Полупростые транзитивные группы ли на многообразиях с двумя концами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОПИСАНИЕ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ

С ДВУМЯ КОНЦАМИ.

§1. Концы однородных пространств . б

§2. Предварительные сведения о полупростых группах Ли.II

§3. Леммы о корнях.

§4. Конструкция квазиравномерных подгрупп

§5. Слу.чай редуктивной стационарной подгруппы

§6. Случай нередуктивной стационарной подгруппы

§7. Некоторые специальные случаи и примеры

ГЛАВА П. ТРАНЗИТИВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП

ЛИ НА НЕКОТОРЫХ НЕКОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

§8. Теорема о продолжении действий

§9. Транзитивные действия на проколотом афинном пространстве

§10.Однородные пространства с двумя концами

Пусть (J - связная группа Ли. Замкнутую подгруппу Uc& будем называть квазиравномерной, если однородное пространство G/ц имеет два конца в смысле Фрейденталя. Если Ц имеет конечное число связных компонент, то это равносильно тому, что G/2i гомео-морфно M*|R , где И - компактное многообразие [i] . В работе дается классификация связных квазиравномерных подгрупп в полупростых вещественных группах Ли с конечным центром. Описываются также всевозможные квазиравномерные подгруппы К, в полупростых вещественных группах Ли (без ограничения на центр), такие, что И - сфера или компактное односвязное многообразие положительной эйлеровой характеристики.

Случай, когда К, - комплексная подгруппа Ли с конечным числом связных компонент в комплексной группе Ли Q , был изучен в работах [I] , [15] , &2] .

Если К, 'Квазиравномерна и группа компонент 1t/xt° конечна, то И° также квазиравномерна [I]. В работе [221 доказано, что для комплексных подгрупп И в комплексных группах Ли G" верно и обратное утверждение. Однако для подгрупп в полупростых вещественных группах Ли обратное утверждение неверно. Поэтому вопрос об описании квазиравномерных подгрупп с конечным числом связных компонент в полупростых группах Ли требует дополнительного исследования.

В первой главе дается классификация связных квазиравномерных подгрупп в полупростых вещественных группах Ли с конечным центром.

В §4 описываются четыре класса подалгебр U в полупростой алгебре ф над 1R . Там же сформулируется теорема 4.2, которая гласит, что если 11 - связная квазиравномерная подгруппа полупростой группы Ли & с конечным центром, то подалгебра ucg. сопряжена с одной из подалгебр этих классов. Докательство этой теоремы проведено в §§5,6. В §5 рассмотрен случай редуктивной подалгебры U , в §6 - случай нередуктивной подалгебры и . В §7 рассматриваются некоторые частные случаи и примеры, в том числе дается классификация связных квазиравномерных комплексных подгрупп в полупростых комплексных группах Ли.

Вторая глава посвящена классификации транзитивных действий полупростых групп Ли на многообразиях с двумя концами.

В §8 рассматривается общий вопрос о возможности продолжения транзитивного действия компактной группы Ли К на многообразии М до транзитивного действия полупростой группы Ли (j с конечным центром, содержащей К в качестве максимальной компактной подгруппы, на многообразии X-M*1R . §§9 и 10 посвящены изучению следующих специальных случаев: M-Sm (т^Й.) i М — од-носвязное однородное пространство положительной эйлеровой характеристики 9С(М)> О . Мы даем полное описание эффективных транзитивных действий полупростых групп Ли на S№*Ra R^M0^ ). Кроме того, описаны все связные квазиравномерные подгруппы 7/1 в связных полу простых группах G" » такие, что G/u = tAxlR, где М компактно и %(М)>0 . При этом рассматриваются группы G как с конечным, так и с бесконечным центром 5Г(&) . В случае конечного центра используются результаты первой главы, а в случае бесконечного центра - результаты работы [9] . Пусть Ко соответственно максимальная компактно вложенная и максимальная компактная подгруппа в G , L©~ Ко^^ • В [9] показано, что если ^ 1 » то либо К=К0(И центр Z(G) конечен), либо К транзитивна на Сг/Vi » Ge КЭД . В последнем случае квазиравномерные подалгебры и можно описать с помощью работ [б] и [3]. Заметим, что число является гомотопическим инвариантом многообразия M-Ko/Lo» Применяемый Г метод позволяет также дать полную классификацию действий полупростых групп на таких многообразиях M*R с для которых известны все транзитивные компактные группы на М .

На протяжении всей работы мы будем свободно переходить от языка групп Ли к языку алгебр Ли и обратно, используя следующее соглашение: группы Ли будем обозначать заглавными, а их алгебры Ли - соответствующими малыми латинскими буквами. Нумерация простых корней совпадает с принятой в книге [23].

Основные результаты настоящей работы опубликованы в [14] , [151 . Ы , [17] , [18] , [19] .

Диссертация выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора А.Л.Онищика, которому автор приносит свою глубокую благодарность.

1. Ахиезер Д.Н. Плотные орбиты с двумя концами. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 41, 308-324 (1977).

2. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М., "Наука", 1969.

3. Горбацевич В.В. Об одном классе разложений полупростых групп и алгебр Ли. Матем. сб. 95 (137): 2 (10). 295-304. 1974.

4. Горбацевич В.В. О почти однородных пространствах. В сб. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры. 43-66. Ярославль, 1978.

5. Карпелевич Ф.И. О расслоении однородных пространств. Успехи матем. наук, 1:3 (1956), I3I-I38.

6. Онищик А.Л. О группах Ли, транзитивных на компактных многообразиях. П. Матем. сб. 74 (116), 1967, 398-416.

7. Онищик А.Л. О группах Ли, транзитивных на компактных многообразиях. Матем. сб., 71 (ИЗ), 1966 , 483-494.

8. Онищик А.Л. О вполне геодезических подмногообразиях симметрических пространств. В сб. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры, 64-85, Ярославль, 1980.

9. Онищик А.Л. О транзитивных полупростых группах Ли. В сб. Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1983, 128-129.

10. Онищик А.Л. О транзитивных компактных группах преобразований. Матем. сб. 60 (102), 1963, 447-485.

11. Онищик А.Л. О группах Ли, транзитивных на компактных многообразиях. Ш. Матем. сб. 75 (117):2, 1968, 255-263.

12. Серр К.-Л. Алгебры Ли и группы Ли, "Мир", 1969.

13. Стинрод Н. Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953.

14. Хосровян О.М. О комплексных однородных пространствах с двумя концами. ДАН Арм.ССР, т. lxv , № 5, 1977 , 263-265.

15. Хосровян О.М. О комплексных однородных пространствах с двумя концами. В сб. Геометрические методы в задачах анализа и алгебры. 35-42. Ярославль, 1978.

16. Хосровян О.М. Квазиравномерные подгруппы в полупростых группах Ли. ДАН Арм.ССР, т. LXXIV , Ш 2, 1982, 57-60.

17. Хосровян О.М. Об однородных пространствах с двумя концами. Рукопись деп. в АрмНШНТИ 1.06.83, № 4Ар-Д83.

18. Хосровян О.М. Об однородных пространствах с двумя концами.П. Рукопись деп. в АрмНИИНТИ 27.10.83, № 12Ар-Д83.

19. Хосровян О.М. Транзитивные действия полупростых групп Ли на некоторых некомпактных многообразиях. В сб. Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль, 1983, 132-133.

20. Borel А., Les bouts des espacee homogenes des groupes de Lie, Ann. Math., 58:3 (1953), 443-457.

21. Freudenthal H., ttber die Enden topologischer Raume und Gruppen, Math. Zeit., 33:5 (1931), 692-713.

22. Gilligan B., Huckleberry A.T. Complex homogeneous manifoldswith two ends. "Mich. Math. J11 1981.28 Us 2.*

23. Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric4 * * Jspaces, Academic press. N.Y., San Francisco, London, 1978.

24. Mostow G.D. On maximal subgroups in real Lie groups, Ann. Math., 74 (1961), 503-517.

25. Mostow G.D, On covariant fiberings of ilein spaces. I,II, Amer. J. Math., 77:2 (1955), 247-278; 84:3 (1962), 466-474.