Изоморфизм подгрупп абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИЗОМОРФИЗМ 8 -ВЫСОКИХ ПОДГРУПП.

§ I.I. Абелевы группы А ,у которых для любой подгруппы 8 £ /4 все В -высокие подгруппы изоморфны.

§ 1.2. Почти самоиньективные группы без кручения.

ГЛАВА 2. ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ПРЯМЫХ СЛАГАЕМЫХ.

§ 2.1. Степенная подстановочность и сокращение в классе абелевых групп

§ 2.2. Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга

ГЛАВА 3. ИЗОМОРФИЗМ ГРУППЫ С ПОДГРУППОЙ.

В теории групп большое значение имеет изучение расположения подгрупп в группе.В частности,значительный интерес представляет изучение В -высоких подгрупп группы А ,т.е. подгрупп С С А .максимальных относительно свойства С Л 8 = 0,где В -фиксированная подгруппа группы А .Этим вопросом занимались различные авторы /см.например,[I] 8] /.Оказывается,что множество 8 -высоких подгрупп группы А -это в точности множество слабо сервантных подгрупп в А / [lj,[7] /.Но как связаны между собой 6 -высокие подгруппы,относящиеся к одной подгруппе 8 ? Установлено,например,что все высокие подгруппы /т.е. А -высокие, где А - Л К А / сервантны[8.1 и имеют одиfL "Г наковые ульмовские инварианты.Если при этом некоторая высокая подгруппа разложима в прямую сумму циклических групп,то все высокие подгруппы изоморфны между собой [2],

Вопрос,всегда ли все высокие подгруппы периодической группы изоморфны,был решен отрицательно Хиллом [4] .

В работе [6J найдено новое достаточное условие,при котором в р -группе А все высокие подгруппы изоморфны.Рассматривались также вопросы,когда все 8 -высокие подгруппы сервантны [3] , когда существует лишь конечное число В -высоких подгрупп [5] , и др.

Если 8 -подгруппа в Л ,то,вообще говоря,среди 6 -высоких подгрупп может быть много неизоморфных между собой [4] .Ирвином был поставлен вопрос,для каких подгрупп 8 группы А все В -высокие подгруппы изоморфны между собой 4.20] ,с.88,Проблема За/.Если фиксировать В ,а в качестве А брать всевозможные группы,содержащие В,и требовать,чтобы все В-высокие подгруппы оказывались изоморфными между собой,то ответ на этот вопрос получится такой:необходимо и достаточно,чтобы группа В была делимой /это следует из §1.2,Т.З/.В главе 1,§1.1 рассматривается другой вопросгкаковы те группы А ,в которых для любой подгруппы В все В -высокие подгруппы изоморфны? Класс таких групп /обозначим его через ОС/ описан в §1.1 /см.также [50]/.Приведем полученный результат.Для краткости будем писать перед соответствующим утверждением /0ГК/,если оно справедливо при предположении,что выполнена обобщенная гипотеза континуума.Для произвольной группы А через Т0(А) обозначим тип,содержащий характеристику (Д^ f ,.) ,где ~ = Lrt|(lip(<X)+1)no всем & € A [pnJ / kp.^Cl) - р^ -высота элемента CL , р^пробегает все простые числа, оа+Л = оо/.

1. Периодическая группа А € ОС в том и только в том случае, если каждая р -компонента/^группы /\ лежит в ОС . р-группа Ай ОС в том и.только в том случае,если А^ @4?(ра) ,где П4-С>о фиксировано.

2. Если -ранг факторгруппы группы А по ее периодическои части tA/ ,то As 0L в том и только в том случае,если iAeOL и выполнены следующие условия: а/ под группа ^Фд. (tA)p^ ,где I={l/'Ър (tA) >1} , прямое слагаемое в А /здесьZp(X) -ранг группы Хгpi /, б/ если (tA)p-He делимая группа,то А/1 А -не р -делимая группа, в/ для некоторого /а тогда и для любого/ & € A \tA выполнено /t{(L) -тип элемента Cb/*

3./огк/ Если г0(/\;>£ ,то л £02. в том и только в том случае, если tAeCJl ,A=H«tA и либо tA -делимая группа, г0(Н)<^ , Н€ 01 ,либо Н -вполне разложимая однородная группа и Т( Н) 4 Т0 ( А) .

4. Группа А без кручения конечного ранга п>1 лежит в ОС в том и только в том случае,если либо А -однородная группа,в которой каждая сервантная подгруппа ранга YI-1 вполне разложима,либо А -сильно однородная группа [26] , в которой каждая сервантная подгруппа рангаib-Z вполне разложима.

Если группа 8 не делимая,то,тем не менее,в какой-то содержащей ее группе А все Ь -высокие подгруппы могут оказаться изоморфными между собой,причем этот факт может зависеть не только от того,как устроена группа /3 ,но и от того,как она вложена в А .Пример: А = <$> $ Q ,где 0(ё)= оо } Q, -группа всех рациональных чисел.Выберем и положим в = <ё> , а,- <&,>. в -высокие подгруппы Q, и ) группы А не изоморфны между собой,а -высокие подгруппы,являющиеся в то же время Q, -высокими ,все изоморфны между собой.В главе1,§1.2 рассматривается случай,когда подгруппа В вложена в А в качестве прямого слагаемого.Доказывается,что если А = С (В В , то все 6 -высокие подгруппы группы А изоморфны между собой в том и только в том случае,если С = для области определения любого максимального частичного гомоморфизма ifl С—>В /см.§1.2,Т.з/.

Рассматриваются следующие примеры:

I/ В ^ ф Z (рл) , /г < о? . in I

2/ В * е Z . пг

3/ В ^ Ф L »где L £ Q-подгруппа идемпотентного типа т Г и пг > ( и).

В этих случаях все 6 -высокие подгруппы в группе А = С (9 В изоморфны в том и только в том случае,если соответственно I/ С для любой такой существенной подгруппы Т) Q С , что и C/D -Р-группа ранга не больше т.

2/ C*F©K для любой такой существенной подгруппы F&K в С ,что г -свободная группа ранга не больше - лг и с/к-группа без кручения. 3/ С = Z) для любой такой существенной подгруппы Т) - С , что tC С0 и (C/D)p = 0 ,если рВ =8 . Замечание.Вопрос об изоморфизме групп без кручения конечного у ранга с их подгруппами,факторыпо которым- р -группы,рассматл ривается в главеШ^Сл.26.

Далее в главе1,§1.2 дается описание класса почти само-иньективных групп без кручения,т.е. таких групп без кручения С ,что все С -высокие подгруппы в группе А - С Ф С изоморфны. Другими словами, С -почти самоиньективная группа,если С ^Tk^dj)) для всякого максимального частичного эндоморфизма ip: С—.

Для любой группы А = ВФ С тривиальным является тот факт, что все слагаемые.дополнительные к В ,изоморфны между собой. Используя кольцо эндоморфизмов,Уорфилд [36J охарактеризовал все такие группы С ,для которых слагаемые С^ С и Сг произвольной группы А изоморфны между собой лишь тогда,когда они имеют общее дополнительное прямое слагаемое в А /для этого необходимо и достаточно,чтобы кольцо эндоморфизмов Е ( С) группы С имело I в стабильном ранге/.То условие,что Е(С) имеет I в стабильном ранге,оказывается также необходимым и достаточнымУдля того,чтобы из В^ ф — Ф С^ » С^ = С = С2 всегда следовало существование общего дополнения к Вл и /и тем самым /.

В главен,§2.1 /см.также [54]/ показано,что если С-такая счетная абелева группа,что*Ь0 ( С)< ,ульмовские инварианты tc конечны и рС - С для почти всех простых чисел р ,то кольцо Ее С) имеет I в стабильном ранге.Эта теорема решает Проблему 6 Уорфилда [35] и дает достаточно широкий класс групп С ,для которых,с одной стороны,два изоморфных группе С прямых слагаемых произвольной группы А всегда имеют общее дополнение^ с другой стороны,из В^ Ф С = Bg(&С всегда следует 8^ = R

Если указанный класс групп расширить,отказавшись от требования почти делимости группы С ,то С будет обладать степенным подстановочным свойством /см.[34] / и тем самым из Вл Ф С = всегда будет следовать Ф = Ф для некоторого П, t /V/ см.[54]/.Это-решение Проблемы 7 Уорфилда [35] и Проблемы С Гудерла[34] .

Из изоморфизма Вф С = Вл Ф С .очевидно,отнюдь не всегда следует В = В^ .Однако из результатов Лейди[30] ясно,что если 6 и С -группы без кручения конечного ранга,то существует лишь конечное число неизоморфных групп со свойством В Ф С ~ = В-L$C .Группы без кручения конечного ранга 6,8^ со свойством Вф С ~ Вл Ф С для некоторой группы С без кручения конечного ранга Фукс назвал эквивалентными и поставил Проблему 71: выяснить связь между понятием эквивалентности и понятием квазиизоморфизма /[21] ,с.219/.

В главен,§2.2 мы займемся изучением групп без кручения конечного ранга BL эквивалентных группе В /дополнительные результаты по этому вопросу см. в [51]и [53]/.Нами будет введена в рассмотрение некоторая конечная группа К (В) .Для широкого класса слабо сократимых групп В /см.§2.2/ порядок группы К(В) равен числу неизоморфных групп Вi эквивалентных В . Так как в процессе доказательства некоторых результатов мы вынуждены обращаться к модулям,то все результаты формулируются для некоторого класса модулей.Вводится понятие эндомак-симального модуля и показывается,что В и Вл эквивалентны в том и только в том случае,если Й^фЮ для произвольного эндомаксимального модуля Z) ,квазиизоморфного В .Для примера, если В -почти вполне разложимая группа без кручения конечного ранга,то В -эндомаксимальная группа в том и только в том случае,если В -вполне разложимая группа.

На частном случае почти вполне разложимой группы В демонстрируется вычисление относительной группы классов SK(B) /см. §2.2/.Показывается,что в рассматриваемом случае SK(B)~0. Равенство SK(A) = 0 эквивалентно тому,что для группы А совпадают понятия эквивалентности и почти изоморфизма /см.§2.2/ с произвольной группой Ai .Это означает,что для почти вполне разложимой группы В у нас В жВл почти изоморфны в том и только в том случае,если В и Вл -эквивалентные группы,а именно для некоторой вполне разложимой группы и .Тем самым известные результаты Ле иди [31] о почти вполне разложимых группах вытекают из общих фактов.

Вычисление группы К(В) для простоты проводится для самосократимых модулей.Однако,во-первых,это можно сделать и в общем случае /[53j/,a во-вторых,общий случай сводится к самосократимым модулям /см.§2.2/.

Полученные результаты можно применять для определения числа разложений модуля А на "слабо" отличающиеся прямые слагаемые, а точнее,для определения числа неизоморфных разложений А = = В В; ,где А; и В: почти изоморфны = /.

Для примера,если А -группа без кручения ранга 3,то все ее разложения удовлетворяют вышеприведенному условию /см.[29] или [32]/ и потому можно определить число всех неизоморфных разложений такой группы /см.§2.2/.Тем самым получаем результат работы [32].

В главе1 мы видели,что в некоторых ситуациях бывает полезно знать,какие группы изоморфны всем своим подгруппам с каким-то определенным свойством.Вопросами изоморфизма группы с подгруппами занимались разные авторы /см.например, [9] - [16] /. В главеШ исследуется класс УЬ таких групп А без кручения конечного ранга,что А ^ С для любой подгруппы конечного индекса С - А .Для групп без кручения конечного ранга последнее эквивалентно тому,что из квазиизоморфизма А навсегда следует изоморфизм А и D /здесь!) -произвольная группа без кручения конечного ранга/. Класс таких групп рассмотрен Мерли [16], Хорошо известно,/см. [12],Т.3/,что вполне разложимая группа А лежит в TL в том и только в том случае,если для любых несрав

НИМЫХ ТИПОВ С. , г, е TiA) выполнено Жр(Ъл ,Zz) - t ( Q) .Все известные примеры групп из УЬ ограничивались до сих пор лишь некоторыми суммами групп Л- ,имеющих р -ранг tp(Ai)61 для любого простого р .Группы А; с последним свойством изучались, например,в работах [17], [18], [19]и были названы Арнольдом [28] группами Мерли.Однако,как мы увидим в главеШ,класс УЬ отнюдь не исчерпывается такими группами.

Введем в рассмотрение класс Jft таких абелевых групп А без кручения конечного ранга,что из квазиизоморфизма А и D всегда следует почти изоморфизм/4 и Ъ /здесь Т) -группа без кручения конечного ранга/.Изучение класса TL сводится к изучению класса Ttt /главаШ/: А £ ТЬ в том и только в том случае , если А € Tft и B(A)/v/(E (А)) -кольцо главных правых идеалов /здесь IV ( R) -наибольший ниль-идеал кольца R/.

Определим также классы Tftp посредством условия АеЖр в том и только в том случае,если А почти изоморфна С для любой такой подгруппы С - А ,что А/С -конечная^» -группа.Так как Ж - /Ч Tftp /главаШ/,то нам достаточно описать классы Tftp .в главеШ даются две характеризации класса Tftp и приводится способ построения всех групп А € Tftp .

Класс Tftp замкнут относительно квазиизоморфизма и прямых слагаемых и потому его изучение сводится к исследованию сильно неразложимых групп А € Tftp .Любая такая группа каноническим образом представима в виде последовательных расширений р -специальных групп /см.главуЩ/.Отсюда получаем ряд следствий:

I. Если X iA) i з ,то AeWp в том и только в том слу

II . ^ чае,если группа А квазиизоморфнаА« ,где ь-1 г и множество {A-LJ в определенном смысле линейно упорядочено /глава III,Сл.22/. Если >3 ,то группа А может быть устроена значительно сложнее.Однако если р -ранг 4,piA) достаточно близок к Ъ(А),то имеет место аналогичный результат.

2. Допустим,

Тогда В ТОМ и только в том случае,если группа А квазиизоморфна

Ф А; ,где ХлА-,) 47 /1 = 1.„)т/ и множество {А-} 1-1 ь г линейно упорядочено /глава Ш,Сл.23/.

3. Допустим, %р(.А)= %(А) .Тогда следующие условия эквивалентны: а/АеШр , б/ Ае % , в/А=^ А^ ,гдеТ(/4^=7и множество {t(А-ь)} линейно упорядочено. Напомним,что группа А называется р -редуцированной,если р№А = о.

4. р -редуцированная группа А £ 7/tр вполне разложима в том и только в том случае,если "Ър (А) — Ъ(А).

5. Допустим,группа А без кручения конечного ранга обладает тем свойством,что А = В для любой такой подгруппы

ЧТО

А/в

- р -группа / р фиксировано/.Тогда А - р -редуцированная вполне разложимая группа с линейно упорядоченными типами элементов /обратное верно в силу /[44] ,Т.2//. Как мы отмечали,группы А £ ^-р могут быть устроены довольно сложным образом.Подтверждением этому служит приводимая в главеШ теорема существования сильно неразложимых групп А € 7Tip .Другие теоремы существования^ также дополнительные сведения о введенных нами классах п ,т ,тР см. в [47J , [49] , [52] .

Те определения и обозначения,которые не поясняются,взяты из[20] и [21] .Посредством Л.,Т.,Пр. мы будем сокращенно обозначать слова Лемма,Теорема,Предложение.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту А.П.Мишиной за постоянную помощь и поддержку.

1. Ixufin ЯМ. WcdkmE.A. "О-гь N-kidi tbdcfiouM oi аЫиоигь fiobupS Рол. IMaiA., 196\v. И,ЛЧ ,1363-1342.1tufin <}. M,; Р-ежси С., Walh/i E. "Splitting piopwtiM of как lubioti*' бuM. Sac. M<m. Fz/nd, 1962, MzM~m. ;

2. Plana R. S. "СгпЪт ot puutitu in cdtlian огиоыоъ " Рас. I Май., 1963, v:i3jl?Z15-M9, 7 Г

3. ШМ P. i/italri рьш ш&дпоирз of ргЬталу опоиръ" Topics иг (lUdian угоирз, СЯ'сса^о^Шиго^/дбЗ^ЗН-ЗЯ

4. Кривонос Ф.В. "Об А/ -высоких подгруппах абелевой группы" Вест. МГУ,Мат. ,Мех. ,Щ1 /1975/,58-64.

5. CuUm D. 0. "PtLmcuiu oJ>e£iaii жоиръ kavlao allkiсиг mlqnouLpb (лопгогрАю * thoc. dmsJi. МаЖ, S oc.,

6. HoJVbiAO-n B. K.Jutirb M., PwtCU C. L.J V/cSm E.A .Uial exUibdlorud о/ cuUlaiiz anoupi " CLcia MatK, OlSoA. Sci. Нипуал., 14(1963) f319- 330.

7. Ixufin M.,V/cdhi E.A. 'Оя, иo-ty^ 4и&уьоиръoi afyidn аьоирз" BuM. So-c. (iatk. Fiance 89(1981) ^4 , 451-460.

8. Bixan L "O-ri иотогр/ьсбпг of сцюдь- ио/погрЛес icyvdlo-n Рш aMian опоиръ Comm. Math. Univ.CojioI., 9(1968) ,109-119*13. ftьо-сАалЛа L, 'Nob, on уиаль-иъотогрукшп oftcш1оп fnu aA&iidn, o/ioupi of finite шпк'' Comm. Kail.

9. Q^Mitk P, "Extension/) of /tee олоирз $ч io-baion yioLpt" /hoc, Qmm. Math. ЗЛс.^идщ/ч,Ш-619.

10. РасАз L ^Л/o-fe 0-/1 wtenAioriA of a^e£iaa onoapAЦ pumcuiy fcmpi*

11. Мыnli^C.E, 'Tfa dtmLficcdio-n of aniain domedof tavdio-n fun oJUtlari g&oupd" Pao. Matk.}

12. ОоьтлЬьоаа "On р-рилг udywup* о/'bki p-acLiс aiteaew ToplcA in d^-dian Gtoupi^ Chicago, 1шпои; 19ьЗ} 315я

13. MwvlzuCE, "Dvrnct product* and шш o-f- touionfiu aAelian апоарб* Ргос.&пм. Haih, Soc.y Ш19Щ/2, ZZS-Z41.

14. Куликов JI.Я."Абелевы группы, р -ранги которых не больше единицы" Вестник МГУ Дат.,Мех.,4/1980/,93.

15. Фукс JI."Бесконечные абелевы группы"Т.I,М.,"Мир",1974.

16. Фукс Л."Бесконечные абелевы группы"Т.2,М.,"Мир",1977.22. bican L. "Hind aidian апоарз of toidion Agg гап1 OWL* (лгсАо^.

17. Blcayi L. '' СотрШеЛу dsLcompo6oJ)^i оЛеЛсагъcfioupi anu njLQidoJi Аи&оп,оирл of i/AlcA Unphtd^cUcompo^M 0исАМШ.1р(19ЩД 11-1424. 1-Ш Р. "О-ч tfa f>uzrm of aldian g/ioupi, Ci q#rwialuz.cdLori ol Pord/tyqin/s i№ot£inf/afrwi, м atk. Soc4imiofJw) ни-mo.

18. Gb'JfiiA P,A. "Шсотроаиоа of рилг ъиЛд/iOLLpi of l&uiori-fm мойр*' Ж?. Mail., ШШ), №>433-421 d26. (hbnoldL V.M. "Sinorialu komoaenzou/s tola ion /W cJLdian Woupd of finite, РъосЛггт.МаЦ Sen.,56 (1946), W-W.

19. СЬиьоЫ Z). M. "Gene/ia and d'mct шт cUcompoiLtLotiA of ioiAion f*tu moduli^* Uci. N<№ Mail., G16(19W,W-Z1i.

20. CbtnoM V.M, "Finite lank ttmLon fui abdian ywupi and Ud.No-Ы ИаЖ.,931 (19^2).

21. CUnoid d.M.j L&du E.L. "Endomoip/inm гьпдд and d'md ш\т of tcmion- fue a&di&n fioipi" Тит.drnm.Math.sос., гишщгж-гз?.

22. Lady E.L. " SummandA of finiti tank torsion-f%ee Mian fioupi" IQicjdtd, зг(19ЩЛ, S1-S2.

23. Lady E.L. 'ШтолЬ comp&telu dtcompoiaMl iozcio-n fnu aXdidn aioapi* Plot. CLmt/i. Matk, Soci}

24. B'^nMAcoidt MutzJaaM, 0, "ШсотраэСйопл of tobiLon fnu aidian gfioapi of iank 3* Cbick, MatA.} ЪЬ(1980))по.6;501-5'011(1дМ.

25. Фейс К."Алгебра:кольца,модули и категории"Т.1,М,,"Мир",1977.

26. Qoocka/il К. P. 'Poufen, canceMatio/г of (j/ioup$ and35.module"Рас. I MatktJ 64(1916), 3fl-411.V/aitAeld R,&, *Th otuLctuni tfuoiu o-fmiud oMian yuupi* tid. Nob* MatA.,%16(19W;1-39.

27. Wa/ufidd CarbcMaXion of module and and stcMi гагкж of endomoipAtiwi iLnQA" Рас.1.Май9К19Щ j/г, Ч51-№. J

28. СмиЛйи P, "TAe odncdiatCon of 1огл1о\г о&Лсапуимр* in cLi/uct шш ' У. Cdg.j Z (1965), 43Z- ЧЧ2.

29. Beaumont R.A. Pim^R.S. 'TowLon гСпм" lU.l Mail., 5(1961), 61-9 f.

30. Si/an-R.G. "QJtajdmii K-ifootu* Uct ЫоЫ Hoik., 76(19Ш d

31. Swfan R.Q.j Ev&n/> E. G, "K-ilnoiu of fundi moupo and otdm" Ud. Note Mbth.fm 11910) d

32. FioMicb K. "Locally fnu modules ov&i cuiitAmetcc опАшл" f. uim una anazuf Matfi*, 1915 ZJ4/21S ,112-124.

33. Херстейн И."Некоммутативные кольца" М.,"Мир",1972.

34. Ван дер Варден Б.Л. "Алгебра" М.,"Наука",1976.

35. Bic&ii L. " Sortu piope/itieA of сошр&Ы^ clumnpoiaMi tov^Lon /ш аЛе£сап д/соирз " Oitd.MatA, t, 19(196Ю} 51Я-533*

36. Каш Ф. "Модули и кольца" М.,"Мир",1981.

37. Кравченко А.А. "Об изоморфизме N -высоких подгрупп" 15 Всес.алг.конф.,Тезисы,ч.1,Красноярск,1979,с.79.

38. Кравченко А.А. "О квазиизоморфизме абелевых групп без кручения конечного ранга" 16 Всес.алг.конф.,Тезисы,ч.1, Ленинград,1981,84-86.

39. Кравченко А.А. "О вполне разложимых группах" Мат.зам., 31/1982/,#2,171-185.

40. Кравченко А.А. "О специальных группах и кольцах" 5 Всес. симпозиум по теории колец,алгебр и модулей,Тезисы, Новосибирск,1982,78-79.

41. Кравченко А.А. "Об изоморфизме N -высоких подгрупп"-В сб.: Абелевы группы и модули,Томск,1983,24-39.

42. Кравченко А.А. Почти изоморфизм и эквивалентность некоторых модулей" 17 Всес.алг.конф.,Тезисы,ч.2,Минск,1983, II4-II5.

43. Кравченко А.А. "0 квазиизоморфизме абелевых групп без кручения конечного ранга.1" М.,1983,45с.,Рукопись представлена МГУ,Дел. в ВИНИТИ 28.10.1983 г. ,№ 5867-83.

44. Кравченко А.А. "Почти изоморфизм и эквивалентность абелевых групп без кручения конечного ранга" М.,1983,44с., Рукопись представлена МГУ,Деп. в ВИНИТИ 28.10.1983 г., №5866-83.

45. Кравченко А.А. "Степенная подстановочность и сокращение в классе абелевых групп" М. ,1984,12с., Рукописьпредставлена МГУ, Деп. в ВИНИТИ 18.07.1984 г.,№5165-84.

46. Кравченко А.А. "Почти самоиньективные абелевы группы без кручения" Вестник МГУ, Мат.,мех., 4 /1984/, 22-26.