Исследование волновых процессов в областях с некомпактными включениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ОДОРОДОЯ РЕШЕТКА ПОТЕНЦИАЛОВ НУЛЕВОГО РДИДУСА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Построение оператора энергии.

§ 2. Функция /fe, t)

§ 3. Решения уравнения Х(ъ,1)- с*

§ 4. Собственные функции оператора энергии. Квазиимпульс

§ 5. Зонная структура спектра

§ 6. Эффективная масса и поверхность Ферми

§ 7. Теорема разложения по собственным функциям.

Глава П. 0ДОР0.ЩАЙ ЦЕПОЧКА ПОТЕНВДМОВ НУЛЕВОГО РАДИУСА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Оператор энергии.

§ 2. Функция и решения уравнения ^ CZ.ti)-<<.

§ 3. Собственные функции и спектр оператора энергии.

§ 4. Теорема разложения по собственным функциям.

Глава Ш. ДВУМЕРНАЯ РЕШЕТКА ПОТЕНЦИАЛОВ НУЛЕВОГО РШУСА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Оператор энергии

§ 2. Функция и решения уравнения = с*

§ 3. Собственные функции и спектр оператора энергии.

§ 4, Эффективная масса и поверхность Ферми

§ 5. Теорема разложения по собственным функциям

Глава 1У. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НУЛЕВОГО РАДОУСА ДО

ШГАРМОШЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Граничная форма.

§ 2# Описание расширений.

Модельные задачи играют важную роль в развитии физической теории, поскольку их исследование позволяет предсказывать ос -новные закономерности в практических задачах, которые, как правило, не допускают явного решения. Настоящая работа посвя -щена задачам, моделирупцим волновые процессы в областях с не -компактными включениями. В первых трех главах диссертации рассмотрены некомпактные включения, имеющие периодическую структуру • Это наиболее простой тип некомпактных рассеивателей, но ухе их анализ позволяет выявить интересные закономерности при классификации собственных функций и исследовании спектра. Первая глава - изучение бесконечной, простой, однородной, трехмерной решетки потенциалов нулевого радиуса в трехмерном просторанстве. Это простейшая модель твердого тела. Она соответствует низко -энергетическому приближению, поскольку подразумевает отсутствие внутренней структуры атомов. Вторая и третья главы - рассмотрение периодических структур меньших размерностей в трехмерном пространстве: изучение бесконечной однородной цепочки и двумерной простой бесконечной однородной решетки потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве. Это простейшие модели полимерной молекулы и тонкой пленки, соответствущие низкоэнергетическому приближению. В четвертой главе на основе теории расши -рений Неймана сделано полное описание точечных взаимодействий для бигармонического уравнения в двумерном пространстве.

Предварительно опишем метод потенциалов нулевого радиуса в квантовой механике. Рассмотрим глубокую потенциальную яму с центром в точке ос = 0 с уровнем Е0 . Пусть Е - глубина, t - радиус ямы. Тогда Е0 ~Ez . Пусть Е ^ со , г-* О ,

Е % сю-tbS 'Ь • В пределе мы получаем бесконечно узкую и глубок,* яму о уровнем Ер - потенциал нулевого радиуса. Как ма -тематически корректно описать оператор Шредингера, соответствующий этой яме? Физики находили собственные функции этой задачи, решая уравнение -(Л +Я.) U<(3t) = при некоторых граничных условиях. Точное математическое описание и параметризация всех возможных потенциалов, сосредоточенных в точке, были даны Березиным Ф.А., Фаддеевым Л. Д. [1]. Это было сделано на языке теории расширений. По определению потенциала нулевого радиуса его оператор энергии на функциях финитных вблизи точки локализации потенциала действует как оператор Лапласа С- Л ). Поэтому строились все возможные самосопряженные расширения оператора

2)6 И,) = {""' Л to, о " здесь С ^ - класс дважды непрерывно дифференцируемых функций финитных вблизи нуля. В результате оказалось, что все самосопряженные расширения параметризуются точками с*. вещественной оси, включая + ( ы. равное + оо соответствует свободной зада -че) = {to: 00, A to С Ob\

- Jb ( Ixf^ (ол) здесь - коэффициент, зависящий от 66 , ©с - параметр расширения,

В первой главе диссертации рассмотрена бесконечная, одно -родная, простая прямоугольная, трехмерная решетка потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве. Иными словами, собственные функции ijj оператора Шредингера, в предположении, что центры находятся в точках х=/ъсь ( 1Kb = rij со j + и взаимно ортогональны), должны удовлетворять уравнению = 9 ХФ/гсъ, и условиям t

Х)| = Сп (/х- 1ЪОи\ + <*) +

-I- 0 ( гиОи\))

0.2) здесь с< , осе. , - параметр граничного условия, одинаковый для всех функций (J/ и точек п-СЬ , а коэффициенты Са/, £ Z3, зависят от jj . Впервые эта задача была поставлена в [2], где формально, без исследования спектра были выписаны собственные функции, а также рассмотрен случай слабой связи, сА оо . Случай сильной связи, ос -> - оо ? изучен в [3], некоторые численные расчеты проведены в [4]. Результаты работ [2-4J можно найти в [5].

В первой главе диссертации проведен полный спектральный анализ оператора энергии этой задачи, а именно, исследован спектр и изучены свойства системы собственных функций оператора в общем случае - со < ot < оо . Оператор энергии описан в § I. Он параметрически зависит от коэффициента граничного условия -и параметров решетки Сил , СЬ%, СЬ . Показано, что оператор энергии не имеет дискретного спектра. Его непрерывный спектр г", т.е. А U л„ , имеет так называемую "зонную структуру* w . л здесь ^ - замкнутый отрезок - "зона". Внутри гь -й зоны собственные функции параметризуются точками t куба К с/С -- куб с отоадественными противоположными гранями) и имеют следующий вид: £ ----,

• L з I ое -m/О/1 те Z 1

0.3)

Здесь

- F2 + Z \т/0и\1Щ'р{'Р?\\гоа/\+ Lib, гн/))9 (ол)

I a/t^, iM? I < 01 / I 9 -ie К. 9 ГЬвсУ9 (if №)=

- ^ т^ -f f + з , здесь и далее ( > 7 • ) 3 и { * | , соответственно, скалярное произведение и норма в ^ • Значения спектрального параметра находятся из уравнения которое, по сути дела, есть условие (0.2) для функций (0.3). Решения Л - Л С ) ( гье J\f 9 t^Kl) веществены и являются гладкими функциями i на /С . Свойствам србственных функций посвящен § 4 гл.1.

Собственные функции непрерывного спектра удовлетворяют условиям Блоха (см.напр. [6,7] ): jj^l bf dt+MsCu) = f^Ciy еоор(с(^т/))л (о.б) Трехмерный векторный параметр t называется квазиимпульсом. Для собственных функций выполняется соотношение ортогональности (1.4.5). Следует отметить, что если между t ж ЛОвыполняется соотношение Л ^ С ol9 i) = т,, I е Z , т, Ф I , £ ( ^

• ГУ!, ' -h ~t*L ) I О/^ I , то функция (0.3) есть линейная комбинация свободных волн (1.4.3). Это собственная функция свободной задачи, которая не заметила включения потенциала, поскольку в точках, где он сосредоточен, она равна нулю. Однако вклад таких функций в разложение по собственным функциям равен нулю.

Й.М.Гельфанд £8] показал, что в случае ограниченного периодического потенциала спектр ращепляется на зоны. Внутри каждой зоны собственные функции естественно параметризуются квазиимпульсом, при этом зоны перекрывающиеся по энергиям, естественно разделяются в терминах квазиимпульса, а теорема разложения записывается в наиболее простом виде.

В случае решетки потенциалов нулевого радиуса также оказывается, что собственные функции задачи естественно параметризовать квазиимпульсом, который изменяется на кубе К . В § 7 будет показано, что собственные функции i^(^Ж) образуют полную ортогональную систему в , а приведенная параметризация у расщепляет зоны, перекрывающиеся по энергиям и обеспечивает наиболее простую запись теоремы разложения. При изучении спектра главную роль играет исследование решений уравнения (0.5). Функция ){Ы7 Ь ) , которая дается формулой (0;4), имеет вид так называемой "решеточной суммы" [6]. Способ суммирования ряда (0.4), применявшийся в данной работе при исследовании спектра задачи в случае произвольного ©с t Q , является более эффективным, чем использовавшиеся ранее методы в [2-5], поскольку он позволяет дать описание множества решений уравнения (0.5) в виде:Л=Яп гьеЖf здесь ^^C^i)

I 1С непрерывная функция £ на , а также исследовать свойства функций оZ^Cotpi). Указанный способ вычисления функции в комплексной точке 2 описан в § 2 главы I. Он носит общий характер и может быть использован для получения других решеточных суш в теории твердого тела.

Исследование свойств решений уравнения (0.5) (§ 3 гл.1) позволяет установить, что спектр .Л представляет собой объедине -ние зон А^ ,

ГЬ-± ГО ^ при этом, поскольку на каждой зоне 1) - непрерывная функция квазиимпульса

Q = ПЫЛ/ JLivid-p^),

Iя- UK. пиж Л^ыЛ).

Яу

Подробному изучению зонной структуры спектра посвящен § 5 гл.1, в которой показано, что все зоны, кроме первой, расположены на положительной полуоси, а первая зона, в зависимости от величины параметров оС? | (Х,л 19 | CO^l 9 I либо целиком расположена на отрицательной полуоси, либо ее верхний конец положителен, а нижний отрицателен. Оказывается, что Q а,

-t й С

U Q ~ ( bOt /У) \ь' числа зон tW , удовлетворяю

Fbj I fly )

1 Ib^cO щих условию Qa ^ X справедлива оценка (1.5.10). Спектр оператора заполняет множеству -Л = [ cj ь Q^] \J [ cj ^ ? 0(3 ) Р причем Q^ JL^ ( ос, 0= Л 4 ( X ) ? Cj ^ ■= ~ тхл/ -[уь^ ], здесь и в главе I jf= упаш { \qj4 \ , I а^ | ? I сьэ1} , (0.8)

Таким образом, оказывается, что в спектре имеется не более одной лакуны, причем при достаточно малых ^ она действительно существует, а при достаточно больших ее нет. В § 6 главы I приведены формулы, задающие эффективные массы оператора и поверхность Ферми. Седьмой параграф посвящен доказательству теоремы разложения по собственным функциям. Доказательство теоремы разложения проводится методом интеграла Рисса, для этого строится в явном виде резольвента оператора энергии.

Во второй главе диссертации рассматривается бесконечная прямолинейная однородная цепочка потенциалов нулевого радиуса. Иными словами, собственные функции оператора Шредингера, в предположении, что центры находятся в точках х = гьои ( гъ eZ, Со £ R | а| - L ) должны удовлетворять уравнению

- А ^(ж) =Л t^W, кФгьси, и условиям 1

- С (IX- \ЪОи\ + ОС ) +

I x,-na>i О гь 0( 1Я- ГъСЫ) J £

0.9) где ©с - параметр граничного условия, одинаковый для всех функций ijj и точек !ъсо , а коэффициенты С^ зависят от (J/ . Оператор энергии этой задачи описан в § I гл.П. Он зависит от коэффициента граничного условия ос как от параметра.

Целью второй главы является изучение спектра, собственных функций этого оператора и доказательство теоремы спектрального разложения. Будем показано, что собственные функции оператора, дающие вклад в теорему разложения, бывают двух типов. Собствен -ные функции первого типа имеют вид: ( к, х J = ( %Ги ) ^ елзр (i( to, &)) + + ф%) <*- Д (IKI , (К,CD)) •

7V

CO.IO) п, --СА ' ' где cS + L l$i~itoef)(iSI>b\+ tin,) . гь€ п<фО

Эти собственные функции параметризуются вектором /о , /ч. „ и соответствующее собственное значение | к,I пробегает [ 09 <н ) . Очевидно, что соответствующая им спектральная ветвь бесконечно-кратна. Собственные функции первого типа допускают простую физическую интерпретацию: их можно рассматривать как результат рас -сеяния плоской волны ( €Жр( i( k} X)) на цепочке потенциалов нулевого радиуса. Формально легко проверить, что функции ^ С to, удовлетворяют условию (0.9) и уравнению - A (jj^ С

Кроме того, при №\-*?оо функция

Т л * А Яу Г) С /зе/ & ) » с £ S , S - единичная сфера в К ,

X 4 Qs ) обладает асимптотическим поведением (как обобщенная функция параметра ( , а ) на промежутке L-Tl,Tl] )♦ к)" (Лай) z&xp(L( /с9 /оз/се)) ■+

1сх> / 7 оо ^

L еяер(-ь

L( к,7а>)п) =

0Cf)(t(K>, / эе/хо) +

OCJ fj (IfOl 9(>C,Ct)))

ОО

Z S(ci к-Къ- /е9а>) ■+ 1жгъ).

Таким образом, амплитуда рассеяния на цепочке потенциалов нуле -вого радиуса имеет вид Г/Ю/ , б к,, а,)))"х оо 2 &СПЮ/Х- K,jCL>)+ %3lrb)t

0Д1) 1

Направления , на которых амплитуда рассеяния не равна нулю удовлетворяют условиям дифракции Лауэ (напр.Гб , 7J ) ft- Iftl-aL О/) - Zrtrh, гьеТ. (0.12)

В направлении вектора ^ функции ^ удовлетворяют условию

Блоха: ( to, о&н-О/) = (/е, се) 6 с ао). (0.13)

Так же как в случае решетки здесь обнаружены собственные функции свободной задачи, которые не заметили включения потенциала, поскольку в точках действия потенциала они равны нулю. Они имеют вид 3/ lot) я

I к>/1 = \к>а,\ 9 ( к>4- , гъе Z. (0,14)

В рассматриваемом случае вклад этих собственных функций (0.14) в разложение по собственным функциям равен нулю.

При аналитическом продолжении решения в комплексную плоскость по переменной |ю| ^ при фиксированном параметре i = ( к>, &0 функция ^ С к, <Ь) обращается в бесконечность при 1 = Л, , где Л удовлетворяет уравнению (Л, £) = - оС . Этому обстоятельству соответствует возникновение новой системы собственных функций непрерывного спектра, которые параметризуются точками £ отрезка E~Jl, TlJ с отождествлен. ными концами и имеют вид 8

СО 2 Ix.-псы С- /- Л к ) IX,-гъ<х-\ + И п.)

0.15) здесь С№<£ /-Л Lctj-L) = О , если ~Ь) < О и = % ♦ если > О 9 функция ft< задана формулой (2.1.3), спектральный параметр JL(°*-f к) однозначно определяется из уравнения f; lick Л -cost), C0.I6) эквивалентного уравнению fa (ЛЫ, -t)} i) = oi t которое в свою очередь эквивалентно условию (0.9) для функций (0.15).

Собственные функции j/^ удовлетворяют условию Елоха в направлении СО; fza, к) expat). (0Д7)

Таким образом, они параметризуются своим квазиимпульсом, который изменяется на отрезке ОС J с отождествленными концами.

В настоящей работе показано, что собственные функции 1% суть собственные функщш водноводаого типа. Они харак- V теризуют волновой процесс распространявшийся вдоль цепочки, т.е. экспоненциально убывают в направлениях ортогональных цепочке.

В [5j уже были построены собственные функции второго типа и рассмотрен соответствующий им спектр. Функция Л (<*,£) вещественная, гладкая, четная по г. , монотонно возрастающая на промежутке \01 01"} . Спектральная ветвь, соответствующая функциям двукратна и заполняет отрезок ["Л 6*, 0) Р Л С <*р VI )3 , Таким образом, спектр оператора есть множество Л (<*,Olj]l/

V С 09 об) . Следует отметить, что Л С<*7 0) всегда отрица -тельно, а знак ЛЫ;^) зависит от значения параметра . Если ос с - Iru If , то Л (ос, 01) 0 ив спектре имеется лакуна ( Л (ос? 01)? 0) , а если <х ;> - fa, ^ , то лакуны в спектре нет, он заполняет полуось [ Я С*.? 0)>} ю) В случае^когда о<.< 0 } отрезок [Л 0), Л ( otr sfc ) J можно интерпретировать как расползшийся уровень изолированной ямы, а в случае ^ ^ 0 - этот участок спектра есть специфический эффект наличия бесконечного множества центров.

- 19

В диссертации показано, что для функций ^ и ^ выполняются соотношения ортогональности (2.3.5) - (2.3.7). Собственные функции типа рассеянных волн и волноводного типа исчерпывают всю систему собственных функций оператора. Теорема разложения по собственным функциям доказана на основе явных формул для резольвенты (2.4.1) методом интеграла Рисса (гл.П § 4).

В третьей главе рассматривается двумерная бесконечная простая однородная решетка потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве. Иными словами, собственные функции ijs оператора Шредингера, в предположении, что центры находятся в точках 5

ОС = па, ( tvco = ni Q/j + <2л? 9 ГЬj ГЪ£ e Z, Cl^C /5. и взаимно ортогональны) должны удовлетворять уравнению

- A jy(oe) = сс,фп,сь} и условиям

-1

- С (|зе- 1ъсо\ + и ) + эе- ШуОУ\-^0

ЪСО\ ) , oLG Rj

0.18) здесь - параметр граничного условия, одинаковый для всех функций ||/ и точек \rbCb , а коэффициенты С-^ зависят от (js Оператор энергии этой задачи описан в § I. Он параметрически зависит от коэффициента граничного условия ©<- и Со4 } .

Целью третьей главы является изучение спектра собственных функций этого оператора и доказательство теоремы спектрального разложения. Будет показано, что собственные функции оператора, даюцие вклад в теорему разложения, бывают двух типов. Собственные функции первого типа имеют вид:

- 20

9 -Ш tjj (( ZJC) mpti(fr9 + pz (i ю( 9 ко,))'*

L IoCr-rvQs f^&xp(i \K\ix- 1Ъ(Х/1 L( к,, roQ/))? гъе1*> 1

Kd= ((K>,Q,4), (KfCl'i)),

LZ + Z /«О.Г ^(cCSlnCLHa,^^

0.19)

Эти собственные функции параметризуются вектором /С , /С £ ft 9 и соответствующее собственное значение 1^1 пробегает L0} Очевидно, что соответствупцая им спектральная ветвь бесконечно-кратна. Собственные функции первого типа допускают простую физическую интерпретацию: их можно рассматривать как результат рассеяния плоской волны ф (to,t^)-(Ztl) -eoepCtifyZ)) на решетке. Для них вычислена амплитуда рассеяния на решетке з, j) . Она отлична от нуля только в направлениях удовлетворявдих условиям дифракции Лауэ для двумерной решетки. В направлениях , функции ^ удовлетворяют условиям Блоха: fylK, fy (К,, 72,) №f)(L(K, 0^)).

Следует отметить, что свободные волны ^ ( Ж>) -- <&) = f0(b<9 ОД- f0 (Ъ, X), здесь I К/%,1 ,

K^ , ct<; )= Z%tbi f rv^Z ? i} % сохраняются при включении потенциала, поскольку в точках действия потенциала они равны нулю. Однако их вклад в теорему разложения равен нулю.

Собственные функции второго типа параметризуются точками t квадрата 7С] с отождествленными противоположными сторонами и имеют вид

Z. jx- \ъси\~1 /-Л не,- 1ъси1 + i(t7 гъ пе Z

0.21) здесь \!-Х U, t)- О , если Л ±) -< О и бWj I/-Л ы^^ж//? , если Л (<*-, i)> 0 , функция fa i) задана формулой (3,1, Ъ) , спектральный параметр Л i ) однозначно определяется из уравнения , которое эквивалентно условию (0.18) для функций (0.21).

Собственные функции удовлетворяют условиям

Еноха в направлении векторов , (Ь^\ (i, X+Clj) = I, К) axfCtij), ( i, tt + a^) - jj^iij a) VXf(iti).

0.22)

Таким образом, они параметризуются своим квазиимпульсом, который изменяется на квадрате с отождествленными противопо ложными сторонами.

В настоящей работе показано, что собственные функции ^^ характеризуют волновой процесс^ распространянцийся вдоль решетки; они экспоненциально убывают в направлении ортогональном решетке.

В [53 формально, без исследования спектра, были выписаны функции ^ . В настоящей работе показано, что функция Л(о вещественная, гладкая, четная по каждой из переменных i 4 , ig, монотонно возрастающая на квадрате жЗ . Отсюда следует, что спектральная ветвь, соответствующая функциям бесконечнократна и заполняет отрезок [Л (<*7 Р), Л (<*, здесь

0= (О, О), Ж = В дальнейшем, символами D, 71 в первой главе будем обозна -чать вектора (0,0,0) и ( , 71 , 71 ),а в третьей (0,0) и {71,71), соответственно. Это не приведет к недоразумениям.

В диссертации показано, что для собственных функций ^ , (jj^ выполняются соотношения ортогональности (5,3. Ч ), функции ^ , tj)^ исчерпывают всю систему собственных функций оператора. Теорема разложения по собственным функциям доказана на основе явных формул для резольвенты (3.5.1) методом интеграла Рисса.

Анализ, проведенный в I - Ш гл. показывает, что спектр оператора Шредингера в присутствии некомпактного рассеивателя, обладающего периодической структурой, расслаивается на две компоненты. Одна из них связана непосредственно с периодической структурой рассеивателя. Ей отвечают собственные функции, сосредоточенные вблизи препятствия. Они удовлетворяют условиям Блоха на рассеивателе и экспоненциально убывав» при удалении от него. Другая спектральная компонента нетривиальна лишь при условии (см. гл.П,Ш), что дополнение рассеивателя в ft настолько велико, что там могут распространяться свободные волны. Собственные функции, соответствующие этой спектральной компоненте, представляют собой свободные волны, рассеянные на препятствии, они параметризуются импульсом падающей волны, как собственные функции свободной задачи.

Как уже говорилось, потенциалы нулевого радиуса позволяют моделировать много интересных задач для уравнения Шредингера, а иногда и производить конкретные физические расчеты. Однако в теории упругости до сих пор не было аналогичного понятия. В гл.1У введено понятие взаимодействия нулевого радиуса для бигармони -ческого уравнения в R . При этом мы по-прежнему действуем в духе теории расширений. По определению взаимодействия нулевого радиуса действие оператора энергии на гладкие функции, финитные вблизи точки, где включена взаимодействие, задано формулой H0tCD= - A^LUC . Поэтому построение всевозможных взаимодействий нулевого радиуса сводится к построению всех самосопряженных расширений симметрического оператора И0 , заданного на гладких, финитных вблизи точки нахождения взаимодействия и на бесконечности функциях формулой Н0 L0o - А ^ iOQ . В результате получаем, что взаимодействий нулевого радиуса для бигармонического оператора в R оказывается весьма значительное количество. Здесь имеется уже не однопараметрическое вещественное семейство расшире -ний, как в случае уравнения Шредингера, а семейство, зависящее от нескольких параметров. Доказано, что взаимодействие нулевого

Г6 радиуса параметризуются унитарными в Ь операторами» Соответствующие теоремы сформулированы на стрМ(з-Ш, Среди реализованных указанным образом расширений имеются не только сферически симметричные как в случае уравнения Шредингера. С помощью таких взаимодействий в бигармоническом случав можно описывать колебания упругого континуума, который имеет различные точечные дефекты. По сути дела теория расширений позволяет дать полную классификацию всех мыслимых точечных дефектов.

В прилжении найдено фундаментальное решение оператора

И на ft?

Основное содержание диссертации опубликовано в работах Г/4- {QJ и апробировано на семинаре теоретического отдела и семинаре по теории несамосопряженных операторов и резонансно -му рассеянию в Научно-исследовательком институте физики ЛГУ.

- 25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена волновым процессам в областях с не/ компактными включениями, В первых трех главах рассмотрены операторы Шредингера с потенциалами, имеющими точечную периодическую структуру, а именно: оператор Шредингера с однородной, бесконечной простой решеткой потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве (глава I), оператор Шредингера с однородной бесконечной цепочкой потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве (глава Ш, оператор Шредингера с двумерной однородной бесконечной решеткой потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве (глава Ш). Глава ТУ посвящена описанию точеч -ных взаимодействий для бигармонического уравнения в двумерном пространстве. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Изучены спектры операторов Шредингера с точечными потенциалами имеющими указанные периодические структуры. В ходе изучения спектров был предложен новый метод суммирования решеточных сумм. Он носит общий характер и может быть использован для вычисления других решеточных сумм, часто встречающихся в физике твердого тела.

2. Проведено описание и классификация собственных функций операторов Шредингера с потенциалами, имеющими периодическую структуру. В случаях цепочки и двумерной решетки собственные функции естественно распадаются на два класса, К первому клас -су принадлежат функции типа рассеянных волн, ко второму - волно-водного типа. Изучены свойства собственных функций.

3. Доказаны теоремы разложения по собственным функциям для операторов Шредингера с потенциалами имеющими указанные точечные периодические структуры.

4, Предложено полное описание точечных взаимодействий для бигармонического уравнения в двумерном пространстве на основе теории расширений Неймана. Это позволит описывать упругие волновые процессы в областях с точечными дефектами.

1. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. - Доклады Ш СССР 1961, т. 137, № 5, с.1011-1014.малеев и.и. и трехмерном обобщении модели крондаа-Денни. -Физика твердого тела, 1965, т.7, с.2990-2994.

2. Субраманян Р. Некоторые приложения метода потенциалов малого радиуса в квантовой механике. Автореф.дис. Л,,1968, 9 с.

3. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого ра -диуса в атомной физике, Л.: ЛГУ, 1975, 240 с.

4. Займан Дд. Принципы теории твердого тела. М,: Мир, 1974, 472 с.

5. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978, 615 с.

6. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами Доклады Ш СССР, 1950,т.73, № 6, III7-II20.

7. Ахйезер Н.И., Глазман И.М, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Изд.З, Харьков, Изд. ХГУ, 1978, т.2, 287 с.

8. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959, изд.2-ое, 340 с.-ш

9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространство основных и обобщенных функций. М. Физматгиз, 1958, 307 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981, изд.4, 512 с.

11. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики, М.: Наука, 1973, 407 с.

12. Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера с точечным потенциалов типа однородной решеткив трехмерном пространстве. Теоретическая и математическая физика, 1983, т.57, В 2, с.304-313.

13. Карпешина Ю.Е. Теорема разложения по собственным функциям оператора Шредингера с точечным потенциалом типа решетки.

14. В сб.: Теория операторов и теория функций, вып.1, Л.:Изд-во ЛГУ, 1983, с.115-136.

15. Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки. Теоретическая и математическая физика, 1983, т.57, В 3, с.414-423.

16. Карпешина Ю.Е. Собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с периодическим точечным потенциа -лом типа двумерной решетки. Вестник ЛГУ, 1981, 1 19,с.58-64.

17. Карпешина Ю.Е. Теорема разложения по собственным функциям для оператора Шредингера с однородной простой двумерной решеткой потенциалов нулевого радиуса в трехмерном пространстве. Вестник ЛГУ, 1984, В I, с.11-17.

18. Карпешина Ю.Е. Теорема разложения по собственным функциям задачи рассеяния на однородных периодических носителях типа цепочки в трехмерном пространстве. В кн.:Проблемы матем.физики. ,вып.Ю,Л. :Изд-во ЛГУ,1983, с.137-163.