Кинетические модели установления теплового равновесия в ранней Вселенной в условиях скейлинга взаимодействий частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ИГНАТЬЕВ ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ

КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТАНОВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ В УСЛОВИЯХ СКЕЙЛИНГА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЧАСТИЦ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2011

9 ИЮН 2011

4849641

Работа выполнена на кафедре геометрии и математического моделирования ГОУ ВПО "Татарский государственный гуманитарно - педагогический университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Сушков Сергей Владимирович Официальные оппоненты:

Защита состоится «5 »июля 2011г. в «15.30 » часов на заседании диссертационного совета Д212.203.34 в ГОУ ВПО Российском университете Дружбы народов (РУДН) по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ГОУ ВПО Российском университете Дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан «25» мая 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Виталий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Гальцов Дмитрий Владимирович

Ведущая организация:

Томский государственный университет

доцент

Лаптев Ю.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С 80-х годов ХХ-го столетия наблюдается устойчивый прогресс в физике элементарных частиц и высоких энергий, вызванный построением и развитием теории фундаментальных взаимодействий, с одной стороны, и развитием базы экспериментальных исследований, с другой стороны. В настоящее время экспериментальная физика элементарных частиц подходит к систематическим исследованиям процессов с элементарными частицами на уровне энергии порядка десятков Тэв (1012 эв) на ускорителях на встречных пучках типа Большого адронного коллайдера СЕ1ШВ. Одновременно с этим за последние годы получен ряд новых наблюдательных данных астрофизического и космологического характера, приведших к необходимости коренного пересмотра стандартного космологического сценария. В первую очередь, это, безусловно, наблюдательные данные, свидетельствующие об ускорении расширения Вселенной на современном этапе. Так или иначе, в современной космологии происходит процесс ревизии основных положений теоретической модели, положенной в основу современных представлений об эволюции Вселенной.

Одной из основных гипотез, положенных в основу стандартного космологического сценария еще со времен первых работ Георгий Гамова, является гипотеза о существовании изначального термодинамического равновесия в ранней Вселенной. В 40 - 50-х годах ХХ-го столетия, когда Георгий Гамов создавал горячую модель Вселенной, экстраполяция экспериментальных данных тех лет о сечениях взаимодействий ядер элементарных частиц и ядер в область высоких энергий приводила к выводу о неизбежности существования локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной. Однако, экспериментальные данные о сечениях взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, полученные в 70 - 80-е годы, само развитие принципов квантовой теории поля привели к необходимости ревизии гипотезы изначального теплового равновесия. В середине 80-х годов на основе релятивистской кинетической теории и новых данных о сечениях взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий был проведен строгий анализ выполнения условий локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной. В частности, было показано, что, во-первых, само существование локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной зависит от асимптотического поведения сечений взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, и, во-вторых, что при условии справедливости принципа конформной инвариантности квантовой теории в области сверхвысоких энергий локальное термодинамическое равновесие может отсутствовать в ранней Вселенной, восстанавливаться на более поздних этапах расширения и затем - окончательно нарушаться.

С другой стороны при восстановлении конформной инвариантности квантовой теории релятивистская кинетическая теория также становится асимптотически конформно инвариантной при высоких энергиях частиц. А это, в свою очередь, означает, что локальное термодинамическое равновесие в самой ранней Вселенной должно отсутствовать. Следует подчеркнуть, что, говоря о восстановлении конформной (масштабной) инвариантности, мы имеем ввиду энергии выше так называемого унитарного предела, т.е., выше всех масс промежуточных частиц, участвующих во взаимодействиях. В свою очередь, восстановление конформной инвариантности квантовой теории за унитарным пределом автоматически означает восстановление скейлинга, или - масштабной инвариантности инвариантных амплитуд рассеяния, приводящей к обратно пропорциональной зависимости сечения рассеяния от кинематического инварианта взаимодействия, в, равному релятивистскому квадрату полного импульса сталкивающихся частиц. Этот факт в физике сверхвысоких энергий называется также восстановлением скейлинга, а указанная обратная пропорциональность сечения взаимодействия кинематическому инварианту б называется скейлинговым поведением сечения рассеяния. Таким образом, при скейлинговом поведении сечения взаимодействия величины сечения взаимодействия частиц падают с ростом их энергии. Так, например, в области энергии порядка 1 Мэв электромагнитные взаимо-действия имеют сечение порядка томпсоновского, от = 0,572-Ю24 см2 = 0,524 барн. А в области энергий порядка 10 Тэв (107 мэв), близкие к энергии Большого адронного коллайдера протон-протонные взаимодействия имеют сечение взаимодействий менее нанобарна, т.е., при увеличении энергии на 7 порядков величина характерного сечения взаимодействия упала на 9 порядков. Скейлинговым поведением обладают все электромагнитные все электромагнитные взаимодействия.

Таким образом, имеются серьезные основания для построения космологических моделей ранней Вселенной, основанных на предположении о скейлинговом поведении сечений взаимодействия элементарных частиц в области выше унитарного предела. В свете процесса ревизии стандартного космологического сценария, его уточнения и согласования с наблюдательными и экспериментальными данными последних лет тема диссертации актуальна.

Целью работы является исследование кинетики установления теплового равновесия в ранней Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий на основе релятивистской кинетической теории в предположении о малости числа частиц в сверхтепловом секторе начального распределения, а также установление наблюдательных ограничений на начальные параметры неравновесного распределения.

Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:

• Построение кинетической модели установления теплового равновесия в ранней Вселенной в приближении слабого отклонения от равновесия первоначального распределения.

• Формулировка на основе полученного кинетического уравнения и его решения математической модели эволюции температуры равновесной компоненты космологической плазмы.

• Построение численных моделей разогрева равновесной компоненты космологической плазмы.

• Исследование процессов космологической закалки реликтовых нейтрино, нейтронов и Не4 в модели Вселенной с изначально нарушенным тепловым равновесием.

• Определение на основе полученных результатов космологических ограничений по Не4 на параметры первоначального распределения неравновесных частиц.

• Формулировка основных положений неравновесной анизотропной модели Вселенной и определение закона космологической эволюции анизотропного распределения неравновесных частиц.

Объектом диссертационного исследования релятивистская космологическая плазма на ранних этапах космологического расширения.

Предметом исследования является процесс установления термодинамического равновесия в первоначально неравновесной космологической плазме в условиях восстановления скейлинга взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий.

Методы исследования. Методологической основой исследования является общерелятивистская кинетическая теория, релятивистская теория гравитации, риманова геометрия и тензорный анализ, теория дифференциальных уравнений, численные методы и язык программирования пакета символьной математики Мар1е.

Научная новизна исследования состоит:

• В разработке кинетических моделей изотропной слабонеравновесной Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий элементарных частиц;

• В построении численных моделей слабонеравновесной изотропной Вселенной и установлении наблюдательных ограничений на параметры неравновесного распределения;

• В формулировке и построении математической модели неравновесной анизотропной Вселенной.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:

• Российском семинаре «Методы нформациошшх технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях». Казань. 2007.

• Российской школе-семинаре «Современные проблемы теории гравитации и космологии - 0гасо8-2007». Казань. 2007.

• 13-й Российской гравитационной конференции - Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике. Москва. 2008.

• 8-й молодежной научной школы-конференции. «Лобачевские чтения». Казань. 2009.

• Российской школе-семинаре «Современные проблемы теории гравитации и космологии - Сгасо5-2009». Казань. 2009.

• Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». Смоленск. 2009.

• Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». Смоленск. 2010.

• ». Международной конференции «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики». Москва. 2010.

• Российском семинаре. «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». Казань. 2010.

• Научных семинарах кафедры геометрии и математического моделирования ТГГПУ, итоговых конференциях ТГГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены автором самостоятельно. В трех совместных работах с Ю.Г. Игнатьевым последнему принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 130 страницах и состоит из Введения, трех глав, Заключения и Списка литературы из 107 наименований, содержит 30 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обоснование темы диссертации и ее актуальности, а также определены основные цели диссертации.

Первая глава носит вводный характер и посвящена изложению основных положений общерелятивистской кинетической теории, анализу основных положений стандартного космологического сценария (СКС), анализу условий локального термодинамического равновесия (ЛТР) в горячей модели Вселенной. В этой главе также описано универсальное асимптотическое сечение рассеяния. Особое внимание при этом уделяется кинетической теории расширяющейся космологической плазмы. Основой рассматриваемой теоретической модели являются общерелятивистские кинетические уравнения1

РУ^а О)

где V,- оператор ковариантного дифференцирования в фазовом пространстве (производная по Картану), /а (х', Рк) - функция распределения

частиц сорта «а» плазмы по координатам х' и обобщенным импульсам Рк,

1а{х,Р) = ^1Ах,Р) (2)

ь

- интеграл столкновений частиц сорта на» с частицами всех сортов:

1Лх,Ра) = -Т,Уа [с^\РР-РЖЛ -^/^П/,^' О)

где введены статистические факторы 2И:

щ У.А т с'я _

Л=1 а=I 5=1 Р=\ I Р

т уа т у'в

Л=1 «=1 5=1 /?=1 Р I

Знаки " + " соответствуют бозонам, а"-"-фермионам, УА,\''в - числа частиц сортов аА, а в > участвующих в реакциях:

т гп

(4)

А=\ В=\

^¿/ТГ означает произведение импульсных объемов всех сортов частиц

1 см., например, Ю.Г. Известия ВУЗов, Физика. -1983. -Т.26. - №.8. - С. 19-23.

7

кроме «а »-го, ^ - соответствующее интегрирование, 1,Р - I - символы

начального и конечного состояний, ¡¥!Р и \УР1 - фазовые плотности вероятностей перехода из начального состояния в конечное и наоборот. Фазовые плотности вероятности перехода связаны со стандартными инвариантными нормированными амплитудами рассеяния квантовой теории поля, М!Р, соотношением:

Интегральными следствиями кинетических уравнений (1) являются макроскопические законы сохранения некоторых обобщенных зарядов ga, которым соответствуют обобщенные токи:

\Р>га(х,р)<1ка, V/=о,

и закон сохранения суммарной энергии - импульса плазмы2:

1Л(*)=Е \р'ркГЛх,Р)Лк, v4гtt =0.

0 р.

(5)

(6)

При локальном термодинамическом равновесии (ЛТР) плазмы ее энтропия сохраняется, вследствие чего выполняются функциональные уравнения Больцмана, решением которых с учетом квантовой статистики являются локально - равновесные функции распределения :3

/а\х,Ра)= ехр

в

+1 , ™

где V1 (х) - времениподобный единичный вектор макроскопической

скорости среды, скаляр 0(х) - локальная температура среды, знак «-»

соответствует бозонам, «+» - фермионам, скалярные функции ¡1а (х),

химические потенциалы «а»-го сорта частиц плазмы, удовлетворяют системе уравнений химического равновесия:

(в)

1 ^ _

2 Ю. Г. Игнатьев. Известия ВУЗов, Физика -1983. - Т.26. - №.12. -С. 9-14

3 В диссертации всюду выбрана универсальная система единиц: к~с-С=Н=1\ (к -постоянная Больцмана).

в каждом канале реакций (4). В условиях JITP интегралы столкновений частиц обращаются в нуль относительно локально - равновесных распределений (7) даже в случае Т - неинвариантных взаимодействий.

Необходимым условием установления и поддержания ЛТР является малость эффективного времени столкновений, те(г, по сравнению с характерным временем эволюции статистической системы. Применительно к космологии условие существования ЛТР принимает вид: Te#«i=>(naC7#)«i, (9)

где па - плотности числа частиц сорта «а», oeff - эффективное сечение взаимодействия частиц, t - космологическое время (возраст Вселенной). Вследствие сохранения числа частиц (па~а3) подстановка в (9) постоянного сечения взаимодействия частиц oeff =Const на ультрарелятивистской стадии эволюции Вселенной (a~tm) приводит к противоположному (9) условию существования ЛТР4:

t«t0, (10)

согласно которому ЛТР существует на ранних стадиях эволюции Вселенной и нарушается на поздних. Это утверждение является одним из основных положений СКС.

В ряде работ Ю.Г. Игнатьева5 был проведен строгий анализ условия существования ЛТР (9) с точки зрения релятивистской кинетической теории и современных представлений о фундаментальных взаимодей-ствиях элементарных частиц в области энергий выше унитарного предела, когда кинетические энергии частиц становятся больше масс всех промежуточных частиц, участвующих в реакциях, и должна восста-навливаться масштабная инвариантность взаимодействий, т.е., скешинг. В этих же работах было предложено выражение для универсального асимптотического сечения рассеяния частиц в области выше унитарного предела, построенное лишь из фундаментальных констант, кинематического инварианта s и удовлетворяющее принципу конформной инвариантности взаимодействий. С помощью этого сечения рассеяния в указанных работах был сделан вывод об отсутствии ЛТР на самых ранних стадиях Вселенной, восстановлении его на промежуточных стадиях и затем, - окончательного нарушения - на более поздних. В этих же работах были сформулированы качественные выводы об основных закономерностях эволюции неравновесной Вселенной.

4 см., например, Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной. -М.: Наука. - 1975. - 736 с.

5 см., например, Ю.Г. Игнатьев. Известия ВУЗов, Физика, 29, №.2,1986, с. 27-32; Yu.G. Ignatyev. Gravitation & Cosmology. -13, No 1(49). - 2007. - pp. 3M2.

Вторая глава диссертации посвящена систематическому построению кинетической модели слабонеравновесной изотропной Вселенной на основе гипотезы о восстановлении скейлинга взаимодействий элементарных частиц в области энергий выше унитарного предела. Следует отметить, что в ряде работ Ю.Г. Игнатьева и P.A. Зиатдинова процесс установления локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий исследовался на основе так называемой диффузионной модели, соответствующей, во-первых, предположению о малости плотности числа частиц в тепловом секторе распределения, и, во-вторых, - малости передаваемого импульса при столкновениях частиц. В отличие от этой модели в диссертации рассматривается более реалистическая ситуация, когда, наоборот, плотность числа частиц в тепловом секторе распределения гораздо больше плотности числа сверхтепловых частиц, но при этом плотность энергии сверхтепловых частиц может быть и гораздо больше плотности энергии теплового сектора распределения. Именно в смысле малости числа сверхтепловых частиц понимается в диссертации слабость неравновесности плазмы. В этой главе проведено уточнение универсального асимптотического сечения рассеяния, предложенного в работах Ю.Г. Игнатьева, и дано сравнение его поведения с сечениями основных электромагнитных процессов, которые, как известно, всегда имеют скейлинговый характер. Предложенное в диссертации выражение для асимптотического сечения рассеяния

где 80=46, образовано лишь из фундаментальных констант и совпадает по порядку величины с соответствующими сечениями взаимодействия элементарных частиц на всех уровнях взаимодействия: электромагнитного, электрослабого, кварково-глюонного и гравитационного.

Далее во второй главе диссертации выводятся кинетические уравнения для слабонеравновесной плазмы в предположении, что взаимодействия всех элементарных частиц в унитарном пределе унифицируются и описываются асимптотической формулой (11). Важным обстоятельством при выводе кинетических уравнений, как указывалось и выше, явилось предположение о малости числа неравновесных частиц в космологической плазме. В этом случае плазму можно рассматривать как двухкомпонентную систему, состоящую из большого числа равновесных частиц и небольшого -равновесных. Интеграл столкновений (2) - (3) при этом существенно упрощается, и кинетические уравнения (1) приводятся к виду линейных дифференциальных уравнений:

6 - в универсальной системе единиц; в обычных единицах s0 = 4т2р1 = 4hc3 / G.

(И)

д_а д_ di а др

KN Т1 3 А(рТ/2)

Шир),

(12)

где N = (25+1) + 1/2^(25+ l)j суммирование проводится по всем

бозонам и фермионам, T(t) - температура равновесной компоненты плазмы. Решение кинетических уравнений (12) с учетом линейных интегралов движения в метрике Фридмана Pa=Const для ультрарелятивистской плазмы имеет вид:

Д/а0,Р) = Д/о°0,Р)-ехр

Р i Л

(13)

где у = T(t)/Ta(t), T0(t) - температура идеальной равновесной Вселенной,

T = p/N"%(t)

(14)

- безразмерная импульсная переменная, являющаяся интегралом движения в мире Фридмана; N - число типов частиц с учетом их статистических

факторов: N = 1/ г( £ (25+1) ■+ 7/8^(25 +1)]; % Р)= ^ '

F J Л(Р7Т0/2)

функция, логарифмически слабо зависящая от переменных i,P.

Далее во второй главе диссертации на основе закона сохранения полной энергии ультрарелятивистской плазмы a4e = Const, являющегося следствием уравнений Эйнштейна, и найденного решения (13) кинетических уравнений получено уравнение энергобаланса:

л

<*p=l.

(15)

Р & #

Интегрированием с логарифмической точностью и введением новых безразмерных временной и импульсной переменных:

гЛл р = 1,

Ро Ро

а также безразмерной функции:

Х(25 + 1)рРР3Д/а0(Р)е Z(T) = 2jy2(T,)dT,; Ф(Z) = p(Z) = -i

,-г/р

(16)

где Ро - среднее значение импульсной переменной в начальном неравновесном распределении:

Ро = ---, (17)

Х(25 + 1)рРР2А/а°(Р)

а О

уравнение энергобаланса (15) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции Ъ(х): г\=2^1-(\-щ)Ф(г), (18)

через которую с помощью (16) выражается искомая функция относительной температуры, у(г) = ^2\/2. Уравнение (18) зависит от безразмерного параметра = у4(0) = 1ш1£„(т)/£„(г)<1 - отношения плотности энергии

равновесной компоненты плазмы к плотности полной энергии и должно решаться с начальным условием:

г(0) = 0. (19)

Интегрированием уравнения (18) можно получить его формальное решение:

12г ¿и

т = - -т= (20)

20^1-(1-й>0)Ф(С/)

В диссертации показано, что при каждом заданном значении т уравнение (20) имеет единственное решение Z(x). Учитывая связь между функциями Ъ(х) и у(х), получим соотношение:

у = (1-(1-й>0)Ф(7))"\ (21)

получим систему двух параметрических уравнений (20), (21), из которых при заданной функции (16), т.е., в конечном итоге, модели начального неравновесного распределения А1°а(Р), можно получить искомую зависимость у(т), т.е., температуру равновесной компоненты плазмы. Используя эту зависимость в решении (13) кинетического уравнения, мы определим эволюцию неравновесной компоненты плазмы. Таким образом, во второй главе дано параметрическое решение в квадратурах для слабонеравновесной изотропной космологической модели. Во второй главе на основе формальных решений (13), (21), (22) проводится аналитическое исследование эволюции слабонеравновесной Вселенной при небольших значениях временной переменной т, когда соответствующие решения можно разложить в ряд Тейлора по малости т и получить решение в явном виде. В диссертации получены в явном виде асимптотические выражения для указанных выше функций Ф^), Z(x), у(х), температуры равновесной компоненты плазмы, Т(т) и функции распределения

неравновесных частиц, А/а (Т, Р), в частности:

>'(о=Jyfc+TÇL-o,0) => m=T°r(t)

Pa

i,/4~r1/4;

А^(Г,Р) = А/а°(Р)-ехр

' Tt

PoP

(22)

(23)

В разделе II.5 получены асимптотические выражения для функции распределения неравновесных частиц на нерелятивистском этапе расширения и средней энергии сверхтепловых реликтовых частиц. При этом время термализации сверхтепловых реликтовых частиц с конформным импульсом Р оказывается равным: Г г. N3

1

(24)

где ^ - момент времени смены фазы расширения с ултрарелятивистской на нерелятивистскую. Средняя энергия сверхтепловых реликтовых частиц на нерелятивистской стадии расширения оказывается равной: (6)

Ei(f) = -

N

~ 10

t \V3

¿1 Gev,

(25)

л/^Л(Г02(ОР/2)

что составляет в современную эпоху 1012-1013 Гэв. Космические частицы с энергией порядка или больше этой величины могут иметь ранетовое происхождение.

Третья глава диссертации посвящена численному моделированию эволюции слабонеравновесных изотропных космологической моделей. При различных предположениях о форме первоначального неравновесного первоначального распределения построены численные модели космологической эволюции. В случае, например, ступенчатого по энергиям распределения неравновесных частиц:

т-р)

к-* О,

(26)

р^+р2)3'2

где х( 1 -р) - функция Хевисайда уравнения (20)—(21) сводятся к следующим:

du

T(â)= $ --

2oJl-(l-^)(e-"+MEi(-«)) Ve'

где Ei(z) = j —dt, (arg(-z) < ri) - интегральная показательная функция.

(27)

Для экспоненциального распределения:

А/0(р) = А-е-а?°г

функция Ф(2) принимает вид:

Ф(2) = Ъ1{1+2) К0 (2л/з1)+2ч/32 (1+22) К, (2>/32?),

где К„ (г) = сЬ Ш й V, (Кф)>0) - функции Бесселя 2-го рода.

(28) (29)

Показано, что основные свойства неравновесной космологической модели весьма слабо зависят от деталей первоначального распределения частиц по энергиям, а определяются лишь двумя параметрами: относительной плотностью энергии частиц в сверхтепловом секторе

распределения, <0о, и средней конформной энергией этих частиц, Ро. На Рис. 1,2 показаны некоторые результаты численного моделирования процесса установления ЛТР. Как видно из этих графиков, процесс термализации неравновесной компоненты плазмы, в основном, завершается к моменту безразмерной временной переменной, т, порядка 1 и весьма слабо зависит от формы начального распределения.

Рис. 1. Релаксация относительной температуры плазмы, у(т), к равновесной в зависимости от параметра о>0 для первоначального ступенчатого распределения (22). Снизу вверх: <Во=0,01; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7.

Рис. 2. Релаксация относительной температуры плазмы, у(т), к равновесной для параметра соо=0.9: пунктирная линия - ступенчатое распределение (22), сплошная линия -экспоненциальное распределение (24).

В разделе 1П.4 диссертации исследуются основные закономерности неравновесной модели изотропной Вселенной, отличающие ее от стандартной космологической модели. Кроме указанной выше возможности «выживания» частиц сверхвысоких энергий неравновесный сценарий может изменить число обычных для СКС реликтовых частиц, в частности, нейтрино, нейтронов и космологического Не4. Это происходит в результате

меньшего, чем в СКС, числа частиц в тепловом секторе и меньшей температурой на каждый момент времени. В диссертации вычислены исходные количества реликтовых нейтрино. Численным решением кинетических уравнений термоядерного синтеза с найденной функцией температуры равновесной компоненты плазмы вычислены концентрации реликтовых нейтронов и космологического гелия в зависимости от

параметров неравновесного распределения <т0 и Ро. На Рис. 3 представлены некоторые результаты численного интегрирования. В неравновесных моделях количество космологического гелия выше, чем в СКС. Поэтому сравнение с наблюдаемыми значениями космологического Не4 приводит к ограничению области допустимых значений параметров неравновесного распределения (Рис. 4).

Кроме того, третья глава содержит обоснование применимости классического кинетического подхода к описанию эволюции ранней Вселенной.

2322 21 20 19 1В 17:

Рис. 3. Влияние параметра Р0 на выход реликтовых нейтронов при начальной концентрации нейтронов, N0=0.5: нижняя линия - в СКС; средняя -Р0=1О17; верхняя линия - Р0=Ю18; пунктирная линия - классическая асимптота N=0.165. По оси абсцисс отложены значения космологического времени в секундах, по оси ординат -концентрация нейтронов.

У

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 4. Допустимая но концентрации Не4 область значений параметров слабонеравновесной модели (незаш-

трихованная область), а0 и Ро . По оси абсцисс отложены значения параметра

ао, по оси ординат - ^ Ро.

Наконец, четвертая глава диссертации посвящена разработке модели слабонеравновесной анизотропной Вселенной. В этой главе сформулирована самосогласованная система уравнений, описывающих эволюцию слабонеравновесной анизотропной Вселенной, найдено соответствующее решение линеаризированных кинетических уравнений и проведен общий

анализ космологической эволюции слабонеравновесной анизотропной Вселенной. Проведено численное моделирование эволюции неравновесного анизотропного распределения во Вселенной Казнера:

Полученное решение кинетического уравнения в этом случае принимает вид:

4я37Г02 ЗЛА

р^+^+р^2

(30)

где Рх = Рг + Р2, Рг - ковариантные компоненты импульса. В качестве начального анизотропного распределения было выбрано эллипсоидальное распределение.

На Рис. 5 показаны некоторые результаты численного моделирования эволюции первоначального анизотропного распределения.

Рис. 5. Эволюция сечения Рх = 1 неравновесного распределения. По оси абсцисс отложены значения координаты импульса Р,, по оси ординат -

18 АГ-

Численные оценки показывают, что время изотропизации неравновесного распределения порядка времени его изотропизации. Таким образом, в четвертой главе показано, что в результате космологической эволюции возможно сохранение анизотропии реликтовых частиц энергий, порядка 1012 - 1013 Гэв и выше.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Построена кинетическая модель установления теплового равновесия в ранней Вселенной в приближении слабого отклонения от равновесия первоначального распределения.

2. На основе полученного кинетического уравнения и найденного в квадратурах его решения сформулировано уравнение энергобаланса, описывающее эволюцию температуры равновесной компоненты космологической плазмы; найдены в квадратурах решения уравнения энергобаланса и построены численные модели разогрева равновесной компоненты.

3. Исследованы процессы космологической закалки реликтовых нейтрино, нейтронов и Не4 в модели Вселенной с изначально нарушенным тепловым равновесием. На основе полученных результатов найдены космологические ограничения по Не4 на параметры первоначального распределения неравновесных частиц.

4. Сформулирована неравновесная анизотропная модель Вселенной и найден закон космологической эволюции анизотропного распределения неравновесных частиц. Сделан вывод о возможности сохранения до современной эпохи анизотропии реликтовых частиц со сверхвысокими энергиями.

Список Литературы содержит 107 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

В научных журналах, рекомендованных ВАК

1. D.Yu. Ignatyev. Kinetics of the non-equilibrium Universe. П. Kinetics of Local thermodynamic equilibrium recovery./ Yu.G. Ignatyev, D.Yu.Ignatyev //Gravitation & Cosmology. - 13, No 2. - 2007. - pp. 101—113;

2. D.Yu.Ignatyev. Kinetics of non-equilibrium Universe. III. Stability of non-equilibrium scenario./ Yu.G. Ignatyev, D.Yu.Ignatyev. II Gravitation and Cosmology, 2008,14, No 4. - pp. 309-313.

3. Д.Ю. Игнатьев. Кинетическая модель анизотропной Вселенной. //Вестник ТИПУ, № 4. - 2010, - с. 36-42.

В других научных журналах и материалах научных конференций

4. Игнатьев Д.Ю. Исследование восстановления JITP в ранней Вселенной средствами Maple. // Российский научный семинар «Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях». - Казань: Изд-во «Фолианть». - 2007. - С. 373 -380.

5. Игнатьев Д.Ю. Исследование восстановления ЛТР в ранней Вселенной средствами Maple. // Российский научный семинар «Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях». - Казань: Изд-во -«Фолианть». -2007.-С. 373-380.

6. Игнатьев Д.Ю., Игнатьев Ю.Г. Обоснование кинетической модели неравновесной Вселенной. /Игнатьев Д.Ю., Игнатьев Ю.Г. //Труды И-й Российской школы-семинара по гравитации и космологии «Gracos-2009», Казань, «Фолианть». - 2009. - с. 59 - 67.

7. Игнатьев Д.Ю. Кинетическая модель анизотропной Вселенной. //Труды П-й Российской школы-семинара по гравитации и космологии «Gracos-2009», Казань, «Фолианть». - 2009. - с. 68 - 75.

8. Игнатьев Д.Ю. Компьютерное моделирование изотропизации неравновесной Вселенной. //Системы компьютерной математики и их приложения. Выпуск 11. Смоленск: Изд-во СмолГУ. - 2010. - с. 217 -218.

9. Д.Ю. Игнатьев. Неравновесная анизотропная космологическая модель Бланки 1-го типа. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. - т. 39. - 2009. - С. 238-240.

10. D.Yu. Ignatyev. A non-equilibrium anisotropic cosmological model.// RUDN 10. Modem problems of gravitation, cosmology and relativistic astrophysics. International Conference. Moscow. - M.: Изд-во РУДН. -2010.-с. 105.

П.Игнатьев Д.Ю. Космологическая эволюция неравновесной анизотропной плазмы. //Труды Российского школы-семинара «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». - Казань: «Фолианть». -2010.-е. 166.

Игнатьев Дмитрий Юрьевич

Кинетические модели установления теплового равновесия в ранней Вселенной в условиях скейлинга взаимодействий частиц

Построены и исследованы методами общерелятивистской кинетической теории слабонеравновесные космологические модели с первоначальным изотропным и анизотропным отклонением функции распределения от равновесной при наличии скейлинга взаимодействий частиц в области сверхвысоких энергий. Выявлены параметры первоначального неравновесного спектра частиц, существенно влияющие на космологический сценарий и установлена область допустимых значений этих параметров, не противоречащих наблюдениям. Определены основные наблюдательные проявления первоначального нарушения термодинамического равновесия, отличающие неравновесный космологический сценарий от стандартного.

Ignatyev Dmitry Yurievich

Kinetic models of thermal equilibrium's establishment in the early Universe at scaling of particles' interactions

By means of common relativistic kinetic theory there formed and investigated weakly-nonequilibrium cosmological models with the initial isotropic and anisotropic deviation of the distribution function from the equilibrium at scaling of particles' interactions in range of extreme energies. There revealed the parameters of the initial nonequiiibrium spectrum of particles, that effect essentially on the cosmological scenario and established a range of admissible parameters' values that do not contradict observations. Basic observation occurrences of the thermodynamical equilibrium's initial violence that vary a non-equilibrium scenario from the equilibrium one, are determined.

Подписано в печать 17.05.2011 г. Форм. бум. 60x80 1/16. Печ. л. 1,25. Тираж 100шт. Заказ № 1705/1 Отпечатано с готового оригинал - макета в ИП Колесов В.Н. г. Казань, ул. Московская, 22. Тел.: 260-38-41,292-98-92

Введение

Глава I. Кинетика установления термодинамического равновесия в ранней Вселенной

1.1 Основные положения общерелятивистской кинетической теории.

1.2 Стандартный космологический сценарий

1.3 Анализ условий локального термодинамического равновесия

1.4 Скейлинг взаимодействия релятивистских частиц.

1.5 Асимптотическая конформная инвариантность релятивистской кинетической теории.

1.6 Универсальное асимптотическое сечение рассеяния.

Глава II. Изотропные кинетические модели со слабым нарушением равновесия

11.1 Уточнение асимптотического сечения рассеяния.

11.2 Кинетические уравнения для сверхтепловых частиц

11.3 Релаксация сверхтепловой компоненты на равновесных частицах.

11.4 Разогрев равновесной компоненты сверхтепловыми частицами

11.5 Исследование процесса установления теплового равновесия

Глава III. Численное моделирование слабонеравновесных моделей

III. 1 Первоначальное распределение типа белого шума.

111.2 Первоначальное экспоненциальное распределение.

111.3 Исследование релаксации неравновесного распределения

111.4 Основные закономерности неравновесных космологических моделей.

111.5 Обоснование кинетической модели неравновесной Вселенной

Глава IV. Анизотропные модели со слабым нарушением равновесия

IV. 1 Анизотропные пространственно - плоские космологические модели 1-го типа Бианки.

IV.2 Кинетические уравнения для однородной плазмы в анизотропной Вселенной.

IV. 3 Самосогласованная ультрарелятивистская модель.

IV.4 Численное моделирование эволюции анизотропного распределения

С 80-х годов ХХ-го столетия наблюдается устойчивый прогресс в физике элементарных частиц и высоких энергий, вызванный построением и развитием теории фундаментальных взаимодействий, с одной стороны, и развитием базы экспериментальных исследований, с другой стороны. В настоящее время экспериментальная физика элементарных частиц подходит к систематическим исследованиям процессов с элементарными частицами на уровне энергии порядка десятков Тэв (1012 эв) на ускорителях на встречных пучках типа Большого адронного коллайдера CERN1. Одновременно с этим за последние годы получен ряд новых наблюдательных данных астрофизического и космологического характера, приведших к необходимости коренного пересмотра стандартного космологического сценария. В первую очередь, это, безусловно, наблюдательные данные, свидетельствующие об ускорении расширения Вселенной на современном этапе. Так или иначе, в современной космологии происходит процесс ревизии основных положений теоретической модели, положенной в основу современных представлений об эволюции Вселенной.

Одной из основных гипотез, положенных в основу стандартного космологического сценария еще со времен первых работ Георгий Гамова (см., например [1]), является гипотеза о существовании изначального термодинамического равновесия в ранней Вселенной (см., например, [2]). В 40 -50-х годах ХХ-го столетия, когда Георгий Гамов создавал горячую модель

ХВ 2010 году на Большом адронном коллайдере полная энергия сталкивающихся протонов была доведена до 7 Тэв.

Вселенной, экстраполяция экспериментальных данных тех лет о сечениях взаимодействий ядер элементарных частиц и ядер в область высоких энергий приводила к выводу о неизбежности существования локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной. Однако, экспериментальные данные о сечениях взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, полученные в 70 - 80-е годы, само развитие принципов квантовой теории поля привели к необходимости ревизии гипотезы изначального теплового равновесия. В середине 80-х годов в работах Ю.Г. Игнатьева на основе релятивистской кинетической теории и новых данных о сечениях взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий был проведен строгий анализ выполнения условий локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной [3] - [6]. В этих работах было показано, что, во-первых, само существование локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной зависит от асимптотического поведения сечений взаимодействия элементарных частиц в области сверхвысоких энергий, и, во-вторых, что при условии справедливости принципа конформной инвариантности квантовой теории в области сверхвысоких энергий [7] локальное термодинамическое равновесие может отсутствовать в ранней Вселенной, восстанавливаться на более поздних этапах расширения и затем - окончательно нарушаться.

Принцип конформной инвариантности квантовой теории поля был выдвинут в 70-х годах H.A. Черниковым. Этот принцип заключается в том, что при стремлении к бесконечности энергий элементарных частиц должна восстанавливаться конформная инвариантность уравнений поля. С другой стороны при восстановлении конформной инвариантности квантовой теории релятивистская кинетическая теория также становится асимптотически конформно инвариантной при высоких энергиях частиц [7]. А это, в свою очередь, означает, что локальное термодинамическое равновесие в самой ранней Вселенной должно отсутствовать. Следует подчеркнуть, что, говоря о восстановлении конформной (масштабной) инвариантности, мы имеем ввиду энергии выше так называемого унитарного предела [8], т.е., выше всех масс промежуточных частиц, участвующих во взаимодействиях. В свою очередь, восстановление конформной ршвариантности квантовой теории за унитарным пределом автоматически означает восстановление скейлинга, или - масштабной инвариантности инвариантных амплитуд рассеяния, приводящей к обратно пропорциональной зависимости сечения рассеяния от кинематического инварианта взаимодействия2, в, равному релятивистскому квадрату полного импульса сталкивающихся частиц. Этот факт в физике сверхвысоких энергий называется также восстановлением скейлинга, а указанная обратная пропорциональность сечения взаимодействия кинематическому инварианту 5 называется скейлинговым поведением сечения рассеяния (см., например, [9]). Таким образом, скей-линговое поведение сечения взаимодействия означает падение величины сечения взаимодействия частиц с ростом их энергии. Так, например, в области энергии порядка 1 Мэв электромагнитные взаимодействия имеют сечение порядка томпсоновского, ат = 0, 572 • 10-24см2=0,524 барн. А в области энергий порядка 10 Тэв (10' мэв), близкие к энергии Большого адронного коллайдера протон-протонные взаимодействия имеют сечение взаимодействий менее нанобарна, т.е., при увеличении энергии на 7 порядков величина характерного сечения взаимодействия упала на 9 порядков. Скейлинговым поведением обладают все электромагнитные все электромагнитные взаимодействия (см., например, [10]). Данные, полученные на Стэнфордском накопителе, подтвердили наличие скейлинга для электрослабых взаимодействий.

Таким образом, имеются серьезные основания для построения космологических моделей ранней Вселенной, основанных на предположении о

2В отечественной литературе этот кинематический инвариант, равно как и второй, £, называют часто параметром Мандельстама. скейлинговом поведении сечений взаимодействия элементарных частиц в области выше унитарного предела. В свете процесса ревизии стандартного космологического сценария, его уточнения и согласования с наблюдательными м экспериментальными данными последних лет тема диссертации актуальна. Следует отметить, что в ряде работ Ю.Г. Игнатьева и P.A. Зиат-динова процесс установления локального термодинамического равновесия в ранней Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий исследовался на основе так называемой диффузионной модели [11] - [13], соответствующей предположению о малости плотности энергии в тепловом секторе распределения, а также малости передаваемого импульса при столкновениях частиц.

Целью работы является исследование кинетики установления теплового равновесия в ранней Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий на основе релятивистской кинетической теории в предположении о малости числа частиц в сверхтепловом секторе начального распределения, а также установление наблюдательных ограничений на начальные параметры неравновесного распределения.

Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:

1. Построение кинетической модели установления теплового равновесия в ранней Вселенной в приближении слабого отклонения от равновесия первоначального распределения.

2. Формулировка на основе полученного кинетического уравнения и его решения математической модели эволюции температуры равновесной компоненты космологической плазмы.

3. Построение численных моделей разогрева равновесной компоненты космологической плазмы.

4. Исследование процессов космологической закалки реликтовых нейтрино, нейтронов и Не4 в модели Вселенной с изначально нарушенным тепловым равновесием.

5. Определение на основе полученных результатов космологических ограничений по Не4 на параметры первоначального распределения неравновесных частиц.

6. Формулировка основных положений неравновесной анизотропной модели Вселенной и определение закона космологической эволюции анизотропного распределения неравновесных частиц.

7. Выяснение возможности сохранения анизотропии в позднюю эпоху эволюции Вселенной.

Объектом диссертационного исследования релятивистская космологическая плазма на ранних этапах космологического расширения.

Предметом исследования является процесс установления термодинамического равновесия первоначально неравновесной космологической плазме в условиях восстановления скейлинга взаимодействий элементарных частиц в области сверхвысоких энергий.

Методы исследования. Методологической основой исследования является общерелятивистская кинетическая теория, релятивистская теория гравитации, риманова геометрия и тензорный анализ, теория дифференциальных уравнений, численные методы и язык программирования пакета символьной математики Maple.

Научная новизна исследования состоит:

1. В разработке кинетических моделей изотропной слабонеравновесной Вселенной при наличии скейлинга взаимодействий элементарных частиц;

2. В построении численных моделей слабонеравновесной изотропной Вселенной и установлении наблюдательных ограничений на параметры неравновесного распределения;

3. В формулировке и построении математической модели неравновесной анизотропной Вселенной.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и Списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы:

• Построена кинетическая модель установления теплового равновесия в ранней Вселенной в приближении слабого отклонения от равновесия первоначального распределения.

• На основе полученного кинетического уравнения и найденного в квадратурах его решения сформулировано уравнение энергобаланса, описывающее эволюцию температуры равновесной компоненты космологической плазмы; найдены в квадратурах решения уравнения энергобаланса и построены численные модели разогрева равновесной компоненты.

• Исследованы процессы космологической закалки реликтовых нейтрино, нейтронов и Не4 в модели Вселенной с изначально нарушенным тепловым равновесием. На основе полученных результатов найдены космологические ограничения по Не4 на параметры первоначального распределения неравновесных частиц.

• Сформулирована неравновесная анизотропная модель Вселенной и найден закон космологической эволюции анизотропного распределения неравновесных частиц. Сделан вывод о возможности выживания до современной эпохи неравновесного анизотропного хвоста частиц со сверхвысокими энергиями.

Заключение

Таким образом, в диссертации построены и исследованы неравновесные модели Вселенной в предположении восстановления скейлинга взаимодействий частиц в области энергий выше унитарного предела. Определены существенные параметры неравновесных космологических моделей и выяснены границы их произвола, не противоречащие современным наблюдательным данным. Определены существенные отличия неравновесных моделей от моделей стандартного космологического сценария, в частности, возможность «выживания» сверхтепловой реликтовой составляющей космологической плазмы. Показана принципиальная возможность космологического происхождения, по крайней мере, части космических лучей.

1. George Gamov. The Creation of the Universe. Viking Press. - 1961. -148 p.

2. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной. -М.: Наука. 1975. - 736 с.

3. Игнатьев Ю.Г.Нарушение термодинамического равновесия в ранней Вселенной. Тезисы Советской конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». - Москва: Изд-во МГПИ. - 1984 - с. 18 - 19.

4. Игнатьев Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной. Известия Вузов, Физика. 29, No 2. - 1986. с. 19 - 24.

5. Игнатьев Ю.Г. Космологические последствия скейлинга. В сб.: «Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной». - Казань: Изд-во КГПИ. - 1988. - с. 62 - 83.

6. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования. Известия Вузов, Физика. - 25, No 4. - 1982. - с. 92- 97.

7. Ландау Л.Д. О «радиусе» элементарных частиц. Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 10. - 1940. с. 718 - 721.

8. Идеи Р. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях. -М.: Наука. 1970. - 392 с.

9. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. М.: Наука. - 1969. - 624 с.

10. Ignatyev Yu.G. and Ziatdinov R.A. DifFuzion model of evolution of superthermal high-energy particles under scalling in the early Universe.- Gravitation & Cosmology, Vol. 12, No 4. 2006. - pp. 293-302

11. Yu.G.Ignat'ev, R.A.Ziatdinov. Diffusion model of evolution of superthermal high-energy particles under scaling in the early Universe. II. Early stages. Gravitation and Cosmology. - 14, No 4. - 2008. - pp. 301-308.

12. Игнатьев Ю.Г., Зиатдинов P.A. Асимптотическое приближение модели Фоккера-Планка космологической эволюции сверхтепловых ультрарелятивистских частиц при наличии скейлинга взаимодействий. -Известия Вузов, Физика, 41, No 12. 2008. - с. 78 - 82.

13. Черников Н.А. Релятивистское кинетическое уравнение и равновесное состояние газа в статическом сферически-симмметричном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1960.- т. 133. С.333-336.

14. Черников Н.А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа впроизвольном гравитационном поле/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.89-92.

15. Черников Н.А. Вектор потока и тензор массы релятивистского идеального газа/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.314-317.

16. Черников Н.А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения/А.Н.Черников// Доклады Акад. Наук СССР, 1962. - т. 144. - С.544-547.

17. Chernikov N.A. The macroscopic foudation of the relativistic hydrodynamics/A.N.Chernikov// Acta Phys. Polon., 1965. - V. 27. - P.723-739.

18. Tauber G.E., Weinberg J.W. Internal state of a gravitating gas/G.E.Tauber, J.W.Weinberg// Phys. Rev., 1961. - V. 122. -P. 1342-1365.

19. Власов А.А. Статистические функции распределения /А.А.Власов -M.: Наука,1966. 356 е.

20. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1974. - т. 17. - № 12. -С.136-142.

21. Ignatyev Yu.G. The propagation of Electromagnetic plasma Oscillations in the Gravitational field/Yu.G.Ignatyev// Acta Physica Polonica , 1975. - Vol. B6. - № 2. -P.203-221.

22. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением

23. Общая теория/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. -т. 18, Ж 6, - С.7-15.

24. Игнатьев Ю.Г. Взаимодействие высокотемпературной плазмы, находящейся в гравитационном поле, с электромагнитным излучением1.. Нерелятивистские температуры/Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1975. - т. 18. - № 6. -С.109-119.

25. Захаров A.B., Игнатьев Ю.Г. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. II. Электромагнитные волны в приближении геометрической оптики/А.А.Захаров, Ю.Г.Игнатьев// Известия Вузов, Физика, 1976. - т. 19. - № 9. -С.62-69.

26. Игнатьев Ю.Г. Равновесные состояния релятивистского заряженного газа в рамках общей теории относительности/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физ. журнал, 1976. - т. 18. - № 12. -С. 1971-1977.

27. Ignat'ev Yu.G., Zakharov A.V. The reflection of gravitational waves from compact stars/Yu.G. Ignat'ev, A.V. Zakharov// Phys. Letters, -1978. V0I.66A. - Ж 1. - c. 3-7.

28. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО/Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1978. - Выпуск 14. - С. 90-107.

29. Игнатьев Ю.Г. Равновесные макроскопические движения релятивистского гравитирующего rasa заряженных частиц /Ю.Г.Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией

30. B.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1980. - Выпуск 17.1. C. 56-70.

31. Ю.Г. Игнатьев. Релятивистские кинетические уравнения и космология. // В сб. «Проблемы теории гравитации и элементарных частиц».- М.: Атомиздат, Выпуск 11, 1980. с. 113 - 124.

32. Ю.Г. Игнатьев. Релятивистская кинетика и космология. I. Известия ВУЗов, Физика. 23 No. 8. - 1980. с. 42 - 46.

33. Ю.Г. Игнатьев. Релятивистская кинетика и космология. II. Известия ВУЗов, Физика. 23 No 9. - 1980. - с. 27 - 32.

34. Игнатьев Ю.Г., Балакин A.B. Нелинейные гравитационные волны в плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. Б. Балакин// Известия ВУЗов, Физика, -1981. т.24. - №.7. -С. 20-24.

35. Игнатьев Ю. Г., Фазлеева А. 3. Столкновительное затухание гравитационных волн в ультрарелятивистской плазме/Ю. Г. Игнатьев, А. 3. Фазлеева// Украинский физический журнал, 1981. - т.26. - №. 1. С. 28-38.

36. Игнатьев Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев// Журнал эксперим. и теоре-тич.физики, 1981. - Т.81.- № 1. - С. 3-12.

37. Игнатьев Ю. Г. Космология, кинетика и масса покоя нейтрино/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией- В.Р.Кайгородова Казань: изд-во КГУ. - 1981. - Выпуск 18. - С. 73-75.

38. Балакин А. В., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения однородной электронно-фотонной плазмы/А.

39. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. -т. 25. - Ж9. - С. 53-57.

40. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии/А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. - №.10, - С. 82-85.

41. Игнатьев Ю. Г., Шуликовский В.Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны/Ю. Г. Игнатьев, В.Ю. Шуликовский// Известия ВУЗов, Физика, 1982. - т. 25. -№.10. -С. 85-92.

42. Игнатьев Ю. Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле/Ю. Г. Игнатьев// Гравитация и теория относительности / Под редакцией В.Р.Кайгородова - Казань: изд-во КГУ. - 1983. - Выпуск 20. - С. 50-109.

43. Balakin A.B., Ignat'ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors/A.B.Balakin, Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters., -1983. Vol. 96A. -P. 10-11.

44. Игнатьев Ю.Г. Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция/Ю. Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1983. -т.26. - №.8. - С. 15-19.

45. Ю.Г. Игнатьев. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле. // Известия ВУЗов, Физика. 26, No 8 (1983). - с. 19 - 24.

46. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц. Известия Вузов, Физика. 26. No 12. - (1983). - с. 9-14.

47. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием/Ю.Г. Игнатьев, P.P. Кузеев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - Ж7. -С. 1021-1025.

48. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Украинский физический журнал, 1984. - т.29. - №.7. - С.1025-1029.

49. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмо-подобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1984. - т.27. 12. -С. 70-74.

50. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной/Ю.Г.Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1985. - т.28. - № 1. -С.74-77.

51. Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму/Ю.Г. Игнатьев, Н.Р. Хуснутдинов// Украинский физический журнал, 1986. - т.31. -№.5. -С.707-715.

52. Игнатьев Ю.Г. Возможность нарушения термодинамического равновесия в ранней Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Известия ВУЗов, Физика, 1986. - т.29. - №.2. - С. 27-32.

53. Игнатьев Ю.Г., Смирнов A.B. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны/Ю.Г. Игнатьев, А.

54. B.Смирнов// Украинский физический журнал, 1987. - т.32. - №. 6.1. C.1917-1925.

55. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика бариогенезиса в горячей Вселенной/Ю.Г. Игнатьев// Астрономический журнал, 62, N8. 4, 1985, с. 633-638.

56. Игнатьев Ю.Г., Попов A.A. О статистическом описании ансамбля ультрарелятивистских частиц в пространственно плоской Вселенной/Ю. Г. Игнатьев, А. А. Попов// Известия ВУЗов, Физика, - 1989. - т.31. - Ж5. - С. 82-87.

57. Ю. Г. Игнатьев. Кинетическая модель бариогенезиса в симметричной горячей Вселенной. // В сб. «Классические и квантовостатистиче-ские проблемы релятивистской теории гравитации». Казань: Изд-во КГПИ,-1991.-С. 6-21.

58. Ignat'ev Yu.G. Excitation of Magnetohydrodynamic Shock Waves by a Gravitational Wave/Yu. G. Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1995.- Vol.1. №.4. -P. 287-300.

59. Ignat'ev Yu.G. Gravimagnetic shock waves and gravitational -waves experimenttes/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1996. Vol.2.- №.4. -P. 167-174.

60. Ignat'ev Yu.G. Gravitational magnetic shocks as a detector of a gravitational waves/Yu.G.Ignat'ev// Physics Letters A, 1997. - Vol.230.- P.171-176.

61. Ignat'ev Yu.G. Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev// Gravitation & Cosmology, 1997. - T.3. -№.4. - P. 254-260.

62. Ignat'ev Yu.G., Gorokhov D.N. Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma/Yu.G.Ignat'ev, D.N.Gorokhov// Gravitation & Cosmology, 1997. - Vol.3. - Ж 4, - P.261-265.

63. Ignat'ev Yu.G., Markov V.A. Local GMSW -response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave/Yu.G.Ignat'ev, V.A. Markov// Gravitation k Cosmology, 1998. - Vol.4. - Ж1. -P. 40-48.

64. Ignat'ev Yu.G., Chepkunova E.G. The moving semibounded magnetoactive plasma in field of a plane gravitational wave/Yu. G. Ignat'ev, E.G.Chepkunova// Gravitation & Cosmology, 2004. - Vol.10.- №4. P.123-127.

65. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. I. Exact model/Yu.G.Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation & Cosmology, 2005. -Vol. 11. - No 3. - P. 252-258.

66. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. II. Numerical model/Yu.G. Ignatyev, K.Alsmadi// Gravitation &; Cosmology, 2005.- Vol. 11. No 4. - P.363-368.

67. Ignatyev Yu.G., Alsmadi K. A complete relativistic kinetic model of symmetry violation in isotropic expanding plasma. III. Cpecific Entropy Calculation/Yu.G. Ignatyev, K. Alsmadi// Gravitation Sz Cosmology, -2007. Vol. 13. - No 2. - P.114-118.

68. Ю.Г. Игнатьев. Релятивистская кинетика неравновесных процессов в гравитационных полях. Казань: «Фолиант». 2010. - 508 с.

69. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. М.: Наука. - 1969. - 624 с.

70. А.Д. Долгов, Я.Б. Зельдович. Космология и элементарные частицы.- Успехи физических наук, 130. 1980. - с. 559 -614.

71. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука. - 1973. - 504 с.

72. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика. М.: Наука. -1964. - 568 с.г

73. А.В. Смирнов. Горизонт событий и столкновения частиц в ранней Вселенной. // В сб. «Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции Вселенной». Казань: Изд-во КГПИ, - 1988. -с. 59 - 61.

74. С.Г. Беляев, Г.И. Будкер. Релятивистское кинетическое уравнение. Докл. Акад. Наук СССР. 107. - 1956. - с. 807 - 810.

75. X. Пилькун. Физика элементарных частиц. М.: Мир. 1983. - 542 с.

76. Л.Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.: Наука. 1981. - 304 с.

77. M.Froissart, Phys. Rev. 123. - 196. - P. 1053.

78. A.Martin, Phys. Rev., 129, 1432 (1963)

79. A.Martin, Nuovo. Cim. 142. - 1966. - P. 930.

80. Y.S.Jin, A.Martin, Phys. Rev. 135B. - 1964. - P. 1369.

81. M.Sugawara, Phys. Rev. Lett. 14. -1965. - P. 336.

82. J.D.Bjorken, E.A.Paschos. Inelastic Electron-Proton and Proton Scattering and the structure of the Nuclon. // Phys. Rev. - 185. - 1969.- p. 1975 1982.

83. R.P.Feyman. Very high-energy collisions of hadrons. // Phys. Rev. Lett.- 23. 1969. - P. 1415 - 1419.

84. N.Cabibo, G.Parivisi, M.Tesla. Lett Nuovo. Cimento, 35. 1970. - p. 4.

85. Л.П. Грищук. Проблема реликтового гравитационного излучения. // Успехи физ. наук. 132. - 1980. - с. 388 - 390.

86. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Принцип конформной инвариантности. /Н.А.Черников, Н.С.Шавохина// Новейшие проблемы гравитации, Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума, 1973. - М: Изд-во ВНИИФТРИ. - С.40-42.

87. В.Ю. Шуликовский. Влияние процессов множественного рождения частиц на эволюцию неравновесной Вселенной. // В сб. Классические и квантовостатистические проблемы релятивистской теории гравитации. Казань: Изд-во КГПИ. - 1991. - 39 - 45.

88. Yu.G. Ignatyev. Kinetics of the nonequilibrium Universe. I. Local thermodynamic equilibrium condition. // Gravitation & Cosmology, 13 No 1(49), 31 (2007).

89. Игнатьев Д.Ю., Игнатьев Ю.Г. Обоснование кинетической модели неравновесной Вселенной. //Труды П-й Российской школы-семинара по гравитации и космологии «Gracos-2009», Казань, «Фолиантъ». -2009. с. 59 - 67.

90. Yu.G. Ignatyev and D.Yu. Ignatyev. Kinetics of the nonequilibrium Universe. II. Kinetics of Local thermodynamic equilibrium recovery. // Gravitation & Cosmology, 13 No 2(50), 101 (2007).

91. Yu.G. Ignatyev and D.Yu. Ignatyev. Kinetics of non-equilibrium Universe. III. Stability of non-equilibrium scenario.// Gravitation & Cosmology, 14 2008, No 4, pp. 309-313.

92. Игнатьев Д.Ю. Устойчивость неравновесного космологического сценария.// 13-я Российская гравитационная конференция Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. Тезисы докладов. М.: Изд-во РУДН. - 2008. - с. 111-112.

93. Игнатьев Д.Ю. Математическое моделирование в СКМ процесса установления термодинамического равновесия в ранней Вселенной. //Системы компьютерной математики и их приложения. Выпуск 10. Смоленск: Изд-во СмолГУ. 2009. - с. 41 - 43.

94. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения/Н.Н.Лебедев 1963. - Москва-Ленинград. - ГИФМЛ. - 360 с.

95. Janke Е., Emde F., Lôsch F. Tafeln Hôherrer Funktionen/E. Janke, F. Emde, F.Lôsch 1960. - Stuttgart. - B.G.Teubner Verlagsgesellschaft.

96. А.Д.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев Интегралы и ряды. Дополнительные главы/А. Д. Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев 1986. - М.: Наука. - 800 с.

97. Г.Г.Иванов. Известия ВУЗов, Физика, 24 No 5 3 (1981).

98. Игнатьев Д.Ю. Кинетическая модель анизотропной Вселенной. //Труды И-й Российской школы-семинара по гравитации и космологии «Gracos-2009», Казань, «Фолиантъ». 2009. - с. 68 - 75.

99. D.Yu. Ignatyev. А поп-equilibrium anisotropic cosmological model.// RUDN 10. Modern problems of gravitation, cosmology and relativistic astrophysics. International Conference. Moscow. M.: Изд-во РУДН. -2010. - с. 105.

100. Игнатьев Д.Ю. Компьютерное моделирование изотропизации неравновесной Вселенной. //Системы компьютерной математики и их приложения. Выпуск 11. Смоленск: Изд-во СмолГУ. 2010. - с. 217 - 218.

101. Д.Ю. Игнатьев. Кинетическая модель анизотропной Вселенной. //Вестник ТГГПУ, No 4. 2010, - с. 36-42.

102. Д.Ю. Игнатьев. Неравновесная анизотропная космологическая модель Бианки 1-го типа. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. т. 39. - 2009. - С. 238-240.

103. C.W. Misner, K.S. Torn, J.A. Wheeler. Gravitation, W.H.Freeman and Company, San Francisco, 1973.