогда как в магнитном поле набор интегралов движения можно найти лишь приближенно, с точностью до второго порядка по диамагнитному взаимодействию [19]. Поэтому расчеты поправок третьего и более высоких порядков для многократно вырожденных возбужденных состояний водорода связаны с преодолением принципиальных трудностей.

Таким образом, большая часть информации о взаимодействии атома с магнитным полем, накопленной в современной литературе, представляется в виде таблиц численных значений энергии водородоподобных уровней в полях фиксированной напряженности [17, 18, 20], и не может быть использована в таких полях для других состояний атомов или для тех же уровней, но при других значениях напряженности поля. В связи с этим, значительный интерес представляет получение замкнутых аналитических выражений, которые позволили бы достаточно просто рассчитать сдвиг и расщепление атомных линий в любых интересных для практики ситуациях.

Особый интерес к получению общих формул для электромагнитных восприимчивостей возник в последние годы в связи с исследованиями долгоживущих высоковозбужденных атомов в ридберговских состояниях [21] - [31] . Огромное количество таких состояний и неограниченный набор внешних полей, которые могут на них действовать, не позволяют составить в какой-либо мере полных таблиц для определения энергий этих уровней и соответствующих им частот спектральных линий. Рид-берговские состояния с высокими угловыми моментами I практически идентичны во всех атомах, поэтому формулы, полученные для водорода, применимы и для многоэлектронных атомов в высоковозбужденных состояниях с магнитными квантовыми числами т > 3.

В широкой области напряженности магнитных полей, встречающихся на практике, для расчета сдвига энергии связанных уровней (в том числе и ридберговских) оказывается достаточно ТВ по взаимодействию атома с полем. Поэтому большое число работ, посвященных данной тематике, базируются на той или иной форме теории возмущений, при этом они логически распадаются на категории в зависимости от величины напряженности магнитного поля, в котором находится атом: слабое [19, 32, 33] и сильное [34]-[41]. Плодотворным является применение Хартри-Фоковского подхода к решению диамагнитной кулоновской задачи [42, 43, 44, 45, 46, 47]. Также была развита теория двойного возмущения: когда релятивистские эффекты это одно возмущение и взаимодействие с магнитным полем - второе [48].

Анализ нелинейного эффекта Зеемана показывает, что ряды ТВ являются знакопеременными асимптотическими, коэффициенты в которых - диамагнитные восприимчивости - существенно зависят от структуры невозмущенного состояния. Знание таких восприимчивостей позволяет не только рассчитать численное значение энергии, но и определить также область применимости и погрешность такого расчета при заданном значении напряженности поля. Благодаря знакопеременности асимптотического ряда, можно по его коэффициентам указать верхнюю и нижнюю границы интервала, внутри которого находится точное значение энергии в поле. Чем больше коэффициентов ряда известно, тем ближе верхняя и нижняя границы друг к другу и тем более точно можно определить энергию в области применимости ТВ. Таким образом, актуальность расчета поправок высших порядков ТВ связана с возможностью использования их не только для оценки сдвига и расщепления атомных уровней, но и для контроля точности других методов определения зеемановской энергии атома.

Значительное продвижение в расчетах коэффициентов ряда ТВ достигнуто в работе [16], где для нижних уровней водорода (с главным квантовым числом п < 3) рассчитаны первые 80 диамагнитных воспри-имчивостей, численные значения которых использованы для построения Паде-аппроксимант, позволяющих просуммировать ряд для диамагнитной энергии в области напряженности магнитного поля вплоть до атомного. Однако, невозможность применения полученных результатов к более высоким уровням, тем более к ридберговским состояниям, и значительные технические трудности в использовании метода указанной работы для высоких состояний делает актуальным получение общих формул для высших восприимчивостей в виде функций главного и магнитного квантовых чисел.

Влияние магнитного поля на процесс рассеяния излучения атомами (магнитная оптическая активность) было описано теоретически и исследовано уже довольно давно [49]. Примерно в это же время было обнаружено, что использование магнитного поля для индуцирования процесса сложения частот в нелинейной среде может предоставить ряд новых важных возможностей для экспериментального изучения фундаментальных характеристик взаимодействия поля и вещества и для их дальнейшего практического и технологического использования. В данной работе проанализировано влияние однородного магнитного поля на процесс сложения частот двухчастотного излучения в среде свободных атомов. Подробный анализ эффектов оказываемых средой на распространение волны включающий влияние температуры на сложение частот в парах атомов обсуждался в работе [50]. Этот процесс рассматривается с элементарных микроскопических позиций, рассчитывается индуцированная магнитным полем трехфотонная амплитуда перехода для сложения частот двух волн накачки в единичном атоме, помещенном в магнитное поле.

Сложение частот интенсивных волн в атомной среде широко используется для преобразования лазерной частоты [51, 52, 53]. Техника сложения излучений также стала одним из обычных инструментов для нелинейно-оптического обнаружения и локализации возбужденных атомов в горячих парах и плазме [54, 55, 56]. В полях высокой интенсивности эффективность процесса сложения частот высокого порядка становится пригодной для практического использования такого типа процесса преобразования [57, 58]. Существенные изменения этого процесса могут быть достигнуты за счет использования внешних постоянный полей. В особенности, генерация четных гармоник и сложение частот четного числа фотонов может наблюдаться как в электрическом [59] так и в магнитном [60, 61] внешних полях.

В последнее десятилетие существенно возрос интерес к эффектам, индуцированным магнитным полем при рассмотрении многофотонных переходов в атомах [50, 62, 63], основывающийся на новых возможностях получения сильных магнитных полей [1] и на простоте манипулирования атомами в магнитном поле без разрушительных эффектов, характерных для сильных электрических полей. Точные расчеты поляризационной и частотной зависимостей для соответствующих атомных восприимчивостей [64, 65] продемонстрировали возможность для создания новых методов для контроля эффективности преобразования частот магнитным полем. Сложение частот поляризованных волн можно рассматривать как подходящее средство для развития новых методов в технике преобразования частот и в лазерной спектроскопии атомов [66, 67].

Сложение частот атомами в поле двухчастотного излучения является одним из основных процессов, обеспечивающих высокую эффективность резонансного преобразования частот и высокоточный метод для определения важных спектральных характеристик отдельного атома. Хотя экспериментальные изучения сложения и вычитания частот излучения были проведены еще в середине 70-х годов [51, 52] и были разработаны методы для различения сложения частот от конкурирующего с ним процесса антистоксового Раманова рассеяния, что позволило использовать дипольно запрещенное трехфотонное рассеяние света в атомных парах для высокоэффективного преобразования частот [68], тем не менее не было проведено последовательного анализа амплитуд когерентного дважды резонансного рассеяния суммарного фотона относительно их поляризационной и частотной зависимости. Детальный анализ касался лишь контроля резонансных улучшений и согласования фаз при квадру-польном сложении частот для достижения приемлемой эффективности преобразования [50]. Влияние различных вкладов в показатели преломления на условия согласования частот в насыщенной атомной среде было также изучено для различных переходов в схемах сложении частот [69].

Неколлинеарная геометрия или дополнительные внешние поля используются для генерации когерентной волны с частотой, равной сумме или разности первоначальных волн. Поле второй гармоники интенсивной волны - одно из возможных дополнительных полей, которые используются, например, для обнаружения и локализации атомов в горячих парах или плазме [55, 56]. При этом промежуточные резонансы на частотах переходов между возбужденными состояниями атомов позволяют значительно (на несколько порядков) увеличить эффективность нелинейно-оптического преобразования частот в лазерной плазме [70]. Подробный анализ амплитуд трехфотонного рассеяния, индуцированного постоянным электрическим полем, продемонстрировал значительное преимущество использования постоянного поля для сложения частот [71, 72] по сравнению с использованием гармоник лазерной волны. Вместе с индуцированием амплитуды когерентного рассеяния трех волн, основное воздействие электрического поля заключается в наведении дополнительного резонанса в амплитуде, который может существенно увеличить сечение рассеяния. Электрическое поле позволяет наведение резонанса на строго запрещенный однофотонный S-S переход, в то время как основное преимущество магнитного поля основывается на дополнительном резонансном факторе в дважды резонансной трехфотонной амплитуде, что приводит к сопоставимости по величине независящей и зависящей от поля частей амплитуды уже в полях менее 0.1 Тесла. Конечно, сопоставление воздействия магнитного и электрического полей зависит от конкретной структуры атома, его резонансных переходов и соответствующих дипольных и квадрупольных матричных элементов. Однако, общие соотношения демонстрируют эквивалентность между F = 100кВ/см для амплитуды индуцированной электрическим полем и В — 0.1Т для амплитуды индуцированной магнитным полем (F и В значения напряжен-ностей электрического и магнитного полей соответственно). В дополнение, необходимо отметить, что манипулирование нейтральными атомами в магнитном поле намного проще, чем в электрическом, где возможны ионизация и эффекты электрического пробоя в среде.

Сложение частот двух излучений заслуживает внимания не только как метод с высокой эффективностью поляризационного контроля преобразования частоты интенсивного излучения [66, 67], но и как весьма полезный для приложений в лазерной спектроскопии для бездопплеровско-го многофотоного исследования структуры атомных уровней. Последнее приложение может быть основано на сильной зависимости нелинейного сечения рассеяния от поляризационно-ориентационной геометрии падающих и генерируемой волн. Атомными параметрами этой зависимости являются комбинации соответствующих матричных элементов переходов, зависящие от положения и ширины резонансных уровней. Поглощение двух фотонов wi и ш2 с излучением одного фотона частоты + СО2 является процессом наинизшего порядка упругого нелинейного рассеяния. Он включает в себя взаимодействие атома и трех фотонов (двух падающих и одного рассеянного). Два взаимодействия из трех — элек-тродипольные Е1 и одно электрическое квадрупольное Е2. В тяжелых атомах, наряду с Е2 взаимодействием, ненулевой вклад в трехфотон-ный переход дает и магнитодипольное Ml взаимодействие, что связано со спин-орбитальным смешиванием состояний с различными главными квантовыми числами. Интерференция между Е1 и Ml переходами вместе с зависящими от плотности эффектами столкновения между атомами также могут оказывать существенное влияние на поляризационную зависимость сечения процесса сложения частот [73]. Как известно из экспериментов, поляризационные эффекты при двухфотонных переходах значительным образом зависят от относительной величины резонансных матричных элементов [74, 75] и от структуры тонкого (сверхтонкого) расщепления атомных уровней [68]. Таким образом, подробный анализ влияния спин-орбитальных эффектов на резонансное сложение частот в атомах представляется вполне заслуживающим внимания.

Целью исследования данной диссертации является определение аналитических свойств диамагнитных восприимчивостей высших порядков в водородоподобных состояниях атомов, а также получение общих выражений для амплитуд и сечений магнитоиндуцированного процесса сложения частот монохроматических излучений в атомах.

В настоящей работе излагается метод расчета высших восприимчиво-стей, основанный на последовательном решении системы уравнений для волновой функции и энергии вырожденного состояния в соответствующих порядках по возмущению (раздел 1.1). В разделе 1.2 получены аналитические выражения для матричных элементов оператора диамагнитного взаимодействия в виде полиномов относительно главного п, орбитального I, и магнитного т квантовых чисел вырожденного водородопо-добного состояния |nlm), которые используются как для аналитического, так и для численного расчета диамагнитной восприимчивости третьего порядка XnhpX- В разделе 1.3 приводятся аналитические выражения диамагнитных восприимчивостей третьего порядка, представляющих собой двукратно вырожденные (относительно диамагнитного взаимодействия) состояния. Расчет восприимчивостей, с кратностью вырождения 3 и более, обсуждается в разделе 1.4.

Глава 2 посвящена рассмотрению процесса магнитоиндуцированного дважды резонансного сложения частот в атомах. В разделе 2.1 продемонстрировано, что амплитуда четвертого порядка, описывающая процесс сложения частот, может быть представлена в виде комбинации резонансных и поляризационных факторов. Приведены выражения этих факторов для трех типов резонансов: квадруполь-диполь-дипольного (D - Р), диполь-квадруполь-дипольного (Р - Р) и диполь-диполь-квадрупольного (Р - D). В разделе 2.2 рассматриваются поляризационные эффекты и циркулярный дихроизм в процессе когерентного сложения частот. Рассчитывается дифференциальное сечение этого процесса. Продемонстрирована зависимость сечения от степени циркулярной поляризации световой волны, и приводятся наилучшие условия для наблюдения эффекта дихроизма. Важные следствия и результаты обсуждаются в разделе разделе 2.3

Глава 3 посвящена исследованию влияния тонкой структуры на процесс сложения частот в атомах щелочных металлов. В разделе 3.1 последовательно рассчитываются амплитуды переходов, допустимых в рассматриваемом процессе, аналогичных рассмотренным в разделе 2.1. В разделе 3.2 проанализировано сечение когеретного рассеяния фотона суммарной частоты, и выявлена его зависимость от поляризации падающих или рассеянных волн. Приведены явные выражения для степени дихроизма в каждом возможном резонансном случае. Обсуждаются численные расчеты.

Заключение

В диссертации рассмотрено влияния магнитного поля на диамагнитные состояния водородоподобного атома, а также на амплитуду и сечение магнитоиндуцированного сложения частот двух монохроматических полей в атомах. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Предложен метод расчета волновой функции связанных состояний водородоподобного атома в магнитном поле, основанный на теории возмущений высших порядков для вырожденных состояний с использованием редуцированной кулоновской функции Грина.

2. Получены аналитические выражения диамагнитных матричных элементов до третьего порядка включительно, позволяющие производить численные расчеты диамагнитных поправок для произвольного состояния атома водорода.

3. Получены замкнутые аналитические выражения для диамагнитных поправок третьего порядка для дважды вырожденных уровней водородоподобного атома в однородном магнитном поле в виде полиномов по главному квантовому числу.

4. Получены аналитические выражения амплитуды и сечения магнитоиндуцированного когерентного рассеяния атомом в дважды резонансном приближении.

5. Определено влияние тонкой структуры атомных уровней на поляризационную зависимость амплитуды и сечения когерентного сложения частот.

6. Получено аналитическое выражение для степени циркулярного дихроизма для процессов сложения частот, и проанализирована возможность использования данного явления для исследования спектральных характеристик атомов.

7. Определена зависимость поляризационных эффектов в смешивании частот от тонкой структуры.

Результаты, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в работах [89, 90], а так же в тезисах докладов, сделанных на конференциях:

• ICAP XVI, Windsor, August 3-7, 1998;

• XVI конференция по фундаментальной атомной спектроскопии (Звенигород, Моск. обл.), декабрь 1998;

• 31th EGAS, Marseille 6-9th July 1999;

• ICAP 2000, Firenze, Italy, June 4-9, 2000;

• 10th Annual International Laser Physics Workshops (LPhys'01), Moscow, July, 2001

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук В.Д. Овсянникову за постановку задачи и руководство работой.

1. Herlach F, Pulsed magnets. Rep. Prog. Phys. 62 859 (1999)

2. E Кондон, Г Шортли, Теория атомных спектров, Москва, ИЛ, 1949

3. Edmonds A R, The theory of the quadratic Zeeman effect, Journal de Physique Colloque C4, 31 71-74 (1970)

4. Edmonds A R , Studies of the quadratic Zeeman effect. I. Application of the Sturmian functions, /. Phys. B: At Mol. Phys. 6 1603 (1973)

5. W P Reinhardt, D Farrelly, The quadratic Zeeman effect in hydrogen: an example of semi-classical quantization of a strongly non-separable but almost integrable system. Journal de Physique Colloque C2, 43 29-43 (1982)

6. T P Grozdanov, E A Solov'ev, The quadratic Zeeman effect for highly excited hydrogen atoms in weak magnetic fields. /. Phys. B: At Mol. Phys. 17 555-570 (1984)

7. Лисица B.C., Новое в эффектах Штарка и Зеемана для атома водорода. УФН 153, В.З, 379-421 (1987).

8. Friedrich Н. Theoretical Atomic Physics (Springer-Verlag, Berlin, 1991).

9. Braun, P.A. Descrete semiclassical methods in the theory of Rydberg atoms in external fields. Rev. Mod. Phys. 65, 115 (1993).

10. H Ruder, G Wunner, H Herold, F Geyer, Atoms in Strong magnetic Fields, Springer, Berlin, 1994

11. Буреева J1 А, Лисица В С, Возмущенный атом. М.: ИздАТ, 1997

12. С.П. Аллилуев, И.А. Малкин, О вычислениях эффекта Штарка на атоме водорода с учётом динамической симметрии 0(2,2)х0(2). ЖЭТФ 66, 1283 (1974).

13. Silverstone, H.J. Perturbation theory of the Stark effect in hydrogen to arbitrarily high order. Phys. Rev. Л 18, 1853 (1978).

14. Grozdanov T.P., Taylor H.S., Second-order perturbation calculations for the hydrogenic Zeeman effect . /. Phys. B: At Mol. Phys. 19, 4075 (1986).

15. Witwit M.R.M., Killingbeck J.P. The second- and the third-order energy corrections in the partition pertutbation series for the hydrogen atom in a magnetic field. J. Phys. B: At Mol. Phys. 26, 1599 (1993).

16. Вайнберг B.M., Гани В.А., Кудрявцев A.E. Высокие порядки теории возмущений для атома водорода в магнитном поле. ЖЭТФ 113, 550 (1998).

17. Wang J-H., Hsue C-S., Calculation of the energy levels of a hydrogen atom in a magnetic field of arbitrary strength by using В splines. Phys. Rev. A 52, 4508 (1995).

18. Kravchenko Y.P., Liberman M.A., Johansson В., Highly Accurate Solution for a Hydrogen Atom in a Uniform Magnetic Field. Phys. Rev. Lett. 77, 619-622 (1996).

19. Соловьев Е.А. Атом водорода в слабом магнитном поле. ЖЭТФ 82, 1762 (1982).

20. Grozdanov Т.P., Andric L., Manescu, R. McCarroll, Discrete variable representation for highly excited states of hydrogen atoms in magnetic fields. Phys. Rev. A 56, 1865 (1997).

21. D Kleppner, M G Littman, M L Zimmerman, Rydberg atoms in strong fields. Rydberg States of Atoms and Molecules, (Cambridge: Cambridge University Press, 1983)

22. Дамбург Р.Д., Колосов В.В., Ридберговские состояния атомов и молекул. Под ред. Р.Ф. Стеббинга и Ф.Б. Даннинга. М.: Мир, (1983).

23. Zimmerman М L, Hulet R G, Kleppner D, Comparisons of approximate bases for a hydrogene in a magnetic field. Phys. Rev. A 27 2731 (1983)

24. Chon-ho Iu, G R Welch, M M Kash, D Kleppner, Diamagnetic Rydberg atom: Confrontation of calculated and observed spectra. Phys. Rev. Lett. 66 145 (1991)

25. T F Gallagher, Rydberg Atoms, (Cambridge: Cambridge University Press, 1994)

26. Zimmerman M L, Castro J C, Kleppner D, Diamagnetic structure of Na Rydberg states. Phys. Rev. Lett. 40 1083 (1978)

27. S К Knudson, D W Noid, High Rydberg states of an atom in a strong magnetic-field, Phys. Rev. Lett. 50 579 (1983)

28. J В Delos, S К Knudson, D W Noid, Highly excited states of a hydrogen atom in a strong magnetic field, Phys. Rev. Л 28 7 (1983)

29. P Cacciani, Р luc-Koenig, J Pinard, С Thomas, S Liberman, Experimental studies of a diamagnetic multiplet in odd Rydberg states of lithium. Phys. Rev. Lett. 56 1124 (1986)

30. Wunner G, Kost M, Ruder H, "Circular" states of Rydberg atoms in strong magnetic field. Phys. Rev. A 33 1444 (1986)

31. G Raithel H Held L Marmet H Walther, Rubidium Rydberg atoms in strong static fields. J. Phys. B: At Mol. Phys. 27, 2849-2866 (1994)

32. Starace A F, Webster G L, Atomic hydrogen in a uniform magnetic field: Low-lying energy levels for fields below 109 G. Phys. Rev. A 19 1629 (1979)

33. Barcza S, The diamagnetic Coulomb problem at a low field strength: Analysis of the spherical basis. J. Phys. A: Math. Gen. 33 1187 (2000)

34. Economou N P, Freeman P R, Liao P F, Diamagnetic structure of Rb in intense magnetic fiels. Phys. Rev. A 18 2506-2509 (1978)

35. M Bachmann, H Kleinert , A Pelster, Quantum statistics of hydrogen in strong magnetic fields. Phys. Lett. A 279 23 (2001)

36. Starace A F, Webster G L, Atomic hydrogen in a uniform magnetic field: Low-lying energy levels for fields above 109 G. Phys. Rev. A 35 647 (1987)

37. U Fano, F Robicheaux, A R P Rau, Semianalitical study of diamag-netism in a degenerate hydrogenic manifold. Phys. Rev. A , 37 3655 (1988)

38. К Balla, J M Benko, The diamagnetic Coulomb problem at high field strength. Numerical analysis. /. Phys. A: Math. Gen. 29 6747 (1996)

39. Barcza S, The diamagnetic Coulomb problem at high field strength. Asymptotic analysis. /. Phys. A: Math. Gen. 29 6765 (1996)

40. J С Lopez V., A. Turbiner, One-electron linear systems in a strong magnetic field. Phys. Rev. A , 62, 022510 (2000)

41. S Datta, S Bhattacharyya, J К Bhattacharjee, Hydrogen atom in a magnetic field: large-N expansion. Phys. Lett. A 265 241 (2000)

42. L В Mendelson, F Briggs, J В Mann, Hartry-Fock diamagnetic susceptibilities, Phys. Rev. A 2 1130-1134 (1970)

43. Ivanov M V, The hydrogen atom in a magnetic field of intermediate strength. J. Phys. B: At Mol. Phys. 21 447 (1988)

44. Ivanov M V, Schmelcher P, Ground state of the lithium atom in strong magnetic fields. Phys. Rev. A 57, 3793-3800 (1998)

45. M. V. Ivanov, Hartry-Fock calculations of the ls2s2 state of the Be atom in external magnetic fields from 7 = 0 up to 7 = 1000 Phys. Lett. A 239 72 (1998)

46. Ivanov M V, Schmelcher P, Ground state of the carbon atom in strong magnetic fields. Phys. Rev. A 60, 3558-3568 (1999)

47. M. V. Ivanov, P. Schmelcher, Ground states of H, He, ., Ne, and their singly positive ions in strong magnetic fields: The high-field regime. Phys. Rev. A 61 022505 (2000)

48. A Rutkowski, R Kozlowski, Double-perturbation approach to the relativists hydrogenic atom in a static and uniform magnetic field. /. Phys. B: At Mol. Phys. 30 1437 (1997)

49. В W Holmes, JAR Griffith, A detailed study of the effects of weak magnetic fields on the forward scattering of resonant laser light by sodium vapour. /. Phys. B: At Mol. Phys. 28 2829 (1995)

50. Poustie A J, Dunn M H, Magnetic-field-induced sum-frequency mixing in sodium vapor. Phys. Rev. A 47 1365 (1993)

51. Flusberg A, Mossberg T, Hartmann S R, Optical Difference-Frequency Generation in Atomic Thallium Vapor. Phys. Rev. Lett. 38 59 (1977)

52. Flusberg A, Mossberg T, Hartmann S R, Optical Sum-Frequency-Generation Interference in Atomic Sodium Vapor. Phys. Rev. Lett. 38 694 (1977)

53. Dorman C, Kucukkara I, Marangos J P, Measurement of high conversion efficiency to 123.6-nm radiation in a four-wave-mixing scheme enhanced by electromagnetically induced transparency. Phys. Rev. A 61 013802 (1999)

54. Fedotov A B, Koroteev N I, Naumov A N, Sidorov-Biryukov D A, Zheltikov A M, Coherent Ellipsometry of Close Atomic and Ionic Resonances by Means of Coherent Four-Wave Mixing. Laser Physics 8 570 (1998)

55. Eichmann Н, Meyer S, Riepl К, Momma С, Wellegehausen В, Generation of short-pulse tunable XUV radiation by high-order frequency mixing. Phys. Rev. A 50 R2834 (1994)

56. Gaarde M В, L'Huiller A, Lewenstein М, Theory of high-order sum and difference frequency mixing in a strong bichromatic laser field. Phys. Rev. A 54 4236 (1996)

57. Finn R S, Ward J F, dc-Induced Optical Second-Harmonic Generation in the Inert Gases. Phys. Rev. Lett. 26 285 (1971)

58. Matsuoka M, Nakatsuka H, Uchiki U, Mitsunaga M, Optical second-harmonic generation in gases: "rotation" of quadrupole moment in magnetic field. Phys. Rev. Lett. 38 894 (1977)

59. Sinclair В D, Dunn M H, Continuous-wave second-harmonic generation in sodium vapor. Phys. Rev. A 34 3989 (1986)

60. Stancil P C, Copeland G E, Magnetic-field enhanced spontaneous two-photon emission of hydrogenic atoms. Phys. Rev. A 48 516 (1993)

61. Stancil P C, Copeland G E, Interference effects in the two-photon polarization spectra of alkali atoms in intermediate strength magntic fields. /. Phys. A: Math. Gen. 27 2801 (1994)

62. Fainshtein A G, Manakov N L, Ovsiannikov V D, Rapoport L P, Nonlinear susceptibilities and light scattering on free atoms. Phys. Rep. 210 111 (1992)

63. Manakov N L, Marmo S I, Ovsiannikov V D, Magnetic field induced optical second harmonic generation. Laser Physics 5 181 (1995)

64. Eichmann H, Egbert A, Nolte S, Momma C, Wellegehausen B, Polarisation-dependent high-order two-colour mixing. Phys. Rev. A 51 R3414 (1995)

65. Becker W, Chichkov В N, Wellegehausen B, Schemes for the generation of circularly polarized high-order harmonics by two-color mixing. Phys. Rev. A 60 1721 (1999)

66. Moseley R R, Shepherd S, Foulton D J, Sinclair В D, Dunn M H, Interference between excitation routes in resonant sum-frequency mixing. Phys. Rev. A 50 4339 (1994)

67. Shepherd S, Moseley R R, Sinclair В D, Dunn M H, Effects of different phase-matching conditions in sum-frequency-mixing systems in vapors. Phys. Rev. A 49 3002 (1994)

68. Manakov N L, Ovsiannikov V D, DC field-induced resonance and polarization effects in two-colour frequency mixing in atoms. /. Phys. B: At Mol. Phys. 33 2057 (2000)

69. Manakov N L, Ovsiannikov V D, Circular and polarization control in four wave mixing in atoms. Laser Physics 10 1252 (2000)

70. Bayram S B, Havey M D, Kupriyanov D V, Sokolov I M, Anomalous depolarization of the 5p 2P3/2 —> 8p 2Pj transitions in atomic 87Rb Phys. Rev. A 62 012503 (2000)

71. Bayram S B, Havey M D, Rozu M, Sieradzan A, Derevianko A, Johnson W R, bp2Pj —5d2D3/2 transition matrix elements in atomic 87Rb Phys. Rev. A 61 050502 (2000)

72. Dobrydnev B, Havey M, Theoretical investigation of two-color two-photon 6s 2Si/2 —► 5d 2Dj —> 11 p 2P3/2 excitation and depolarization spectra in atomic Cs. Phys. Rev. A 52 4010 (1995)

73. N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, L.P. Rapoport, Atoms in laser fields. Phys. Rep. 141, 319 (1986).

74. V.D.Ovsiannikov, S.V.Goossev, Diamagnetic shift and splitting of Rydberg levels in atoms. Physica Scripta 57, 506 (1998).

75. S.V.Goossev, V.D.Ovsiannikov, Higher-order diamagnetic contribution to shift and splitting of an atomic levels in a magnetic field. /. Phys. B: AtMol. Phys. 28, 5251 (1995).

76. V.D.Ovsiannikov, Analitical formulas for the third order diamagnetic energy of a hydrogen atom. Phys. Rev. 57, 3719 (1998).

77. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Квантовая механика, Наука, Москва (1974), §39.

78. Г.Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Наука, Москва (1973) Т.1, Гл. 5; (1974), Т.2, Гл. 10.

79. J С Gay, D Delande, F Biraben, F Penent, Diamagnetism of the hydrogen atom-an elementary derivation of the adiabatic invariant. /. Phys. B: At Mol. Phys. 16 L693-L697 (1983)

80. D.Delande, J.C.Gay, Group theory applied to the hydrogen atom in a strong magnetic field. Derivation of the effective diamagnetic Hamil-tonian. /. Phys. B: At Mol. Phys. 17, L335 (1984).

81. D.Delande, J.C.Gay, The hydrogen atom in a magnetic field. Spectrum from the Coulomb dynamical group approach. /. Phys. B: At Mol. Phys. 19, L173 (1986).

82. Варшалович Д А, Москалев A H, Херсонский В К Квантовая теория углового момента, Москва, «Наука», 1975

83. Manakov N L, Ovsiannikov V D, DC field-induced resonance and polarization effects in two-photon transitions between atomic states with different parity. /. Phys. B: At Mol. Phys. 30 2109 (1997)

84. Радциг А А, Смирнов Б М, Параметры атомов и атомных ионов. Справочник. (Энергоатомиздат, Москва, 1985)

85. Манаков Н Л, Поляризационные аномалии в рассеянии света газами, обусловленные диссипативными процессами. ЖЭТФ 106 1286 (1994)

86. В Д Овсянников, К В Халёв, Диамагнитные восприимчивости третьего порядка водородоподобных атомов. ЖЭТФ, 116 839-857 (1999)

87. К V Khalev, V D Ovsiannikov, Magnetic-field-induced two-colour frequency mixing in atoms: polarization effects on a double-resonance cross section. J. Phys. B: At Mol. Phys. 34 3843-3854 (2001)