Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г О

Л ’>■

О 1-4

На правая рукописи УДК 517.43

КАДИЕВ РАБАДАН ИСМАИЛОВИЧ

ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ ШРЕДИНГЕРЛ С ПОТЕНЦИАЛАМИ НУЛЕВОГО РАДИУСА

ОI л) 1.02 - дифферсшшальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математических наук .

МАХАЧКАЛА - 1995

Работа выполнена на кафедре теории функций и функциона: ного анализа Дагестанского государственного университета.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

-доктор физико-математических наук, профессор М. М.Гехтмэн -доктор технических наук, профессор М.Г.Алишаев _ -док тор фнэико - мзтемз тмческ их наук, профессор Ю.В.Покорный -доктор физико-математических наук, профессор А.И. Вагабов

Ведущая организация

-Пермский политехнический университет

Защита состоится 1995 г. в 14.00 ка

заседании диссертационного совета К 063. 61. 07 в Дагестанско» государственном университете (367025, г.Махачкала, ул. Дзержиі схого, 12, мат. факультет, 3 эта*, ауд.379).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Д! г.Махачкала, Батырая 2.

Автореферат разослан "

1995

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат фнэ.-мат. на доцент Р.И.Кадиев

ОБІДДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. При математической описании ряда физических прцессов возникает необходимость изучения спектральних характеристик задач -у"(х» * я < х)* у(х) = Ау(х), х * хк (1 =1,и+п), (1)

у <х4 ♦ 0) = у 1х{ - 0) = у (х4),

у'<х1 * 01 - у'<х4 - 0) = «^(х^ (і = Т7Й).

У'(х1 + 0) = уМх, - 0) я

у <х( + 0> - у 1х1 - 0> а Э4_гаУ' (X4) (I = П+1,П+П).

В этих формулах я и п фиксированный неотрицательные цалыэ числа, ак (к = ТТ&и и Зк = ГГп) некоторые вещэсгвеннив числа, XJ (J =1, ез+'п) такжа фиксированные вещественные числа, занумерованные в порядке их роста, я(х) - скаляриая вещэствен-нозначная неотрицательная функция, определенная при х € (-в, »«) такая, что

♦« 5 /<!■*• х ) ’ я (х10ІХ < «.

-(в

Пусть

Х1 - (х1,х2,... .х^),

Х2 = 'Хви-ГХв+г’ ''' 'I{»rn,•

X = X, и х2.

В гильбертовом пространстве ») на ынохестве функций

01ш,п ) ■= <у: у 6 Нг-21Й N X), у (хь + 0) = у (хь - 0) = у (х4) <» = ГГЇІ.

у‘(х4 ♦ 0) - у'(х1 - 0) - а1-у(х1) <1 = Г7а),

.уЧх, ♦ 0) « у'(х, - 0) а у' (х,) .'1 = йПТйТп),

V «х, -г 0) - у (х, - 0) -= в^^-уЧх,) II = йЛ~м7їїї) посредством дифференциального выражения

01 Г)(хї = -Г"(х) ♦ о«х> <х>

<0, п -

л

определим оператор Н(п,п,ц) формулой

ІНа.г.чІГ = 11 Г, Г € 0(г,п).

Ні Л

л

Символически будеы записывать оператор Ній.п,я і в інде

Н(и,п,ч2Г к ~Г"(х) + сіхЬПх) ♦ £ ’б(х-хкї ‘Г (х і *

'2* І

‘ 2 Э^ОЧх-х^-Их».

І

а область определения этого оператора бухеи обозначать через 0(13 :,

л

О дальі:оІіК'ї« <5удеа обозначать тт.асс -лп^^агороа -Иг., условии а = 0, і і = ГГь) чепсчз *1(0, плі*, прп условші 'Д

(1 * ТГЇЇІ че»еэ ІНв.О.*} *! иаксішц з»>~«а КО, ;г.асс

. .м_^, .

тоооп 'Не,.),о: «пи л, -■ 'О, . •; ., і , ... 3 <■> •”

І-..*,дча чче-кг".^-: и і ;г/і; : •* .

!і< *. '. и і ;!(0. й.г.,». 1 С ’ . - -.' р. ;

Ярій-.п^чя!'.;!! і.;-,г.-.о.' ..:г : ~ . »■,

Ін-ль ро&оты изучения спехтралышх характеристик операторов Ній.п,Ч»г Н(а.С,0> кй(ІД.О).

Научнай нояизна. В диссертации изучен» спектральные характеристики одного класса днфференцнальиых уравнения типа Л'редингера с потенциалом нулевого радиуса.

Доказано, что;

1. Оператор Гна,п^) саиосопряаен. Построена резольвенте оператора Н1в,п,ч),

А

2. Спектр оператора Ши. п,ц) состоит из абсолютно непре-рыаной части, соппаяаюкиіі с множеством з * І0,а) н на более, чей а ♦ п простых собстас-ннах значений, определяемых как отрнца-таяыгыа корни характеристического уравнения.

/ч

3. Исследована природа спяхтра оператора Н(п,0,ч>, В случае

л '

оператора ІПа.0,0) подробно изучена структура векового уравнения 0а СШ " 0.

* А

4. Построены функции ВеПяя для оператора ЯП, 1.0).

5. Получено раздо*ение произвольной функции из ЦІ-м,«) по

л

обобщенным ообстаенным функциям оператора Н(1,1,0).

6. Исследована природа спектра оператора й(1,1,0).

Обмая методика исследазанкя. Результаты настоящей работы получены с помощью цетодоа теории функций и функционального анализа (теория самосопряженных расширений симметрических операторов, спектральная теория дифференциальных операторов а гильбертовом пространстве).

Теоретическая и практическая значимос/ь. Полученные в диссертации результаты представляет интерес в спектральной теории цехлассических дифференциальных операторов. Эти резуяь-

гаты могут быть использованы в теории поверхностных состояния (таммовских уровней! кристаллов при изучении электронного строения иолекуляродх систем. Кроне того, полученные результаты могут быть положены в основу спецкурса, читаемого студентам математических и физических факультетов университетов и педагогических институтов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

4 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно обсуядзлись на семинаре по спектральной теории в Даггосуниверситете, на 3-11 Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения". в научноисследовательском институте математики Воронеіского университета, на семинаре научно-исследовательского центра "Фуикцнонально-днффереициалыше уравнения" Пермского политехнического университета.

ОЗъеи н структура роботи. Диссертация изложена на 93 страницах машинописного текста и состоит пэ введения и тре:; глав. Работа содерянт 10 рисунков. Список литературы включает 51 канмоновани!!, в том числе 7 на иностранны:: языках.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается краткий обзор работ, приникающих к теме диссертации, обосновывается актуальность тематики и приводятся основные результати диссертации.

Первая глава. диссертации посвящена изучении природы спектра

Л

и собственных функций оператора IUq,n.q).

Вияснена связь между резольвентами и Яд",п> операторов 11(0,0,q) и H(m,n,q)), что позволяет в ряде случаев изучить природу спектра оператора Н(к,»,q).

Пусть ф (х,А) и р2(х,Л) dm Л * 0 или 1в А = 0, Re А <01 два линейно независимых решения уравнения

-у"(х) + q(x)*y(x) » А*у(х),

причем А) б L2 < -са, 0), ір21-,М і ЩО.о») и #>t і •. Л> € Ц(0,<я),

¥>j(',A) <£ Щ-аа, 0). Существование таких решений обеспечено

условием

t(0

J* (1 * x2) *q(x> -dx < <a.

~0J

Обозначим через ф) k * ^(хк.А>, 9^k * ^(к<*к.А)* IJ ■

= 1,2 в к = ЇТі+n), ‘

ak (к = ГГв),

2k~

. ft „ (к = й+І.и+п).

К-ft

Положим D (А) = det(M (А)), где М (А) * а*г* »+п

- матрица (размера 2(п*п) х 2<ш*-пП.

В главе 1 получены следующие основные результат:

Теорема 1.2.2. Справедливы следующие утверждения:

Л

1. Оператор Н(т,п,ф самосопряжен в L2(-то,га);

2. Пусть їй Л * 0, тогда п£т>п> - Нд есть конечномерный опзратор, ранг которого не превосходит п+п.

Теореме 1.3.1. Спектр оператора Н(т, п,ч> состоит из абсолютно непрерьшиоЗі части 5 = (0,+го ) и не более, чем п+п

отрицательных собственный чисея (.3 =Г,га+п), которые определяется как отрицательные корни уравнения

О Ш = 0. .

И , п .. _

Теорема 1.3.2. Пусть А0< 0 нуль функции 0т (Л), Тогда Л0~

Л

собственное зиачеикэ оператора Н(а,а.г;; и функция

уіх,А0> =

С1>р2(х,А0), х е (-со, хг),

са*ч?і(х*Ао1 * х є

сгк-2*Рі,х’V *

х б (х ,, х . ■ ) (к - 1, япп-1).

Н к +1

С_, ^ , •¥> (х,Л ), х Є (5

2(Ш+П) І О

где С = сої (С,,С3„.,,,С,(п>л

2(п>*п)

ненулевое решение системы

И (А„!-С = 0 с точность» до числового множителя, отличного от ш»п о

А

нуля, является собственно!!; функцией оператора Н(ш.п^), соответствующей собственному зиаченио А0>

Теорема 1.3.3. Пусть ^(х) э о, а = 1, п » 1. Тогда ‘ справедливы следующие у • радения:

А

а) если а1>0, р^О, то у оператора 11(1,1,0) нет собственных

значений,

' л

б) если 0, то оператор НИ,1,0) имеет ровно одно

собственное значение,

А

в) если 0, Эг< 0, то оператор 11(1,1,0) имеет ровно два собственных значения.

Во второй главе детально . изучена дискретная компонента

л

спектра оператора Н (са, 0, ч).

* А

Напомним, что область определения 0(Ни 0Ї оператора Ша,0,ц) состоит из функций у(х1, принадлежащих множеству

ЙІікО) = (у:у е Нг'г(Й) л Нг’г(й \ Х^,

У'<^ * 0) " У'ІІ^ ~ = ^ ~

Положим рп - I ш/21 - целая часть числа а/2, | - целое

т* =

г 1, если к € и П21.1(121)

1. -1, если к е',и1П21Л21п1 и 11.1,1 и I \ , ш!

1-1

при j = При, к = ТТш.

В главе 2 получены следующие основные результаты:

Теорема 2.1.2. Собственные значения .\ оператора Н(ю,0,ц» однократны, а соответствующие им собственные функция у г х.> определяется по формуле

С^Ф^Х.Л >. X е <-и. х,!.

С2,^1(х’Ле) * Сэ-^1х,Аг). X 6 (х1,хг1,

У(Х’У 3 Сгк-г^1(х'А?’ 4 Сгк-Г^кД,).

х € (х., х.ж,1 (к =Т,т-11. к к+1

С_ -ФЛ%,\ ). X € 1* , +т ).

2» Г1 в т

где С. - произвольное отличное от, нуля число, а

\ I ■ ш /

' Сг = / И

Сэ = ‘ аГ<1 / М ^1,Л,11)-Сг’

сгк =Чг " «к'Чк'^.к 7 М !^.Л.к1),сгк-г +

+,акч'г.к 7 ” ^1,кРг.к1),С2к-1-

^гь*1 = <ак‘,,р1,к / М +

+ (* + «У^.к’^.к ' ^ [^.к^.к1),С2к-!

- и -

пги к = 27Й=Т. Сгга = (С2и^ит ♦ Сгт_іЬ т)/,рг^. Здесь

1' '^.Л.к1 = Ч’і.к'У'г,* ~ К,м.•'Рг.к "Р" к = 2^1'

Теорема 2.2.3. Справедливо следу»зще*ї равенство

Р»

-І)1” п <2/1 - а.) + Т" .

I»! !■= 1 *»

В „(А) ~(-

о . . . .

.И

В Формуле (2.2.1) Т™ (л я 17рт) определяются равенством т-2,| + 1 т-23 + 2 т-1 г.і

^ = Е 2 ••• £ Е

Vі + 1 1ця1гЛ-1 + 1 1 ^

п J ;* ^ .

( п <Нд - тк «к)> ( п ехр(2/іх 1-І)1))/ п 12/і - а И) и

к"1 ' 1 = 1 і 1-*1 I

|с -'ЯМ1 .

Теорема 2.2.4. Каксзо бы пи было натуральное число^я., такое, что 0^5*», яспглз можно -указать гіадор гс6эффицентов~о£, к = 1, а, при которой оператор ІКп.0,0) имеет ровно % отрицательных собственных значений.

Пусть а = аіп(«к, к = 1.п>, 13 = гт,ах{ ({. к = 1»а),

Г = піп<а/2, - ((рт) 1/ю,р - «(/<2(1 -• <Ря)1/т)). • £* - дискретный

спектр оператора !И?..0,0).

Теорема 2.2.5.Дпя лебого собственного значения А оператора 11(2,0,0) имеет место неравенство -|\|1/г г -у.

Теорема Пусть <7(X) =0. п = 2, и ^ О (.І = 1,3).

Тогда справедливы следующие утверждения:

а. Если а, > 0 и а., > 0 или а/с, < 0 і; а ,* с, > 0 1 ». 1 і! і «і

_ 14 _

До

л ,

и а, ■» а„ ^ а -й„-(х,-х., то £ = 0.

1 л 1 с. *■ 1

■ б. Если а, < 0, «„ < 0 и «, + * -а -аЛХ.,'Х.) или

1 4. \ л 1 <2 <: 1

< 0, «, > «2 > С, < -сусу (х.,-^! или <уа? < О,

+ «„ <■ 0 , то Г состоит из одного элемента,

б. Если а, < 0, а. < 0 и а, + а„ > -а ■а,* (х "X.(,

1 2 I 2 л 1

то 2Г состоит из двук элементов.

г. X? е <11,0). где у = т1п(а /2,а /2).

Введем функции

!X,Л) = 0(х,А) <- а1(Л)*</|<х,Л) (1 = 1,2),

л л

где 0(х,л1 к ф(хД)~ решения уравнения

5Н1 1у)(х) - Лу(х), х 6 ( -и, и )

удовлетворяйте условиям: 0(0,Л) = <р'(О,А) = 1,

Л А

0'(0,А! = 'р(О.А) = 0, а функции *а4(\) (1 = 1,2) подобраны так, что Фг1-,А) е Ц(-».0), 02(‘,А) е Ц(0,го) (фуньшш в^А) (1 = 1,: принято называть функциями Вейля).

Определим функции

БСхД, А1

А)<03(х,А), Ь з х,

. ^(х,А)1/»2иД), _ I * к,

И обозначим через А выражение

^(х,А)^,(х,Л) - 0'(х,А)^2<х,А) (х * х * х?),

В главе 3 получены следующие основные результаты: Теорема 3.1.1. Пусть 1т А * О, Г е 12(-«, <*>). Тогда справедлива формула

■V Л

>'ІЦ(!Н1,1.ЧПП(Х) = П1/Л> 0(хд,л: ППої, х * х„.

■,'препелим іііупкции комплексної! перемінної! Л

Д, 1А) = Л„мі * Ч: -/)'• 0' > <■ /і. ■ Б„Ч<>а,

■ • ^ ' і £. <і І .і. 'і

,5.Ш « - /?■ </>'• 0' І - (іх- А„'{<р')г.

С3(А) « Сг-<1 - |ї- </>'• 0'» * з,- 03-!^)г.

03ІЛ) - 02-(1 - /3; Од) + З,- С2‘ і^)г.

Тєореиа 3.2.1. Для фуккциіі га^А) и т^(А) справедлкви

формули

- 1А1/2А3іА>

а„<ЛІ=--------- --------- —гт“----------. »,Ш=-і*А1/г

* Іі 0 < Л) - і А С., (А! 1

п

усть з ~ отрезок іа.ЬІ, матрииа А(<т) н вектори 0_, ф

определенн следукідин образом

( аП й12 ]

а,, І’ *'

«І 1 С.Г. і

де впл<у) * С Зи.о'ЇГШси, у Ш ■- / £и,<т)т)<П9

“ ”17 “ТО

а- 0^(<г)’1і(<г) * Сл<ґ)-а 1<г). п з і з г

а;„<<г) = а,і(сг) = ” £гС„((г) •Ь. (сг) - 3„(<г)-а, (о-5,

й„„;ігі = <г Л_(сг) -Ь.(<г) - В_(о) •а_і<г)

^2 3 - ^ 2 ’

а„(<г) - 2*{- </' ■ 5іп<2<г1/2(х.-гд!).

Ь,(<?-) " 4 + а,’(3,-а. "З, соз(2<гі/г('Л^

Гсочзке 3.5.3. Е;>оть *,г 0 ш (2^ 0 тогдг для рзззоввяия •їйвявд» 2!з5 одоратора ПСІ, 1,0) справздяива $озмух&

•1) <Е<5>Г,П =

І/------------£

пі К2

1/2

„ , (А0-Ж) если 3 с Р.,

5 Ь^«г1(г+а*Сог> г г п2

О, если є с її”,

2) Еїй)Г

—=—2—5— (^(А «*г>^«У,о->.^Тх.<г»)-Г(у><1у)Лог. п« Ь2(о-!<г+а,(<г) -м и2 +

если Б с И

О, если й с П-.

Теорема 3.4.2, Пусть « й О, 0 г 0 и Г є ю)

Справедлива формула Парсеваля-Стеклова

} |Г<Х1 12с1х = ^ 7 -Г--"2-?- 2<,<Г-

-и 11 0 Ь?(о-)в*а?(«г) г 1 и2

А 1

Обозначим -

Оэ(Лу- іА>) СЭ<А,>

„ЧХ,)

1)(Л) <= (2ІЛ1 -а) <2 - і£А1/2) + іс^Л1/2ехр<2іА1/2(х2-х1)}.

Теорема 3.5.1. Пусть а1'Э1< 0- Тогда для разложения единицы

л .

Е(з) оператора Н(1,1,0) справедливы формулы:

1» <Е(8»Г,П =

О, если 8 С К", Л0 2 Б,

<*„• ЦГ,^1(ІД01112, если б с К~, \0 е а,

1 (Г1'2

п ^ игТ-;----гГ\<А*г <М 2(1<Г> если Б с й‘

в Ь*Ы<г+а^(<г) г 1 іг

М Е(я1Г-

0, если ВС П , Д в 8,

60'фх^,\) (Г.^И.Лд)), если в с 1Г, А0 <= в,

1/2 00

^ , —-----5---- 1/<Мо-)^(у.(г), (/'(У.О")) _Г<у)с!у)с!<г,

в Ь,(сг)|г+а,(<г> -я я

если а с

Теорема 3.5.2. Пусть 0, Г с Щ-ю, а). Тогд? справедлива

формула Парсеваля-Стеклова

;\Г(х)13<1х=У<Ау> ф ) -_р—- (3(Г * й *\\ТН),ф ))\я.

я» "о * п4 Ь:(£г)<г+а:(<г)

-1/2

Ьорена З.В.1. Пусть <х,< 0, Ра< 0. Тогда для разлозония ояинмцы 2<з) оператора НИ, 1,0) справедливы формулы:

0,

•: -Г, Л,1.’ 3, ::р:1 131,2,

1) 1Е(з)Г,Г'

НГ.^П.^П^, осла а с Г, а, з й. К :* *,

г], •) :?,;!»5П,.\3))}3, со ли й й ‘.Г, V* .о, Д5 я з,

1/3

Г ^—--------------------------------------:г~г^ „ »!>?, 'Зли л п;

з ьр-т)ч+гр?! ‘ ! 7Г . •

It-ooetit 2,6.2. Гіусті с < Сі, ;l.< С С. с . '*©гч*

• ' L L с. ,

справедлива формула Сарсева£«~Сгек аозг s

/К«х> J'du, = к £'!Avv.tvi' , —~—

-с. ь- С 1 ^ (Г

* £ С - • г (<4't ’ , !■:■, і'і,к .і t'S

, t- с d 41

Следствие 3.6.3. Ііусть L>, fa.-z b, Z £ L,

4 і С.

порив 'LJ-ю, a>) с весок- справедливо раьеіістм-f <х; = a, -v>, <х,л > U,р. (1,л,)» *- а,-& іх.л.»

4 * -V? л л

й J ~5--------у------ (Х(А(<г>^(у,сг),^(х,4гН

о bf((T)tr*af((r) -» ц

І »

„f<y)dyici£- ,

Hi І ~ь VUJ*?4Hrt

2 ;».І З 'р/

і 'і -V ■'

"4іj ".

о-іл-w», .-лії^гл v>o : >><? '/чюїо./au/'и;

• ?л -•*»>• V/ ,ч> ■ :мС»'іл

.■ .-;>*> .<;;ил.їЬї;чх го^оэ, ^о^^чшиеиги vr^r-.i'M

? >: . ’•>. і :л .'>:' С ?Т"г: >-',-ззкачокоЛ

или '<>;< .-гниши» ‘">:чьико»альіі!>-^И;';'7в^бііцмальаив

”, y'ixvn•.лз, г;пі.

.:. О опкгг.о ■-■' * йог1? чгзсса -*псра юг «а І’-^даигора з

J' J :- :. ;М0‘." ;"ет’:и,’и;і, J Stop, ста т, ’^зтэет-гяано-

.,t} ..:;.Г"'.Ч< J ,:-і„ IjjS, с..'."1з

"І ■'' : : • • -• > >^о • і -'.'•"■7;.r^7-)3

« •■'•.«' v> vrvsx . ''ла-'.каяз, і^'Рз,

' . **‘І :'»-С:'з

"L 0 ос'г~, ;•-' ^іях "• “ці'<.v -з о а' »ст~'.'!і!ст ;7\П,!,-";'.Г‘'’,?

/-у-'і-ї, ’", Г'і, і' "ГЧ .’ІПЛ.ГЗ,