К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

0034Э16В1

Дудкина Анна Александровна

К Ьр -ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ф£д ?д1д

Москва—2010

003491661

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент М.Е. Боговский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук, профессор Т. А. Шапошникова

доктор физико-математических наук, доцент С. П. Хэкало

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится 16 февраля 2010 г. в 15 час. 00 мин. па заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3., ауд. 495-,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат диссертации разослан 13 января 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Л. Б. Россовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Обобщенные решения линейных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами являются объектом исследования огромного числа работ. В большей части этих работ вопросы существования и единственности решений исследуются в рамках ¿2-теорпн, т. е. в пространствах- Соболева W2!. Значительно меньше внимания уделяется вопросам существования и единственности решений в рамках £р-теории при р ф 2 даже в случае уравнений второго порядка в дивергентной форме.

В диссертации исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из LP для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в случае двух переменных. При одинаковой знакоопределенности кусочно-постоянных коэффициентов частпый случай р = 2 интереса не представляет, так как теорема существования и единственности обобщенного решения при р = 2 совпадает с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.

В работах Мазьи В.Г., Пламсневского Б.А.1 и Кондратьева В.А.2 классы решений являются весовыми, причем случай единичного веса исключается. В работе Мазьи В.Г., Ребсрга И., Элпшера И., Шмидта Г.3 вес единичный, по не рассматривается плоский случай. В диссертации рассматриваются классы решений с первыми производными из Lp без веса во всей шкале значений показателя р е (1,оо). Работы Аушера П.4, ДиФа-цио Дж.5 и Мейерса Н.Г.° также касаются класса решений с первыми производными из Lp без веса для эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме и с дивергентной правой частью. Однако, в отношении рассматриваемых в диссертации задач результаты 4' 5' 6 носят частный характер.

В вышеупомянутых работах не поднимается вопрос о необходимых и достаточных условиях того, что особая точка линий разрыва коэффициентов будет особой точкой решения, как не ставится и вопрос о вкладе особых точек линий разрыва коэффициентов в размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора. А эти вопросы интересны и важны с прикладной точки зрения. Рассматриваемые задачи описывают, в частности, стационарную теплопроводность многокомпонентных твердых тел. Например, композитов, когда каждая компонента имеет свой коэффициент теплопроводности, а поверхности разрыва коэффициента теплопроводности не являются гладкими (см. также 7). Интересно, что даже в случае сколь угодно малой разницы в значениях смежных коэффициентов теплопроводности, иегладкости поверхностей разрыва коэффициентов могут порождать особые точки решений, в окрестности которых градиенты решений не

1Мазъя В.Г., Пламснеаский В.А. Оценки в Lv и в классах Гёльдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. — 1978. -№ 81. - С. 25-82.

2Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений и областях с коническими и угловыми точками. // Труды Моск. мат. общ. —1967. — Т. 16. — С. 209-292.

3Maz'ya V., Elschner JRehberg J., Schmidt G. Solutions for quasilinear nonsmooth evolution systems in Lp// J. Arch. Ration. Mech. Anal. - 2004. - V. 171, № 2. - P. 219-262.

AAusher P. On necessary and sufficient conditions for V-estimates of Riesz transforms associated to elliptic operator on R" and related estiinatra.//Memoirs of the AMS. - 2007. — V. 186, № 871.

ЪЫ Fazio G. ¿/-estimates for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients //J. Boll. Un. Mat. Ital.A. -1996. - V. 10. - P. 409-420.

6Meyers N.G. An Lp-estiniate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations// J. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1963. - V. 17, № 3. - P. 189-206.

7Li Y.j Nirenberg L. Estimates for elliptic systems from composite materials//J.Comm. Pure Appl. Math. — 2003. — V. LVI. - P. 892-925.

ограничены. При этом характер особенностей не исключает принадлежность градиентов решений к Ьр при достаточно больших р.

Работ, посвященных размерностям ядра и коядра эллиптического оператора в дивергентной форме очень мало. Стоит отметить только работы Ильина Е.М.8,9, постановка и общий подход в которых, схожи с постановкой и подходом в диссертации. В работе 8 исследуются особенности, возникающие у слабых решений краевых задач для равномерно эллиптического оператора второго порядка с дивергентной главной частью в

ограниченной области П С К2 с разрывными коэффициентами. В 8 предполагается, что граница ЗП - кусочно непрерывно дифференцируема и имеет угловые особые точки с ненулевыми углами. При этом гладкие непересекающиеся кривые разбивают П

на подобласти {П^}^1 так, что производные решения претерпевают разрывы первого рода на кривых Г^. Допускаются пересечения кривых Г* с 5П под ненулевыми углами. На линиях разрыва коэффициентов задаются условия непрерывности решения и его производной по конормали. В 8 рассматривается стандартная обобщенная постановка задачи для класса И^1 (П). Слабое обобщенное решение с односторонней гладкостью класса И^ к = 1,..., т + 1 называется в 8 сильным решением. Тогда как существование и единственность слабого решения гарантированы теоремой Рисса, сильное решение, единственность которого очевидна, может не существовать. Вопрос о коразмерности области значений эллиптического оператора в Ь^^) для сильных решений сводится к подсчету собственных чисел Л = — ¡л2 с условием 0 < ц < 1 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля.

В работе 9 изучаются схожие с 8 вопросы, но для случая, когда линии разрыва имеют внутренние угловые точки. При этом матрица А в окрестности особых точек не предполагается скалярной. Работа 9 опирается на схему Кондратьева В.А.2, применимость которой к рассматриваемым задачам в весовых классах установил Совин Я.А. в 10,11. Ильиным Е.М. установлено, в частности, что число собственных чисел Л = -/Ц2 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля с условием 0 < ц < 1 для нескалярной матрицы А может быть сколь угодно велико.

В диссертации вопросы существования и единственности решений рассматриваются во всей шкале значений показателя р 6 (1,оо), а в работах 8'9 только при р = 2. Ильин Е.М. рассматривает класс решений с односторонней гладкостью №|> а в Дис" сертации рассматривается класс решений с первыми производными из Ьр, если область пеограничена, или класс , если область ограничена.

В диссертации вычисляются размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора во всей шкале значений показателя р е (1,оо). Ненулевые размерности ядра и коядра появляются из-за особых точек решений, к которым относятся, например, точки негладкости линий разрыва коэффициентов и точки пересечений гладких линий разрыва коэффициентов с гладкой границей. Необходимым и достаточным условием существования особых точек является наличие в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля собственных чисел Л = — ц2 с корнями ц € (0,1).

Прикладное значение задач, рассматриваемых в диссертации, не ограничивается стационарной теплопроводностью многокомпонентных твердых тел. Другим важным приложением является теория упругости многокомпонентных материалов.

яИльин Е.М. Особенности слабых решений эллиптических краевых задач с разрывными старшими коэффициентами.// АН СССР. Записки ЛОМИ. - 1973. - Т. 38. - С. 33-45.

9 Ильип Е.М. Особенности слабых решений эллиптических уравнений с разрывными старшими коэффициентами. Угловые точки линий разрыва.// АН СССР. Записки ЛОМИ. - 1974. - Т. 47. - С. 166-169.

10 Совин Я.А. Эллиптические граничные задачи для плоских областей с углами и разрывами, выходящими на границу.// ДАН СССР. - 1969. - Т. 187, № 5. - С. 995-997.

11 Совин Я.А. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с особенностями на части границы.// Мат. Физ. Респ. межвед. сб. - 1975. - Т. 18. - С. 149-152.

Цель работы

1. Исследовать вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Lp для эллиптического уравнения в R2 в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью.

2. Вычислить размерности ядра и коядра рассматриваемых эллиптических операторов с разрывными коэффициентами в классе решений с первыми производными из Lv во всей шкале значений показателя р G (1,оо).

3. Исследовать условия существования особых точек решений, которые порождаются негладкостью линий разрыва коэффициентов, их пересечением между собой и пересечением с границей.

Основные результаты. Научная новизна

1. Для модельных задач Штурма-Лиувилля, возникающих при разделении переменных, установлено существование собственных чисел Л = — ¡J? с корнями ц € (0,1). Существование таких корней ¡л е (0,1) строго доказано для случая точки излома линии разрыва коэффициентов и для точек пересечения линии разрыва коэффициентов с гладкой границей и с угловой точкой границы. В общем случае, когда в особой точке пересекается несколько линий разрыва коэффициентов, существование корней ц 6 (0,1) подтверждается многочисленными примерами, построенными с помощью вычислений на Maple 11.

2. Для обобщенных решений модельных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами в классе с первыми производными из Lp дается полное обоснование метода Фурье, с выводом соответствующих ¿^-оценок.

3. Устанавливаются априорные Lp-оценки первых производных обобщенных решений эллиптических краевых задач с кусочно-постоянными коэффициентами в случае компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике.

4. Вычислены размерности ядра и коядра эллиптического оператора с кусочно-постоянными коэффициентами: для случая компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике во всей шкале значений показателя р € (1,оо) в зависимости от параметров особых точек. Установлен эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Тем не менее, полученные результаты имеют важное прикладное значение в вопросах теплопроводности и упругости многокомпонентных неоднородных материалов. Эти результаты также могут быть использованы и для развития Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами, в частности, для построения примеров, способствующих развитию теории Lp-разложений Ходжа12.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ под руководством профессоров Жикова В.В., Шамае-ва А.С. и Шапошниковой Т.А., на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (ТУ) под руководством профессоров Амосова А.А. и Дубипского Ю.А., на. семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ под руководством профессора Звягина В.Г., на семинаре кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин КГПИ под руководством профессоров Лексина В.П. и Петрова Е.Е.,

12 Ausher P. On necessary and sufficient conditions for ¿/-estimates of Riesz transforms associated to elliptic operator on R" and related estimates.//Memoirs of the AMS. - 2007. -- V. 186, -V' 871.

на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН под руководством профессора Скубачевского А.Л. Результаты диссертации докладывались также на III Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" , Обнинск, 2006; Международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского, Москва, 2007; Пятой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2008; Крымской осенней математической школе-симпозиуме, Симферополь, 2008; ХЫ1, ХЫН, ХЫ\' и Х1Л' Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 2006, 2007, 2008, 2009.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах, из них 2 статьи в научных журналах и 7 тезисов докладов на международных конференциях.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 85 наименований. Содержит 21 рисунок и 8 таблиц. Общий объем составляет 176 страниц.

В главе 1 диссертации, состоящей из трех параграфов, приводится краткий обзор Ьр-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами. Дается определение функциональных пространств, с помощью которых обобщенная постановка краевой задачи для эллиптического уравнения в дивергентной форме сводится к системе первого порядка эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. При этом, вопросы существования и сдинствсниости обобщенных решений сводятся к вопросам о разложимости пространства Ьр двумерных векторных полей в прямую сумму двух замкнутых подпространств, определение которых дается в этой главе. Также в главе 1 содержится описание постановки задачи, являющейся предметом исследования диссертации.

В главе 2 диссертации, состоящей из четырех параграфов, выводится теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами в случае, когда линия разрыва является бесконечной прямой. Обосновывается метод Фурье для случаев гладких и негладких линий разрыва коэффициентов с помощью соответствующих модельных задач Штурма-Лиувилля. Вычисления на Марк 11 показывают, что во всех рассматриваемых случаях существуют собственные числа Л = — ц2 с корнями р. е (0,1), но при этом их число для разных типов особых точек будет различным. Отметим, что число корней ц е (0,1) в любом из приведенных в диссертации случаев не превосходит трех. Результаты вычислений представлены в виде восьми таблиц. Также в главе 2 получены априорные ¿^-оценки первых производных обобщенных решений эллиптической краевой задачи в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами. Оценки устанавливаются методом локализации.

В главе 3 диссертации, состоящей из трех параграфов, во всей шкале значений показателя р € (1,оо) вычисляются размерности ядра и коядра соответствующих эллиптических операторов с разрывными коэффициентами: для случая всей плоскости с компактными линиями разрыва коэффициентов и для случая задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике. Рассматриваются случаи, когда все особые точки конечные и когда среди особых точек есть как конечные, так и бесконечная. Показано, что сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе ¿¿(К2) при 1 < р < 2/(1 и потере единственности обобщенного решения в классе ££(К2) при 2/(1 — (I) <р < оо. Такое явление говорит о взаимодействии конечной и бесконечной особых точек, поскольку добавление конечной особой точки к имеющейся бесконечной особой точке уменьшает вклад бесконечной особой точки в размерности ядра и коядра.

Содержание работы

Во введении описана постановка задачи, а также кратко изложено содержание диссертации по главам. Указаны цели диссертации, основные методы исследования, актуальность и научная новизна результатов.

В главе 1 для эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью рассматриваются две обобщенные постановки в классе с первыми производными из Lv, а именно: задача для всей плоскости ü = R2 и краевая задача Дирихле для ограниченного многоугольника Г! С М2. Сначала сформулируем обобщенную постановку для случая П = R2, т.е. для эллиптического уравнения в дивергентной форме

div (j4Vu) = div F{x), (0.1)

с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А{х) = Предполагается, что линии разрыва коэффициентов {Лу} являются кусочно

непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость на подобласти {üj}™!1. Подобласти {i2i}™t1 И кривые {1^}™! могут оказаться неограниченными. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения, т. е. условия непрерывности решения и и его конормальной производной по направлению vA = Au, где V и vA — единичная нормаль и конормаль к кривой Г\, соответственно. А именно,

"Irr = ulr+ >

du

_ du Г" dVA

(0.2)

где r¡ и Г+ — разные стороны кривой r¿, прилежащие к смежным подобластям {Í2¡}. Решение ищется в пространстве Соболева

Ц(Ж2) = {ие И^,0С(М2): Z)> е Lp{R2), |Q| = 1}

с нормой

\\и\\Чт = !I«IUPH + ]Г \\D°u\\Lpm, (0.3)

Н=1

где и С К2 — какая-либо наперед заданная фиксированная ограниченная область. Очевидно, что ¿¿(К2) — банахово пространство.

Под единственностью решения задачи (0.1)—(0.2) обычно подразумевается единственность с точностью до аддитивной постоянной, т. е. единственность градиента решения Vu. При этом, не ограничивая общности, тривиальным будем называть решение с нулевым градиентом. Чтобы эта аддитивная постоянная не мешала при выводе локальных Lp-оценок, определим ее условием

/

u(x)dx = 0. (0.4)

Нетрудно убедиться, что норма (0.3) на подпространстве, выделенном условием (0.4), эквивалентна норме ЦУ-иЦ^^-нг), при этом

|^и||ьр(1112;к2) ^ |Ыи}(щ2) ^ С0||уи||мк2;к2) (°-5)

с постоянной Со > 0, зависящей только от выбраииой фиксированной ограниченной области ш. Здесь и всюду в дальнейшем через ЬР(Ш?',Ш?) обозначено ^-пространство Лебега векторных полей V : К2 —> К2.

Задача (0.1), (0.2), (0.4) рассматривается в диссертации в обобщенной постановке в классе и £ ¿¿(Е2), при р € (1, оо) с заданной вектор-функцией .Г £ ЬР(К2;К2) в смысле интегрального тождества

I (АУи, Уф) <1х = I Уф) йх Чфе Сх (К2), (0.6)

К2 Ц2

о

где С°° (К2) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций.

Точки излома кусочно-гладких линий разрыва коэффициентов и их пересечения между собой будут, вообще говоря, особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Такие особые точки условимся называть конечными. Множество всех особых точек предполагается конечным. Особенность обобщенного решения в окрестности бесконечности, связанную с уходящими на бесконечность гладкими кусками линий разрыва коэффициентов, условимся называть бесконечной особой точкой. Для уходящего на бесконечность гладкого куска линий разрыва коэффициентов предполагается существование касательной на бесконечности. В таком случае, конечная и бесконечная особые точки могут оказаться угловыми точками или узлами, в которых пересекаются гладкие куски {1\} линий разрыва коэффициентов. Будем считать, что каждая особая точка, включая бесконечную, имеет некоторую окрестность со своим набором гладких кусков {1\}, которые являются отрезками прямых, полубесконечными в случае бесконечной особой точки.

Теперь сформулируем обобщенную постановку задачи Дирихле для ограниченного многоугольника Г2 С М2, т.е. для краевой задачи

ГсМАУ«) = С11У^(1), х&П,

14«= 0, 1 '

с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А{х) — {А^(х)}^=1. Предполагается, что линии разрыва {Г*}™! коэффициентов {А;} являются кусочно непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость на подобласти Подобласти {П.}™"!1 и кривые {Г*}™! ограниченны. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения (0.2).

О О

Через (П) обозначим замыкание подпространства С°° (П) в пространстве Соболева с нормой

МЯ1(П)=Е!№11«П). (0.8)

|а[=1

Краевая задача Дирихле рассматривается в диссертации в обобщенной постановке в

о

классе и е (П), при р € (1, оо) с заданной вектор-функцией ^ 6 Ьр(й\ К2) в смысле интегрального тождества

J (АУи, Уф) Ах = ! (Г, Уф) йх ЧфеС00 (П). (0.9)

а а

Точки негладкости кривых {1^} и их пересечения между собой будут особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Особые точки, в этом случае, делятся на граничные особые точки и внутренние особые точки. Под внутренними особыми точками будем подразумевать точки, в которых пересекаются п ^ 2 линий разрыва коэффициентов — при этом случай п = 2 соответствует точке излома кусочно-гладкой линии

разрыва коэффициентов. Под граничной особой точкой будем подразумевать вершину многоугольника П с углом а > тт, являющуюся точкой непрерывности коэффициентов, a также любую точку границы <ЭП с углом a G (0,27т), не являющуюся точкой непрерывности коэффициентов.

В случае гладких непересекающихся линий разрыва коэффициентов рассматриваемая задача исследовалась Е.М. Ильиным 4,5 в ограниченной плоской области при р = 2 в классе решений с односторонней гладкостью W2.

В случае гладких линий разрыва коэффициентов матрицы Д = Л^ произвольные вещественные симметричные постоянные. При разной знакоопределенности матриц Д требуется еще выполнение дополнительного условия inf | det —det ф 0, где нижняя

m

грань берется но множеству IJ Г,. Но размерности ядра и коядра будут нулевыми во всей ! = 1

шкале значений показателя ре(1,оо), независимо от знакоопределенности матриц.

В случае негладких линий разрыва коэффициентов матрицы имеют вид Д = щЕ, где Е — единичная матрица, щ — постоянный коэффициент, г = 1, ...,I,I ^ 1. Отметим, что значения смежных коэффициентов щ всегда предполагаются различными, так как в противном случае не было бы линии разрыва коэффициентов.

Чтобы сформулировать результаты удобно ввести следующие обозначения. Через JP(R2) обозначим замыкание в Lj,(R2;R2) подпространства

J00 (R2) = {v : v (R2; R2), divu = 0} .

Через Gp(R2) обозначим замкнутое подпространство Л-потенциальпых векторных полей в LP(R2;R2), т. е.

Gp(R2) = {w е £„(R2;R2) : tu = АУф, ф е ¿¿(R2)}.

Устанавливается, что однозначная разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.4) с показателем р £ (1, оо) в обобщенной постановке (0.6) эквивалентна разложению пространства LP(R2;R2) в прямую сумму

Lp{R2; R2) = JP(R2) ® G^(R2), (0.10)

которую называют разложением Ходжа (см., например, 12).

Говоря о ядре и области значений эллиптического оператора в задаче (0.1), (0.2), (0.4), мы будем подразумевать ядро ЯР{Ь) = Jp(R2)nGj,(R2) и область значений Hp(L) = JP(R2) + Gp(R2) линейного непрерывного оператора

L : Jp(R2) х Gp(R2) - LP(R2; R2), (0.11)

действующего по правилу L{v,w} = v + w V{u, ш} е Jj,(M2) x G^(R2). При этом разложение (0.10) соответствует системе первого порядка

v + AVu = F, divw = 0,

(0.12)

эллиптической по Дуглису-Ниренбергу.

Размерностью коядра будем называть размерность фактор-пространства ЬР(Ж2\Ш2)/ИР(Ь), т. е. коразмерность сосШиИР{Ь) области значений 71Р(Ь).

Фундаментальным фактом ¿^-теории задачи (0.1), (0-2), (0.4) в обобщенной постановке (0.6) является следующая теорема двойственности.

Теорема 1. Пусть р е (1,оо). Задача (0.1), (0.2), (0.4) в обобщенной постановке (0.6) однозначно разрешима для всех Р1 е ЬГ(К2;К2) в классе и € ¿¿(К2) при г = р с оценкой

Н^Нмк2;»2) ^ СрН-РЦьгСн3;*1)

тогда и только тогда, когда она однозначно разрешима с такой же оценкой для сопряженного показателя р' = р/(р — 1), т. е. при г = р', с той же постоянной Ср > 0, зависящей только от р и я.

В случае, когда при г = р уже установлена разрешимость, то при г = р' = р/(р — 1) единственность решения вытекает из следующей теоремы

Теорема 2. Пусть р е (1, оо). Если при любых ^ еС°° (К2; К2) задача (0.1), (0.2), (0.4) имеет решение и 6 ^(М2) с показателем г = р, то для сопряженного показателя г = р1 решение задачи (0.1), (0.2), (0.4) в классе и е .^(К2) будет единственным.

В случае краевой задачи Дирихле для ограниченного многоугольника П С К2 обобщенная постановка задачи (0.7) также оказывается эквивалентной проблеме Ьр -разло-

о

жения Ходжа для пространства ЬР(П,К2), т.е. ЬР(Г2;К2) = ,7Р(П)© (П). Для простоты ограничимся случаем одиосвязной О — в этом случае упрощаются определения

о о

пространств вр (П) и >7Р(П). А именно, через Ср (П) обозначим замыкание в ЬР(П;К2)

о о

его подпространства (П) = {и = Чф : ф еС°° (0)}. И пусть ^Р(Е2) — замыкание в

Ьр(й;Ш2) подпространства J'ж (К2)|п сужений на Г! вектор-функций из .7°° (К2).

Говоря о ядре и области значений эллиптического оператора в задаче (0.7), (0.2),

о

мы будем подразумевать ядро Л/^(Ь) = ./Р(0)П (П) и область значений Т1Р(Ь) =

о

./р(Я)П бр (П) линейного непрерывного оператора

о

Ь : 7Р(П) х (П) -> ЬР{П; К2), (0.13)

о

действующего но правилу Ь{ь,ш} = V + ш \/{г>,ш} е ^р(П)х вр (П). Размерностью коядра будем называть сос1ш17?.р(£) области значений ИР(Ь).

Следующая теорема справедлива и без предположения об односвязности ограниченной области П С К2. Однако, определения пространств 7Р(Г2) и (О) в случае мпого-связности {2 существенно усложняются и по этой причине здесь не рассматриваются.

Теорема 3. Пусть р е (1,оо). Задача (0.7), (0.2) для ограниченного многоугольника О в обобщенной постановке (0.9) однозначно разрешима для всех F 6 Ьг(Г2;М2) в классе

о

и е V/} (Г2) при г = р с оценкой

тогда и только тогда, когда она однозначно разрешима с такой же оценкой для сопряженного показателя р' = р/(р — 1), т. е. при г = р', с той же постоянной СР > 0, зависягцей только от р и н.

В случае, когда при г = р уже установлена разрешимость, то при г = р' ~ р/(р - 1) единственность решения вытекает из следующей теоремы

Теорема 4. Пусть р е (1,оо). Если при любых F еС00 (О; Ж2) задача (0.7), (0.2) имеет

о

решение и € IV,? (П) с показателем г = р, то для сопряженного показателя г = р'

о

решение задачи (0.7), (0.2) в классе и € IV,? (S1) будет единственным.

В главе 2 исследуются модельные задачи Штурма-Лиувилля, с помощью которых обосновывается метод разделения переменных в полярных координатах г, <р для всех типов рассматриваемых особых точек, а именно:

(а) внутренняя точка излома линий разрыва коэффициентов;

(б) внутренняя точка пересечения трех или более линий разрыва коэффициентов;

(в) граничная угловая точка, являющаяся точкой непрерывности коэффициентов (т.е. вершина бесконечного угла на плоскости с раствором а 6 (0,27т)), которая будет особой для решений класса с первыми производными из Lp, в случае 7Г < а < 2тг.

(г) граничная угловая точка, в любой окрестности которой коэффициенты претерпевают разрыв (т.е. вершина бесконечного угла на плоскости с раствором a G (0,2-л-), из которой на бесконечность уходят лучи, являющиеся линиями разрыва коэффициентов).

Во всех четырех случаях (а)--(г) полярные координаты г, tp берутся с полюсом в начале координат г = 0. Случай (в) для метода разделения переменных является классическим, тогда как для случаев (а),(б),(г) необходимо одновременное выполнение двух условий: оператор в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля должен быть самосопряженным и переменные г, tp должны разделяться.

Достаточно обосновать метод Фурье для случая (а) на примере модельной задачи, когда полюс г = 0 будет точкой излома линии разрыва коэффициентов, т.е. линия разрыва коэффициентов состоит из двух лучей, исходящих из начала координат и образующих угол a е (0, 27г). Под корнями /t € (0,1) будем подразумевать собственные числа А = — ¡i2 задачи Штурма-Лиувилля

ТФ = АФ, Фе DT (0.14)

d2

дня дифференциального оператора Т = —- с областью определения

dtp*

Dr = {ite L2(a - 2тг, а):ие W%(a - 2тг, 0), и G IV22(0, а),

м(-0) = и(+0), и'(-0) = хи'(+0), (0.15)

и(а - 0) = и(а - 2тг + 0), хи'(а - 0) = и'(а - 2тт + 0)} ,

где без ограничения общности предполагается, что Х\ = х / 1 и х^ = 1. Оператор d2

Т = —— будет самосопряженным, если его рассматривать как dtp2

T-.DT С L%"(a - 2тг, а) - - 2тг, а), (0.16)

где L"'" - весовое пространство квадратично суммируемых па (а — 2л, а) функций с весом, равным единице на (а — 2тг, 0) и с постоянным весом к на (0, а). Отметим, что выбор интервала (а — 2тт,а) объясняется более простой, чем в случае интервала (0,2тг), записью собственных функций. Очевидно, что при я > 0 пространство Lсо скалярным произведением

о а

(u,v)„= J uvdtp + х J uv dtp

a-2n 0

будет гильбертовым, а при x < 0 — пространством с индефинитной метрикой.

С помощью теоремы Гильберта устанавливается полнота в ¡^'"{а — 2ж, а) системы собственных функций с собственными числами А^ = —/4 самосопряженно-

го оператора (0.16). Поскольку оператор (0.16) самосопряженный, то его собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. Применяя процесс ортогоыализации Грама-Шмидта, в случае собственных чисел с геометрической кратностью больше единицы, если таковые имеются, получаем ортогональный базис в ~ 2тг, а) из собственных функций дифференциального оператора (0.16).

Как обычно в методе Фурье, предполагая существование решения и € ¿¿(К2) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6), заметим, что при р > 2 решение и(г, </>) будет элементом \У\{а - 27г,а) для почти всех г > 0. Раскладывая и(г,<р) в ряд Фурье

оо

и(г,<р) = ^2Ыг)<Ы<Р) (0.17)

/с=0

по ортогональному базису {Ф/ь}/£0 с коэффициентами Фурье

заметим, что ряд Фурье (0.17) будет сходиться в — 2тг, а) для почти всех г > 0. В силу и е Ьр(К2) коэффициенты Фурье Д^ имеют обобщенную производную по Соболеву В!к на (0, оо) и удовлетворяют условиям

оо /

|^(г)]рг^г<оо Чк> 1. (0.19)

Явное представление решения задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) удоб-

о

нее получить сначала для .Р из всюду плотного подпространства С°° (К2; К2) £Р(К2; К2) с соответствующими ¿^-оценками, которые позволят затем сделать предельный переход по -Г и тем самым установить разрешимость задачи (0.1), (0.2) для всех Р е ЬР(Ш2',~В?) с соответствующими £р-оценками. Отметим, что в этом разделе задача (0.1), (0.2) рассматривается без условия (0.4). Это связано исключительно с методом получения Ьр-оценок градиента V« через весовые £р-оценки решения и, требующие выполнения условия и(0) = 0 при р > 2. В силу известных ограничений теорем вложения условие и(0) = 0 позволяет фиксировать аддитивную постоянную только при р > 2.

Таким образом, предполагая Р еС30 (К2; К2), обозначим для краткости = /.

Подставляя в интегральное тождество (0.С) пробные функции вида V = р(г)Фк(<р) с произвольными р еС°° (0, оо), пользуясь обозначениями (0.18) и определением обобщенной производной по Соболеву, заключаем, что существует обобщенная производная по Соболеву на (0,оо), причем

-(гКУ + А*^ = Л(г), 0,

г г*

для почти всех г > 0, где коэффициенты /к имеют вид

а

Ш = щг I /(г, Ч>)Ы<Р) к > 0. (0.20)

В силу уравнения (0.20) и условия (0.19), коэффициенты Фурье при 2 < р < 2/(1 — ц{) имеют вид

оо г

i?o = -lnr Jsf0{s) ds - js\nsfo(s) ds,

r 0

эс r

r« r r-n r

>1.

Далее устанавливаются априорные оценки в норме ¿¿(К2) обобщенного решения задачи (0.1), (0.2), построенного в виде ряда Фурье (0.17). Это делается с помощью локализации по полярному углу <р и теоремы Пэли, применение которой требует некоторых дополнительных условий па ортогональный базис А именно, требуется, чтобы

решения соответствующих задач Штурма-Лиувилля удовлетворяли следующим условиям:

\Фк{<р)\^М0 Уре [а-2-к,а\ V, (0.21)

= (0.22)

к2

где М0 = Мо{а,я) > 0, а Ф^ и А^ — собственные функции и собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Замечание 1. В задаче Штурма-Лиувилля для случая (а) неравенство (0.21) доказано во второй главе диссертации. В случае, когда в особую точку входит более двух линий разрыва коэффициентов, выполнение неравенства (0.21) считается дополнительным предположением.

Замечание 2. В случае, когда особая точка линии разрыва коэффициентов является точкой излома, условие (0.22) выполнено с 5 = 1/4. В случае, когда в особую точку входит более двух линий разрыва коэффициентов, выполнение условия (0.22) считается дополнительным предположением.

В Ьр-оценках явного представления решения и Е Ь£(К2) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) в виде ряда Фурье, определяющую роль играет собственное число А1 = —ц\ с^е (0,1), существование которого гарантировано следующей теоремой.

Теорема 5. При любол1 вещественном ус ф ¿1 и любом заданном а е (0,7г) и (7г,27г) в задаче Штурма-Лиувилля (0.14), (0.15) существует единственное собственное число А1=—[¡I с корнем £ (0,1).

Для получения следующей оценки ряда Фурье (0.17) в норме ¿¿(М2) для случая р > 2 используем неравенство из утверждения теоремы Пэли 13

которое справедливо при 2 < р < 2/(1 — и{). Меняя представление для Я1 на представление вида

г г

о о

'Зигмунд А. Тригонометрические ряды.Т. 2. — М.: Мир, 1998.

и рассуждая по аналогии со случаем 2 < р < 2/(1 — ^i), получим оценку вида (0.23) для показателя^ > 2/(l-/xi). Дляр = 2/(1—/ii) оценки нет и соответствующий контрпример, по-существу, не отличается от контрпримера, построенного в 14. Таким образом, доказана следующая

о

Лемма 1. Пусть выполнено условие (0.22) ир>2,рф 2/(1 £сли F еС°° (R2;R2), то решение и 6 £p(R2) задачи (0-1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) с условием м(0) =0 удовлетворяет неравенству

II U I!

I Т II X.p(R2;R2) рк '

с постоянной С > 0, зависящей только отр, х и корня Hi.

В условиях леммы 1 вывод 1/р-оцепок первых производных опирается на соответствующие оценки для частного случая задачи (0.1), (0.2), когда имеются только две подобласти

= R2 = {х = (жьх2) е R2 : ж2 < 0} а2 = R+ = {х = (хьх2) € R2 : Х2 > 0} ,

т. е. линия разрыва коэффициентов Г = {х е R2 : х2 = 0}, причем матрица А имеет вид

I

А{х) = { I' (0.24)

к ' ' хЕ, хей2,

с вещественным х.

С помощью локализации по полярному углу <р доказывается следующая лемма об априорных оценках первых производных обобщенного решения задачи (0.1), (0.2).

Лемма 2. В предположениях леммы 1 решение и 6 Ьр(К2) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) с условием и(0) = 0 удовлетворяет неравенству

I! и II

с постоянными С\ > 0 и С2 > 0, зависящими только от р, х и корня )1\.

С помощью теоремы 1 и лемм 1, 2 устанавливается справедливость следующей теоремы.

Теорема 6. Пусть 1 <р < оо ирф 2/(1 ±¿¡1). Тогда для любого .Р е ЬР{Ш?;№.2) существует обобщенное решение и € задачи (0.1), (0.2). Это решение единственно с точностью до аддитивной постоянной и удовлетворяет неравенству

с постоянной С > 0, зависящей только от р, х и корня .

Отметим, что единственность в теореме 6 устанавливается сначала для р > 2 с помощью метода Фурье. Вытекающая из лемм 1, 2 оценка теоремы 6 означает замкнутость области значений соответствующего эллиптического оператора при р > 2, р ф 2/(1 — /¿х).

14 Maslennikova V.N.,Dogovskii M.E. On non-closure of range of values of elliptic operator for plane angle 11 J. Ann. Univ. Ferraja. - 1993. - V. XXXIX, № VII. - P. 65-75.

Однозначная разрешимость при р < 2 устанавливается с помощью двойственности, т. с. с помощью теоремы 1.

В главе 3 во всей шкале значений показателя р £ (1,оо) вычисляются размерности ядра и коядра соответствующих эллиптических операторов с разрывными коэффициентами с кусочно-скалярной матрицей, т. е. в предположении, что кусочно-постоянные коэффициенты имеют вид Л|п( = щЕ, г = 1,..., I. Для каждой конечной особой точки с корнем р £ (0,1) строится нетривиальное обобщенное решение однородной задачи (0.1), (0.2) в классе 1^(К2) при 1 < р < 2/(1 + ц). Для бесконечной особой точки с корнем ц £ (0,1) строится нетривиальное обобщенное решение однородной задачи (0.1), (0.2) в классе ¿'(М2) при 2/(1 — у) <р < оо. В случае краевой задачи Дирихле для ограниченной области П, представляющей собой многоугольник, когда имеются как внутренние, так и граничные особые точки, нетривиальное обобщенное решение однородной краевой

о

задачи (0.7), (0.2), соответствующее особой точке с корнем д £ (0,1), в классе (П) строятся только при 1 < р < 2/(1 + (I).

В случае компактных линий разрыва в К2 для простоты ограничимся случаем, когда все особые точки конечные, т. е. некоторая окрестность бесконечности не содержит разрывов коэффициентов. Случай некомпактных (т.е. неограниченных) линий разрыва коэффициентов в К2 осложняется эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек. Точнее, показано, что для задачи (0.1), (0.2) сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе Хр(К2) при 1 < р < 2/(1 + /¿) и потере единственности обобщенного решения в классе Ь1(Ж2) при 2/(1 - ц) < V < оо.

При вычислении размерностей ядра и коядра неизбежно возникает- вопрос о геометрической кратности собственных чисел соответствующих задач Штурма-Лиувилля. Нетрудно убедиться, что геометрическая кратность собственных чисел в рассматриваемых задачах Штурма-Лиувилля пе превосходит алгебраической кратности. Отметим, что в рассматриваемых в диссертации модельных задачах Штурма-Лиувилля геометрическая кратность любого собственного числа равна единице. В общем случае, когда в особую точку входит произвольное конечное число линий разрыва коэффициентов, вопрос о геометрической кратности собственных чисел остается открытым. Теоремы о размерностях ядра и коядра можно сформулировать и для общего случая, когда геометрические кратности каких-либо собственных чисел отличны от единицы, если таковые имеются. Однако, нам пока не удалось построить ни одного примера особой точки с геометрической кратностью собственных чисел, отличной от единицы. Поэтому, формулируя теоремы о размерностях ядра и коядра, мы ограничились особыми точками, для которых все собственные числа А = —р? с /л £ (0,1) имеют геометрическую кратность равную единице.

Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни д £ (0,1). Канадой ;7-ой особой точке соответствует число Л^- корней у, £ (0,1), ] — 1,... ,п с кратностью равной единице. Установлено, что Л/^ ^ 3 при 3 ^ т < 8, т. е. число корней ¡.I £ (0,1), соответствующее одной особой точке не превосходит трех в случае пересе-

п

чепия в особой точке т линий разрыва коэффициентов. Пусть М = ^ Л^, запумеро-

¿=1

вав в возрастающем порядке все различные имеющиеся корпи ¡1 £ (0,1), будем иметь набор {р.к}к1=1 упорядоченных корней ^ < Таким образом, предполагается существование п конечных особых точек, которым соответствует п задач Штурма-Лиувилля, причем различным особым точкам может соответствовать одна и та же задача Штурма-Лиувилля.

Будем говорить, что корень ц^ £ (0,1) имеет кратность рь ^ 1, если он соответствует

различным особым точкам, общее число которых равно Рк- В случае Рк = 1 корень Цк будем называть простым.

Ради удобства записи в следующей теореме расширим набор {йь}^1, формально полагая, что = 1 и 2/(1 — ¿¿мм) = оо. Подчеркнем при этом, что вопрос о фактическом существовании или несуществовании корня р, = 1 не представляет здесь никакого интереса.

Теорема 7. Пусть имеется п конечных особых точек, пусть все щ одного знака, г = 1,..., I, и 1 < р < оо. Тогда

если 2/(1 + Цх) < р < 2/(1 - то сШпЯР(Ь) = сосНт71Р{Ь) = 0;

I

если 2/(1 + /А|+х) < р < 2/(1 4- щ), то <1тМр(Ь) = £ Рь соА\тИр(Ь) = 0;

Ш

I

если 2/(1 - щ) < р < 2/(1 - то А\тМр(Ь) = 0, со(11т7?.р(//) = ^ Рк',

если р = 2/(1 + рг) и р = 2/(1 — 1 ^ £ ^ М, то <1ипМр{Ь) = 0, сойипКр(Ь) = оо;

I

если р = 2/(1 + 1 ^ I ^ М - 1, то 6\тМр(Ь) = Рк, со(ИтИР{Ц — оо.

к=1

Случай, когда среди особых точек есть как конечные, так и бесконечная, значительно сложнее случая, когда все особые точки конечные. Это связано с эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек, причем наличие кратности соответствующих корней рк для конечных особых точек значительно усложняет такой эффект. Чтобы убедиться в наличии эффекта взаимодействия особых точек, достаточно рассмотреть пример с одной копечной и одной бесконечной особыми точками, которым соответствует один и тот же простой корень ц € (0,1). А именно, рассмотрим случай ломаной линии разрыва коэффициентов, состоящей из двух лучей <р = € [0,27т], ] = 1,2, <¿>1 ф <Р\ ~ Ч>2 Ф ±7Г, Н\ = а ф 1, х > 0, хг = 1. В этом случае для всякого Р е /ур(К2;Е2) существует единственное обобщенное решение и е ¿¿(К2) задачи (0.1), (0.2), (0.4) с показателем 1<р<ооир / 2/(1 ± /х).

Сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе Ьр(К2) при 1 < р < 2/(1 + р) и потере единственности обобщенного решения в классе Ьр(К2) при 2/(1 — р) < р < оо. Точнее, справедлива

Теорема 8. Пусть имеется одна бесконечная особая точка, и пусть 1 < р < оо и рф 2/{1±ц). Тогда

ec.au 2/(1 + р) < р < 2/(1 - ц), то <\\тМр(Ь) = сосМт^!,) = 0;

если 2/(1 - ц) < р < оо, то с1пнЛ^,(Ь) = 1, со(1нн71р{Ь) = 0;

если 1 < р < 2/(1 + ц), то сШпЛ^(1<) = 0, сосИтТ^Ь) = 1.

Таким образом, добавление конечной особой точки к имеющейся бесконечной особой точке уменьшает вклад бесконечной особой точки в размерности ядра и коядра. Если все особые точки конечные, то добавление еще одной конечной особой точки увеличивает размерность ядра и коядра (см. теорему 7).

Теперь рассмотрим случай, когда область П представляет собой многоугольник и имеет внутренние особые точки и граничные особые точки, т.е. точки, в которых пересекаются т линий разрыва коэффициентов, угловые точки без разрыва (т.е. вершины многоугольника О с углами а > п), а также угловые точки с разрывами (т.е. вершины многоугольника П с входящими в них линиями разрыва коэффициентов). Отметим, что а = 7г соответствует граничной особой точке в случае, когда точка гладкости дО. является точкой разрыва коэффициентов. Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни ц € (0,1). Каждой ^'-ой особой точке соответствует число

А^ корней и е (0,1), ] = 1,...,п. Общее число М различных корней и € (0,1) может

п

принимать значение от 1 до X) в зависимости от параметров имеющихся особых то-1=1

чек. Занумеровав в возрастающем порядке все различные имеющиеся корпи и е (0,1) (для граничных и внутренних особых точек), в случае М > 1 будем иметь набор {Нк}к*=1 упорядоченных корней Ик < Ик+\- Ради удобства записи в следующей теореме расширим набор {ик}^1, формально полагая, что им+, = 1 и 2/(1 - ¿¿м+1) = оо.

Теорема 9. Пусть "имеется п конечных особых точек (граничные особые точки и внутренние особые точки многоугольника И), 1 < р < сх> и пусть все щ одного знака, г = 1,..., I. Тогда

если 2/(1 + < р < 2/(1 - Цг), то ¿1тЯр(Ь) = со(1ш171р(Ь) = 0;

I

если 2/(1 + Им) <Р < 2/(1 + то сйтЯР{Ь) = £Рк, сойтЯрЩ = О;

к=1

I

если 2/(1 - щ) <р< 2/(1 - Им), то с!ш1 ЯР(Ь) = 0, со&тТг^!,) = £Рк!

к=\

если р = 2/(1 + ир = 2/(1 - щ), 1 < I ^ М, то сНтЯР(Ь) = 0, со(1ип71Р{Ь) = оо;

I

если р = 2/(1 + Им), 1 < ¿ ^ А/ — I, то (1ш1Л/^(£) = X) Рк, сосНт7¿Р(Ь) = оо.

к=1

Публикации по теме диссертации

1. Дудкина А. А.(Матрехина) К Lp-тсории эллиптических краевых задач с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами// Тезисы докладов XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секции математики и информатики. М.: РУДН. -20Ü6. — С. 13.

2. Дудкина А. А.(Матрехипа) К Ьр-теории эллиптических краевых задач с разрывными кусочно-гладкими коэффициентами в областях с кусочно-гладкими границами// Тезисы докладов III Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск. — 2006. — С. 81-82.

3. Дудкина А. А.(Матрсхина) К Ьр-тсории эллиптических краевых задач с кусочно-гладкими линиями разрыва коэффициентов в плоских областях с кусочно-гладкими границами// Тезисы докладов XLIII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секции математики и информатики. М.: РУДН. —

2007.-С. 16.

4. Боговский М. Е., Дудкина А. А.(Матрехина) О размерностях ядра и коядра в плоской эллиптической краевой задаче с кусочно-гладкими линиями разрыва коэффициентов// Сборник тезисов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти И.Г. Петровского. М.: МГУ. — 2007. — С. 45-46.

5. Дудкина А. А. Lp-оценки слабых решений эллиптических краевых задач с гладкими линиями разрыва коэффициентов// Тезисы докладов XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секции математики и информатики. М.: РУДН. - 2008. - С. 3.

6. Дудкина А. А. Lp-оценки слабых решений эллиптических краевых задач с гладкими линиями разрыва коэффициентов// Тезисы докладов V Международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения". М.: РУДН.—

2008.-С. 95.

7. Дудкина А. А. О размерностях ядра и коядра эллиптического оператора с разрывиы-мн коэффициентами// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. М.: РУДН. - 2008. — № 4.— С. 20-29.

8. Дудкина А. А. К Lp-тсории неравномерно эллиптических краевых задач с гладкими линиями разрыва коэффициентов// Тезисы докладов XLV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секции математики и информатики. М.: РУДН. — 2009. — С. 22-23.

9. Дудкина А. А. К Ьр-теории эллиптических операторов с разрывными коэффициентами// ДАН,-2010.-Т.430, № З.-С. 304-307.

Дудкина Анна Александровна

"К Ьр-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами"

Для эллиптического уравнения в К2 в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр. При этом вычисляются размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора во всей шкале значений показателя р € (1, оо).

For elliptic equations in divergence form with discontinuous piecewise constant coefficients, we analyze the questions of uniqueness and existence of generalized solutions to BVP and in the functional class with the first order derivatives in Lp with the right-hand side in the divergence form. We calculate dimKer and dimCoker of the elliptic operator for all values of p G (l,oo) depending on parameters of critical points.

Подписано в печать 11 января 2010 г. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 5

Отпечатано в Центре оперативной полиграфии ООО «Ол Би Принт» Москва, Ленинский пр-т, д.37

Dudkina Anna А.

it'

'То Lp -theory of elliptic BVP with discontinuous coefficients"

Введение

1 Постановки эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами и подходы к их решению

1.1 Краткий обзор Ьр -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами

1.2 Обобщенные постановки в классе с первыми производными из Ьр.

1.3 Ьр-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Ьр - разложения Ходжа

2 Ьр -теория модельных задач

2.1 Преобразование Фурье.

2.2 Задачи Штурма-Лиувилля

2.3 Метод Фурье для модельных задач.

2.4 Локальные Ьр -оценки.

3 Размерности ядра и коядра

3.1 Компактные линии разрыва в К2.

3.2 Эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек в К2.

3.3 Задача Дирихле для ограниченной области

Обобщенные решения линейных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами являются объектом исследования огромного числа работ. В большей части этих работ вопросы существования и единственности решений исследуются в рамках Ьг-теории, т. е. в пространствах Соболева И^. Значительно меньше внимания уделяется вопросам существования и единственности решений в рамках ¿^-теории при р ф 2 даже в случае уравнений второго порядка в дивергентной форме.

В диссертации исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в случае двух переменных. При одинаковой знакоопределенности кусочно-постоянных коэффициентов частный случай р = 2 интереса не представляет, так как теорема существования и единственности обобщенного решения при р — 2 совпадает с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.

В работах Мазьи В.Г., Пламеневского Б.А. [11] и Кондратьева В.А. [7] классы решений являются весовыми, причем случай единичного веса исключается. В работе Мазьи В.Г., Реберга И., Элшнера И., Шмидта Г. [71] вес единичный, но не рассматривается плоский случай. В диссертации рассматриваются классы решений с первыми производными из Ьр без веса во всей шкале значений показателя р Е (1,оо). Работы Аушера П. [26], Ди-Фацио Дж. [50] и Мейерса Н.Г. [72] также касаются класса решений с первыми производными из Ьр без веса для эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме и с дивергентной правой частью. Однако, в отношении рассматриваемых в диссертации задач результаты [26], [50], [72] носят частный характер.

В вышеупомянутых работах не поднимается вопрос о необходимых и достаточных условиях того, что особая точка линий разрыва коэффициентов будет особой точкой решения, как не ставится и вопрос о вкладе особых точек линий разрыва коэффициентов в размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора. А эти вопросы интересны и важны с прикладной точки зрения. Рассматриваемые задачи описывают, в частности, стационарную теплопроводность многокомпонентных твёрдых тел. Например, композитов, когда каждая компонента имеет свой коэффициент теплопроводности, а поверхности разрыва коэффициента теплопроводности не являются гладкими (см. также [63]). Интересно, что даже в случае сколь угодно малой разницы в значениях смежных коэффициентов теплопроводности, негладкости поверхностей разрыва коэффициентов могут порождать особые точки решений, в окрестности которых градиенты решений не ограничены. При этом характер особенностей не исключает принадлежность градиентов решений к Ьр при достаточно больших р.

Работ, посвященных размерностям ядра и коядра эллиптического оператора в дивергентной форме очень мало. Стоит отметить только работы Ильина Е.М. [5, 6], постановка и общий подход в которых, схожи с постановкой и подходом в диссертации. В работе [5] исследуются особенности, возникающие у слабых решений краевых задач для равномерно эллиптического оператора второго порядка с дивергентной главной частью сНу^Угг) в ограниченной области О, С М2 с разрывными коэффициентами. В [5] предполагается, что граница сЮ - кусочно непрерывно дифференцируема и имеет угловые особые точки с ненулевыми углами. При этом гладкие непересекающиеся кривые разбивают на подобласти {^А;}^1 так, что производные решения претерпевают разрывы первого рода на кривых Допускаются пересечения кривых Г^ с сЮ под ненулевыми углами. На линиях разрыва коэффициентов Г^ задаются условия непрерывности решения и его производной по конормали. В [5] рассматривается стандартная обобщенная постановка задачи для класса И/21(^)-Слабое обобщенное решение с односторонней гладкостью класса И7! (^/с), к = 1,., т + 1 называется в [5] сильным решением. Тогда как существование и единственность слабого решения гарантированы теоремой Рисса, сильное решение, единственность которого очевидна, может не существовать. Вопрос о коразмерности области значений эллиптического оператора в для сильных решений сводится к подсчету собственных чисел А = — /х2 с условием 0 < [I < 1 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля.

В работе [6] изучаются схожие с [5] вопросы, но для случая, когда линии разрыва имеют внутренние угловые точки. При этом матрица А в окрестности особых точек не предполагается скалярной. Работа [6] опирается на схему Кондратьева В.А. [7], применимость которой к рассматриваемым задачам в весовых классах установил Совин Я.А. в [20, 21]. Ильиным Е.М. установлено, в частности, что число собственных чисел Л = — ¡л2 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля с условием 0 < ¡1 < 1 для нескалярной матрицы А может быть сколь угодно велико.

В диссертации вопросы существования и единственности решений рассматриваются во всей шкале значений показателя р 6 (1,оо), а в работах [5, 6] только при р = 2. Ильин Е.М. рассматривает класс решений с односторонней гладкостью И^, а в диссертации рассматривается класс решений с первыми производными из Ьр, если область неограничена, или класс 1¥р, если область ограничена.

В диссертации вычисляются размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора во всей шкале значений показателя р(Е(1,оо). Ненулевые размерности ядра и коядра появляются из-за особых точек решений, к которым относятся, например, точки негладкости линий разрыва коэффициентов и точки пересечений гладких линий разрыва коэффициентов с гладкой границей. Необходимым и достаточным условием существования особых точек является наличие в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля собственных чисел А = — /л2 с корнями д 6 (0,1).

Прикладное значение задач, рассматриваемых в диссертации, не ограничивается стационарной теплопроводностью многокомпонентных твердых тел. Другим важным приложением является теория упругости многокомпонентных материалов, в частности, теория равновесия неоднородных многокомпонентных мембран.

Целью работы является:

• Исследование вопросов существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Ьр для эллиптического уравнения в!2в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью.

• Вычисление размерностей ядра и коядра рассматриваемых эллиптических операторов с разрывными коэффициентами в классе решений с первыми производными из Ьр во всей шкале значений показателя р 6 (1, оо).

• Исследование условий существования особых точек решений, которые порождаются негладкостыо линий разрыва коэффициентов, их пересечением между собой и пересечением с границей.

Основные результаты и научная новизна состоят в следующем:

• Установлено существование собственных чисел Л = — ц2 с корнями ¡1 £ (0,1) для модельных задач Штурма-Лиувилля, возникающих при разделении переменных. Существование таких корней ц £ (0,1) строго доказано для случая точки излома линии разрыва коэффициентов и для точек пересечения линии разрыва коэффициентов с гладкой границей и с угловой точкой границы. В общем случае, когда в особой точке пересекается несколько линий разрыва коэффициентов, существование корней fi € (0,1) подтверждается многочисленными примерами, построенными с помощью вычислений на Maple 11;

• Для обобщенных решений модельных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами в классе с первыми производными из Lp дается полное обоснование метода Фурье, с выводом соответствующих Ьр-оценок;

• Устанавливаются априорные Lp-оценки первых производных обобщенных решений эллиптических краевых задач с кусочно-постоянными коэффициентами в случае компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике;

• Вычислены размерности ядра и коядра эллиптического оператора с кусочно-постоянными коэффициентами: для случая компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике во всей шкале значений показателя р Е (1, оо) в зависимости от параметров особых точек. Установлен эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек.

Диссертация носит теоретический характер. Тем не менее, полученные результаты имеют важное прикладное значение в вопросах теплопроводности и упругости многокомпонентных неоднородных материалов. Эти результаты также могут быть использованы и для развития Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами, в частности, для построения примеров и контрпримеров, способствующих развитию и углублению теории Lp-разложений Ходжа[26].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 85 наименований. Диссертация содержит 21 рисунок и 8 таблиц. Общий объем диссертации составляет 176 страниц.

1. Боговский М.Е. Аналитико-численные методы для уравнений Навье-Стокса. - М.: РУДН, 2008.

2. Дудкина A.A. О размерностях ядра и коядра эллиптического оператора с разрывными коэффициентами.// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. М.: РУДН, 2008. № 4. - С. 20-29.

3. Дудкина A.A. К Ьр-теории эллиптических операторов с разрывными коэффициентами// ДАН. 2010. Т. 430, № 3. - С. 310-313.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.Т. 2. — М.: Мир, 1998.

5. Ильин Е.М. Особенности слабых решений эллиптических краевых задач с разрывными старшими коэффициентами.// АН СССР. Записки ЛОМИ. 1973. - Т. 38. - С. 33-45.

6. Ильин Е.М. Особенности слабых решений эллиптических уравнений с разрывными старшими коэффициентами. Угловые точки линий разрыва.// АН СССР. Записки ЛОМИ. 1974. - Т. 47. - С. 166-169.

7. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. // Труды Моск. мат. общ. 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

8. Лизоркин П.И. Обобщенное Лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций.// Труды мат. инст. АН СССР. — 1969. — Т. 105. — С. 89-98.

9. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями.// ДАН СССР. 1973. - Т. 210, № 3. - С. 529-532.

10. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками.// Math. Nachr. 1977. 76. - С. 29-60.

11. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гёльдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптическихкраевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1978. 81. - С. 25-82.

12. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Апроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей.// Сиб. мат. журн. — 1983. — Т. 24, № 5. С. 149-171.

13. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Апроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики. Дифференциальные уравнения с частными производными. — Н.: Наука, 1986. — С. 129-137.

14. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами.// ДАН СССР. — 1959. Т. 124, № 6. - С. 1219-1222.

15. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами.// Известия АН СССР. 1961. - № 25. - С. 3-20.16. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.

16. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1973.

17. Соболев C.JI. Плотность финитных функций в пространстве L™(En).// Сиб. мат. журн. 1963. - Т. 4, № 3. - С. 673-682.

18. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики.// Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1954. - Т. 18, № 1. - С. 3-50.

19. Совин Я.А. Эллиптические граничные задачи для плоских областей с углами и разрывами, выходящими на границу.// ДАН СССР. — 1969. Т. 187, № 5. - С. 995-997.

20. Совин Я. А. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с особенностями на части границы.// Мат. Физ. Респ. межвед. сб. — 1975. Т. 18. - С. 149-152.

21. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.

22. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — М.: Добросвет, 2005.

23. Aronsson G., Talenti G. Estimating the integral of a function in terms of a distribution function of its gradient.// Boll. Un. Mat. Ital. B (5) 18. — 1981. m 3. P. 885-894.

24. Astala K., Faraco D., Szekelyhidi L. Convex integration and the LP theory of elliptic equations.// Max Planck Institute MIS, preprint no. 70. — 2004.

25. Ausher P. On necessary and sufficient conditions for .//-estimates of Riesz transforms associated to elliptic operator on K.n and related estimates.//Memoirs of the AMS. 2007. - V. 186, № 871.

26. Auscher P., Qafsaoui M. Observations on Wl,p estimates for divergence elliptic equations with VMO coefficients.// Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artie. Ric. Mat. (8) 5. 2002. № 2. - P. 487-509.

27. Auscher P., Tchamitchian Ph. Square roots of elliptic second order divergence operators on strongly Lipschitz domains: LP theory.// Math. Ann. 320. 2001. m 3. - P. 577-623.

28. Bonanno G., Marano S.A. Elliptic problems in M.N with discontinuous nonlinearities.// Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 43. — 2000. №- 3. — P. 545-558.

29. Byun S. Elliptic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains.// Trans. Amer. Math. Soc. 357. 2005. № 3. - P. 1025-1046 (electronic).

30. Byun S., Wang L. The conormal derivative problem for elliptic equations with BMO coefficients on Reifenberg flat domains.// Proc. London Math. Soc. (3) 90. 2005. № 1. - P. 245-272.

31. Byun S., Wang L. Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domain //J. Comm. Pure Appl. Math. 2004. — V. LVII. - P. 12831310.

32. Campanato S. Sistemi elliptic in forma divergence. Regolarita all'interno.// Quaderni, Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, 1980.

33. Canale A., Caso L., Transirico M. Second order elliptic equations with discontinuous coefficients in irregular domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 24. 2000. - P. 63-79.

34. Canale A., Longobardi M., Manzo G. Existence and uniqueness results for second order elliptic equations in unbounded domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 18. 1994. - P. 171-187.

35. Canale A., Longobardi M., Manzo G. Second order elliptic equations with discontinuous coefficients in unbounded domains.// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 18. 1994. - P. 41-56.

36. Canale A., Caso L., Transirico M. Bounds for weak solutions of elliptic equations in weighted spaces.// Ricerche Mat. 50. — 2001. № 1. — P. 1934.

37. Caso L., Cavaliere P., Transirico M. On the maximum principle for elliptic operators.// Math. Inequal. Appl. 7. — 2004. № 3. P. 405-418.

38. Caso L., Cavaliere P., Transirico M. Solvability of the Dirichlet problem in W2,p for elliptic equations with discontinuous coefficients in unbounded domains.// Matematiche (Catania) 57. — 2002. № 2. — P. 287-302.

39. Caso L., Transirico M. The Dirichlet problem for second order elliptic equations with singular data.// Acta Math. Hungar. 76. — 1997. № 1-2. — P. 1-16.

40. Cavaliere P., Transirico M., Troisi M. Uniqueness result for elliptic equations in unbounded domains.// Matematiche (Catania) 54. — 1999. № 1. P. 139-146.

41. Caffarelli LA., Peral I. On W1,p estimates for elliptic equations in divergence form.// Comm. Pure Appl. Math. 51. — 1998. № 1. P. 1-21.

42. Cerutti M.C., Escauriaza L., Fabes E.B. Uniqueness in the Dirichlet problem for some elliptic operators with discontinuous coefficients.// Ann. Mat. Pura Appl. (4) 163. 1993. - P. 161-180.

43. Cerutti M.C., Fabes E.B., Manselli P. Uniqueness for elliptic equations with time-independent coefficients.// Progress in elliptic and parabolic partial differential equations, Pitman Res. Notes Math., 350. — 1996. — P. 112-135.

44. Consiglieri L., Muniz M.C. Existence of a solution for a free boundary-problem in the thermoelectrical modelling of an aluminium electrolytic cell.// European J. Appl. Math. 14. 2003. № 2. - P. 201-216.

45. Degond P., Genieys S., Jungel A. A steady-state system in non-equilibrium thermodynamics including thermal and electrical effects.// Math. Methods Appl. Sci. 21. 1998. № 15. - P. 1399-1413.

46. Di Fazio G. Z^-estimates for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients //J. Boll. Un. Mat. Ital.A. — 1996. — V. 10. — P. 409-420.

47. Di Fazio G., Palagachev D.K. Oblique derivative problem for elliptic equations in non-divergence form with VMO coefficients.// Comment. Math. Univ. Carolin. 37. 1996. № 3. - P. 537-556.

48. Di Fazio G. Oblique derivative problem for linear and quasilinear elliptic equations with discontinuous coefficients.// (Italian) Boll. Un. Mat. Ital. A (7) 11. 1997. № 2. - P. 567-577.

49. Di Fazio G., Palagachev D.K., Ragusa M.A. Global Morrey regularity of strong solutions to the Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients.// J. Funct. Anal. 166. — 1999. № 2. — P. 179196.

50. Elschner J., Kaiser H., Rehberg J., Schmidt G. W1,q regularity results for elliptic transmission problem on heterogeneous polyhedra// WIAS,preprint. 2005. - V. 1066.

51. Evans L.C. Partial differential equations.// Graduate Studies in Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI. — 1998. — V. 19.

52. Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Fundamental Principles of Mathematical Sciences., 224. Springer-Verlag, Berlin, 1983. xiii+513 pp.

53. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations.// J. Analyse Math. 4. — 1955/56. — P. 309340.

54. Groger K. A W1,p-estimate for solutions to mixed boundary value problems for second order elliptic differential equations.// Math. Ann. 283. 1989. № 4. - P. 679-687.

55. Hodge W. V.D. The theory and applications of harmonic integrals. Cambridge Univ. Press. 1989.

56. Jensen R.R. Uniformly elliptic PDEs with bounded, measurable coefficients.// J. Fourier Anal. Appl. 2. — 1996. № 3. P. 237-259.

57. Jerison D., Kenig C.E. The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains.// J. Funct. Anal. 130. — 1995. № 1. — P. 161-219.

58. Krylov N. V. Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces.// Graduate Studies in Mathematics, 12. Amer. Math. Soc., Providence, RI. — 1996. xii+164 pp.

59. Li Y., Nirenberg L. Estimates for elliptic systems from composite materials//J.Comm. Pure Appl. Math. — 2003. — V. LVI. P. 892-925.

60. Liskevich V. On C°-semigroups generated by elliptic second order differential expressions on IP-spaces.// Differential Integral Equations 9. 1996. № 4. - P. 811-826.

61. Lorenzi A. On elliptic equations with piecewise constant coefficients.1//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1972. — V. , №. — P. .

62. Lorenzi A. On elliptic equations with piecewise constant coefficients.II//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1972. — V. 26,4. P. 839-870.

63. Marino F. Lp,x regularity for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients //J. Matematiche (Catania). — 2004. — V. 57, № 1. P. 149-165.

64. Maslennikova V.N.,Bogovskii M.E. On non-closure of range of values of elliptic operator for plane angle //J. Ann. Univ. Ferrara. — 1993. — V. XXXIX, № VII. P. 65-75.

65. Maslennikova V.N., Bogovskii M.E. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries //Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1986 (1988). - V. 56. - P. 125-138.

66. Maugeri A., Palagachev D.K., Vitanza C. Oblique derivative problem for uniformly elliptic operators with VMO coefficients and applications.// C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 327. 1998. № 1. - P. 53-58.

67. Maz'ya V., Elschner J., Rehberg J., Schmidt G. Solutions for quasilinear nonsmooth evolution systems in LP / / J. Arch. Ration. Mech. Anal. — 2004. V. 171, № 2. - P. 219-262.

68. Meyers N.G. An Lp-estimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations// J. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1963. — V. 17, № 3. P. 189-206.

69. Nadirashvili N. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic operators.// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 24. 1997. № 3. - P. 537-549.

70. Piccinini L.C., Spagnolo S. Una valutazione della regolarita delle soluzioni di sistemi ellittici variazionali in due variabili.// (Italian) Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 27. 1974. - P. 417-429.

71. Pucci C., Talenti G. Elliptic (second-order) partial differential equations with measurable coefficients and approximating integral equations.// Advances in Math. 19. 1976. № 1. - P. 48-105.

72. Pucci C. Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche.// (Italian) Ann. Mat. Pura Appl. (4) 74. 1966. - P. 15-30.

73. Safonov M. V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with mesuarable coefficients.// SIAM J. Math. Anal. 30. — 1999. № 4. — P. 879-895.

74. Safonov M. V. On a weak uniqueness for some elliptic equations.// Comm. Partial Differential Equations 19. 1994. № 5-6. - P. 943-957.

75. Serrin J. Pathological solutions of elliptic differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 18. 1964. - P. 385-387.

76. Shen Z. Necessary and sufficient condition for the solvability of the LP Dirichlet problem on Lipschitz domain //J. Math. Ann. — 2006. — V. 336. P. 697-725.

77. Simader C.G. On Dirichlet's boundary value problem. An IP-theory based on a generalization of Gàrding's inequality.// Lecture Notes in Mathematics, Vol. 268. Springer-Verlag, Berlin-New York. — 1972. iv+238 pp.

78. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre coefficients discontinus//J. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1965. V. 336, № 15. - P. 189-258.

79. Talenti G. Equazioni lineari ellittiche in due variabili.// (Italian) Matematiche (Catania) 21. 1966. — P. 339-376.

80. Transirico M., Troisi M. Second-order elliptic equations with discontinuous coefficients and of variational type in unbounded open subsets.// (Italian) Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 2. 1988. № 2. - P. 385398.

81. Transirico M., Troisi M. The Dirichlet problem for elliptic equations with discontinuous coefficients.// (Italian) Note Mat. 7. — 1988. № 2. — P. 271309.