Компактные однородные пространства положительной эйлеровой характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава I. Когомологии. многообразия М

§ I.I. Системы корней и группы,Вейля

§ 1.2. Предварительные сведения о когомологиях многообразия К

§ 1.3. Симплектические многообразия

§ 1.4. Неразложимость алгебры Н*(И

Глава 2. Классификация, односвязных пространств.

§ 2.1. Рациональная классификация

§ 2.2. Целочисленная классификация

Глава 3. Классификация неодносвязных пространств.

§ 3.1. Фундаментальная группа многообразия

§ 3.2. Автоморфизмы алгебры Н (И. Случай простой, системы корней

§ 3.3. Автоморфизмы алгебры К (M^Q4),.

§ 3.4. Гомотопическая классификация.

Глава 4. Некомпактные транзитивные группы

§ 4.1. Строение некомпактных полупростых алгебр Ли.

§ 4.2. Централизаторы торов в линейных группах

§ 4.3. Классификация некомпактных транзитивных групп

Пусть К ~ Компактная связная группа Ли, L - ее замкнутая подгруппа, Н= "^/L • Хорошо известно, что подгруппа U имеет максимальный ранг в К тогда и только тогда, когда все нечетномерные. числа Бетти многообразия И равны нулю, или, что то же самое» если эйлерова характеристики многообразия И положительна, Обратно, любая, подгруппа максимального ранга замкнута в К 1311. Такие однородные пространства составляют обширный и важный класс компактных однородных пространств. К их йислу от~ носятся, например, четномерные сферы b , четномерные вещество венные проективные пространства (R Р , комплексные проектив

Иные пространства Р , прямые произведения этих многообразий, а также многие другие. Естественной задачей является описание однородных пространств указанного вида. Для односвязных пространств оно было получено А.Борелем и Ж.Зибенталем [301 и Е.Б.Дынкиным [121. Можно, однако, ставить вопрос о дифференцируемой, топологической и т.д. классификации таких однородных пространств♦ Эта задача решается в настоящей работе. Оказывается, что гомотопическая и дифференцируемая, классификации эквивалентны, а дифференцируемая и однородная эквивалентны за некоторыми исключениями,причем все такие исключения перечислены.

Указанная задача для однородных пространств вида , где - максимальный тор группы К, » была решена А.Л.Онищиком [17]. Топология компактных однородных пространств положительной эйлеровой, характеристики изучалась А.Борелем L61, Г29], Д.Н.Ахи-езером [21, СЗ], М.Я.Блинкиным С51, И.Н.Бернштейном, И.М.Гель-фандом и С.И.Гельфандом [41. Отметим, что в работах [171 и [31 использовался аппарат теории когомологий и теории гомотопий. В данной работе используется только теория когомологий. Для одно-связных пространств основное утверждение таково: если два компактных однородных пространства положительной эйлеровой характеристики имеют изоморфные кольца целочисленных когомологий, то такие пространства диффеоморфны. Для неодносвязных пространств мы доказываем более слабое утверждение, а именно, что из гомотопической эквивалентности двух однородных пространств этого вида следует, что эти пространства диффеоморфны. Предварительно дается однородная классификация таких пространств.

Определение 0.1. Пусть , где G и f п

G - связные группы Ли, К и К - замкнутые подгруппы в О и / t G- соответственно. Однородные пространства К и К называются изоморфными, если существуют изоморфизм G и диффеоморфизм F: К , удовлетворяющие условию ifcpCPioo^ FC^toc^^) (ijfcG, xen). г

Определение 0.2. Пусть G и G - связные группы Ли, И и

I /

И - замкнутые подгруппы в G- и & соответственно. Однородное пространство ^/ц называется расширением /в сильном смысле/ однородного пространства ^Н.' если существует мономорфизм g'—> G такой, что £(Н')-= ) ПК и G^C(/)H .

Под однородным пространством всюду в дальнейшем будет пониматься компактное связное локально эффективное однородное пространство положительной эйлеровой характеристики, т.е. локально эффективное факторпространство связной компактной полупростой группы Ли по ее подгруппе максимального ранга.

Определение 0.3. Пусть К и К - компактные связные одно-связные группы Ли, L и L - подгруппы максимального ранга, Я и У ^центральные^подгруппы в К и К соответственно. Положим

К - » . Однородные , пространства ^/l и называются почти изоморфными, если изоморфны пространства к/£ и

Предыдущее определение имеем смысл ввиду того, что центр компактной связной односвязной группы Ли содержится в любом ее максимальном торе. В дальнейшем мы не будем различать почти изоморфные однородные пространства. ,

Определение 0.4. Пусть К - ^^L , -И'= ' » где К и ( /

К - связные компактные группы Ли, Ь и L - подгруппы макси/ мального ранга в К и К соответственно. Однородное пространство

К называется расширением однородного пространства Н , если существуют однородные пространства и , почти изоморфные пространетвам М. и К соответственно, такие, что есть расши-/ рение Mi в смысле определения 0.2.

Определение 0.5. Однородные пространства К и К называются I рационально эквивалентными, К ~ ^ М , если их алгебры рациональных когомологий изоморфны /причем изоморфизм сохраняет степени/ и целочисленно эквивалентными, Н М , если изоморфны их кольца целочисленных когомологий.

Дальнейшее изложение будет вестись на языке систем корней и их групп Вейля. Дадим соответствующие определения.

Определение 0.6. Пусть Я - система корней. Подмножество Ф R называется регулярной подсистемой, если из условия следует, что и-®<<сФ .

Определение 0.7. Пусть £ и £ - системы корней, Ф и Ф -регулярные подсистемы в R и R соответственно. Пары и (ф' ) называются изоморфными, если существует изоморфизм с< системы корней R на систему корней к такой, что Сф У= Ф.

Классификация, с точностью до изоморфизма, всех пар вида (R s Ф) , где R - система корней, Ф - ее регулярная подсистема, проведена в 130] и [121 /см.приложение I/.

Обозначим через Aut С R ) и WiR ^ группу всех автоморфизмов и. группу. Вейля, системы, корней R. соответственно и положим

AuUR,ФУ { ^е Aut(R\ (ФУ- W( В ,ФУ Aut (R Ф) R)

Как нетрудно проверить, группа Вейля \Х/(Ф) системы, корней Ф является нормальным делителем в группах AutCR Ф) и WC R ). Пусть

Ясно, что Г( R „ ф ) - нормальный делитель в группе £>( R , ФУ Для произвольной вещественной алгебры Ли си, обозначим че

О О рез ее комплексификацию. Пусть L компонента единицы группы U , Т - ее максимальный тор, Ж. , t и 4 - алгебо ры Ли, групп К , L и ЧТ соответственно. Рассмотрим корневое разложение алгебры & относительно подалгебры Картана 4 : с с ~ 41-4.

Обозначим через О подсистему простых корней в R и для произвольного подмножества Д ci R ■ пусть Д+ - множество всех положительных корней из Д •

Рассмотрим подалгебру t • Имеем В - (Ус , где £ -полупростой, а <Х - абелев ццеалы. Далее, </±= П 4.с есть подалгебра Картана в Ъ и корневое разложение алгебры t) с относительно подалгебры * ± имеет вид с ^ где Ф - регулярная подсистема в R [9]. Таким образом, каждому

К у односвязному однородному пространству К- ставится в соответствие napaCR> % ) , где R - система корней, ф - ее регулярная подсистема.

Нетрудно проверить, что если однородные пространства К и .м' определяют пары (R 4 Ф ) иСВ^ф') соответственно, то м' тогда и только тогда, когда эти пары изоморфны. Мы будем поэтому писать 14.- с ) , если односвязное однородное пространство Н задается парой СКДУ

Определение 0.8. Пусть R и О-' - простые системы корней,

•Г -г ' /

Ф и Ф - регулярные подсистемы в К и R соответственно. Пары ( R ) и cr/^ф' ^ называются дуальными, если S( R ) и ф'^(^) , где = (осеЮ.

Определение 0.9. Пусть Н-(^Ф)» НС Rф'• ПаРа (R. ^ } называется расширением пары С R.' ф' ) , если однородное пространство М есть расширение |л' .

Отметим, что однородные пространства, отвечающие парам, одна из которых есть расширение другой, диффеоморфны.

Сформулируем основные результаты работы, относящиеся к од-носвязным пространствам. Они опубликованы в L 251 и 1261.

Теорема 0.1. /теорема 3 гл.2/. Пусть С Q ^ ф ) iff / 3 ' ^ . * Ф ) » где R и R - простые системы корней, Ф и ф

- регулярные подсистемы в R и соответственно. Если q Л. , то М ~ .И ,за исключением случаев, указанных в таблице I.

Теорема 2 /теорема 4 гл.2/. Пусть

К ^ X . X Иг , -Н-: -CR - лФс Vis Us )7

С*',*') Примечание г ^ 4 = Гс с > пара, дуальная С R } Ф ч.сО

CF4> Аг >>

CF^A^ с P^Ai)

С<ЧАО

CAivx-l> A.2VV-2 ^ CCv^Cv.-v") , расширение пары Сй'.Ф"*

C^w+1, Aw

СЬъ/Аъ^

Ьа." ^ CG2>AiV

С Azm-I, Aivv-j. ^ С few,

СЧА^

ССъ, сг ^ С^г.АО с г ^ C^/Ao

CAs>AO АП

CAS> А А (ЧАО

Знак — над типом подсистемы показывает, что она состоит из коротких корней./ где Is. - простые системы корней, О

Ф- (1 ^ С ^ s V и Ф- ( i < р г ^ -их регулярные подсистевш.

К ' '

Если , то ъ = , a IH^qK^ (l^Css^ после подходящей перенумерации. Более того, тогда К ^ - м. - (i s v s s } за исключением тех случаев, когда пары CS.,- Ф - л и (r' ф' Л

L > <- v * <. указаны в таблице I.

Следствие 0.1. /следствие I гл.2/. Если в условиях теоремы

0.2 все системы, корней к ' (1 * С S:S.) и R-Cis^sfc.} состоят из с t корней одной длины, то К — J4 .

Теорема 0.3./теорема 5 гл.2/. Пусть ~ С R \ JK^CB-' Ф') » гДе К и р' - простые системы корней, ф и ф - регулярные подсистемы в Я и R соответственно. Если Н. ^ к' , то Jn^ К' , или одна из пар С К ? Ф ^ или С я', Ф'} есть расширение другой. Все такие случаи перечислены в таблице 2.

Таблица 2. в f R V - к

Cv. Р

-V 1 А^ 'UCH-vl^

А г &г Аг fo 2. Сг А,

Теорема 0.4./следствие 3 гл.2/. Пусть К С R, Ф ^ , к' - С R.', ) » гДе R и R' - системы корней, ф и ф' - регулярные подсистемы в R и соответственно, Если

II ш

К ^ , то существуют однородные пространства Н и.н /I такие, что есть расширение как пространства JM •, так и пространства Н , а эти пространства, в свою очередь, являются расширениями К

Следствие 0,2 /следствие 4 гл.2/. Пусть однородные прост/ ранства И и И удовлетворяют условиям теоремы 0,4. Если , то многообразия Н. и И дЩеоморфны. Перейдем к изучению неодносвязных пространств JM . Соответствующие результаты опубликованы в L2$l.

О ч о

Обозначим через j^C L ) нормализатор подгруппы Ь в К . Фундаментальная группа многообразия К = ^V^f изоморфна некоторой подгруппе группы ^ ^L° . Будет доказано, что эта группа изоморфна группе Г CR , Ф • Таким образом, каждому однородному пространству H^^/l ставится в, соответствие. тройка Г ^ , где R - система корней, Ф - ее регулярная^ подсистема и Г - подгруппа в PCR ^ . Пусть, далее, однородному пространству ^Aj отвечает тройка

С R Ф Г ) • Тогда можно показать, что -К — К тогда и ■> - ■ только тогда, когда существует элемент fee ), обладающий свойством Г Г . Итак, каждому однородному пространству И - ^'^h отвечает тройка С Я > Ф Г ) , причем пара С Я } ф ) определена с точностью до изоморфизма, а группа Г - с точностью до сопряженности в группе ГСЯ^ при помощи элемента из feCR., Ф ") . Будем поэтому использовать обозначение С") если однородное пространство Н определяется тройкой С^Ф, Г ).

Теорема 0.5./теорема 5 гл.З/. Пусть Г

Н '-СР^ф', Г/) , где Я и R' - простые системы корней, и т - их регулярные подсистемы, Г и Г - неединичные подгруппы групп Г (8. ФО и Г( к' ф'} соответственно. Если > многообразия И и И гомотопически эквивалентны, то или И ~ -М ' f или же тройки С g >Ф^ Г ) и ( R' г') указаны в таблице 3.

Таблица 3

R Ф Г в' / <Ф м + 1 У/

А ъ &г А2 IRP0, аг (>2. А, ООП/ 'CKS}* 0(2 )

Теорема 0,6 /теорема 6 гл.З/. Пусть К—с К, Ф, Г), мД (g^r')» ГД© £ и Б' - системы корней, Ф и ф' -их регулярные подсистемы, Г и г' ~ подгруппы Г(ф у и ГСй', соответственно. Если многообразия Н и н' гомотопически эквивалентны, то существуют однородные пространства

Н и JM такие, что ri есть расширение как пространства t

М » так и пространства К , а эти пространства, в свою оче

1п редь, являются расширениями И .

Следствие 0,3 /следствие 3 гл.З/. Пусть однородные пространства и и К удовлетворяют условиям теоремы 0.6. Если многооб разия М и l-i гомотопически эквивалентны, то они диффеоморфны.

Рассмотрим,теперь некомпактные транзитивные группы. Пусть К - компактное многообразие положительной эйлеровой характеристики, на котором транзитивно и локально эффективно действует некомпактная связная группа Ли G- . Тогда, как хорошо известно /см.[32~\ и [16]/, универсальная накрывающая группа С группы G полупроста и ее центр конечен. Она транзитивна на универсальном накрывающем многообразии н многообразия М . Так как JM также компактно, то И - Vq » где X - максимальная компактная в G подгруппа, a L - связная подгруппа максимального ранга в К. . Поскольку центр 2, ( g ) группы G- содержится в К 122), а, следовательно, и в любом максимальном торе группы К » имеем *Z(&)<z "L . Отсюда вытекает, что любая груша, локально изоморфная Gr , также транзитивна на h и К .Мы можем, следовательно, определить понятие почти изоморфизма однородных пространств и дать.определение, аналогичное определению 0,3.

Определение 0.10. Пусть H-^/vi » -И- » где ^ и / G- - связные группы Ли, Н и Н - замкнутые подгруппы в & и g.' соответственно, причем многообразие К компактно и его эйлерова характеристика положительна. Однородное пространство М называется расширением однородного пространства Н , если существует однородные пространства и , почти изоморфные прос транствам И и и соответственно, такие, что .М^есть расшире-/ ние Нл в смысле определения. 0.2.

Некомпактные группы, транзитивные на односвязных компактных многообразиях положительной эйлеровой характеристики, изучались А.Л.Онищиком [16]. Мы найдем все такие группы, транзитивные на неодносвязных многообразиях. Результаты опубликованы в [23J и [26]. Так как точная формулировка требует привлечения-сложной структурной теории, отложим ее до главы 4. Отметим только такое утверждение.

Теорема 0.7 /следствие I гл.4/. Пусть м и М - компактные однородные пространства положительной эйлеровой характерно' тики. Если многообразия ]ч и h диффеоморфны, то существует однородное пространство м" такое, что оба пространства И и / являются его расширениями.

Таким образом, полученное полное описание транзитивных и локально эффективных действий связных групп Ли на компактных многообразиях положительной эйлеровой характеристики.

1. Араки Ш« Корневые системы и локальная классификация неприводимых симметрических пространств.~ Математика, сб.переводов, 1966, 10*1, 90-126.

2. Ахиезер, Д.Н. Неприводимые системы корней и неразложимые однородные пространства,- В сб.: Теория функций и,функциональный анализ. Харьков, 1977, вып.27, 22-26.

3. Ахиезер Д.Н. О гомотопической клаэсификации комплексных однородных пространств.- Труды ММО, 1976, 35, 3-20.

4. Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И. Клежки Шубер' та и когомологии пространств ^р Успехи матем.наук, 1973, 28:3, 3-26.

5. Блинкин М.Я. О неразложимости борелевских многообразий.-Матем.сб., 1972, 88:3, 442-446.

6. Борель А. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли.- В сб.: Расслоенные пространства. М., ИЛ, 1958, 163-246.

7. Борель А., Тите Ж. Редуктивные группы.- Математика, сб. переводов, 1967, 11:2, 3-31.

8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.- М., Мир, 1972.

9. Гото М., Гроссханс Полупростые алгебры Ли.- М., Мир,1.8I.

10. Доан Куинь. Полинован Пуанкаре компактных однородных римановых пространств с неприводимой стационарной группой,- В сб.: Тр.сем.вект.тенз.анализу.- М., Изд-во МГУ, 1968, вып.14, 33-93.

11. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.- М., Мир,1976.

12. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых.алгебр Ли.- Матем.сб., 1952, 30/52/:4, 349-462.

13. Дынкин Е.Б., Онищик А.Л. Компактные группы Ли в целом.-Успехи матем.наук, 1955, 10 , 3-74.14» Онищик А.Л. О транзитивных компактных группах преобразований.-Матём. сб., 1963, 60:4, 447-485.

14. Онищик А.Л. О группах. Ли, транзитивных на компактных многообразиях II.- Матем.сб., 1967 , 74/Н6/:3, 398-417.

15. Онищик, А.Л. О группах, Ли, транзитивных на компактных многообразиях III.- Матем.сб., 1968, 75/117/:2, 255-263.

16. Онищик А.Л. О транзитивных действиях на борелевских многообразиях.- В сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры.1 Ярославль, 1977, 143-155.

17. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный, курс топологии. М.,1977.

18. Сирота А.И., Солодовников.А.С. Некомпактные полупростые группы Ли.-Успехи матем.наук, 1963, 18:3, 87-144.

19. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.- М., Мир, 1975.

20. ХамфрйД. Линейные алгебраические группы, М., Наука,1980.

21. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.- М., Мир* 1964.

22. Щетинин А.Н. 0 фундаментальных группах компактных однородных пространств,- В сб.: Вопросы теории групп и.гомологической алгебры. Ярославль, 1979, вып.2, 175-186.

23. Щетинин А.Н. О неразложимости однородных пространств положительной.эйлеровой характеристики.- В сб.: Геометрические методы в задачах анализа и алгебры^ Ярославль, 1981, 36-44.

24. Щетинин А.Н. Гомотопическая классификация компактныходнородных пространств положительной эйлеровой характеристики.-В сб.: Вопросы теории групп и гомотопической алгебры. Ярославль, 1982, 106 119.

25. Щетинин А.Н. Гомотопическая классификация одного типа однородных пространств,- Ярославль, 1983.- Рукопись представлена Ярославским ун-том. Деп.в ВИНИТИ 14 июля 1983 г.,roc.J6 3916 83.

26. Щетинин А.Н. 0 компактных однородных пространствах положительной эйлеровой характеристики.- Успехи матем.наук, 1984, 39:2.

27. Heimavun. R.jCom^actC-V ion. o^ homogeneous spaces, I,-Э. MatU, and HecW L'HS", 4V-A GSS-b^S.