Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве в задачах случайно-матричного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

БОРОДИН Алексей Михайлович

ИЗОМОНОДРОМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ В ЗАДАЧАХ СЛУЧАЙНО-МАТРИЧНОГО ТИПА

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Диссертация выполнена в Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кричевер И. М. доктор физико-математических наук, профессор Кулиш П. П. доктор физико-математических наук Новокшенов В. Ю.

Ведущая организация:

Государственный научный центр РФ "Институт теоретической и экспериментальной физики"

Защита состоится " 2.5> » ¿^АЛ" 2005 г.

в /6 часов на заседании Диссертационного совета Д.002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, Фонтанка, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт—Петербурге» отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Автореферат разослан

и

я

2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.002.202.01 доктор физико-математических наук

Зайцев А. Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория случайных матриц была предложена Виг-нером в 50-е годы для изучения статистики спектральных уровней сложных квантовых систем. Предсказанное теорией распределение расстояния между энергетическими уровнями было экспериментально подтверждено на примере нейтронных резонансов в атомах урана. С тех пор область применения случайно-матричных моделей в физике существенно расширилась.

С другой стороны, в течение последнего десятилетия был открыт и исследован класс задач, которые естественно называть дискретными моделями случайно-матричного типа. Происхождение таких задач весьма разнообразно: теория направленной перколяции (просачивания), стохастический рост кристаллов, случайные замощения, а также перечислительная комбинаторика и асимптотическая теория представлений. Возникающие в этих задачах вероятностные распределения на точечных конфигурациях имеют ту же алгебраическую природу, что и распределения собственных чисел случайных матриц.

Одной из наиболее важных характеристик как непрерывных, так и дискретных моделей является "нуль-вероятность" — вероятность отсутствия частиц (точек спектра или другой случайной конфигурации) в заданном интервале или объединении интервалов. Знание нуль-вероятностей позволяет вычислить функции распределения крайних (самой левой и/или самой правой) частиц, а также функцию распределения расстояния между соседними частицами. Часто эти распределения оказываются основными характеристиками модели. Например, в перколяционных задачах распределение самой правой частицы есть в точности распределение времени проницаемости, а в ядерной физике именно распределение расстояния между соседними частицами успешно сверяется с экспериментальными данными.

Единственный известный на настоящий момент способ вычисления нуль-вероятностей в непрерывном случае состоит в их характеризации как решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными.

Задача о выводе дифференциальных уравнений для нуль-вероятностей имеет долгую историю. В 1980 году Джимбо, Мива, Мори и Сато впервые

3

решили эту задачу для так называемого синус-процесса, играющего важную роль в ядерной физике. Они показали, что нуль-вероятность в случае интервала переменной длины 5 может быть выражена через решение классического обыкновенного дифференциального уравнения по 8, известного как уравнение Пенлеве V. Они также доказали, что в случае многих интервалов нуль-вероятность выражается через решение системы изомонодромных уравнений с частными производными, полученной Шлезингером в 1912 году.

Эти неожиданные результаты вызвали большой интерес специалистов по случайным матрицам. В 1992 году Мехта опубликовал другой вывод уравнения Пенлеве V для синус-процесса. Приблизительно в то же время Трейси и Видом дали своё доказательство того же результата. Более того, они предложили общий алгоритм получения систем дифференциальных уравнений с частными производными в многоинтервальном случае. Используя этот метод, им удалось получить различные уравнения Пенлеве для нескольких важных в теории случайных матриц процессов.

Среди более поздних статей отметим работы Адлера и ван Мёрбеке, где авторы развили альтернативный подход к случайно-матричным задачам; работу Хайна и Семенга, где было получено уравнение Пенлеве VI для процесса Якоби; работу Дейфта, Итса и Жоу, где авторы применили теорию задач Римана-Гильберта к выводу уравнений Шлезингера; работу Харнада и Итса, где с помощью изомонодромной теории был исследован многомерный аналог синус-процесса; и работы Форрестера, Витте и Косгрова, где, в числе прочего, двухинтервальная задача была сведена к одному обыкновенному дифференциальному уравнению.

Цель работы. Создание нового метода вычисления нуль-вероятностей в непрерывных и дискретных задачах случайно-матричного типа, а также применение этого метода к исследованию ряда конкретных моделей, возникающих в математике и математической физике.

Построение общей теории изомонодромных преобразований линейных систем разностных уравнений с рациональными коэффициентами.

Научная новизна полученных результатов. Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

1. Предложен новый метод вычисления нуль-вероятностей в задачах случайно-

4

матричного типа.

2. Впервые вычислена нуль-вероятность в наиболее общей из известных точно решаемых непрерывных случайно-матричных моделей.

3. Построен новый метод обращения дискретных интегрируемых операторов с помощью ассоциированных дискретных задач Римана-Гильберта.

4. Основываясь на этом методе, впервые вычислены нуль-вероятности в ряде дискретных моделей, включая задачи, возникающие в направленной перколяции и теории представлений бесконечной симметрической группы, а также ортогональные полиномиальные ансамбли.

5. Развита теория изомонодромных преобразований линейных систем разностных уравнений с рациональными коэффициентами. Построены дискретные аналоги уравнений Шлезингера и доказаны существование и единственность их решений.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях "Комбинаторика и теория случайных матриц" (Филадельфия, США, 2000), "Асимптотическая комбинаторика и приложения к математической физике" (Математический институт Эйлера, Санкт-Петербург, 2001), "Вероятность и статистика случайных алгебраических структур" (Обервольфах, Германия, 2002), "Теория случайных матриц и комбинаторика" (Нью-Йорк, США, 2002), "Модели случайного роста" (Париж, Франция, 2003), "Асимптотическая теория и уравнения Пенлеве" (Анже, Франция, 2004), на семинарах Института проблем передачи информации РАН, Независимого Московского Университета, Института теоретической и экспериментальной физики РАН, Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН, Лондонского математического общества, Кембриджского университета, Нью-Йоркского университета, Калифорнийского технологического института и Института высших исследований в Принстоне.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка цитируемой литературы, содержащего 114 названий, и изложена на 256 страницах.

Содержание работы

В задачах случайно-матричного типа нуль-вероятность, как правило, может быть записана в виде определителя Фредгольма от разности единичного оператора и подходящего интегрального оператора, суженного на множество, для которого эта вероятность вычисляется.

В первой главе диссертации нашей основной задачей является вывод дифференциальных уравнений для определителей Фредгольма вида<1е1;(1 — K\j), где К есть некоторый интегральный оператор, a J — некоторое подмножество вещественной оси. Ядро наиболее общего рассматриваемого оператора К имеет вид

К{х,у) =

А(х)В(у) - В(х)А(у)

У

у/ф{х)-ф(у)

(1)

с функциями А, В и ф, заданными формулами

Sin TTZ Sin 7TZ

ф{х)=. {х _ (х+1 р- f

А(х) = I —\ 2Fi (z + w', z' + w'\z + z' + w + tu'; y^J , T(z + w + 1) Г(г + w' + l) T(z' +w + l) Г(г' + «;'+!)

B(x) =

T(z + z' + w + w' + 1) Г(г + z' + w + w' + 2)

Здесь 2-^1 (а, Ь\ с; С) обозначает гипергеометрическую функцию Гаусса, а г, г', ш, и/ суть некоторые комплексные числа. Мы называем это ядро непрерывным 2-Р\ -ядром или просто 2-^1 -ядром.

2^1-Ядро впервые было выведено в теории представлений бесконечномерной унитарной группы {/(оо). Разложение некоторых естественных представлений и(оо) на неприводимые управляется вероятностной мерой на бесконечномерном пространстве всех неприводимых представлений. Проекция этой меры на подходящее одномерное подпространство имеет функцию распределения, равную

Наш подход к выводу дифференциальных уравнении существенно использует теоретико-представленческое происхождение 2-р1-ядра. Оказывается,

6

что само построение ядра указывает на то, что резольвента Ь = К(1 — К)~г ядра К должна иметь "простой" вид. "Простой" в том смысле, что в формуле для ядра Ь(х, у) не участвуют специальные функции. На формальном уровне имеет место равенство Нас, однако,

интересует определитель для сужения оператора и априори совер-

шенно не очевидно, как можно использовать "простое" ядро Ь для вычисления .^(в) = — ¿Т|(41+00)). Основным наблюдением первой части диссертации является тот факт, что ядро Ь действительно может быть использовано для вычисления О(в), и это приводит к желаемым дифференциальным уравнениям.

Для применения метода важнейшую роль играет тот факт, что оба ядра К и Ь являются интегрируемыми. Вкратце, наш метод состоит в следующем.

Шаг 1-й. Ядро К(х, у) выражается через явное решение т задачи Римана-Гильберта (К, г>), где матрица скачка V происходит из ядра Ь и является "простой".

Шаг 2-й. -О(з) = с1е<;(1 — выражается через решенив^ор-

мированной задачи Римана-Гильберта ((в, +оо), С), где матрица скачка V включает в себя гипергеометрические функции из формулы для К.

Шаг 3-й. Произведение тат удовлетворяет задаче Римана-Гильберта

это та же "простая" матрица скачка, что и в

первом шаге.

Третий шаг, который является ключевым, следует из теории интегрируемых операторов и следующего простого замечания. Допустим, £ = £1 и Ег С С есть объединение двух контуров. Пусть т, тх — это решения задач Римана-Гильберта (£,и), (£¡1,«), соответственно. Тогда тг = является решением задачи Римана-Гильберта Обратно, если суть решения

т2т решает (£1,1;).

Как мы увидим в дальнейшем, если V — это матрица скачка, связанная согласно теории интегрируемых операторов с ядром то

есть в точности матрица скачка 0, связанная с ядром К.

В теории задач Римана-Гильберта дифференциальные уравнения часто выводятся исходя из того, что матрица скачка рассматриваемой задачи может быть сведена к матрице, не зависящей от нужных параметров деформации. Типичное вычисление, которое восходит к истокам обратной теории рассеяния, выглядит следующим образом. Нелинейное уравнение Шрёдингера (НЛШ) связано с задачей Римана-Гильберта (£ = М, = ), где

егвс3 у е л0оз

для некоторого коэффициента отражения г. Если т — это решение (К, то Ф — те1""3 решает зада чу к)о т о р а я не зависит о ж От сюда

видно, что Ш и ттг являются решениями одной и той же задачи Римана-

аФ

аФ

Ф

дь

Несложное вычисление приводит к паре Лакса ^ = РФ, ^ =

не имеют скачка аФ _ р,т, зф

Гильберта, и, следовательно, отношения на Е =

£Ф для некоторых полиномиальных матричнозначных функций Р = Р((), Ь — £(£). Условие совместности д^-Ц: = немедленно приводит к НЛШ.

Мы покажем, что матрица скачка V из первого и третьего шагов может быть легко приведена с помощью сопряжения к локально-постоянной матрице скачка V. Аналогично приведенному выше вычислению для НЛШ, это означает, что решение задачи Римана-Гильберта М+ — может

быть продифференцировано по переменной £ на контуре и по переменной я,

что приводит к дифференциальным уравнениям вида ^ = РМ, ^ = ЬМ, где Р Р(С) и Ь = £(£) рациональны. Перекрёстное дифференцирование даёт систему дифференциальных уравнений. Если Vлокально-постоянна, то уравнения описывают изомонодромную деформацию,

и, следовательно, можно построить изомонодромную тау-функцию Отдельное вычисление показывает, что = т(з), и отсюда выводится, что .0(5) выражается через решение уравнения Пенлеве VI. Эти вычисления немедленно обобщаются на случай, когда интервал (.в,+оо) заменяется на объединение интервалов ./.

Основной результат первой части диссертации может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1. Пусть

есть дизъюнктное объединение (возможно, бесконечных) интервалов вещественной оси, такое что замыкание 7 не содержит точки . Обозначим через К3 сужение непрерывного -ядра К{х,у) на 3. Тогда, при выполнении подходящих условий на параметры (г,г',ги,ги'), интегральный оператор с ядром К3 является ядерным, и ёе1;(1 — К3) есть г-функция системы уравнений Шлезингера

где ДВ^С«}^ суть ненулевые 2 на 2 матрицы (если <ц = —оо или а2т = +оо, то соответствующие матрицы обращаются в нуль), удовлетворяющие условиям

эл = [с„а\ ж = [сг,в]

да, «1 - |' даг а, + \'

Тг А = Тг В = ТгСх = Тг С2 = • • • = Тг С2т = О, <1«ЛА = - (^У , = - , ¿е^! = с^Сг = ■ • • = йеЬС2т = О,

Иными словами.

Тг (АС,) | Тг (ВСг) | Тт{С3Сх) а, + \ а,-а,

(На,.

Если J = (в, +оо), то, вводя обозначения

г + г' + ы + и/ V 1 = 1-2- -=-

г — г' + и) — V}'

г — г' — и> +

мы получаем, что функция

удовлетворяет а-версии уравнения Пенлеве VI:

-сг' ((« - I) + а")2 = (2 (за' -а) а1- ихи2иЗщ) _(</ + „?)(<,' + + „|)(с/ + „I).

—а

2

Как уже было отмечено выше, свойство ядра К, которое для нас важно, — это существование простого резольвентного ядра Ь = К( 1 — К)~1. Это свойство является новым; оно было впервые отмечено в контексте теории представлений бесконечной симметрической группы 5(оо). В теории случайных матриц возникают ядра К, которые отвечают проекторам (типа Кристоффеля-Дарбу), либо их скейлинговым пределам. Все эти ядра имеют норму, равную единице, и поэтому оператор не может быть

корректно определён. Наша же задача имеет другое происхождение, и это позволяет не только определить Ь, но и явно его вычислить.

Наш метод также доставляет новый подход к выводу дифференциальных уравнений для ядер вида (1), удовлетворяющих уравнениям типа

где это рациональная функция со значениями в бесследных матри-

цах размера К таким ядрам относится и известное ядро Эйри, для

которого мы выводим второе уравнение Пенлеве, пользуясь нашим методом.

В первой части мы также рассматриваем ряд других ядер, схожих с непрерывным 2-^1-ЯДрОМ.

Во-первых, мы применяем наш метод к ядру Якоби и показываем, что определитель единичного оператора минус ядро Якоби, суженное на объединение конечного числа интервалов, является соответствующей изомонодромной задачи. В одноинтервальном случае мы опять получаем шестое уравнение Пенлеве.

Во-вторых, мы применяем наш метод к так называемому ядру Уитте-кера и к его частному случаю — ядру Лагерра. Ядро Уиттекера возникло

= Я(х)

'у/ЩА(хУ

<1х [ 1у,ф(х)В(х)

в работах по теории представлений бесконечной симметрической группы. Вычисления, которые мы проделываем для г-^-ядра, могут быть адаптированы к (более простому) случаю ядра Уиттекера. Мы доказываем, что определитель Фредгольма от разности единичного оператора и ядра Уиттекера, суженного на объединение конечного числа интервалов, также является некоторой изомонодромной задачи, и мы получаем пятое уравнение Пенлеве в одноинтервальном случае.

Наконец, мы замечаем, что 2^1-ядро вырождается в некотором скейлин-говом пределе в ядро, которое мы называем вырожденным гипергеометрическим. Это ядро возникает в задаче разложения некоторого замечательного семейства вероятностных мер на пространстве бесконечных эрмитовых матриц на эргодические компоненты. Оно также может быть получено как скейлинговый предел ядер Кристоффеля-Дарбу для ортогональных многочленов псевдо-Якоби. Мы доказываем, что определитель Фредгольма в одноинтервальном случае для этого ядра выражается в терминах решения уравнения Пенлеве V. При г = 0 это ядро превращается в хорошо известное синус-ядро, и наш результат совпадает с классическим результатом Джимбо-Мива-Мори-Сато.

Во второй главе мы переходим к изучению дискретных моделей. Одна из наиболее просто формулируемых, но содержательных задач выглядит следующим образом.

Пусть Бп — это симметрическая группа степенюОбозначим через 1п(сг) длину наибольшей возрастающей последовательности подстановки Положим

где 77 — комплексный параметр.

Существует много других способов определить р^. Например, эта величина может быть записана как тёплицев определитель

Теоретико-представленческое определение (которое может быть легко получено с помощью алгоритма Робинсона-Шенстеда) имеет вид

2

(5)

Рк ~ ^Л |А|! " ) '

Хг<к

где суммирование берётся по всем разбиениям Л = (Ах > • ■ ■ > Л; > 0) таким, что Ai < fc; |А| = Аг + • • • + Аг есть размер разбиения, a dim А есть размерность неприводимого представления симметрической группы 5|д|, соответствующего разбиению А.

Распределение р^ может быть записано в виде определителя Фредгольма:

: - ДГ|{к+1,к+2,...})>

где дискретное ядро Бесселя К имеет вид

Л/(-) есть ./-функция Бесселя, и диагональные значения К(х,х) определяются по правилу Лопиталя:

К(х

. (dJx

(2Г7)

Jx+i(2q) - Js(2n)

dJx+l(2r,)

дх дх

Теорема 2. Определим последовательность {®n}5i!=-i начальнымиуслови-ями = — 1, Х\ — fi/fo с ft-Mu из (4) и рекуррентным соотношением

Xn+i + Zn-i =

пхп

п> 1.

(6)

~ 1) '

Тогда для любого к > 1 и Т) в общем положении мы имеем (опуская индекс

V)

Рк+1Рк-1 , 2

Слова "в общем положении" здесь и в Теореме 3 ниже означают лишь то, что т] не принадлежит множеству полюсов мероморфнои функции Хк =

Соотношение (6) представляет собой частный случай разностного уравнения Пенлеве II.

Теорема 2 также является эффективным инструментом для численного

вычисления р^. В самом деле, представление через тёплицев определитель

2 "

даёт начальные условия

р\ — е~'п /о, и тогда из Теоремы 2 следует рекуррентное соотношение Ясно,

что эта вычислительная схема несравненно более эффективна, чем прямое вычисление тёплицевых определителей.

Хорошо известная теорема Байка-Дейфта-Иоханссона утверждает, что,

М

если мы возьмём г) > 0 и устремим т) к плюс бесконечности, то Р^+щ1/6 сходится к гладкой функции F2(¿) (также известной под названием "распределение Трейси-Видома" в теории случайных матриц), которая может быть выражена через решение классического уравнения Пенлеве И. Более точно, если предположить, что предел существует, то из теоремы 2 легко следует, что есть решение уравнения это

и есть утверждение теоремы Байка-Дейфта-Иоханссона.

Чтобы сформулировать второй основной результат второй части, определим величину через тёплицев определитель

+00

'а]Г РтС = (1 + ч/Шг(1+\/С/СГ'. (7)

Несложно показать, что для любого продолжается до

аналитической функции на (г, г',()£СхСх(С\ [1, +оо)).

Изтеоретико-представленческойинтерпретации следует, что, если

(х z,

есть функция распределения длины первой строки случайных диаграмм Юнга, распределенных по г-мере. 2-меры тесно связаны с обобщенными регулярными представлениями бесконечной симметрической группы. Такая интерпретация ведет к следующему тождеству, ср. (5),

В этой формуле обозначает диаграмму Юнга, отвечающую разбиению

и произведение берётся по всем клеткам этой диаграммы.

13

Заметим, что из соотношений (5) и (6) следует, что

Для целых положительных значений параметров z, z' распределение также может быть проинтерпретировано в терминах наибольших возрастающих последовательностей. Еще одна возможная интерпретация — время первого просачивания в модели направленной перколяции. Для целых г, z' разных знаков доставляет распределение высоты в модели случай-

ного роста, называемой цифровое кипение (digital boiling).

Распределение может быть представлено в виде определителя Фред-

гольма следующим образом. Положим

гтг(С)

lFl с + 1; £) ^ --Ш

-W —с—-11 ^ (2>Фт)

h(x) =

Г(® + 1)

Тогда = det(l — if |{fc+i,fc+2,... })i где гипергеометрическое ядро К

даётся формулой

m21(z)7nu(2/) — тпп(х)т21(у)

К(х, у) = <

h(x)h(y)•

^ h2(*) {

f dm2X{x)

x-y

X фу

,11

(x)-

dmn(x)

У-

йх йх

Теорема 3. Обозначим через и {г/п}^=о последовательности, за-

данные начальными условиями

Х° ^а^С-г 1, -г' +1; 2; 0 '

-г/ - 1; 1; Ог^-г 4- 1, -V + 1; 2; С)

г^С-г, 1; о аЛМ-* + 1, 2; ()

и рекуррентными соотношениями

(Уп - (г + г' + п + 1)) (уп - (г' + га + 1)) уп (уп - г') г + п + 1 г'+ п+ 2

У о =

Хп+1

Уп+1 - -Уп +

1 - + 1 -14

+ z'.

Тогда для любого к > 0 и (г,г',£) в общем положении мы имеем (опуская индексы (г, г', £))

Аналогично Теореме 2, эта теорема может быть использована для численного вычисления дд.2'*'^. В самом деле, начальные условия до, 91,92 могут быть получены из представления в виде тёплицева определителя, и

тогда соотношение (10) может рассматриваться, как рекуррентное для вычисления Ць при к > 3.

В первой части диссертации показывается, что если г' = г, £ 6 (0,1), и £ -> 1, то сходится к гладкой функции С?^(£), которая является

г-функцией уравнения Пенлеве V. Если предположить, что х^^^) сходится к гладкой функции х{1), то из (9) следует соотношение

которое является частным случаем пятого уравнения Пенлеве. Тогда предел соотношения (10) доставляет рациональное выражение для (1п(1п (?(*)({))")' в терминах х{£) и х'{Ь). На самом деле, из результатов первой части следует, что уже первая производная является рациональной функцией

и х' для некоторого решения уравнения (11). Дискретный аналог этого результата пока неизвестен.

В настоящее время существует несколько различных подходов к дискретизации уравнений Пенлеве. Оказывается, что соотношения (9) образуют частный случай разностного уравнения Пенлеве V, которое было ранее введено в работе Сакаи. Интересно, что в этой работе дискретные аналоги уравнений Пенлеве строились исходя из чисто алгебро-геометрических соображений.

Разностные уравнения Пенлеве I и II появились в работах физиков ранее. Одно из достижений второй главы — это демонстрация того факта, что разностное Пенлеве V тоже возникает в некоторой конкретной модели математической физики.

Доказательства теорем 2 и 3 основаны на общем методе вычисления резольвент дискретных аналогов интегрируемых операторов с помощью ассоциированных задач Римана-Гильберта, который мы развиваем.

Мы даём определение дискретных задач Римана-Гильберта и дискретных интегрируемых операторов и показываем, как резольвента дискретного интегрируемого оператора может быть получена из решения соответствующей дискретной задачи Римана-Гильберта. Этот результат является аналогом хорошо известного факта в непрерывном случае.

Отметим, что наша постановка дискретной задачи Римана-Гильберта родственна постановке обратной задачи рассеяния в чисто солитонном случае.

В качестве иллюстрации мы также приводим пример двух явно решаемых дискретных задач Римана-Гильберта, которые непосредственно связаны с мерами на разбиениях, возникающими в (5) и (8). Решения этих задач даются в терминах классических специальных функций: функций Бесселя и гипергеометрических функций Гаусса. Решение второй задачи — это в точности матрица приведенная выше.

При доказательстве теорем 2 и 3 мы пользуемся представлениями распределений р^ и в виде определителей Фредгольма с!е1;(1 — ..})! где К есть либо дискретное ядро Бесселя, либо гипергеометрическое ядро, см. выше.

Вычисление этих определителей Фредгольма сводится к решению некоторых дискретных задач Римана-Гильберта. Матрицы скачка у этих задач достаточно просты, и это позволяет вывести пары Лакса, состоящие из разностных уравнений, которым удовлетворяют решения наших

дискретных задач Римана-Гильберта:

с рациональными матрицами А(£), В(£) и С(0. Условие согласованности этих соотношений ведёт к разностным уравнениям Пенлеве на матричные

16

элементы А и В. Некоторые дополнительные соображения позволяют выразить определители Фредгольма через эти матричные элементы.

Изложенный метод может рассматриваться как дискретный аналог метода, построенного в первой главе. Он также применим к широкому классу других дискретных интегрируемых ядер, в частности, к ядрам Кристоффеля-Дарбу для дискретных ортогональных многочленов, если дискретная логарифмическая производная весовой функции рациональна. В третьей главе мы применяем наш метод к таким ядрам.

Вероятностная постановка задачи, решаемой в третьей главе, выглядит следующим образом.

Пусть X — произвольное локально-конечное подмножество вещественной оси функция на принимающая положительные зна-

чения. Мы будем предполагать, что моменты w конечны:

Зафиксируем положительное целое число к (количество частиц) и рассмотрим вероятностную меру на всех подмножествах заданную формулой

РгоЬ{ж!,... ,a;/fc} = const- ][J {xi — Xj)2 JJu^a;*). (12)

Нас интересует распределение максимума

Эта задача мотивирована теорией случайных матриц с одной стороны, и комбинаторными и теоретико-представленческими моделями — с другой.

В теории случайных матриц вероятностные меры вида

const ■ Л (xi — Xj)2 Л w(xi)dxi

на ^-точечных п о д м н о ж№, сдв ш^х — гладкая функция на некотором интервале внутри вещественной оси, играют важнейшую роль. Ортогональные многочлены, соответствующие весовой функции являются основным и наиболее удобных техническим средством исследования таких

17

мер. Поэтому эти меры часто называют ортогональными полиномиальными ансамблями.

Задача об описании распределения максимума тах{жг} в непрерывной ситуации для классических весовых функций решается в следующем смысле: функция распределения является решением одного из шести уравнений Пенлеве с явными граничными условиями. Этот факт был доказан Трейси-Видомом для веса Эрмита w(x) = ехр(—а;2), гсК, и для веса Ла-герра яаехр(-ж), а; > 0; в работе Хайна-Семенга и первой главе для веса Якоби (1 — ж)"(1 + х)ъ, х € (—1,1); и в первой главе для веса псевдо-Якоби (l-Mr)s(l + i:r)ä, же К.

Таким образом, естественным образом возникает вопрос, имеют ли эти результаты дискретный аналог для дискретных классических весовых функций.

С другой стороны, случайные величины вида тах{а^} с а^-ми, образующими ортогональный полиномиальный ансамбль, в ряде задач перечислительной комбинаторики, теории направленной перколяции, теории представлений, теории процессов случайного роста оказываются наиболее важными характеристиками модели.

Чтобы сформулировать первый результат третьей главы, необходимо ввести дополнительные обозначения. Обозначим точки множества X через ■Ks,s = 0,l,...,N,ciro < 7Ti < • • • илитго > 1Гх> ■■■ . Здесь N = |£| — 1 может быть как конечным, так и бесконечным. Мы опираемся на два следующих базовых предположения.

• Существует аффинное преобразованием : Ж —>■ К, такое что а7rs+i = Жц для всех s, 0 < s < N.

• Существуют многочлены Р(х) и Q(x), такие что

tü(7r3_l) _ P(lTs)

1 <s<N,

Весовые функции для многих (но не всех) гипергеометрических многочленов схемы Аски удовлетворяют этим предположениям. Для некоторых классических семейств ортогональных многочленов оба предположения выполняются, но множество ортогональности Ж не является локально конеч-

18

ным. Наши результаты распространяются и на эти случаи.

Теорема 4. При выполнении двух условий, сформулированных выше, существует рекуррентная процедура, которая вычисляет нуль-вероятность

где х,-ые распределены согласно (12). Рекуррентная процедура вычисляет последовательность пар (Л„, М3(£)), где Аа — это матрица 2 на 2, и Ма(С) ~ это матричный многочлен

степени I = тах{с^.Р,с^ф}. Каждый рекуррентный шаг описывается равенством

Отношение

(Рз+з _ Д.уЛ (Р*+? _ Рз+Л'1

Ра+г) \Р*+1 Р, ) п (0К

есть явнаярациональная функцияматричныхэлементов М, , Ма

Несложно показать, что, если сМ М3(тг3+1) Ф 0 (что в нашей ситуации всегда верно), то соотношение (13) однозначно определяет М5+1), если (А3,Ма) известны. С другой стороны, существование пары (Аа+\, М^) не очевидно и требует доказательства. На самом деле, для матриц 2 на 2 легко увидеть, что (А,+1, ..., суть рациональные функции от (Аа,Ма1\..., Мв°В нашей ситуации нужная теорема существования всегда имеет место.

Поскольку нуль-вероятность Ц, = РгоЬ{тах{х,} < 7Г3} не равна нулю только для в > к (напомним, что к - это количество ат,-ых в (12)), для того, чтобы вычислить Ds для всех s, достаточно знать начальные условия

19

О к, Ан ь Бк+2, А-к, Мк( С)- Мы явно выражаем эти начальные условия через точки множества ортогональности {тт,} и значения {ги(7г4)} весовой функции в этих точках.

Для некоторых классических весов щ рекуррентное соотношение (13) может быть существенно упрощено. Чтобы проиллюстрировать ситуацию, рассмотрим Ж = Z>o и т(х) = ах/х\ с параметром а > 0. Такая весовая функция соответствует классическим многочленам Шарлье.

В этом случае Аа и Мя(^) можно параметризовать тремя скалярными последовательностями а„, Ьй, с„ следующим образом:

Тогда равенство (13) приводит к рекуррентным соотношениям

Связь этих последовательностей с распределением Б3 выглядит так:

(15)

(16)

Замена перемет

Л = Л 71, д3 = ааа + Ьв + в + 1,

Л/»+1 93

{д.-а- 1 )(®в + * - в - 1)'

превращает (15)- а 54 1 , Р Р v ; д» + д>+1 = --^—т--к + 2в + 3.

/я+1 1 - /з+1

Эти рекуррентные соотношения в точности совпадают с четвертым разностным уравнением Пенлеве.

Соответствующие начальные условия явно задаются через вырожденные гипергеометрические функции:

Оказывается, что описанная выше ситуация с ансамблем Шарлье достаточно типична. Для других классических весов мы тоже сводим матричное рекуррентное соотношение (13) к дискретным (скалярным) уравнениям Пенлеве. Наши результаты просуммированы в следующей таблице.

Ортогональные Множество Весовая Дискретное

многочлены ортогональности функция уравнение

Шарлье £ = Ж>о ах/х\ а > 0 разностное Пенлеве IV

Мейкснер X — 2>о /3 > 0, 0 < с < 1 разностное Пенлеве V

Кравчук 0 <р< 1 разностное Пенлеве V

д-Шарлье х = {я~х\хеъ>о} (<М)г 4 а > 0 вырожденное д-Пенлеве VI

Малые д-Лагерр £={д*|хег>о} («;«)» вырожденное

(или Волл) а < q~l д-Пенлеве VI

Малые д-Якоби X = {дж|х 6 2>о} д-Пенлеве VI

а < д~1, Ь < д-1 р> 0

(/-Кравчук 2 = {д-'|* = 0,...,ЛГ} д-Пенлеве VI

Замечательным фактом является то, что во всех явно решаемых случаях возникает одно из уравнений иерархии Сакаи, которая была построена, исходя из чисто алгебро-геометрической задачи.

В случае весовой функции Мейкснера вероятность Оа может быть переписана через тёплицев определитель с символом (1+.г)*:(1-(-Ь;г_1)с. Тогда мы получаем другое доказательство теоремы 3 для целого значения одного из параметров г, У.

Как уже отмечалось ранее, для доказательства этих результатов используется метод дискретных интегрируемых операторов и дискретных задач

Римана-Гильберта, развитый во второй главе.

21

Предложение 5. Нуль-вероятносmu представляются в виде определителя Фредгольма: Б3 = с!е1;(1 — Кв), где К3 — это оператор в пространстве ¿2({тга,7г.,+1,... }) с ядром

1 Рк-1{х)Рк{у) ~Рк{х)Рк~1(у)

Ка(х,у) =

\\Pk-

Иг2(зе,и>)

х - у

у/■ш(х)ы{у) .

Здесьрк и Рк-1 суть к-ый и (к — 1)-ый ортогональные многочлены на X, отвечающие весовой функции ги.

Вычисление этого определителя Фредгольма сводится к решению дискретной задачи Римана-Гильберта на {^о,..., 7^-1} с матрицей скачка, явно выражаемой через w. Наши предположения на X и ад, см. выше, позволяют получить пару Лакса для решения та(0 этой задачи Римана-Гильберта:

А.

Ы 0, т.К) = МАОтч-^ОО-1«;).

Здесь М,(£) — это матричный многочлен, и — фиксированный диагональный матричный многочлен, зависящий только от веса. Условие совместности есть в точности рекуррентное соотношение (13).

Основной целью четвертой главы является построение общей теории изо-монодромных преобразований линейных систем разностных уравнений с рациональными коэффициентами. Как приложение общей теории, мы показываем, что рекуррентные соотношения, полученные во второй и третьей главах диссертации, являются частными случаями изомонодромных преобразований.

Рассмотрим матричное линейное разностное уравнение

¥{г + 1) =А(г)У(г),

(17)

где

А(г) = А0гп + А^гп~1 + • • • + ^ё МаЛ(т, С),

есть матричный многочлен, и мероморфная матрич-

ная функция. (Замена У(2) на (Г(г))кУ(.г) сводит случай рациональной A(z) к полиномиальному.) Мы будем предполагать, что собственные числа матрицы Ао не равны нутю, и их отношения не вещественны. Тогда без потери общности мы можем считать, что диагональна.

22

В 1911 году Биркгоф доказал фундаментальный результат, который гласит, что уравнение (17) имеет два канонических решения Yl(z) и Yr(z), которые голоморфны и обратимы при Иг <С 0 и Sïz Э> О соответственно, и асимптотика которых вблизи z = оо в любой левой (правой) полуплоскости имеет определённый вид. Более того, Биркгоф показал, что отношение

которое обязано быть периодической функцией по очевидным причинам, на самом деле, является рациональной функцией переменной exp(2îriz). Количество свободных констант в этой рациональной функции в точности совпадает с количеством матричных элементов в А^,... ,Ап. Мы называем P(z) матрицей монодромии уравнения (17).

Биркгоф также доказал, что для любой периодической матрицы Р специального вида существует уравнение (17) с наперёд заданной Ао, для которого Г является матрицей монодромии. Более того, если два уравнения с коэффициентами A(z) и A{z), Ао = -Aoj имеют одну и ту же матрицу монодромии, то существует рациональная матрица такая что

Â(z) = R{z + 1 )A(z)R~1{z). (18)

Первый результат четвёртой главы параметризует такие изомонодромные деформации.

Теорема 6. Для матриц A(z) общего положения существует гомоморфизм группы в группу обратимыхрациональныхматричнознач-ных функций, такой что преобразование (18) для любой матрицы R(z) в образе гомоморфизма не меняет матрицу монодромии уравнения (17).

Если обозначить через а\,... ,атп корни уравнения det A{z) — 0 (называемые собственными числамиА(г)) и через d\,... ,dn некоторые однозначно определённые показатели асимптотического поведения канонических решений Y(z) уравнения (17) в z — оо, то действие 2m(n+1)_1 однозначно определяется целыми сдвигами и {dj} с общей суммой всех сдвигов равной нулю.

Матрицы R(z) зависят от матричных элем и -

ональным образом и, тем самым, определяют бирациональные преобразо-

23

вания алгебраических многообразий, образуемых матрицами {А,} с заданными {а,} и

Оказывается, существуют замечательные подгруппы 1Р с 11т(п+1)~1 ^ которые определяют бирациональные преобразования на пространстве всех (с фиксированной . но без всяких ограничений на корни и

показатели в бесконечности), но, чтобы увидеть эти подгруппы, необходимо параметризовать матрицы по-другому.

Чтобы ввести новые координаты, разобьём собственные числа А(г) на п подмножеств с т элементами в каждом:

Разбиение может быть произвольным. Обозначим через В, единственный элемент Ма^тп.С) с собственными ч и с л , к о й что г — Вг есть

правый делитель

Матричные элементы правых делителей {В,}"^ и будут новыми координатами на пространстве

Действие подгруппы состоит в сдвиге собственных чисел

в каждом подмножестве на одно и то же целое число, зависящее только от подмножества, а также в сдвиге показателей на одно то же целое число, которое равно сумме сдвигов подмножеств собственных чисел с обратным знаком. Если обозначить через ..., кп)} результат применения сдвига то имеют место следующие уравнения:

В1{...)-В1(...,к]+1,...)=В3(...)-В3(...,к1 + 1,...), (19) В3(...,кг + 1,...)Вг(. .) = В1(...,к3 + 1,...)В3(...), (20) Вг{кг + 1,...,кп + 1) = А^В^ки ..., кп)А0 - I, (21)

где и точки в аргументах обозначают переменные которые

не изменились. Мы называем эти соотношения разностными уравнениями Шлезингера; основания для такого названия будут ясны из дальнейшего. Заметим, равенства что (19) и (20) могут быть переписаны в виде

Второй основной результат четвёртой главы — это теорема существования и единственности решений разностных уравнений Шлезингера.

Теорема 7. Для произвольной невырожденной матрицы Аа и начальных условий {В,, = Д»(0)} в общем положении разностные уравнения Шлезингера имеют единственное решение, удовлетворяющее спектральному условию

(Формула (22) означает, что собственные числа Вг(к) равны собственным числам Ви сдвинутым на —кг.) Более того, матричные элементы этого решения являются рациональными функциями от матричных элементов начальных условий.

Чтобы доказать это утверждение, мы вводим еще одну систему координат на пространстве матриц А(г) с фиксированным старшим коэффициентом Ао, которая связана с матричными элементами {В,} бирациональ-ным преобразованием. Она состоит из элементов матриц С, 6 Ма1;(т, С) с таких что

В этих координатах действие подгруппы описывается соотношениями

Мы доказываем, что существует единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условию 8р(Сг(к)) = Зр(С,) — кг, для произвольной обратимой Аъ и начальных условий {С, = С,(0)} в общем положении. Это решение является рациональной функцией матричных элементов начальных условий.

Разностные уравнения Шлезингера имеют автономный предел, который состоит из (19), (20), и

Вг{кг 4 1, -.., кп + 1) = А0 ^В^ки..., кп)А0, (21-авт)

5р(В,(*11...,*п)) = 5р(В,), 1 — 1,..., п. (22-авт)

25

Уравнение (23) превращается в

(г - Сг) ■ ■ ■ {г - Сп)А0{г - Сг) ■ ■ ■ (г - С,

= (* - С<+,) • ■ ■ (г - Сп)Ао(* - ■ ■ • (* - С,).

(23-авт)

Решения автономных уравнений были получены Веселовым с помощью общей конструкции коммутирующих потоков, связанной с теоретико-множественными решениями уравнения Янга-Бакстера.

Автономные уравнения также могут быть решены явно в терминах абе-левых функций, связанных со спектральной кривой

Теория изомонодромных преобразований разностных уравнений схожа (не только названием!) с теорией изомонодромных деформаций линейных систем дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами:

которая была развита Шлезингером в 1912 году и обобщена на случай полюсов произвольных порядков Джимбой, Мивой и Уено. Если аналитически продолжить любое заданное решение уравнения (24) вдоль замкнутого пути в комплексной плоскости, который не проходит через критические точки {хк}, то столбцы матрицы У преобразуются в свои линейные комбинации: У 1-4 УМу. Здесйо^означает постоянную обратимую матрицу, которая зависит только от гомотопического класса пути Она называется матрицей монодромии вдоль пути 7. Матрицы монодромии определяют линейное представление фундаментальной группы комплексной плоскости ' без п точек. Основная задача теории изомонодромных деформаций состоит в изменении дифференциального уравнения (24) таким образом, что все матрицы монодромии остаются неизменными.

Существуют изомонодромные деформации двух типов: непрерывные, когда полюсы двигаются в комплексной плоскости, а матрицы образуют решение системы уравнений Шлезингера, и дискретные (называемые преобразованиями Шлезингера), которые сдвигают собственные числа вычетов и показателей на целые числа, с полной суммой

всех сдвигов равной нулю.

0}.

(24)

Теорема 8. В пределе, когда

наше действие группы 1 в разностном случае сходится к дей-

ствию преобразований Шлезингера наматрицах Вг.

Более того, мы приводим аргументы в пользу того, что асимптотика действия подгрупп Ж" "на больших временах", то есть асимптотика матриц

в разностном случае при малых е, описывается соответствующим решением классических уравнений Шлезингера. Более точно, наша гипотеза состоит в следующем.

Гипотеза 9. Возьмём В, = Вг(е) 6 Ма1(т,С), г = 1,... ,п, такие что

Пусть Вг(к1,.. ■, кп) — решение разностных уравнений Шлезингера с начальными условиями (5,(0) — В,}, и пусть В,(жх,... ,хп) —решениекласси-ческихуравнений Шлезингера сначальнымиусловиями {Вг{у\,... ,уп) = Вг}. Тогда для любых х\,... ,хп £ К и г = 1,... ,п мы имеем

В поддержку этой гипотезы мы показываем, что разностные уравнения Шлезингера сходятся к классическим уравнениям Шлезингера в пределе 0.

Отметим, что монодромное представление фундаментальной группы тг!(С\ которое доставляет первые интегралы уравнений Шлезингера, не имеет очевидного аналога в дискретной ситуации. С другой стороны, очевидный непрерывный аналог матрицы монодромии Р, которая содержит все первые интегралы в разностном случае, даёт лишь информацию о монодромии вокруг бесконечности и не несёт никакой информации о локальных монодромиях в конечных полюсах

Сформулированные выше результаты о существовании и единственности решений (теорема 7) переносятся на случай д-разностных уравнений вида Y(qz) — A(z)Y(z). g-Разносные уравнения Шлезингера имеют вид, ср. (19-22),

g-Аналог соотношения (23) принимает вид

Список опубликованных автором работ по теме диссертации:

1. Бородин А. М. Гармонический анализ на бесконечной симметрической группе и ядро Уиттекера. // Алгебра и Анализ. - 2000. - т. 12. - N 5. -с. 28-63.

2. Бородин А. М. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве в задачах случайно-матричного типа. // Препринт ПОМИ. - 2005. - N 4. -с. 1- 220.

3. Borodin A., Olshanski G. Point processes and the infinite symmetric group. // Math. Res. Lett. - 1998. - vol. 5. - no. 6. - pp. 799-816.

4. Borodin A., Olshanski G. Distribution on partitions, point processes, and the hypergeometric kernel // Comm. Math. Phys. - 2000. - vol. 211. - no. 2. -pp. 335-358.

5. Borodin A., Okounkov A. A Predholm determinant formula for Toeplitz determinants. // Integral Equations Operator Theory. - 2000. - vol. 37. - no. 4. - pp. 386-396.

6. Borodin A. Riemann-Hilbert problem and the discrete Bessel kernel. // Internat. Math. Res. Notices. - 2000. no. 9. - pp. 467-494.

28

7. Borodin A., Olshanski G. Infinite random matrices and ergodic measures. // Comm. Math. Phys. - 2001. - vol. 223. - no. 1. - pp. 87-123.

8. Borodin A. Asymptotic representation theory and Riemann- Hilbert problem. // Asymptotic combinatorics with applications to mathematical physics (St. Petersburg, 2001). - Lecture Notes in Math., 1815, Springer, Berlin, 2003. - pp. 3-19.

9. Borodin A., Deift P. Fredholm determinants, Jimbo-Miwa-Ueno r-functions, and representation theory. // Comm. Pure Appl. Math. - 2002. - vol. 55. -no. 9. - pp. 1160-1230.

10. Borodin A. Discrete gap probabilities and discrete Painleve equations. // Duke Math. Jour. 2003. - vol. 117. - no. 3. - pp. 489-542.

11. Borodin A., Boyarchenko D. Distribution of the first particle in discrete orthogonal polynomial ensembles. // Comm. Math. Phys. - 2003. - vol. 234. -no. 2. - pp. 287-338.

12. Borodin A. Isomonodromy transformations of linear systems of difference equations // Ann. Math. - 2004. - vol. 160. no. 3. - pp. 1141-1182.

Отпечатано в 000»Копи-Р» &Пггербург,уя-Песп№лс11 Подписано в печать 14.04.2005г. Тир. 100

ot(M-OS. 03

m

22 АПР 2005

ВВЕДЕНИЕ

Часть 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ФРЕДГОЛЬМА, ИЗОМОНОДРОМ

НЫЕ ТАУ-ФУНКЦИИ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1.1. Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе

1.2. Непрерывное 2^1-ядро. Постановка задачи

1.3. Ядро резольвенты и соответствующая задача Римана-Гильберта

1.4. Система линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами

1.5. Общая постановка

1.6. Изомонодромные деформации. т-Функция Мивы-Джимбы-Уено

1.7. Пенлеве VI

1.8. Другие ядра

1.9. Дифференциальные уравнения — общий подход Дополнение. Интегрируемые операторы и задачи Римана

Гильберта

Часть 2. ДИСКРЕТНЫЕ НУЛЬ-ВЕРОЯТНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ

2.1. Корреляционные функции меры Планшереля

2.2. Интегрируемые операторы и задачи Римана-Гильберта. Общий формализм

2.3. Дискретные интегрируемые операторы и дискретные задачи Римана-Гильберта. Общий формализм

2.4. Интегрируемые операторы и задачи Римана-Гильберта. Частный случай

2.5. Дискретные интегрируемые операторы и дискретные задачи Римана-Гильберта. Частный случай

2.6. Дискретное ядро Бесселя

2.7. Z-меры

2.8. Упрощение ДЗРГ для некоторых интегрируемых операторов

2.9. Дискретное ядро Бесселя и разностное Пенлеве II

2.10. Определитель Фредгольма и dPII

2.11. Начальные условия для dPII

2.12. Дискретное 2^1-ядро и разностное Пенлеве V

2.13. Определитель Фредгольма и dPV

2.14. Начальные условия для dPV

2.15. Вырождения в непрерывные PII и PV

Часть 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОЙ ЧАСТИЦЫ В ДИСКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ АНСАМБЛЯХ

3.1. Дискретные задачи Римана-Гилъберта и ортогональные многочлены

3.2. Пары Лакса для решений ДЗРГ

3.3. Рекуррентное соотношение для определителей Фредгольма

3.4. Условия совместности для пар Лакса

3.5. Начальные условия для рекуррентных соотношений

3.6. Пары Лакса для дискретных ортогональных многочленов схемы Аски

3.7. Решение условия совместности: общий случай

3.8. Пятое и четвертое разностные уравнения Пенлеве

3.9. Связь с уравнением q-PVI Джимбо и Сакаи

В настоящей работе изучается класс непрерывных и дискретных вероятностных моделей, известных под общим названием "модели случайно-матричного типа". Источники таких моделей весьма разнообразны. Прежде всего, это теория случайных матриц, которая была развита физиками-ядерщиками около 40 лет тому назад, затем теория направленной перколяции, стохастический рост кристаллов, случайные замощения, а также перечислительная комбинаторика и асимптотическая теория представлений.

Модели такого рода всегда доставляют вероятностную меру на пространстве точечных конфигураций, "частиц", на прямой или одномерной решетке. В теории случайных матриц точечные конфигурации представляют собой собственные значения случайной матрицы.

Одной из наиболее важных характеристик модели является "нуль-вероятность" — вероятность отсутствия частиц в заданном интервале или объединении интервалов. Знание нуль-вероятностей позволяет вычислить функции распределения крайних (самой левой и/или самой правой) частиц, а также функцию распределения расстояния между соседними частицами. Часто эти распределения оказываются основными характеристиками модели, например, в перколя-ционных задачах распределение самой правой частицы есть в точности распределение времени проницаемости, а в теории случайных матриц распределение расстояния между соседними частицами с успехом сверяется с экспериментальными данными из ядерной физики.

Нуль-вероятности, как правило, могут быть представлены в виде определителей Фредгольма вида det(l — K\j), где К есть некоторый интегральный оператор, a J - это множество, где не должно быть частиц. Ядро оператора К обычно имеет вид ол) *(», у) = м*)в(у)-тт vmW) х у с подходящими функциями ф( •), А( •) и В{ •). Единственный известный на настоящий момент способ вычисления таких определителей Фредгольма состоит в их характеризации как решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными.

Задача о выводе дифференциальных уравнений для нуль-вероятностей имеет долгую историю. В 1980 году в работе [67] М. Джимбо, Т. Мива, Я. Мори и

М. Сато впервые решили эту задачу для синус-ядра, которое имеет вид (0.1) с ip(x) 1/тг, А(х) = sin х, В(х) = cos ж. Они показали, что определитель 4

Фредгольма единичного оператора минус синус-ядро, суженное на интервал переменной длины s, может быть выражен через решение обыкновенного дифференциального уравнения по s, известного как уравнение Пенлеве V. Их доказательство базировалось на теории изомонодромных деформаций линейных систем дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами. Основы этой теории были заложены в классических работах Римана, Шлезингера, Фукса и Гарнье. В статье [67] используются результаты работ [68] и [69], где теория изомонодромных деформаций развивается в значительно более общей ситуации, чем у классиков. Авторы [67] также рассмотрели сужение синус-ядра на объединение конечного числа интервалов и доказали, что определитель Фредгольма, как функция конечных точек этих интервалов, является г-функцией (в смысле [68]) соответствующей изомонодромной задачи. Иными словами, этот определитель может быть получен из решения некоторой "интегрируемой" системы уравнений с частными производными, известной как уравнения Шлезингера.

Ядра типа (0.1) представляют большой интерес в теории случайных матриц. Определитель Фредгольма, связанный с ядром (0.1), где А и В суть n-ый и (п — 1)-ый ортогональные многочлены, отвечающие весовой функции ф, доставляет нуль-вероятность для некоторых n-частичных систем, известных под названием ортогональные полиномиальные ансамбли. Такие системы описывают спектры случайных унитарных и эрмитовых матриц, см. [81].

Результаты [67] привлекли внимание специалистов по случайным матрицам. В 1992 году М. JI. Мехта в [82] опубликовал другой вывод уравнения Пенлеве V для синус-ядра. Приблизительно в то же время К. Трейси и X. Видом [105] дали своё собственное доказательство того же результата. Более того, они предложили общий алгоритм (см. [108]) получения систем дифференциальных уравнений с частными производными для определителей Фредгольма, связанных с ядрами вида (0.1) при условии, что функции гр, А, В удовлетворяют дифференциальному уравнению вида м i уЩх)В{х). R{x) у/ША{х) 1у/Щх)В(х) где R(x) - это рациональная функция со значениями в бесследных матрицах размера 2x2. Используя этот метод, им удалось получить различные уравнения Пенлеве для нескольких важных в теории случайных матриц ядер, см. [105]-[108].

Вскоре после этого Д. Палмер в [95] показал, что дифференциальные уравнения с частными производными, возникающие в работах Трейси-Видома, в 5 точности совпадают с уравнениями Шлезингера для ассоциированной изомоно-дромной задачи.

Среди более поздних статей отметим работы [17], [14], где авторы развили альтернативный подход к ядрам, возникающим в теории случайных матриц; работу [61], где было получено уравнение Пенлеве VI для ядра Якоби; работу [49], где авторы применили теорию задач Римана-Гильберта к выводу уравнений Шлезингера; работу [60], где с помощью изомонодромной теории был исследован многомерный аналог синус-ядра; и работы [53], [54], [113], [114], где, в числе прочего, двухинтервальная задача была сведена к одному обыкновенному дифференциальному уравнению.

В первой главе диссертации нашей основной задачей является вывод обыкновенного дифференциального уравнения для определителя Фредгольма

D(s)=det(l-K\{Sf+oo))y где ядро К{х,у) имеет вид (0.1) с . SHITTZSHITTZ' / W-z-z' / , n-w-tii' = -~2-

X+i\W' , V V^fJ 2Fl z' +w']z + z' + w + w') xbj '

B(x) = 2 r(z + w + 1) T(z + w' + 1) Г (z' + w + 1) T(z' + w' + l)

I /X+k\W , V x-T I-1 X 2Fi iz + w' + 1, z' + w' + l\z + z! + w + w' + 2\ x^J

X ~" n \ Я? Jj / V 2/

T(z + z' + w+ w' + 1) r(z + z' + w + w' + 2)

1 . in x+

X — 2

Здесь 2^1 (a, b; с; £) обозначает гипергеометрическую функцию Гаусса, a z, z', w, w' суть некоторые комплексные числа. Мы называем это ядро непрерывным 2Fi-ядром или просто 2-Pi -ядром.

2^1-Ядро впервые было получено в теории представлений бесконечномерной унитарной группы U(oo). Разложение некоторых естественных представлений U(оо) на неприводимые управляется вероятностной мерой на бесконечномерном пространстве всех неприводимых представлений. Проекция этой меры на подходящее одномерное подпространство имеет функцию распределения, равную D(s). В §1.1 мы дадим более подробное описание этой задачи теории представлений.

Можно проверить, что наши функции ф, А, В удовлетворяют уравнению вида (0.2), см. Замечание 1.4.8 ниже. Однако, в этом случае общий метод [108] ведёт к существенным алгебраическим трудностям. В похожей ситуации для более простого ядра Якоби метод работы [108] приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка. Лишь намного позднее в работе Хайна и Семенга было показано, что это уравнение эквивалентно уравнению Пенлеве VI, которое имеет второй порядок, см. [61]. Ввиду этих трудностей, мы применим другой подход.

Новый подход существенно использует теоретико-представленческое происхождение 2^1-ядра. Оказывается, что само построение ядра, см. §1.1, указывает на то, что резольвента L = К( 1 — К)~х ядра К должна иметь "простой" вид. "Простой" в том смысле, что в формуле для ядра L(x,y) не участвуют специальные функции! На формальном уровне имеет место равенство wdet(l — JK") = (det(l + L))-1". Нас, однако, интересует определитель суженного оператора .ЙГ|(5)+00), и априори совершенно не очевидно, как можно использовать "простое" ядро L для вычисления D(s) = det(l — K\(St+cx>))- Основным наблюдением первой части диссертации является тот факт, что ядро L, действительно, может быть использовано для вычисления D(s), и это приводит к желаемым дифференциальным уравнениям.

Для применения метода важнейшую роль играет тот факт, что оба ядра К и L являются интегрируемыми в смысле [65]. Точные определения и список основных свойств интегрируемых операторов, включая их связь с задачей Римана-Гильберта, находятся в дополнении к первой главе. Вкратце, наш метод состоит в следующем (детальное описание в §1.5).

Шаг 1-й. Ядро К(х, у) выражается через явное решение задачи Римана-Гиль-берта (Ж, v), где v происходит из ядра L и является "простой".

Шаг 2-й. D(s) = det(l — iiT|(Sj+00)) выражается через решение т3 нормированной задачи Римана-Гильберта ((s, +oo),v), где v включает в себя гипергеометрические функции из формулы для К.

Шаг 3-й. Произведение msm удовлетворяет задаче Римана-Гильберта

Ж \ (s, +оо) = (-оо, в], и), где v — это та же "простая" матрица скачка, что и в первом шаге.

Третий шаг, который является ключевым, следует из теории интегрируемых операторов и следующего простого замечания. Допустим, S = Si U £2 С С есть объединение двух контуров. Пусть m, mi — это решения задач Римана-Гильберта (E,v), (£i,u), соответственно. Тогда 7712 = тхтГ1 является решением задачи Римана-Гильберта (£2,^2 = m+v~1m+1 = т-У~1тГ}). Обратно, если т, Ш2 суть решения (£,и), (£2,^2), т0 mi = т2ш решает (Si, и). 7

Как мы увидим в дальнейшем, если v — это матрица скачка, связанная согласно теории интегрируемых операторов с ядром L, то m+v 1т+1 = m-v 1m1 есть в точности матрица скачка v, связанная с ядром К.

В теории задач Римана-Гильберта дифференциальные уравнения часто выводятся исходя из того, что матрица скачка рассматриваемой задачи может быть сведена подходящим сопряжением к матрице, не зависящей от нужных параметров деформации. Типичное вычисление, которое восходит к истокам метода обратной задачи рассеяния, выглядит следующим образом (см., например, [48] и дальнейшие ссылки в этой работе). Нелинейное уравнение Шрёдингера (НЛШ) связано с задачей Римана-Гильберта (Е = R,vXjt = егваз ve~i6(Tz), где в = хС-К2, а3 =

1 0 "1

0 -1 , V =

К012 КС) ■г( О 1 для некоторого коэффициента отражения г. Если т — это решение (К, vx,t)\, то f = тегв<Тз решает задачу (Ж, и), которая не зависит от ж и t. Отсюда видно, что ^ и являются решениями той же задачи Римана-Гильберта, и, следовательно, отношения Ц ф-1 и ^ Ф-1 не имеют скачка на Е = R. Несложное вычисление приводит к паре Лакса ^ = РФ, ^ = ЬФ для некоторых полиномиальных матричнозначных функций Р = Р(С), L = £(£). Условие совместности % = шж немедленно приводит к НЛШ.

В §1.4 будет показано, что матрица скачка v из первого и третьего шагов может быть легко приведена с помощью сопряжения к локально-постоянной матрице скачка V. Аналогично приведенному выше вычислению для НЛШ, это означает, что решение задачи Римана-Гильберта М+ — M-V может быть продифференцировано по переменной £ на контуре и по переменной s, что приводит к дифференциальным уравнениям вида Щ- = РМ, = LM\ где Р = Р(() и L = L(£) рациональны. Перекрёстное дифференцирование даёт систему дифференциальных уравнений. Для того, чтобы получить явные уравнения, такие как уравнение Пенлеве VI для D(s) = det(l—ff|(s>+00)), мы пользуемся результатами работы [95]. Если V локально-постоянна, то уравнения Щ- = РМ, .^f = LM описывают изомонодромную деформацию, и, следовательно, можно построить изомонодромную тау-функцию г = r(s), как описано в [68]. Отдельное вычисление (см. §1.6) показывает, что D(s) = r(s), и Пенлеве VI получается из явных вычислений, аналогичных [69, Appendix С]. Вычисления немедленно обобщаются на случай, когда интервал (s, +оо) заменяется на объединение интервалов «7. 8

Идея сведения задачи Римана-Гильберта для ms к задаче с локально-постоянной матрицей скачка была недавно использована в [95], [60], [49], [74], см. также [64]. Однако, сам метод сведения, описанный выше, является новым.

Основной результат первой части диссертации может быть сформулирован следующим образом (см. уравнения (1.6.4), (1.6.5) и Теоремы 1.6.5, 1.7.1 ниже).

Теорема 0.1. Пусть

J = (oi, а2) U (а3, а4) U • • • U (а2т-1, а2т) С М,

ОО < < 0,2 < • • • < 0>2т < +00} есть дизъюнктное объединение (возможно, бесконечных) интервалов вещественной оси, такое что замыкание J не содержит точки ±|. Обозначим через KJ сужение непрерывного 2F\ -ядра К(х,у) на J (полное определение ядра К(х,у) дано в $1.2). Тогда, при выполнении подходящих условий на параметры (z,z',w,w'), интегральный оператор с ядром KJ является ядерным, и det(l — KJ) есть т-функция системы уравнений Шлезингера дЛ = [СиА] дВ = [СиВ\ dai ai — |' да,{ ai + |' dCj [Cj.Cj] dCj [A, Cj] , [B,C{] , ^ [C^Cj]

Q --) ' Г Jl о --1 "г" , 1 / , ' dai ai — aj dai «»- | «i +f aj где Л, В, {Ci}f™i суть ненулевые 2 на 2 матрицы (если = —оо или а2т = +оо, то соответствующие уравнения и матрицы отсутствуют), удовлетворяющие условиям

Тг А = ТгВ = ТгСх = Тг С2 = ■■■ = Tr С2т = 0, det А = - (^г1)2 , detВ = — , detCi = detC2 = • • • = detC2m = О,

2m Г z+z'+w+w' n

L 0 - .

1=1 u л

Иными словами, i= 1 \ аг 2 2 & г "J

Если J = (s, +oo), то, вводя обозначения z + z' + w + w' z — z' + w — w' z — z' — w + w' 9

V\ = f2 =-2-' из =-2-' 1/4 мы доказываем, что и = (.-«(.+1)dlndet(1 -*'<-*->> удовлетворяет а-версии уравнения Пенлеве VI: - J) (S + I) a"f = (2 -OW- WWA)2 а' + vl){a' + ul)(a' + 4){a> + vj).

Как уже было отмечено вьнпе, свойство ядра К, которое для нас важно, — это существование простого резольвентного ядра L — К(1—К)~г. Это свойство является новым; оно было впервые отмечено в контексте теории представлений бесконечной симметрической группы 5(оо) в работе [35]. В теории случайных матриц возникают ядра К, которые отвечают проекторам (типа Кристоффеля-Дарбу), либо их скейлинговым пределам. Все эти ядра имеют норму, равную единице, и поэтому оператор L — К( 1 — К)*1 не может быть корректно определён. Наша же задача имеет другое происхождение, и это позволяет не только определить X, но и явно его вычислить.

Наш метод также доставляет альтернативный подход к результатам [108] для интегрируемых операторов вида (0.1), удовлетворяющих уравнениям типа (0.2). Ситуация будет продемонстрирована на примере ядра Эйри в §1.9.

В первой части мы также рассматриваем ряд других ядер, схожих с непрерывным 2-р1-ядром.

Во-первых, мы применяем наш метод к ядру Якоби и показываем, что определитель единичного оператора минус ядро Якоби, суженное на объединение конечного числа интервалов, является т-функцией соответствующей изомоно-дромной задачи. В одноинтервальном случае мы опять получаем шестое уравнение Пенлеве, пере докалывая тем самым результат работы [61].

Во-вторых, мы применяем наш формализм к так называемому ядру Уитте-кера и к его частному случаю — ядру JIareppa. Ядро Уиттекера возникло в работах [35], [2] по теории представлений бесконечной симметрической группы. Вычисления, которые мы проделываем для 2^1-ядра, могут быть применены к (более простом) ядру Уиттекера. Мы доказываем, что определитель Фредгольма единичного оператора минус ядро Уиттекера, суженное на объединение конечного числа интервалов, также является r-функцией некоторой изомоно-дромной задачи, и мы получаем пятое уравнение Пенлеве в одноинтервальном случае. Для ядра JIareppa Пенлеве V было получено ранее в работе [108].

Наконец, мы замечаем, что 2^1-ядро вырождается в некотором скейлинговом пределе в ядро, которое мы называем вырожденным гипергеометрическим. ю

Это ядро возникает в задаче разложения некоторого замечательного семейства вероятностных мер на пространстве бесконечных эрмитовых матриц на эрго-дические компоненты, см. [38]. Оно также может быть получено как скейлинго-вый предел ядер Кристоффеля-Дарбу для ортогональных многочленов псевдо-Якоби, см. [113], [38]. Мы доказываем, что определитель Фредгольма в од-ноинтервальном случае для этого ядра выражается в терминах решения уравнения Пенлеве V. Вырожденное гипергеометрическое ядро зависит от одного комплексного параметра г, и для вещественных значений г последний результат был получен в [113]. При г = 0 это ядро превращается в хорошо известное синус-ядро, и наш результат совпадает с классическим результатом [67].

Во второй главе мы переходим к изучению дискретных моделей. Одна из наиболее просто формулируемых, но глубоких задач выглядит следующим образом.

Пусть Sn — это симметрическая группа степени п. Обозначим через /п(с) длину наибольшей возрастающей последовательности подстановки а 6 Sn. Положим

1 00 2п

0.3) Pl=- Card{<7 € IШ < к}, рЫ = е-»2 £ п—0 где 7) — комплексный параметр.

Существует множество других способов определить р^. Например, благодаря результату [56], эта величина может быть записана как тёплицев определитель оо

0.4) рЫ = е-»' det[fi4 , £ f^ = е"(С+Г 31)' m=—оо

Теоретико-представленческое определение (которое может быть легко получено с помощью алгоритма Робинсона-Шенстеда) имеет вид

0,) где суммирование берётся по всем разбиениям Л = (Ai > • • • > Aj > 0) таким, что Ai < |А| = Ai Ч-----Ь А* есть размер разбиения, и dim А есть размерность неприводимого представления симметрической группы 5|д|, соответствующего разбиению А.

Представление р^ в виде определителя Фредгольма, которым мы будем активно пользоваться, будет получено в §2.9.

11

Теорема 0.2. Определим последовательность {жпЗ-^L-i начальными условиями xq — —1, х\ — fi/fo с fi-ми из {0.4) и рекуррентным соотношением

Тогда для любого k > 1 и г] в общем положении мы имеем (опуская индекс 7])

Слова "в общем положении" здесь (и в Теореме 0.3 ниже) означают лишь то, что г] не принадлежит множеству полюсов мероморфной функции хк — Хк{г]).

Этот результат был также независимо получен в [19]. Ещё одно доказательство было приведено позднее в [16]. Соотношение (0.6) для родственных величин было выведено в [96], [109], [63].

Соотношение (0.6) представляет собой частный случай разностного уравнения Пенлеве Д см., например, [58].

Теорема 0.2 также является эффективным инструментом для численного вычисления рк . В самом деле, представление через тёплицев определитель даёт

2 2 начальные условия ро = е-77 , pi = e~v /о, и тогда из Теоремы 0.2 следует рекуррентное соотношение Pk+i = (1 — x\)p\/pk-i для всех к > 1. Ясно, что эта вычислительная схема несравненно более эффективна, чем прямое вычисление тёплицевых определителей.

Хорошо известный результат, доказанный в [20], утверждает, что если мы возьмём Т] > 0 и устремим г] к плюс бесконечности, то P^j+tr}1/5 сойдется к гладкой функции (также известной под названием "распределение Трейси-Видома" [106] в теории случайных матриц), которая может быть выражена через решение классического уравнения Пенлеве II. Более точно, если предположить, что предел существует, то из Теоремы 0.2 легко следует, что (In F2 (£))" = —y2(t), где y(t) есть решение уравнения у" = ty + 2y3-, это также следует из [20]. Отметим, однако, что Теорема 0.2 не доставляет граничные условия для y(t).

Чтобы сформулировать второй основной результат второй части, определим величину qk через теплицев определитель

0.7) q^ = (1 - Ozz' detfo-A*^, дтГ = (1 + + УДЮ2'.

0.6)

Pk+iPk-i

1 - xl

Pi z z' £1

Несложно показать, что для любого к = 1,2,., qk ' продолжается до аналитической функции на (z, z', £) G С х С х (С \ [1, +оо)). z zf Л

Из теоретико-представленческой интерпретации q\ ' ' следует, что, если z' — z и £ G (0,1), то q^,z есть функция распределения длины первой строки случайных диаграмм Юнга, распределенных по z-мере, см. [36], [37]. Z-меры тесно связаны с обобщенными регулярными представлениями бесконечной симметрической группы [75]. Такая интерпретация qkz'z ведет к следующему тождеству, ср. (0.5),

0.8) <Г'-{) = (1-«)"'£ п -<+')№) V

Ai<fc(i,j)er>(А) \ I I- /

В этой формуле D{А) обозначает диаграмму Юнга, отвечающую разбиению Л, и произведение берётся по всем клеткам этой диаграммы.

Заметим, что из соотношений (0.7) и (0.8) следует, что

-tРк7) при z,z' -У 00, izz' -f if.

Для целых положительных значений параметров z, z' распределение также может быть проинтерпретировано в терминах наибольших возрастающих последовательностей [37, §2]. Еще одна возможная интерпретация — время первого просачивания в модели направленной перколяции, см. [71] и [19]. Для целых z,z разных знаков qk доставляет распределение высоты в модели случайного роста, называемой цифровое кипение (digital boiling), см. [59]. z z' £)

Важное для нас представление qk ' ' в виде определителя Фредгольма будет получено ниже в §2.12.

Как и выше, мы обозначаем через F(a, 6; с; и) гипергеометрическую функцию Гаусса.

Теорема 0.3. Обозначим через {jEn}£Lo и {Уп}^= о последовательности, заданные начальными условиями

F(-z + 1, -z>\ 1; О

Xq z>ZF(-z + l,-z' + l; 2; £) ' z'F(-z, -z' - 1; 1; Q F(~z + 1, -z> + 1; 2; j) y° F(-z,-z';lV£)F(-z +1,-^2^) и рекуррентными соотношениями (Уп - (z + z' + n + 1)) (Уп ~(z' + n + 1))

0 9ч Жп+1 ^пУп (Уп - Z')

Уп+1 = -Уп + --+ ----+ Z .

1 — хп+1 1 — £жп+1

13

Тогда для любого к > 0 и (z, z',£) в общем положении мы имеем (опуская индексы (z,z',£)) (0.10) f qk+i qk+г\ fqk+2 Як+з\ 1 ((l - £хк){ук -z')-{z + k +1)) \ Qk qk+i j\qk+i qk+2) ({I - £хк+1){ук+1 - z') - (z + k + 2)) (z + k + 2 )(z' + k + 2)(yk-(z' + k + 1)) (1 - &cfc+i)(l - £хк) хкук (yk - z'f

Аналогично Теореме 0.2, эта теорема может быть использована для численного вычисления В самом деле, начальные условия qo, могут быть получены из представления в виде тёплицева определителя, и тогда (0.10) может рассматриваться, как рекуррентное для вычисления qk при к > 3. z Z' ^

Известно, что если z' = z, £ G (0,1), и £ -4 1, то сходится к гладкой функции G^z\t), которая является т-функцией уравнения Пенлеве V, см. [36] и §1.8. Если предположить, что имеет гладкий предел x(t), то из (0.9) следует, соотношение

X"(t) = (L + 1 \ (хЧ<))2 Ш + («-«'-Ц'М (on) Uw + «w-iJ( (И * t которое является частным случаем пятого уравнения Пенлеве. Тогда предел соотношения (0.10) доставляет алгебраическое выражение (1п(1пСг(г)(£))")' через x(t) и x'(t). На самом деле, из результатов первой части следует, что уже первая производная (ln(G^))' алгебраически выражается через жиж' для некоторого решения x(t) уравнения (0.11). Дискретный аналог этого результата пока неизвестен.

В настоящее время существует несколько различных подходов к дискретизации уравнений Пенлеве, см. [58], [86], [70], [98]. Оказывается, что соотношения (0.9) образуют частный случай разностного уравнения Пенлеве V, которое было введено в работе [98]. Интересно, что в этой работе дискретные аналоги уравнений Пенлеве строились исходя из чисто алгебро-геометрических соображений.

Разностные уравнения Пенлеве I и II появились в физической литературе ранее, см. [42], [51], [96]. Одно из достижений второй главы — это демонстрация того факта, что разностное Пенлеве V тоже возникает в некоторой конкретной модели математической физики.

Доказательства обеих теорем основаны на общем формализме дискретных аналогов интегрируемых операторов и задач Римана-Гильберта, который мы развиваем.

Мы даём определение дискретных задач Римана-Гильберта и дискретных интегрируемых операторов и показываем, как резольвента дискретного интегрируемого оператора может быть получена из решения соответствующей дискретной задачи Римана-Гильберта. Этот результат параллелен хорошо известному факту в непрерывном случае, см. [65], [47].

Отметим, что наша постановка дискретной задачи Римана-Гильберта родственна постановке обратной задачи рассеяния в чисто солитонном случае, см. [24], [25], [10].

В качестве иллюстрации, мы также приводим пример двух явно решаемых дискретных задач Римана-Гильберта, которые непосредственно связаны с мерами на разбиениях, возникающими в (0.5) и (0.8). Решения этих задач даются в терминах классических специальных функций: функций Бесселя и гипергеометрических функций Гаусса.

При доказательстве Теорем 0.2 и 0.3 мы представляем распределения р^ и z z' qf в виде det(l-X|{A, ,M-i,.})> где К есть либо дискретное ядро Бесселя из [34], [72], либо гипергеометрическое ядро из [36].

Вычисление этих определителей Фредгольма сводится к решению некоторых дискретных задач Римана-Гильберта. Матрицы скачка у этих задач достаточно просты, и это позволяет вывести пары Лакса, состоящие из разностных уравнений, которым удовлетворяют решения тк(С) наших дискретных задач Римана-Гильберта: mfe+1(C) = А(С)тк(С), mfe« - 1) = Я(0го*(ОС(0. с рациональными матрицами А(£), В(() и С((). Условие согласованности этих соотношений ведёт к разностным уравнениям Пенлеве на матричные элементы А и В. Некоторые дополнительные соображения позволяют выразить определители Фредгольма через эти матричные элементы.

Изложенный метод может рассматриваться, как дискретный аналог метода, изложенного в первой главе. Он также применим к широкому классу других дискретных интегрируемых ядер, в частности, к ядрам Кристоффеля-Дарбу для дискретных ортогональных многочленов, если дискретная логарифмическая производная весовой функции рациональна. Основное содержание третьей главы - это применение метода к таким ядрам.

Вероятностная постановка задачи, решаемой в третьей главе, выглядит следующим образом.

Пусть X произвольное локально-конечное подмножество вещественной оси Ж, и w : £ М>о — функция на принимающая положительные значения. Мы будем предполагать, что моменты w конечны:

15 ж|пЦж) < 00, п = 0,1,. . х€Х

Зафиксируем положительное целое число к (количество частиц) и рассмотрим вероятностную меру на всех fc-точечных подмножествах X, заданную формулой к

0.12) Prob{jci,.,Хк} = const- JJ (xi — Xj)2 ]~£ги(ж*).

1 <i<j<k i=l

Нас интересует распределение максимума max{&i,., ж*.}.

Эта задача мотивирована теорией случайных матриц с одной стороны, и комбинаторными и теоретико-представленческими моделями — с другой. В теории случайных матриц вероятностные меры вида к const • JJ (Xi — Xj)2 JJ w(xi)dxi 1 <i<j<k i=l на fc-точечных подмножествах Ж, где w(x) — гладкая функция на некотором интервале внутри вещественной оси, играют важнейшую роль. Ортогональные многочлены, соответствующие весовой функции w(x), являются основным и наиболее удобных техническим средством исследования таких мер. Поэтому эти меры часто называют ортогональными полиномиальными ансамблями.

Задача об описании распределения максимума тах{ж*} в непрерывной ситуации для классических весовых функций решается в следующем смысле: функция распределения является решением одного из шести уравнений Пенлеве с явными граничными условиями. Этот факт был доказан в [108] для веса Эр-мита w(x) = ехр(—ж2), а; € К, и для веса Лагерра жаехр(—ж), х > 0; в [108], [61] и первой главе для веса Якоби (1 — ж)а(1 + ж)ь, ж € (—1,1); и в [113] и первой главе для веса псевдо-Якоби (1 — гж)*(1 + гж)5, ж G Ж.

Таким образом, естественно спросить, имеют ли эти результаты дискретный аналог для дискретных классических весовых функций.

С другой стороны, случайные величины вида тах{ж*} с ж;-ми, образующими ортогональный полиномиальный ансамбль, в ряде задач перечислительной комбинаторики, теории направленной перколяции, теории представлений, теории процессов случайного роста оказываются наиболее важными характеристиками модели, см., например, [37], [71], [72], [19] и дальнейшие ссылки в этих работах. Чтобы сформулировать первый результат третьей главы, необходимо ввести дополнительные обозначения. Обозначим точки множества X через ж3, где s

16 пробегает значения от нуля до N, причем щ < тгх < • • • или щ > щ > . Здесь N = |Эс| — 1 может быть как конечным, так и бесконечным. Мы опираемся на два следующих основных предположения.

• Существует аффинное преобразование а : Ж Ж, такое что спх3+\ — тгв для всех s, 0 < s < N. *

• Существуют многочлены Р(х) и Q{x), такие что РЫ 1<S<N и P(ir0) = 0.

Весовые функции для многих (но не всех) гипергеометрических многочленов схемы Аски удовлетворяют этим предположениям, см. §3.6 ниже. Для некоторых классических семейств ортогональных многочленов оба предположения выполняются, но множество ортогональности X не является локально конечным. Наши результаты распространяются и на эти случаи, см. §3.3.

Теорема 0.4. При выполнении двух условий, сформулированных выше, существует рекуррентная процедура, которая вычисляет нуль-вероятность

Ds = Prob {xi £ {7TS, 7rs+i,.} для всех г}

Prob{max{^} < 7rs}, г/ж0 < 7п < • • • ,

Prob{min{a;i} > 7Г3}, if 7г0 > 7Ti > • • • , где Xi-ые распределены согласно (0.12). Рекуррентная процедура вычисляет последовательность пар (As, Ms(£)), где As — это матрица 2 на 2, и Ms(£) — это матричный многочлен

М,(0 = М^Сг + "• + Mj0), М^ € Mat(2,С), степени I = max{degP, degQ}. Каждый рекуррентный шаг определяется равенством

0-13) (/+ м.( о = MS+1( С) (/+ .

Отношение

Ds+з £s+Л (Ds+2 Ds+lV1 \DS+2 Ds+1)\Da+1 Ds J есть явная рациональная функция матричных элементов

Несложно показать, что, если det Ms(7rs+i) ф 0 (что в нашей ситуации всегда верно), то (0.13) однозначно определяет (A8+i,Ms+i), если (As, Ms) известны.

17

С другой стороны, существование пары (As+i,Ms+i) не очевидно и требует доказательства. Для матриц 2 х 2 легко увидеть, что (,As+i, М^,., ) суть рациональные функции от (As, ., м]0^). В нашей ситуации нужная теорема существования всегда имеет место.

Поскольку нуль-вероятность Da = РгоЬ{тах{ж;} < 7Г5} не равна нулю только для s > к (напомним, что к — это количество а^-ых в (0.12)), для того, чтобы вычислить Ds для всех s, достаточно знать начальные условия Dk,Df,+i, Dfc+2> Ak, Mfc(^). Эти начальные условия явно выражаются через {тгв} и {w(irs)}y см. §3.5 ниже.

Для некоторых классических весов w рекуррентное соотношение (0.13) может быть существенно упрощено. Чтобы проиллюстрировать ситуацию, рассмотрим X = Z>o и w(x) = ах/х\ с параметром о > 0. Такая весовая функция соответствует классическим многочленам Шарлье.

В этом случае Аа и М3(С) можно параметризовать тремя скалярными последовательностями as, bs, cs следующим образом:

0.14) Ms(С)

1 о о о

С +

Ъ8 Ъ8С8 a/cs a

As = (к + bs)

1 —ascs l/(ascs) 1

Тогда равенство (0.13) приводит к рекуррентным соотношениям

0.15) (0.16)

Яд+1 — + QQ«)(fc-+ bs + aas) aaa(s + 1 + bs + аав) ' s+l g + 1

1 - as+1 cs+1 = s +1 + к + bs + aas), aas k + bs + aas

Связь этих последовательностей с распределением Ds выглядит так:

Ds+3 Ps+2 \ ( Ps+2 Ds+1

Ds+2 Ds+1)\ds+1 Ds J a(s + 2)a2s+1cs+1 Гcs(bs + aas)(bs+i + aas+i)

Соответствующие начальные условия даны в §3.10. Замена переменных fs — o-s 1» 9s = acts + bs + s + 1, превращает (0.15)-(0.16) в fsfs+1 = 9s + 9s+1 = ags gs-s-l)(gs + k-s-iy a s + 1

Л+1 1 — fs+1 18

-k + 25 + 3.

Эти рекуррентные соотношения в точности совпадают с четвертым разностным уравнением Пенлеве, полученным в [98].

Оказывается, что описанная выше ситуация с ансамблем Шарлье достаточно типична. Для других классических весов мы тоже сводим матричное рекуррентное соотношение (0.13) к дискретным (скалярным) уравнениям Пенлеве. Наши результаты просуммированы в следующей таблице.

Ортогональные Множество Весовая Дискретное многочлены ортогональности функция уравнение

Шарлье X = Z>0 ax/x\ разностное a > 0 Пенлеве IV

Мейкснер X = Z>o (/3). x\ C разностное

3 > 0, 0 < c< 1 Пенлеве V

Кравчук X = {0,1,.,N} (Nx)px(t-p)N-x разностное

0<P<1 Пенлеве V д-Шарлье X={q~x\x £ Z>0} ax />(?) {q\q)x " вырожденное a > 0 ^-Пенлеве VI

Малые g-JIarepp 3t = {qB\x€Z>0} (.aqy (q\q)x вырожденное или Волл) a < q-1 g-Пенлеве VI

Малые д-Якоби X = {qx\xeZ> о} g-Пенлеве VI a < q'1, b < q~l

-Кравчук (q~N\q)*( n\-x g-Пенлеве VI р> 0

Замечательным фактом является то, что во всех явно решаемых случаях возникает одно из уравнений иерархии Сакаи, которая была построена, исходя из алгебро-геометрической задачи.

В случае весовой функции Мейкснера D3 может быть переписан через тё-плицев определитель с символом (1 + z)k(l + Ь^-1)с. Тогда мы получаем другое доказательство Теоремы 0.2 для целого значения к одного из параметров z,z'.

Как уже отмечалось ранее, для доказательства этих результатов используется метод дискретных интегрируемых операторов и дискретных задач Римана-Гильберта, развитый во второй главе. Первый шаг состоит в представлении нуль-вероятности Ds в виде определителя Фредгольма: Ds = det(l — Ks), где Ks — это оператор в ^2({7rs, 7rs+i,.}) с ядром

1. X

К*{х,у)

Pk-iW2 рк-1(х)рк(у) -pfc(a?)pfc-i(y) ^щ^щ-уу l2{X,w) х У

Здесь рк npfc-i суть fc-ый и (к—1)-ый ортогональные многочлены на X, отвечающие весовой функции w. Вычисление этого определителя Фредгольма сводится

19 к решению дискретной задачи Римана-Гильберта на {яо,. •, 7r5i} с матрицей скачка, явно выражаемой через w. Наши предположения на X и го, см. выше, позволяют получить пару Лакса для решения ms(() задачи Римана-Гильберта: m,+i«).= (/ + ms(C), = M.(C)m.+i(OXrrK).

Здесь Ms (()—это матричный многочлен, и В(() — фиксированный диагональный матричный многочлен, зависящий только от веса. Условие совместности есть в точности рекуррентное соотношение (0.13).

Основной целью четвертой главы является построение общей теории изомо-нодромных преобразований линейных систем разностных уравнений с рациональными коэффициентами. Как приложение общей теории, мы показываем, что рекуррентные соотношения, полученные во второй и третьей главах диссертации, являются частными случаями изомонодромных преобразований.

Рассмотрим матричное линейное разностное уравнение

0.17) V(z + l) = A(z)V(z), где

A(z) = A0zn + Aiz"-1 + • • • + An, А{ e Mat(m, C), есть матричный многочлен, и Y : С -» Mat(m,C) — мероморфная матричная функция. (Замена Y(z) на (r(z))fcY"(z) сводит случай рациональной A(z) к полиномиальному.) Мы будем предполагать, что собственные числа матрицы Aq не равны нулю, и их отношения не вещественны. Тогда, без потери общности, мы можем считать, что Aq диагональна.

В 1911 году Биркгоф доказал фундаментальный результат, который гласит, что уравнение (0.17) имеет два канонических решения Yl(z) и Yr(z), которые голоморфны и обратимы в полуплоскостях -С 0 и 0 соответственно, и асимптотика которых вблизи z = оо в любой левой (правой) полуплоскости имеет определённый вид. Более того, Биркгоф показал, что отношение

P(z) = (Yr(z))~1Yl(z), которое обязано быть периодической функцией по очевидным причинам, на самом деле, является рациональной функцией переменной ехр(2тг). Количество свободных констант в этой рациональной функции в точности совпадает с количеством матричных элементов в Ai,.,An. Мы называем P(z) матрицей монодромии уравнения (0.17).

Биркгоф также доказал, что для любой периодической матрицы Р специального вида существует уравнение (0.17) с наперёд заданной Aq, для которого Р является матрицей монодромии. Более того, если два уравнения с коэффициентами A(z) и A(z), Aq = Ао, имеют одну и ту же матрицу монодромии, то существует рациональная матрица R(z), такая что

0.18) A(z) = R(z + l)A(z)R~1(z).

Первый результат четвёртой главы состоит в следующем.

Теорема 0.5. Для матриц A(z) общего положения существует гомоморфизм группы йт(7г+1)-1 в группу обратимых рациональных матрично-значных функций, такой что преобразование (0.18) для любой матрицы R(z) в образе гомоморфизма не меняет матрицу монодромии уравнения (0.17).

Если обозначить через ai,., атп корни уравнения det A(z) = 0 (называемые собственными числами A(z)) и через di,., dn некоторые однозначно определённые показатели асимптотического поведения канонических решений Y(z) уравнения (0.18) в z = со, то действие 2та("+1)-1 однозначно определяется целыми сдвигами {а^} и {dj} с общей суммой всех сдвигов равной нулю.

Матрицы R(z) зависят от матричных элементов {Л*}^ и рациональным образом и, тем самым, определяют бирациональные преобразования алгебраических многообразий, образуемых матрицами {-At} с заданными {а»} и ш.

Оказывается, существуют замечательные подгруппы Zn С Zm(n+1)-1j которые определяют бирациональные преобразования на пространстве всех A(z) (с фиксированной но без всяких ограничений на корни det A(z) и показатели в бесконечноти), но, чтобы увидеть эти подгруппы, необходимо параметризовать матрицы A(z) по-другому.

Чтобы ввести новые координаты, разобьём собственные числа A(z) на п подмножеств с т элементами в каждом: ь • • •, атп} = .,а£>} U • • • U ., efe>}.

Разбиение может быть произвольным. Обозначим через В{ единственный элемент Mat(m, С) с собственными числами j , такой что z—B{ есть правый делитель A[z):

A{z) = (AQzn~l + Aiz"-1 + • • • + - Bi).

21

Матричные элементы правых делителей {!?,}£г и будут новыми координатами на пространстве A(z).

Действие подгруппы Ъп С ZTO(TC+1)-1 состоит в сдвиге собственных чисел в каждом подмножестве на одно и то же целое число, зависящее только от группы, а также в сдвиге показателей {е^} на одно то же целое число, которое равно минус сумме сдвигов подмножеств собственных чисел. Если обозначить через {Bi(ki,. ,кп)} результат применения сдвига к G Zn к {Bi}, то имеют место следующие уравнения:

0.19) Bi(.)-Bi(.ikj + lt.y=-BJ(.)-Bj(.1ki + (0.20) Bj(.1ki + l,.)Bt(.) = Bi(.1ks + l,.)Bj{.),

0.21) Bi{h + 1,., + 1) = A^Biih,., кп)А0 - 7, где i,j = 1 и точки в аргументах обозначают переменные ki, которые не изменились. Мы называем эти соотношения разностными уравнениями Шлезингера; основания для такого названия будут ясны из дальнейшего. Заметим, что (0;19) и (0.20) могут быть переписаны в виде z-Bi(.,kj + l,.))(z-Bj(.)) = (z-Bj(.,ki + l,.))(z-Bi(.)).

Независимо от общей теории Биркгофа, мы доказываем следующий результат.

Теорема 0.6. Для произвольной невырожденной матрицы Aq и начальных условий {Bi = i?i(0)} в общем положении уравнения Шлезингера имеют единственное решение, удовлетворяющее спектральному условию

0.22) Sp{Bi(ku., kn)) = Sp{Bi) -ku г = 1,., п.

Формула (0.22) означает, что собственные числа Bi(k) равны собственным числам Bi, сдвинутым на —ki.) Более того, матричные элементы этого решения являются рациональными функциями от матричных элементов начальных условий.

Чтобы доказать это утверждение, мы вводим еще одну систему координат на пространстве матриц A{z) с фиксированным старшим коэффициентом Ао, которая связана с матричными элементами {i?*} бирациональным преобразованием. Она состоит из элементов матриц С* £ Mat(m,C) с Sp(Ci) = Sp(B{), таких что

A(z) = A0(z-C1).-(z-Cn). 22

В этих координатах действие подгруппы Zn описывается соотношениями (0.23) z + 1 - Ci) • • • (z + 1 - Cn)A0(z - Ci) • • • (г - C„i) = (z + l-Ci+1):.(z + l-Cn)Ao(z-C1)~-(z-Ci), Cj = Cj(ki,., kn), Cj = ., ki-i,ki + 1, .,kn) для всех j.

Мы доказываем, что существует единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условию Sp(Ci(k)) — Sp(Ci) — ki, для произвольной обратимой Aq и начальных условий {Ci = Ci(0)} в общем положении. Это решение является рациональной функцией матричных элементов начальных условий.

Разностные уравнения Шлезингера имеют автономный предел, который состоит из (0.19), (0.20), и

0.21-авт) Bi(kx + 1,.,кп + 1)=Ай1В{(ки., кп)А0,

0.22-авт) Sp(Bi(ku., кп)) = Sp(Bi), г = 1,., п.

Уравнение (0.23) превращается в z — Ci) •••{z — Cn)Ao(z — Ci) — • (z — Cii) (0.23-авт) J „ ~ J (z-Ci+1).--(z-Cn)A0(z-C1).--(z-Ci).

Решения автономных уравнений были получены в [110] с помощью общей конструкции коммутирующих потоков, связанной с теоретико-множественными решениями уравнения Янга-Бакстера.

Автономные уравнения также могут быть решены явно в терминах абелевых функций, связанных со спектральной кривой {(z, w) : det(A(z)—wI) = 0}, следуя методу [84, §1.5].

Теория изомонодромных преобразований разностных уравнений схожа (не только названием!) с теорией изомонодромных деформаций линейных систем дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами: m=L+£*i d< V iti<~Xi

0.24) + которая была развита Шлезингером в 1912 году и обобщена на случай полюсов произвольного порядка Джимбой, Мивой и Уено в [68], [69]. Если аналитически продолжить любое заданное решение У(0 уравнения (0.24) вдоль замкнутого пути 7 в комплексной плоскости, который не проходит через критические точки {ж*;}, то столбцы матрицы У преобразуются в свои линейные комбинации: У УМ1. Здесь М7 обозначает постоянную обратимую матрицу, которая

23 зависит только от гомотопического класса пути 7. Она называется матрицей монодромии вдоль пути 7. Матрицы монодромии определяют линейное представление фундаментальной группы комплексной плоскости С без п точек. Основная задача теории изомонодромных деформаций состоит в изменении дифференциального уравнения (0.24) таким образом, что все матрицы монодромии остаются неизменными.

Существуют изомонодромные деформации двух типов: непрерывные, когда полюсы Х{ двигаются в комплексной плоскости, и матрицы В{ — Bi(x) образуют решение системы уравнений Шлезингера, и дискретные (называемые преобразованиями Шлезингера), которые сдвигают собственные числа вычетов Bi и показателей У (С) в £ = оо на целые числа, с полной суммой всех сдвигов равной нулю.

Теорема 0.7. В пределе, когда

Bi - Xid~l +Bit € —У 0, наше действие группы в разностном случае сходится к действию преобразований Шлезингера на матрицах Bi.

Более того, мы приводим аргументы в пользу того, что асимптотика действия подгрупп Ъп "на больших временах", то есть асимптотика матриц

Bi{[xie~~1],.,[xne~1]), в разностном случае при малых е описывается соответствующим решением классических уравнений Шлезингера. Более точно, наша гипотеза состоит в следующем.

Гипотеза 0.8. Возьмём Bi = Bi(e) € Mat(m,С), г — 1,., п, такие что

Bi{c) - угб-1 + Bi 0, б0.

Пусть Bi (ki,. ,kn) — решение разностных уравнений Шлезингера с начальными условиями {-Sj(O) = Bi}, и пусть Bi(x%,. ,хп) — решение классических уравнений Шлезингера с начальными условиями {Bi(yi,., уп) = Bi}. Тогда для любых xi,.,xn еЖ и i — 1,., тг мы имеем

Bi([x1e~1],.,[xn€~1]) + [xie~1]-yie~1 + Bi{yi - Xi,. ,уп-хп) -> 0, е 0.

В поддержку этой гипотезы мы показываем, что разностные уравнения Шлезингера сходятся к классическим уравнениям Шлезингера в пределе е 0.

24

Отметим, что представление фундаментальной группы 7Ti(<C\ {а?1,.,жп}) через матрицы монодромии, которое доставляет первые интегралы уравнений Шлезингера, не имеет очевидного аналога в дискретной ситуации. С другой стороны, очевидный непрерывный аналог матрицы монодромии Р, которая содержит все первые интегралы в разностном случае, даёт только информацию о монодромии вокруг бесконечности и не несёт никакой информации о локальных монодромиях в конечных полюсах х\,., хп.

Сформулированная выше теорема о существовании и единственности (теорема 0.6) переносится на случай g-разностных уравнений вида Y(qz) = A(z)Y(z). <7-Разносные уравнения Шлезингера имеют вид, ср. (0.19-22),

Bi(qkl+\ . •., qK+1) = q~xAq1 Bi(qklдк»)А0, Sp(Bi(qk\. ,qk»)) = q-kiSp{Bi), i = 1,. ,n. q-Аналог соотношения (0.23) принимает вид z - q~lCi) ■ ■ • (z - q-1Cn)A0(z - Cx) • • • (z - i) = (z - (T'S+i) •••(*- q-lCn)A0{z - Ci) • • • (z - С{),

Cj = Cj (qk>,., qk"), Cj = Cj (qk>,., qk" , ,qki+>,., qk") для всех j.

1. Г. Бейтмен и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Москва, Наука, 1973.

2. А. М. Бородин, Гармонический анализ на бесконечной симметрической группе и ядро Уиттекера, Алгебра и анализ 12 (2000), вып. 5, 28-63.

3. А. М. Бородин, Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве в задачах случайно-матричного типа, Препринт ПОМИ 2005-04, 1-220.

4. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика меры Планшереля симметрической группы и предельная форма таблиц Юнга, ДАН СССР 233 (1977), 1024-1027.

5. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотическая теория характеров симметрической группы, Функц. анализ и его прил. 15 (1981), вып. 4, 15-27.

6. А. М. Вершик, С. В. Керов, Характеры и фактор-представления бесконечной унитарной группы, ДАН СССР 267 (1982), вып. 2, 272-276.

7. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика максимальной и типичной размерности неприводимых представлений симмметрической группы, Функц. анализ и его прил., 19 (1985), вып. 1, 25-36.

8. Г. Джеймс, Теория представлений симметрических групп., Москва, Мир, 1982.

9. Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Москва, Наука, 1970.

10. И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, Москва, Мир, 1985.

11. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, JI. П. Питаевский, Теория солитонов и метод обратной задачи., Москва, Наука, 1980.

12. Г. Сеге, Ортогональные многочлены, Москва, Физматгиз, 1962.

13. А. Б. Сошников, Детерминантные случайные точечные поля, Успехи Мат. Наук 55 (2000), вып. 5, 107-160.

14. М. Adler, P. van Moerbeke, Hermitian, symmetric and symplectic random ensembles: PDEs for the distribution of the spectrum, Ann. of Math. (2) 153 (2001), no. 1, 149-189, math-ph/0009001.

15. M. Adler, P. van Moerbeke, Integrals over classical groups, random permutations, Toda and Toeplitz lattices, Comm. Pure Appl. Math. 54 (2001), no. 2,249153.205.

16. M. Adler, P. van Moerbeke, Recursion relations for Unitary integrals, Combinatorics and the Toeplitz Lattice, Comm. Math. Phys. 237 (2003), no. 3, 397-440, math-ph/0201063.

17. M. Adler, T. Shiota, P. van Moerbeke, Random matrices, Virasoro algebras, and noncommutative KP, Duke Math. J. 94 (1998), no. 2, 379-431, solv-int/9812006.

18. D. Aldous and P. Diaconis, Longest increasing subsequences: from patience sorting to the Baik-Deift-Johansson theorem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 4, 413-432.

19. J. Baik, Riemann-Hilbert problems for last passage percolation, Recent developments in integrable systems and Riemann-Hilbert problems (Birmingham, AL, 2000), Contemp. Math., vol. 326, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 1-21, math/0107079.

20. J. Baik, P. Deift, K. Johansson, On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations, J. Amer. Math. Soc. 121999), no. 4, 1119-1178, math/9810105.

21. J. Baik, P. Deift, K. Johansson, On the distribution of the length of the second row of a Young diagram under Plancherel measure, Geom. Funct. Anal. 102000), no. 4, 702-731, math/9901118.

22. J. Baik, P. Deift, E. Rains, A Fredholm determinant identity and the convergence of moments for random Young tableaux, Comm. Math. Phys. 223 (2001), no. 3, 627-672, math/0012117.

23. E. Basor, H. Widom, On a Toeplitz determinant identity of Borodin and Ok-ounkov, Integral Equations Operator Theory 37 (2000), no. 4, 397-401; math/ 9909010.

24. R. Beals, R. R. Coifman, Scattering and inverse scattering for first order systems, Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), 39-90.

25. R. Beals, P. Deift, C. Tomei, Direct and inverse scattering on the line, Mathematical surveys and monographs, vol. 28, Amer. Math. Soc., 1988.

26. G. D. Birkhoff, General Theory of Linear Difference Equations, Trans, of the Am. Math. Soc. 12, no. 2 (Apr. 1911), 243-284.

27. G. D. Birkhoff, The generalized Riemann problem for linear differential equations and the allied problems for linear difference and q-difference equations, Proc. of Amer. Acad, of Arts and Sciences 49, no. 9 (Oct. 1913), 521-568.

28. A. Borodin, Riemann-Hilbert problem and the discrete Bessel kernel, Intern.Math. Research Notices (2000), no. 9, 467-494, math/9912093.250

29. A. Borodin, Discrete gap probabilities and discrete Painleve equations, Duke Math. J. 117 (2003), no. 3, 1-54, math-ph/0111008.

30. A. Borodin, Isomonodromy transformations of linear systems of difference equations, Ann. Math. 160 (2004), no. 3, 1141-1182, math/0209144.

31. A. Borodin, D. Boyarehenko, Distribution of the first particle in discrete orthogonal polynomial ensembles, Comm. Math. Phys. 234 (2003), 287-338, math-ph/0204001.

32. A. Borodin, P. Deift, Fredholm determinants, Jimbo-Miwa-Ueno tau-functions, and representation theory, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002), no. 9, 11601230, math-ph/0111007.

33. A. Borodin, A. Okounkov, A Fredholm determinant formula for Toeplitz determinants, Integral Equations Operator Theory 37 (2000), no. 4, 386-396.

34. A. Borodin, A. Okounkov, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel measures for symmetric groups, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), 491-515, math/9905032.

35. A. Borodin, G. Olshanski, Point processes and the infinite symmetric group, Math. Research Lett. 5 (1998), 799-816, math/9810015.

36. A. Borodin, G. Olshanski, Distributions on partitions, point processes and the hypergeometric kernel, Comm. Math. Phys. 211 (2000), no. 2, 335-358.

37. A. Borodin, G. Olshanski, Z-Measures on partitions, Robinson-Schensted-Knuth correspondence, and (3 — 2 random matrix ensembles, Mathematical Sciences Research Institute Publications 40 (2001), 71-94, math/9905189.

38. A. Borodin, G. Olshanski, Infinite random matrices and ergodic measures, Comm. Math. Phys. 223 (2001), no. 1, 87-123, math-ph/0010015.

39. A. Borodin, G. Olshanski, Harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group and determinantal point processes, to appear in Ann. Math., math/ 0109194.

40. A. Bottcher, Featured review of 2001д:4Щ2, Math. Reviews (2001).

41. R. P. Boyer, Infinite traces of AF-algebras and characters ofU(oo), J. Operator Theory 9 (1983), 205-236.

42. E. Brezin and V. A. Kazakov, Exactly solvable field theories of closed strings, Phys. Lett. В 236 (1990), no. 2, 144-150.

43. R. D. Carmichael, Linear Difference Equations and their Analytic Solutions, Trans. Am. Math. Soc. 12, no. 1 (Jan. 1911), 99-134.

44. O. Costin and R. D. Costin, Asymptotic properties of a family of solutions of the Painleve equation Py/, Int. Math. Res. Not. (2002), no. 22, 1167-1182.

45. D. J. Daley, D. Vere-Jones, An introduction to the theory of point processes,Springer series in statistics, Springer, 1988.251

46. P. A. Deift, Applications of a commutation formula, Duke Math. J. 45 (1978), no. 2, 267-310.

47. P. Deift, Integrable operators, Differential operators and spectral theory: M. Sh. Birman's 70th anniversary collection (V. Buslaev, M. Solomyak, D. Yafaev, eds.), American Mathematical Society Translations, ser. 2, v. 189, Providence, R.I.: AMS, 1999.

48. P. A. Deift, A. R. Its, and X. Zhou, Long-time asymptotics for integrable nonlinear wave equations, Important developments in soliton theory, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Berlin, 1993, pp. 181-204.

49. P. A. Deift, A. R. Its, and X. Zhou, A Riemann-Hilbert approach to asymptotic problems arising in the theory of random matrix models, and also in the theory of integrable statistical mechanics, Ann. Math. (2) 146 (1997), 149-235.

50. A. Edrei, On the generating function of a doubly-infinite, totally positive sequence, Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953), no. 3, 367-383.

51. A. S. Fokas, A. R. Its, and A. V. Kitaev, Discete Painleve equations and their appearance in quantum gravity, Comm. Math. Phys. 142 (1991), no. 2, 313344.

52. P. J. Forrester, The spectrum edge of random matrix ensembles, Nucl. Phys. В 402 (1993), no. 3, 709-728.

53. P. J. Forrester and N. S. Witte, Application of the т-function theory of Painleve equations to random matrices: PIV, PII and the GUE, Comm. Math. Phys. 219 (2001), no. 2, 357-398, math-ph/0103025.

54. P. J. Forrester, N. S. Witte, Application of the т-function theory of Painleve equations to random matrices: PV, PHI, the LUE, JUE and CUE, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002), no. 6, 679-727.

55. I. Gelfand, V. Retakh, and R. L. Wilson, Quadratic linear algebras associated with factorizations of noncommutative polynomials and noncommutative differential polynomials, Selecta Math. (N.S.) 7 (2001), 493-523.

56. I. M. Gessel, Symmetric functions and P-recursiveness, J. Combin. Theory, Ser. A 53 (1990), 257-285.

57. I. Gohberg, P. Lancaster, and L. Rodman, Matrix polynomials, New York: Academic Press, 1982.

58. B. Grammaticos, F. W. Nijhoff, A. Ramani, Discrete Painleve equations, The Painleve property, CRM Ser. Math. Phys., Springer, New York, 1999, pp. 413516.

59. J. Gravner, C. A. Tracy, H. Widom, Limit Theorems for Height Fluctuationsin a Class of Discrete Space and Time Growth Models, J. of Statistical Physics252102 (2001), 1085-1132; math/0005133.

60. J. Harnad and A. R. Its, Integrable Fredholm operators and dual isomonodromic deformations, Comm. Math. Phys. 226 (2002), no. 3, 497-530.

61. L. Haine and J.-P. Semengue, The Jacobi polynomial ensemble and the Painleve VI equation, Jour. Math. Phys. 40 (1999), no. 4, 2117-2134.

62. M. Hisakado, Unitary matrix models and Painleve III, Mod. Phys. Lett. All (1996), 3001-3010.

63. M. E. H. Ismail, N. S. Witte, Discriminants and Functional Equations for Polynomials Orthogonal on the Unit Circle, Jour. Appr. Theory 110 (2001), no. 2, 200-228, math/0012259.

64. A. R. Its, A Riemann-Hilbert approach to the distribution functions of Random Matrix Theory, Lectures in Canterbury, May 2000.

65. A. R. Its, A. G. Izergin, V. E. Korepin, N. A. Slavnov, Differential equations for quantum correlation functions, Intern. J. Mod. Phys. B4 (1990), 10037-1037.

66. A. R. Its, V. Yu. Novokshenov, The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1191, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

67. M. Jimbo, T. Miwa, Y. Mori, and M. Sato, Density matrix of an impenetrable Bose gas and the fifth Painleve transcendent, Physica ID (1980), 80-158.

68. M. Jimbo, T. Miwa, and K. Ueno, Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients I, Physica 2D (1981), 306-352.

69. M. Jimbo and T. Miwa, Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients II, Physica 2D (1981), 407-448.

70. M. Jimbo, H. Sakai, A q-analog of the sixth Painleve equation, Lett. Math. Phys. 38 (1996), no. 2, 145-154.

71. K. Johansson, Shape fluctuations and random matrices, Comm. Math. Phys. 209 (2000), 437-476 math/9903134.

72. K. Johansson, Discrete orthogonal polynomial ensembles and the Plancherel measure, Ann. Math. (2) 153 (2001), no. 1, 259-296; math/9906120.

73. K. Johansson, Non-intersecting paths, random tilings and random matrices, Prob. Theory Related Fields 123 (2002), no. 2, 225-280, math/0011250.

74. A. A. Kapaev and E. Hubert, A note on the Lax pairs for Painleve equations, Jour. Phys A: Math. Gen. 32 (1999), 8145-8156.

75. S. Kerov, G. Olshanski, A. Vershik, Harmonic analysis on the infinite symmetric group. A deformation of the regular representation, Comptes Rend. Acad. Sci. Paris, S£r. I 316 (1993), 773-778.

76. R. Koekoek, R.F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue, report no. 98-17, (1998), http://aw.twi. tudelft.nl/~koekoek/docuinents/as98.ps.gz.

77. V. E. Korepin, N. M. Bogoliubov, A. G. Izergin, Quantum inverse scattering method and correlation functions, Cambridge University Press, 1993.

78. L. S. Logan and L. A. Shepp, A variational problem for random Young tableaux, Adv. Math. 26 (1977), 206-222.

79. B. Malgrange, Sur les deformations isomonodromiques. I. Singularites regu-lieres, Mathematics and physics, Progr. Math., vol. 37, Birkhauser, Boston, MA, 1983, pp. 401-426.

80. G. Mahoux, Introduction to the theory of isomonodromic deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients, The Painleve property, CRM Ser. Math. Phys., Springer, New York, 1999, pp. 35-76.

81. M. L. Mehta, Random matrices, 2nd edition, Academic Press, New York, 1991.

82. M. L. Mehta, A nonlinear differential equation and a Fredholm determinant, J. Physique I 2 (1992), no. 9, 1721-1729.

83. T. Miwa, Painleve property of monodromy preserving deformation equations and the analyticity of т functions, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 17 (1981), no. 2, 703-721.

84. J. Moser and A. P. Veselov, Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials, Comm. Math. Phys. 139 (1991), no. 2, 217-243.

85. T. Nagao and M. Wadati, Correlation functions of random matrix ensembles related to classical orthogonal polynomials, J. Phys. Soc. Japan 60 (1991), no. 10, 3298-3322.

86. M. Noumi, Y. Yamada, Affine Weyl groups, discrete dynamical systems and Painleve equations, Comm. Math. Phys. 199 (1998), no. 2, 281-295.

87. A. Odesskii, Set-theoretical solutions to the Yang-Baxter relation from factorization of matrix polynomials and theta-functions, Mosc. Math. J. 3 (2003), no. 1, 97-103, math/0205051.

88. Y. Ohta, A. Ramani, B. Grammaticos, К. M. Tamizhmani, From discrete to continuous Painleve equations: a bilinear approach, Phys. Lett. A 216 (1996), no. 6, 255-261.

89. K. Okamoto, Polynomial Hamiltonians associated with Painleve equations. I, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 56 (1980), no. 6, 264-268.

90. A. Okounkov, Random matrices and random permutations, Intern. Math. Res.Notices (2000), no. 20, 1043-1095, math/9903176.254

91. A. Okounkov, Infinite wedge and random partitions, Selecta Math. (N.S.) 7 (2001), no. 1, 57-81, math/9907127.

92. A. Okounkov and G. Olshanski, Asymptotics of Jack polynomials as the number of variables goes to infinity, Intern. Math. Res. Notices (1998), no. 13, 641-682, q-alg/9709011.

93. G. Olshanski, The problem of harmonic analysis on the infinite-dimensional unitary group, J. Funct. Anal. 205 (2003), no. 2, 464-524, math/0109193.

94. J. Palmer, Deformation analysis of matrix models, Physica D 78 (1994), 166— 185.

95. V. Periwal, D. Shevitz, Unitary-Matrix Models as Exactly Solvable String Theories, Phys. Rev. Lett. 64 (1990), no. 12, 1326-1329.

96. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics. III. Scattering theory, Academic Press, New York-London, 1979.

97. H. Sakai, Rational Surfaces Associated with Affine Root Systems and Geometry of the Painleve Equations, Comm. Math. Phys. 220 (2001), no. 1, 165-229.

98. S. Sakai, C*-Algebras and W*-Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

99. M. Sato, T. Miwa, M. Jimbo, Holonomic quantum fields. II. The Riemann-Hilbert problem, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 15 (1979), no. 1, 201-278.

100. C. Schensted, Longest increasing and decreasing subsequences, Canad. J. Math. 13 (1961), 179-191.

101. L. Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentsial System Beliebliger Ordnung mit Festen Kritischer Punkten, J. Reine Angew. Math. 141 (1912), 96-145.

102. E. Thoma, Characters of infinite groups, Operator algebras and group representations, vol. 2, Pitman, 1984, pp. 23-32.

103. C. A. Tracy, Whittaker kernel and the fifth Painleve transcendent, Unpublished letter to A. Borodin and G. Olshanski, April 29, 1998.

104. C. A. Tracy and H. Widom, Introduction to random matrices, Geometric and quantum aspects of integrable systems, Lecture Notes in Phys., vol. 424, Springer, Berlin, 1993, pp. 103-130, hep-th/9210073.

105. C. A. Tracy and H. Widom, Level spacing distributions and the Airy kernel, Comm. Math. Phys. 159 (1994), 151-174, hep-th/9211141.

106. C. A. Tracy and H. Widom, Level spacing distributions and the Bessel kernel,Comm. Math. Phys. 161 (1994), 289-309, hep-th/9304063.255

107. С. A. Tracy and Н. Widom, Fredholm determinants, differential equations and matrix models, Comm. Math. Phys. 163 (1994), 33-72, hep-th/9306042.

108. C. A. Tracy and H. Widom, Random unitary matrices, permutations and Pain-leve, Comm. Math. Phys. 207 (1999), no. 3, 665-685.

109. A. Veselov, Yang-Baxter maps and integrable dynamics, Phys. Lett. A 314 (2003), no. 3, 214-221.

110. D. Voiculescu, Representations factorielles de type Hi de U(oo), J. Math. Pures et Appl. 55 (1976), 1-20.

111. H. Widom, On convergence of moments for random Young tableaux and a random growth model, Int. Math. Res. Not. (2002), no. 9, 455-464, math/0108008.

112. N. S. Witte, P. J. Forrester, Gap probabilities in the finite and scaled Cauchy random matrix ensembles, Nonlinearity 13 (2000), no. 6, 1965-1986, math-ph/0009022.

113. N. S. Witte, P. J. Forrester, С. M. Cosgrove, Gap Probabilities for Edge Intervals in Finite Gaussian and Jacobi Unitary Matrix Ensembles, Nonlinearity 13 (2000), 1439-1464, math-ph/0008033.