Методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и их применение к задачам нелинейной электродинамики вакуума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ВШИВЦЕВА ПОЛИНА АЛЕКСАНДРОВНА

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ВАКУУМА

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00345В175

Москва - 2008 г.

003456175

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" факультета "Прикладная математика, механика и информатика" ГОУ ВПО "МАТИ" — Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Денисов Виктор Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Боголюбов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится "23"декабря 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики, по адресу: 109028, Москва, Б.Трех-святительский пер., д.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан " [ 5 " ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 212.133.07, кандидат физико-математических наук,

доцент 1и ' П.В. Шнурков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Недавние эксперименты, выполненные в Стэн-форде, показали, что электродинамика в вакууме является нелинейной.

В нелинейной электродинамике вакуума для описания электродинамических процессов используется система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, общие методы решения которых в настоящее время отсутствуют. Поэтому актуальной задачей математической физики является разработка различных частных методов интегрирования этой системы уравнений, позволяющих исследовать хотя бы отдельные нелинейно-электродинамические процессы. Именно несколько таких методов разработано, обосновано и применено к решению конкретных задач в настоящей диссертации.

Цель работы. Основной целью разработка частных методов, позволяющих решать задачи нелинейной электродинамики вакуума. Важной задачей диссертации является доказательство теорем и применение разработанных для этого частных методов для исследования новых эффектов нелинейной электродинамики вакуума.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: доказаны теоремы о тензорном соотношении в произвольном Ы-мерном псевдоримановом пространстве-времени; о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени; об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума; об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума. Доказана теорема о коэфициенте нелинейно-электродинамичекого линзи-рования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема. Впервые разработаны методы решения и решены задачи нелинейно-электродинамического удвоения частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле; задачи о нелинейно-электродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационных и магнитных

дипольных полях при произвольной ориентации магнитного момента; нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя;о нелинейно-электродинамическом линзирова-нии электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Проведенное в диссертации исследование показало, что доказанные теоремы и построенные на их основе частные методы интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума, могут быть применены для решения широкого круга задач о распространении электромагнитных волн во внешних электромагнитных полях, происходящего по законам нелинейной электродинамики вакуума. Как следует из приведенных в диссертации оценок, некоторые из предсказанных нами нелинейно-электромагнитных эффектов, происходящих в сильных полях пульсаров и магнетаров, достигают измеримых величин. Поэтому развитый в настоящей диссертации математический аппарат найдет применение при разработке и планировании физических экспериментов по исследованию основных закономерностей нелинейной электродинамики вакуума.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на четырех международных научных конференциях: «Ломоносов-2003» ( 2003, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова), «Ломоносов-2008» ( 2008, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова), а также на международных конференциях «XXXI Гагаринские чтения» (2005, Москва, МАТИ — РГТУ им. К.Э. Циолковского) и «XXXIV Гагаринские чтения» (2008, Москва, МАТИ - РГТУ им. К.Э. Циолковского).

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в МАТИ — РГТУ им. К.Э. Циолковского. Работа была поддержана грантом РФФИ, проект № 04-02-16604а.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных научных работах, куда входят: 6 статей [1-2,4-5,7-8], 5 тезисов конференций [3,6,9-11] и один препринт [12]. Все 6 статей [1-2,4-5,78] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть

размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Личный вклад автсуэа. Постановка задачи принадлежит научному руководителю группы -^Денисову В.И.. Разработка методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, доказательство теорем о тензорных соотношениях и решение задач нелинейной электродинамики вакуума выполнены Вшивцевой П.А. лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит 103 наименования. Объем диссертации 114 страниц, включая 1 рисунок.

Основное содержание диссертационной работы

Во введении обосновывается актуальность исследуемых в диссертации задач. Кратко излагается содержание диссертации.

Глава I (§§ 1-4) посвящена исследованию современных теоретико-полевых моделей математической физики, которые применяются для описания нелинейной электродинамики вакуума. Приводится обзор литературы но изучаемой и смежной тематике.

В § 1 проводится обзор самых актуальных на данный момент теоретико-полевых моделей.

В § 2 рассматриваются экспериментальные подтверждения нелинейности электродинамики вакуума и возможность экспериментальнного подтверждения различных эффектов нелинейной электродинамики вакуума.

В § 3 описываются различные астрофизические источники, которые создают сильные электромагнитные и гравитационные поля.

В § 4 формулируется математическая проблема, с которой приходится сталкиваться исследователю при рассмотрении нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих различные задачи нелинейной электродинамики вакуума. Проводится постановка задач, которые рассматриваются и решаются в настоящей диссертации.

Глава II (§§ 5-8) посвящена развитию метода характеристик для задач нелинейной электродинамики вакуума.

В § 5 доказана теорема и на ее основе выведены алгебраические тензорные соотношения.

Рассмотрено некоторое N - мерное псевдориманово пространство Ир^'-р, т.е. пространство, сигнатура метрики которого содержит Р знаков плюс и N - Р знаков минус. Метрический тензор этого пространства обозначен через дц-,-

Введены определения. Пусть в пространстве /¿р'д'-р задан некоторый ковариантный тензор второго ранга ^¿¿(х), зависящий от координат хр = {ж1, ж2, ..., от"'}. Назовем в-ой степенью тензора Ф^ тензор =

Ф(3)пгп(ж), построенный из произведения в тензоров Фу, индексы которых свернуты метрическим тензором ди пространства по правилу:

8

Сворачивая оставшиеся индексы в этом выражении, получим инвариант в -ой степени этого тензора:

ф(.) = фМ дпт_ (2)

В соответствии с этим определением нулевая степень тензора совпадает с метрическим тензором Ф-^ = дгк, поэтому инвариант нулевой степени любого тензора равен размерности пространства.

Ф(0) = 9пт Ф(ЬТ = 9пт9пт = N. (3)

Определим абсолютно антисимметричный аксиальный тензор Е4'2'"1" в соответствии с равенством:

1 (4)

ч/Й

где д — определитель метрического тензора, е%1Н"'г" — абсолютно антисимметричный символ Леви-Чивиты, причем е12'"л' = еп-и — 1-

Антисимметричные свойства аксиального тензора Леви-Чивиты позволили доказать две леммы, которые были использованы при доказательстве теоремы 1.

Лемма 1. В произвольном псевдоримановом пространстве справедливо тензорное соотношение:

^н-лы в

(-1)

Я #

Г* %

б)1 Зы

5)2

6Т

Зк

Лемма 2. В произвольном псевдоримановом пространстве справедливо тензорное соотношение:

--ляцк¡¡,зг ^щх _ Е^-^йеЬ

(6)

где матрица составлена из компонент тензора Ф;, причем нижний

индекс нумерует строки, а верхний — ее столбцы.

С использованием этих определений и лемм, изложена теорема и установлены важные нелинейные тензорные соотношения, которым удовлетворяют степени тензора второго ранга и их инварианты.

Теорема 1. В произвольном псевдоримановом пространстве IIр д-_р справедливо следующее нелинейное тензорное соотношение:

ф®1 ч ф^ «3 Ф^1

ф'> п ф*2 ¡2 Ф!> »<?

ф!« и ф!« . '2 »0

ф!"1 ч «2 . ф!"1 гя

ф т/^-д »1 фтЛГ-« . ¿2 •0

к ч

к

м

«лт-д кн-д

клт-д

(7)

= д!

С С *

С с •

сПЗД-д ,-тлг-о

%

где целое число <2 заключено в пределах 0 < <Э < Лг, а с1с1 -

определитель матрицы, элементами которой являются компоненты тензора

Доказательство теоремы проведено с использованием метода математической индукции и свойств определителей.

Сформулировано Следствие 1. В произвольном псевдоримановом пространстве

Яр^-р из соотношения (7) можно получить и другие полезные тензорные равенства. Так, например, после опускания тензорных индексов при <5 = 0 приходим к соотношению:

det

431

I2jl

^ilh

Tir. . iujv

ф. .

Ф,

Wjv

= . det

ffi'iii 9kh 9hh 9hh

9inh

MN}2

9hjff 9hjN

9iN3N

Указано, когда доказанная теорема находит применение для наших целей, а именно - при двух наборах N и Q. Первый из них имеет значения N — 3, Q = 2, а второй набор — при N = 4 и Q = 3. Что и было использовано в § 6 и § 7 настоящей диссертации.

В § 6 сформулирована и доказана Теорема 2: релятивистская ковариантность уравнения эйконала будет обеспечена во всех допустимых системах отсчета, если и только если потребовать обращения в нуль тензора:

Pi = 2) - W?] + 2Wf2)mww - 2W*)m = 0,

где W™ - четырехмерное расширение тензора .

Доказательство проведено с использованием ранее введенных определений, свойств и соотношений.

К теореме 2 сформулировано Замечание 1. Так как тензор Wj^, входящий в уравнения достаточно сложен, то при проведении практических расчетов получаются очень громоздкие выражения, оперировать с которыми удобнее на компьютере с использованием системы аналитических вычислений Reduce. Одним из способов решения поставленной задачи является

построение степеней тензора W^ путем последовательного их перемножения, после чего, образовав из них инварианты, можно подставить все необходимые величины в нужное нам уравнение.

В § 7 разработан метод, позволяющий определять частотно-фазовые характеристики слабой электромагнитной волны, распространяющейся во внешних электромагнитном и гравитационном полях по законам постмакс-велловской электродинамики вакуума, а также получать уравнения для лучей, по которым электромагнитные сигналы распространяются.

В обоснование этого метода нами доказана Теорема 3: Уравнение характеристик для слабой электромагнитной волны, распространяющейся в сильном внешнем электромагнитном поле, в соответствии с уравнениями постмаксвелловской электродинамики вакуума, имеет вид:

^ + 4 (8)

Доказательство построено с использованием ранее доказанных в диссертационной работе теорем 1 и 2.

Согласно Замечанию 2, наличие двух множителей в уравнении (8) характеристик означает, что параметризованная пост-максвелловская электродинамика вакуума при щ ф т/2, и Щ ф щ, предсказывает существование эффекта двулучепреломления слабой электромагнитной волны при ее распространении в сильном внешнем электромагнитном поле. Поэтому электромагнитное излучение во внешнем электромагнитном поле распространяется в виде двух нормальных волн, имеющих взаимно ортогональные поляризации и различные групповые скорости. Получены уравнения характеристик для первой и второй нормальных волн.

В § 8 решена задача вывода уравнения, позволяющего исследовать закономерности распространения электромагнитных сигналов во внешних электромагнитном и гравитационном полях в постмаксвелловской электродинамике.

Доказана Теорема 4: Уравнения движения электромагнитных сигналов во внешних электромагнитном и гравитационном полях в постмаксвел-

ловской электродинамике имеют вид:

(fxn

1 dd¡»

dxp dxk

i (-mm _ """ """ _ n /Q\

da2 QxP 2 Qxm da da ~U> W

где a - некоторый параметр,

G\{2) = 9th + - тле^) FipFpk, (10)

а тензор G^ связан с тензором соотношением: 2j =

Доказательство проведено с использованием метода Лагранжа-Шарпи.

Глава III (§§ 9-13) посвящена применению метода характеристик для решения задач искривления лучей в нелинейной электродинамике вакуума.

В § 9 на основе теоремы 3 найдено уравнение, которому удовлетворяют лучи слабой высокочастотной электромагнитной волны, распространяющейся в гравитационном и магнитном полях нейтронной звезды. Найден угол ¿£¡1,2 нелинейно-электродинамического и гравитационного искривлений луча в магнитном дипольном и гравитационном полях нейтронной звезды для луча, начинающегося на пространственной бесконечности, искривляющегося в поле звезды и уходящем на пространственную бесконечность.

В § 10 рассмотрен общий случай, когда луч электромагнитной волны входит в магнитное поле звезды под произвольным углом к вектору ее магнитного дипольного момента т.

С помощью специфически выбранных координат и введения промежуточной параметризации, на основе результатов теоремы 4 § 8 записано уравнение движения фотонов в эффективном псевдоримановом пространстве-времени. Дальнейшее решение этих уравнений найдено методом последовательных приближений. Вычислены углы 5ф и 69, характеризующие искривление луча в результате нелинейно-электродинамического и гравитационного воздействий и найдены параметрические уравнения луча г = г(<р), б = %>).

В § 11 изложен удобный способ вычисления интегралов вида:

jr

J dip' J sin 6'de'Po(cos 7) jVai■.. (11)

при произвольном числе к трехмерных единичных векторов Na = г '/г' = {sinocos <р', sin в' sin <р', cos в'}. Способ вычисления интегралов основан на доказанной нами теореме об интегрировании угловой части функции Грина волнового уравнения.

Доказана Лемма 3: при к > 0 тензоры Nai №2... №2k и NaiNa2... Лга"+1 могут быть разложены единственным образом по системе тензоров

^T'''a2W) = ^r {|pí(ai°2 • • • (12)

к

_i (2к + 2п)! дГ(а,jya2 Ara2nja2n+ia2„+2 ¿a2t_ia2t) 1

^(к + п)\(к-п)\(2п)\ "' "' У

в соответствии с выражениями:

1 *

.. Na= J--_ _ _ gau-iau) + + 1) X (13)

2 к * ' 771=1

2к(2к — 2). ■. (2к — 2m + 2) (aia2...a2m t)

(2k + l)(2k + 3)... (2k + 2m 4- 1) 2m

o

jyai ДГОг _ дгазы-i _ д(а1Дзу*зв4

ЙГ ' (2A; + 3) 1

oN 2fc(2fc - 2)... (2k - 2m + 2) + 2J4m + 3) (2jfc + 3)(2k + 5) (2¿ + 2m + 3) x

m=l

xp_(a1^2-a2m+lja2TO+2a2ra+3 ¿a2*a2¡M-l)

Интегралы вида

2л-

Jaia*"a»(e,<p) = J d<p' J sin0WPQ(cos7)PnQlQ2-Q"(6V), (14)

о 0

могут быть вычислены при помощи доказанной нами Леммы 4: В декартовых координатах интеграл (14) по сфере единичного радиуса имеет вид:

2я 7Г

Ja>a'-a"(e,tp) = J dtp' j sin e'de'Pq (cos (fly) =

-М^р^'-ЧМ- (15)

(2n + l)J

где тензорные полиномы Р"ip) получаются из тензорных полиномов Р*1а2-ап(в'<р'), если в выражениях (12) единичный вектор Na — Na{&ip') = г '¡г' = {sin 0'costp', sin в' sin ц>\ cos в'} заменить на единичный вектор Ма = Ма(в,<р) = r[r = {sin 0 cos tp} sin в sin ip, cos в}.

На основе доказанных лемм доказана Теорема 5: интегрирование тензоров Nctl...№"lk и Nai... Nau+1 с весовой функцией Pg(cos7) по поверхности сферы единичного радиуса дает:

2тг ж

Г'а2-а^(в,(р) = J dtp' j sin e'de'Pp (cos 7) Да' ... =

00 2k

f

= 4W/OL°qi^(ttl°,¿tt'a4 * * • (16)

l у2к ~h 1J

A 2k(2k - 2)... (2k - 2m + 2) + ¿J (2ft + 1)(2A + 3)... (2k + 2m +1) 2m Q *

x р(оца2-агт ^ ¡p^¿°'2m+i<*2m+2 fiaik-ictn) |

при четырехмерном числе векторов Na и

2гг тг

/а1а>-а"+1(0,¥>) = J dip' J sin 6'de'Pg(cos 7) Да'Na^..

Nak =

2к+1

= 4тг{ ^ 0 ... ¿«^-^р«^)^

ул 2к(2к-2)...(2к-2т + 2)

+ (2к + 3) (2Л + 5)... (2* + 2ш + 3) 2т+1 0 Х

ХР201+1""а2т+1 (в, 1р)(5аг2тН-г"2т+3 _ _ _ ¿02*а5ц,+1)|

— при трехмерном их числе

В § 12 на основе теоремы 5 § 11 исследован эффект удвоения частоты электромагнитного сигнала при его распространении в сильном магнитном диполыгом поле нейтронной звезды.

Показано, что в окрестности Земли при благоприятных условиях поток энергии возникающего в магнитном поле нейтронных звезд электромагнитного излучения частоты 2и> может достигать вполне измеримых значений.

В § 13 проведен расчет времени запаздывания электромагнитных сигналов, поляризованных ортогонально друг другу, прошедших через сильное магнитное поле пульсара или магнетара. Проведенные в диссертации оценки показали, что этот новый эффект может быть измерен при современном уровне чувствительности приборов.

Глава IV (§§ 14-15) посвящена развитию метода апертур в задачах о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн.

В § 14 разработан метод позволяющий складывать не потоки энергии при линзировании электромагнитного излучения, а напряженности электромагнитных волн и учитывать разности фаз электромагнитных волн, распространяющихся по различным лучам. Доказана Теорема 6: коэффициент нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитной волны в поле гравитирующего центра, обладающего зарядом <3, имеет вид:

где

Зтг(5г1 - 3а)Ь 2Ш$Г)Я2Ь

2 УЛ + ЪгдЬ + гА] уг\ + 8гдЬ + гАу

гд — гравитационный радиус центра, г = —Ь \\ г = Ь — расположение плоскостей сечения входной и выходной апертур соответственно, г а ~ радиус выходной апертуры.

ДФ = Г^Лгл + У^Тз^К 8г]Ъ

V с \уг\ + 8гдЬ-гАу с[у/г2А + 8гдЬ - гд]2

8г2дЬ 1 37г(5г2 - 4а) Зтт(5г2 - 4а)

с[гд + + &гдЬ}2 %сУт\ + 8гдЬ - гд] 8с[гд + + 8гдЦ

бтг^д2 1 1

+-

ЫЛ+ЯГдЬ - гА]* [га + + &гдЦ3 13

Также исследовано поведение луча электромагнитной волны при прохождении от входной до выходной апертур и сами апертуры.

В § 15 изучены основные закономерности эффекта нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитных волн в магнитном поле диполя. Найдены коэффициенты нелинейно-электродинамического и гравитационного линзирования, как функции времени.

В заключении перечислены основные результаты диссертации выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Доказана теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном 1\т-мерном псевдоримановом пространстве-времени. Данный результат является обобщением ранее известных результатов.

2. Доказана теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала для нелинейной электродинамики вакуума в четырехмерном пространстве-времени.

3. Доказана теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

4. Доказана теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

5. Решена задача о нелинейно-электродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационном и магнитном дипольном полях при произвольной ориентации магнитного момента.

6. Доказана теорема 5 об интегрировании функции Грина волнового уравнения с весовой функцией по сфере единичного радиуса. С использованием этой теоремы решена задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле.

7. Решена задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя.

8. Доказана теорема о коэффициенте нелинейно-электродинамичекого линзирования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема. Решена задача о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Основные публикации по теме диссертации

1. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Нелинейно-электродинамический эффект удвоения частот в поле магнитного диполя. Доклады РАН, 2002, Т. 387, № 2, С. 178-180.

2. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Искривление лучей в магнитном поле нейтронной звезды при произвольной ориентации магнитного дипольного момента. Доклады РАН, 2003, Т. 393, № 4. С. 461-465.

3. Вшивцева П. А., Эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических условиях. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2003", 2003, секция "Физика", с. 157-159.

4.1. P. Denisova, I. V. Krivchenkov, P. A. Vshivtseva, A. A. Zubrilo, Nonlinear gravitatiorial-electromagnetic bending of the rays of weak electromagnetic wavcs in the fields of pulsars and magnetars. General Relativity and Gravitation, 2004, V. 36, № 4, P. 889-898.

5. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическая задержка электромагнитных сигналов в магнитном поле нейтронной звезды. Доклады РАН. 2004, Т. 399, №3 с. 330-333.

6. Вшивцева П. А., Нелинейно-электродинамическое и гравитационное воздействие полей нейтронной звезды на движение фотонов. Тезисы докладов Международной конференции "XXXI Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2005, с. 33-34.

7. Вшивцева П. А., Кривченков И. В., Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, Т. 3, стр. 14-17.

8. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитных волн в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2007, Т. 150, № 1, с. 85-94.

9. Вшивцева П. А., Теорема о нелинейно-электродинамическом линзирова-нии электромагнитных волн в задаче райснера-нордстрема. Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, с. 42-43.

10. Вшивцева П. А., Теорема об эффективной метрике в нелинейной электродинамике вакуума Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, с. 44-45.

11. Вшивцева П. А., Теорема о тензорной свертке в произвольном псевдо-римановом пространстве. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2008", 2008, секция "Математика", с. 71-72.

12. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса. Препринт, физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, №11/2008. -5 с.

Подписано в печать 16.11.2008 г. Исполнено 17.11.2008 г. Печать трафаретная. Заказ № 2148. Тираж 100 экз. Типография "Витекс", г. Москва, ул. Молодогвардейская, 23.

Введение.

Глава I. Современный статус нелинейной электродинамики вакуума.

§ 1. Основные модели нелинейной электродинамики вакуума и их уравнения.

§ 2. Экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума

• • )

§ 3. Астрофизические источники сильных магнитных полей.

§ 4. Постановка задачи.

Глава II. Развитие метода характеристик для задач нелинейной электродинамики вакуума.

§ 5. Теорема о нелинейном тензорном соотношении в произвольном

N-мерном псевдоримановом пространстве.

§ 6. Теорема о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени.

§ 7. Теорема об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

§ 8. Теорема об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

Глава III. Применение метода характеристик для решения задач искривления лучей в нелинейной электродинамике вакуума.

§ 9. Нелинейное гравитационно-электродинамическое искривление лучей слабых электромагнитных волн в полях пульсаров и магнетаров.

§ 10. Искривление лучей при произвольной ориентации магнитного момента.

§11. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса.

§ 12. Задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот.

§ 13. Задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитного сигнала в сильном поле магнитного диполя.

Глава IV. Развитие метода апертур в задачах о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн.

§ 14. Расчет коэффициента нелинейно-электродинамического линзирования в задаче Райснера-Нордстрема.

§ 15. Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитного излучения в поле магнитного диполя

В современной теоретической и математической физике большую роль играют различные теоретико-полевые модели, использующие системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Такие уравнения, например, составляют основу общей теории относительности (ОТО), нелинейной электродинамики вакуума [1] и теории калибровочных полей. С общетеоретической точки зрения, такая тенденция вполне понятна: природа, как показывают результаты экспериментов [2], нелинейна и для адекватного описания происходящих в ней процессов необходимо использовать системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Как известно, различные модели нелинейной электродинамики вакуума достаточно долгое время рассматривались как абстрактная теоретическая возможность. Однако, в настоящее время их статус существенно изменился, так как проведенные эксперименты по взаимодействию лазерных фотонов с гамма-квантами со всей очевидностью показали, что электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Поэтому, в настоящее время одной из важнейших задач теоретической и математической физики является поиск различных решений нелинейных дифференциальных уравнений электродинамики вакуума и на их основе проведение экспериментов по проверке предсказаний различных моделей и выбор среди них наиболее адекватных природе.

Однако, исследование нелинейных теоретико-полевых моделей является серьезной математической проблемой из-за отсутствия общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому, для современной математической физики большое значение имеет разработка частных методов интегрирования таких уравнений, применимых только к конкретным разделам [3-5] математической физики.

Обычно стараются выявить симметрии дифференциальных операторов и с их помощью проводят генерацию новых решений [6]. В настоящей диссертации выбран другой путь построения частных методов интегрирования системы уравнений нелинейной электродинамики, использующий уравнения характеристик и вводящий понятие об эффективном псевдоримановом пространстве-времени.

Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

В первой главе диссертации рассматриваются наиболее известные модели нелинейной электродинамики, их уравнения и выделяются особенности каждой теории. Обсуждаются возможности экспериментального подтверждения различных эффектов нелинейной электродинамики вакуума в различных условиях. Описываются различные астрофизические источники которые создают сильные электромагнитные и гравитационные поля. Обсуждается ряд задач взаимодействия лучей электромагнитных волн с полями астрофизических источников. На основе проведенного анализа сформулирована постановка задачи для настоящей диссертации.

Во второй главе диссертационной работы были выведены различные тензорные соотношения и доказаны следующие теоремы: теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном N-мерном псевдоримановом пространстве; теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала в четырехмерном пространстве-времени; теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума; теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

В третьей главе диссертации разработанные во второй главе методы применяются для решения задачи о гравитационно-электродинамическом искривлении лучей слабых электромагнитных волн в полях пульсаров и магнетаров, а также в задаче искривления лучей при произвольной ориентации магнитного момента. Доказана теорема об интегрировании угловой части функции Грина волнового уравнения. Решены задачи о нелинейно-электродинамическом удвоении частот и о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитного сигнала в сильном поле магнитного диполя.

В главе четыре настоящей диссертации разработан метод апертур на примере задачи Райснера-Нордстрема. Рассчитан коэффициент микролинзирования и исследован эффект нелинейно-электродинамического линзирования электромагнитного излучения в поле магнитного диполя.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Эти результаты были опубликованы нами в одном препринте [18], в пяти тезисах конференций [9,12,15-17] и шести журнальных статьях [7,8,10,11,13,14]. Все шесть статей [7,8,10,11,13,14] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях «Ломоносов-2003» и «Ломоносов-2008», а также на международной конференции «XXXI Гагаринские чтения» в 2005 году и «XXXIV Гагаринские чтения» в 2008 году.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, составляющие содержание диссертации и выносимые на защиту.

1. Доказана теорема 1 о нелинейном тензорном соотношении в произвольном N-мерпом псевдоримаиовом пространстве-времени. Данный результат является обобщением ранее известных результатов.

2. Доказана теорема 2 о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих ковариантность уравнения эйконала для нелинейной электродинамики вакуума в четырехмерном пространстве-времени.

3. Доказана теорема 3 об уравнениях характеристик нелинейной электродинамики вакуума.

4. Доказана теорема 4 об уравнениях движения электромагнитных сигналов в нелинейной электродинамике вакуума.

5. Решена задача о нелинейно-электродинамическом и гравитационном искривлении электромагнитных лучей при их распространении в сильных гравитационном и магнитном дипольном полях при произвольной ориентации магнитного момента.

6. Доказана теорема 5 об интегрировании функции Грина волнового уравнения с весовой функцией по сфере единичного радиуса. С использованием этой теоремы решена задача о нелинейно-электродинамическом удвоении частот при распространении электромагнитных волн в сильном магнитном дипольном поле.

7. Решена задача о нелинейно-электродинамической задержке электромагнитных волн в сильном поле магнитного диполя.

8. Доказана теорема о коэффициенте нелипейно-электродинамичекого линзирования электромагнитного излучения в задаче Райснера-Нордстрема. Решена задача о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитного излучения в сильных полях звезд.

Автор выражает глубокую, искреннюю благодарнсть научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Денисову Виктору Ивановичу за предоставление интересной темы, полезные советы и своевременные замечания, а также всему коллективу кафедры Прикладная математика "МАТИ" Российского Государственного Технологического Университета им. К.Э. Циолковского, возглавляемому доктором физико-математических наук, профессором Муравьем Леонидом Андреевичем, за создание благоприятной атмосферы, способствующей работе над диссертацией.

1. Кадышевский В. Г. , Родионов В. Н. , Поляризация электрон-позитрон-ного вакуума сильным магнитным полем в теории с фундаментальной массой. Теоретическая и математическая физика, 2003, Т. 136, № 3, С. 517-529.

2. Денисова И. П. , Дифференциальные уравнения, 1999, Т. 35, № 7, С. 935-941.

3. В.П. Маслов. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977

4. В.П. Маслов. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

5. G. Calvaruso, Three-dimensional homogeneous Lorentzian metrics with prescribed Ricci tensor, Journal of Mathematical Physics, 2007, 48, 123518.

6. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Нелинейно-электродинамический эффект удвоения частот в поле магнитного диполя. Доклады РАН, 2002, Т. 387, № 2, С. 178-180.

7. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Искривление лучей в магнитном поле нейтронной звезды при произвольной ориентации магнитного дипольного момента. Доклады РАН, 2003, Т. 393, № 4. С. 461-465.

8. Вшивцева П. А., Эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических условиях. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2003", 2003, секция "Физика", С. 157-159.

9. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическая задержка электромагнитных сигналов в магнитном поле нейтронной звезды. Доклады РАН. 2004, Т. 399, №3 С. 330-333.

10. Вшивцева П. А., Кривченков И. В., Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, Т. 3, С. 14г17.

11. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Кривченков И. В., Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитных волн в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2007, Т. 150, № 1, С. 85-94.

12. Вшивцева П. А., Теорема об эффективной метрике в нелинейной электродинамике вакуума Тезисы докладов Международной конференции "XXXIV Гагаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика",2008, С. 44-45.

13. Вшивцева П. А., Теорема о тензорной свертке в произвольном псевдо-римановом пространстве. Тезисы докладов Международной конференции "Ломоносов-2008", 2008, секция "Математика", С. 71-72.

14. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П. Теорема об интегрировании функции Грина по сфере единичного радиуса. Препринт, физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, №11/2008. -5 С.

15. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М. : Высшая школа, 1980. - 335 С.

16. Born М., Infeld L., Foundation of the new field theory. ProC. Roy. SoC., 1934, V. A144, P. 425-430.

17. Heisenberg W., Euler H., Consequences of Dirac Theory of the Positron. Z. Phys., 1936, B. 26, S. 714-720.

18. Александров E, В., Ансельм А. А., Москалев A. H., Двойное преломление вакуума в области интенсивного лазерного излучения. ЖЭТФ, 1985, Т. 89, № 4, С. 1181-1189.

19. Гальцов Д. В., Никитина Н. С., Макроскопические эффекты вакуума в неоднородных и нестационарных электромагнитных полях. ЖЭТФ, 1983, Т. 84, С. 1217-1224.

20. Родионов В. Н., Поляризация электрон-позитронного вакуума сильным магнитным полем с учетом аномального магнитного момента частиц. ЖЭТФ, 2004, Т. 125, Ж 3, С. 453-461.

21. Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В., Эффект нелинейно-электродинамического запаздывания электромагнитного сигнала в поле магнитного диполя. ЖЭТФ, 2002, Т. 122, № 8, С. 227-232.

22. Денисов В. И., Денисова И. П., Проверяемый пост-максвелловский эффектнелинейной электродинамики в вакууме. Оптика и спектроскопия, 2001, Т. 90, № 2, С. 329-335.

23. Денисов В. И., Денисова И. П., Уравнения эйконала в параметризованной нелинейной электродинамике вакуума. Доклады РАН, 2001, Т. 378, № 4, С. 463-465.

24. Денисов В. И., Исследование эффективного пространства-времени нелинейной электродинамики вакуума в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2002, Т. 132, № 2, С. 211-221.

25. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М. ; Энергоатомиздат, 1985. - 293 С.

26. Denisov V. I., Krivchenkov I. V., Kravtsov N. V., The experiment for measuring of the post-Maxwellian parameters of nonlinear electrodynamics of vacuum with laser-interferometer techniques. Physical Review, D, 2004, V. 69, № 6, P. 066008.

27. V. I. Denisov, S. I. Svertilov, Nonlinear electrodynamic and gravitational actions of the neutron star fields on the propagation of the electromagnetic waves. Physical Review, D, 2005, V. 71, № 6, P. 063002.

28. Denisov V. I., New effect in nonlinear Born-Infeld electrodynamics. Physical Review, 2000, D 61, № 3. P. 036004.

29. Adler S. L., Photon splitting and dispersion in a strong magnetic field. Annals of Physycs (N. Y. ), 1971, V 67, P 599.

30. Тернов И. M., Халилов В. Р., Родионов В. Н. Взаимодействие заряженных частиц с сильным электромагнитным полем. М. : МГУ, 1982, - 304 С.

31. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. М. : Энергоатомиздат, 1988. •

32. Denisov V. I., Denisov М. I., Verification of Einstein's principle of equivalence using a laser gyroscope in terrestrial conditions. Physical Review, 1999, D, V 60, № 4, P. 047301.

33. Розанов H. H., Четырехволновое взаимодействие интенсивного излучения в вакууме. ЖЭТФ, 1993, Т. 103, № 6, С. 1996-2007.

34. Denisov V. I.,Nonlinear effect of quantum electrodynamics for experiments with a ring laser. Journal of Optics, A, 2000, V. 2, №5, P. 372-379.

35. A. K. Harding, A. Muslimov., High-Altitude Particle Acceleration and Radiation in Pulsar Slot Gaps. Astrophysical Journal, 2003, V. 508. P. 328.

36. Thomson C. and Duncan R. C., The Soft Gamma Repeaters as Very Strongly Magnetized Neutron Stars. II. Quiescent Neutrino, X-Ray, and Alfven Wave Emission. Astrophysical Journal, 1996, V. 473, p. 322

37. R. Wijnands, M. van der Klis, A millisecond pulsar in an X-ray binary system. Nature, 1998, V. 394, p. 344.

38. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М. : Мир, 1986. -276 С.

39. Mereghetti S. РгоС. NATO ASI "The Neutron Star Black Hole Connection"; 1999, Astro-ph/9911252.

40. Mereghetti S. Workshop "Frontier Objects in Astrophysics and Particle Physics"Vulcano, Italy. May 22-27, 2000. Astro-ph. 0102017.

41. Шен И., Принципы нелинейной оптики. М. : Наука. 1989 . - 557 С.

42. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М. : Наука, 1988. - 512 С.

43. Денисов В. И. Лекции по электродинамике. М. : УНЦ ДО, 2005. -271 С.

44. Саакян Г. С. Пространство-время и гравитация. Издательство Ереванского университета, 1985. - 340 С.

45. Бондарев А. Л. Новое тождество в пространстве Минковского и некоторые его применения. Теоретическая и математическая физика, 1994, Т. 101, № 242, Т. 2 С. 315-319.

46. Denisova I. P., Dalai М., Development of the method of potentials for the problems of gravitation electromagnetic conversion. Journal of Mathematical Physics, 1997, V 38, № 11, P. 5820-5832.

47. Denisova I. P., Mehta В. V., Tenzor expressions for solving Einshtein's equations by the method of sequential approximation. General Relativity and Gravitation, 1997, V 29, № 5, P. 583-589.

48. Денисова И. П. Введение в тензорное исчисление и его приложения.- М. : УНЦ ДО, 2004. 230 С.

49. П. В. Блиох, А. А. Минаков, Гравитационные линзы. Киев: Наукова думка, 1989.

50. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. : Наука, 1967. - 661 С.

51. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1979 . - 431 С.

52. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М. : Гостех-издат, 1956. - 420 С.

53. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М. : Наука, 1979. - 255 С.

54. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Г. Современная геометрия. М. : Наука, 1979. - 759 С.

55. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, Т. 1.- М. : Мир, 1982. 488 С.

56. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, Т. 2.- М. : Мир, 1984. 383 С.

57. Новиков С. П., Дубровин Б. А., Фоменко А. Т., Современная геометрия: Методы и приложения. М. :Наука, 1979.

58. В. Abdesselam, A. Chakrabarti, V. К. Dobrev, S. G. Mihov, Higher dimensional multiparameter unitary and nonunitary braid matrices: Even dimensions, Journal of Mathematical Physics, 2007, 48, 103505.

59. M.B. Карасев, В.П. Маслов, Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. II. Операторные унитарно-нелинейные уравнения Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, ВИНИТИ, 1979, Т.13, 145-267.

60. Денисова И. П., Развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений биометрических теорий гравитации. Дифференциальные уравнения, 1999, Т. 35, 7, С. 935-941.

61. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М. : Физматгиз, 1961. - 504 С.

62. Багров В. Г., Вшивцев А. С., Кетов С. В. Дополнительные главы математической физики. Томск, Из-во Томского университета, 1990. -143 С.

63. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988. - 548 С.

64. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М. : Наука, 1978. - 392 С.

65. Boillat G., Nonlinear Electrodynamics: Lagrangians and equations of motion. Journal of Mathematical Physics, 1970, V 11, № 3, p. 941-951.

66. M.V.Karasev, Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems Advances in Math.Sciences. AMS. Providence, 2003,S. 2, V. 208., P 284.

67. Курант P. Уравнения с частными призводными, М. :Мир, 1964. Т. 2

68. De-Xing Kong Kefeng Liu, Wave character of metrics and hyperbolic geometric flow, Journal of Mathematical Physics, 2007, V 48, P 103508

69. Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных I порядка, М. : Наука, 1966. -260 С.

70. Кошляков Н. С. и др., Уравнения в частных производных математической физики, М. : Высшая школа, 1970. -712 С.

71. Эльсгольц JI. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М. : Наука, 1965. - 424 С.

72. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. - 576 С.

73. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М. : Наука, 1972. 735 С.

74. Зельдович Я. Б., Электромагнитные и гравитационные волны в постоянном магнитном поле. ЖЭТФ, 1973, Т. 65, №4, С. 1311.

75. Брагинский В. Б., Грищук JI. П., Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Сажин М. В., Электромагнииные детекторы гравитационных волн. ЖЭТФ, 1973, Т. 65, №5, С. 1729.

76. Эминов П.А., Жуковский К.В., Левченко К.Г., Ассоциативное рождение хиггсовских бозонов с Z-бозонами заряженным лептоном в сильных внешних полях. ЖЭТФ, 1998 г., Т. 113, № 6, С. 1979. е

77. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Т. 1. М. : Наука, 1965. - 294 С.

78. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Т. 2. М. : Наука, 1974. - 296 С.

79. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. : Наука, 1971 . - 1108 С.

80. Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представления групп. М. : Наука, 1991. - 576 С.

81. Абрамович М., Стиган С. Справочник по специальным функциям. -М. : Наука, 1979, 81 С.

82. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1971, С. 208-220.

83. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993.

84. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике.т- М.: Изд-во МГУ, 1998.

85. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики. М. : Высшая школа, 1970, - 534 С.

86. JT. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред. М. : Наука, 1982.

87. Дж. Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. М. : ИЛ, 1949, - 799 С.

88. Вшивцев А. С., Перегудов Д. В., Татаринцев А. В. Метод проективных операторов и построение функции Грина волнового уравнения. Известия Вузов, Физика, 1995, №242, 2, С. 80-89.

89. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М. : Советское радио, 1970. -517 С.

90. С. Gerard, R. Tiedra de Aldecoa, Generalized definition of time delay in scattering theory. Journal of Mathematical Physics, 2007, V. 48,P. 122101.

91. A.B. Борисов, А.С. Вшивцев В.Ч.Жуковский, П.А.Эминов, Фотоны и лептоны во внешних полях при конечных температуре и плотности УФН, 1997, Т.167, №3, С. 241-266.

92. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. : Наука, 1975. - 431 С.и-'