Некоторые свойства систем некомпактных подгрупп разрешимых локально компактных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Кмїпадгнй університет імені Тараса Шевченка

ШЕСТЛКОВ Сергій Станіславопич

УДК 512.546

ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМ ІІЕКОМПАКТНПХ ПІДГРУП РОЗВ’ЯЗУВАНИХ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНИХ ГРУП

01.01 06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на ідобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ-1998

Робота виконана н Київському . університеті імені Тараса

Шевченка. '

Науковий керівник: докгор фііико-математичних наук

професор ЧЛІ’Ш Віктор Сшіьнесгрович

Офіційні опоненти: доктор фнико-маїемаїн'їних наук

професор ЛИМАН Федір Мнколаґювич,

Сумський державний педагогічний шетигут ім.

Л.С. Макпренка, м. Суми

кандидат фізико-матемаїичних наук доцент ІІШ1ШІН1ІКО Юрій Миколайович,

Державна академія легкої промисловості - України, м. Київ

Провідна установа: Інституг математики 1ІАІІ України, м..Київ

Захист відбудеться / 3 • А!Г, 1998 р. о ІЬ годині на засіданні спеціалізовано! вченої ради Д 26.001:18 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою 252127, м. Київ-127, проспект ака<). Г.іуишта, 6, Київський університет ім. Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці університету за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий іЬ , 0 V. 13$ „

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ? ^— ПЕТРАВЧУК А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми Вивчення труп з заданими обмеженнями на системи замкнених підгруп є одним з важливих напрямків в сучасній теорії топологічних груп. Цей напрямок з’явився спочатку в області скінченних труп. Далі його було розповсюджено на нескінченні трупи. При цьому виникло баї ато важливих понять сучасної теорії груп і пов'язаних з цими поняттями нових підходів до вивчення несхінченних груп. Далі різні умови, що є розумними аналогами відповідних умов сюнченності для абстрактних груп, стали накладатись нп системи замкнених підіруп топологічних індуктивно розв’язуваних, індуктивно нільпотентних та інших іруп. Це дає часто досить цінну інформацію про будову цих груп.

Плідним об'єктом дослідження с множина всіх некомпактних підгруп мекомиахтної топологічної групи. Некомпактна група є точним юполоіічним аналої ом нескінченно* абстрактної групи. Багато понять теорії абстрактних труп формулюються саме для нескінченних груп та нескінченних підіруп. оскільки для скінченних груп виконуються автоматично. Це, наприклад, такі поняття, як умови мінімальності і максимальності. Природно при переході до топологічних груп розглянути ці умови також стосовно до некомпактних груп та їх замкнених некомпактних підгруп. Зауаажимо, що умова мінімальності для некомпактних підіруп входить а умозу компактності замкненої множини в просторі замкнених підгруп в топології Вієторіса II В Протасов)

Дисеріащйна робота присвячена дослідженню деяких подібних властивостей. У третьому розділі вивчаються групи з умовами мінімальності і максимальності для некомпахтимх підгруп. Четвертий

2 ' розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню топологічних груп з дистрибутивними решітками некомпактних підгруп.

Як випливає з робіт І.В.Протасова І О.Г.Піскунова, зліченність множини всіх некомпактних підгруп а-компакгної групи Є є умовою о-компактності простору ЦО всіх підгруп групи в 8 топології Вієторіса. П’ятий розділ дисертаційної роботи присвячено вивченню умови зліченності числа некомпактних підгруп топологічної групи.

Мета роботи. Описати локально компактні групи з умовами мінімальності і максимальності для некомпактних підгруп; дослідити умову дистрибутивності для некомпактних підгруп, описати пророзв’язувані некомпактні групи з дистрибутивною решіткою некомпактних підгруп; дати опис топологічних груп з не більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі автором отримані нові теоретичні результати, зокрема: ;

- описано пророзв’язувані примарні локально компактні некомпактні групи з умовами мінімальності і максимальності для некомпактних підгруп; пронільпотентні групи- з умовою мінімальності для некомпактних підгруп; пронільпотентні компактно покривні гру.іи з умовою максимальності для некомпактних підгруп; нільпотентні групи з чистими елементами з умовою максимальності для некомпактних підгруп;

- описано пророзв'язувані примарні локально компактні групи з умовою дистрибутивності для некомпактних підгруп; пронільпотентні групи з умовою дистрибутивності для некомпактних підгруп; нільпотентні локально компактні групи з решіткою некомпактних підгруп; пророзв’язувані групи з дистрибутивною решіткою

некомпактних підгруп; нільпотентні недискретні групи з решіткою невідкритих підгруп; '

- описано пророзв’язувані компактно покривні групи із зліченним числом некомпактних підгруп; абелеві групи з чистими елементами'з не більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп.

Всі ці результати одержано вперше, .

Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути використані в подальших дослідженнях по теорії топологічних груп та її

застосуваннях. •

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на XIX Всесоюзній алгебраїчній конференції (м. Львів, 1987 р.), XI

Всесоюзному симпозіумі по теорії груп (м. Кунгурка, 1989 р.), Міжнародній алгебраїчній конференції (м. Новосибирсьх, 1989 р.), Міжнародній алгебраїчній конференції (м.Барнаул, 1991 р.), IX

Міжнародній конференції по топології (м. Київ, 1992 р.), на семінарах

по теорії груп при кафедрі математичних основ кібернетики факультету кібернетики і кафедрі алгебри моханіко-математичного факультету Київського університету.

Публікації. Основні, результати дисертації опубліковані в 4 наукових статтях, а також а 5 тезах доповідей наукових конференцій, список яких наведено в кінці автореферату.

Особистий внесок автора. В статті “Об условии дистрибутивности для некомпактных подгрупп" автору особисто належать теореми 1, 3. Теорему 2 автор доводиз, користуючись ідеями В.М. Полацьких. В роботі “О топологических группах со слабым условием минимальности (максимальности) для некомпактных подгрупп” всі доведення стосовно до умов -

мінімальності та максимальносіі для некомнактних підгруп автор виконав особисто. Результати решти сумісних робіт дублюють результати згаданих статей.

Об’єм та структура дисертації. Робоїа складається з розділу “Деякі позначення та означення”, вступу, розділів: "Оіляд

літератури за темою”, "Огляд методики досліджень", “Локально компактні трупи з умовами мінімальності і максимальносіі для некомпактних підіруп" (містить п’ять підрозділів), “Локально компактні групи з дисірибутивною решіткою некомпактних підіруп" (містить чотири підрозділи), “Пророзв'язувані локально компактні групи з не більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп" (місіить два підрозділи), загальних висновків, списка літератури, що складається з 59 найменувань, загальний обсяг роботи 113 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

В розділі “Деякі позначення та означення" приведені деякі позначення та основні означення. У вступі дається короткий огляд напрямків в теорії топологічних груп, зв'язаних з темо.ю дисертації, конкретизуються задачи дисертації. Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертації. У другому розділі дається огляд методики досліджень, основних результатів, на яких грунтуються доведення тверджень роботи.

В третьому розділі вивчаються некомпактні групи з умовами мінімальності і максимальної для некомпактних підгруп. В першому підрозділі наводяться деякі допоміжні результати, які широко використовуються як в цьому розділі, так і в інших розділах роботи.

В другому підрозділі дається опис будови примарних локально компактних некомпактних пророзв’язуваних топологічних груп,

системи некомпактних підгруп яких задовольняють умовам мінімальності (теорема 3.2.1) і махсимальності (теорема 3.2.2). Третій підрозділ містить опис пронільпотентних некомпактних локально компактних груп з умовоіо мінімальності для некомпактних підгруп (теорема 3.3.1). В четвертому підрозділі вивчаються локально компактні некомпактні групи з умовою максимальної для некомпактних підгруп. Теорема 3.4.1 дас опис компактно покривних пронільпотентних мзкемпактних груп з цією умовою. Теорему 3.4.2 присвячено локально компактним нільпотентним групам, які містять чисті елементи, з умовою максимальної для некомпактних підгруп. В п’ятому підрозділі наведено приклад (приклад 3.5.1), що показує, що теореми 3.3.1 і 3.4.1 не виконуються для довільних індуктивно компактних розв'язуваних груп.

Четвертий розділ присвячено вивченню локально компактних груп з дистрибутивними решітками некомпактних підгруп. Зрозуміло, що множина всіх замкнених піді руті топологічної групи утворює решітку відносно операцій топологічного породження та перерізу. Множина ссіх некомпактних підгруп некомпактної групи о загальному випадку решітку нз утворює, оскільки переріз двох некомпактних підгруп може бути компактним. Тому в цьому розділі окремо вивчаються групи, множина нокомпактних підгруп яких утворюс решітку. В першому підрозділі четвертого розділу вивчаються некомпактні локально компактні групи з умовою дистрибутивності для некомпактних підгруп. 0 теоремі 4.1.1 описуються примарні пророзв'язувані локально компактні некомпактні групи, що задовольняють умові дистрибутивності для некомпактних підгруп. Теорема 4.1.2 дає опис всіх прснільлотснпіи>: лекально компактнім некомпактних груп з цією умовою. Другий підрозділ присвячено

вивченню локально компактних некомпактних груп, множина некомпактних підгруп яких утворює решітку. Дається опис всіх нільпотентних некомпактних груп з цією умовою (теорема 4.2.1). Наведено також опис абелевих локально компактних груп, некомпактні підгрупи яких утворюють решітку (наслідок 4.2.1)'І будови абелевих недискретних груп, що задовольняють двоїстій умові (наслідок 4.2.2). Третій підрозділ дає опис пророзв'язуваних локально компактних некомпактних груп з дистрибутивною решіткою некомпактних підгруп (теорема 4.3.1). Множина всіх некомпактних підгруп топологічної групи утворює решітку, якщо переріз будь-яких двох некомпактних підгруп некомпактний. Двоїстою умовою для цього є: будь-які дві невідкриті підгрупи недискретної групи породжують невідкриту підгрупу. В цьому випадку множина невідкритих підгруп недискретної групи також утворює решітку. Опису недискретних локально компактних груп з цією умовою присвячено четвертий підрозділ четвертого розділу. Теорема 4.4.1 описує всі локально компактні недискретні цілком незв'язні індуктивно розв’язувані групи, Множина невідкритих підгруп яких утворює решітку. В теоремі 4.4.2 дається опис всіх недискретних локально компактних нільпотентних груп, що задовольняють цій умові.

П’ятий розділ дисертаційної роботи вивчає локально компактні некомпактні групи з не більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп. Як випливає з робіт І.В.Протасова і О.Г.Піскунова, зліченність множини всіх некомпактних підгруп ст-компактної групи є умовою а-компактності простору Цв) всіх підгруп групи в в топології Вієторіса. В першому підрозділі п’ятого розділу дається опис всіх пророзв’язуваних компактно покривних некомпактних груп з не більш

ніж зліченним числом некомпактних підгруп (теорема 5.1.1). Другий підрозділ присвячено вивченню локально компактних груп, які містять чисті елементи з не більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп. Доведено, що якщо така група абелева, то вона має не більш ніж зліченне число всіх підгруп (теорема 5.2.1). В загальному випадку доведено, що такі групи дискретні (теорема 5.2.2).

Викладемо основні результати дисертаційної роботи. Всі терміни і позначення загальноприйняті. Всюди далі слова “топологічна група” будуть означати “локально компактна група”, а “підгрупа”- “замкнена підгрупа”, пК(Є) позначає множину всіх некомпактних підгруп групи О.

Теорема 3.2.1. Нехай Опророзв’язувана некомпактна р-група. пК(С3) задовольняє умові мінімальності тоді і тільки тоді, коли О містить нормальну підгрупу й таку, що фактор-група в/ Б скінченна, а підгрупа Э типу Ср°ох...хСр°о або типу Ор.

Теорема 3.2.2, Нехай в - пророзв'язувана некомпактна р-група. пК(в) задовольняє умові максимальності тоді і тільки тоді, коли в містить нормальну підгрупу 5 таку, що фактор-група в/в -компактна група з умовою максимальності для підгруп, а в - група типу Ср® або типу Од, '

Теорема 3.3.1. Нехай Є - топологічна некомпактна пронільлотентна група. пК(О) задовольняє умові мінімальності тоді і тільки тоді, коли в нільпотентна і містить нормальну підгрупу 5 таку, що фактор-група в/ Б скінченна, З-Ахйд, де А або прямий добуток скінченного числа квазіциклічних груп, або типу Ор, а в0=Тт, тг0.

Теорема 3.4.1. Нехай в • топологічна некомпактна компактно покривна пронільпотентна група. пК(О) задовольняє умові максимальності тоді і тільки тоді, коли О містить центральну підгрупу '

Б типу Сроо або типу Ор таку, що й/Б - компактна група з умовою максимальності для підгруп.

Теорема 3.4.2. Нехай в - топологічна некомпактна нільпотентна група, яка містить чистий елемент. пК(О) задовольняє умові максимальності тоді і тільки тоді, коли в задовольняє умові максимальності для підгруп.

Прихлад 3.5.1. Теореми 3.3.1 і 3.4.1 не виконуються для розв’язуваних локально компактних компактно покривних груп.

Теорема 4.1.1. Нехай в - некомпактна пророзв'язувана р-група. Множина пЩв) задовольняє умові дистрибутивності тоді і тільки тоді, коли в містить нормальну підгрупу А таку, що С/А=<о>, а А - група типу Ср°о або типу Ор

Тоорема 4.1.2. Множина пК(С) пронильпотентної некомпактної групи в задовольняє умові дистрибутивності тоді і тільки тоді, коли Э є групою одного з типів:

1)6- дискретна чиста група рангу І;

2) 0=А<Н, де Н - компактна цілком незв'язна група рангу І, А • група типу Єр* або типу Ор; '

3) Є - цілком незв'язна індуктивно компактна некомпактна і рупа рангу І.

Теорема 4.2.1. Нехай в - топологічна некомпактна нільпотентна група. Множина пЩв) утворює решітку тоді і тільки тоді, коли й є групою одного з типів:

1)6- розширення центральної підгрупи А типу Ср<» або типу Ор за допомогою компактної цілком незв'язної групи;

2) Є - розширення компактної групи скінченної експоненти за допомогою дискретної чистої групи рангу І.

Наслідок 4.2.1. Нехай в - авалеві нексмпг'^’П топологічна-група. Множина пІЦв) утворює решітку тоді і тільки тоді, коли Є є групою одного з типів:

1) Є - розширення підгрупи А типу Срсо або типу Ор за допомогою компактної цілком незв’язної групи;

2) в=ВхН, до В - компактна група скінченної експоненти, Н -дискретна чиста група рангу 1.

Наслідок 4.2.2. Нехай в - абелепа недискретна топологічна група. Множина невідкритих підгруп Є утворює решітку тоді і тільки тоді, коли О є групою одного з типів:

1)0- розширення дискретної періодичної підгрупи за допомогою групи типу Ор або типу 2р;

2) в=РхК, де Р - дискретна група скінченної експоненти, К -компактна зв’яана група рангу 1.

Теорема 4.3.1. Нехай б - пророзв’язувана некомпактна група. Множина пК(0 є дистрибутивною решіткою тоді і тільки тоді, коли 6 є групою одного з типів:

1) в містить нормальну підгрупу А типу Ср°о або типу Ор і О/А -компактна цілком незв’язна група рангу І;

2) в - дискретна чиста група рангу І.

Теорема 4.4.1. Множина невідкритих підгруп недискретної цілком незв’язної індуктивно розв’язуваної групи Є утворює решітку тоді і тільки тоді, коли О є розширенням дискретної періодичної підгрупи О за допомогою групи типу Ор або типу 2р.

Теорема 4.4.2. Множина невідкритих підгруп недискретної нільпотентної групи й утворює решітку тоді і тільки тоді, коли в е групою одного з типів:

1) в е розширенням дискретної періодично] підгрупи О за допомогою групи типу Ор або типу 2Р;

2) зв’язна компонента одиниці в0 - компактна група, двоїста до дискретної групи без скруту рангу І, Є/бо - дискретна група скінченної експоненти.

Введемо слідуючі позначення: |5| * потужність множини б, р(О)

- потужність множини всіх підгруп групи в, у(0)=|пК(СЛ для некомпактної групи в, а> - потужність зліченної множини. Будемо розуміти ПІД 2і групу типу ТіРх Х...Х 2Ркі ПІД С - групу типу Ср™х...хСрк“>, під 0- групу типу О0рк(рі* р/ при і*}, /(<«). Групи Ц, 1.2 називаються узгодженими, якщо група не містить р-підгруп типу грх2р, СрОохСрОО, ОрхОр, ХрхОр, СроохОр

Теорема 5.1.1. Нехай в - компактно покривна некомпактна пророзв’язувана група. Нерівність ч(в)йа> виконується тоді і тільки тоді, коли в є групою одного з типів: '

1) елементи скінченного порядку групи О утворюють дискретну

черніковську підгрупу О, повна частина яко! Р типу С; б=(/.хО) * Е, деіоС, в-аО, £=0. иВ=Іу.Е, і узгоджена зЭ та Є; . ■

2) в містить нормальну підгрупу і типу С^о або Ор; фактор-

група в/і=Кі х £,, де К% - скінченна. ■ :;■ •./;

Теорема 5.2.1. Нехай О - абелева локально компактна група, яка містить чистий елемент і \iGfao. Тоді О дискретна і Р(0^со. ;

Теорема 5.2.2. Нехай в - локально компактна група, яка містить чистий елемент. Якщо то 6 дискретна. .

висновки

В дисертаційній роботі досліджувалйся деякі властивості систем некомпактних підгруп локально компактних груп. Всі ці властивості стосовно до систем некомпактних підгруп вивчалися вперше. Результати одержано для класів абелевих, нільпотентних, пронільпотентних, розв’язуваних, пророзв’язуваних локально компактних груп. Це пов’язано з тим, що для більш загального класу індуктивно нільпотентних локально компактних груп до цього часу не одержано опису груп, всі власні підгрупи яких компактні. Результати роботи можна використовувати для подальших досліджень як в алгебраїчному, так і в топологічному напрямках теорії топологічних груп. '

Користуючись нагодою, автор висловлює подяку своєму науковому керівникові B.C. Чаріну за увагу до роботи, своєму вчителеві В.М. Полецьких за постановку задач, постійну турботу і допомогу в розв’язанні складних питань, що виникали підчас роботи над дисертацією.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Полвцких В.М., Шестаков С.С. Об условии дистрибутивности для некомпактных подгрупп // Укр. матем. журн.- 1991,- Т.43, Кз 7-0.-С.1108-1111.

2. Полвцких В.М., Шестаков С.С. О топологических группах с условием минимальности для некомпактных подгрупп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры.- К.: Наукова думка.- 1993.- С.227-232.

3. Полецких В.М., Шестакоз С.С. О топологических группах со слабым условием минимальности (максимальности) для нскомпа.'аных подгрупп // Укр. мате:,;, «урн.- 1994,- Т.46, Nj 10,-С.1993-1998.

4. Шестаков С.С. Пророзв’язувані локально компактні групи з из більш ніж зліченним числом некомпактних підгруп // Вісн, Київ, унту. Сер. фіз.- мат. науки.- 1997.- Вил. 1. - С.230-241.

5. Полецких В.М., Шестакоз С.С. Об условии минимальности для некомпактных подгрупп I I XIX Всесоюзная алгебр, конф. Тез. сообщ.- ч.1.- Львов.- 1987,- С.221-222.

6. Полецких В.М., Шестакоз С.С. Об условии дистрибутивности для Некомпактных подгрупп // XI Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тез. сообщ.- СазрдлОБСК.- 1989,- С.93-94.

7. Полецких В.М., Шестаков С.С. О дистрибутивной решетке

некомпактных подгрупп топологической группы //Междунар. конф. пег алгебре. Тез. докладов по теории групп.- Новосибирск,- 1991.-О.'ОЗ. . . ' ’

8. Шестаков С.С. Топологические группы с не более чем счетным числом некомпактных подгрупп // Межд^рар. конф. по алгебре. Тез. докладов по теории групп,- Новосибирск1.- 1991,- С.127.

9. Полоцких В.М., Шестаков С.С. Разрешимые локально компактные примарныо группы со слабым условием минимальности (максимальности) для некомпактных подгрупп // IX Мсждунар. конф. по топологии и ев приложениям. Тезисы- Киоо,- 1992.- С.ЗЗ.

Шестаков С.С. Деякі властивості систем некомпактних підгруп розв'язуваних локально компактних груп.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико- . математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел.- Київський університет ім. Т.Шевченка, Київ, 1998. '

Дисертацію присвячено дослідженню систем некомпактних підгруп локально компактних груп. Одержано будову пронільпотентної групи з умовою мінімальності для некомпактних підгруп, нільпотентної групи з умовою максимальності для некомпактних підгруп. Дається опис пророзв’язуваних груп з дистрибутивною решіткою некомпактних підгруп, пронільпотентних груп з умовою дистрибутивності для некомпактних підгруп, нільпотентних груп з решіткою некомпактних підгруп. Описується будова пророзв'язуваних компактно покривних груп із зліченним числом некомпактних підгруп.

Ключові слова: нільпотентні групи, розв’язувані групи, некомпактні підгрупи, групи а умовою мінімальності (максимальності), умова дистрибутивності для підгруп, решітка.

Шестаков С.С. Некоторые свойства систем некомпактных подгрупп разрешимых локально компактных групп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чтУІЇ:- Киевский университет им. Т.Шевченко, Киев, 1998. ,;і,;<;)ДиЬсертация посвящена исследованию систем некомпактных подгр^Нй* 'локально компактных групп. Получено строение пррнкль^отонтной группы с условием минимальности для нркшпактйы* подгрупп, нильлотентной группы с условием.

максимальности для некомпактных подгрупп. Даио описание проразрешимых групп с дистрибутивной решеткой s лактных подгрупп, пронильпотентных групп с услбвием дистрибутивности для некомпактных подгрупп, нильпотентных групп с решеткой

некомпактных подгрупп. Описывается строение проразрешимых компактно покрываемых групп со счетным числом некомпактных подгрупп.

Ключевые слова: нильпотентные группы, разрешимые группы, некомпактные подгруппы, группы с условием минимальности (максимальности), условие дистрибутивности для подгрупп, решетка.

Shestakov S.S. Some properties of the systems of solvable locally compact group non-compact subgroups. Manuscript.

Thesis of tho dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1998.

Systems of non-compact subgroups of locally compact groups are investigated in the dissertation. A structure of pronilpotent group with minimality condition for non-compact subgroups as well as a structure of nilpotent group with maximality condition for non-compact subgroups has been obtained. Prosolvable groups with distributive structure of noncompact subgroups, pronilpotent groups with a condition of distributivness for non-compact subgroups, nilpotent groups with noncompact subgroup structure are considered. A structure of prosolvable compactly coverable groups with countable number of non-compact subgroups are described either. '

Key words: nilpotent groups, solvable groups, non-compact subgroups, groups with minimality (maxlmaliiy) condition, distributive condition 1or subgroups, structure. ■

Підписано {ш друку ІЗ.04.98.Формат 60x84/16.Папір друкарський. Сфсетний друк,Ум.фарбовідб.б.Ум.друк.арч.С,93.0бл.вид.арк.1,0. Тираж 100 ака. Замовлення 7І-І. Ціна . Вид.» І8/ІУ.

Видавництво КДОЦА.

252058. Київ-58, проспект Косотнапта Комарова, І.