Качественные методы в динамике спутников тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСГШШ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

'Г' о4

И л ?

• - V.' /

ХАСАНОВА Масума Хасановна

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В ДИНАМИКЕ СПУТНИКОВ

Специальность 01.03.01 - Астрономия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических у.ук

Москва - 1994

На правах рукописи УЖ 521.1

Работа выполнена в Таджикском Государственном университ«

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук И.А.Герасимов

Доктор физико-математических наук, профессор Ц.С.Яров-Яровой

Доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Гребешков

Ведущая организация- институт теоретической астрономии АНРФ

Защита состоится " [){ 19Э4г. в [ У час. на заседании специализированноиГсовета Московского госу-дарсТЕОнного университета им. М.Л.Ломоносова, шчфр Д.053.05.51

Адрес:ПЭ89Э, Москва,В-234, Университетский проспект, дом 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга 1ЯУ (Москва, Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета, канд.физ.-мат. наук

JI.il. Бондаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Развитие техники космических полётов поставила многочисленные новые проблемы перед теорией движения небесных тел, существенного продвижения в решении которых удаётся достичь только благодаря использованию современных методов нелинейной механики и применению ЭВХ

Однако, вопросы аналитического анализа влияния на движение небесных тел, гравитационные возмущения, порождённые фигурой планет ( в первую очередь оценки эффекта от сфероидальности или трехосностк центральной планеты) оставались малоизученными. А также проблема качественного исследования свойств возмущённого движения спутников планет, как естественных, так и искусственных являлось и является весьма актуальной и имеющей исключительно важное народнохозяйственное значение.

Задачи небесной механики приводятся к рассмотрению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, однако в конечном виде болызей частью не интегрируются. В следствии этого приходится прибегать к различным приближёигт способам интегрирования, к которым относятся различи" - птл'.-vn численного интегрирования .и метол» тюзледовательп-х пс:-.;.',:л.:скнй, применение бесконечных рядов.

Однако из рассматрвная бесконечных pr^-пя зоо(Т*;е затруднительно даже невозможно вывести общие с-!о:'::.: ва дж'^.'ия. т. о заставило в конце про алого столетия А,И. Д«п>--иор$ и Д. Г!, а:;<"лрэ изобрести и разработать нопч? кэгоды, .".svcps:-.: Д.Пут. .чя1? вал качественны;,:;!.

В настоящее время под качественны;:.! метод:;"-: •...:■;<; шальных уравнения понимают псе способы ч приё:-.:, пс го-тг-таие установить свойства функций, удовлетворяли« диффер" -дчздькым уравнения-.; не зная общего решения этих уравнений.

Поэтому диссертационная работа посг.г;;с!Ш проС.-.'..-.e приложения качественных методов теории ди^эр-гнпиальнь.": . глгг:с— ний з актуальных задачах небесной кс-хан!* *, 1 ак zzc • к-ранее такие сцп"П"1М^сг; мэтечятшга. • ii„%: 'кпг-., t -Krov,

В.И.Арнольд л ,~г-7Г".о.

Но при решении конкретных задач о движении небесных тол (естественных и искусственных спутников) приходится сочетать- оба направления. Обалнаправления учтены в работе и дана строгая математическая теория движения, установлена связь с наблюдениями, с одной стороны , и проведено сравнение с результатами численного интегрирования с использованием ЭВМ с Другой

В работе привлечены не только традиционные методы качественной теории, но и современные методы НАМ- теории, теории периодических решений, устойчивости решений, метод точечных преобразования, дифференциальная топология и прочие.

Задача о точках либрации имеет и общетеоретический интерес. При решении ряда вопросов о точках "ибрации были созданы новые качественные, аналитические и численные методы исследования сложных систем, которые применимы во многих задачах астрономии, механике и математике.

Для ограниченной круговой задачи они исследовались во многих работах Е.П.Аксёнова, Ю.А.Рябова,В.Г. Демина и т.д. Для ограниченной эллиптической задачи трёх тел эти вопросы на основе линеаризованшх уравнений с достаточной полнотой изучены в работах А.П.Маркеева . Но для ограниченной эллиптической задачи трёх тел в целом указанные проблемы в настоящее время остаются открытыми.

ЦЕЛЬ Р А Б О Т 11 состоит в разработке общего теоретического и практического подхода к решению задачи об орбитальном движении спутника в трёх постановках:

1. Задача о движении спутника трехосной планеты;

2. Задача о движении спутника осесимметрической сжатой планеты;

3. Задача о движении спутника сжатой планеты'с учётом возмущений от третьего тела.

Все эти задачи ориентированы на практические интересные случаи движения близких и далеких искусственных и естественных спутников планеты (т.е. Земли, Луны, Марса, Юпитера, Сатурна и звёздной галактики).

Методы исследования. Основополагающие небесномеханичес-кие концепции, применение некеплерошх промежуточных орбит,

а именно обобщённой задачи двух неподвижных центров, задачи Баррара, ограниченной задачи трёх тел, задачи о движении спутника трехосной планеты, некоторых задач с малой потенциальной реактивной тягой и т.д., исследование дифференциально-геометрических свойств возмущённых спутниковых орбит применяются для изучения спутников больших планет Солнечной системы, выявление семейст периодических и почти периодические периодические движения спутников при различных предположениях о действующих силах. Для доказательства существования и построения этих семейств решений использован аппарат-метода молого параметра Пуанкаре, метод Уиттекера, теорема Биркгофа о неподвижной точки, КАМ-теория, теорема о голоморфном интеграле Ляпунова и исследована устойчивость различных классов орбит спутников по отношению к различным параметрам движения и при различных постановках задачи. Привлечён аппарат Яяпуковской теории уатойчивости, теории устойчивости по части переменных при наличии постоянно действующих возмудений, метрическая теория устойчивости, вытекающая из теории Арнольда-1.'оэера с использованием ЭВМ. Полученные результаты сведены к таблицам и графикам

Совокупность полученных в работе результатов позволяет говорить о появлении нового научного направления в небесной механике, связанного с новыми перспектив!«,;: моделями качественных методов в динамике спутников.

ОБЪЁМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 277 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложение I, 220 рис (143 стр), приложение 2, 69 табл(П9 стр). ПЕРЕЧЕНЬ' литературы включает русских 132 и 41 иностранных наименований (IV стр). Сб;ций объём диссертации 5с4 стр.

Л Л Ч Н Ы Я В К Л А Д. Все результаты и исследования принадлежат автору диссертации. Работы[Ь, 12, 18 J получеггн совместно с Х.Б.ИбрагимсгоЯ и М.Э.ЭргазевоЙ являются развитием идеи и результатов диссертации. Соавтора оказали г.омоць только в обработке результатов полученных на ЭВМ, А П Р О Б Л Ц ;1 Я Р А Б О ТП. Основные результаты рг.ботн доклздывслись 'л аСер.-дзяисв :

- «1 1Ьиесгэно,1 кон**гренют:: по кнтограгысл! и ¿-.•(¡..■¡зренша.'и-

!-;'>.: ураь,.ььням" при АН ТАДЖ. Душанбе , 1972г.

- на Совещания-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики высших учебных заведен'дй СССР Душанбе 1971, Фрунзе 1974, Алма-Ата 1977гг.

- на Всесоюзном симпозиуме " по качественной теории дифференциальных уравнений и преподавание дифференциальных уравнений" Самарканд 1973г.

на пятой научно-технической конференции уральского ордена трудсгого Красного знамени политехнического института им. ■ С.М. Кирова С; , г.чшк 1976г.

- на научно- ;:сс:п,%оъателъскох семинаре" Классическая механика " МГУ им. М.В.Ломоносова (руков. проф. В.Г.Демин, доц.

Н.И,Колесников, ст.науч. сотр. Я.В.Татар;лов) 1975-1979, 1981-1982, 1985-1969?.г.

- на конфяр.гм:^.;я>" профессорско-преподавательского состава

1ТУ а 1968', 19?1-1992гг.

» на Зсзсоазной конференций " по механике сплошных сред"

''лжент 1973г.

- на пятом шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Алма-Ата 1981 и Ташкент 1936гг.

- на Х'1 научных Чтениях К.Э.Циолковского Калуга 1966г.,

- на Всесоюзной конференции " по теории и приближениям Функционально-дифференциальных уравнений" Душанбе 1937г.

- на республиканской научно-методической конференции" применение ЭВМ в учебном процессе высших и средних специальных учебных заведений" Душанбе 1987г.

- на семинаре кафедры механики и шч. методов ТГУ.

- на Всесоюзно;'! коифаренции " по методам исследования дви-ке-ления, физики и динамики малых тел Солнечной системы"

г. Душанбе 1989г.

- в Совете по небесной механике и гравиметрии МГУ в ГАШ / руков. проф. Е.П.Аксёнов / 1993г.

ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты диссертации опубликованы в двадцатитрёх печатных работах

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В предисловии к диссертации очерчен круг рассматривав-

мых-в ней проблем , их актуальность и место в астродинамике, сформулированы основные полученные результаты, обсундены вопросы их достоверности, апробации, научной новизны и практические ценности и анализ и литература.

Вопросы движения космических аппаратов и ИСЗ в сложном силовом поле при наличии возмущающих факторов по существу в литературе на освещены.

Поэтому в работе пытались каким-либо образом построить аналитическую теорию движения аппарата ИСЗ, ИСЛ, Марса, Юпитера, Сатурна возмущённого факторами . нзцентральностью гравитационного поля Земли ( или другой планеты) так как малые возмущения за длительный срок полёта могут сильно изменить первоначальную орбиту.

В диссертации рассматривается двиление спутника, принимаемого за материальную точку,в нецентральном поле тяготения. При этом гравитационное поле Земли (планеты) аппроксимируется потенциалом обобщённой задачи дэух неподвижных центров, задачей Баррара, ограниченной задачи трёх тел и т.д.

Используемая схема действия сил позволяет получить аналитическое решение задачи о движении отдельных звёзд, нахо--дящихся в поле тяготения равномерно вращающейся "трехосной" галактики, которая моделируется сжатым эллипсоидом с центральным ядром. Оси прямоугольной декартовой системы координат совпадают с главными центральными осями инерции галактики.

Первая глава состоит из шести параграфе». Здесь даётся качественный анализ глобальных свойств дгжэния спут?;:шов, зор литературы, определение потенциальных с-т, дейстэуютах на искусственный и естественный спутник, граЕИТяшгопгРХ потенциалов, вывод дифференциальных уравнений движения спутника при наличии возмущений от сжатия, преобразование дифференциальных уравнений спутника вблизи плоскости экватор", медленно вращающейся планеты, ввиды

гравитационный потенциал планеты,

- постоянная тяготения, /V - масса Луны, &

- главные центральные моменты инерции, ИЪ - угловая скорость

г- -- родиус-вектор движущейся точки (спутника) Дяя осес.ишетркческой планеты дифференциальные уравнения ¡хьшют вид

Ь

х= ЬУг ,

где Н4 ы- , ^ [К £ 1« / 4

1 : . Ш гравитационный потенциал Земли, с, - планетоцентри-

чдское расстояние,

N

- . масса Земли,

Я - средний эквато-ркальный радиус Земли, Тн - константы характеризующие зональные гармоники гравитационного поля Земли, ^ - полином Лежан-дира, С - постоянная интеграла площадей, р £ - .циклические координаты.

Глава 2 посвящена качественному анализу динамиеи спутников. Она состоит из пятнадцати параграфов, В §1 рассматриваются дифференциальные уравнения движения экваториального спутника (I) преобразуются к гамильтоновой форме, которую можно использоватьдгл анализа локальных свойств движения спутника при произвольном распределении масс. В §2 рассматривается вопрос об одной механической аналогии, такие как аналогии между динамикой нити и динамикой материальной точки. Эта аналогия интересна тем, что она указывает один из возможных путей анализа динамики спутников несферических планет посредством привлечения результатов теории сферического маятника.

■ В §§ 3-7 изложен математический аппарат исследования дифференциально-геометрических свойств орбит: теория контактов, характеристика Дарвина, Дцамара и т.д. , который впервые используется для анализа движения спутников планет. Эти способы применены. к аналиву двиаений спутника трехосной, осе-

симметричной, сжатой планеты и движения спутника сжатой планеты с учётом возьуцений от третьего тела. Также исследованы в большом (т.е. в целом) характеристики движения с помощью первых интегралов задачи(интеграла энергии, интеграла Якоби, интеграла площадей). Численными, методами проанализированы характеристики Хилла , Адамара, Дарвина, контактные характеристики, дисрубутрусы и т.д., для искусственных и естественных спутников Земли, Луны, Марса, Юпитера и Сатурна, сведённые в таблицы и графики.

С помощью дифференуиально-геометрической характеристики семейства траекторий выявлены области возможности и невозможности движения спутников планет, направление выпуклости (вогнутости) траектории во всё время движения, выявлены периодические решения и расположение их зон.Опредены области чисто апоцентрических и парацентрических движений и устойчивость периодических реаений, а такие зоны их расположения, периоды движений.

В §6 рассмотрен вопрос о некоторых свойствах движения спутника Луны в окретсности точек либрации, Следует стмзтить, что в связи с проектами запуска космических станций з точки 'либрации, все чаще в литературе подчёркивается важность исследования.динамических свойств точек лнбряции с аэродинамической, геофизической и эксплуатационной точек зрения. Поэтому нами сделана попытка определись точки либрации трехосной планеты в экваториальной плоскости и дпть качестве-чнуп характеристику расположения интегральных сн'оло гсчек

либрации в отдельности и вцелом з плоскостиЛочгд .-/¡р*«;!« определяют выпуклый четырёхугольник и расположена сшпетрично относительно начала координат.Точки либрации, которые расположены по оси обсцисс ,-являются центрами, а хочки либрации ^ у , которые располонены'.по оси ординат, являются сёдлами.

Как известно, наибольший интерес в динамике спутников был достигнут благодаря применена новых модельных зпдг:Ч типа обобщённой задачи двух неподвижных центров. Одной и:» подобных задач является задача, предложенная Р.Бяррсрог.'. 0;т полностью учитывает ЕОЗ'чувдмя от вторпН.чонпльной 1,срмонич-л, но соэ.уу-

щения второго порядка относительно сжатия центральной планеты ею уже не учитываются. В нашей работе это положение учитывается.

Поэтому в параграфах 9,10 даются приближённые формы решения и качественные исследования форм движения задачи Баррара, которая использовалась в нашем случаедая теории движения спутников планет, прежде всего достаточно далекие или же при грубом прогнозирована .

В §11 применяются качественные исследования форм движения спутников к задачам движения звёзд на периферии галактики. Рассматривается двоение материальной точки (звезды), находящейся в поле тяготения равномерно вращающейся " трехосной? галактики, которое моделируется сжатыми . сигообразными эллипсоидами с центральным ядром. Оси прямоугольной декартовой системы координат совпадают с главными центральными осями инерции галактики.

В § § 12-15 исследуются качественные свойства движения искусственного и естественного спутника в осесимметричном поле сил (т.е. Земли, Марса, Юпитера и Сатурна).

Третья глава состоит из девяти параграфов и посвящена отысканию периодических и почти периодических движений трехосной и осесимметрической планеты и точек либрации. При отыскании периодических и почти периодических решений составляем дифференциальное уравнение движения спутника при помощи метода Якоби,получаем общее решение обобщённой задачи двух неподвижных центррв в системе координат, жёстко связанной с планетой, которая равномерно вращается вокруг оси динамической симметрии.

Для спутниковых задач впервые используем переменные "дейотвия-угол" и получаем уравнение движения в виде Гамильтона' Якоби. А ввиду аналитичности правых частей уравнений (I) и (2) , решение их представляем в виде рядов по степеням малого параметра.

В §1 этой главы с помощью метода малого параметра и теоремы о симметрии, доказано существование одного класса почти периодических движений спутника планет, равномерно вращающегося вокруг оси динамической симметрии. В качестве порождающих решений принималось'решение обобщённой задачи неподвижных центров,

ограниченной задачи трёх тел и задачи двух тел.

В §2 этой главы при помощи критерия Уиттекера установлены существования семейств переодическлх и почти перео -дических орбит спутника сфероидальной планеты. Эти периодические и почти периодические траектории заключены в слое, ограниченном двумя сжатыми софокусными эллипсоидами вращения, оси которых совпадают с осью динамической симметрии планеты. Радиусы ¿1 ( I - /, Л? кольцевой области определены с помощью интеграла инергии и области возможности движения Хилла. Если она замкнута, то движение будет всегда происходить в этой области,а траектории в даинсй области будут устойчивы по Лагранжу. Периоды выражаются эллиптическими интегралами. Если периоды и Тг, несоизмеримы, такое движение называется условно почти периодическим.

В §3 этой главы определены периодические решения около точек либрации спутника трехосной планеты. Составляется характеристическое уравнение.

П(1- бо 13)

Если наложить ограничения на угловую скорость и на массу тела, т.е. считать отношение квадрата угловой скорости к массе тела малой величины , то на основании результатов второй главы §8 доказываем, что при Еыборе начальных условий в окрестности точек либрации существуют периодические решения.

При характеристическое уравнение (3) имеет две пары, сопряжённых чисто мнимых корня, то в данном случае существуют два семейства периодических решений с периодом _-

и с точностью до малых первого порядка. Л Уй^/1-^)

При Л

харктеристическое уравнение имеет одну

пару чисто мнимых корней и, следовательно, существует одно семейство периодических решений с периодом Л— с точность» до малых первого порядка. ^

Далее методом малого параметра Пуанкаре построены периодические решения спутника осесимметрической планеты при ^ВфС , где упрощённая система уравнений движения удовлетворяет условиям теоремы Лиувилля.

В §4 этой глаъг используя КАМ-теории исследованы условно-периодические движения спутника. В переменных " действие-угол" составлено уравнение движения экваториального спутника.

В §§5-6 проведены качественные исследования движения спутника планеты(т.е. введены формулы для определения периода движения по замкнутой траектории с помощью индикатриса (оскуляций).

В §7 главы 3 численным исследованием найдоны при помощи метода неподвижной точки отображения найдены классы простых периодических орбит, для спутников трехосной и осесимметрической планеты.

Численное интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-4 методом Рунги-Кута четвёртого порядка с автоматическим выбором шага. Точность интегрирования контролировалось по постоянной Якоби.

В §8 этой главы определены периодические орбиты искус-свенного спутника осесимметрической планаты в переменных Эйлера. Здесь найден класс периодических решений для гамильтоновых систем с использованием метода характеристических показателей. За невазмущанные движения применяются кеплерсвские эллиптические движения.

Четвёртая глава работы состоит из семи параграфов. В этой главе исследована устойчивость различных классов орбит спутников по отношению к различным параметрам движения и при различи!« постановках задачи. Найдены необходимые условия существования частного решения системы дифференциальных уравнений движения относительного равновесия спутника в экваториальной плоскости сжатой планеты, при котором спутник во все время движения остаётся обращенным одной и тойхсе стороной к центральной планете. Исслодуя устойчивость отого движения по Ляпунову, методом 11.Г.Чатаопа к В.В. Румянцева получены доотаточшео условия относительного равновесия спутника в трехосном и осесим-метричнок пола тяготения. В §4 отой главы используя КАл1-тоорн'о, приводятся условия устойчивости возмущённого двжгзная.

В §6 проведён щкл исследований семейств периодических решений методом точечных преобразований на ЭВМ с оценкой необходимых условий устойчивости найденных классов решений

В заключений отмечены основные результаты, полученные в диссертации, и указаны некоторые области их практических приложений.

Ожидаемые результаты имеют серьёзное космогоническое значение в выяснении процесса образования спутниковых систем и их дальнейшей эволюции. Они так же могут быть использованы в космонавтике на стадии проектирования орбит, т.е. отбора по каким-либо качественным признакам спутниковых орбит целевого назначения,..

Задача о точках либарции имеет и общетеоретический интерес. При решении ряда вопросов о точках либрации были созданы новые качественные, аналитические и численные методы исследования сложных систем, которые примени™ во многих . ■ задачах астрономии, механики и математики.

С целью расширения области возможных приложений разрабатывается теория периодических решений для многочастотных нелинейных колебательных систем, описываемых кононлческими дифференциальными уравнениями.

■ В Приложении 1 даны подписи к рисункам, прилагаемым к работе (220 рис.)

В Приложении 2 даны подписи к таблицам, прилогаемым к работе (69 табл.)

На защиту выносятся следующие научные результаты полученные в диссертации:

, I. Получены уравнения движения трехосного и осеси.ммет-ричного экваториального спутника.

2. Построен качественный анализ эволюционных задач небесной механики. Он основан на теории возмущённого движения спутников планет теории обобщённых динамических систем по Еирггофу и на сведениях о движении, выражаемых законами сохранения.

3. Впервые в диссертации исследованы дифференциально-геометрические свойства возмущённых спутниковых орбит, гд-ь развиты классические методы Хилла, Адамара.Д*.Дарвина,

Н.Д.Моисеева и др. Получен богатейший материал для спутников больших планет солнечной системы, сведённый в графики и таблицы.

4. Установлены основополагающие небесно-механикческие концепции широко примененЦ некеплеровые промежуточные орбиты, обобщённой задачи двух неподвижных центров, задачи Бар-рара, ограниченной задачи трёх тел, задачи о движении спутника трехосной планеты, некоторых задач с малой потенциальной реактивной тягой.

5. Построены теории периодических и почти периодических решений спутниковых движений методом Колмогорова в переменных "действии-угол" и методом точечных преобразований на ЭВМ с оценкой необходимых условий устойчивости найденных классов решений, в частности методом Арнольда и Четаева и устойчивости по Лагранжу и якоби.

6. Найден и дан качественный анализ свойств движения спутника Луны в окрестности точки либрации также расположение интегральных кривых в целом на плоскости около точек либрации ^ , ¡-/¡у^ установлено существование периодических решений в'окрестнооти точек либрации •

7. Получены асимптотические формулы, представляющие периодические репзния в виде сходящихся радов по степеням характеристических показателей.

8. Найдены и изучены стационарные движения спутника.

9. Доказана сходимость степенных рядов, представляющие периодические решения.

10.Разработан алгоритм, позволяющий применять разработанную теорию к конкретным задачам естественным и искусственным спутникам планет.

Автор признателен и выражает глубокую благодарность проф. кафедры теоретической механики МГУ В.Г.Демину за постоянное внимание и ценные советы в ходе выполнения ряботы.

ПУБЛИКАЦИИ по теме диссертации

1. Хасанова М.Х, О сепаратрессах одного дифференциального уравнения //Учёные записки/ Труды мех-мат факультета ТГУ 1970г. -с.46-49

2. Хасанова М.Х. Об одной механической аналогии // Докл. Ali Тадж.ССР- 1973.-.14,№7.- с.57-60

3. Хасанова MJC. Об устойчивостияекоторых классов орбит спутника несферической планеты // Докл. АН Тада.ССР-1975.- т.28,№ 3. с.35-38

4. Хасанова М.Х, Качественные исследования движения частицы осесимметрическом поле сил способом Хилла: Тез.докл. пятой научной техн. конф. Уральского ордена трудового Красного Знамени политехнического ин-та С.М.Кирова ,10-14 февраля -Свердлоаск, 1976,с.23.

5. Хасанова М,Х. Об одной форме уравнений двидения экваториального спутника планеты// Дакл. АН Тадгя.ССР.- 1977.-т.20, № 5 с. 20-24.

6. Хасанова М.Х. Качественные исследования свойств движения спутника сфероидальной планеты // Прикладная математика и механика— 1977- т. 41. вып. 3 - С. 561-563,

7. Хасанова. М.Х. Об областях возможного движения спутников Юпитера и Сатурна // Докл. АН Тада. ССР.- 1977-т.20,№8, с. 16-20.

8. Хасанова М.Х. О предельных циклах для некоторых дифференциальных уравнений // Сб. статей/ Труды мех-мат. факультета ТГУ им. В.И.Ленина . Душанбе. 1977- с. I49-I6I.

9. Ибрагимова X. Хасанова ii.X. Качественные свойства движения спутника трехосной планеты // Докл. Ali Тадж. ССР- 1977т. 20

12 с. 16-20

10.Хасанова М.Х. Качественные исследования свойств движения спутника сфероидальной планеты: Тез. докл.Всесоюзной конф. по механике сплошных сред. 16-20 мая Ташкент, 1979- с. 60.

11. Хасанова М.Х. Уравнение возмущённого движения экваториального спутника в переменных "действие-угол// Прикладная математика « механика. -1979-т. 43, .'¿2- с. 364-367

12.Ибрагимова X, Хасанова М.Х,Качественные свойства движения звёзды на периферии галактики//' Письмо в астр, хурн.- 1931 т. 6 » 7 -C.4C5-4I0

13. Хасанова М.Х. Об областях возможности движения спутников Марса // Докл. АН Тадж. ССР.- 1981- т. 24,№2тс.99-103

14. Хасанова М.Х, Качественные свойства движения спутника трехосной планеты: Тез. докл. пятого всесоюз. съезда

по теор. и прикл. механике 27 мая-3 июня -Алма-Ата, 1981, -347с.

15. Хасанова М.Х., Эргашева М.Э. Устойчивость движения экваториального спутника //Изв. АН Тадж.ССЕ- 1985,- №1 с.77-82

16. Хасанова М.Х. О некоторых свойствах движения спутника Луны в окрестности точки либрации // Прикл. математ. и механ. -1985т т. 49, вып. 2 -с.326-330.

17. Хасанова М.Х. Области существования простейших классов периодических орбит трехосной планеты и их устойчивость: Тел. доил, шестого всесоюзн. съезда по теор и прикл. механике.24-30 сентября-Ташкент 1986.-624с.

18. Хасанова М.Х., Эргашева М.Э. Некоторые методы исследования условий существования периодических решений уравнения движения спутника осесимметрической планеты и их устойчивость: Тез. докл. Всесоюз. конф. по теории и применениям функционально-дифференциальных уравнений, 28-30 сентября-Душанбе, 1987,- с. 132-133.

19. Хасанова М.Х., Шарапова М.Д. Методика комбинированного применения аналитических задач динамики: Тез. докл. научн. метод, конф. Применение ЭК»! в учебном процесс» в вые. и сред. спец. уч. заведений", 28-30 сентября- Душанбе, 1987. - с. II.

20. Хасанова М.Х. Геометрическое свойство орбит спутников Юпитера// Прикладная математика и механика.- 1938. т.52 вып. 3- с. 508-510.

21. Хасанова М.Х.Качественные методы в динамике спутников Тез. докл. науч. конф." Методы исследования движения физика и динамика малых тел солнечной системы", 22-26 августа Душанбе, 1Э09.-С.69

22 Хасанова М.Х., Эргашева М,Э. Периодические решения движения спутника в точке либрации 1,2 круговой ограниченной задачи трёх тел: Тез. докл. научн. конф. " Мзтсдн исследования движения, физика и динамика малых тел солнечной

системы", 22-26 августа- Душанбе, 1989.-е.69 23. Хасанова М.Х. Качественные свойства

Сатурна // Изв. АН Тада. отд. фиэ-мат. , хим и геолог.

наук. 1990, № 2 (П6)с. 22-27.

22/11-1984 г. Заказ 15. Тираж 110 э.