Качественное поведение траекторий и бифуркаций дискретных фазовых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Нижегородский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. Н. И. Лобачевского

и г

'" На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВА Лариса Владимировна

КАЧЕСТВЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ И БИФУРКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на ¿оискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н. Новгород 1 993

Работа выполнена в научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики при Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н. И. Лобачевского п заочной аспирантуре Волжской государственной Академии водного транспорта.

Научный руководитель — заслуженный деятель науки России, доктор физико-математических наук, профессор Белых В. Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бру-сш1 В. А., кандидат физико-математических наук Беляков Л. А.

Ведущчя организация — Санкт-Петербургский университет.

Защита состоится« 3 » К ¿и1/! <& 19

на заседании специализированного совета К 063.77.01 и Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Н. И. Лобачевского (603091, Нижний Новгород Д-91, пр. Гагарина, 23).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского университета.

Автореферат разослан «_

» 19 93 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент (В. И. Лукьянов)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. В работе изучаются динамические свойства одного непрерывного отобракения цилиндра и его частных случаев: диссипативного и лиузиллева отображений тора, отобракения окружности, необратимого отображения отрезка.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ.В последнее время математической теории динамических систем уделяется болызое вникание. Связано это с тем, что обнарукены причины и механизмы возникновения сложных хаотических движений в строго детерминированных системах. Это слсаные предельные кновзства типа "странный аттрактор", гомоклиническая или гетероклиническая структуры, последовательности бифуркаций удвоения периода и др. Важными задачами, возникающими при исследовании конкретных динамических систем, являются задачи определений возможных топологических структур предельных множеств в Фазовом пространстве и построения параметрического портрета. Поскольку фазовые картини существенно зависят от поведения сспаратрис-ных инвариантных кривых, представляет интерес задача об оценке их взаиморасположения.для потеков существует несколько методов теоретического реь-енид этой задачи. Для дискретных систем такие методы развиты слабо и чаца всего используются методы компьютерного моделирования.Актуальность задачи исследования дискретных Фазовых систем связана и с тем, что эти системы описывают работу класса современных радиофизических устройств.-

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Для конкретных типов отображений определить достаточные условия существования циклов непод» винных. точек и необходимого взаиморасполоиения сепаратрис-ных.инвариантных кривых. Определить основные черты фазового и параметрического портретов этих отобракений.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Б работе использованы общие и прикладные методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, развитие в работах А.Пуанкаре,А.М.Ляпунова. А.А.Андронова, Л.С.Понтрягина, Е.А.Леонтович, А.Г.Майера, Э. Юеймэрка, Да. Биркгофа, Д. В. Аносова, В. М.Алексеева, В. А. Плис-са„ Ь.И.Арнольда, А.Н.Иарковского, Л.П.Йильникова.Я.Г.Синая, Г'.Оеонова.Б.В.Чирикова.В.Н.Белых.Л.Н.Болистшой.б.Оахта-рина и др.. В частности, используется теория бифуркаций го-

моклинических структур, теория эндоморфизмов отрезка, методы сравнения и критерий устойчивости.

НОВЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.В диссертации проведено исследование конкретного отображения цилиндра и его частных случаев: 'диссипативного и лиувиллеза отобраяений тора, отобра-нения окружности и необратимого отобраяения отрезка. Основные результаты состоят в следующем.

. 1, Для необратимого отобраяения отрезка получены простые геометрические условия существования цикла заданного нечетного периода.

- 2. Для конкретного отобраяения окрукности изучена эволюция нелинейных резонансов и последовательности бифуркаций, приводящие к усложнении мнияеетва неблуядакщих траекторий, получено разбиение пространства параметров на области, соответствующие различным предельный мнояеетвам траекторий.

3. Для лиувиллева отобраяения тора (отобраяения Чирико-ва) доказана теорема о существовании и структуре континуума резонансов при любом значении параметра. Построены серии фа-, зовых картин, демонстрирующие следующие процессы: изменение структуры фазового пространства отобраяения с, изменением параметра, развитие процесса "перемешивания" в системе, скорость заполнения фазового тора неустойчивой инвариантной кривой гиперболической неподвияной точки колебательного типа, разрувение центра резонансов.

4. Для диссипативного отобраяения тора получены аналитические оценки границы области параметров, при которых в Фазовом пространстве отсутствует гомоклиническая кривая сед-ловой колебательной неподвияной точки, установлено, наличие бифуркации роядения счетного мнояеетва циклов.

5. Для конкретного диссипативного отобраяения цилиндра установлено наличие счетного мнояеетва бифуркаций роядения вращательных циклов, получены условия существования «устойчивости вращательного цикла конкретного периода, получены аналитические оценки области-параметров, при которых в фазовом пространстве реализуется структура, представляющая интерес с точки зрения физических приложений.

6. Для некоторого класса импульсных систем фазовой синхронизации установлены возкояные рекимы работы и области параметров. в которых эти ренимы реализуются.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. На основе результатов ис-

следования свойств отобравепий разработаны алгоритмы и программный комплекс, предназначенные для изучения динамических свойств и вычисления динамических характеристик импульсных систем фазовой синхронизации некоторого класса.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались на итоговых научных конференциях Горьковского государственного университета им. Н<И.Лобачевского ( 1983. 1985, 1987, 1990 гг.). на Всесоюзных конференциях "Проблемы пови-иения'эффективности и качества систем фазовой синхронизации" ( Горький, 1979; Каунас,1982; Львов, 1985 ), на Всесоюзных научно-технических семинарах по системам фазовой синхрониза-' ции ( Зеленый Город, 1984; Львов, 1990; Паланга, 1987; Ярославль, 1993 ), на Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям в. механике (Горький. 1987, 1993 ), итоговой научно-технической конференции ГИИйТ ( Горький, 1992 ).

ПУБЛИКАЦИЙ. Основные результаты опубликованы в 4 научных статьях и тезисах докладов 7 научных конференций.

0БШ4 РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав, излоиенних иа 173 страницах маиинописного текста, шшшая 8В рисукксв и список цитируемой литературы из 127 наименований.

ПРККЕЧйНКЕ. В диссертации используются результаты работ /1.3,8/, выполненных в соавторстве с научным руководителей. Все вкаменние в диссертации результаты получены самостоятельно.

КРАТКОЕ СОДЕРЙАНИЕ РАБОТЫ

Б разделе 1 рассмотрены отобрааения окрукности и отрезка /1/ . Для отобрааения

^ : х = х + Ь - а. * е( х) { Xсх)

рассмотрена эволюция нелинейных резонансов и последовательности бифуркаций, приводяцие к услоянению установивиихся дви-аений и возникновений стохастичнос'тк. Предполагается,что а , Ь - параметры, х- и"х -значения угловой переменной в

' - 6 -

п-ый и (п+1)-кй дискретные моменты времени, е(х) - периодическая функция С период равен 2П ) . удовлетворяющая условиям Ф : д(х) непрерывна, нечетна, производная ее Од(х) допускает конечное число конечных разрывов, в точках 'которых она доопределяется некоторыми значениями, лежащими между ее пределами слева и справа. Ое(х) > 0. при !х! < х„ . ОдСх) < О при х < х < 2П-х„. 0д(х<,)=0 . еСх,):!. 0е(х) не возрастает при 0<х<х . Траекторию отображения будем называть - ч/р-циклом, если х„+2Пч, где х„ = .{(. (С^ х )...) - п-ая точка траектории с начальным условием" х0 (при хс,о$' - это

цикл периода р : х„, хл,.....х^Сиос^П^х,,). Каждую точку

Ч/р-цикла будем называть неподвижной точкой типа ц/р.

В разделе 1.1 проведен общий анализ свойств отображения F^ . Рассматриваются два случая отображения ^ : случай Н, когда отображение ^ обратимо С Г взаимно однозначна ), и случай Е , когда ^ необратимо.

Для обратимого отображения ^ построены границы а/р- зон областей параметров, при которых существует устойчивый Я/р- цикл.

Для значений параметров, при которых отображение ^ необратимо. рассмотрены две задачи : 1. Как изменяются д/р. -зоны при увеличении параметра а , т.е. при переходе от случая Н к случав Е; 2. Какова структура предельного множества, и как это множество бифурцирует при увеличении параметра а .

Решение задачи 1. Задача решалась для конкретных функций есх) численными методами.

• .Решение задачи 2. В случае Е при .выполнении 'условия, обеспечивающего отсутствие вращения фазы, отображение Р) есть эндоморфизм. Предельное множество в этом случае принадлежит, некоторому отрезку 0+. Отображение $ \1о, на инвариантном относительно него отрезке изоморфно некоторому однопара-метрическому семейству необратимых отображений отрезка на себя. Структура предельного множества отображения Рх определяется структурой предельного множества соответствующего отображения отрезка.

В разделе 1.2 рассмотрены последовательности бифуркаций необратимого отображения отрезка.

Пусть Р* произвольное семейство непрерывных отображений Ра: х=Г0Сх,а). хсЧО.П отрезка Ы0.1) на себя, зависящее от параметра а{такое, что функция ^(х.а) удовлетворяет условию. : а<£[а^а3] : Рц^ имеет неподвижную 'точку х^, притягивающую все точки отрезка 1 ; ?имеет О/З-циил..

Обозначим через а< бифуркационное значение параметра а такое, что инеет 0/к-цикя, а при а < отобрааение 0/к-циклов не имеет. Предполоаим, что Функция ^(х.а) на интервале I представляет из себя унимодальнуи выпуклую вверх Функцию, удовлетворяющую условиям Ф и следующим условиям: # 1,а) = 0. М0/ ах = 0 , $<1,а) = 1. ¿{0/ (1х > 0 при 0 < х'< (1 , й^/ йх < 0 при ¿1 < х < 1. Пусть х£ - есть координата неподвиайой точки: ЭДхр = хх. Значение функции ^Сх.а) при х=0 обозначим череэу* : ^(О.а) . Для простоты излогения предполоаим, что величины, х^, ¿1 не зависят от й .

! Рассмотрим отобрааение ^ при значениях параметра а из мноаества, содераащего бифуркационные значения а3, аа-, а?, рождения циклов нечетного периода . т.е. соответствую-чих случаю м< хА. С помощью отобракения ^на интервале ( (Л , 1 ) построим последовательность точек ^ * ¿, • ■ - , 2г = £о~*1г-/ 1 - • - • Доказана

ТЕОРЕМА 1.2.1.При всех 1>1 справедливо утверндение: если то отобравение имеет (21+1)-цикл, и не имеет (21-1) - цикла.

СЛЕДСТВИЕ 1. Для всех 1>1 справедливо: если а^а/^,

'СЛЕДСТВИЕ 2. Циклы нечетного периода отображения ^^ появляется вследствии бифуркации типа Я -+1 С Л - мультипликатор отобракения $ц, ).

СЛЕДСТВИЕ 3. Если функция $х) является кусочно-линейной, т.е. удовлетворяет условиям Ф^:

Г„(х>=

(1 -ук)х/<з+уч

сх-1 )//а-1),й<х<1 ,

то равенство а=аЙ1<1 равносильно условию •

Построен простойалгоритм определения наличия ( или отсутствия) цикла конкретного периода при заданном значении параметра. '.

В разделе 1.3 дана' общая схема исследования отобраае-ний типа отобрааения ^ : указаны возмояные структуры фазового пространства и возмояные в такой системе типы .бифуркаций; рассмотрена динамика двух конкретных отображений:

_ — ~ А

х = х+Ь-а*з1п(х) ~ х-а*(з1п(х)-е) = ^(х)

И

х = х+.Ь-а*д(х) = х-а*(с(х)-д) = ^(х)

где

х/у, 1х:.<^+2Пп. п=...-2.-1. 0,1,2,.

е(х)=

Ч(П-Х)/(П-^), У+2Пп < х < 2ПС1+П)-/

ОТОБРАЖЕНИЕ . Отображение Гц обратимо при а<1, и является эндоморфизмом при а > 1.

Границы ц/р-зон для отобрааения ?и построены на ЭВМ. При а < 1 кривые иллюстрируют свойства числа вращение для гомеоморфного отображения : точки перекрытия двух ч/р-зон принадлежат области бесконечного числа ч/р-зон. В области а > 1 .. где отобранение эндоморфизм, последователь-

ность нияних границ ц/р- зон для ч=1 . р = 3,4,5,..« с увеличением р сходится к кривой, соответствующей рондению нетривиального гиперболического мновества Ък .

Область Р0 параметров, для точек которой в фазовом пространстве отобракения реализуются только колебательные двикения, задается неравенствами:

г<1, агсз1п(?)*я*а. < П+агссо5(1/а)-ма*а-ТТ

С увеличением а внутри области Рв простая неподвикная точка х^ теряет устойчивость при Ь=/С а*а-4)' . При этом поскольку С£(х^)=-1 из нее рождается О/2-цикл..Затем следуют бифуркации удвоения: для любого в = справедливо неравенство а*1< а*г< ... < При а > а^происходят следующие бифуркации, соответствующие порядку Й.Н.Шарковского.

0Т0БРЙЯЕНЙЕ Рд/2/. Получено разбиение плоскости параметров на области, соответствующие различной топологической структуре фазового пространства: 0 <|ч 1'. 0 <а< 2у 1-область глобальной асимптотической устойчивости состояния х^=агс51п(<р; П={ 2у< а < П+//,0<$:< (П-а+у) / сП+а-у) )-область существования странного аттрактора: отрезок [ '^-^)]-притагивашвее мновьство. не ммевщее устойчивых траекторий; >1 >- область вращательных движений {отсутствия устойчивых колебательных двивений) , - { а > 2//. вах( 0,-СП-а4р / (П+а-у)) <£< 1 ) - область одновременного существования вращательных и колебательных квииений.

В разделе 2.1 рассматривается стандартное отображение

F^ : х = х + у - а *. sin(x) . "у = у - а #• Sinex) ,

где 0 < а . Ийследдется мнояеетво q/p-циклов и механизм перехода от регулярного двикения к хаотическому.

Отображение F£ мокет рассматриваться как отобраяение

х = x+y-a*sln(x)(raod 2П). у = y-a*sinUHnod 2П) ,

фазовое пространство которого есть тор Т: ( х, у / -П*х<П,

О <, у ( 2П >.

Известно, что при любом значении параметра а отобра-яение F/ имеет как минимум два q/p-цикла, где q есть кая-дое из ряда целых чисел (0.1,2....). р -есть какдое из чисел натурального ряда (1,2,3,...}, с некоторой плотностью распределения точек этих циклов по всему тору. Получено свое . доказательство этого свойства, из которого ясна и структура q/p-циклов /3,11/.

ЛЕММА 2.-1.2. Предисловии-, что существует q/p-цикл отображения F/: ( Схо.Уо). (Xi.y^).... (Хр.ур) ) такой, что х0- 0, хр= 2*П*д, уР= у0."Тогда для всех к из интервала [ 0, р ] справедливо : уК. хр-К = 2#П*ч -хК.

ТЕОРЕМА 2.1.3. При любом значении параметра а > 0 отображение F/ имеет q/p-цикл , где q есть какдое из ряда целых чисел ( 0, 1. 2 ...). Р есть каждое из чисел"натурального ряда С 1. 2, 3 ,..), причем одна из неподвияных точек 0f/p СО, у J q/p-цикла (или циклов) лежит

на прямой х = 0, другая 0^ (П, 7 2//3 5 - на прямой х = П . • *

СЛЕДСТВИЕ. Для любого р > 1 справедливо уу/<£(0.2П).

W - У^0^!

'Построены серии фазовых портретов ( с помощью ЭВМ) отобраиения которые позволили проследить следующие процессы: структурные изменения Фазовогопространства с изменением пграметра ( при малых значениях параметра а Фазовое пространстсо представляет из себя континуум разделенных инвариантными кривыми слоев, при больших а имеет место "взаимодействие всех резонансов' - вращение по координате у ), различную скорость заполнения тора неустойчивой инвариантной кривой колебательной гиперболической неподвия-

- 10 -

ной точки с координатами (-П.0) ' С при малых а -скорость равна нулю: при больших а (а«3.14) достаточно пяти итераций начального участка кривой, чтобы она достигла верхней границы тора, при а*1 требуется порядка 100 ООО итераций, чтобы кривая пересекла тор, и скорость распространения точек кривой по тору различна, на различных уровнях у : при у , лежащем в окрестности области , ограниченной гомокли-ническими кривыми неподвижных точек д/р=2/5-цикла, эта скорость минимальна); развитие процесса "перемешивания" через последовательность рождения гетероклинических структур ( сначала возникают гетёроклинкческие структуры, образованные инвариантными сепаратрисными кривыми высоких реьонан-сов,затеи возникают гетероклинкческие структуры, образованные при пересечении инвариантных кривых нижних резонансов), разрушение центра резонансов (найдены бифуркационные значения параметра , соответствующие бифуркациям удвоения эллиптических точек типа ц/р - 1/1, 1/2, ... „ 1/10, при ко--торых эти точки становятся гиперболическими, и в окрестности их возникает пара эллиптических точек удвоенного периода; прослежены структурные изменения в фазовом пространстве в окрестности начала координат ( центр целого резонанса) при а > 4, 4

В разделах 2.2 и 2.3 рассматриваются отображения, являющиеся математической моделью ре&льны* физических систем. Цель исследования отображений : установить основные структурные элементы фазового пространства и определить область параметров, соответствующую наличию в фазовом пространстве интересной для физических приложений структуры множества предельных траекторий.

Б разделе 2.2 рассматриваются динамические свойства отображения ^ цилиндра С = { х.у /" - П £ х й П . - о» < у < с-э > :

7 - х + у —а * эIп(х) . у" = у - Ь * эШх) .

где 0<а<4,0<Ь<а.

Фазовый портрет системы симметричен относительно начала, координат . Отображение Г/ обладает периодичностью качественных картин в фазовом пространстве по координате у, поэтому отображение может рассматриваться как отображение-

- и -

тора Т.

Доказано /3/, что при всех значениях параметров из рассматриваемой области отображение ^ имеет неподвижные

точки 0*/^(0,2Пч), 0^(-П,2П(1) типа q/l . где д=0?1^2.....

колебательного типа при д = 0 и вращательного при Установлено, что неподвижные точки (^являются гиперболическими, Построено разбиение пространства параметров на области, соответствующие различным характерам устойчивости неподвижных точек О^'/у . Доказано,что при переходе через бифуркационную прямую Ь - 2 * а - 4 неподвижная точка 0^(0,0) теряет свою устойчивость, и из нее мягко рождается лар'а неподвижных точек 0,^. типа 0/2- . Получен» аналитические выражения для границ области.существования и построено , разбиение пространства параметров на области, соответствующие различным характерам устойчивости для неподёикннх точек- типа 0/2 . Доказано, что неподвинные точки типа 0/2 не имеют бифуркации удвоения.

Колебательные предельные множества существуют.-только при а>Ь . Дальнейшее рассмотрение ограничим этим случаем.

При а > Ь в Фазовом пространстве системы может бить выделена область параметров, в которой система икеет слои, разделяющие области притяжения различных устойчивых целых резонансов ( назовем такую структуру фазового пространства структурой М У.Для физических приложений важно /3-5/, чтобы вблизи начала координат существовала,так называемая,структура К .Она характеризуется-наличием устойчивого притягивающего множества вблизи начала координат, расположением выходящей сепаратрисной инвариантной кривой точки С^(-П,0) в области у>0 ниже входящей сепаратрисной инвариантной кривой I,а точки С^(П,0>.

При Ь —> а отображение ^ имеет бифуркации ( а расчеты на ЭВМ показывают , что бифуркации ) рождения счетного числа различных 1/р-циклов, поскольку в предельном случае отображение Р3 есть отображение , для которого справедлива теорема '2.1.3. •

Возникновение гетероклинической структуры в результате пересечения сепаратрисных инвариантных кривых 'гиперболических .неподвижных точек различного типа ведет к разрушению структуры Н . Разрушение структуры К может быть связано с бифуркацией исчезновения устойчивого притягивающего множества вблизи начала координат, с бифуркацией возникновения гомоклинической структуры точки 0о^ , с разрушением струк-

туры М . ^

5 этой ситуации важно иметь аналитические оценки, характеризующие располонение кривых' Ь^ , .Доказаны следующие утверидения • .

1). Если структура К существует при а = а , Ь = Ь"*, то она существует при любом Ь < Ь*. а = а*.

2). Если а < 1, Ь < а#а/ 2*П , то в фазовом пространстве отобравения реализуется структура К .

В разделе 2,3 рассматриваются основные динамические свойства отобравения ^ цилиндра С =( х,у / -П$х$П,-со<у<оо} на себя:

х=х+у-а* г1пСх) , У = Ь * у - Ь * зШх) , •

где а > Ь > 0. 1 > Ь > 0, Фазовое пространство отобраке-ния Еу симметрично относительно начала координат.

Доказано /3.4/

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.1, При либом соотношении параметров .в Фазовой пространстве отображения существует притягивающий слой 5 = ( х.у/ -П ¿,х ч< П. - Ь/(1-Ь) < -у < Ь/(1-Ь) ).

Наличие притягивавшего слоя дает возможность установить свойства отобравения ^ , рассмотрев поведение его траекторий только внутри этого слоя.

Для физических приложений определяющими являются не-подвикные точки колебательного- типа. Получены аналитические - выра&ения для границ области существования и построено рас-биение пространства параметров на области, соответствующие различным характерам устойчивости для неподвияных точек типа 0/1.и 0/2.

Доказаны следующие полонения о вращательных циклах,

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.5. При выполнении условия (2 * П *д-а)# ( 1 - Ь ) <. Ь отобрааение имеет неподвижные точки б^Сх^.ус) типа д/1 , координаты которых удовлетворяют системе .: { 2П * Ь * ч / К1-Ю *' а + Ь ). х,= (-1)""* агсг1п(2*П*с| * (11-1.)/ ( Ь + а * (1-Ь ) ) )+П*п , п = ...,-2, -1,0,1,2,..; ). При этом для всех ч выполняется неравенство !у! < Ь / ( 1 - ч ) . _

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.6. Неподвижная точка о! типа д/1 является гиперболической при С0<Ь<1 Р 0 < а, 0 < согСх, )< 0 }, является устойчивой при (1 >Ь+( Ь-а*Ь )*соб(х, )>а*со5( х^)-1г-2 >; является неустойчивым узлом или фокусок'во всех остальных

_- 13 -_

случаях (со5(х^)-4[а*( 1-Ь)+Ь]*[ 2*П*(?*С 1-Ь)?/ [а*(1-1ШЫ).

Анализ утверждений 2.3.5 и 2.3.6 позволяет установить свойства вращательных циклов, характеризующие 'взаимное расположение неподвижных точек различных циклов при одном и том же значенни параметра, порядок следования бифуркаций рождения циклов, последовательность структурных перестроек в фазовом пространстве отображения хц при изменении параметров. А именно.■ справедливы следующие положения.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если < ц^ , то у^. В частности, -для всех ч > 1 имеет место, соотношение у^ < у,,.

СЛЕДСТВИЕ 2. Условие (2 * П - а ) * ( 1 -- Ь ) £ Ь существования неподвижной точки идентично неравенству • Ь * 1 - Ь / С 2*П*<з - а ) .

СЛЕДСТВИЕ 3. В области (а>2*ч, Ь>0, 1>Ь0 > существуют неподвижные точки типа 1/1-, 2/1.....д/1 .

СЛЕДСТВИЕ 4, При (-а > Ь > 0 , } существует

счетное множество неподвижных4 точек : 0/, 0^, ... . И^....

СЛЕДСТВИЕ 5.- При смена устойчивости неподвижных

точек 0). при изменении параметров а и- Ь происходит-одновременно для.всех 0 . ч - 1. 2. ... .

' СЛЕДСТВИЕ 6. Бифуркационные значения Ь^ . )

( значение параметра а ( Ь . Ь ) такое, что при а < а/ ( Ь < „ 11 < Ьр) Ц/1-цикл не существует, а при а > а|. ( Ь > , ¡1 > ) д/1-цикл есть ) удовлетворяют строгому неравенству а,*< а^ ..« < а/<.. .(Ь'сЬЛ.. .<Ь*< ....

ь;< ...< Ь*<...< 1). ' Г

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.7. При увеличении параметра Ь от О до 1 происходит счетное число бифуркаций рождения неподвижных точек типа 1/1. 2/1. .., / ц/1 , ...

Определяющим моментом для структуры фазового пространства является существование и взаимное расположение инвариантных кривых, в частности, инвариантных сепаратрисних кривых гиперболических неподвижных точек колебательного типа. .Установленные свойства структурных элементов фазового пространства отображения'списываются следующими положениями. ,

ЛЕММА 2.3.1. Если при Ь =. (1* ¿,0 < 11 <1 ) отсутствует гомокликическая структура точки О^с -П, 0 ) ,то ее нет ни при каком . Ь <

ТЕОРЕМА 2.3.1. В области <! а.Ь.Ь / а>Ь/( 1 -Ь>.а+Ь/11ЧО< П/2) отсутствует гомоклиническая структура "седла" 1ГА .

В главе 3 описаны результаты анализа динамических осо-

бенностей некоторого класса дискретных систем фазовой синхронизации. • '

Математическая модель ряда фазовых систем, содержащих временной такт работы, таких как одноконтурная система дам-пульсно-фазовой автсподстройки частоты с элементом типа "вы-борка-запоиинание". манипулятор фазы с ФАП, ФАП с ключом, ФАП с ключом с фиксирующим элементом, может быть представлена в виде разностного уравнения:

х = х + Ь - а * д(х).

Здесь х ( х ) -значение' мгновенной разности фаз подстраиваемого ( ПГ .) и эталонного ( ЭГ ) генераторов-в момент дискретизации Ь;( функция дС-х) - характеристика фазового-, генератора - функция, удовлетворяющая условиям .0 . Величины а, Ь характеризуют другие параметры ИСФС. Знание свойств отобракения ^ позволило построить общую схему математического изучения таких систем с целью установления возмокных режимов (рабочих и нерабочих) работы системы, определения областей параметров, при которых реализуется тот или иной режим работы.

Изучены свойства нескольких конкретных систем фазовой синхронизации. По известным системам дифференциальных уравнений. описывающим работу манипулятора фазы, ФАП с ключом, ФАП с ключом с фиксирующим элементом, получены /6.7/ математические модели этих систем в виде разностных уравнений - отображений "окружности. По свойствам отображений определены возмонные режимы работы указанных систем фазовой синхронизации.

Изучена /1,2,4,5,9,10,11/ динамика типовой импульсной системы фазовой автоподстройки частоты (системы ИСФС). Рассмотрено пять вариантов системы : бесфильтрпвые ИСФС с синусоидальной (ИСФС БФС) и полигональной характеристиками фазового детектора (ИСФС БФП), системы ИСФС с фильтром нижних частот в виде пропорционально-интегрирующего (ИСФС с.ПИФ), астатического (ИСФС с ЙФ) и интегрируюцег'о (ИСФС с ИФ) фильтров. Математическая модель такой системы представляется в виде одного из рассмотренных выше отображений тора или цилиндра, Остановлены возможные режимы работы ИСФС, определены границы областей параметров.■при которых эти режимы реализуются.

Впервые установлено сколь сложной и богатой может быть

динамика простейаей бесфильтровой ИСФС. Для ИСФС БФС и ИСФС БФП получены аналитические границы областей параметров, соответствующих различным рехима* работы этих систем: реяиму захвата, синхронизма или квазисинхронизма, удержания, ложного захвата, подстройки под комбинационную частоту, биений. Характеристики работы системы в стационарном ревиие определяются поведением траекторий предельного ннояества» которое в случае ИСФС БФС может быть простой неподвижной точкой,

циклом любого целого периода, канторовын множеством.....

в случае ИСФС БФП мояет бить простой неподвижной точкой или странным аттрактором.

Для ИСФС с фильтром установлены возможные режимы работы, получены аналитические оценки границ областей параметров, при которых в ИСФС реализуются рабочие реяимы, установлены бифуркации (или последовательности бифуркаций г, соответствующие выходу из рабочего реяима, что позволяет оценить характер этого процесса и.опасность близости к границе соответствующей области параметров.

Разработаны алгоритмы и программный комплекс, предназначенные для изучения динамических свойств и вычисления основных динамических характеристик рассмотренных ИСФС.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Белых В.Н..Лебедева Л.В. Ис.следование одного отображения окруяности.-ПММ,1982.т.46.вып.5.с.?71-776

2. Лебедева Л.В, Динамические и статистические характеристики дискретной СФС первого порядка. / Сб. тез. Всесоиз-ной конф. "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации".М.1982

3.'Белых В.Н..Лебедева Л.В Исследование_ одного отображения цилиндра. /Сб.тез.Всесоюзной конф."Нелинейные колебания механических систем". Горький.1987

4. Лебедева Л.В. Динамика импульсных систем фазовой синхронизации второго порядка./Сб. тез. Всесоюзной конф. "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" .МЛ 988

5. Лебедева Л.В. Динамика импульсных систем фазовой синхронизации с астатическим Фильтром I порядка при наличии ЛЧМ-сигнала. /.Сб."Приемы совершенствования устройств и

-16 -

нетоков обработки информации".И.КИРЗА.1985 6. Лебедева Л.в; 0 динамике дискретных одномерных систем фазовой синхронизации./ Сб.тез.Всесовзной надчно-техн.конф, "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", М.1985

Лебедева Л. В. 0 динамике дискретных одномерных систем фазовой синхронизации. Респ.сб."Теоретическая электротехника" Львов,1986

; 8. Белых В„Н..Лебедева Л.В..Полицдк H.A. О динамике цифровых систем фаговой синхронизации с треугольной характеристикой фазового детектора* /Сб'.тез.Всесоюзной надч.-техн. конф."Проблемы повышения вффективности и качества систем синхронизации",М.1979 . 9. .Лебедева Л.В. Расчет на ЭВМ динамических Характеристик импульсных систем фазовой синхронизации. Сб."Математическое моделирование и оптимизация". ННГЛ,1991 10. Лебедева Л.В. Область удержания в импульсной СФС./Сб.тез. Всесоюзной научно-техн.конф."Проблеме повииения эффективности и качества систем синхронизации в системах связц". Ярославль.1993

И, Лебедева Л.В Стандартное отобрааение тора в Фазовых картинах. / Сб. тез. III конф. "Нелинейные колебания механи-. ческих систем" Нивший Новгород. 1993