Минимальные и гипернормальные топологические группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Обозначения и терминология.

1. Топологические группы с ограничениями на факторгруппы

1.1. Топологические точно неабелевы группы.

1.2. Топологические точно не Т-группы

1.3. Топологические точно бесконечные группы.

2. Топологические гипернормальные группы 51 ф 2.1. Основные свойства топологических гипернормальных групп

4 2.2. Гипернормальные группы с условиями обрыва цепей подгрупп.

С начала развития абстрактной теории групп и по сей день многочисленные исследования вдохновлялись идеей выделения достойного (и доступного) для изучения класса групп путем наложения ограничений на те или иные семейства подгрупп. Достаточно упомянуть основополагающие работы Дедекинда о гамильтоновых группах, Миллера и Морено - о минимальных неабелевых, О. Ю. Шмидта - о минимальных ненильпотентных. После решения в 50-е годы прошлого века 5 проблемы Гильберта открылась возможность разработки подобной проблематики на материале уже не дискретных, а локально-компактных топологических групп, где тоже было получено много интересных результатов.

В 1956 г. известный алгебраист Б. Нейман [68] предложил в какой-то мере двойственный подход - наложение ограничений на собственные фактор-группы. Пусть в - некоторое групповое свойство. Топологическую группу G назовем точно не О-группой (короче: j0-rpynnoft), если для любой ее собственной замкнутой нормальной подгруппы N фактор-группа G/N обладает свойством ©, а сама G им не обладает (в дальнейшем будут полезны следующие правила сокращений: топологическую группу G будем называть Qd-группой, если G° будет 0-группой, где - дискретная группа алгебраически изоморфная G; топологическую группу G будем называть индуктивно-®-группой если замыкание каждой конечнопорожденной подгруппы из G будет ©-группой; топологическую группу G будем называть проектвно-Q-группой если для любой окрестности U нейтрального элемента в G найдется такая замкнутая нормальная подгруппа N С U, что G/N будет 0-группой). Если в качестве © принять абелевость, то возникает класс jA-групп, в дискретном разрешимом случае классифицированных М. Ньюманом [70], [71] (см. также [73]). Им, в частности, установлено, что разрешимая j А9-группа G обладает монолитом М -нетривиальное пересечение всех нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп группы, который совпадает с коммутантом G'\ причем, если G не нильпотентна, то G расщепляется над М, М изоморфна аддитивной подгруппе некоторого поля Р, a G/M изоморфна подгруппе мультипликативной группы поля Р, которая аддитивно порождает Р. Если G нильпотентна, то она является р-группой с циклическим или квазициклическим центром Z = Z(G), фактор-группа G/Z по которому - элементарная абелева.

Продолжив исследования в данном направлении, Д. Робинсон [72] классифицировал класс разрешимых jT9-rpynn, где Т - свойство транзитивного отношения нормальности (топологическая группа G обладает свойством транзитивного отношения нормальности, если L = L < N = N < G влечет L < G), который содержит класс jA9-rpynn. В [72], в частности, доказывается, что разрешимая jT5-rpynna G может содержать не более двух минимальных нормальных подгрупп; приводятся примеры jT^-rpynn с одной нетривиальной минимальной нормальной подгруппой М (в этом случае М - монолит, над которым группа G расщепляетсяи), с двумя минимальными нормальными подгруппами (в этом случае они будут циклическими одного и того же простого порядка) и вообше без минимальных нормальных подгрупп.

Чуть раньше, Д. Маккарти [66] устанавливает абелевость радикала Фиттинга F(G) ф Е неполу простой jF3-rpynnbi G, где F - конечность см. также [77]); причем, F(G) содержит централизатор каждого своего нетривиального элемента и изоморфна Zn, где Z - аддитивная группа целых чисел. Таким образом, задача описания неполупростых jF3-rpynn Д. Маккарти сводит к описанию конечных Z-неразложимых представлений. Если G/A - абелева порядка п, то с G ассоциируется некоторый дробный идеал расширения R поля рациональных чисел Q с помощью примитивного корня из единицы вп степени п; причем, двуступенно разрешимые jF5-rpynnbi будут изоморфны тогда и только тогда, когда ассоциированные с ними дробные идеалы будут содержаться в одной орбите группы Галуа данного расширения R [67].

Из современных работ, написанных в рамках данного подхода, укажем [11], [13], [46], [65], [75], [76].

Другим направлением исследований в области теории групп является идея изучения различных классов обобщенно нильпотентных групп. Для конечной группы существование убывающего центрального ряда равносильно существованию возрастающего центрального ряда, а также нормализаторному условию и единственности силовской подгруппы по каждому простому делителю порядка группы [12, теорема Бернсайда-Виланда]. Эти условия равносильны тому, что каждый элемент группы является левоэнгелевым или нильэлементом [14, с. 543] или тому, что каждый элемент группы правоэнгелев [14, с. 541]. В классе бесконечных групп происходит расщепление всех этих понятий, изучению которых посвящено множество работ (см. обзоры А.Г. Куроша и С.Н. Черникова [15], А.Г. Куроша [14], Б.И. Плоткина [36] по дискретным и B.C. Чарина [61], Ю.Н. Мухина [22], [24] по топологическим обобщенно нильпотентным группам). Сформулируем лишь теоремы о строении локально-компактных групп двух важных классов -индуктивно пронильпотентных групп и групп, удовлетворяющих нор-мализаторному условию для замкнутых подгрупп, короче: iV-rpynn (топлогическая группа называется N-группой, если любая ее собственная замкнутая подгруппа будет отлична от своего нормализатора).

Следующая теорема была получена В.М. Глушковым [6] в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, а позже обобщена В.И. Ушаковым [48] и В.П. Платоновым [35] на класс индуктивно пронильпотентных групп.

Теорема А. В локально-компактной индуктивно пронилъпотент-пой группе G индуктивно компактный радикал I = 1(G) содержит мнооюество G) всех компактных элементов группы G, причем G/I - чистая индуктивно иильпотентная группа JIu; J = IGo -открытая нормальная подгруппа (Go - связная компонента единицы группы G), причем G/J- дискретная группа без кручения; Go нилъпотентпа и [Go, I] = Е; Iq = IП Go - компактная центральная подгруппа в J, Go/Iq ~ чистая связная группа JIu; J/Iq = ///oxgo/io; I/Iq - раскладывается в ограниченное прямое произведение Y[SP : Н своих силовских р-подгрупп Sp с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой Н (определение операции ограниченного прямого произведения групп modicho найти, например, в [54, п. 6.16] или [19, с. 53]).

Это утверждение имеет огромное значение при исследовании локально-компактных групп вообще ввиду того, что в любой локально-компактной группе G существует наибольшая индуктивно пронильпо-тентная нормальная подгруппа Р замкнутая в G [32].

Следующее утверждение впервые бало доказано В.И. Ушаковым [50] (см. также [35]).

Теорема В. В локально-компактной N-группе G индуктивно компактный радикал I = 1(G) совпадает с G), причем G/I чиста; J = /Go - открытая нормальная подгруппа, причем G/J- дискретная N-группа без кручения; Go нильпотептна, причем Ф(С?о) = Iq < Z(Gq) (Z(G) - центр группы G); J/Iq = I/Iq х Gq/Iq; I/Io - периодическая индуктивно пронильпотентная группа (мы называем Н периодической, если Щ = Е и = Н).

Б.И. Плоткиным было установлено, что каждая iVa-rpynna будет индуктивно нильпотентной группой (см. [12, с. 164] или [14, с. 396]). Аналогичный результат для чистых локально-компактных iV-rpynn получил В.И. Ушаков [48]. В [32] доказывается следующее предложение, усиливающее оба этих результата (см. также [22, с. 57]):

Теорема С. Для N-группы JIu G следующие утверэюдения равносильны: G будет Nd -группа; все дискретные подгруппы в G будут N8 -группами; G будет индуктивно нильпотентной группой. Если в N-группе Ли G связная компонента Go без кручения, то G будет индуктивно нильпотентной.

Совместное наложение на группу условий обобщенной нильпотентности и условий конечности позволяет достаточно полно описать ее строение (помимо упомянутых обзоров см. [63]). Топологическая группа называется Min-группой,(соответственно Мах-группой) если в ней нет бесконечных убывающих (соответственно возрастающих) цепей замкнутых подгрупп). Так, В.М. Глушковым [5] установлено, что локально-компактные Mm-группы - это в точности расширениям связных компактных групп Ли посредством дискретных Мт-групп. То же верно, если заменить Min на Min — аЬ - условие минимальности для абелевых замкнутых подгрупп [33]. Индуктивно прораз-решимая локально-компактная Mm-группа специальна, то есть почти вида Тп х Сроо х . X (Т - одномерный тор, Ср°° - квазициклическая р-группа); в классе индуктивно разрешимых локально-компактных групп Min — ab равносильно Mm; в классе индуктивно пронильпотентных локально-компактных групп условие Min — п минимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Min [24, п. 4.4].

В.М. Глушковым [8] показано, что индуктивно разрешимые локально-компактные Мах-труппы есть в точности расширения ком-патной гуппы Я, обладающей конечным субнормальным рядом с факторами изоморфными С„, либо Ър для некоторых натуральных п и простых р, посредством дискретной Мах-труииы (Сп - циклическая группа порядка п, Ър - аддитивная группа кольца целых р-адических чисел). В этой же работе установлено, что в классе ниль-потентных локально-компактных групп условие Мах — п максимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Max. B.C. Чариным [59] установлено, что в классах периодических разрешимых локально-компактных групп и периодических индуктивно нильпотент-ных локально-компактных групп условие Мах — аЬ максимальности для абелевых замкнутых подгрупп равносильно Мах.

Обобщенно нильпотентные локально-компактные группы конечного ранга обстоятельно изучались в работах B.C. Чарина [55]- [57], где, помимо других важных результатов, даны критерии конечности ранга компактно покрываемой индуктивно нильпотентной и периодической индуктивно разрешимой локально-компактных групп. В [26] Ю.Н. Мухиным и Е.Н. Старухиной установлен критерий конечности ранга индуктивно пронильпотентной локально-компактной группы, сводящий задачу к р-группам. В [20] найден подход к изучению компактных групп конечного ранга, устанавливается строение прораз-решимой локально-компактной р-группы конечного ранга (теорема 5). В [23] устанавливается, что проразрешимая (радикальная) локально-компактная группа конечного ранга разрешима над (индуктивно) пронильпотентной.

Выделим класс гипериормальных топологических групп G (короче: NA-групп) - групп, в которых N\(G) = G для некоторого порядкового числа Л, где Nq(G) = Е, Na(G) jNa-\(G) - норма фактор-группы G/Na-i(G), если 0 < а не предельное, и N^G) = (Ja<IINa(G) для каждого предельного ц (нормой топологической группы G называется множество всех элементов G перестановочных с каждой замкнутой подгруппой из G). В конце 50-х годов прошлого века Э. Шенкман [74] доказал что норма N(G) дискретной группы G содержит центр Z(G) группы и содержится во втором гиперцентре Z2(G) (ср. с [78]). Изучая топологические автоморфизмы топологической группы G, фиксирующие все замкнутые подгруппы G, Ю.Н. Мухин [21] переносит этот факт на класс локально-компактных групп. Из этого результата следует, что в классе локально-компактных групп нильпотентность G будет равносильна Nj~(G) = G, где к - натуральное; Nu(G) — Z^G), где и -первое бесконечное порядковое число. И вообще - каждая локально-компактная iVA-rpynna G будет ZA-группой (топологическая группа

G называется ZA-группой, если Z\{G) = G для некоторого порядкового числа Л, где Zq(G) = Е, Za{G)/Za-.\{G) - центр фактор-группы G/Za-\(G), если 0 < а не предельное, и Z^G) = \Ja<^Za(G) для каждого предельного д).

С различных сторон топологические ZA^-группы изучались в работах [60], [37], [38], [49].

Основной целыо настоящей работы является изучение локально-компактных групп с ограничениями на фактор-группы, а именно - локально-компактных NA-групп и некоторых классов локально-компактных j0-rpynn. Эта общая проблема естественным образом распадается на следующие пять задач:

I. Выяснить строение локально-компатных jA-rpynn.

II. Выяснить строение локально-компатных jT-rpynn.

III. Выяснить строение локально-компатных jF-rpynn.

IV. Установить основные свойства локально-компактных NA-групп.

V. Выяснить строение локально-компактных iVA-групп с некоторыми условиями конечности.

Решению каждой задачи посвящен соответсвующий параграф настоящей работы.

В параграфе 1.1 перечислены следующие классы локально-компактных jA-групп, причем доказывается (теорема 1.1.1), что каждая разрешимая ненульмерная локально-компактная jA-группа принадлежит одному из них:

1) G — X X М, М - одномерное векторное пространство над полем Р - поле действительных чисел R, либо поле комплексных чисел С, существует такой непрерывный мономорфизм а локально-компактной группы X на мультипликативную подгруппу поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством а(Х) совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством х(тп) = <г(х) • m для любых х Е X,m Е М (X - символ топологического полупрямого произведения);

2) G = X ХМ, где М - группа характеров аддитивной группы дискретного поля Р нулевой характеристики, X дискретна и существует такой мономорфизм а группы X в мультипликативную подгруппу поля Р, что группа, аддитивно порожденная множеством &(Х), совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством я(х) = х(°~(х)' 0) Для любых х Е Х,х € М.

В параграфе 1.2 перечисляются такие классы локально-компактных jT-групп, и доказывается (теорема 1.2.1), что каждая разрешимая про-ективно лиева локально-компактная jT-группа G принадлежит одному из них:

1) G - дискретная разрешимая jT-rpynna;

2) G - разрешимая ненульмерная jA-группа Ли;

3) G = ((g)С) X М, где а) М - одномерное векторное пространство над полем С, существует непрерывный мономорфизм а группы Ли С на плотную подгруппу связной компактной подгруппы мультипликативной группы поля С, действие каждого элемента с Е С на М определяется равенством с(т) = а (с) • т, существует такой m о 6 М, что действие элемента д порядка 2 на М определяется равенством g(z-mo) = z-mo для любого z Е С (z - элемент сопряженный к z)\ либо b) M - двумерное векторное пространство над полем Р - поле Ж, либо поле С, существует такой непрерывный мономорфизм <т группы Ли С на ненульмерную или непериодическую подгруппу мультипликативной группы поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с Р, относительно некоторого базиса (ео, ei) пространства М действие элемента д порядка 4 определяется равенствами д(ео) = е\, д(еi) = —ео, действие каждого элемента с G С на М определяется равенствами с(ео) = <т(с) • ео, с(еi) = • ei; либо c) М - к-мерное векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм а дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством а (С) совпадает с С, дк Е С, относительно некоторого базиса (ео,. пространства М действие элемента д определяется равенствами g(ei) = ej+i при 0 < i < к — 1 и g(ek~i) = сг{дк) • ео, действие каждого элемента с из р-компоненты С на М определяется равенствами с(ег-) = а(с)ир ■ ег- при 0 < г < к — 1, где натуральное число U2 = —1 и ир при рф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства с3 = с"р; либо d) М - к-мерпоо векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм о дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с С, дк G (д, С) \ С, д2к = е, относительно некоторого базиса (ео,., ek-i) пространства М действие элемента д определяется равенствами g(ej) = при О < % < к — 1 и g(efci) = ео, действие каждого элемента с из ркомпоненты С на М определяется равенствами с(е{) = а(с)ир • в{ при О < г < к — 1, где натуральное число U2 = — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства сд - с"'.

В параграфе 1.3, посвященном изучению неполупростых локально-компактных jF-rpynn, устанавливается абелевость нетривиального радикала Фиттинга F(G) (замыкание подгруппы, порожденной всеми нормальными нильпотентными подгруппами группы G) в каждой такой группе G, причем F(G) ~ Z", если G - дискретная, F(G) ~ Z™, если G - нульмерная недискретная, и F(G) ~ Rn, если Gq ф Е. Таким образом, изучение неполупростых локально-компактных jF-групп сводится к описанию конечных Z-неразложимых, Zp-неразложимых и М-неразложимых представлений.

Доказывается, что примеры jF-групп: Ър и В X А, где А ~ Ър и В ~ Сп - группа, действующая на А точно - единственные, с точностью до изоморфизма, примеры недискретных локально-компактных нильпотентной и ненильпотентной сверхразрешимой jF-групп соот-светственно.

Особо выделим теорему 1.3.1 о точной бесконечности тихоновского сплетения локально-компактных групп (тихоновское сплетение А I В активной группы В и пассивной группы А будет локально-компактной jF-группой тогда и только тогда, когда В конечна и А неабелева локально-компактная jF-группа), которая позволяет конструировать примеры jF-групп (дискретных, недискретных нульмерных и ненульмерных) с заданной ступенью разрешимости, поскольку ступень разрешимости АIВ равна сумме ступеней разрешимости А и В,

Не решая задачи классификации всех локально-компактных }F-групп, мы изучили строение метабелевых локально-компактных }F-групп и ненульмерных разрешимых локально-компактных jF-групп, у которых G/F(G) - Т - группа; получены следующие результаты:

Теорема 1.3.3 . Недискретная нульмерная локально-компактная метабелева jF-группа G имеет вид (9) XI, где I - дробный идеал поля Qp(#), 9 - примитивный корень п-ной степени из единицы, действие которого на I определяется равенством 9(х) = 9 • х для всех х € I. Као1сдая группа такого вида будет jF-группой, и любые две таких группы G\ и С?2 будут изоморфны тогда и только тогда, когда индексы F(Gi), F{G2) равны и 0(G\) = 0(G2), здесь 0{G) - орбита класса, в котором леэюит дробный идеал I, относительно действия группы Галуа G.

Теорема 1.3.4 . Разрешимая ненульмерная локально-компактная jF-группа G, у которой G/F(G) -Т-группа, имеет следующее строение: G = ((g)(с)) X А, где А - k-мерное векторное пространство над полем С, существует мономорфизм а конечной группы (с) на подгруппу мультипликативной группы поля С, относительно некоторого базиса (ео,., вк-i) пространства А действие каждого элемента х из р-компоненты (с) на А определяется равенствами х(е{) = а(х)ир • ег- при 0 < г < к — 1, где натуральное число и2 = — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства х9 = xUp, и если с -порядка s, то s > 4, ф 6; при gk £ (с), действие элемента g определяется равенствами #(ег-) = ег-+1 для 0 < i < к — 1 и g(ek-1) = сг(дк) • ео; при дк € (д, С) \ С, д2к = е, действие элемента g определяется равенствами д(ег-) = e;+i для

0 <i < к — 1 и g(ek~i) = ео

Обратно, каждая группа такого вида будет пепульмерпой jF-группой.

В параграфе 2.1, посвященной изучению локально-компактных NA-групп, устанавливается следующий факт:

Теорема 2.1.1 . Если в локально-компактной группе G норма N = N(G) отлична от центра Z = Z{G), то (1) N раскладывается в ограниченное прямое произведение Y\NP : U своих силовских р-подгрупп Np с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой U, причем если Np бесконечного периода, то Np = Zp; (2) А = G/Zg(N) - абелева и раскладывается в ограниченное прямое произведение \[АР \ V своих силовских р-подгрупп Ар конечного периода с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой V, причем порядок као/сдого р-элемента а € а Е АР конечен.

Доказав, что каждая локально-компактная ЛГЛ-группа является N-группой и используя теорему В, получили:

Теорема 2.1.2 . В локально-компактной NA-группе G индуктивно компактный радикал I совпадает с G), причем G/I чиста; J = /Go - открытая нормальная подгруппа, причем G/J-дискретная ZA-группа без кручения; Go нильпотентпа, причем Ф(С?о) = Io < Z(Go); J/Iq = I/Iq х Gq/Iq; I/Iq - периодическая индуктивно пронильпотептная группа.

Некоторые базовые свойства NAd-rpyun не переносятся на локально-компактные ./УЛ-группы. Приводятся примеры локально-компактных Л7"Л-групп, некоторые замкнутые подгруппы которых таковыми не являются (примеры 2.1.2 и 2.1.3), в то время как в NA°группах каждая подгруппа обладает свойством NA°. Если в NAd-группе любая нетривиальная нормальная подгруппа нетривиально пересекается с центром [12, с. 141], то в локально-компактных NA-группах этого может и не быть (см. пример 2.1.3). В связи с этим для нетривиальной замкнутой нормальной подгруппы L локально-компактной Л^Л-группы G устанавливается, что если L открыта или NU{G) = G, ToLnZi(G)^£.

А.И. Мальцевым [17] (см. также [14, с. 395]) было доказано, что каждая ZAd-группа будет будет индуктивно нильпотентной. Существуют, однако, простые примеры лиевых NA-трупп не являющихся индуктивно нильпотентными (пример 2.1.3). Нами устанавливаются следующие утверждения об индуктивной (про)нильпотентности некоторых классов локально-компактных групп, аналогичные теореме С.

Следствие 2.1.2. Лиева индуктивно N-группа G индуктивно пильпотентна.

Следствие 2.1.3. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивная пронилъпотеитность равносильна индуктивной про-лиевости.

Следствие 2.1.4. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивно пронильпотентный радикал P{G) содерэ/сит Go^{G), причем G/P(G) без кручения.

Ввиду того, что каждая локально-компактная iVA-группа будет N-группой, предыдущие следствия 2.1.2 — 2.1.4 останутся справедливыми, если в них свойство N заменить на NA.

В параграфе 2.2 исследуются вопросы о связи условий Mm, Min — ab, Min — п (Мах, Мах — ab, Мах — п) в классе локальнокомпактных А^А-групп, а также устанавливается строение локально-компактных iVA-rpynn конечного ранга (рангом топологической группы G называют максимум числа порождающих конечно порожденных подгрупп). Все разбросанные по параграфу результаты можно выразить в следующих трех формулировках:

Теорема 2.2.7. Для локально-компактной NA-группы G следующие утверждения равносильны: (1) G - Черниковская; (2) G -Min — аЪ-группа; (3) G - Min — п-группа; (4) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет Мгп-группой и каждый элемент в G/A конечного порядка; (5) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G с лиевой Go будет удовлетворять условию минимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каэюдый элемент в GJА конечного порядка.

Теорема 2.2.8. Локально-компактная NA-групп G будет Мах-группой в каждом из случаев: (1) G - периодическая Мах—аЪ-группа; (2) G - Мах — п-группа; (3) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет Мах-группой и каждый элемент в G/А конечного порядка; (4) некоторая открытая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет удовлетворять условию максимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каждый элемент в G/A конечного порядка.

Теорема 2.2.9. Локально-компактная NА-группа G конечного ранга обладает конечным рядом замкнутых нормальных подгрупп: Е <Т = Vo < V\ < . < Vk < J < G, где T - конечномерная абелева связная компактная подгруппа, Vi+i/Vi с^ R, Gf J - дискретная ZА-группа без кручения конечного ранга, JfVk - ограниченное прямое произведение своих силовеких р-подгрупп Зр с произвольно отмеченной открытой компактной подгруппой, причем ранги всех Jp ограничены в совокупности. Локально-компактная N А-группа Jp конечного ранга обладает конечным рядом замкнутых субнормальных подгрупп: Е < А = С0 < С\ < . < С\ = К0 < К\ < . < Кт = Jp, где А ~ С^оо, Ci+i/Ci - конечная циклическая, Ki+i/Ki топологически изоморфна Ър, либо Qp, причем Jp/A - пильпотептна. Обратно, као1сдая локально-компактная NА-группа, содержащая ряд вида (*), будет иметь конечный ранг.

Равносильность условий (1) и (2) в теореме 2.2.7 аналогична теореме 5 в [58], установленному для индуктивно разрешимых локально-компактных групп; равносильность условий (1) и (3) теоремы 2.2.7 обобщает основной результат работы [60]; равносильность условий (1) и (5) теоремы 2.2.7 обобщает теорему 7 из [18], доказательство этой равносильности опирается на равносильность условий (1) и (4), которое, в свою очередь, опирается на справедливость следующего утверждения:

Теорема 2.2.3 . Если максимальная абелева нормальная подгруппа А локально-компактной NА-группы G будет Min-группой или Мах-группой, то Go = Aq и следующие утверэюдепия равносильны: каэ/сдый элемент G/A имеет конечный порядок; Zn+\(G/А)/Zn(G/А) будет Мгп-группой при любом натуральном п; каэюдый элемент из Z = {J^^ZniG/A) имеет конечный порядок; G/A конечна.

Из доказательства теоремы 4 в [59] следует нильпотентность периодической локально-компактной iVА-группы, удовлетворяющей условию Мах — ab, тогда, используя теорему 6 той-же работы [59], получим Max — ab =Ф- Max в теореме 2.2.8; следствие Мах — п Мах в теореме 2.2.8 является очевидным следствием равносильности условий Мах — пи Мах в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, установленной В.М. Глушковым [8]. Тот факт, что из условия (4) в теореме 2.2.8 следует условие Мах в классе локально-компактных JVyl-групп аналогичен следствию теоремы 1 из [2].

Основные результаты диссертации опубликованы в [28] - [30] и [40] -[44], а также неоднократно докладывались на семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.Н. Мухину за постановку задач и пристальное внимание к работе. Низкий поклон моему первому Учителю математики - Шиловой Галине Дмитриевне (школа-лицей N2 1 г. Шадрин-ска Курганской обл.).

Обозначения и терминология

Всюду далее будем использовать следующие обозначения: $s(G) -система окрестностей нейтриального элемента группы; G' - замыкание коммутанта группы; Ф(С?) - подгруппа Фраттини группы G\ F(G) -радикал Фиттинга группы; 1(G) - индуктивно-компактный радикал группы; Z(G) - центр группы; Zg(H) - централизатор Я в G\ Nq(H) -нормализатор Н в G; Za(G) - гиперцентр группы G с порядковым номером a; Na(G) - гипернорма группы G с порядковым номером а; и> - первое бесконечное порядковое число; AutG - группа всех топологических автоморфизмов G, наделенная топологией Браконье; (М) - подгруппа, топологически порожденная множеством М; ir(G) -множество всех таких простых чисел р, что G содержит р-элемент; G = В X А - топологическое полупрямое произведение замкнутых подгрупп А и В, где А нормальна в G и отображение (Ь,а) н-> Ь • а -гомеоморфизм пространства В х А на G; АI В - тихоновское сплетение активной дискретной группы В и пассивной группы А с базой Ав, наделенной тихоновской топологией (полупрямое произведение ВААв, где Ав - группа функций / дискретной группы В в локально-компактную группу А, наделенная тихоновской топологией действие; В на Ав определяется равенством fb(x) = f(bx))\ С - аддитивная группа комплексных чисел; R - аддитивная группа действительных чисел; Q - дискретная аддитивная группа рациональных чисел Ъ -дискретная аддитивная группа целых чисел; Qp - аддитивная группа поля р-адических чисел, где р простое число; Zp - аддитивная группа кольца целых р-адических чисел, где р простое число; Сп - циклическая группа порядка п; Qs - группа кватернионов восьмого порядка.

1. Артин Э. Геометрическая алгебра - М.: Наука, 1969.- 283 с.

2. Бачурин Г.Ф. О группах с возрастающим центральным рядом // Матем. сб.- Т. 45(87).- № 1- С. 105-112.- 1958.

3. Берман С.Д. Представления конечных групп над произвольным полем и над кольцом целых чисел // Изв. АН СССР. Сер.: мат.-Т.30 т.- С. 69-132.- 1966.

4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.- М.: Наука, 1966.280 с.

5. Глушков В.М. Локально бикомпактные группы с условием минимальности для замкнутых подгрупп // Укр. матем. жури.- Т. 8.-№ 2.- С. 135- 139.- 1956.

6. Глушков В.М. Локально нильпотентные локально бикомпактные группы // Труды Моск. матем. о-ва Т. 4 - С. 291- 332 - 1955.

7. Глушков В.М. Строение локально-бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта // Усп. матем. наук.- Т. 12.- № 2(74).- С. 341 1957.

8. Глушков В.М. К теории нильпотентных локально бикомпактных групп // Изв. АН СССР. Сер.:мат.- Т.20.- № 4.- С. 513-546.- 1956.

9. Глушков В.М. К теории специальных локально компактных групп // Укр. матем. журн Т. И.- № 4.- С. 347- 351.- 1959.

10. Джекобсон Н. Строение колец М.: Изд-во Ин. литературы, 1961.392 с.

11. Калашникова Н.В. Групи, Bci власни фактор-групи яких шарово-чершковсью // Укр. матем. журн.- Т. 50 № И- С. 1497- 15051998.

12. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1972 240 с.

13. Курдаченко JI.A., Соулес П. Группы с гиперциклическими собственными фактор-группами // Укр. матем. журн.- Т. 55 № 4-С. 470- 478.- 2003.

14. Курош А. Г. Теория групп 3-е изд., доп.- М.: Наука, 1967.- 648 с.

15. Курош А.Г., Черников С.Н. Разрешимые и нильпотентные группы // Усп. матем. наук.- Т. 2.- № 3.- С. 18- 59.- 1947.

16. Ленг С. Алгебра.-М.: Мир,1968.-564 с.

17. Мальцев А.И. Нильпотентные группы без кручения // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 13.- С. 201- 212.- 1949.

18. Мухаммеджан Х.Х. О группах, обладающих разрешимым возрастающим инвариантным рядом// Матем. сб.- Т. 39(81).- № 2.- С. 201- 218.- 1956.

19. Мухин Ю. Н. Локально-компактные группы.- Свердловск, 198192 с.

20. Мухин Ю.Н. Локально-компактные группы конечного ранга // Алгебра и логика.- Т. 17.- № 4.- С. 416- 435.- 1978.

21. Мухин Ю.Н. Об автоморфизмах, фиксирующих замкнутые подгруппы топологической группы// Сиб. матем. журн.- Т. 16.- № 6.- С. 1231- 1239.- 1975.

22. Мухин Ю. Н. Обобщенно-коммутативные локально-компактные группы.- Свердловск, 1986.- 96 с.

23. Мухин Ю.Н. О радикальных топологических группах конечного ранга // Подгрупповая структура групп: Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО РАН, 1988.- С. 126- 134.

24. Мухин Ю.Н. Топологические группы // Итоги науки и техники. Сер.: Алгебра. Топология. Геометрия.-М.: ВИНИТИ, 1982.- Т.20-С. 3- 69.

25. Мухин Ю.Н. Топологические группы с транзитивным отношением нормальности //Мат. зап. Урал, ун-та.- Т. 12.- 1- С.112- 130.1980.

26. Мухин Ю.Н., Старухина Е.Н. О группах конечного ранга // Мат. зап. Урал, ун-та.- Т. 9.- № 1- С. 56- 60.- 1974.

27. Мухин Ю.Н., Старухина Е.Н. О двух условиях дискретности в топологических группах // Изв. ВУЗов. Матем- № 9.- С. 76- 83.1978.

28. Мухин Ю.Н., Стрижов П.Б. Точно-не-абелевы топологические группы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35 Региональной молодежной школы-конференции,26-30 января.2004 г. /УрО РАН Екатеринбург, 2004.- С. 41-45.

29. Мухин Ю.Н., Стрижов П.Б. О топологических группах, все собственные фактор-группы которых абелевы // Матем. вестник педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона.- Киров, 2005.- вып. 7- С. 58- 65.

30. Мухин Ю.Н., Хоменко С.П. Монотетичные группы и подгрупповая решетка // Матем. зап. Урал, ун-та Т. 6 - № 1- С. 67- 79 - 1967.

31. Платонов В.П. Локально проективно нильпотентные подгруппы и нильэлементы в топологических группах // Изв. АН СССР : Сер. матем.- Т. 30.- № 6 С. 1257- 1274.- 1966.

32. Платонов В.П. О некоторых классах топологических групп // Сиб. матем. журн- Т. 7.- № 5.- С. 1095- 1105,- 1966.

33. Платонов В.П. Периодические и компактные подгруппы топологических групп // Сиб. матем. журн Т. 7.- № 4 - С. 854- 8771966.

34. Платонов В.П. Строение топологических локально проективно нильпотентных групп и групп с нормализаторным условием // Матем. сб.- Т. 72(114).- № 1.- С. 38- 58.- 1967.

35. Плоткин Б.И. Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные группы // Усп. матем. наук-Т. 13-№ 4(82).- С. 89- 172.- 1958.

36. Полецких В.М. Тополопчш групи з компактним простором клаав спряжешх елемшгав // ДАН УРСР А,- № 1.- С. 47- 48 - 1974.

37. Полецких В.М. ZA-группы с условием индуктивности для нормальных делителей // ДАН УССР.- А.- № 4.- С. 311- 314 1976.

38. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы.- 4-е изд.- М: Наука, 1984. 520 с.

39. Стрижов П.Б. О недискретных точно бесконечных группах // Матем. и прикл. анализ: сб. н. тр.- Тюмень, 2005.- Вып. 2.- С. 155-164.

40. Стрижов П.Б. О топологических гипернормальных группах // Матем. вест, педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона.- Киров, 2006.- Вып. 8.- С. 104-111.

41. Стрижов П.Б. О точно-бесконечных топологических группах // Современные математические методы и информационные технологии в образовании: Тез. докл. Межрегионал. конф., Тюмень, 1416 апр. 2005г. / Изд-во Тюмен. Ун-та Тюмень, 2005 - С. 56.

42. Сучков В.К. К одной теореме Р. Бэра о норме // Матем. зап.- Т. 6.- № 1.- С. 103- 106.- 1967.

43. Тушев А.В. О разрешимых группах с собственными факторгруппами конечного ранга // Укр. матем. жури Т. 54 - № 11-С. 1560- 1568.- 2002.

44. Ушаков В.И. Топологические группы с нормализаторным условием для замкнутых подгрупп // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 27-№ 4.- С. 943- 948.- 1963.

45. Ушаков В.И. Топологические локально нильпотентные группы // Сиб. матем. журн.- Т. 6.- К0- 3 С. 580- 595.- 1965.

46. Ушаков В.И. О гиперцентрах топологических групп // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.И. Ленина № 375 - С. 87- 89 - 1971.

47. Ушаков В.И. О группах с нормализаторным условием для замкнутых подгрупп // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 29.- № 5.- С. 10551068.- 1965.

48. Фрёлих А. Локальные поля // Алгебраическая теория чисел.-М.: Мир,1969.- С. 11-71.

49. Холл М. Теория групп М: Наука, 1962 - 288 с.

50. Холл Ф. О конечности некоторых разрешимых групп //Разрешимые и простые бесконечные группы.- М.: Мир, 1981.- С. 171- 205.

51. Хыоитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1.- М.: Наука, 1975.- 656 с.

52. Чарин B.C. О группах конечного ранга, I // Укр. матем. журн.-Т. 16.-ДО 2.- С. 212- 219.- 1964.

53. Чарин B.C. О группах конечного ранга, II // Укр. матем. журн.-Т. 18.-ДО 3.- С. 85- 96.- 1966.

54. Чарин B.C. О группах конечного ранга, III / / Укр. матем. журн-Т. 21- № 3.- С. 344- 353.- 1969.

55. Чарин B.C. О локально бикомпактных локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для замкнутых подгрупп // Сиб. матем. жури.-Т. l.-№ 1.-С. 139-151 1960.

56. Чарин B.C. О некоторых классах локально бикомпактных групп с условием максимальности для абелевых подгрупп // Сиб. матем. журн.-Т. 5.-Л* 2.-С. 438-458.- 1964.

57. Чарин B.C. О топологических ZA-группах, удовлетворяющих условию минимальности для замкнутых подгрупп //Усп. матем. наук.- Т. 16.- № 5.- С. 209-214.- 1961.

58. Чарин B.C. Топологические группы // Итоги науки. Алгебра 1964.- М.: 1966.- С. 123- 160.

59. Черников С.Н. О централизаторе полного абелевого нормального делителя в бесконечной периодической группе // ДАН СССР.- Т. 72.- № 2.- С. 243- 246.- 1950.

60. Черников С.Н. Условия конечности в общей теории групп // Усп. матем. наук Т. 14.- № 5 - С. 45- 96 - 1959.

61. Baer R. Norm and hipernorm // Publ. Math. Debrecen-V.4.- P. 347350.- 1956.

62. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Y. Groups whose proper quotients are hypercentral // J. Austral. Math. Soc. A.- V. 65.- № 2.- P. 224- 237.1998.

63. McCarthy D. Infinite groups whose proper quotient groups are finite,1.//Commun. on Pure And Appl. Math.-V. XXI.-P. 545-562.-1968.

64. McCarthy D. Infinite groups whose proper quotient groups are finite,1. //Commun. on Pure And Appl. Math.-V. XXIII.-P. 767-789.-1970.

65. Neumann В. H. Ascending derived series //Compositio Math V. 13.-P. 47- 64.- 1956.

66. Neumann В. H. Groups with finite classes of conjugate elements // Proc. London Math. Soc.- Ser. 3.- V. 1.- P. 178-187.- 1951.

67. Newman M. F. On a class of metabelian groups //Proc. London Math. Soc.- V. 10.- № 3.- P. 354- 364.- 1960.

68. Newman M. F. On a class of nilpotent groups //Proc. London Math. Soc.- V. 10.- № 3.- P. 365- 375.- 1960.

69. Robinson D. J. S. Groups whose homomorphic images have a transitive normality relation //Trans, of the Amer. Math. Soc V. 176 - P. 181213.- 1973.

70. Rosati L. A. Sui gruppi a factoriali abeliani //Mathematiche (Catania).- V. 13.- P. 138- 147.- 1958.

71. Schenkman E. On the norm of a group // Illinois J. Math V.4.- P. 150- 152.- 1960.

72. Segev Y. The commuting graph of mimimal nonsolvable groups // Geom. dedic.- V. 88.- № 1-3.- P. 55- 66.- 2001.

73. Tushev A.V. On the Fitting subgroup of soluble groups just of infinit rank // Доп. Нац. АН Украши.- № 10,- С. 45- 47,- 2001.

74. Wilson J.S. Groups with every proper quotient finite // Proc. Cambridge Philos. Soc- V. 69.- № 3.- P. 373- 391.- 1971.

75. Wos T. On commutative prime power subgroups of the norm // Illinois J. Math.- V.2.- P. 271- 284.- 1958.