К постановке начальной задачи в классической электродинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ск

Кирпичев Сергей Борисович

К ПОСТАНОВКЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

01 04 02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2007

ООЗОТ16ЭО

003071690

Работа выполнена на Физическом факультете Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор П А Поляков

доктор физико-математических наук, профессор А Г Попов

кандидат физико-математических наук доцент М Л Акимов

Институт общей физики им А М Прохорова РАН

Защита состоится "24 "мая_ 2007 в 16_ ч 00_мин

на заседании Диссертационного совета К 501 001 17 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, г Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд СФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им M В Ломоносова

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты

Автореферат разослан " Cuy-€*c~Ç 2007

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

Поляков П А

Общая характеристика работы

Актуальность i емы Исследование релятивистских электродинамических систем, не смотря на солидный возраст классической электродинамики (более 150 лет со дня ее создания), является актуальной задачей современной теоретической физики Этому в немалой степени обязаны дос ш-жения экспериментальной релятивистской силъношчной электроники, высокотемпературной физики плазмы, физики взаимодеис i иия мощных лазерных импульсов с веществом Кроме этого бурное развитие в последние десятилетия компьютерной техники сделало массово доступными ц актуальными методы прямого численного моделирования поведения сложных динамических систем, например, методом крупных частиц Дчя математически строгого анализа динамики мноючастичных систем необходима однозначная, корректная постановка начальной задачи, которая в реля-ишисгском случае осложнена функциональностью уравнений движения, представляющих собою систему дифференциально-разностных уравнений (ДРУ) Именно анализу этого фактора и посвящена данная диссертация

Цель работы Целью работы является теоре1ический анализ особенностей поведения динамики систем заряженных классических частиц и выявление эффектов обусловленных функциональностью силовою взаимодействия Установление минимальных дополнительных начальных условий, позволяющих получагь однозначное решение уравнений движения ре-лятивисткой системы классических заряженных частиц

Научная новизна В качестве наиболее важных новых научных результатов диссертации о i мет им следущее

• Установлено, что для однозначного определения эволюции системы одноименно заряженных частиц, движущихся вдоль прямой, и создаваемого ими электромагнитного поля, в слаборелятивисгском случае достаточно задание в начальный момент времени только фазовых переменных чаешц

• Обнаружено, что при ограниченном одномерном движении day i частиц (связанное состояние) во внешнем удерживающем потенциале, возникают дополнительные "степени свободы" в зависимое ги ог реля-

гивизма В то время, как в задаче рассеяния размерность иросхран-ства начальных данных остается такой же, как и в механике

Научная и практическая значимость Научная и практическая значимость обусловлена прежде всего установлением новых особенностей поведения релятивистских электродинамических систем, важных для понимания, теоретическою анализа и моделирования явлений, происходящих в ряде практически важных устройств релятивистской СВЧ электроники, физики плазмы, астрофизики

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 110 наименований Общий объем текста — 80 машинописных страниц Работа содержит 8 рисунков

Публикации По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах и сборниках и 7 тезисов докладов на конференциях, список которых приведен в конце автореферата

Апробация Результаты диссертации докладывались на IX Всероссийской школе-семинаре по физике микроволн (Звенигород, Московская обл , 2003 г), VIII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах' (Красновидово, Московская обл , 2002 i ), XI и XIV Международных конференциях по спиновой электронике и гировекторной элекхродниамикс (Фирсановка, Московская обл , 2003 г, 2006 г), Международной конференции МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (Москва, 2004 г), Международной конференция FMXS-2005 (South-West University "Neofit Rilski", Blagoevgrad, 2005)

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссерхации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации В первой главе рассмотрен формализм классической теории "действия на расстоянии", применяемый далее из соображений удобства Ма-

тематически корректная формулировка уравнении движения на микроскопическом уровне позволяет оставить в стороне вопрос о самодействии и радиационной отдаче излучателя, столь дискутируемый в литературе по гей день В то же время, сохранив харак!српые нелокальные черты Максвелл-Лоренцевой электродинамики функциональный характер уравнений движения, потенциалы Лиенара-Вихерта

Кроме того, консервативность динамики позволяем рассмотреть в такой теории случай релятивистского движения в ограниченной облдс ти при стационарных внешних условиях постоянном в некоторой ИСО "внешнем поче", со скалярным потенциалом ф(х 1) Физически, это соответствует тому, что движение части заряженных частиц (фона) является заданным

Использована формулировка электродинамики, предложенная Уил-лером и Фейнманом в двухмерном нрос1рапс1ве Минковского с постоянной метрикой это соответствует 01раничению движения па прямую в этектро-динамике с 1ремя пространственными измерениями Уравнения движения

(1)

определяются как экстремали функционала действия1

-^гпа [ т/йа? ([5{{а-Ъ)2)йайЬ (2)

оа<Ь

Напряженности "поля" ие зависят от ускорений заряженных чаешц

р <гл _ еь62 (а, - Ь,)Ь, - (а, - Ь>,

**ла) - ~2--Г"--

bfa \Ь(а — 6)

(3)

(Ь-а)2=0

Рассмотрено движение положигсчьных (е„ > 0) зарядов на неподвижном прошвоположно заряженном фоне (потенциал ф)

Показано, что двухмерный случай допускает существование выделенных систем координат (лучевые координаты, оси направлены по световым лучам) При параметризации мировых линии одной из координат число отклоняющихся аргументов в уравнениях движения может быть заметно

1Мироииь шиш члст:ш обошачаем лчтиискими буквами а Ь Скалярное проитсдеиш и и Ь представляем как аЬ ~ ахЬг = дг]а*Ы, аналогично а2п = (оа)п То «сами обо тачаются производные, по

параметру соответствующей мпротюГ линии

редуцированно взидаодейсхвие вдоль одной из осей становится "мгновенным" Для двух частиц существует также параметризация (лестничная), в которой отклонения аргументов являются постоянными

Во второй главе рассмотрен линейный порядок теории возмущений для некоторых точных решений релятивистской задачи N тел Размерность подпространства ограниченных решений уравнений линейного приближения теории возмущений в классической механике является конечной и не привышаег 2N В этой связи, естественно заинтересоваться oí раиичен-ными решениями и в релятивистском случае Это может послужить кор-рекшой оценкой снизу для числа степеней свободы в релятивистской задаче N тел Действительно, физическим (мыслом обладает решение уравнений движения с конечной кинетической энергией частиц, скоросги должны быть строго меньше световой Это условие накладывает некоторые ограничения и на спектр "допустимых" решений теории возмущений, что, возможно, устраняет большую часть неограниченных решений Однако, любое ограниченное решение в теории возмущений заведомо физично

Исследовано движение N положительных точечных зарядов, на oi-резке длинны L противоположно заряженного неподвижного фона Си-С1ема в целом предполагается квазинейтральной Используем галилеевы координаты системы отсчета, где покоятся заряды фона, а в качестве параметра для мировых линий частиц выберем коодинатное время t = хо

Обозначим через е и т, «кмветственно, средние значения зарядок и масс частиц Удобно ввести среднее расстояние между частицами Д = L/{N +1) и использовать данную величину в качестве масштаба Линейная плотность фона будет и — е/А, а потенциал фона единичной плотное; и, действующий на а-й заряд

4 а(

ф{а\) - 1п

1 - ■

(4)

(N+ I)2

Откуда условие равновесного (ai = 0) состояния системы2

EN eaebcab e„eN<p'{a{)

„ + Аг +1 = ° Ю

Ьу-а

2Сим1)ол с„(, - ььп(а1 - i>i) учитывает упорядоченность зарядов При переходе к лучевой систем«, координат т1 = (т0 ir Xi)/\íl, оп является инвариантом с„ь = srii (и+ - Ь+)

В случае одинаковых частиц, модель характеризуйся единственным безразмерным параметром

2е2

отношением потенциальной энергии соседних зарядов к их массе покоя Представив решение уравнений движения в виде формально! о ряда по степеням отклонения от невозмущенного (S0f — /) решения / + й] + <52/ + + <5"/ + > в фурье-иредставлении 5а\{Ь) —► 5ах ехр(ги^), для спектра линейных возмущений получим

N + 1

1

<5а1 +

(7)

Е14 соз(ш|а! - 61!) +а>|а1 - Ь^вт^^! - Ьг\)

-1-Гп-~ и

Дальнейший анализ проведен в двух предельных ситуациях Для двух частиц, равновесное расстояние между зарядами <1 « 1 385 определяется из кубического уравнения Характеристическое уравнение для (7) своди 1ся к

ш 8 9 4-е?2 1 + со ч(шс1) &ш(и;бО а = 3^(9-^)2 + Ы3 + (Р

При увеличении степени релятивизма, наблюдается появление новых нар собственнх значений (первая бифуркация при а « 7 85) В пределе а —► оо, можно аппроксимировать спектр

Уо + тгп _, . ,

и„ =-— + О(о ), (9)

а

где но > 0 является наименьшим корнем

8сг3 9 +а2 „

-—2 + 1 + сое и0 + «о ЙШ г'0 = 0 (10)

■з (9 — сг)

Число собственных значений растет ос а/{ти1)

Для N >> 1 частиц на отрезке Ь, уравнения равновесия дают практически равномерное распределение и вклад потенциала ф траст рош»

граничного эффект, а период решетки Д является новым независимым параметром задачи

Решение спектрального уравнения (7) ищем в виде стоячих волн схр(гкп), где к е [0 7г] Откуда спектр решетки определится из нелинейного уравнения

2_^ 1 — соэ(пА.) (соз(па>) + ш;8т(пш))

пз

п=\

Аналогично характеристическому уравнению (8) для пары частиц, в релятивистском случае (а —> оо), ветви спектра ып(к) будут определяться нулями правой части (11), число ветвей растет линейно с а Это соответствует линейному росту числа собственных значений (7) но а и N

Третья глава представляет ряд подходов к решению задачи N тел вне рамок теории возмущений Рассмотренные ниже алгоритмы решения можно использовать для численного моделирования

В задаче рассеяния (ф — 0) удобно использовав меюд сжимающих отображений Уравнения движения в лучевой системе координат, при параметризации Ь — х~

где

ь+ (* + еоЬ)

<Ы«) = 2ем

та

Ь+(1) + •

(13)

причем отклонение аргумента 60г,(£) = еаь\Ваь\ определяется как единственное решение функционального уравнения

Ь+ (* + Эаь) = а+(«) (14)

Метод решения состоит в задании пробных мировых линий чааиц, определении <Заь(£) из (13), (14) и решении уравнений движения (12) с заданными начальными условиями (а+(0), а+(0)} При малых кинетических энергиях налетающих частиц, доказана сходимость алгоритма

Для задачи о финитном движнении частиц в удерживающем потенциале ф Ф 0, можно воспользоваться методом редукции дифференциально! о порядка системы уравнений Представив правую часть уравнений движения в виде формального ряда но степеням отклонения аргумента, на первой итерации решение определяется из дарвиновского приближения В последующих итерациях алгоритма определяем производные выше второго порядка из предыдущей итерации

Учитывая, что отклоняющиеся аргументы ос &ир(тах„ |а](<)|, сходимость данного алгоритма удается доказат ь в слаборелятивистском случае Когда мала энергия системы (по нсрелятивистской формуле) заряженных частиц В совокупности с задачей рассеяния, данное утверждение показывает, что выполнен принцип соответствия ньютоновы начальные данные определяют единственное решение уравнений движения при достаточно низких энергиях системы

Для двух частиц, как отмечено в первой главе, существует параметризация, в которой отклонения аргументов становятся постоянными Здесь можно свести задачу к набору зацепляющихся ОДУ (решетка)

-ед„-1 Ф (—2—) ~ еатй-1___еаеьд^1

(15)

кп+1-9,т|2 \Чп~Ч,1+11 ' и алгебраическим уравнениям сшивки

9^+1(0) = 9^(1). 9п+1(0) = ^(1) (16)

В задаче рассеяния и движения частиц в ограниченной облас т, используются различные граничные условия для обрыва цепочки

При рассеянии, движение "частиц" с |п| —> оо является ассимштпиче-ски свободным Что позволяет ограничить индекс п конечным интервалом

Начальные значения (9n(0), g7l(0)} при п ф 0, определякпея из усчовий сшивки (16) размерность пространства начальных данных ((^(О) и <?jf (0)) остается такой же, как и в нерелятивистском случае Отметим, что алгебраические уравнения сшивки мохут иметь конечное число решений относительно начальных данных единственное в нерелятивистской области решение может распадаться при высоких энергиях на несколько ветвей, соответствущих одинаковым параметрам рассеяния

В случае финитного движения выбираются граничные условия Борна-Кармапа и задача сводится к поиску решений типа бегущей волны При слабом отклонении от равновесного распределения (рассмохренного во второй главе), ветви спектра cooiвеiствуют действительным собс шейным значениям уравнения (8)

Выводы

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертации

1 Исследована модель электродинамики Уиллера-Фейнмана в двухмерном пространстве Минковского (движение частиц вдоль прямой) Установлено, что уравнения движения сводятся к системе N ДРУ второго порядка

2 Рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения для равновесного состояния системы N зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона) Показано, что при увеличении плотности системы в спектре появляются новые собственные значения, отвечающие ограниченным решениям

3 Доказано (принцип соответствия), что ньютоновы начальные данные позволяют выделить единственное решение релятивистской задачи рассеяния или задачи о финитном движении частиц при достаточно низких энергиях системы

4 В релятивистском случае, задача о движении двух заряженных частиц во внешнем иоле сведена (лестничная параметризация) к счет-

homy набору зацепляющиеся ОДУ (решетка) и алгебраических сравнений сшивки (механика со связями)

5 В задаче рассеяния можно воспользоваться условием асимптотической свободы для обрыва полученной цепочки ОДУ Это показывает, что размерность задачи остается той же, что и в механике

G При финитном движении, использование граничного условия Бориа-Кармана позволило строго подтвердить вывод о повышении размерности системы и возникновении новых коллективных "степеней свободы", сделанный на основе анализа спектра линейных возмущении

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях

[1] Kirpichev S В , Polyakov Р A On the formulation of initial-value problems for bystems consisting of relativistic particles // Journal of Mathematical Sciences - 2007 -Feb - Vol 141 - Pp 1051-1061

[2] Релятивистские особенности электромагнитного отклика плазменной среды / Ю В Болтасова, С Б Кирничев, П А Поляков, А Е Русаков // Радиотехника и электроника — 2003 — Т 48, ^ б

[3] Кирпичев С В, Поляков П А Постановка начальной задачи для системы релятивистских заряженных частиц // Электромагнитные волны и электронные системы — 2004 — Т 9, № 6

[4j Кирпичев С В, Поляков ПА О постановке начальной задачи для системы релятивистских частиц // Фундаментальная и прикладная математика — 2005 — Т 11, № 1 — С 211-226

[5] Кирпичев С Б , Поляков О П , Поляков П А Ленгмюровские вотны в тонкой плазменной нити // Труды X Всероссийской школы-семипара "Волновые явления в неоднородных средах" — M Физический факультет МГУ, 2006 — Рр 30-32

[6] Кирпиче в С Б, Поляков П А Возмущения точного решения проблемы п тел в классической релятивистской электродинамике //

Сборник статей по материалам XIV Международной конференции по спиновой электронике и гироьекторной э юктродинамико — М Изд-во МЭИ, 2006 - Рр 173—175

[7j Can electrodynamic system have a finite nurabei of degrees of freedom / S В Kirpichev, P Polyakov, I Giudjenov, M Tasev // Mathematics and natural sciences Proceedings of the international scientific conference 811 06 2005 South-West University "Neofit Rilsky" — Vol 1 — Blagocv-grad 2005 - Pp 297-305

[8] Неволновые особенности релятивистской магнитоактивной пламы / Н Е Ким, С Б Кирпичев, П А Поляков, А Е Русаков /7 Международная конференция МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" Сборник трудов — М РОХОС, 2001 — Nov - С 55-60

[9] Релятивистские особенности электромагнитного отклика плазменной среды / Ю В Болтасова, С Б Кирпичев, П А Поляков, А Е Русаков // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах" — М Физический факультет МГУ, 2002

[10] Кирпичев С Б, Поляков П А Самосогласованная постановка начальной задачи в теории релятивистской плазмы / / XI Международная конференция по спиновой электронике и 1 ировекторной электродинамике 19-21 декабря 2003 Москва (Фирсановка) Россия Сб трудов — М 2003 — Рр 362-379

[11) Кирпичев С Б , Поляков ПА О постановке начальной задачи системы релятивистских заряженных частиц // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн " — М Изд-во физического факультета МГУ, 2003 — Р 55

Подписано к печати Тнраж Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

2 Электродинамика Уилера-Фейнмана

2.1 Мотивация

2.2 Уравнения движения.

2.2.1 Двухмерная модель

2.3 Лучевые координаты.

2.4 Параметризация.

3 Возмущения точного решения

3.1 Одномерный атом Томпсона

3.1.1 Два заряда.

3.1.2 Решетка.

3.2 Задача рассеяния.

4 Непертурбативные алгоритмы

4.1 Метод сжимающих отображений.

4.1.1 Оценки скоростей.

4.1.2 Регуляризованное отображение.

4.1.3 Сходимость.

4.2 Редукция дифференциального порядка.

4.3 Лестничная параметризация.

4.3.1 Рассеяние.

4.3.2 Связанное состояние.

В области классической электродинамики [1, 2] зародилась одна из фундаментальных концепций современной науки: представление о поле как необходимой [1, §15] составляющей описания взаимодействий. Тем не менее, прямое следование теоретическому аппарату электродинамики зачастую приводит к логическим противоречиям. В качестве примера можно привести проблему расчета самодействия для точечной частицы. И в этом смысле классическая (неквантовая) электродинамика резко отличается от, например, ньютоновой механики. Проблемы имеют свое преломление и в квантовой области, поэтому представляет интерес анализ трудностей с позиции классической физики.

Данная работа посвящена менее известному вопросу классической теории: формулировке начальной задачи для системы точечных заряженных частиц с током1 и электромагнитного ноля. Традиционно к этой проблеме подходят с точки зрения теории уравнений в частных производных, например [3, 4]. Значения электромагнитного поля в начальный момент времени2 (t = 0)

Мировые линии частиц записываются латинскими буквами а, Ь. Ограничимся случаем постоянной метрики в М?: ab = а^Ы1 = g^a^b", аналогично: а2п = (аа)п. Точками обозначаются производные по параметру.

2Во введении предполагается, что метрика — diag(+, —, —, —) и траектории параметризованы координатным временем t — xq. l.i) рассматриваются как ?1езависимые данные, необходимые для определения поведения системы в будущем. Действительно, для построения решения уравнений поля в неограниченном пространстве можно воспользоваться интегральной формулой Кирхгоффа [5, сс. 417-418]. Вклад векторного потенциала поля, сгенерированного частицами приводит к появлению в уравнениях движения заряженных частиц интегральных операторов типа Вольтерра и фиксация обычных ньютоновых начальных данных достаточна для единственности решения.

Данная постановка задачи имеет ряд вариаций и в любой из них система в целом трактуется как бесконечномерная. Например, поле может быть разложено на гармонические составляющие, осцилляторы, и место уравнений в частных производных заменит счетный набор зацепляющихся ОДУ. Можно заметить здесь, что часть расходимостей квантовой электродинамики (бесконечная энергия вакуума) возникает как раз в этой парадигме [6, §3], [7, гл. 9 §3].

Рассмотренный подход, к сожалению, не свободен от принципиальных трудностей. Дело в том, что при решении конкретных задач поле исследуемой системы физически представлет собою суперпозицию как полей внешних источников (излучателей, на которые сама система зарядов оказывает пренебрежимо малое влияние) так и созданных зарядами

1.2) ni(0), сц(0) }

1.3) системы в прошлом, при t < 0. Поля, сгенерированные самой системой (в том числе, в ходе отклика на действие внешних нолей), не являются произвольными. Нельзя утверждать, что движение заряженных частиц в соответствии с физическими законами и иод действием известных внешних нолей (и иных сторонних сил) позволит получить произвольное, наперед заданное электромагнитное иоле к интересующему нас моменту времени.

Например, поле зарядов имеет сингулярности вдоль их мировых линий. Для нерелятивистской системы, «разогреваемой» начальный момент времени мощным электромагнитным импульсом, с достаточной степенью точности можно использовать кулоново иоле. Оно не произвольно и зависит от начального распределения частиц. Таким образом, задание значений поля как независимых данных не отражает адекватно размерность задачи, реальное число степеней свободы системы.

Исходя из физической постановки задачи, правильнее задавать падающее на систему внешнее излучение [1, §62]. Поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой можно получить, устремляя в (1.2) начальный момент времени в —со. Это приводит к известным выражениям для запаздывающих потенциалов Лиенара—Ви-херта

Остальные слагаемые в выражении для потенциалов поля зависят только от заданного внешнего излучения и эта часть аналогична внешней силе в ньютоновой механике.

1.4) еаеь = +1

Рис. 1.1. Задача о лобовом столкновении двух заряженных частиц в релятивистской электродинамике.

В более общем случае, постановка задачи может допускать добавление полей зарядов, движущихся заданным образом внутри системы. Например, электрическое ноле статического распределения зарядов. Но так или иначе, само понятие электромагнитного поля в данном подходе играет вспомогательную роль: в уравнениях движения заряженных частиц взаимодействие описывается полностью в терминах их мировых линий.

Законно спросить, имеет ли электродинамическая система дополнительные степени свободы [8, 9] (но сравнению с ньютоновой механикой), если учесть проведенную выше декомпозицию поля на внешнее и самосогласованное, зависящее от истории движения зарядов? Это основной вопрос, поставленный в данной работе. Нетривиальность его связана с тем, что уравнения движения являются функционально-дифференциальными [10, 11, 12, 13, 14] (ФДУ). В изучаемой здесь модели это ФДУ точечного типа, называемые также иногда дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями (ДРУ).

ДРУ, описывающие процессы с последействием, появились в литературе еще в XVIII веке, в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако их активное изучение началось только в 50-х годах XX века, в рамках развития теории автоматического регулирования [15, 16], когда выяснилось, что для описания практических систем необходимо привлекать такой параметр, как время реакции. До этого периода, не существовало даже четкой постановки начальной задачи [10]. ДРУ получили распространение в иммунологии, химии, электронике [17, 18]. В основном использовались модели с постоянным запаздыванием, как наиболее изученные.

Хотя можно предложить ряд контрпримеров (приложение А), демонстрирующих возможность выделения решения конечномерным набором начальных данных, в теории ДРУ единственность обычно обеспечивается заданием поведения неизвестных функций на некотором отрезке изменения независимой переменной, «времени» [14]. Такие начальные данные представляют собою точку в фазовом пространстве системы [16], являющемся, таким образом, функциональным пространством.

Для релятивистской электродинамики подобная «траекторная» постановка начальной задачи была впервые применена в работах Драйвера, Норриса и Тревиса [19, 20]. В частности, для классической задачи о лобовом столкновении двух одноименно заряженных частиц, известной как задача Синга [21], Рис. 1.1. Для определения движения в будущем, достаточно задать ограниченные фрагменты мировых линий, в качестве начальных данных (Рис. 1.2). В ряде работ но численному моделированию [22, 23, 24, 25, 26, 27] использовались различные варианты этого подхода, например, «разрывные» начальные условия: частицы удержи

Рис. 1.2. Постановка начальной задачи для пары частиц а и b с использованием выделенных частей мировых линий в качестве начальных данных; граничные точки соединены светоиодобными интервалами (нунктир). ваются в покое до момента t = 0, в который их «отпускают» с некоторыми «затравочными» (возможно, нулевыми) значеними импульсов. Также, Уилером и Фейнманом утверждалось [28] (без доказательства), что спецификация некоторых отрезков мировых линий частиц будет представлять «естественные» начальные данные в теории, включающей опережающие и запаздывающие потенциалы. Вариантом рассматриваемого подхода является задачние нолей в начальный момент времени на некоторой поверхности, наряду с ньютоновскими начальными данными (1.3), рассмотренное в модельной задаче со скалярным нолем Айхельбургом и Гроссом [29].

Наряду с этим, в задаче Синга была продемонстрирована [30,31, 32, 8, 33, 34, 35, 24, 23, 36] достаточность обычных «ньютоновых» начальных данных Коши для выделения единственного решения, как и в нерелятивистском случае. Более того, неоднократно утверждалось [21, 37, 38], что (1.3) являются достаточным набором начальных данных для задач релятивистской механики.

Аналогичная проблема выбора подходящих начальных данных возникает и в электродинамике Уилера—Фейнмана [39, 28, 40, 41, 42, 43, 44, 41, 45], когда заряды взаимодействуют полусуммой опережающих и запаздывающих потенциалов. Теорема существования и единственности решения для задачи о симметричном лобовом столкновении двух одинаковых (та = ть = т) частиц была доказана Драйвером [46] при кинетических энергиях е Z 10~3т в системе центра масс. Недавние результаты численного моделирования, проведенные Никитиным с соавторами

47, 48, 9], демонстрируют бифуркации (распад на три ветви) единственного в нерелятивистской области решения при е ~ 3.7т и выше.

Далее в качестве математической модели будет использоваться именно двухмерная (ограничение движения на прямую) формулировка электродинамики Уилера—Фейнмана [39, 28, 49, 49, 44]. Выбор обусловлен, в первую очередь, трудностями обычной Максвелл—Лоренце-вой электродинамики в областии учета самодействия. Консервативность динамики в этой модели также позволяет проанализировать примеры движения частиц с релятивистскими энергиями в ограниченной области. Соответствующая задача в обычной электродинамике потребовала бы нестационарных внешних условий: накачки системы энергией, для компенсации радиационных потерь. В первой главе приведена подробная формулировка теории и обсуждаются ее физические аспекты.

В главе 3 рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения равновесного состояния системы N зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона). Показано, что при увеличении плотности системы в спектре собственных значений линейной теории возмущений появляются новые моды, отвечающие ограниченным решениям. В контрасте с этим, проведено также доказательство единственности ограниченного решения в линейной теории возмущений для задачи о лобовом столкновении частиц.

Последняя глава посвящена непертурбативным методам решения задачи iV-тел. Принцип сжимающих отображений [50, гл. II §4] использован при доказательстве теоремы существования и единственности решения в разделе 4.1 для задачи тина рассеяния с достаточно низкими энергиями налетающих частиц. Редукция дифференциального порядка системы в разделе 4.2 позволяет расширить этот результат на случай движения зарядов в ограниченной области для слабого релятивизма. Использование лестничной параметризации [47] в разделе 4.3 позволяет свести задачу о финитном движении двух тел к счетному набору зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений (решетка) и набору алгебраических уравнений сшивки (механика со связями). Для эффективного обрыва цепочки уравнений можно использовать граничное условие Борна—Кармана. Анализ возмущений точного решения задачи двух тел в этом случае позволяет строго подтвердить вывод главы 3 о повышении размерности системы, возникновении новых коллективных «степеней свободы».

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Классическая теория ноля. — 7 изд. — М.: Наука, 1988.-512 с.

2. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.— М.: УРСС, 1999.-336 с.

3. Pritchet P. L. Particle-in-cell simulation of plasmas — a tutorial // Space Plasma Simulation / Ed. by J. Biicher, С. T. Dum, M. Scholer.— Berlin: Springer-Verlag, 2003. — Lecture Notes in Physics. — 372 pp.

4. Хокни P., Иствуд Д. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. / Под ред. Р. Сагдеев, В. Шевченко. — М.: Мир, 1987. — 640 с.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 5 изд. — Москва: Наука, 1977. — 735 с.

6. Берестецкий В. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — 3 изд. — М.: Наука, 1989. — 728 с.

7. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы но траекториям. М.: Мир, 1968. - 380 с.

8. Zhdanov V. I. Heredity and the degrees of freedom in the relativistictwo-body problem // Physics Letters A. — 1991. —Dec. — Vol. 160.— Pp. 401-405.

9. Klimenko S., Nikitin I., Urazmetov W. Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Computer Physics Communications. — 2000. — Apr. — Vol. 126. Pp. 82-87.

10. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — 2 изд. — М.: Наука, 1972. — 352 с.

11. Элъсголъц Л., Норкин С. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.— М.: Наука, 1971.— 296 с.

12. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.- 548 с.

13. Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход.— М.: Факториал Пресс, 2007.-С. 288.

14. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984.-421 с.

15. Янушевский Р. Управление объектами с запаздыванием. — М.: Наука, 1978. 416 с.

16. Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.

17. Белых JI., Асаченков А. Моделирование инфекционных заболеваний // Вычислительные процессы и системы. — М.: Наука, 1985.— Т. 3.

18. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. - 288 с.

19. Driver R. D., Norris М. J. Note on uniqueness for a one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics // Annals of Physics. — 1967. Apr. - Vol. 42. - Pp. 347-351.

20. Travis S. P. A one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1975. — Vol. 28, no. 3.-Pp. 611-632.

21. Synge J. L. On the electromagnetic two-bodies problem // Proc. R. Soc.(London). 1941. - Vol. A177. - Pp. 118-199.

22. Kasher J. C., Schwebel S. L. Two-body problem in classical relativistic electrodynamics, i. unlike charges // Phys. Rev. D.— 1971. —Nov.— Vol. 4, no. 10.- Pp. 2956-2962.

23. Kasher J. C. Taylor-series method for two-body problems in classical electrodynamics: One-dimensional repulsive motion with retarded fields and no radiation reaction // Phys. Rev. D.— 1975. —Sep. — Vol. 12, no. 6.-Pp. 1729-1732.

24. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Straight-line motion with retarded fields and no radiation reaction /J. Huschilt, W. E. Baylis, D. Leiter, G. Szamosi // Phys. Rev. D.— 1973. May. - Vol. 7, no. 10. - Pp. 2844-2850.

25. Ильин А. С., Кулагин В. В., Черепенин В. А. О возможности лазерного ускорения плоского слоя электронов // Журнал радиоэлектроники. — 2000. — № 9.

26. Ильин А. С., Кулагин В. В., Черепенин В. А. Модель электронных листов: классические и неклассические радиационные эффекты. // Журнал радиоэлектроники. — 1999.— Р 1.

27. Взаимодействие мощной электромагнитной волны с тонким плазменным слоем / С. JI. Зиглин, А. С. Ильин, В. В. Кулагин, В. А. Черепенин // Журнал радиоэлектроники. — 2000. — № 8.

28. Wheeler J. A., Feynman R. P. Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action // Rev. Mod. Phys. — 1949.— Jul. — Vol. 21, no. 3.-Pp. 425-433.

29. Aichelburg P. C., Grosse H. Exactly soluble system of relativistic two-body interaction // Phys. Rev. D.— 1977.— Sep. — Vol. 16, no. 6.— Pp. 1900-1911.

30. Driver R. D. A «backward» two-body problem of classical relativistic electrodynamics // Phys. Rev. — 1969. — Feb. — Vol. 178, no. 5. — Pp. 2051-2057.

31. Hsing D.-p. K. Existence and uniqueness theorem for the onedimensional backwards two-body problem of electrodynamics // Phys. Rev. D. 1977. - Aug. - Vol. 16, no. 4. - Pp. 974-982.

32. Zhdanov V. I. Convergence of iteration method in the relativistic two-body problem, taking into account the retardation of interactions // Journal of Physics A: Mathematical and General — 1991.— Vol. 24, no. 21.-Pp. 5011-5027.

33. Zhdanov V. I. Relativistic two-body problem: Existence and uniqueness of two-sided solutions to functional-differential equations of motion // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 1996. — Sep. — Vol. 3. — Pp. 379-384.

34. Huschilt J., Baylis W. E. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Head-on collisions with retarded fields and radiation reaction, i. repulsive case // Phys. Rev. D. — 1976. — Jun. — Vol. 13, no. 12.-Pp. 3256-3261.

35. Baylis W. E., Huschilt J. Numerical solutions to two-body problems in classical electrodynamics: Head-on collisions with retarded fields and radiation reaction, ii. attractive case // Phys. Rev. D. — 1976. — Jun. — Vol. 13, no. 12.- Pp. 3262-3268.

36. Travis S. P. Existence theorem for a backwards two-body problem of electrodynamics // Phys. Rev. D.— 1975, —Jan. — Vol. 11, no. 2.— Pp. 292-299.

37. Van Dam H., Wigner E. P. Instantaneous and asymptotic conservationlaws for classical relativistic mechanics of interacting point particles // Phys. Rev. 1966. - Feb. - Vol. 142, no. 4. - Pp. 838-843.

38. Van Dam H., Wigner E. P. Classical relativistic mechanics of interacting point particles // Phys. Rev. — 1965. — Jun.— Vol. 138, no. 6B.— Pp. B1576-B1582.

39. Wheeler J. A., Feynman R. P. Interaction with the absorber as the mechanism of radiation // Rev. Mod. Phys. — 1945. — Apr. — Vol. 17, no. 2-3.-Pp. 157-181.

40. Feynman R. P. A relativistic cut-off for classical electrodynamics // Phys. Rev.- 1948.-Oct. Vol. 74, no. 8.- Pp. 939-946.

41. Buksman Hollander E., De Luca J. Two-degree-of-freedom hamiltonian for the time-symmetric two-body problem of the relativistic action-at-a-distance electrodynamics // Phys. Rev. Е,— 2003. —Feb. — Vol. 67, no. 2.-P. 026219.

42. Andersen С. M., von Baeyer H. C. Solutions of the two-body problem in classical action-at-a-distance electrodynamics: Straight-line motion // Phys. Rev. D. 1972. - May. - Vol. 5, no. 10. - Pp. 2470-2476.

43. Hoag J. T., Driver R. D. A delayed-advanced model for the electrodynamics two-body problem // Nonlinear Analysis. — 1990. — Vol. 15. — Pp. 165-184.

44. Hoyle F., Narlikar J. V. Cosmology and action-at-a-distance electrodynamics // Rev. Mod. Phys. 1995. - Jan. - Vol. 67, no. 1. - Pp. 113155.

45. Luca J. D. Covariant hamiltonian for the electromagnetic two-body problem // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2005. - Vol. 15, no. 3. - P. 033107.

46. Driver R. D. Can the future influence the present? // Phys. Rev. D. — 1979. Feb. - Vol. 19, no. 4. - Pp. 1098-1107.

47. Nikitin I. N. Hamiltonian formulation of two-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Nuovo Cim.— 1995.— Vol. В110.— Pp. 771-792.

48. Klimenko S. V., Nikitin I. N., Urazmetov W. F. On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in wheeler-feynman electrodynamics // Nuovo Cim.- 1998.-Vol. Alll.- Pp. 1281-1292.

49. Pegg D. T. Absorber theory of radiation // Reports on Progress in Physics. 1975. - Vol. 38, no. 12. - Pp. 1339-1383.

50. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4 изд. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

51. Kerner Е. Н. Electromagnetism and gravitation: an action-at-a-distance confluence // Phys. Rev. — 1962. — Mar. — Vol. 125, no. 6. — Pp. 2184-2188.

52. Ramond P. Action- at- a distance theories and dual models // Phys. Rev. D. - 1973. - Jan. - Vol. 7, no. 2. - Pp. 449-458.

53. Schwebel S. L. Advanced and retarded solutions in field theory // International Journal of Theoretical Physics. — 1970. — Oct. — Vol. 3. — Pp. 347-353.

54. Желтухин А., Тугай В. Суперсимметрия и принцип действия на расстоянии // Письма в ЖЭТФ.- 1993.- по. 4.- Pp. 246-250.

55. Желтухин А., Тугай В. Супермультиплет Максвелла в подходе Уилера-Фейнмана // Письма в ЖЭТФ. 1994. - по. 5. - Pp. 305310.

56. Kalb М., Ramond P. Classical direct interstring action // Phys. Rev. D. 1974. - Apr. - Vol. 9, no. 8. - Pp. 2273-2284.

57. Клепиков H. П. Силы торможения излучением и излучение заряженных частиц // УФН. 1985. - Т. 146, № 2. - С. 317-337.

58. Dirac P. А. М. Classical theory of radiating electrons // Proc. R. Soc. (London). 1938. - Vol. A167. - Pp. 148-168.

59. Feynman R. P. Relativistic cut-off for quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1948. - Nov. - Vol. 74, no. 10. - Pp. 1430-1438.

60. Feynman R. P. The theory of positrons // Phys. Rev. — 1949. — Sep. — Vol. 76, no. 6.-Pp. 749-759.

61. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - Apr. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 367387.

62. Feynman R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1949. - Sep. - Vol. 76, no. 6. - Pp. 769-789.

63. Feynman R. P. Mathematical formulation of the quantum theory of electromagnetic interaction // Phys. Rev.— 1950.— Nov. — Vol. 80, no. 3.-Pp. 440-457.

64. Cramer J. G. Generalized absorber theory and the einstein-podolsky-rosen paradox // Phys. Rev. D. 1980. - Jul. - Vol. 22, no. 2. -Pp. 362-376.

65. Cramer J. G. The transactional interpretation of quantum mechanics // Rev. Mod. Phys.- 1986. -Jul. -Vol. 58, no. 3.-Pp. 647-687.

66. De Luca J. Simple dynamical system with discrete bound states // Phys. Rev. E- 2000. Aug. - Vol. 62, no. 2. - Pp. 2060-2067.

67. De Luca J. Electrodynamics of helium with retardation and self-interaction effects // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Jan. — Vol. 80, no. 4. — Pp. 680-683.

68. De Luca J. Stiff stability of the hydrogen atom in dissipative fokkerelectrodynamics // Phys. Rev. E.— 2005. —May. — Vol. 71, no. 5.— P. 056210.

69. Кирпичев С. БПоляков П. А. О постановке начальной задачи системы релятивистских заряженных частиц // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн.».— М.: Изд-во физического факультета МГУ, 2003. — С. 55.

70. Кирпичев С. Б., Поляков П. А. Постановка начальной задачи для системы релятивистских заряженных частиц // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2004. — Т. 9, № 6.

71. Schild A. Electromagnetic two-body problem // Phys. Rev. — 1963. — Sep. — Vol. 131, no. 6.- Pp. 2762-2766.

72. Andersen С. M., von Baeyer H. C. Almost circular orbits in classical action-at-a-distance electrodynamics // Phys. Rev. D. — 1972. — Feb. — Vol. 5, no. 4.-Pp. 802-813.

73. Nikitin I. N., De Luca J. Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. 2001. - Vol. C12. - Pp. 739-750.

74. Nigam В. P. Hamiltonian formulation of action at a distance in electrodynamics // Phys. Rev. 1966. - May. - Vol. 145, no. 4. - Pp. 10261034.

75. Николов П. H., Тодоров И. Т. Пространственно-временное описание движения и гамильтонов подход к динамике релятивистских частиц // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1983. — Т. 14, № 5.

76. Currie D. G., Jordan Т. F., Sudarshan Е. С. G. Relativistic invariance and hamiltonian theories of interacting particles // Rev. Mod. Phys. — 1963.-Apr. Vol. 35, no. 2. - Pp. 350-375.

77. Havas P. The classical equations of motion of point particles, i // Phys. Rev. 1952. - Jul. - Vol. 87, no. 2. - Pp. 309-318.

78. Havas P. The classical equations of motion of point particles, ii // Phys. Rev. 1953. - Aug. - Vol. 91, no. 4. - P. 997.

79. Beil R. G. Alternate formulations of classical electrodynamics // Phys. Rev. D. 1975. - Oct. - Vol. 12, no. 8. - Pp. 2266-2268.

80. Rohrlich F. Time reversal invariance and the arrow of time in classical electrodynamics If Phys. Rev. E.— 2005. —Nov. — Vol. 72, no. 5.— P. 057601.

81. Villecco R. A. Instantaneous action-at-a-distance representation of field theories // Phys. Rev. E.- 1993.-Nov. Vol. 48, no. 5.- Pp. 40084026.

82. Dettman J. W., Schild A. Conservation theorems in modified electrodynamics // Phys. Rev. 1954. - Aug. - Vol. 95, no. 4. - Pp. 1057-1060.

83. Schild A. A new modification of classical electromagnetic theory // Phys. to. 1953.-Nov. - Vol. 92, no. 4.- Pp. 1009-1014.

84. Boyer Т. H. Retarded van der waals forces at all distances derived from classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. A. 1973. - Jun. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 18321840.

85. Boyer Т. H. Temperature dependence of van der waals forces in classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. A. — 1975. — May. — Vol. 11, no. 5.-Pp. 1650-1663.

86. Boyer Т. H. Random electrodynamics: The theory of classical electrodynamics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. D. 1975. - Feb. - Vol. 11, no. 4. - Pp. 790-808.

87. Boyer Т. H. General connection between random electrodynamics and quantum electrodynamics for free electromagnetic fields and for dipole oscillator systems // Phys. Rev. D.— 1975.— Feb. — Vol. 11, no. 4.— Pp. 809-830.

88. Boyer Т. H. Derivation of the blackbody radiation spectrum from the equivalence principle in classical physics with classical electromagnetic zero-point radiation // Phys. Rev. D. — 1984. — Mar. — Vol. 29, no. 6. — Pp. 1096-1098.

89. Puthoff H. E. Source of vacuum electromagnetic zero-point energy // Phys. Rev. A. 1989. - Nov. - Vol. 40, no. 9. - Pp. 4857-4862.

90. Staruszkiewicz A. An example of a consistent relativistic mechanics of point particles // Annalen der Physik.— 1970.— Vol. 25, no. 4,— Pp. 362-367.

91. Stephas P. One-dimensional motion for classical relativistic two-body systems in time-asymmetric lorentz scalar potentials // Phys. Rev. D. — 1985. Jan. - Vol. 31, no. 2. - Pp. 319-324.

92. Bruhns B. Time-asymmetric two-body problem in special relativity // Phys. Rev. D.— 1973.-Oct. Vol. 8, no. 8.- Pp. 2370-2376.

93. Darwin C. G. Dynamical motions of charged particles // Phil. Mag. — 1920.-Vol. 39.

94. Кирпичев С. БПоляков О. П., Поляков П. А. Ленгмюровские волны в тонкой плазменной нити // Труды X Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». — М.: Физический факультет МГУ, 2006. С. 30-32.

95. Силин В. П., Урсов В. Н. Об окончании спектра ленгмюровских волн ультрарелятивистской плазмы // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1982. - № 1. - С. 34-40.

96. Поляков П. А. Новый вид колебаний релятивистской плазмы // ЖЭТФ.- 1983.- Т. 85, № 11,- С. 1585-1590.

97. Кирпичёв С. Б., Поляков П. А. О постановке начальной задачи для системы релятивистских частиц // Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. И, № 1. — С. 211-226.

98. Kirpichev S. В., Polyakov P. A. On the formulation of initial-value problems for systems consisting of relativistic particles // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - Feb. - Vol. 141.-Pp. 1051-1061.

99. Кролл H., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. — M.: Мир, 1975.

100. Болтасова Ю. В., Поляков П. А., Русаков А. Е. Релятивистское вырождение гибридного резонанса магнитоактивной плазмы // Известия РАН. Серия Физическая. 2001.- Т. 65, 12,- С. 17231726.

101. Релятивистские особенности электромагнитного отклика плазменной среды / Ю. В. Болтасова, С. Б. Кирпичев, П. А. Поляков, А. Е. Русаков // Радиотехника и электроника.— 2003.— Т. 48, № 6.