Качественные свойства движения и аналитическое решение задачи динамики тяжелого твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШШ ГОСУДАРСТВапШЙ УНИВЕРСИТЕТ Ш.АЛЬ-ОАРАБН

Ва пробах рукописи

РАКЙШЕВА ВАШЕ БАЯВДВНА

КАЧЕСТШНВДВ СВОЙСТВА ДЕИШКЯ Я АНАЛПТЙЧЕСКОЗ .РИН2Н23 . ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Спецзальпость 01.02.01 - Теоретическая дакгиха

Автореферат

виссерш^ии на соискание ученой степени кандидата физико-латемтических тук

Лльт-Ата - 1332

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения Ака-деыии наук Росту блики Казахстан.

Научша руководители: академик АН Республики Казахстан, доктор технических наук, проф. Я.С.Ерзгашв, члан-корр. Петровской АШ, доктор физико-математических наук, проф. А.А.Кашбаев. Официальные оппоненты: член-корр. Инженерной Академии Республики Кыргызстан, доктор технических наук, проф. Ормонбеков Т.О., кандидат физико-математических паук, доцент Тулегоноза К.Б. Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики АН Республики Казахстан

Запита состоится 1993 г. в У^ часо?

на заседании Специализированного совета К.058.01.09 Казахского ордена трудового Красного,Знамени гос/дарственного университета имена Дль-Фарабд по адресу: 480012, г. Алма-Ата, ул. Ыасмга, Д.39/47, вуд.ШУИ. IjGut,

С диссертацией мокно ознакомиться в ОиОлиотекЬ университета.

Автореферат разослан " " 1932 г.

Учошй секретарь специализированного

соw»та, кандидат фаз.-мат. наук оШом/ А.К.Тоюшш

Ч;;

■ дл^а-:, з -

ОИЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теьц. Задача динамики тяжелого твердого тэла вокруг неподвижной точки в своей постановке известна уже более двухсот лет. Она служит основой для моделирования многих актуальных задач механики. Теория гироскопов полностью построена на уравнениях Эйлера -Пуассона (УЭП). В небесной механике асимптотическое поведение зращения твердых небесных тел, в частности, Земли, планет земной груши, астероидов описывается УЗП. Такие явления, как регрессия лунных узлов, колебания географической гироты Земли, могут бить объяснены с помощью теории гироскопических. явлений. В последние года бурное развитие космической тахншси, необходимость корректировки космических полетов поставили перед классической теорией.коше проблемы. Ш, как оказалось, УЗП, описывающие двизкдние тяае.пго твердого тела, в общем случае неинтегрируемы. В связи с этим на первый план выдвигается следующие задачи: построение наилучшего приближенного решения и выяснение качественных особенностей движения.

Цель работа: исследование качественных свойств движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной' точки; получение аналитических выразкегай! для определения приближенного решети задачи в виде кубических сплайнов; определение условий существования сплайи-решетя ц его единственности; оценка порядка уклонения приближенного решения от точного.

Научная новизна. Найдена линейная рамена переменных, приводящая УЗП к нормальной форме с первым интегралом типа нормы. Решена задача управления системой; получены условия, при которых двикение становится асимптотически устойчивым. Построен го-

изоморфизм, переводящий решения управляемой системы в решения системы в первом приближении; доказано, что предельным переходом мошо получить решение УЭП. С помощью метода сплайн-колло-кации построен алгоритм получения приближенного решения задачи в виде кубических сплайнов. Получены условия, при которых это представление существует и единственно. Получены оценки отклонения приближенного решения от точного.

Практическая ценность. Результаты качественного анализа могут найти применение в небесной и теоретической механике; построенный алгоритм может быть использован для численного решения различных задач, моделью для которых является задача динамики тяжелого твердого тела.

На защиту выносятся:

- теорема о существовании линейной замены переменных, приводящей УЭП к нормальной форме с первым интегралом типа нормы;

- теорема о существовании дисскпатившх сил, при добавлении которых движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки становится асимптотически устойчивым;

- теорема о гомеоморфности диссипативной системы и система в первом приближении;

- возможность предельного перехода от решения диссипативной системы к решению нормальной системы УЭП;

- алгоритм построения приближенного решения задачи в виде кубических сплайнов;

- теорема существования и единственности сплайн-решения;

- оценки уклонения полученного решения от точного.

Апробация работа. Основные результаты работы догладывались

и обсуждались на республиканской ков£орешши по проблемам вычи-

слятельной математики и автоматизации научных исслодорзтй (Алма-Ата, 1983 г.), на когнуорвниш Отделения наук о Земле All Каз ССР (Алма-Ата, 1990 г.), на Всесоюзной конференции по моделированию ояозашх мохапических систем (Ташкент, 1991 г.), но научном семинара по нахшмкэ Института механики и машиноведения АН РК ( Алма-Ата, 1992 г.), iij сессии Отделения фнзнко-математи-чоских наук /Л РК ( Алма-Л?э, 1992 г.).

Структура п обгеч работа. Диссертационная работа состоит из введешь, трех глав, заключения, списка литературы из 51 наименования, прилокения и содержит 72 страницы машинописного текста.

Диссертация выполнена в рамках следующих, тем: 03.03.IE "Исследовать устойчивость вршчзния Зе.члн во взаимодействии с Луной, Солнцем и планетами; разработать ее деформационную модель для поучения сойсмогоншх сгрук-гур б литосфера" (гос.регистрация Л 01370031604) и "Механика тектонического развития Земли".

КРАГЛОЗ СОДНЕШШ РАБОТН,

Во введении указана актуальность темы, сформулирована цель и научная новизна исследования, отмечена практическая ценность работы и кратко излскоио содержание глав диссепташш.

В первой главе дана общая постановка задачи динамика тяга-

лого твердого тола вокруг неподвижной точки С. Пусть C£r)C ~ инерциальная прямоугольная система координат, ось ОС котороЗ направлена вертикально вверх, a Qxyz - система главных осей

инерции тола. Движение тела под действием сади тяжести описывается УЗП, записсшиш в проекциях на подвижные оси:

Ар + (С-В) дг =■- ¡¡г (ср-Ьт),

(Л,В,С; р,<2,г; а.Ь.с; а,р,7) (I)

а = гр - д7,

где б = { р,д,г)- угловая скорость вращения тела, ё = С а,р,7 )

- орч направления силы ииести, а,Ъ,с - координата центра маос,

Л.В.О - главные момента инерции и - вес '¿ела. в скобках указана ¿фуговая подстановка, позволяющая получить остальные уравнения систеш \1).

Известны три независима первшс гатеграла систеш УЗП:

а), интеграл энергии

Арг -ь Б^3' + Сгк + 21<в (аа + + С7> - 2П, (2)

б), иптеграл пдоздцэй

Ара + Bi.jp + Сгг = X*, (3)

в), геометрический интеграл

а2 + р2 + 72 = 1. . (4)

Здесь ив дав оОаор литературы, посвященный истории изучения зодгчи, доказательству ае неиктегрцруемости в общем случае, сущастйущим частим случаям рзкегаш. Описаны имвядаося на текущий момент метода построения приближенного решения. Охюр,чу даровали задачи исследования.•

Во второй главе прозодется качественное исследование УЗП. Осуществлена линейная закона пэреуэнвых вида: 1

Р" — (р»9.г; А,В,С; и1,иг,ь^)

а — (и4 - Ыа), (а,р,7; и4,и5,ий; а,Ъ,о)

где I - единица, размерность которой равна массе, умноженной на квадрат времени. При этом УЗП приводятся к нормальной форма:

1Гс

ИЬ

О-В

А

Не

и5 ~

А УАВС

иги3,

иь

П4 ~ ~^ иг ~ иЭ~ П2иб + ~—

/в Ус Ув Ус

(игиг,и3; А,В,С; и4,и5,иб; а,Ь,о)

и3и5, (5)

а первые интегралы (2)~(4) в новых переменных принимают вид: а) интеграл энергии

и2 + и2 + + эдг '(аа4+ Ьа&+ си6) - о,,

где константа С, = 2П 2М21~1 (о2^ Ь2+ с2;,

б) интеграл площадей

- « (а/Ти1 + ь/вп2 + сУсГиз; +•

+ /А и,и4 + У В иги5 + •/С и3иб~= Ог,

где константа 02 = К*в1,

в) геометрический интеграл

игл + и2 + и? - 2М (аи. + Ьи~ + си,; = С

(2')

(3')

4 ' "5 '—4 ' 5 1 е' ~ 3'

где константа Сэ = б2г2- ¿г2(а2+ Ь2+ с2;.

Кроме того, система (5) имеет первый интеграл типа нормы

(4')

( и, и.1 = С4,

С = сопз1,

4

полученный при суммировании интеграла энергии и геометрического

1

1

- 8 -

интеграла, умноженного на 2-':

и2 + и| + и2 + Г'и2 + Г'и| + Г'и2 = С4, (6)

где с4 = С, + 2~'сэ = 2П + 8*1 + игГ'(а? + Ь2 + с";.

Итак, доказано следующее утверадение. Теорема I. Существует линейная замена переменных, приводящая уравнения Эйлера-Пуассона к нормальной форме с первым интегралом тша нормы.

Проводится анализ характеристических корней системы УЭП, приведенной к нормальной форма.

Характеристическое уравнение системы в первом приближении имеет вид:

К6 + N А.4 + Р2*.2 = О, (7)

где через константы № и Р2 обозначены выражения:

, . г а2+Ь2 Ь2+ с2 с2+а2 •)

№=МгГ1\ - + - + - ,

I С А В )

(О^

ВС Ю АВ } Из (7) сразу получаем два нулевых корня:

= \2 = О

и биквадратное уравнение

\4 + N \2 + Р2 - О. (8)

Значения корней этого уравнения исследованы в зависимости от знака дискриминанта й. В случае й > О, корни уравнения (8) являются чисто мнимыми:

При В = 0 получаем две пари кратных чисто мнимых корней:

Ь,4= Л5. б =

В случае О < О доказано, что биквадратное уравнение распадается единственным образом на два квадратных:

(кр + / 2Р - N \ + Р) (\2 - / 2Р - гг X. + Р) = О.

Решая эти уравнения, получаем пару корней с отрицательной действительной частью и пару корней с положительной действительной частью:

- У 2Р - II ± / 2Р + N I / ?Р - V ± / ГР + // {

3,4 ^ '5,6 2

Для построения устойчивого управления системой (5) выбираем случай отрицательного дискриминанта. т.к. в этом случае у;:е по первому приближению известно, что рэивгаю является неустойчивым по Ляпунову. Добавляя к правой части уравнений системы (Б) слагаемые вида I -1.....6, где ц - малый паракэтр,

О < ¡х < 1, а К = - - У 2Р - N , получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Ь'с иь С-В

НГ + —р-, П5 - "б " "2"3

и А I/ А / АБС (и(,и2,и3: А,в,с;

. На №> 1 1 и4'и5'иб;

Найдены характеристические кор!ш этой систем!:

\1 = \2 = ЦК, /2Р - Я (2р. -1) ± ■/ 2Р + К I

- /2Р - У (2|1 ± /2Р + IV I

"5,6

2 •

4 имеют отрицательную действительную часть при условии

1

Не 2 5 б < 0 Ч® ■ш3ом Таккм образом, при р. > 1/2 двикв-

ние системы (9) является асимптотически устойчивым, т.е. решена задача управления системой (5).

Произвольное решение системы (9) с начальными условиями

и| 1_0= и0 . выражено в виде формулы Коши:

t

иа.и0) = o(t,o)u0 + х аа,в) рт:з,и0)] аа. о

где й (1,в) = П а) СГ'(в), = П а - в, - матрица Коши, Р Си) -шестимерная вектор-функция, составленная из нелинейных членов.

Природа управляющих сил определена при помощи обратной замены переменных. Доказана

Теорема 2. Существуют диссшштивше силы с моментом вода

, при добавлении которых движение тяхелого твердого тела

вокруг неподвижной точки становится асимптотически устойчивым.

Показано, как изменяются первые интегралы системы (5) при добавлении управляющих сил. Для интеграла типа норда получено дифференциальное уравнение:

dl

■= 2\1К I, (Ю)

где I = I ( и(.....и^ ; суть левая часть выражения (6). Из (10)

следует:

I - С е2"к\ где С - константа интегрирования.

Так как К < О, то при I, стремящемся , к Сооконечности» (и,и) стремится к нулю. ^ и2 = о только при равенстве нуля всех и{. Следовательно, с течением времени движение тела замедляется и, в конце концов, оно останавливается. Таким образом, малые добавочше моменты, противоположно напраьлешше вектору кинетического момента, со временем останавливают движение, при этом направляющие косинусы а, ¡3, у силы тяжести становятся рав-

'¡¡а !1Ь ¡1с

1шми соответствешю

1РГ' ЦТ' " ~ж

Нормальная форма УЭП, диссипатызная система и ее первое приближение записаны соответственно в матричном виде :

ù = Au ^ F(и), (II)

v = Bv + F(v), (12)

ii> = вш, (13)

где В = А + цКЕ, Е - единичная матрица, р - малмй параметр, К -отрицательное число, F (и) и F(v) - пектор - функции , составленные из нелинейных членов уравнений соответствующих систем. С помощью теоремы о гомеоморфизме доказана слелущая Теорема 3. Системы (12) и (13) является гомеомор^кша в том смысл?, что существует взаимно однозначное и взаимно негтре-

рывное отображение Ф области Gf = | v | |d| = (v,v)l/z £ m |

на Gg = I t» I |iü| = (w,m)l/z $ n переводящее решения (12) в

решения (13) и наоборот.

Гомеоморфизм w = í¡(v), построенный для систем уравнений (12) и (13), имеет следующий вид:

í

w(t) = Qt(v) = v(t) - J ïï(t - в) F(v(a)) da, о

где W(t) - матрица, столбцы которой являются решениями системы в первом приближении (13). Если v(t) - решение уравнения (12), то вектор w(t) = ®t(v) является решением уравнения (13), и притом того se типа.

Да лбе доказано, что, зная решение диссипативной системы (12), предельным переходом можно получить решение системы (II).

Итак, указан новый подход к изучению качественных свойств „ системы УЗП. Сначала предложенным методом мы переходим к система в первом приближении (13 ), решение которой находится достаточно просто. Далее последовательно применяя теорему о гомеоморфизме, а затем совершая предельный переход, можем по решению системы (13) найти решение нормальной системы (II).

Третья глава посвящена построению аналитического приближенного решения. Здесь сформулирована задача сплайн - коллокации системы УЗП, которая приведена к виду

-^ = /ь(и,,...,цб) (14)

О начальными условиями

ufc(ío> = ЦЛ k = 1'6 П5>

где и = (р.д.г,а.р.у).

Построено приближенное решение задачи (14)-(15) в виде кубических сплайнов, доказаны теоремы существования и единственности такого решения, получены оценки его уклонения от точного.

Для формулировки указанных результатов введем некоторые определения. Пусть }{х) е ССа.Ы, а,Ь « й и на отрезка [а,ЪЗ задана сетка

Л : а ~ г0 < < ... <гЧл = Ъ. (16)

Определение I. Функцию называют кубическим сплайном дефекта V (V- целое число, О < V < 3) с узлами на сетке А, если на каждом отрезке = разбиения А функция яв-

ляется кубическим многочленом п выполнено условие:

е С^Га.Ь].

Определение 2. Интерполяционным кубическим сплайном ) называется сплайн, удовлетворятся условиям

Sir.it) = /(. I = о.и....п-1

где /, - > - значение функции /(1) в узлах сетки (16).

Приближенное решение задачи (14)-(15) строится слэдугцш образом: на каздом отрезке J^ разбиения (16) решето записывается в виде ку5ических сплайнов

¡=о

с неизвестными коефЗзадюятата а.<1.}, определяемыми с помощью системы нелинейных алгебраических уравнений, полученных пз условия коллокации в точка- !{ и и начальных условий:

=4С .....1

=/*г .....] <18>

.....^.^(И» ]

Система (18) позволяет получить аналитические выражения для ко-зф^гциентов а^]',

С8'*1 .....5б,<->('<> 1

1 .....5б,»-.<'»> 1

и систему уравнений относительно вида

Ва»> = - У(1>,

где

= { К ^..»«и'.....

= {/ь }

Доказана следующая

Теорема 4. Если правые части системы уравнений (14) непрерывны в облает;: Ь и удовлетворяют условию Липшица, то ое нри-Олиленноо ррионио <ц11 в виде сплайнов (17) существует и единственно при условии Л с в.-'1, )"■'', где Ь - точно определенная константа Лшкчу.и.

то ... о о 6П... о

о ... о'бп

Получена оценка уклонения приближенного решения u(t) от 'гочпого u(t):

f u(t) - !~(f) { < [ eL(t~to) - I ],

где Г|0 - константа порядка h3.

олговнш результат] и плода

1. Система уравнений Эйлера-Пуассона при помощи лилейной замени перешита приведена к нормальной форме, при атом получен первый интеграл типа нормы.

2. Путем добавлэиия дассгаатившис сил с моментом вида (tKu; решена задача управления системой, которая становится асимптотически устойчивой. Исследовано влияние ртих сил на движение тиврдого тола.

3. Построен гомеоморфизм, переводящий решения дисгашатив-ной систем в решения систем в первом приближении л наоборот.

4. Доказана возможность предельного перехода от рекештЯ диссппативной систеш к решениям системы ¿'ЭП, приведошой к нормальной ffop'ja.

5. Методом интерполяционных сплайнов построено прибясеан-ное решение задача о двииешп! тядздого твердого тела вокруг из-ПОДИНШОЙ точки.

6. Получены оценки уляонзная нркблтанного решети от точного рзиения задачи.

Основные положения диссертации иплозены в следущих рантах:

I. Рзкииевэ З.Б. Сплайн-аппроксимация решений задачи дгаш-

шла твердого тела.//Проблемы вычислительное математики и автоматизация научных исследований. Алма-Ата, 1988, т.1, с.83.

2. Ракстева З.Б. Сплайн-решение задачи динамики твердого тела.//Теорэтичзски9 а прикладные вопросы математического моделирования* Алма-Ата, 1930, с.123-128.

3. Калыбаев А.А., Рагашва З.Б. Устойчивость по Лагранну и Пуассону движения абсолютно твердого тяаелого тела с ненодаиа-ной точкой.//Тезисы докладов "Иоделироваяиз сложных механических систом", Тешсент, 1991, с.65-67.

4. Ракшева З.Б. Исследование качественных свойств движения тяхэлего твердого тела Е01фуг неподвижной точки. 4.1.//Дэп. в КааИШКГ 1Б.07.92, й 3782-Ка 92. II с.

6. РакиЕэва З.Б. Исследование качественных сеойств доиз-шш тяеолого твердого тела вокруг неподвигной точки.Ч.П.//Ден. в КаЯШЕШ I5.07.S2, й 3783-Ка 92. Юс.'