К теории линейных и квазилинейных дифференциальных игр уклонения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ШСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО 0ЕРА30ШШ ' РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРАМАРОВШ1Й ¡Вадим .Борисович

К ТЕОРИИ ЛИИЕИШХ И КВАЗШ1НЕЙШХ .ЩФдаЕШМАЛЬШХ ИГР УКЛОНЕНИЯ

(01.01.02 - Днфференциалыше уравнении)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степенй кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1993

Габота выполнена в Ташкентском государственном университете

Научный руководитель - член-корреспондент АН ЕУз, доктор* физико-математических наук-, . профессор- Н. Ю. Сатимов-

Официальные оппоненты:- доктор (Тщзико-математических наук,

часов на заседании Специализированного совета Д 067.02.21 : по защите диссертаций на соискание ученой- степени доктора физико-математических.наук при Таш1У по адресу: 700095, Ташкент - 95^ ВУЗгородок,. Тага1У

С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке ТагаГУ

профессор Н.Л. Григоренко кандидат йизико-математических наук» доцент Л.П. Югай

Ведущая организация - Институт- математики им.

В.И. Романовского АН ТУз

Защита состоится

в

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат сТмзпко-математичесних наук, доцент

Умаров С. Р.

ощш хшкшистаа работы

Актуальность теш. Теория дцдЯюреищшлышх игр возникла в S30-х годах нашего столетия в результате математической идеализации технических проблем. Непосредственная связь этой теории с практикой обусловила ее бпстроо развитие.

Одним из цервих основополагающих исследований по теории дифференциальных игр является монография р. Лйзекса (R.Isaacs ^»опубликованная в ICG5 г. и переведенная на русский язик в 1067 г. В содержание монографии входит большое коли-^, честно разлкчшх задач, опубликованиях ранее в закрытой печати'. '

Дальнейшее развитие теории дифференциальных игр преэде. всего связано с именами советских учетах, академиков И. Н. Крас овского п Л.П, ПонтрягпнаМ'^

. H.J1. Красовскю.1 и его школой предложен т.п. позиционный подход к изучошно дп^ференциалышх игр, ссТормулирован принцип экстремального прицеливания, доказаш теореглц об альтер-' иатнвах.

Л. С. Понтрягин предлокшг другой подход к рассмотрению теории дифТереициалышх ijrp, суть которого в следующем. Дпффе- . ренниаяьиая игра описывается уравнением

i = С ъ - и. , {D

где Z 6 Rn , li £ Р ,ire 0. , R - 1Ь -мерное векторное пространство (казовое,пространство игрн), U - управляющий параметр преследования, I/ - управляющий параглетр убегания,

Р С R"1, Q С R , Р п Q - непустые компактные множества. Игра считается законченной, когда фазошй вектор 2 попадает на некоторое множество Д/ , называемое техминальным.

1. Айзеке Г. Д^ферешшатьные игры. И.: Мир. - IEG7. - 480о,

2. KpacoBcami Н.Игровые задачи о встрече движений. ¡Л,: Паука. - I'JVn. _ ГМ с.

.'3. Красовский Н. и., Субботин A.M. Иозвдионше дифферешд-

ajbinte игры, М.: Наука. - 19?4. - 456 с.

4. Пощрягчш JI.H. Избранные научные труди, Т. 2. М.: Наука. - I96C. - i>7'6 с.

Обтио И линейное нодп постранство пространства £! - Дшт- . (Терошшачьная игра разйишотся на две задачи: задачу преследования п задачу уклонения от встречи. ДпТх-орекпвальшл: игра, для которой рассматривается задача преследования, навивается да!м»орстдаалыюя lirpoii проследования. Л.С. Понтрлгшщы л К.«1>. Мшцошо бит разработай1 лсрвий л шорой (нрямне) метода решения задачи проело,цовшшяМ дагдюрочпзкальиш игра, дщ которой рассматривается задача уклонения от встречи, пазпва-ется диМюрешша;;, нон игрой уитоношш.

Рогорят, что из точ:ш "£0 i- Й^\ М шзш:лю уклонение от встречи с термишитькны мподаствои Л) , осла по любой измори-ной (пунгааш И (t) , 0 {t , U(t) £ р , полню построить такую измерзшую (пункцию l/(tj , 04 t < оо , ir(t) 6 й , что pemoline Z (t) уравнения

ъ = Съ -nit) + ir(t), ко) = г0

и и при каком з начеши Бремени t 9 0 но поладот па множество .

м ■■z(t){M ■ Ht<oо.

Коли увлюнетю от встречи воо;.го;:во из лпбо/i точим ^ Д| , то говорят, что и игре (I) козисс,аю убегание.

■у й

U работах Л.О. Нонтрявлна я К.v. Мищенко ' е<" орьу-твро-liann уакогш (так назнваомне услошя л^ашаевюсти и проииу-щества), ¡три гяшолнршш х:огори;; и игре (I) воз:ю::аю убегание. Дальпевшю исследования ¿оирсцюшшалытх вир уклоиеиш в ословиш связаш с различными М0де»?иш!>1шш этих условии, упрощенней дошзатолветв, переносе условии пдогдошюсти и преимущества -палдрувве ¡шасси игр: нгри о шуогралыляли ог-

й. Мшаеико Понтрявнн ji.i;. Jbuic&ue ^»"^орошциишлю игры // ДШ ППОР. - ID67.- V. 174, К 1. - С. 27 - 29. ■ Н. Понтряпш Jf.fi. ЛпнеШше двойеренциалвние игра ирьелоцова-

нпя // Мат. сб. Новая сер.- 1%0. - Т. 112, вып. О. 7. Нонтрягш Л.С., Ииаонко Задача ой jacwiioicai от ветрен, чи в лхаюЛигэс дилере ш (налы «а; игра:: // - 1S7T'. - 'i'.Vf. № iJ. - С. 41^ - -IIP. t. Нонтрявтш Ji.О. .швейная дц^орыаикуьшя нвра убевавш // 'iр. пат. :щ-аа nw. li.4. Стоиловв. - 1'У.'.~ 7.JIB.- С. 10 -'3J.

ранкчоппями,. пелпношше .щвМогегавюиьшо игрн и т.п. В связи с этим определенный интерес представляют критические случаи в теории дЛТершщиаяъшх игр уклонения, го есть такие случаи, когда не тяпюлнопо хотя бн одно из условий Л. С. Поятря-пгаа и Е.<\ Мшценко. Большая часть диссертации посвящена изучению именно таких кри'Лнеских случаев.

Цель работа заключается в исследовании некоторых линейных и тшазгаглкеГпшх дип(Торотт,иатгъшх игр уклонения и получении новых доетаточшх условий убегаштя.

Общая методика исследовам!я основывается на результатах Д.С. Понтрягина, Мищенко, НЛО. Саткмова, М.С. Никольского и В.В. Остапенко по исследованию задачи убегания. В работе используются элементы теории обнкповегает догадеретдагигышх уравнений, интегрольшх преобразований и (Тункционадъного анализа.

Научная новизна. Полутени некоторые новые достаточные условия убегания и укдоиенш от встречи из заданной точки для липейннх и клазилштеГпшх дп^Ферещгадотх игр с геометрическими и ингмргчьщг.ш ограничениям!. При рассмотреть интегральных ограгагчешгй разобран, в частности, случай, когда уп-рашотгщие параметры игроков принадлежат классу £ (р, со) .

Доказана возможность убегания длл контрольного примера Л.С. Понтрягина, когда коэгВДпцюпт трения у преследователя больше, чем у убегающего, но не выполнено .условие преимущества. В этом' примере доказана возможность убегания и для геометрических и для интегральных ограничений на управляющие параметры игроков.

Практическая ценность работн заключается в конструктивности разработаштх методик дж решения задачи убегания и уклонения от встречи п дигу^ерешиюлыдах играх.

Апробалия. Основные результаты диссертации докдадыва-лись:

- на научной конференции профессорско-преподавательского состава Таш1У (Ташкент, апрель 1000 г. и апрель 1Р93 г.)

- на заседаниях семинара по оитшалъншл процессам и дифгТе-ренциалыпгм игран, руководимого про*. И.Ю. Сатиновым {Ташкент, IV91 - 1993 гг.)

- на Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, май, 1993 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в четырех работах.

Структура и объем -работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего 109 наименований. Объем работа - 122 страницы машинописного текста.

СОДЕЕШМЕ РАБОМ

Во введении дается краткая историческая справка и обзор литературы по теории дифференциальных игр, обосновывается актуальность тематики, а также излагаются основше результаты диссертации.

Первая глава посвящена задаче уклонения от встречи в квазилинейных дифференциальных играх с геометрическими ограничениями на управляющие параметры.

В первом параграфе первой главн доказывается теорема о возможности убегания для дифференциальной игры, являющейся обобщением на случай )ь -мерного евклидова пространства теоремы об убегании, Доказанной Н.Ю. Сатиновым.3 *

Рассматривается квазилинейная дифференциальная игра убегания

г ~ С г + а + д(и, г), (2)

где 2 6 й"", /г # . С - постоянная матрица, Л - постоянный вектор, и - управляющий параметр преследования, V - управляющий параметр убегания, и е Р С О. ,Р С ^М с Р.^, Р и - непустые компактные множества, V} - определенная и непрерввная на множестве р X (Я функция. Терминальным множеством является линейное подпространство М пространства $ ,

Сатинов Н.Ю. К теории двумерных ктзилинешшх дпйреренци-

альннх игр убегания // Управляемые сис^зш, Новосибирск. -

1584. - й 24. - С. 79 - 84.

размерности Ц , А Л . Через >6 обозначено ортогональное дополнение до , IV - некоторое двумерное подцрост-г ( ранство, лежащее в Л , ?Г ~ оператор ортогонального проектирования из^ на • 1^нвой 5 обозначена точка на множестве М , через ¿(з) обозначен вектор +й , а через 11(ъ) -вектор, удовлетворяющий сле.цущим условиям: (¿У^, - 0 /

14$) е1а/ , \11(!)\ - ¡К £($)I . Через обозначено множество всех точек $ £ Л] , для которих С (!) —О ,

М(з) = Пъиъ пгеи/. I ((1(5), а/и, 1Г))\. «-6Р и-^а «

Доказана .

Творена 1.1. Вели вшолнеш условия

Л 9(и, А) э 0 , (А1)

иер ^

¿Ъ) 5 о V V (А*)

иди выполнено, условие (А1) и, кроме того, существует такое двууорное подпространство V/ с Л , что

№($) > о, V 5 ¿р,

то в игре (2) возможно убегание. Для построения параметра убегания V в качдаи момент времени Ь достаточно использовать лишь значения фазового вектора 2 и параметра преследр-т иония и. в тот же момент, времени.

. В конце параграфа действие теоремы проиллюстрировано на следующем примере

г^С^-и + гг,

где С - произвольная матрица размера Ь-Х[1 , II

> 0 , 5 ~ шар .единичного радиуса пространства с центром в начале координат.

Второй параграф посвящен критическим случаям в диЛферещщ-альшх игр.-:« уклонения. В ном использована формализация, прИт нятая в работах К.Ф. Мщонко и Я. 10, Сагашва'но получен^

10. Мшд^шсо Е.Ф., Сатинов Н. Задача уклонения от встречи в . критическом случае // Л?".- 1383.- ГЛ9, ]? 2

11. Млщонко К.Ф.,. Оатпмов Н. Об уклонении от встречи из заданной точки в дигТфоронщшлышх игр^х с роометрмчесшли и интегральными ограничения!,щ // Изв. АН УзССР. - 1383, ГЯ И.'

- ? -

более общие результаты.

Дифферентшальная игра описывается уравнением

где 2 £ , С - линейное отображение С ■ $ > и?11

V - управляющие параметры преследователя и убегающего соответственно, и £ Р , 1ге й , Р и 0. - непустые компактные множества, V) - непрорда-шя функция, Терпинатышм множеством игра является линейное, подпространство ¡А пространства й"". Ь ~ ортогональное дополнение до $"" • Сформулированы следующие предположения

а) Существуют такие векторы ]Г£ й , Iг ей и положительная константа 6 , что

• ^ £ КV) > Ким

(X £ Р ц, & р

для всех 27 6

б) Вое множества {(Р, 0] , где I - 0,I} . • ,, одното-че.чни, п Здесь - оператор ортогонального проектирования из Я

на ^ > Иу (С £ ] - одномерные подпространства, - линейные отображения, ^ : (2 .,) - 1,% • При эти предположениях справедлива

Теорема 1,2. Если, р 0. т° в игре (3) возможно

уклонение от встречи из положения = Цо)- При этом для по-сгроешш каждого значения 2г(¿) параметра V достаточно знать лишь значение разового вектора .

Далее рассмотрена квазилинейная диТферешдаальная игра, для которой получены достаточные условия убегашш.

% = Сг+си+ 1%), (Н)

где 15 £ (¡¡I , \Гг £ ¿¡^ , и £ Р , 0.1 , $2 ' Р ~ компактнее множества, и, - параметр преследования, \Г~(1Ги ] - параметр убегания. Вектор £ , отображение С , терминальное множество А1 имеют, тот же смпсл, что и в игре (3). Такие как и в игре (3) определены опвратори Ту , Fj , ] = 2 .

Считаются ишолненнш следующие предположения.

в) Существуют такие векторы и положительная

itoiiciania д , что

>

и £ Р Ц g р

для всех te(l), 9].

г) Существует, натуральное число k такое, что множества

f(P, Q.i) одноточечны и равны нулю при С -О, 1г-->к~2> а шюдество

п F^r'fCu,^)

■iхер

содержит ноль кап внутреннюю точку.

Л) При любых U ( Р и Vt 6[ir/ V} миолоство f (и,

ШПуКЛО..

Тогда справедлива

Теорема 1.0. В игре (4) возможно убегание. При этом для , построения управления убегания V(t) ~(Vi(t), V^ft)J достаточно знать лишь значение (Тазового вектора ¿(¿j и значения управления u(S) , $ б fct , tl . £ ~ произвольная положительная константа.

В конце параграфа приведены примеры. В третьем параграфе первой главы изучается дифференциальная игра однотипных объектов, то есть игра, описываемая уравнением

2fP)f Aj +..,■+ а.р & = (5)

л

где Z ё R , £ > Z , U. и IT - управляющие параметры преследователя и убегаюдего соответственно, U- & Р , ¿г б G. » Р и $ компактные множества, ...¡cip - некоторые числа, Л - постоянный вектор. мгра считается законченной, когда Z - 0 * Предполагается, что управляющий параметр преслодовашш принадлежит классу кусочно-пспрернвних оункцти

Относительно игры (5) сформулированы следующие предполояе-

ния

а) В пространстве найдется Tai:oe двумерное векторное подпространство W , что Л f(u,Q)3 0 , где JT- оператор

и( р

. ортогонального проектирования из $ на ^ . 6) Множество К^С^чО) содерлшт внутреннюю, относителвно V > точку при любом и 6 Р . Доказана . .'

. Теорема 1.4, При выполнении предположений а) и б), в игре возможно убегаше. При этом для построения в кавдый момент времени £ управления убёганиг. г/Г^У достаточно знать лишь значения фазового вектора )£ и параметра преследования 1С в тог же момент времени.

Вторая глава диссертации посвящена теории линейных дифференциальных игр уклонения с интегральныни ограничениями.

В первом параграфе доказана теорема об уйегании в линейной дифференциальной игре, когда управляющие параметры преследователя и убегающего принадлежат пространству £¿(0,°

Рассмотрена линейная дифференциальная игра убегания, описываемая уравнением

2 - А? -Ви+Ссг + л, (6).

где Ц*1, А - постоянная матрица п % П. , а, - постоянный вектор, И ж V - управляющие параметры преследования и убегания соответственно, /¿£ ,У6 И г В ~ постоянная, матрица Ь,ХПЪ (1Ъ строк, т столбцов), - постоянная матрица /г X I. Управляющие параметры Чж V удовлетворяют ограничениям

, (г)

О о

Терминальным множеством игры (6) является линейное подпространство (Л пространства /3п размерности И - -д , ^ ^ 2 .

- ортогональное дополнение. М до #" , № - .двумерное векторное подпространство, принадлежащее X. , /Г - оператор ортогонального проектирования из Я на V/ . В пространстве V/ . введена система координат (1^1,^1) • Координаты произвольного вектора и^е VI в этой системе обозначены через 1 и • ...

Сформулированы следующие предположения а) Существуют натуральные числа ^ и ^ такие, что

Cj = 4.-2, j = 2, ' lin^CtrjA

• v Л к-i = у

пя1\1кАх CvjJ

б) Для линейных отображений f'.R таких, что вектор

у-fit япляется решением уравнения

Uhh'lCis\ \ /CirA^ßit]/

[irA^CirjJ = (.оЛ'Ви^

имеет место неравенство fofft ТЦ < (У/р ,где символ f'fl обозначает операторную норму.

Доказано, что при выполнении предположений а) и б) справедлива

Теорема 2.1. ]) игре (ß) возможно убегание. При этом для • построения в каждый момент времени t параметра уклонения V достаточно знать лишь значение разового вектора 2 в тот но момент времени и значения. параметра преследования U(S) , $ £ 6 t] I ГДЧ £ ~ произвольная положительная константа.

Показано, что управление убегания lr(t) мояет быть выбрано тагам образом, что имеет место оценка:

при IfT 20| <¿0

t ею, в] I ft je(t)l > —С-Ц-.-4 , t б (ft 9,

при lfiZ„[ >£0

где П- - £) • • ь Л^г^е), ъ С, л /,

¿6 - константы.

Во втором параграфе изучена некоторые критические случаи в теории линейных дифференциальных игр уклонения, с интегральными ограничениями.

. Рассмотрена игра (6), для которой считаются внполненнми ■ следующие предположения

в) Существует натуральное'.число ^ , линеяные подпространства > I> принадлежащие пространству X , линейные отображения : )/\/1 Fí'•Wг~* № такие, что

, ^ (№ и) = {д\, ия1 (Р. к, ¿С г) 40],

где ¿у = о, £,..., ^ -1, ] = /, 2 . ^ = £ -4 = к + 1 , К} -

операция ортогонального проектирования из /?П на .

г) Для линейных отображений Т; П~*/?' таких, что >

Т ' иыоег мо°то неравенство^ Ь^ЦТ! <. (Г/О, Показано, Что имеет место'

г- ЬА с г- ьА . __

Теорема 2.2. Коли /% е ] Г^е ЛЫх ф 0 >~~

то из точки возможно уклонение от встречи.

В третьем параграфе продолжено изучение линейных диффе- . рендиальннх игр с интегральными ограничениями. Предложен подход к решению задачи убегашш, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа.

Рассмотрена игра (6), в которой ограничения (7) заменены ограничениями более общего вида

О ' О

СГориулироваш следувдш предположения.

Предположение I. Существует такое число 9 >Q , что вкяк)-£ "jL ttt

чешш îï<r(E~tA) CS ~ti\) 13$ имеет место при

всех {; € (О, в] . Здесь £ -тождественное отображение,^ -

константа {jt > { ), (?т- шар единичного радиуса, с центром

в начале координат пространства/?'"', S - шар единичного ра-^

диуса с цонтром в начале координат пространства R ' .

Предположение 2, Множество № ne прщщдлв!-

жит никакой фиксированной прямой VI ^ с. !Л^при всех £ 6 (0, где t > 0. . (

Доказана '

Теорема 2.3. Если вшолнещ предположения I и 2, то в ргре (6) возможно убегание. При этом для построения в каждый момент времени Ь управления убегания v(t) достаточно знать лишь положение i-азового вектора % в тот же момент вре-» мели п значения параметра преследования и($) , ,

где £ - произвольная положительная Константа.

Показано, что управление убегання tf(t) можно выбрать таким образом, что имеет место оценка:

гдQ (1 = 0, £,.. . , а с, 0, /$, положитель-

щге константы.

Птыечоно, что аналогичные результаты, по для игр с рео-мотричесними ограничениями, ранее били получены M.G. Никольским и для их получения автор использовал операторное исчисление Я. Минусинского.

Цпщграгп 4 главп 2 носвящои задаче уклонения от встречи для игр, дпш.шка которых описывается интегральными уравнениями Вольторра.

Рассмотрена игра

t

lit) = F(t) +j¡C(t-s)lCir(s) ~ Bu(s)]dS, (9)

где F(t) eft1* - абсолютно непрерывная функция, Г(О) <{■ Л/ fC'(t) - некоторая матрица, элементы которой - целш функции., Величины 2 , В , С , ¡С iiV имеют тот же смысл, что и в вред» Идущем параграфе. Читается, что игра заканчивается в toi' ыо-' цент, когда фазовая точка t попадает на терминальное множество М ..

Под уклонением от встречи в игре (9) подразумевается по-т строение по любой измеримой функции U(t) , определенноД при всех и удовлетворяющей первому неравенству (8) такой , определенной и измеримой при всех t 0 функции v(t) , удовлетворяющей второму неравенству (8), что %(t) ф /А ПРИ всех t^LOj ' Д®1 построения управления V(t) разреша-

ется использовать лишь значения параметра и($) , $6 [ft, ¡¡] ,

Через Я(оо) обозначена трансформация Лапласа от функции tt(£(t) . '

Сформулированы следующие предположения.

Предположение 3. Существует такое число $ > 0 , что

при всех

Предположение 4. Множество не принадлежит .

никакой Фиксированной прямой ]fJlcW при всех Z 6 (О, tl , где t >0.

Доказана .

Те о рама '¿А. ЕслН шполнеш предположения 3 ji 4, то в игре (9) возможно уклонение от встречи.

Во второй части четвертого параграфа доказывается воз- . пошлость уклонения от встречи (при несколько более иестких ■ предположениях) для игры (9) л в том случае, кохда козффици-; енты матрицы t) не являются целыми гТушсциями.

В конце каздого параграфа второй главы рассмотрены приме. рн.

Вея третья.глава посвящена задаче убегания для контрольного примера Л. С.. Понтрягшщ. • -

В нервом параграфа изучен случай геометрических ограничений.

Исследована диТферевдиаяьная игра убегшшя, описываемая уравнением

Ч = ~ * г1 ~ и>

К *>

2

где Zi t R , X >J> S о , и еР ,veQ , Р и в - некоторые множества из ß 2 . Доказано, что относительно игр,! (10) справедлив?.: следующие теоремы.

Теорема 3.1. Если множество S содержит четыре точки

= > а множество Р является квад-

ратом р - ?(и.ьиг) /Uxl 41,1игIii} 11 Убегающий для постров-гаш управления &(t) в каждш момент времени t использует лигаь положение 'Тазового вектора 2 = (¿1 > , то в иг- '

ре (Ю) возможно убегание.

Теорема 3.2. Если множество & содержит окружность IVl-t} i а множество Р является кругом р = [и. и.}): ¡Ul$iJ и убегающий для построения управления v(t) использует лишь значения l(t) и u(t) базового вектора 2 ~ (ZL, !£•>, Z3) 11 параметра UL , то в игре (10) возможно убегание.

Яри доказательстве теорем I и 2 использована методика, предложенная в работе В.Б. Остапенкооднако доказанные теоремы не вытекают из результатов атой работы.

1)о втором параграф доказана возможность убегания для игры (10) в случае, когда удтоззляюгпиз параметр! преследователя и убегающего удовлетворяют ограничениям (8), размерность векторов iE j ,0-1,2,3, предполагается равной fi , где ¿2-%. Трвявюш две георгин.

Теорема 3.G., ''-ели показатель степени Р в ограничениях (6) больше едшнп.ш i\G"z>j> , то в игре (10) возможно убегание. При э том для построешш управления убегания V(t) в каждой момент вромош1 t разрешается использовать лишь значешы

12. Остапенко L.I». ¿'сдача укшюния от встречи // Автомат.

и тслеме;:. - ICC". - J5 4. - 0. I« - 23.

% а) п и(1) фазового Ьектора ) и параметра

'.преследования Ш,

Теорема 3.4. Если показатель степени р в ограничениях (8) равен единице и , то в игре (10) возможно убега-

ние. При этом для построения управления убегания в

каютый момент времени ^ разрешается использовать лишь .значение фазового вектора и значения параметра преследования и($) , '£> ¿3 « гДе £ - произвольная йоловдтельная константа.

алГСЛШЕННЕ

Основными результата»®! диссертации являются следующие

1. Обобщены некоторые известные и предлояеш новые метода решения задачи убегания для квазилинейных дийберенцпалъ-ннх игр с геометрическими ограничениями.

2. Исследована игра убегшшя с интегральшш ограничениями, когда управляющие параметры игроков вибираются из класса

3. Предложен метод решения задачи убегания для линейных дийТероющальних игр с интегралышш ограничения!,!!!, основанный на интегральном преобразовании Лапласа.

4. Исследованы иокоторпе игры, онпсишоше хптегралшш уравнениями Вольтерра.

В. Доказана возможность убегания дат контрольного примера Л.0. Подтрягина в случае, когда коо^ипшент трения у преследующего, объекта больше, чем у убегающего, но не выполнено условие преимущества.

Возможность убогания для этого примера доказана гдк ь случае геометрических теле и в случае пнгегральнш: ограничении па управляйте парсистры игроков,

'•, . Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

I, Крамаровсгл- Б. Б. пй о,дном классе ггазвдшСшх доф^ереи-тпи-цщтх игр // УпЧ.и - 1СШ. - В 3 - - п. «■-> - VI.

2, Крадеаровский В. Б. О задаче уклонения для некоторых конфликтно-управляемых систем // Деп, в ИН'Ш ПЯТ. - 1993. -й 1824 - Уз93. - 25 с.

3, Крацаровскии В. Б. К -теории квазилинейных дифференциальных игр уклонения // Тезисы доил, Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов'1. -Киев, 1993.

4, Крамаровский В. Б. О задаче уклонения в линейной дифферен-ниалъной игра с интегральными ограничениями // Деп. в ШЩ ПСНТ. - 1993, - 15 1853 - Уз93. - 15 с.

РЕЗЮМЕ

Чизш^ш ва квазичизш^ли дифференциал Уйинлар назариясвда четланиш

.Лдссортегошда уйшгчиларнинг бош^арув параметрларнга гео-цетрик ва интеграл чегаралар булганда дифференциал уйинлар-да четлакш урганилгав.

Берилган нутугадан учрагаувдар ^очищ ва четланшл учун айрим янги етарли шартлар олинган. Хусусан, уйинчиларданг боннррув

параметрлари LL (Q , Ooj фазосига тегишш булганда дифференциал ушн куридган. Щу билан бирга Волъторрашнг интеграл тенгламаси о'илан берилган айрим уйиштр з^ам тад^и^ ^адииган.

Устунлик тарти бажарилмаганда, х^влоотшщ иш$алаши коэф-йщиенти ^очувчшпишдан катта булгал ^олда, Л. С. Понтрягии-нинг контрол шсолида 1$очищ мумкшотгги исботланган.

Уйшгчшгарнииг боппррувларига з$ам геометрик, jjaM интеграл чегаралар булган ходца JL С. Понтрятаншнг контрол мисолида кочнш мугяшдгшги исботланган.