К теории кинетики и термодинамики фазовых превращений упорядочения в сплавах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Российский научный центр "КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ"

На правах рукописи

Панкратов Илья Романович

К ТЕОРИИ КИНЕТИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ УПОРЯДОЧЕНИЯ В СПЛАВАХ

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА—2004

Работа выполнена в Российском Научном Центре "Курчатовский Институт"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вакс В. Г.

Официальные оппоненты: член-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф. Максимов Л. А. РНЦ "Курчатовский Институт", г. Москва

доктор физико-математических наук, профессор Горностырёв Ю. Н. Институт Физики Металлов УРО РАН, г. Екатеринбург

Ведущая организация:

Московский Институт Стали и Сплавов

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Защита состоится "_"_2004 г. в часов

на заседании Диссертационного Совета (Д 520.009.01) при РНЦ "Курчатовский Институт" по адресу: 123182 Москва, пл. акад. И. В. Курчатова, д. 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ "Курчатовский Институт"

Ученый секретарь Диссертационного Совета:

А. В. Мерзляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Исследования микроскопических свойств сплавов при фазовых превращениях (ФП) упорядочения имеют как фундаментальный, так и прикладной интерес. С точки зрения теории важно развитие подходов к микроскопическому описанию свойств неоднородных и неравновесных систем, включая аналитическое описание наблюдаемых явлений. Для приложений большое значение имеет, в частности, объяснение и теоретическое предсказание свойств и распределений антифазных границ (АФГ) в микроструктурах сплавов, используемых в технике, поскольку многие свойства этих сплавов, такие как прочность, пластичность, коэрцитивная сила магнетиков, и другие, существенно зависят от особенностей микроструктур.

Существует много теоретических и экспериментальных работ посвященных изучению кинетики упорядочений при фазовых переходах см. например [1-Ю]. При этом, поскольку эксперименты по изучению эволюции сплавов обычно сложны, то теоретические исследования и компьютерное моделирование данных процессов привлекают большой интерес.

В некоторых из этих работ применяется прямое моделирование ФП методом Монте-Карло [1, 2], однако для реалистичных моделей сплавов оно обычно оказывается трудоёмким.

Используются также феноменологические подходы, с помощью которых обсуждался ряд особенностей эволюции см. например обзор [3]. Однако при этом рассматривались в основном простейшие модели упорядочения по типу В2 в объёмно-центрированных кубических (ОЦК) решётках. В то же время в большинстве реальных сплавов реализуются более сложные упорядочения, в частности, но типу L12 в гранецентрирован-ных кубических (ГЦК) решётках. Такие упорядочения характерны для многих практически важных систем, например для

так называемых "суперсплавов" типа №3Д1, широко используемых в аэрокосмической технике [4]. Феноменологическая модель некоторых ФП типа Ь12 обсуждалась только в недавней работе [5], микроскопические же рассмотрения таких ФП отсутствуют.

В работах В. Г. Вакса и др. был предложен микроскопический подход к исследованию существенно неравновесных систем, включая кинетику неравновесных сплавов, на основе фундаментального кинетического уравнения для вероятностей различных атомных распределений по узлам решетки [6, 10]. Этот подход с успехом применялся к исследованию большого числа проблем кинетики ФП в сплавах [7, 8, 9, 10, 11]. Несмотря на то, что в настоящей работе речь пойдет только о сплавах замещения, излагаемые методы являются более общими и применимы также для сплавов внедрения. Простейшим приближением, используемым в этом подходе, является приближение среднего поля (ПСП). В ряде случаев, например при описании В2 упорядочения в ОЦК решётке, это приближение даёт удовлетворительные результаты, однако при описании упорядочений в ГЦК сплавах оно становится качественно неверным вследствие наличия в таких сплавах сильных и короткодействующих корреляций. Так, в ПСП невозможно получить реалистические фазовые диаграммы, содержащие наблюдаемые в ГЦК сплавах упорядоченные фазы. В связи с этим для описания упорядочений в ГЦК сплавах используются более точные, "кластерные" методы, в частности, известный метод вариации кластеров (МВК) [12]. Однако, при рассмотрении неоднородных систем этот метод оказывается довольно громоздким и неудобным для вычислений. Поэтому в моделированиях, результаты которых обсуждаются в данной работе, используется метод кластерных полей. Этот метод является некоторым существенно упрощённым вариантом МВК, который однако имеет высокую точность описания для большинства физически ин-

тересных моделей ГЦК сплавов [12]. Кроме того, в сплавах с ОЦК решеткой также возможны проявления сильных короткодействующих корреляций. Поэтому необходимо построение обобщения метода кластерных полей для описания ОЦК сплавов, позволяющего получить высокую точность описания термодинамики и кинетики фазовых превращений.

Таким образом, дальнейшее развитие теории, основанной на использовании фундаментального кинетического уравнения, для изучения особенностей эволюции при фазовых превращениях в сплавах при наличии сильных межатомных корреляций может стать важным шагом в понимании кинетики и термодинамики упорядочений в реальных сплавах.

Целью работы является дальнейшее развитие последовательных методов описания эволюции существенно неравновесных состояний сплавов и применение этих методов к исследованиям кинетики и термодинамики упорядочений при наличии существенных межатомных корреляций, в частности, для сплавов, упорядочивающихся по типам Ы2, Ы0, В2 и D03.

Научная новизна и практическая ценность. В представленной диссертации получены следующие новые результаты:

1. изучена проблема конгруэнтного упорядочения при переходе подтверждено существование стадии конгруэнтного упорядочения и указаны механизмы возникновения структур, весьма сходных с наблюдавшимися в опытах Хаазена и др. [13], которые по мнению этих авторов, опровергали наличие стадии конгруэнтного упорядочения. Исследована также временная эволюция локальных концентраций и локальных параметров порядка на стадии конгруэнтного упорядочения.

2. указана резкая зависимость характера микроструктурной эволюции при переходе А1—>1Лг от типа межатомных кон. фигурационных взаимодействий, прежде всего, от эффективного радиуса этих взаимодействий

3. исследовано влияние упругих сил на кинетику распада с упорядочением по типу для сплавов с различными радиусами взаимодействий.

4. изучена концентрационная зависимость эволюции при фазовых превращениях типа А1—»Ы^.

5. подробно исследована начальная стадия превращений типа А1—»Ыо, когда деформации решетки еще не оказывают заметного влияния на микроструктурную эволюцию. Обнаружен ряд своеобразных микроструктурных особенностей этой стадии.

6. исследованы в широком диапазоне концентраций и температур как промежуточная твид-стадия, так и заключительная твин-стадия превращения А1—>Ь1о. Отмечена резкая зависимость типа эволюции от эффективного радиуса взаимодействий Для конечных почти-равновесных стадий эволюции обнаружено своеобразное явление выстраивания АФГ в твин-полосах с определенным углом скашивания между ориентацией полосы и плоскостью АФГ, причем этот угол скашивания сильно зависит от типа взаимодействий, особенно от эффективного радиуса взаимодействий Я»««.

7. предложен тетраэдрический метод кластерных полей (ТМ-КП) для ОЦК решеток. Исследована точность различных статистических методов при описании фазовых диаграмм ОЦК сплавов с упорядочениями типа В2 и D03: приближения среднего поля (ПСП); приближения парных кла-

стеров (ППК); а также ТМКП, предложенного в настоящей работе.

Отметим, что обсуждение в диссертации проблемы конгруэнтного упорядочения (п. 1) прояснило и подытожило многолетние дискуссии этой проблемы и подтвердило существование данной стадии, предсказанное Длленом и Каном [15] в 1976 гоДУ-

Результаты, указанные в п.п. 2-6, позволили объяснить и предсказать большое число новых микроструктурных эффектов, некоторые из которых были подтверждены позднейшими4 экспериментами.

Тетраэдрический метод кластерных полей (ТМКП) для ОЦК решеток, указанный в п. 7, позволил достаточно точно описывать термодинамику упорядоченных ОЦК сплавов, не только в случае относительно слабых межатомных корреляций, когда применимы простые методы ПСП и ППК, но также и в случае, когда такие корреляции являются сильными и важными.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Показана резкая зависимость характера микроструктур -ной эволюции при переходе от типа взаимодей-

ствия; прежде всего, от эффективного радиуса взаимодействий ШЫ- Для систем с короткодействием промежуточные микроструктуры содержат в основном консервативные ДФГ с ориентацией типа (100). Указан ряд своеобразных особенностей распределения и эволюции ДФГ в таких системах, в согласии с имеющимися экспериментами для сплава Си3Ди. Изучено также влияние на эволюцию систем с короткодействием отклонений состава сплава от стехиометрического. Для систем дальнодействую-щими взаимодействиями промежуточные микроструктуры содержат в основном неконсервативные ДФГ, и рас-

пределение АФГ в них обнаруживает лишь слабую анизотропию. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными наблюдениями для сплавов типа №зА1 и CuPd.

2. Исследовано влияние упругих сил на микроструктурную эволюцию исследовано для моделей различного радиуса взаимодействий. Результаты моделирований в основном согласуются с феноменологическим описанием упругих эффектов, развитым Хачатуряном с сотрудниками [3, 5], но существенно уточняют и детализируют феноменологическое описание.

3. Подтверждено наличие стадии конгруэнтного упорядочения при переходе и показано, что возникновение структур, наблюдавшихся в опытах Хаазена и др. для сплавов Al-Li, не противоречит существованию такой стадии.

4. Найдено, что концентрационная зависимость эволюции при А1—>Ь1г превращении наиболее резко выражена для систем с малым радиусом взаимодействий Rint, а для систем ббльшим эволюция менее чувствительна к концентрации. Внутренняя структура АФГ в L12 фазе резко меняется с концентрацией, и определяется в основном степенью близости изображающей точки с,Т на равновесной фазовой диаграмме сплава к кривой равновесия фаз А1—>Ы.2 или LI2 —>Llo- Исследован также своеобразный механизм роста доменов при превращении слияние различных одинаково упорядоченных доменов, и показано, что он обычно является важным для эволюции.

5. Обнаружен ряд своеобразных микроструктурных особенностей, характерных для начальной стадии превращений, когда тетрагональная деформация LI0 фазы

еще не существенна дня эволюции. Показано, что на этой начальной стадии многие черты эволюции приФП Al—»Llo и Al—оказываются сходными.

6. На поздних стадиях эволюции при ФП AI—»Llo обнаружено явление выстраивания АФГ внутри твин-полос с определенным углом скашивания между ориентацией полосы и плоскостью АФГ, который резко зависит от типа взаимодействий, особенно от радиуса взаимодействий Rtnt• Такое выстраивание АФГ наблюдалось в сплавах Co-Pt, и сравнение экспериментальных углов скашивания с теоретическими расчетами [20] дало информацию о виде химических взаимодействий в этом сплаве.

7. Показано, что для сплавов с достаточно протяженными взаимодействиями, таких как Fe-Al, приближение среднего поля (ПСП) обычно позволяет качественно верно описывать вид фазовой диаграммы, а приближение парных кластеров (ППК) позволяет заметно улучшить описание. Для описания ОЦК сплавов с сильными короткодействующими корреляциями предложен тетраэдриче-ский метод кластерных полей (ТМКП), позволяющий достаточно точно рассчитывать фазовые диаграммы этих сплавов для физически интересных значений температуры и концентрации.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на международных конференциях серии International Alloy Conference (IAC), IAC-2 (Давос, Швейцария, 1999), IAC-3 (Лиссабон, Португалия, 2002), Международных симшь зиумах "Phase Transformations and Evolution of Materials" (Нэ-швилл, США 2000), "Mathematical Modelling and Simulation of Metal Technologies" (Ариэль, Израиль, 2000), "Progress in the Condensed Matter Theory" (Дрезден, Германия, 2002), а также

на ряде внутрироссийских конференций.

Публикации. По результатам диссертации в 1999-2003 г.г. опубликовано 4 статьи в научных журналах.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она содержит 54 рисунка, 4 таблицы, список цитируемой литературы из 74 наименований. Полный объем диссертации 117 страниц.

Краткое содержание работы

Во введение кратко описывается современная ситуация в области теоретического описания и компьютерного моделирования кинетики фазовых превращений в сплавах. Даётся обоснование актуальности и важности рассматриваемых в диссертации проблем.

Первая глава посвящена кинетическому методу кластерных полей и его применению к изучению упорядочений по типу Ыг в сплавах.

В первом разделе описывается кинетический тетраэдриче-ский метод кластерных полей.

Рассматривается бинарный сплав замещения Д-В. Различные распределения атомов по узлам решетки I описываются наборами чисел заполнения {и1|, где оператор п — пм равен единице когда узел I занят атомом Д и нулю в противном случае. Приводятся точные кинетические уравнения для средних значений чисел заполнения и их корреляторов, выведенные в работе [6]. Описан кинетический тетраэдрический метод кластерных полей (КТМКП), который обобщает тетраэдриче-ский метод кластерных полей (ТМКП), использовавшийся для

равновесных систем, на случаи неоднородных и неравновесных сплавов. КТМКП используется для вывода кинетических уравнений для средних заполнений узлов решетки атомами каждого сорта, что определяет временную эволюцию локальных концентраций и локальных параметров порядка в сплаве. Эти уравнения достаточно просты и удобны для численных решений.

Во втором разделе описываются используемые модели и методы моделирования. Рассматривается пять моделей сплавов с различными эффективными размерами области взаимодействий, от моделей с короткодействием (взаимодействия vn до вторых соседей с разными значениями отношения v/v) до моделей с протяженными взаимодействиями (до четвертых соседей) дальнодействующего (взаимодействие до четвертых соседей). Для описании влияния дальнодействующих упругих сил на микроструктурную эволюцию при ФП А1—+AI+LI2 рассматриваются еще две модели, которые соответствуют добавлению к указанным выше "химическим" взаимодействиям vn = также упругого взаимодействия vel. Описаны также различные формы представления результатов. С экспериментальной точки зрения, описание сплава в терминах заполнений отдельных узлов Сх соответствует изображениям, получаемым в методе электронной спектроскопии высокого разрешения (highresolution electron microscopy — HREM). Это "с-представление" удобно для описания микроструктур атомных масштабов, характерных для начальных стадий фазовых превращений. Более поздние стадии соответствуют образованию протяженных упорядоченных областей, и их удобней характеризовать распределением локальных параметров порядка, получаемых усреднением по некоторой локальной области. Эти распределения экспериментально наблюдаются в изображениях, получаемых методом трансмиссионной электронной микроскопии (ТЭМ), в

которых интенсивность отражения пропорциональна квадрату соответствующего локального параметра порядка. Поэтому структуры с частичным Ь12 упорядочением удобно характеризовать распределением величин т]? = т}^ + т)^ + тЦ^ это Рас~ пределение называемое "^-представлением", в основном и используется при представлении результатов..

Третий раздел посвящен кинетике фазовых превращений А1—+Ы.2. Данное превращение моделируется для пяти упомянутых выше моделей сплавов при стехиометрическом составе с = 0.25. На рис. 1 показана временная эволюция при ФП А1—»Ыг модели 1 со взаимодействием вторых соседей и с = г>2/г>1 = -0.125, т. е. для модели с короткодействием. Характерной особенностью этих микроструктур является преобладание в них консервативных АФГ с ориентацией типа (100). В случае взаимодействия ближайших соседей, т. е. при энергия

таких АФГ равна нулю [19]. Результаты, представленные на рисунке 1, можно сопоставить с экспериментальными наблюдениями для сплава Си,Аи, для которого оценки указывают на значения б 0. Микроструктуры, показанные на рисунке 1, могут иллюстрировать все характерные особенности экспериментальных ТЭМ-фотографий Луазо и др. для данного сплава в [16, 17], даже несмотря на то, что опыты Луазо и др. соответствуют более поздним стадиям эволюции и бблыним размерам упорядоченных доменов. С ростом |с|, т. е. с увеличением эффективного радиуса взаимодействий, эволюция заметно убыстряется, а доля консервативных границ в микроструктурах падает. Консервативные границы малоподвижны и эволюция осуществляется путем движения неконсервативных АФГ и их взаимодействия с консервативными. Впервые указаны характерные процессы этого взаимодействия АФГ, обуславливающие эволюцию. Рассмотрены также модели с ббльшим радиусом взаимодействий.

Изучено влияние отклонений состава сплава от стехиомет-рического значения с = 0.25 на микроструктурную эволюцию для моделей с короткодействием. Моделировался переход А1—+Ы2 при одной и той же приведенной температуре Т' = Т/у\, но при трех концентрациях: с = 0.25, а также с = 0.22 и с = 0.32, которые соответствуют примерно одинаковому расстоянию 8с ^ 0.02 от границ двухфазных областей А1+Ь12 и Ы2 + Ы0, соответственно. Общий характер микроструктурной эволюции для всех трех составов является сходным. Однако, структура АФГ обнаруживает существенные изменения с составом. Локальная структура АФГ при данных значениях с = со и Т = То проявляет черты близости к той фазе, которая на фазовой диаграмме с,Т ближе всех расположена к точке (со,То). Подробнее этот "эффект близости" в локальной структуре АФГ обсуждается в главе 3 диссертации.

Подробно рассмотрена эволюция моделей с "промежуточными" и протяженными радиусами взаимодействий Полученные микроструктуры для модели типа №-А1 (промежуточный Шп1) обнаруживают достаточно заметную анизотропию в распределении АФГ, обусловленную присутствием консервативных АФГ, и они качественно сходны с микроструктурами, наблюдавшимися в реальных сплавах типа№зА1 [18, рис. 6]. Для модели с протяженным все АФГ неконсервативны и распределены практически изотропно, эти микроструктуры сходны с экспериментально наблюдавшимися в сплавах Си-Рё [16, рис. 9].

В четвертом разделе рассмотрены особенности эволюции сплава при распаде с упорядочением типа

Сначала описывается зависимость микроструктурной эволюции от типа взаимодействий. В рассматриваемом двухфазном сплаве разные Ы2-упорядоченные домены обычно окружены неупорядоченной фазой, так что возможная анизотропия

микроструктур определяется степенью анизотропии межфазных границ (МФГ). На первой стадии конгруэнтного упорядочения образуются упорядоченные домены, разделенные АФГ. Затем эти АФГ начинают "смачиваться" неупорядоченной фазой А1, превращаясь в МФГ. После того, как трансформация консервативных АФГ в МФГ заканчивается, их начальная анизотропия резко падает, в согласии с результатами [19] о слабой анизотропии энергий МФГ. Моделирования для моделей с ббльшим радиусом взаимодействий, обнаруживают, естественно, еще меньшую анизотропию.

Обсуждаются эффекты упругих сил. Моделирования. выполнялись для двух моделей, описанных в разделе 3. Упругое взаимодействие vel для. этих моделей соответствует сплавам Ni-Al. Для одной из моделей химические взаимодействия являются короткодействующими, что ведет к заметному (100) выстраиванию АФГ при конгруэнтном упорядочении. В отличие от обсуждавшегося выше случая отсутствия упругих взаимодействий, эта начальная анизотропия не теряется после превращения данных АФГ в МФГ, но фиксируется и усиливается упругими силами. Все эти факторы ведут к заметному выстраиванию МФГ преципитатов уже при относительно небольших размерах lc ~ 10а. Для модели с ббльшим Rinl эффекты анизотропии становятся заметны только на много более поздней стадии "укрупнения" (coarsening) структуры.

Далее рассматривается проблема конгруэнтного упорядочения при ФП А1—»A1+L12. Наличие промежуточной начальной стадии при упорядочении с распадом сплава следует из весьма общих физических соображений, и это было подтверждено экспериментами для ряда сплавов [15]. Однако, в недавнем исследовании ранних стадий превращения в сплавах Al-Li методами электронной микроскопии высокого разрешения (HREM), Хаазен с сотрудниками [13] наблюдали микроструктуры, в которых многие прилегающие упорядочен-

ные преципитаты, разделенные неупорядоченным слоем, оказались "в фазе", т. е. соответствовали одному и тому же типу Ы2-упорядоченного домена. Эти наблюдения казались противоречащими наличию стадии, конгруэнтного упорядочения. Для прояснения ситуации был выполнен ряд моделирований ФП А1—»А1+1Л2. Во всех наших моделированиях наблюдалась стадия конгруэнтного упорядочения, которая видна, например, на кадрах 2с и 2е. Однако, как до, так и после этой стадии наблюдались микроструктуры с соседствующими доменами-од-ного типа, разделенными неупорядоченным слоем: Указано, по крайней мере, три-возможных, механизма образования'ми-кроструктур этого типа. Поэтому наблюдения Хаазена с сотрудниками [13] могут просто соответствовать другой. стадии эволюции и не противоречить существованию конгруэнтного упорядочения. Была-исследована также временная эволюция локальных концентраций и локальных параметров порядка в процессе конгруэнтного упорядочения. Показано, что локальное понижение концентрации атомов меньшинства внутри АФГ начинается практически одновременно с появлением упорядоченных доменов, и после завершения конгруэнтного упорядочения локальная концентрация внутри АФГ является уже "квази-равновесно" пониженной: Поэтому общепринятый термин "конгруэнтное упорядочение" в действительности соответствует не строго конгруэнтному состоянию без изменения концентрации, а наличию также и АФГ с "квазиравновесными", пониженными значениями локальных концентраций.

Вторая глава посвящена кинетике Ы0 и Ы2 упорядочений в сплавах на ранних стадиях фазовых превращений:

В первом разделе более подробно, чем в главе 1 рассмотрены следующие проблемы микроструктурной эволюции при ФП А1—»АИ-Ыг: (1) концентрационная зависимость этойэволю-

ции; (и) своеобразный механизм роста доменов через слияние одинаково упорядоченных областей, характерный для рассматриваемых "многовариантных" упорядочений L12 и L10 с числом различных типов АФД, ббльшим двух.

Для исследования проблем (0 и (и) выполнены детальные моделирования ФП А1—>А1+Ы2 при различных концентрациях для моделей с разными радиусами взаимодействий. Найдено, что рост степени нестехиометричности так же как и радиуса взаимодействий Шпи приводит к более "изотропным распределениям АФГ и к некоторому убыстрению эволюции, особенно для малых ШпТ> но в целом концентрационная зависимость микроструктурной эволюции оказывается не слишком сильной. В то же время структура АФГ в L12 фазе обнаруживает весьма резкую концентрационную зависимость. Эта структура определяется главным образом расположением точки концентрация-температура с, Тна фазовой диаграмме, в частности, расстоянием Д между этой точкой с, / и ближайшей двухфазной области L12+X: чем меньше Д, тем более структура АФГ близка к характерной для фазы X структуре. Так, при значениях с, Т, близких к двухфазной области L12+А1 АФГ показывают значительную локальную неупорядоченность, тогда как вблизи двухфазной области L12+L10 в АФГ заметна высокая степень локального порядка L10. Аналогично, структура АФГ в L10 фазе вблизи двухфазной области L10+L12 показывает значительную степень локального L12 порядка. Такой микроструктурный "эффект близости" может быть основной особенностью структуры АФГ в упорядоченных сплавах.

Исследован также своеобразный» механизм роста доменов при превращении А1—»Ыг, слияние различных одинаково упорядоченных доменов, и показано, что он, наряду с обычным механизмом роста больших АФД за счет исчезновения меньших, является весьма важным для эволюции. Наблюдалось два типа таких слияний: (а) по механизму разрыва контакта между

соседними АФД, которые сначала разделяли одинаково упорядоченные домены, впоследствии сливающиеся, и (б) по механизму исчезновения:промежуточного домена, который сначала разделял сливающиеся одинаково упорядоченные домены, и-оба эти.типа.слияний, (а) и (б), наблюдались в процессах эволюции одинаково часто.

Во втором разделе представлены результаты численного моделирования кинетики превращений в системах с

короткодействующими взаимодействиями.

Некоторые результаты этих моделирований представлены на рисунке 3. Символ А или А на этих рисунках соответствует LlO-упорядоченному домену с осью тетрагональности с вдоль (100) и положительным или отрицательным значением, соответственно, параметра порядка символ В или В,, соответствует с-оси вдоль (010) и параметру порядка т/г; а символ С или С, отвечает с-оси вдоль (001) и параметру порядка щ. Кадр Зс показанный в с-представлении иллюстрирует заполнение узлов решетки для каждого типа доменов.

Отличительной чертой микроструктур, показанных на рисунке 3, является преобладание консервативных АФГ с ориентацией типа (100). Существует два вида консервативных АФГ при упорядочении L10: консервативная. АФГ типа смещения, разделяющая домены X и X с одной и той же осью тетрагональности, и консервативная АФГ поворотного типа, разделяющая домены с перпендикулярными осями тетрагональности. Микроскопическая структура этих АФГ иллюстрируется кадром Зс. Обнаружен целый ряд особенностей кинетики ФП Al—»Lio в сплавах с короткодействием, аналогичных наблюдавшимся для ФП в таких системах как в наших моделировани-

ях, так и в экспериментальных работах [16, 17], описанных в главе 1.

В третьем разделе изучается кинетика превращений А1—>Ь1о в системах со средним и протяженным радиусом взаимодействий. Некоторые результаты этих моделирований представлены на рисунке 4. Сравнение рисунков 3 и 4 снова показывает резкое отличие в микроструктурах между системами с разными радиусами взаимодействий. Так, например, консервативные АФГ для модели со средним Шп1 присутствуют только при стехиометрической концентрации с = 0.5 (рис. 4), тогда как при большем радиусе взаимодействий или при нестехио-метрическом с = 0.44 все АФГ в микроструктурах являются неконсервативными. Еще одной характерной особенностью обоих превращений является наличие про-

цессов слияния доменов, обсуждавшегося в разделе 1.

Кроме этих и других особенностей, упомянутых выше и аналогичных наблюдаемым для перехода, обнаружено

наличие ряда своеобразных конфигураций и процессов, характерных именно для А1—+Ь1о превращения. Прежде всего это четверные стыки (4-стыки) - долгоживущие проме-

жуточные конфигурации, которые видимо соответствуют некоторому локальному минимуму в конфигурационной энергии сплава. В качестве примера такого стабильного 4-стыка можно отметить стык АВ АВ, указанный стрелкой на кадре 4ё.

Другой характерной чертой эволюции является наличие многих процессов расщепления АФГ типа смещения; на две поворотные АФГ, особенно при увеличении радиуса взаимодействий Шп1 или отклонения 8с от стехиометрии. Это отражает уменьшение стабильности АФГ типа смещения по отношению к поворотным АФГ для таких сплавов. В ходе дальнейшей эволюции такое расщепление может привести как к слиянию доменов одного типа, так и к формированию стабильного или нестабильного 4-стыка. Так, например, расщепление со слиянием доменов можно проследить на кадрах 4а-4ё, где АФГ С-С, отмеченная тройной стрелкой на кадре 4с и возникшая после

исчезновения домена типа А, расщепляется со слиянием двух доменов типа А.

Третья глава посвящена описанию кинетики формированияк твин-структур при Ь10 упорядочении в сплавах.

В первом разделе сначала выводится микроскопическая модель эффективных межатомных деформационных взаимодействий, возникающих вследствие так называемых сил Канзаки, описывающих различие в деформациях решетки при заполнении её узлов различными атомами. Эта модель обобщает аналогичную модель Хачатуряна для разбавленных сплавов [14] на физически интересный случай концентрированных сплавов. При этом учитываются также и непарные вклады в силы Кан-заки, так что и результирующее эффективное деформационное взаимодействие Ш оказывается непарным, в отличие от случая разбавленных сплавов. Предполагая непарные силы Канзаки короткодействующими, мы выражаем деформационные взаимодействия Ш через два микроскопических параметра, которые можно оценить из экспериментальных данных об искажениях решетки при фазовых превращениях, и мы приводим такие оценки для сплавов Со-К.

Во втором разделе описываются используемые модели и методы моделирования. Для химических взаимодействий и®- = ьп использовались все пять моделей из глав 1 и 2. Для постоянной решетки выбиралось типичное значение- а для упругой константы (С11 — С12), значение 0.97 МЬаг, соответствующее ГЦК платине. Для матрицы силовых постоянных. Ак (которая определяет матрицу вк = (Ак)-1 в выражениях для слагаемых, входящих в деформационный гамильтониан) использовалась модель, описанная в [И]. Она отвечает модели Борна-фон-Кармана с ненулевыми силовыми постоянными

только для первых и вторых соседей. Эта модель включает три независимые силовые постоянные, выраженные через упругие константы СЛ, и эти константы выбраны равными,ГЦК константам для платины [22]: с\\ = 3.47 МЬаг, си = 2.5 МЬаг, и С44 = 0.77 МЬаг.

В третьем разделе рассматривается кинетика превращений в системах со средним или протяженным радиусом взаимодействия. Некоторые результаты нашего моделирования представлены на рисунке 5. Укажем сначала три основные стадии эволюция при переходе Al—»Lio, которые можно проследить по рис. 5:

(i) Начальная стадия образования мельчайших доменов упорядоченных по типу L10, причем все шесть типов АФД присутствуют в микроструктурах в одинаковой пропорции (кадры 5а и 5Ь).

(ii) Промежуточная стадия, которая соответствует "твид"-контрасту в ТЭМ изображениях. Тетрагональная деформация упорядоченных по типу L10 АФД здесь ведет к преобладанию ориентации типа (ПО) для поворотных АФГ (кадры 5с и 5d).

(iii) "Поли-двойниковая" (или "поли-твин") стадия, соответствующая образованию "твин'-полос с ориентацией типа (ПО) (кадры 5е и 5f). Каждая из полос включает только два типа АФД с одной и той же осью тетрагональности, и эти оси в соседних твин полосах "сдвойникованы", т. е. имеют чередующиеся ориентации (100) и (010) в каждом наборе твин полос с ориентацией (ПО).

Для систем с протяженным или промежуточным Rint как на начальной, так и на твид-стадии отмечены следующие особенности: (а) наличие множества процессов слияния однотипных доменов; (Ь) большое число своеобразных долгоживущих конфигураций, четверных стыков АФД; и (с) многочисленные процессы "расщепления" АФГ типа смещения на две поворот-

ные АФГ. Моделирования иллюстрируют также существенную температурную зависимость эволюции, в частности, заметное возрастание как ширины АФГ, так и характерных размеров начальных АФД при повышении Т. Отклонение от стехиометрич-ности 6с — (0.5 — с) влияет на эволюцию аналогично температуре Т: при возрастании как <$с, так и Твсе АФГ утолщаются, а АФГ типа смещения становятся менее стабильными относительно расщепления на поворотные АФГ.

Для твин-стадии отмечены следующие особенности промежуточных микроструктур: (1) полу-петлевые АФГ типа смещения, прилегающие к границам твин-полос; (2) "8-образные" АФГ типа смещения простирающиеся поперек твин-полос; (3) короткие и узкие твин-полосы ("микротвины"), лежащие внутри ббльших твин-полос; и (4) процессы "поперечного укрупнения" твин-структур посредством сжатия и исчезновения ми-кротвинов. Все эти особенности согласуются с экспериментальными наблюдениями. Для конечной стадии эволюции, т. е. почти-равновесных твин-полос, обнаружено своеобразное явление выстраивания, АФГ типа смещения внутри твин полос с определенным углом скашивания между ориентацией полосы и плоскостью АФГ, и этот угол скашивания резко зависит от типа взаимодействий, особенно от размера области взаимодействий ЛШ- Такое выстраивание АФГ, предсказанное в настоящей работе, позднее наблюдалось в сплавах Со- П, и сравнение экспериментальных углов скашивания с теоретическими расчетами [20] дало информацию о виде химических взаимодействий в этом сплаве.

В четвертом разделе рассматриваются кинетические особенности превращений в системах с короткодействующими взаимодействиями. Рисунок б иллюстрирует эволюцию для модели 1, которая соответствует сплавам типа Си-Аи. Отличительной особенностью микроструктуры, показанной на ри-

сунке 6, является преобладание упомянутых выше консервативных АФГ с ориентациями типа (100) и ступенчатой, фасе-тированной структурой.

Кадры 6(а)-6(с) показывают, что на первой стадии эволюции доля консервативных АФГ относительно неконсервативных возрастает, вследствие более низкой энергии консервативных АФГ. Позже, с началом твид-стадии, важными становятся деформационные эффекты, приводящие к вымиранию как АФД С и С, так и поворотных АФГ между ними. Однако, консервативные АФГ типа смещения внутри твин-полос выживают, и на конечном кадре 6d они обычно являются "ступенчатыми", будучи составленными из консервативных сегментов с ориентацией типа (100) и малых неконсервативных уступов. Эти ступенчатые АФГ могут рассматриваться как "фасетиро-ванные" модификации скошенных АФГ, видных на рисунке 5. Такие ступенчатые АФГ наблюдались при L10 упорядочении в CuAu и некоторых сплавах на основе CuAu [21], и они сходны с аналогичными ступенчатыми АФГ, наблюдавшимися для L10 упорядочений как в моделированиях (глава 1), так и в экспериментах для сплавов СизАи [17].

Четвертая глава посвящена исследованию точности различных статистических методов при описании фазовых переходов упорядочения в ОЦК сплавах.

В первом разделе приводятся общие формулы кластерных методов для равновесных и квази-равновесных распределений, изложенные в работе [12] и главе 1.

Во втором разделе предложен тетраэдрический метод кластерных полей (ТМКП) для ОЦК решеток. Простые выражения приближения среднего поля (ПСП) и, особенно, приближения парных кластеров (ППК) обычно достаточны для описа-

ния систем с протяженными взаимодеиствиями, например, для сплавов типа Fe-Al, рассматриваемых в разделе 4. Однако, в системах с короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями, обсуждаемых в разделе 5, возникают сильные корреляции заполнения первых и вторых соседей, и для адекватного описания таких систем эти корреляции нужно учитывать. Описан используемый в развиваемом методе выбор базисных тетраэдров. В отличие от ТМКП в ГЦК решетках, для ОЦК решеток этот выбор неоднозначен. В связи с этим для описания произвольного неоднородного распределения заполнений {с*} в ОЦК сплаве необходимо производить усреднение по всем шести возможным вариантам выбора базисных кластеров.

В третьем разделе выводятся явные формулы для термодинамических потенциалов в фазах В2 и D03. Выражения для свободной энергии, химического потенциала и термодинамического потенциала на один атом выписываются в различных приближениях ПСП, ППК и ТМКП, точность которых исследуется в следующих разделах. Рассмотрены также спино-дали для упорядочений В2 или D03 т. е. кривые Т = 0(с) в плоскости с,Т, ограничивающие область устойчивости сплава относительно этих упорядочений. Общим условием устойчивости распределения заполнений относительно возникновения концентрационной волны со сверхструктурным вектором к5, т. е. малых флуктуации ác¡, является положительность коэффициента при тЦ в разложении свободной энергии F{c¿} по i5ci при малых т]3. Условие обращения этого коэффициента в ноль дает уравнение для спинодали упорядочения. Приводятся явные уравнения для спинодалей упорядочения В2 и D03 в рассматриваемых приближениях.

В четвертом разделе приведены результаты расчетов фазовых диаграмм с упорядочениями типа В2 и DO3 в ОЦК ре-

шетке для различных моделей сплавов Fe-Al, исследуется точность обсуждаемых методов ПСП, ППК и ТМКП. Для этого результаты.таких расчетов сравниваются друг с другом и с имеющимися расчетами методом Монте Карло [23, 24]. Некоторые результаты данных расчетов представлены на рис. 7, на котором изображена фазовая диаграмма для "реалистической" модели, полученной из прямых экспериментальных оценок констант взаимодействия [25]. Анализ полученных фазовых диаграмм в различных приближениях для моделей сплавов типа Fe-Al, взаимодействия в которых являются достаточно даль-нодействующими, позволяет сделать следующие выводы:

1. Расчеты в приближении среднего поля (ПСП) могут приводить к заметным ошибкам даже для систем с протяженными взаимодействиями, прежде всего, к завышению вычисленных температур фазового перехода второго рода А2—»В2, т. е. к завышению положения В2-спинодали вт\ч(с) на фазовой диаграмме (с,Т).

2. Использование приближения парных кластеров позволяет заметно уточнять описание сравнительно с ПСП. Таким образом, использование ППК здесь позволяет существенно повысить точность расчетов сравнительно с ПСП без сколько-нибудь заметного усложнения вычислений:

3. Для всех рассмотренных здесь моделей результаты приближения парных кластеров и тетраэдрического метода кластерных полей (ППК и ТМКП) практически.совпадают. Это связано с малостью взаимодействий Y2, т. е. отношений V2¡TC для этих моделей, вследствие чего вклад v2 эффективно описывается в ПСП, так что выражения ТМКП.эффективно переходят в ППК.

4. С понижением температуры Т точность обсуждаемых приближенных методов для рассматриваемых моделей обычно повышается. В связи с этим фазовые равновесия, включающие фазу DO3, описываются точнее, чем переходы А2—>В2, особен-

но, при использовании ППК или ТМКП.

В пятом разделе обсуждаются расчеты фазовых диаграмм для систем с короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями, в основном на примере моделей со взаимодействием только первых и вторых соседей v, и v2, характеризуемых одним безразмерным параметром

В таких системах конкуренция взаимодействий г>2 и v\ приводит к затруднению перехода и понижению приведенных температур упорядочения. Т' = T/v 1, вследствие чего в области перехода важны корреляции заполнения первых и вторых соседей. Некоторые результаты этих расчетов иллюстрируются рисунком 8. Анализ полученных фазовых диаграмм в различных приближениях для моделей с короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями.позволяет сделать следующие выводы

1. При малых значениях фазовые диаграммы моделей в ППК и ТМКП практически совпадают, так же как и для обсуждавшихся выше моделей сплавов Fe-Al. При этом использование ППК (или ТМКП) позволяет существенно уточнять результаты простого ПСП.

2. При ббльших точность ППК начинает резко падать и становится существенно ниже, чем для ТМКП. При этом ППК занижает область стабильности упорядоченных фаз как со стороны высоких температур, так и со стороны низких температур, где при этом резко проявляются "антикюри-точки" Тос, соответствующие (фиктивному) исчезновению упорядоченной фазы.

3. В расчетах ТМКП антикюри-точки для ^-моделей также присутствуют. Однако, значения Тас здесь намного меньше, чем в ППК, и для всех рассматриваемых v'2 < 0.5 эти значения малы сравнительно с критической температурой Тс. При этом рис. 8 показывает, что для v'2 = 0.5 вычисленная в ТМКП

фазовая диаграмма, при всех не слишком низких Т £ 0.3Тс неплохо согласуется с расчетами Монте Карло [23], хотя при меньших Т £ 0.2ТС уже становятся заметны погрешности, связанные с наличием антикюри-точек. Рис. 8 показывает также, что расчеты ПСП для данной модели приводят не только к количественным, но и качественным искажениям вида фазовой диаграммы, а ППК здесь, как отмечалось, совсем неприменимо.

Заключение содержит основные результаты и выводы диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. К. D. Belashchenko, V. Yu. Dobretsov, I. R. Pankratov,

G. D. Samolyuk and V. G. Vaks, The kinetic cluster field method and its application to studies of Ыч-type orderings in alloys. J. Phys.: Condens. Matter 11 (1999) 10593-10620.

2. I. R. Pankratov and V. G. Vaks, Kinetics of phase and L12 type orderings in alloys at early stages of phase transformations, J. Phys.: Condens. Matter, 13 (2001) 6031-6058.

3. K. D. Belashchenko, I. R. Pankratov, G. D. Samolyuk and V. G. Vaks, Kinetics of formation of twinned structures under Llo-type orderings in alloys. J. Phys.: Condens. Matter 14 (2002) 565-589.

4. В. Г. Вакс и И. Р. Панкратов, О точности различных статистических методов при описании фазовых переходов упорядочения в ОЦКсплавах. ЖЭТФ 124, №1, 114129 (2003).

Литература

[1] Okuda H and Osamura К 1994 A eta Metall. Mater. 42 1337.

[2] Frontera C,Vives E, Castan/Г and Planes A 1997 Phys. Rev. B55212.

[3] Wang Y, Chen L-Q and Khachaturyan A G 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et ab (Warrendale: The МММ Society) p 245.

[4] Кир Б Х 1986 В мире науки 12 99.

[5] Wang Y, Banerjee D, SuCC and-Khachaturyan A G 1998 Ada mater. 46 2983.

[6]"Vaks VG 1996 Pis. Zh. Eksp: Teor. Fiz. 63 447 (Engl. Transl. JETP Lett. 63 471).

[7J Dobretsov V Yu, Martin G, Soisson F and Vaks V G 1995 Europhys. Lett. 31 417.

[8]; Dobretsov V Yu, Vaks V G and Martin G 1996 Phys. Rev. В' 54 3227.

[9] Dobretsov V Yu and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed: Matter 10 2261, 2275.

[10] Belashchenko К D and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 1965.

[11] К D Belashchenko, G D Samolyuk and V G Vaks 1999 J. Phys.: Condensed Matter 11 10567.

[12] В Г Вакс, Г Д Самолюк 1999 ЖЭТФ 115 158.

[13] Schmitz G, Hono К and Haasen P 1994 Ada Metall. Mater. 42 201.

[14] Khachaturyan A G 1983 Theory of Structural Phase Transformations in Solids (New York: Wiley).

[15] Allen S M and Cahn J W 1976 Ada Met 24 425.

[16] Loiseau A, Ricolleau- C, Potez L and Ducastelle F 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 385.

[17] Potez L and Loiseau A 1994 J. Interface Sci. 2 91.

[18] Cahn R W, Siemers P A and Hall E L 1987 Ada Metall. 35 2753.

[19] Kikuchi R and Cahn J W 1979 Ada Met. 27 1337.

[20]' Vaks V G 2001 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 73 274 (Engl. Transl. 2001 JETP Lett. 73 237).

[21] Syutkina V I, Abdulov R Z, Zemtsova N D and Yasyreva L P 1984 Fiz. Metal Metalloved. 58 745.

[22] Ducastelle F 1970 J. de Phys. 31 1055.

[23] В Diinweg and К Binder 1987 Phys. Rev. В 36 6935.

[24] F Schmid andK Binder 1992 Phys. Rev. В 46 13553.

[25] W Schweika 1990 Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 166 249.

Рис. 1: Временн£я эволюция модели 1 со взаимодействием вторых соседей и е — V2/V1 = —0.125 при превращении AI—»Ыг, показанная в ^-представлении для объема моделирования Vb = 642 х 1 при с = 0.25, Т = T/v 1 = 0.35 и следующих значениях приведенного времени t' = tfnn: (а) 2, (b) 3, (с) 20, (d) 100, (е) 177 и (f) 350. Уровень зачернения линейно меняется с 77? = rfti + r)2i + т?зi между минимальным и максимальным значениями от черного к белому.

ш-ж .••••'. \ ." ■ . ' .•: J '3 II ■ ■■ - -................ К „т■,.■■'' ^ .V", V* ■ /;. '":•.■ ~ г л Г'.:- . г ; ' >■■':. . ' ; ¿"г'-Ч ¿Г ':■ г',» г-" ■-• . .1* ' л . ' ■г.:': _ . • " Г.-; \ : ; л; • •:.'■ .Г'У + ' , • ' .V. ' • ". • ' • " ■■ • Л'.'.'-. ' ** .•

<? ГУ} . _ ■■■ Г • * Г ■ /К) - 4',' - V '/^-ЛСо, о : - 14 >1

Рис. 2: То же, что на рисунке 1, но для другой модели с с = г>2/и1 = -0.25 при с = 0.13, Т' = 0.3. Три верхних кадра соответствуют ЗЭ моделированию с = 603 и показаны в с-представлении для следующих г': (а) 3.2, (Ь) 3.5 и (с) 4. Три нижних кадра соответствуют 2Б моделированию с Уь = 1282 х 1; показаны в ^-представлении при следующих (а) 2.6, (е) 3 и (0 10.

Рис. 3: Временнйя эволюция модели 1 взаимодействия вторых соседей с с = V2¡V\ = -0.125 при фазовом превращении Al—+Llo для объема моделирования размером V¿> = 642 х 1 при Т" = Т/и i = 0.35, с = 0.5 и следующих значениях t': (а) 5; (Ь) 10; (с) 50; и (d) 200. Кадр (с) показан в с-представлении с уровнем зачернения линейно меняющимся с c¿ между своим минимальным и максимальным значениями от черного к белому, остальные кадры показаны в ^-представлении. Символы А, А, В, В, С или С обозначают тип упорядоченного домена. Одинарная и двойная стрелки здесь и далее указывают на некоторые конфигурации и кинетические процессы, характерные для микроструктур с консервативными АФГ и обсуждаемые в диссертации.

щ ш ш

Ш ш £1 Г\У С 1 1 1 в | с / и- с 1 *г А ——-Лу/. А А с Л сУ"^ с

Рис. 4: То же, что на рисунке 3, но для модели, со средним; радиусом взаимодействий:с Ц,- = 1282 х 1 при Т = 1300 К, с = 0.5 и при следующих значениях <': (а) 10; (Ь) 20; (с) 50; (с!) 100; (е) 200; и (0 300. Тонкая и тройная стрелки здесь и далее указывают, соответственно, четверные стыки и процессы расщепления АФГ, обсуждаемые в тексте.

В ш

ш '92

Рис. 5: Временная эволюция модели с протяженными взаимодействиями при фазовом превращении А1—>Ыо, показанная в ^-представлении, для объема моделирования .И = 1282 х 1 при значениях параметра максимального тетрагонального искажения |ет| = 0.1, концентрации с = 0.5, приведенной температуры Т' = Т/Тс = 0.7, и следующих значениях приведенного времени Ь' = Í7„„: (а) 10; (Ъ) 20; (с) 50; (с!) 100; (е) 250; и ф 280. Уровень зачернения линейно меняется с 77? = ^н+^+^Зг между его минимальным и максимальным значением, г^п < Ю-4 и ^ах ~ 0.20, от темного к светлому как показано на вставке. Символ А, А, В, В, С или С указывает тип упорядоченного домена. Толстая, тонкая и одиночная стрелка указывает, соответственно, процесс слияния однотипных доменов, четверной стык АФД, и процесс расщепления АФГ, обсуждаемые в тексте.

Рис. 6: То же, что на рисунке 5, но для модели ! с короткодействующими взаимодействиями- при; |ет | = 0.15, с = 0.5, Т' — 0.9, Чтах — 0-24, и следующих значениях (а) 30; (Ь) 40; (с) 60; и (<1) 120.

Рис. 7: Фазовые диаграммы с,Т" (где Т' = Т/у\ - приведенная температура) бинарного ОЦК сплава АСВ1_С, вычисленные для "реалистической" модели Ее-А1. Здесь и ниже пунктирная линия соответствует приближению среднего поля (ПСП); тонкая сплошная линия - приближению парных кластеров (ППК); и толстая сплошная линия - тетраздрическому методу кластерных полей (ТМКП). Результаты ППК и ТМКП с графической точностью совпадают. Точки соответствуют расчетам методом Монте Карло [24].

0. Точки соответствуют расчетам методом Монте Карло [23]. Штрих-пунктирные линии показывают положение антикюри-точек, обсуждаемых в тексте.

Подписано в печать 09.09.2004. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,13 Тираж 62. Заказ 51. Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова

6226

Введение

1 Кинетический метод кластерных полей и его применение к изучению упорядочений по типу LI2 в сплавах

1.1 Кинетический тетраэдрический метод кластерных полей.

1.2 Используемые модели и методы моделирования.

1.3 Кинетика фазовых превращений А1—>Ыг

1.4 Особенности эволюции при переходе А1—►АИ-Ыг.

Исследования микроскопических свойств сплавов при фазовых превращениях (ФП) упорядочения имеют как фундаментальный, так и прикладной интерес. С точки зрения теории важно развитие подходов к микроскопическому описанию свойств неоднородных и неравновесных систем, включая аналитическое описание наблюдаемых явлений. Для приложений большое значение имеет, в частности, объяснение и теоретическое предсказание свойств и распределений антифазных границ (АФГ) в микроструктурах сплавов, используемых в технике, поскольку многие свойства этих сплавов, такие как прочность, пластичность, коэрцитивная сила магнетиков, и другие, существенно зависят от особенностей микроструктур.

В последнее время микроскопические подходы к описанию систем, далеких от равновесия, привлекают большой интерес в связи с рядом конкретных прикладных вопросов. Одним из них является изучение свойств сплавов, находящихся под воздействием излучения. В частности, исследование диффузии вакансий и примесей в таких сплавах могут дать подходы к решению проблемы охрупчивания корпусов реакторов, остро стоящей перед мировым сообществом. Не менее важным вопросом является изучение ФП в сталях, теоретические подходы к этой проблеме могут в значительной мере способствовать технологическому прогрессу металлургической отрасли.

Существует много теоретических и экспериментальных работ посвященных изучению упорядочений при фазовых переходах см. например [1-Ю]. При этом, поскольку эксперименты по изучению эволюции сплавов обычно сложны, то теоретические исследования и компьютерное моделирование данных процессов привлекают большой интерес.

В некоторых из этих работ применяется прямое моделирование ФП методом Монте-Карло [2, 3], однако для реалистичных моделей сплавов оно обычно оказывается трудоёмким.

Используются также феноменологические подходы, с помощью которых обсуждался ряд особенностей эволюции см. например обзор [5]. Однако при этом рассматривались в основном простейшие модели упорядочения по типу В2 в объёмно-центрированных кубических (ОЦК) решётках. В то же время в большинстве реальных сплавов реализуются более сложные упорядочения, в частности, по типу Ll2 в гранецентрированных кубических (ГЦК) решётках. Такие упорядочения характерны для многих практически важных систем, например для так называемых "суперсплавов" типа Ni3Al, широко используемых в аэрокосмической технике [17]. Феноменологическая модель некоторых ФП типа Ь1г обсуждалась только в недавней работе [6], микроскопические же рассмотрения таких ФП отсутствуют.

В работах В. Г. Вакса и др. был предложен микроскопический подход к исследованию существенно неравновесных систем, включая кинетику неравновесных сплавов, основанный на базе фундаментального кинетического уравнения для вероятностей различных атомных распределений по узлам решетки [13, 7, 16]. Этот подход с успехом применялся к исследованию большого числа проблем кинетики ФП в сплавах [7, 12, 8, 15, 16, 19]. Несмотря на то, что в настоящей работе речь пойдет только о сплавах замещения, излагаемые методы являются более общими и применимы также для сплавов внедрения. Простейшим приближением, используемым в этом подходе, является приближение среднего поля (ПСП). В ряде случаев, например при описании В2 упорядочения в ОЦК решётке, это приближение даёт удовлетворительные результаты, однако при описании упорядочений в ГЦК сплавах оно становится качественно неверным. Так, в ПСП невозможно получить фазовые диаграммы, содержащие наблюдаемые в ГЦК сплавах упорядоченные фазы. В связи с этим для описания упорядочений в ГЦК сплавах используются более точные "кластерные" методы, в частности, известный метод вариации кластеров (МВК) [8-10]. Однако, при рассмотрении неоднородных систем этот метод оказывается довольно громоздким и неудобным для вычислений [22]. Поэтому в моделированиях, результаты которых обсуждаются в данной работе, используется метод кластерных полей. Этот метод является некоторым существенно упрощённым вариантом МВК, который однако имеет высокую точность описания для большинства физически интересных моделей ГЦК сплавов [24].

В главе 1 описан кинетический тетраэдрический метод кластерных полей (КТ-МКП), который обобщает аналогичный метод теории равновесных систем на случай неравновесных сплавов. В этой же главе обсуждаются два актуальных вопроса, обсуждаемых в литературе, но не имеющих полных ответов. Первая проблема — это связь эффективных межатомных взаимодействий vn с характерными морфологией и эволюцией антифазных (АФГ) и межфазных (МФГ) границ. Кан и Кикучи [31] показали, что в модели взаимодействия ближайших соседей поверхностная энергия АФГ, лежащих вдоль определенных кристаллографических направлений, обычно (100), равна нулю, что качественно объясняет преобладание (100) выстроенных АФГ, наблюдаемых в некоторых сплавах [25, 26]. Однако во многих реальных сплавах взаимодействие неближайших соседей играет существенную роль [32, 33, 22] и пока оставалось неизученным влияние этих взаимодействий на структуру и морфологию АФГ и МФГ. До сих пор оставалась необъясненной движущая сила, ответственная за ориентацию АФГ [25]. В главе 1 КТМКП используется для компьютерного моделирования фазовых превращений типа А1—>1Лг и Al—*A1+L12 после закалки сплава из неупорядоченной А1 фазы в однофазное состояние LI2 или в двухфазное состояние AI+LI2 для ряда моделей сплавов как с короткодействующими, так и с дальнодей-ствующими взаимодействиями. Моделирование превращений Al—+LI2 указывает на резкую зависимость микроструктурной эволюции от типа взаимодействий, особенно от эффективного радиуса взаимодействия. Это моделирование обнаружило также ряд своеобразных особенностей как в промежуточных микроструктурах, так и в кинетике фазового превращения, и многие из этих особенностей согласуются с экспериментальными наблюдениями. Микроструктурная эволюция при Al—»A1+L12 переходе оказывается менее чувствительной к типу "химических" взаимодействий (т. е. взаимодействий конечного радиуса). В то же время при наличии заметных упругих взаимодействий эта эволюция обнаруживает ряд специфических особенностей, которые ранее феноменологически обсуждались в работах Хачатуряна с сотрудниками и иллюстрируются нашим моделированием.

Второй исследованной в этой главе проблемой является проблема "промежуточного конгруэнтного упорядочения" при распаде сплава с упорядочением, которая в последнее время имеет большой интерес [1, 2, 28, 29, 30]. При качественном обсуждении кинетики ФП, сопровождаемого распадом сплавов, Аллен и Кан [34] высказали предположение, что при закалке неупорядоченного сплава в двухфазную область (например, при ФП типа Al —» Al + Ll2) ниже так называемой спинодали упорядочения (т. е. в область локальной неустойчивости неупорядоченной фазы относительно сколь угодно малых флуктуаций параметра порядка) первая стадия ФП будет соответствовать состоянию "конгруэнтного упорядочения", т. е. возникновению антифазных доменов (АФД) и АФГ между ними при практически неизменной локальной средней концентрации, равной начальной концентрации неупорядоченного сплава до закалки. И только на следующих стадиях ФП будет происходить распад сплава на упорядоченную и неупорядоченную фазы с различными средними концентрациями, соответствующими значениям на левой и правой бинодали (при данной температуре) фазовой диаграммы. Эти соображения Аллена и Кана были подтверждены в ряде экспериментов по распаду с упорядочением типа А2 —> А2 + В2 в ОЦК сплавах [30]. Однако в экспериментах по распаду с упорядочением по типу А1 —> AI+LI2 в сплавах Al-Li Хаазен и др. [28] наблюдали микроструктуры, которые по их мнению, опровергали описанные выше рассуждения. В связи с этим вопрос о наличии стадии промежуточного конгруэнтного упорядочения считается невыясненным [30]. Прояснению данной проблемы также посвящена часть главы 1.

В главах 2 и 3 КТМКП применен для исследования фазовых превращений типа А1—>Llo при температурах перехода ниже температуры спинодали упорядочения Ts. Тогда микроструктурная эволюция перехода А1—>L10 состоит из трех стадий [4245]: Начальная стадия формирования Ы0-упорядоченных доменов, когда их тетрагональное искажение еще мало влияет на микроструктурную эволюцию и все шесть типов АФД присутствуют в микроструктурах в одинаковых пропорциях; Промежуточная стадия, которая соответствует так называемому "твид" контрасту на ТЭМ снимках. "Политвиновая" стадия, когда тетрагональное искажение Llo ориентированных АФД становится определяющим микроструктурную эволюцию фактором и приводит к формированию (ПО)-ориентированных полос.

Глава 2 посвящена начальной стадии, рассмотрены различные модели сплавов как с короткодействующими, так и с дальнодействующими взаимодействиями. Отмечена резкая зависимость микроструктурной эволюции от типа взаимодействий. В моделированиях обнаружен ряд своеобразных микроструктурных особенностей эволюции, часть которых аналогичны отмеченным в главе 1. Для полного сравнения Llo и LI2 упорядочений, более детально рассматриваются две проблемы Ll2 упорядочения, обозначенные в главе 1: концентрационная зависимость эволюции и специфический механизм роста АФД за счет слияния доменов одинаковой фазы. Для Llo упорядочения и концентрационная зависимость эволюции и упомянутый механизм роста АФД выражены сильнее выражены, чем для упорядочения по типу Ll2, и детальное их сравнение позволяет понять происхождение этих различий. Кроме того, в главе 2 отмечено множество микроструктурных эффектов, таких как долгоживущие конфигурации — 4-стыки АФГ, расщепление АФГ одного типа на две АФГ другого типа и т. д.

Описанный в главе 1 подход применен в главе 3 для изучения кинетики упорядочений Llo-типа в сплавах, включая формирование твин-структур, на поздних стадиях эволюции. Несмотря на то, что физика формирований твин-структур обсуждалась множеством авторов [49, 50, 37, 51], теоретические описания кинетики превращения Al—*Llo до сих пор кажутся сомнительными, поскольку базируются на ряде упрощающих допущений, таких как кинетическое уравнение в приближении среднего поля; феноменологическое описание взаимодействия между упругими деформациями и параметрами локального порядка; изотропная упругость; нереалистичная модель межатомных взаимодействий; и т. д. В главе 3 описана модель деформационных взаимодействий, обобщающая подход Хачатуряна [37] для разбавленных сплавов и выполнены моделирования для ряда моделей с различными межатомными взаимодействиями. Как и в предыдущих главах отмечена резкая зависимость эволюции и полученных микроструктур от типа "химических" взаимодействий. Для твин стадии было найдено множество микроструктурных особенностей, хорошо согласующихся с экспериментальными данными [42, 47, 45]. В частности, наблюдался специфический эффект зависящего от взаимодействия выстраивания ориентации АФГ в пределах двойниковых полос, что ранее было описано феноменологически в работе В. Г. Вакса [51].

В главе 4 исследована точность различных статистических методов при описании фазовых переходов упорядочения по типу В2 или DO3 (CuZn или FesAl), характерных для ОЦК сплавов. Для ряда моделей сплавов, обсуждаемых в литературе, рассчитаны фазовые диаграммы температура-концентрация с использованием трех методов: приближения среднего поля (ПСП); приближения парных кластеров (ППК); а также тетраэдрического метода кластерных полей (ТМКП), построенного в этой главе. Результаты расчетов сравниваются друг с другом и с расчетами методом Монте Карло. Найдено, что точность различных методов резко зависит от типа взаимодействий в системе, прежде всего, от наличия сильных конкурирующих взаимодействий и короткодействующих корреляций, затрудняющих упорядочение. Показано, что в отсутствие таких корреляций, в частности, для сплавов типа Fe-Al с протяженными взаимодействиями, использование ППК позволяет существенно уточнять результаты ПСП без сколько-нибудь заметного усложнения вычислений. В то же время в системах с короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями использование как ПСП, так и ППК может резко искажать вид фазовых диаграмм, тогда как ТМКП позволяет и в этих случаях достаточно точно рассчитывать фазовые диаграммы для физически интересных значений температуры и концентрации.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты настоящей работы:

1. Кинетический тетраэдрический метод кластерных полей (КТМКП) был применен для моделирования фазовых превращений А1—и А1—>А1+Ыг после закалки сплава из неупорядоченной фазы А1 в однофазную Ll2 или двухфазную Al+Ll2 область фазовой диаграммы. Использованы пять моделей сплавов с различными типами взаимодействий. Исследовано также влияние упругих сил на переход Al—>A1+Ll2, рассмотрены еще две модели, включающие упругое взаимодействие vel с параметрами, соответствующими сплавам Ni-Al. Применены как 2D, так и 3D моделирования, и все существенные черты эволюции в этих двух типах моделирования оказались одинаковыми.

2. Результаты моделирования перехода Al—»L12 показывают, что характер микроструктурной эволюции резко зависит от типа взаимодействия, прежде всего, от эффективного радиуса взаимодействий Rint.

Для систем с короткодействием промежуточные микроструктуры содержат в основном консервативные АФГ с ориентацией типа (100). Отмечен ряд своеобразных особенностей распределения АФГ в таких системах, хорошо согласующихся с экспериментальными наблюдениями для сплава СизАи [25, 26]. Подробно изучены особенности микроструктурной эволюции, отмечены свое* образные кинетические процессы взаимодействия АФГ разных типов. Изучено также влияние на эволюцию отклонений состава сплава от стехиометрического.

Промежуточные микроструктуры систем с дальнодействующими взаимодействиями содержат в основном неконсервативные АФГ, и распределение АФГ может обнаруживать лишь слабую анизотропию. Результаты моделирований хорошо согласуются с экспериментальными наблюдениями для сплавов типа Ni3Al [27] и сплавов CuPd [25].

3. Влияние упругих сил на микроструктурную эволюцию исследовано для моделей как короткодействующего, так и промежуточного радиуса взаимодействий. Результаты этих моделирований в основном согласуются с феноменологическим описанием упругих эффектов, развитым Хачатуряном с сотрудниками [4, 5, 6], но существенно уточняют и детализируют феноменологическое описание.

4. Обсуждена проблема конгруэнтного упорядочения при переходе А1—►АЦ-Ыз, существование которого недавно было поставлено под сомнение, поскольку на ранних стадиях этого перехода в сплавах Al-Li Хаазен и др. [28] наблюдали микроструктуры, по их мнению противоречащие наличию такого упорядочения.

Во всех наших моделированиях наблюдалась стадия конгруэнтного упорядочения, а также множество структур, весьма сходных с наблюдавшимися в опытах Хаазена и др. [28]. Поэтому данные наблюдения могут просто соответствовать другой стадии эволюции и не противоречить существованию конгруэнтного упорядочения. Исследована также временная эволюция локальных концентраций и локальных параметров порядка в процессе конгруэнтного упорядочения.

5. Изучена концентрационная зависимость эволюции при Al—превращении. Найдено, что эта зависимость частично выражена для систем с промежуточным радиусом взаимодействия, а для систем с протяженными взаимодействиями, эволюция менее чувствительна к концентрации. С другой стороны, внутренняя структура АФГ в Ll2 фазе значительно меняется в зависимости от концентрации, и по-видимому определяется главным образом расположением точки концентрация-температура с, Т на фазовой диаграмме. Исследован также своеобразный механизм роста доменов при превращении Al—>L12, слияние различных одинаково упорядоченных доменов, и было показано, что он обычно является важным для эволюции.

6. Подробно рассмотрены Al—>Llo превращения на начальной стадии (или в системах сплавов, для которых тетрагональная деформация мала), когда деформации решетки незначительны для микроструктурной эволюции. Моделирования были выполнены как при стехиометрической, так и нестехиометрической концентрациях, отмечен ряд своеобразных микроструктурных особенностей, характерных для Al—>Llo превращений. Показано, что на рассматриваемых стадиях переходов Al—>L1q и А1—микроструктуры являются схожими, в частности, для систем с короткодействующими взаимодействиями.

7. КТМКП применен для моделирования превращения Al—>Llo на поздних стадиях эволюции, когда деформационные эффекты оказывают существенное влияние на микроструктуры. Исследованы в широком диапазоне концентраций и температур как промежуточная твид-стадия, так и заключительная твин-стадия, когда тетрагональное искажение Llo-упорядоченных антифазных доменов (АФД) приводит к образованию твин-полос с ориентацией типа (110). Показано, что тип эволюции сильно зависит от эффективного радиуса Ri„t химического взаимодействия. Отмечен ряд особенностей эволюции для моделей с короткодействующими и дальнодействующими взаимодействиями. В частности, для конечных, почти-равновесных твин-полос в моделированиях обнаружено своеобразное выстраивание АФГ типа смещения с определенным углом скашивания между ориентацией полосы и плоскостью АФГ, и этот угол скашивания резко зависит от типа взаимодействий, особенно от размера области взаимодействий Rint. Такое выстраивание АФГ наблюдалось в ряде сплавов Со-Pt [46, 60], и сравнение экспериментальных углов скашивания с теоретическими расчетами [51] может дать информацию о виде химических взаимодействий в сплаве.

8. Предложен тетраэдрический метод кластерных полей (ТМКП) для ОЦК решеток. Исследована точность различных статистических методов при описании фазовых диаграмм ОЦК сплавов с упорядочениями типа В2 и DO3: приближения среднего поля (ПСП); приближения парных кластеров (ППК); а также предложенного ТМКП. Результаты расчетов разными методами сравниваются друг с другом и с имеющимися расчетами методом Монте Карло. Показано, что ТМКП позволяет адекватно описывать также и сплавы с сильными короткодействующими и конкурирующими взаимодействиями, затрудняющими упорядочения.

Автор искренне благодарен научному руководителю профессору В. Г. Ваксу за постоянное внимание, обсуждения и помощь в работе.

1. Abinandanan Т A, Haider F and Martin G 1994 Solid-Solid, Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 443.

2. Okuda H and Osamura К 1994 Acta Metall. Mater. 42 1337.

3. Frontera C, Vives E, Castan T and Planes A 1997 Phys. Rev. В 55 212.

4. Chen L-Q, Wang Y Z and Khachaturyan A G 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics 319) ed A Gonis and P E A Turchi (New York: Plenum) p 587.

5. Wang Y, Chen L-Q and Khachaturyan A G 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 245.

6. Wang Y, Banerjee D, Su С С and Khachaturyan A G 1998 Acta mater. 46 2983.

7. Vaks V G, Beiden S V and Dobretsov V Yu 1995 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 65 (Engl. Transl. JETP Lett. 61 68).

8. Dobretsov V Yu, Vaks V G and Martin G 1996 Phys. Rev. В 54 3227.

9. Martin G 1990 Phys. Rev. В 41 2279.

10. Gouyet J F 1993 Europhys. Lett. 21 335.

11. Vaks V G and Beiden S V 1994 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 105 1017 (Engl. Transl. Sov. Phys.-JETP 78 546).

12. Dobretsov V Yu, Martin G, Soisson F and Vaks V G 1995 Europhys. Lett. 31 417.

13. Vaks V G 1996 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 63 447 (Engl. Transl. JETP Lett. 63 471).

14. Belashchenko К D and Vaks V G 1997 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 112 714 (Engl. Transl. Sov. Phys.-JETP 85 390).

15. Dobretsov V Yu and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 2261, 2275.

16. Belashchenko К D and Vaks V G 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 1965.

17. Кир Б X 1986 В мире науки 12 99.

18. Nastar М, Martin G and Dobretsov V Yu 2000 Phil. Mag. A 80 155.

19. К D Belashchenko, G D Samolyuk and V G Vaks 1999 J. Phys.: Condensed Matter 11 10567.

20. Kikuchi R 1951 Phys. Rev. 81 988.

21. Mohri T, Sanchez J M and de Fontaine D 1985 Acta Met. 33 1171.

22. Finel A 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics 319) ed A Gonis and PEA Turchi (New York: Plenum) p 495.

23. Vaks V G, Zein N E and Kamyshenko V V 1988 J. Phys. F: Metal Physics 18 1641.

24. В Г Вакс, Г Д Самолюк 1999 ЖЭТФ 115 158.

25. Loiseau A, Ricolleau С, Potez L and Ducastelle F 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 385.

26. Potez L and Loiseau A 1994 J. Interface Sci. 2 91.

27. Cahn R W, Siemers P A and Hall E L 1987 Acta Metall. 35 2753.

28. Schmitz G, Hono К and Haasen P 1994 Acta Metall. Mater. 42 201.

29. Okuda H, Vezin V, Osamura К and Amemiya Y 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 371.

30. Loiseau A 1996 Curr. Opin. Solid State Mater. Sci. 1 369.

31. Kikuchi R and Cahn J W 1979 Acta Met. 27 1337.

32. Turchi PEA 1994 Intermetallic Compounds: Vol. 1, Principles ed Westbrook J H and R. L. Fleischer R L (Wiley: New York) p 21.

33. De Fontaine D 1994 Solid State Physics 47 33.

34. Allen S M and Cahn J W 1976 Acta Met. 24 425.

35. Yang С N 1945 J. Chem. Phys. 13 66.

36. Chassagne F, Bessiere M, Calvayrac Y, Cenedese P and Lefebvre S 1989 Acta Met. 37 2329.

37. Khachaturyan A G 1983 Theory of Structural Phase Transformations in Solids (New York: Wiley).

38. Beiden S V and Vaks V G 1992 Phys. Lett. A 163 209.

39. Kayser F X and Stassis С 1981 Phys. Stat. Sol. (a) 64 335.

40. Gorentsveig V I, Fratzl P and Lebowitz J L 1997 Phys. Rev. В 55 2912.

41. К D Belashchenko, V Yu Dobretsov, I R Pankratov, G D Samolyuk and V G Vaks 1999 J. Phys.: Condensed Matter 11 10593.

42. Zhang B, Lelovic M and Soffa W A 1991 Scripta Met. 25 1577.

43. Tanaka Y, Udoh K-I, Hisatsune К and Yasuda К 1994 Phil. Mag. A 69 925.

44. Oshima R, Yamashita M, Matsumoto К and Hiraga К 1994 Solid-Solid Phase Transformations ed W С Johnson et al (Warrendale: The МММ Society) p 407.

45. Yanar С, Wiezorek JMK and Soffa W A 2000 Phase Transformations and Evolution in Materials ed P E A Turchi and A Gonis (Warrendale: The МММ Society) p 39.

46. Leroux C, Loiseau A, Broddin D and Van Tendeloo G 1991 Phil. Mag. В 64 57.

47. Zhang В and Soffa W A 1992 Phys. Stat. Sol. (a) 131 707.

48. Syutkina V I, Abdulov R Z, Zemtsova N D and Yasyreva L P 1984 Fiz. Metal. Metalloved. 58 745.

49. Roitburd A L 1968 Fiz. Tverd. Tela 10 3619 (Engl. Transl. 1969 Sov. Phys. Solid State 10 2870).

50. Khachaturyan A G and Shatalov G A 1969 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 56 1037 (Engl. Transl. 1969 Sov. Phys-JETP 10 557).

51. Vaks V G 2001 Pis. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 73 274 (Engl. Transl. 2001 JETP Lett. 73 237).

52. Faulkner J C, Wang Y and Stocks G M 1997 Phys. Rev. В 55 7492.

53. Rouchy J and Waintal A 1975 Solid State Commun. 17 1227.

54. Zunger A 1994 Statics and Dynamics of Alloy Phase Transformations (NATO Advanced Study Institute, Series B: Physics, vol 319) ed A Gonis and PEA Turchi (New York: Plenum) p 361.

55. Beiden S V, Samolyuk G D, Vaks V G and Zein N E 1994 J. Phys.: Condensed Matter 6 8487.

56. Landolt-Bornstein Series, Group III, 26.

57. Berg H and Cohen J В 1972 Metall. Trans. 3 1797.

58. Leroux C, Cadeville M C, Pierron-Bohnes V, Inden G and Hinz F 1988 J. Phys.: Met. Phys. 18 2033.

59. Ducastelle F 1970 J. de Phys. 31 1055.

60. LeBouar Y Phys. Rev. В in press.

61. В Diinweg and К Binder 1987 Phys. Rev. В 36 6935.

62. F Schmid and К Binder 1992 Phys. Rev. В 46 13553.

63. S V Semenovskaya 1974 Phys. Status Solidi В 64 291.

64. G Inden 1974 Acta Metall. 22 945.

65. M Hasaka 1980 Trans. JIM 21 660.

66. W Schweika 1990 Mat. Res. Soc. Symp. Proc. 166 249.

67. V Pierron-Bohnes, M С Cadeville, A Finel and О Schaerpf 1991 J Physique 11 247.

68. V Pierron-Bohnes, S Lefevbre, M Bessiere and A Finel 1991 Acta Metall. 38 2701.

69. R V Chepulskii and V N Bugaev 1998 J. Phys.: Condensed Matter 10 8771.

70. I R Pankratov and V G Vaks 2001 J. Phys.: Condensed Matter 13 6031.

71. К D Belashchenko, I R Pankratov, G D Samolyuk and V G Vaks 2002 J. Phys.: Condensed Matter 14 565.

72. R Kikuchi and С M van Baal 1974 Scripta Met. 8 425.

73. В Г Вакс, H Е Зейн 1974 ЖЭТФ 67 1082.

74. М А Кривоглаз 1957 ЖЭТФ 32 1368.