Кинетические модели в физико-химической механике разрушения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ^У ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

V

Ч . На правах рукописи

\

Малкин Александр Игоревич

КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Институте прикладной механики РАН. Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-

математических наук Н.Ф.Морозов

профессор, доктор физико-математических наук А.А.Мовчан

профессор, доктор физико-математических наук Н.Е.Кулагин

Ведущая организация: Институт машиноведения РАН

Защита состоится « » 1998 г. в часов на заседании

Диссертационного совета Д 200.47.01 при Институте прикладной механики РАН.

Адрес: 117334, Москва, Ленинский проспект, 32А, комн.727. С диссертацией можно ознакомиться в Ученом совете ИПриМ РАН. Автореферат разослан « £ » ¿/^-^ 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета ктн

Е.И.Кочемасова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования процессов разрушения и деформации на современном этапе базируются на структурно-кинетической концепции, имеют междисциплинарный характер и весьма далеки от завершенности даже в наиболее фундаментальных аспектах. Причиной неослабевающего внимания к этим проблемам является не только недостаточная разработанность теории, но и их исключительная важность в прикладном отношении. Необходимость прогнозирования долговечности материалов и конструкций, обусловленная резко возросшими требованиями по обеспечению безопасности сложных технических систем и созданием новых ресурсосберегающих технологий в машиностроении, требует соответствующего развития кинетической теории. Не менее важные приложения связаны с технологическими процессами, включающими разрушение как один из элементов - с процессами обработки материалов, с разрушением и разработкой горных пород при добыче полезных ископаемых, измельчением в химической промышленности и фармакологии, и т.д.

Одной из основных задач кинетической теории является описание роста трещин. Возникающие при этом трудности обусловлены чрезвычайной сложностью кооперативных процессов, предшествующих образованию новой поверхности при разрушении. Современное состояние исследований не позволяет рассчитывать на построение в обозримом будущем последовательной кинетической теории роста трещин "из первых принципов". Поэтому наиболее конструктивным подходом представляется разработка полуэмпирических моделей, содержательных с физико-химической точки зрения.

Другим важным направлением развития структурно-кинетических представлений в физико-химической механике разрушения и деформации является исследование кинетики быстрых процессов, обусловленных ре-

лаксацией внутренних степеней свободы твердого тела. В настоящее время один из основных экспериментальных методов изучения быстрых процессов состоит в импульсном нагружении твердого тела, регистрации параметров волн деформации и в последующем анализе остаточных эффектов физико-химическими методами. С другой стороны, исследование эволюции нестационарных волн деформации, порожденных ударным или взрывным нагружением материалов и конструкций, представляет самостоятельный интерес для большого числа технических приложений. Как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения необходимый этап заключается в теоретическом исследовании эволюции ударных импульсов, являющейся источником информации о кинетике релаксационных и механохи-мических процессов и существенно от нее зависящей.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке и исследованию кинетических моделей физико-химической механики твердого тела - моделей роста хрупких и квазихрупких трещин, в том числе в условиях разрушения в активных средах, и моделей волн деформации в системах, характеризующихся сложной кинетикой внутренних релаксационных процессов.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- на основе анализа наблюдаемых закономерностей и структурно-кинетических представлений разработан статистический подход к построению двумерных полуэмпирических моделей субкритического роста хрупких и квазихрупких трещин. Получено основное кинетическое уравнение относительно зависящей от времени плотности распределения конфигураций трещины;

- сформулирован ряд моделей, отвечающих конкретным сценариям элементарного акта роста, получены интегро-дифференциальные уравнения и уравнения диффузионного приближения для статистического описания развития трещин в условиях двухосного нагружения. Получены урав-

нения "фрактографического" приближения для плотностей распределения геометрических характеристик трещины;

- в рамках моделей диффузионного приближения изучены статистические свойства контура двумерных трещин. Установлены зависимости статистических характеристик контура трещины от температуры и внешних напряжений;

- исследованы закономерности квазистационарного роста и выявлена взаимосвязь локальной скорости роста хрупких трещин и статистических характеристик удельной работы разрушения;

- исследованы статистические закономерности нестационарного роста трещин и получены условные распределения долговечности тел относительно роста изолированной трещины с заданной начальной длиной;

- проведен анализ закономерностей и существующих модельных сценариев роста трещин при разрушении твердых тел в активных средах. Получены оценки значимости различных механизмов нелокального взаимодействия жидких активных сред с разрушаемым твердым телом. Показана необходимость учета нелокальных взаимодействий при моделировании роста трещин;

- разработан класс полуэмпирических моделей и исследованы возможные режимы роста трещин с участием жидких активных сред. Предложено объяснение некоторых эффектов, наблюдаемых при жидкометалли-ческом охрупчивании и механогидролитическом разрушении;

- на основе модификации метода многомасштабной факторизации получены модельные уравнения для описания волн деформации в средах, характеризующихся сильной зависимостью скорости релаксационных процессов от напряжений. Исследована эволюция ударных импульсов в модельных упругопластичных и диссипативных (термовязкоупругих) материалах;

- предложено модельное уравнение типа Уизема-Бенджамина для описания волн деформации в консервативных системах с колебательным характером эволюции внутренних степеней свободы. Изучены свойства этого уравнения, установлено существование стационарных локализованных решений - солитонов, - с дискретным и непрерывным спектром скоростей, гладких решений и решений с особенностями в профиле. Вычислены дискретные спектры скоростей солитонов.

Научная и практическая значимость результатов работы связана с развитием структурно-кинетических представлений в физико-химической механике твердого тела. Предложенный подход к построению кинетических моделей роста трещин допускает ряд обобщений, включающих введение дополнительных статистических степеней свободы и детализацию элементарного акта роста. Этот подход может быть использован для создания весьма широкого класса моделей. Рассмотренные в диссертации модели представляются полезными для установления связи статистики структурных дефектов твердого тела и тепловых флуктуаций с кинетическими закономерностями роста трещин и статистическими свойствами ювениль-ных поверхностей. Кинетические модели роста трещин при разрушении твердых тел в жидкофазных активных средах объясняют качественный вид феноменологических кинетических диаграмм и позволяют связать его с физико-химическими характеристиками пар "материал-среда" и внешними условиями. Рассмотренные в работе модели волн деформации являются удобным средством исследования эволюции ударных импульсов в материалах и элементах конструкций, и могут быть использованы для восстановления кинетических констант релаксационных и механохимических процессов по динамическим измерениям. С практической точки зрения результаты диссертации могут быть полезны при выборе рациональных режимов разрушения, в том числе с участием активных сред, при прогнози-

ровании долговечности элементов конструкций в условиях статической усталости.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: на семинарах Института прикладной механики РАН, Института химической физики РАН, Института физической химии РАН, Института физических проблем им. Лукина; на XI Международном симпозиуме IUPAP-IUTAM "Проблемы нелинейной

акустики" (Новосибирск, 1987); на Международных симпозиумах "Advances in Structural and Heterogeneous

Continua" (Москва, 1993,1995); на VIII Международной конференции по разрушению ICF-8 (Киев, 1993); на российско-американской рабочей встрече "Computer Synthesis of Structure and Properties of Advanced Composites" (Москва, 1994); на VII школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики"

(Севастополь, 1994); на IX Конференции по прочности и пластичности (Москва, 1996); на Международном симпозиуме по статистическим методам в материаловедении "PROBАМАТ-21я CENTURY" (Пермь, 1997); на семинаре Российской механохимической ассоциации "Механохимия и механоэмиссия" (ИХФ РАН, Москва, 1997).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 249 страниц, 36 рисунков и список литературы из 256 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована

актуальность темы и приведена аннотация работы. Представлена предварительная сводка основных результатов, полученных в диссертации. Вве-

дение содержит также краткое изложение истории и современного состояния вопроса.

Первая глава посвящена разработке кинетических моделей роста трещин при хрупком и квазихрупком разрушении. В п. 1.1 проведен анализ экспериментально наблюдаемых закономерностей и известных подходов к построению моделей роста трещин. На этой основе сделан вывод о необходимости построения статистических моделей, рассматривающих субкритический рост трещин как скачкообразный случайный процесс.

В п. 1.2 предложен статистический подход к описанию термофлук-туационного роста двумерных хрупких трещин. Предполагается, что на макромасштабе трещина может быть представлена многозвенной ломаной из ориентированных прямолинейных отрезков (разрезов) /,. Конфигурация трещины задается, соответственно, упорядоченным множеством ¿п = , / = ОД....., а элементарный акт роста заключается в присоединении случайного вектора /п+1 к ее вершине в некоторый случайный момент времени (рис.1).

У ' 7 >0 ж ^-Г^Х^ *-•..........

гу ^ # ' X

Рис. 1. Геометрическая схема моделей

Для формулировки кинетической модели необходимо сконструировать плотность вероятности перехода -¿п -» как функцию предыстории процесса роста. С этой целью рассмотрен мысленный эксперимент, заключающийся в наблюдении за статистическим ансамблем макроскопи-

чески одинаковых образцов с трещиной заданной конфигурации. В этом "эксперименте" статистика элементарных актов роста обусловлена двумя факторами - случайной структурой зоны предразрушения на мезо- и микромасштабах (случайным распределением дефектов) и наличием термических флуктуаций.

Общая схема описания термофлуктуационного роста хрупких трещин основана на предположении об определяющей роли локализованных в зоне предразрушения колебательных мод. Следствием этого является существование прямой аналогии между элементарным актом роста хрупкой трещины и мономолекулярной реакцией распада многоатомных молекул в газах. С точки зрения формального описания колебательного состояния системы, набор локализованных мод соответствует многоатомной молекуле, обмен энергией этих мод с фононами отвечает столкновительной активации в газах, а единичный акт роста - определенному каналу реакции распада. Акт роста трещины в рамках этих представлений обусловлен сосредоточением на одной из нормальных локализованных мод - координате реакции, - энергии, достаточной для преодоления соответствующей седловой точки.

Для описания хрупкого разрушения принята модель жесткого активированного комплекса и больцмановское распределение заселенности колебательных состояний. Последнее обосновано при достаточно интенсивном обмене энергией локализованных мод с фононами и отвечает пределу высоких давлений газа в теории мономолекулярного распада. При полуэмпирическом описании естественно положить, что зависимость среднего времени ожидания акта роста т^ при заданных исходном и конечном микросостояниях проявляется через некоторый набор макропараметров. Если ограничиться минимальным набором статистических степеней свободы, то величина тс1, отвечающая акту роста на вектор / , должна зависеть толь-

ко от 7 , локальных напряжений и температуры. В случае изотропной среды предложено соотношение

-Г П\А I - ____\Е0 ~ vl ~ V2(l)n,nk°,k \ т

*dfl\*n)=To -J^-f 0)

где n = T/l, v,(/) и v2(/) - некоторые функции длины присоединяемой микротрещины, г0 и Е0 предполагаются постоянными. Тензор напряжений в (1) принят в хорошо известном асимптотическом виде

=ЦМ/<'>Сп) + Ц^-й11>Гп) (2)

■J2TTK У12тгк

Выделив два употребительных типа сценариев роста - по механизму

присоединения зародышевых микронесплошностей и по механизму прямого разрыва связей, - нетрудно показать, что вид итогового соотношения (1). (2) не зависит от типа сценария. Несущественное различие состоит в интерпретации параметра к, введение которого не увеличивает числа эмпирических постоянных и необходимо лишь для обсуждения физической стороны вопроса.

Следующий шаг заключается во введении функции плотности состояний Q(7) - числа микроскопически различимых состояний, отвечающих акту роста на вектор I. Функция С1(1) определяет статистический вес акта роста на определенный вектор I из множества возможных a priori событий {/}. Рассмотрение виртуального множества актов роста в выделенном элементе статистического ансамбля дает возможность установить соотношения для среднего времени жизни трещины в определенной конфигурации

«.»-.Zf^-jJ^- и

{/} TiQUJ

и для апостериорной плотности распределения случайных векторов I

п О)

2(Л„)?а0\Л„)

Приведенные соотношения полностью определяют класс моделей роста трещин в том смысле, что при заданных функциях Уу (I) и плотности состояний П(7,) они позволяют построить плотность распределения конфигураций трещины как функцию времени. Таким образом, для статистического описания роста трещин в рамках предлагаемого класса моделей необходимо, во-первых, конкретизировать вид этих функций, во-вторых, иметь зависимости КИН от конфигурации трещины на каждом шаге. С этой целью в п. 1.3 рассмотрены общий свойства функций £1(1), vI(7/^,v2(7J и сформулированы соотношения, позволяющие получить замкнутые модели роста.

Исходя из требования соответствия предсказаний моделей и наблюдаемых закономерностей установлено, что \> ¡(1) > 0 и допустимые значения V, (!) во всяком случае должны принадлежать интервалу 2у],-. Дополнительные физические соображения дают возможность предположить выполнение более сильного ограничения

где ур - коэффициент Пуассона. Установлено также, что зависимостями

ней мере для трещин, близких к прямолинейным моды I, для которых отношение КИН удовлетворяет условию \КЛ\/К1 ~ е« 1 и применимо малоугловое приближение.

-(\ + ур^(1)<Уг(1)<-Ух(1)

(5)

функций vJ■ (I) от длины скачка и функции 0.(1) от его направления следует пренебречь. В результате величины следует считать эмпирически-

ми параметрами моделей и 0.(1) = 0.(1) . Последнее справедливо по край-

В малоугловом приближении плотность распределения (4) распадается на произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от длины, второй - только от направления скачка. Плотность распределения направлений имеет вид

Ы^Л)= I 1 , - в г)1 /2 < 5в2 >1

V 2к<ёвг> L J

к,

где v. = 2v, - v2 и < Зв2 > «1. Плотность распределения длин может быть записана в виде

= jV = 2ж]о.(1)Ы1 (7)

о

С точностью до числовых значений эмпирических параметров модели малоуглового приближения отличаются друг от друга только видом функции (7). Чтобы установить вид этих функций в различных физических ситуациях, привлекаются дополнительные соображения о механизме элементарного акта роста.

Плотности распределения (7) конкретного вида предложены для ряда упрощенных моделей - модели автокаталитического роста, в которой распад какой-либо одной напряженной связи промотирует распад последующей; модели асимптотически разреженного изотропного поля "опасных" дефектов; модели твердого тела с внутренними границами.

Для вычисления КИН как функций конфигурационной предыстории роста использованы известные результаты Р.Гольдштейна и Р.Салганика (МТГ, 1970, 7, № 3, с.69-81). В предельном случае длинных трещин, когда отношение средней длины скачка к длине трещины <l>jL « 1, соотношения для КИН приобретают простой вид

К ^ °

где сг= аа Iа>у, К^ - величина КИН прямолинейной трещины моды I.

В предложенном статистическом подходе развитие трещины описывается функцией У(Л„, /) - плотностью вероятности обнаружить трещину в конфигурации Л„ в момент времени /. Основное кинетическое уравнение для этой функции получено в п.1.4

=-¿(л НА , г)+К1' *»<> . О

(9)

Вид основного кинетического уравнения является следствием марковского характера модели, обусловленным пренебрежением релаксационными процессами, т.е. влиянием кинетической предыстории роста на вероятность перехода между последовательными состояниями. Конфигурационная же предыстория, напротив, полностью включена в определение текущего состояния и поэтому также не приводит к статистическому последействию.

Получено точное решение задачи (9), не связанное с конкретным видом функций (3), (4). Практический интерес представляет, однако, не столько плотность распределения конфигураций, сколько менее информативные распределения таких величин, как координаты вершины трещины, длина контура и т.д. С этой точки зрения точное решение оказывается мало полезным, поскольку аналитическое вычисление огрубленных распределе-

ний на его основе сталкивается с непреодолимыми трудностями даже при использовании максимально упрощенных соотношений (6)-(8). Поэтому (9) используется для вывода уравнений относительно огрубленных функций распределения. В результате получены интегро-дифференциальные кинетические уравнения и уравнения диффузионного приближения относительно огрубленных распределений, необходимых для анализа статистических закономерностей роста трещин.

Структура уравнения (9) . допускает возможность "фрактогра-фического" описания геометрических свойств контура трещины безотносительно к кинетике ее роста. При таком описании статистические свойства контура определяются функцией Уп ) - плотностью вероятности обнаружить трещину в конфигурации Лп после п перемещений вершины, -удовлетворяющей очевидному рекуррентному соотношению

(10)

Из соотношения (10) следуют интегрально-разностные уравнения и, при дополнительных предположениях, уравнения диффузионного приближения для "фрактографических" плотностей распределения.

При рассмотрении сходимости предсказаний моделей и данных эксперимента прежде всего необходимо выяснить, по каким именно параметрам имеет смысл оценивать соответствие. В этой связи возникают два основных вопроса. Во-первых, в какой мере и при каких условиях идеализированные двумерные модели применимы к описанию трехмерных трещин? Во-вторых, насколько существенны и каким образом могут быть учтены анизотропия, иерархическая организация структуры и пластичность твердого тела? Эти вопросы рассматриваются в п.1.5.

Сделан вывод, что двумерные и более грубые одномерные модели, игнорирующие отличие поверхности скола от плоской, могут быть использованы для описания кинетических закономерностей роста. Однако срав-

нение статистических характеристик реальных поверхностей скола с предсказаниями двумерных моделей имеет лишь качественный смысл. Рассмотрены также коррективы, которые необходимо внести в схему п. 1.2 для построения моделей роста хрупких трещин в анизотропных и локально-анизотропных телах.

Рассмотрены возможности обобщений на случай квазихрупкого разрушения. Обсуждены сценарии роста трещин при квазихрупком разрушении сколом и на этой основе сформулированы условия, при выполнении которых элементарный акт роста квазихрупкой трещины оказывается эквивалентным хрупкому разрушению тела, подвергшегося предварительной пластической деформации. Это обеспечивает возможность применения общей схемы построения кинетических моделей к квазихрупким трещинам с выраженной зоной пластичности.

Статистические модели роста квазихрупких трещин рассматриваются в п. 1.6. Как и в хрупком случае, использованы соотношения (1), (3), (4) и основное кинетическое уравнение (9). Отличие заключается в том, что для учета эффекта экранировки внешних напряжений асимптотику (2) следует заменить на распределение напряжений в пластической зоне. Последнее даже для простейших условий текучести требует численного решения уравнений упругопластичности, неоправданно усложняющего эволюционную задачу. Поэтому в п. 1.6 принята упрощенная схема, сохраняющая, однако, основные качественные особенности, обусловленные наличием макроскопической пластической зоны.

Замкнутые модели сформулированы в предположении, что в каждом акте роста происходит полный раскол пластической зоны, а форму ее границы можно определить из условия текучести Мизеса и гипотезы Ирвина о пренебрежимо малом влиянии пластического течения на решение в упругой области. В этих условиях длина и направление скачка являются сильно

коррелированными случайными величинами. Главное же отличие от моделей роста хрупких трещин состоит в исчезновении экспоненциальной тер-мофлукгуационной зависимости среднего времени ожидания события роста и зависимости дисперсии направлений скачков от коэффициента интен-

макроскопическими пластическими деформациями.

Обсуждены условия применимости моделей и возможный характер зависимости плотности состояний от КИН. Получены соответствующие кинетические и "фрактографические" уравнения относительно огрубленных функций распределения. Рассмотрен также более грубый, но значительно более общий феноменологический подход к построению моделей роста квазихрупких трещин, основанный на уравнениях диффузионного приближения.

В главе 2 представлены результаты исследования статистических характеристик процессов роста хрупких и квазихрупких трещин.

В п.2.1 рассмотрены свойства статистики отклонений контура трещины от макроскопического направления роста. Исследование проведено при помощи наиболее простых "фрактографических" уравнений диффузионного приближения. Для хрупких трещин задача в естественных масштабах имеет вид

сивности что отражает экранировку очагов зарождения микротрещин

дУй ^ сУ^ 1 2(1-о-) д<р'Уа : 1__^

дп' Зс х дер' 2х2 5<р

2(1 -о)цг [ I? дгУд

х дср'ас 7 Зс2

>2

(П)

где п'~<1>п/ф, х = 1х/ь{°\ <р' = <р<\ >/е^у0 <12 >,

v0 = <l>/L{°) ц2 =<1г >/< I> ф «1 . Для функции h(x) = <>/гг соотношение (6) дает h(x) = x~]l2.

Уравнение (11) сформулировано для совместного распределения координат вершины при заданном числе скачков, тогда как для модельного фракгографического описания необходимо иметь распределение углов <р или безразмерных отклонений у = х(р при заданном х. В первом по малому параметру ц приближении, равномерно пригодном по крайней мере в области 0 <п < /х'2 ,\х-п\< /и2п , искомая функция - плотность вероятности перехода из точки контура с полярной координатой <р0 при х = 1 в принадлежащую ему точку <р при некотором произвольном дг>1, -есть (' опущен)

Из (12) следует что контур трещины, рассматриваемый как случайный процесс , является нестационарным и обладает свойством марковости, так что в рассматриваемом приближении распределение (12) полностью определяет статистические свойства контура.

Плотность распределения (12) предсказывает устойчивость направления роста трещины при сг < 1 в том смысле, что среднее (и наиболее вероятное) направление роста стремится к направлению оси х с увеличением длины трещины. Условие устойчивости сг<1 совпадает с предсказаниями макроскопической теории и экспериментальными наблюдениями (B.Cotterel, J.Rice. - Int.J. ofFract., 1980, v.16, p.155-169).

< Sq>2 >=

> 5-8a x5/2

(12)

При с <1/2 среднее отклонение < у>=х <<р>, пропорциональное своему начальному значению, стремится к нулю с увеличением х , т.е. влияние начального состояния ослабевает с удалением от исходной точки на контуре трещины. Если же 1/2 < а <1, среднее отклонение возрастает в направлении роста, хотя условие устойчивости направления выполняется. Влияние отклонения исходной точки контура на статистику отклонений при больших х при этом не исчезает. Таким образом, при переходе отношения напряжений через критическое значение ст. = 1/2 поведение отклонений контура становится самоподдерживающимся.

При значениях параметра ст из интервала (1/2, 5/8) возрастание < у > сопровождается убыванием величины отношения

<y>j<Sy1 jf-{5-8сг)/-4 ^ g эгом случае флуктуации должны, очевидно, гасить относительно слабый тренд в отклонении контура трещины. Если а е(5/8, 1), то отношения <у>/<5у2 >1''2 стремится к постоянному значению. Поэтому следует ожидать появления на контуре трещины протяженных участков с отклонениями одного знака. Чередование таких участков будет обусловлено относительно редкими крупномасштабными флуктуа-циями. Вычисление коэффициента корреляции поперечных отклонений показывает, что второе критическое значение ст., = 5/8 отвечает обращению в бесконечность корреляционной длины контура трещины или, иначе говоря, появлению незатухающей памяти.

Характер эволюции плотности распределения поперечных отклонений контура трещины вдоль направления роста представлен на рис.2...4.

Причина возникновения незатухающих корреляций отклонений контура трещины связана с тем, что при <т > ст., ранние флуктуации направления роста не MOiyr быть полностью погашены более поздними. В результате память о прошлых отклонениях направления роста сохраняется.

контура хрупкой трещины вдоль макроскопического направления рос та при а ж О ж 1, ч нел а у кривых отвечают значениям х)

Рис.3. Эволюция плотности распределения поперечных отклонений контура хрупкой трещины вдоль макроскопического направления роста при 0,5 (р® ~ 1, числа у кривых отвечают значениям х)

Рис.4. Эволмина плотности распределения поперечных отклонений контура хрупкой трещины вдоль макроскопического направления роста при <т = 0,73 ( <р о " 1, числа у кривых отвечают значениям х)

Асимптотические выражения для дисперсии отклонений контура трещины в размерных переменных имеют вид

\6кТ <l->JîcL7 5

<SL~>~ 7-г-----, сг<-

> (5-8a)v_<r^ <1> 8

ШТ V2Mff) 5

<<й">~(8а-5)у.^ </> UMJ

(13)

<т> -

Как видно из (13), дисперсия пропорциональна температуре и обратно пропорциональна раскрывающим трещину напряжениям. Что касается зависимости от длины исходной трещины, то при сг < 5/8 она, как и следовало ожидать, отсутствует.

Статистика отклонений контура квазихрупких трещин в модели изотропного "бесструктурного" упругопластичного тела оказывается сущес-венно иной. В этом случае вместо (13) получена задача

ch' â ' âp' 2 д(?

-2а{\ - ст)-L—L + 2--JL (14)

v ' âcâp' 2 ex

Vr{x',p',0) = ô{x'-ï )ô(ç>'-ç'0)

тасп' = ап, <р'=<р1е4а, x =Lx/bf\ a \-2vo^jbo]

Аналогичная (12) плотность распределения угловой координаты в первом равномерно пригодном приближении по малому параметру а так же является нормальной с той разницей, что выражение для дисперсии принимает вид

2 !_х-4(1-<Т)

< ÔÇ >=

4(1-а)

Условие устойчивости направления роста трещины и критическое значение а. =1/2 оказываются у распределения (2.8) такими же, как и

раньше. Однако другие свойства распределения (2.8) существенно отличают его от (2.3). Во-первых, при выполнении условия устойчивости ст< 1 дисперсия углов с увеличением х стремится к постоянной величине, причем предельное значение дисперсии тем больше, чем ближе к единице значение параметра а. Во-вторых, критическое значение параметра а, отвечающее обращению в бесконечность корреляционной длины, равно единице и совпадает с значением, отвечающим потере устойчивости направления роста.

Дисперсия поперечных отклонений контура трещины при Ьх » Д0' в размерных переменных выражается соотношением

Сравнение соотношений (13) и (15) показывает, что характер зависимости флуктуаций формы контура трещины от внешних напряжений ауу качественно различается - при хрупком разрушении дисперсия отклонений обратно пропорциональна а}у, тогда как в модели упругопластичного разрушения она прямо пропорциональна а2 . Происхождение указанных различий обусловлено отсутствием зависимости дисперсии направлений элементарного шага роста от сгуу и пропорциональностью длины шага роста квадрату КИН в модели "бесструктурного" упругопластичного тела.

В двумерных моделях удельная длина контура трещины, пропорциональная площади поверхности скола, является одной из основных характеристик разрушения. Важность этой величины для хрупких трещин обусловлена ее участием в энергетическом балансе. Наибольший интерес представляют локальные в макроскопическом смысле свойства длины контура, т.е. статистические свойства на макроскопически малых отрезках

(ф +АЬХ). В п.2.2 для исследования этих свойств использованы "фрактографические" уравнения диффузионного приближения относительно совместного распределения приращения полной длины контура АЬ и х-координаты вершины трещины А/.х. Получена плотность распределения длин участка контура, заключенного в заданной полосе (ф, ф + кЬх)г а также плотность распределения числа изломов на участке контура, позволяющая связать статистические характеристики акустической эмиссии с приращением длины трещины.

Среднее значение удельной длины контура < А > не зависит от длины интервала вдоль макроскопического направления роста и имеет вид

. , 2кТ\[2тс

+ <16)

Величина (16) пропорциональна удельной работе хрупкого разрушения. Можно поэтому заключить, что геометрическая поправка первого порядка к удельной работе хрупкого разрушения прямо пропорциональна температуре и обратно пропорциональна КИН. Флуктуации удельной работы разрушения на отрезке АЬХ определяются при этом величиной среднеквадратичного отклонения

/ -.2 2кТ4Гжк I 2</ >

= у<5А > = -ШГ1лГА « лг

у.ку^ф) \<1>ЛЬЖ

Отношение геометрической поправки < А > - 1 и среднеквадратичного отклонения аА не зависит ни от температуры, ни от КИН. В рассматриваемой модели это отношение, помимо длины отрезка А, зависит только от параметра <Р >/</>, характеризующего структуру твердого тела. Существенно, что при АЬХ » < / >, когда только и применимо диффузионное приближение, величина сА много меньше геометрической поправки.

Поэтому геометрическая поправка к работе разрушения должна быть легко измеримой величиной.

Аналогичные (16), (17) соотношения модели квазихрупкого разрушения "бесструктурного" твердого тела имеют вид

Из сравнения формул (18) с (16), (17) видно, что характер зависимости средней величины и среднеквадратичного отклонения длины контура трещины от локальных напряжений качественно различается при хрупком и квазихрупком разрушении. Извилистость контура квазихрупкой трещины вообще не зависит ог локальных напряжений и определяется пределом текучести твердого тела. Флуктуации же прямо пропорционально КИН, тогда как для хрупких трещин имела место обратно пропорциональная зависимость.

В п.2.3 рассмотрены статистические характеристики квазистационарного роста трещин в условиях, когда средняя по ансамблю скорость продвижения вершины трещины приблизительно постоянна во времени. В рамках приближения прямолинейного роста получено точное решение ин-тегро-дифференциального кинетического уравнения для плотности распределения координаты вершины трещины в модели автокаталитического роста и точные выражения для зависящих от времени моментов в моделях материала с равномерно распределенными сосредоточенными дефектами и материала с внутренними границами, Сформулированы условия возможности перехода от статистического описания роста к термодинамическому, основанному на использовании кинетических диаграмм. Показано, что

<А> = 1+

(18)

предложенные модели приводят к согласующемуся с экспериментом виду кинетических диаграмм роста хрупких и квазихрупких трещин.

Рассмотрена взаимосвязь удельной работы хрупкого разрушения с локальной величиной скорости роста ("измеряемым" кинематическим средним на макроскопически малом отрезке). Из полученных соотношений следует, что удельная работа хрупкого разрушения тем больше, чем меньше локальная скорость роста. Однако флуктуации удельной работы разрушения, обусловленные флуктуациями скорости роста, малы в сравнении с ее среднеквадратичным отклонением. Поэтому в моделях хрупкого разрушения влияние скорости роста на работу разрушения является слабым.

Кинетика нестационарного роста трещин и статистика долговечности твердых тел по отношению к росту изолированной трещины с заданной начальной длиной рассмотрены в п.2.4. Исследование проведено для краевой трещины в приближении прямолинейного роста. Соответствующая эволюционная задача для плотности распределения координаты вершины хрупкой трещины имеет вид

= + ]сЫ{х5~х)и'\х)1\{х,г)

СП о

"(**) = 0 + хв/хоТехр[-/^7^Г+*7 ~ Ф^)] (19)

где г = 23(40))' и ха = ДЬ,/< 1>,/3= 1Д2у+стюл/<7> / ктЛк.

Особенностью задачи (19) является несохранение нормировочного интеграла, означающие, что в любой конечный момент времени существует отличная от нуля вероятность обнаружить тело полностью разрушенным. Это обусловлено пренебрежением в исходной модели временем перемещения вершины трещины между двумя последовательными состояниями в сравнении с временем ожидания скачка, в результате чего поток вероятности на бесконечность оказывается ненулевым, а интегральное

распределение времени жизни полубесконечного образца существует и определяется простым соотношением

ОО

P{r\^)^\~\dxVx(x,r) (20)

о

Точное решение задачи (19) с экспоненциальным ядром, отвечающим упрощенной модели автокаталитического роста, представлено в виде контурного интеграла. Вычисление плотности распределения долговечности в пределе »1, х0 = const приводит к Г-распределению

ГЦ*.)- ^ £ХР(1 ■ (2-36)

1 + - 4jt°

2/3^-1)

Следует отметить, что Г-распределение с высокой степенью достоверности аппроксимирует экспериментальные данные, полученные на волокнах из силикатных и кварцевых стекол (В.А.Петров, А.Я.Башкарев, В.И.Ветгегрень. - Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов. - СПб.: Политехника, 1993. - 475 с). Численные исследования показали, что при р > 7 распределение долговечностей и для других моделей может быть с хорошей точность апроксимировано Г-распределением. Для иллюстрации на рис.5 представлены плотности распределения долговечности при /? = 10.

Плотность распределения длин следует вычислять при условии, что образец не разрушен полностью, поэтому условная плотность распределения есть

Г7ГП СИ)

1 - ^(г|оо)

Рис.5. Плотность распределения условных долговечностей тела в модели асимптотически разреженного поля дефектов при (} ~ 10 (х0 = 1, б, 10)

На рис.6, 7 представлены зависимости от времени средней длины трещины, вычисленной по соотношению (21) для моделей с экспоненциальным и рэлеевским ядрами. На достаточно больших временах средние длины выходят на стационарное значение. То же имеет место и для дисперсий и, на несколько больших временах, для коэффициентов асимметрии. Такое поведение моментов означает, что эволюция в статистическом ансамбле нагруженных образцов сводится, начиная с некоторого времени, к увеличению числа разрушенных элементов. Состояние оставшейся части, число элементов в которой убывает со временем, оказывается стационарным.

В модели с экспоненциальным ядром предельное стационарное распределение получено в явном виде

и{х')

гГ V /

ч и{х)

ит УАх, г) =-гт ста

л ; 1 - и(х) И

1-ф')

Рис.б. Условное среднее приращение длины трещины в зависимости от времени в модели автокаталитического разрыва связей при дг0 = 1 (числа у кривых отвечают значению параметра /?)

Рис.7. Условное среднее приращение длины трещины в зависимости от времени в модели асимптотически разреженного поля дефектов при х0 = ) (числа у кривых отвечают

значению параметра ¡3)

На основе полученных результатов сделан вывод, что специфика статистики длин обусловлена чрезвычайно быстрым снижением временного масштаба процесса роста с увеличением длины трещины. При этом оказывается выделенной область длин длительного существования системы. Последняя невелика в сравнении с длиной исходной трещины, что отвечает экспериментальной ситуации при испытаниях хрупких образцов на длительную прочность.

Нестационарный рост квазихрупких трещин исследован в диффузионном приближении. В предположении, что полное число состояний N является степенной функцией КИН с показателем 2л, эволюционная задача для плотности распределения длин трещины может быть записана в безразмерном виде

дх ас к 2 дх2 (23)

Ук(х,г = 0) = <5(х-1)

где х = Ьх/Ь(х0), г-г,^, а~(\-2ур)2ог№1Ао2т«\.

Точное решение задачи (23) имеет вид

где у = х'"'2, т' = ап2т/8, ¡5-а~' -п-1,5, 1т(-) - модифицированная функция Бесселя с индексом т = (2-а)[ап. Как и в рассмотренных выше моделях роста хрупких трещин, нормировочный интеграл распределения (24) не сохраняется. Из (24) следует точное выражение для безразмерной плотности распределения времени жизни тела по отношению к росту квазихрупкой трещины с заданной начальной длиной

1 + / 4г'

(24)

Характер зависимости средних условных долговечностей от напряжения качественно различен в моделях хрупкого и квазихрупкого разрушения, что является тривиальным следствием различий в распределениях макронапряжений в окрестности вершины трещины. Более важно, что статистические свойства условных долговечностей, отнесенных к соответствующим средним, также оказываются качественно различными. В частности, коэффициент вариации распределения (25) есть

тогда как из (21) следует, что коэффициент вариации распределения условных долговечностей в хрупком случае близок к единице для всех представляющих интерес значений параметров /? и ха .

Особенностью условного распределения длин квазихрупкой трещины является существование лишь конечного числа целочисленных моментов. Скорость роста недостаточно быстро увеличивается с возрастанием длины трещины, что приводит к накоплению относительно большой доли элементов статистического ансамбля в состояниях со сколь угодно большими, но конечными длинами трещины. Анализ имеющихся экспериментальных данных позволяет заключить, что полное число микросостояний N увеличивается не быстрее четвертой степени КИН. Соответственно сходящимся интегралом в лучшем случае представляется средняя длина трещины; несуществующими оказываются все моменты, начиная со второго.

В главе 3 рассмотрены кинетические модели роста трещин при взаимодействии разрушаемого твердого тела с внешней средой.

В п.3.1 обсуждаются вопросы использования кинетических диаграмм для описания роста трещнн при разрушении твердых тел в активных средах. Обоснована необходимость построения полуэмпирических моделей, в которых феноменологическое описание процесса образования новой по-

лк 8х2 > < г>

ЛП~2ур/ <Т1„

8

верхности в зоне предразрушения сопряжено с последовательным учетом эффектов нелокального контактного взаимодействия и транспорта компонентов активной среды.

Основные закономерности и современные представления о механизмах влияния внешней среды на рост трещин рассмотрены в п.3.2. Обсуждены особенности роста в условиях механогидролитических механизмов разрушения, жидкометаллического и водородного охрупчивания. В частности, обсуждены экспериментальные свидетельства важной роли нелокальных механизмов взаимодействия "материал - жидкофазная активная среда". Отмечено, что феноменологические кинетические диаграммы имеют качественно подобный вид для подавляющего большинства процессов роста, контролируемого взаимодействием твердого тела с жидкой внешней средой. Приведен краткий обзор существующих представлений о механизмах образования новой поверхности при разрушении в активных средах. Проанализированы три наиболее обоснованных (и часто используемых для объяснения наблюдаемых закономерностей) типа микромеханизмов роста -механизм растворения, активированного механическими напряжениями; механизмы снижения когезионной прочности; деформационные механизмы, в которых развитие трещины имеет причиной пластическую деформацию в окрестности вершины.

В п.3.3 сформулированы кинетические модели роста трещин при взаимодействии разрушаемого твердого тела с жидкими активными средами. Рассматривается поверхностная трещина длиной Ьс(г) в упругой полуплоскости х > 0, граничащей с несжимаемой ньютоновской жидкостью. Предполагается, что гидростатическое давление в системе равно р0 , а полуплоскость нагружена при у —>+» растягивающими напряжениями о^. Для описания движения жидкости в трещине использовано приближение ползущего течения, пригодное везде, кроме малых окрестностей вершины

и входного участка трещины. В пренебрежении влиянием взаимной растворимости жидкости и твердого тела на распределение скоростей течения, средняя по сечению скорость жидкости есть

(2б)

3// 3:

где ц - динамическая вязкость жидкости. Смещение верхнего берега трещины Ь(х,{) удовлетворяет уравнению неразрывности

(27)

дг дх

Чтобы связать распределение давления в жидкости со смещением берегов использована широко распространенная схема Баренблатта - Да-гдейла - Леонова - Панасюка, в рамках которой между этими величинами существует интегро-дифференциальное соотношение. Модель замыкается эмпирическим соотношением для скорости роста трещины

4=У0/(А';,Г) (28)

и условием отсутствия сингулярности на границе зоны действия напряжений сцепления . Отличие соотношения (28) от феноменологических кинетических диаграмм роста заключается в том, что в первом фигурирует действительное значение КИН, являющееся функционалом от распределения давлений в заполняющей трещину жидкости, тогда как во вторых -"геометрическое" значение КИН, вычисляемое в отсутствие жидкости или, что одно и то же, для жидкости с нулевой вязкостью.

На входе в трещину задается условие р-р0, означающее пренебрежение падением давления на входном участке, где профиль скорости отличается от параболического. В вершине, где течение также отличается от пузейлева, принимается, что средняя скорость течения равна скорости роста трещины. Последнее следует из закона сохранения массы с точностью до членов порядка отношения раскрытия в вершине к длине трещины.

Сформулированная модель не содержит ограничений на размер зоны действия напряжений сцепления (пластической зоны), Однако основной интерес представляет рассмотрение квазихрупкого разрушения, когда этот размер мал в сравнении с длиной трещины. В этом случае предложен упрощенный подход, основанный на аппроксимации смещения берегов трещины хорошо известной параболической асимптотикой. Использование ее вместо интегро-дифференциального соотношения модели Баренблатга -Дагдейла - Леонова - Панаскжа приводит к моделям с сосредоточенными параметрами

(1-У,Г *,»(*,0

К>*ТГ2-ГГт'Т)+ 2 -- (29)

где с\ и Сг - постоянные (с\« 1,51, сг«= 1,07).

В предложенных моделях рассматривается единственный механизм нелокального влияния жидкой активной среды на кинетику роста трещины - изменение напряженного состояния в окрестности вершины за счет силового воздействия на стенки трещины, обусловленного давлением движущейся жидкости. Оценка вклада других механизмов показала, что их роль относительно невелика.

В п.3.4 проведено исследование кинетических режимов роста трещин, предсказываемых полуэмпирическими моделями разрушения в жидких активных средах. Взаимодействие жидкости со стенками трещины приводит к снижению напряжений в вершине. В первом приближении снижение КИН пропорционально вязкости жидкости и квадрату модуля сдвига твердого тела. Таким образом, нелокальное взаимодействие жидкости с разрушаемым твердым телом имеет следствием кинетическое упрочнение, обусловленне понижением давления в жидкости - реакцией на увеличение раскрытия и длины трещины под действием внешних напряжений.

Однако при достаточно большом понижении давления следует ожидать нарушения сплошности жидкости, локализованного в некоторой окрестности вершины, где давление является минимальным. Избыточное давление жидкости в вершине Дрс 2 рс - р0в этом же приближении есть

где <х5 - эффективные напряжения сцепления или, с точностью до близкого к единице множителя, предел текучести твердого тела.

Условием потери сплошности метастабильной жидкости является появление критического зародыша паровой фазы. Анализ сценариев элементарного акта роста показал, что образование несплошности можно учесть при помощи корректировки граничного условия. Условие прилипания (равенство средней скорости течения жидкости и скорости роста трещины) следует заменить на условие, определяющее давление жидкости на межфазной поверхности "жидкость - пар". Скорость же перемещения межфазной границы должна теперь определяться из решения задачи.

Критическое условие возникновения неустойчивого зародыша можно сформулировать как условие равенства скоростей межфазной границы "жидкость - пар" и вершины трещины. При этом скорость роста трещины должна существенно снижаться при возникновении увеличивающегося критического зародыша, поскольку утрата непосредственного контакта жидкости с твердым телом влечет за собой резкое снижение потока активных компонентов среды в зону предразрушения. При достижении критической скорости Ь. зародышевая несплошность должна была бы увеличиваться в размерах, если бы не происходило снижение скорости роста, обусловленное утратой контакта с жидкой фазой. В действительности зародышевая несплошность будет залечиваться, т.к. непрерывно меняющаяся

(30)

скорость межфазной границы "жидкость - пар" превысит скорость роста трещины вследствие резкого снижения последней. Поэтому контакт между жидкостью и твердым телом в вершине трещины будет восстанавливаться. В результате скорость роста после достижения критического значения должна оставаться равной ¿.. Такое положение будет иметь место до тех пор, пока критическая скорость роста ¿. больше, чем скорость роста трещины при отсутствии контакта с жидкой фазой. Как только это условие окажется нарушенным, рассмотренный механизм стабилизации скорости роста утратит силу. В дальнейшем рост трещины будет происходить вдоль кинетической диаграммы, отвечающей разрушения в инакгавной среде.

Количественная оценка критической скорости ¿. приводит к соотношению

-(о)2

1 _ 0,59 уи,а,

я2 1ЮЫ(о,1сгв)

2 7

(31)

Численные оценки дают возможность заключить, что критическая скорость мало меняется с увеличением длины и может быть принята постоянной. Зависимость критической скорости от внешнего напряжения оказывается при этом логарифмически слабой.

Таким образом, рассматриваемая модель приводит к качественно правильному виду кинетических диаграмм и предсказывает наличие стадии роста трещины с почти постоянной скоростью. На этой стадии скорость роста прямо пропорциональна поверхностному натяжению и обратно пропорциональна вязкости жидкости. Важно, что температурная зависимость скорости роста (31) фактически определяется аррениусовской зависимостью вязкости и, следовательно, характеризуется сравнительно малыми значениями энергии активации. Последнее согласуется с имеющимися экспериментальными данными.

В общем случае существенного влияния давления жидкости на напряженное состояние твердого тела для исследования кинетики роста использованы уравнения (28). Рассмотрены модели с экспоненциальными и пороговыми степенными функциями КИН (27). При нагружении с постоянной скоростью деформаций е (от некоторого начального напряжения

, обеспечивающего ненулевое раскрытие исходной трещины) получены приближенные выражения для напряжения страгивания ст?

0,8 9К. . .

лИо)

.--(32)

1,32(7 П/Г . . - /-£—- - е > е.

где Кг - пороговое значение КИН, а критическое значение скорости деформации £, определяется соотношением

0)

Вычислен также период индукции страгивания при "мгновенном" нагружении, оказавшийся не зависящим от длины трещины и порогового значения КИН.

Отсутствие зависимости периода индукции и, при не слишком малых скоростях деформации, напряжения страгивания от длины трещины находится в согласии с экспериментально наблюдаемыми кинетическими закономерностями жидкометаллического охрупчивания. Очевидно, это обусловлено отрицательными давлениями жидкости внутри трещины, возникающими при увеличении ее раскрытия и понижающими локальные напряжения в вершине. Релаксация давления вызвана вязким течением жидкости, скорость которого сильно зависит от величины раскрытия трещины. Последнее является причиной специфичного скачкообразного возрастания

локальных напряжений в вершине, что, в свою очередь, приводит к отсутствию зависимости периода индукции и напряжения страгивания трещины от величины порогового значения КИН.

Нехимическое контактное взаимодействие жидкой внешней среды с разрушаемым твердым телом оказывается весьма существенным и на стадии роста трещины. Здесь основной эффект заключается в сосуществовании качественно различных режимов роста. На рис.8 представлен фазовый портрет обезразмеренной системы (28) с экспоненциальной функцией (27) при реалистичных значениях параметров (выделены области, отвечающие различному поведению КИН). Видно, что в зависимости от начальных условий величина КИН либо стремится к постоянной, отвечающей режиму роста с постоянной скоростью, либо убывает до нуля. К

Рис. 8. Фазовый портрет системы (29) с экспоненциальной функцией /{К1, Т) при рЯт >аег/4

Полученный результат означает, что поведение трещины на больших временах будет качественно различным в зависимости от ее начальной длины и предыстории нагружения до стационарного напряжения ег,_. В частности, при быстром нагружении от состояния с давлением в трещине,

равном внешнему, трещины с достаточно большой начальной длиной будут выходить на асимптотику с постоянным КИН, тогда как для коротких трещин КИН будет стремиться к нулю с увеличением длины. Для скорости роста трещины на стационарной стадии получена оценка

пригодная при Е0/кГ»1 . При типичных для механогидролитического разрушения силикатных стекол условиях скорость роста составляет от долей до нескольких сантиметров в секунду и немного выше критической скорости (31). Чтобы установить, какой именно из рассмотренных причин обусловлено наличие плато на кинетических диаграммах роста трещин при механогидролитическом разрушении стекол, можно, в принципе, воспользоваться существенно различной зависимостью (31) и (33) от величины внешнего напряжения. Температурная зависимость скорости роста (33), как и (31), фактически определяется энергией активации вязкого течения жидкости, малой по сравнению с "химическими" значениями энергии активации гидролитического разрушения.

Фазовый портрет модели со степенной пороговой зависимостью скорости роста от мгновенного значения КИН при показателе степени п > 2 представлен на рис.9.

В этом случае трещина либо также выходит на стационарный режим распространения с постоянным КИН, либо останавливается; соотношение для скорости на стационарной стадии роста трещины имеет вид

(33)

п

Рис.9. Фазовый портрет системы (29) при пороговой степенной зависимости

1{К„Т),П> 2

При п < 2 качественное исследование предсказывает реализацию асимптотических режимов с пренебрежимо слабым влиянием жидкости на локальные напряжения, сосуществующих с низкоскоростным стационарным развитием либо с остановкой трещин.

Сделан вывод, что полученные результаты находятся в согласии с экспериментально наблюдаемыми закономерностями роста трещин при разрушении в жидких активных средах.

Учет нелокального взаимодействия жидкой фазы с разрушаемым твердым телом позволяет объяснить особенности страгявания трещин в условиях жидкометаллического охрупчивания и вид кинетических диаграмм роста в общем случае разрушения в среде. В рамках предложенных моделей находят объяснение наблюдаемые в экспериментах малые значения энергии активации скорости трещин на стационарной стадии роста. Важно, что особенности кинетики, обусловленные нелокальным взаимодействием не связаны непосредственно с микромеханизмами разрушения. Вероятно, именно по этой причине кинетические диаграммы роста трещин

имеют качественно подобный вид для самых разнообразных пар "материал-среда".

В главе 4 рассматриваются кинетические модели нелинейной теории волн деформации.

В п.4.1 обсуждается проблема применения асимптотических методов нелинейной теории волн к построению нелокальных моделей волн деформации в материалах, характеризующихся сложной кинетикой релаксации "внутренних" степеней свободы. В случае, когда уравнения эволюции "внутренних" переменных допускают линеаризацию около исходного (невозмущенного) состояния, рассмотрена общая процедура многомасштабной факторизации уравнений релаксирующей сплошной среды. Сделан вывод, что при описании ударного или взрывного нагружения материалов и элементов конструкций применимость моделей длинноволнового приближения (локальных моделей, связанных с эволюционными уравнениями в частных производных) весьма ограничена. Обоснована необходимость исследования свойств более адекватных нелокальных моделей, связанных с интегро-дифференциальными уравнениями.

В п.4.2 рассмотрены модели волн деформации в упругопластичных средах. Показано, что необходимость учета прочностных эффектов при взрывной деформации металлов или при ударе с умеренными скоростями усложняет процедуру получения модельных факторизованных уравнений. Это обусловлено резкой зависимостью кинетических характеристик среды (например, времени релаксации касательных напряжений) от напряжений в области упругопластического перехода. Последнее отвечает наличию "внутреннего" малого параметра, препятствующего разложению в ряд членов, ответственных за релаксацию.

Получены модельные уравнения для описания волн деформации при импульсном нагружении изотропного максвелловского материала с зави-

сящим от напряжений временем релаксации и идеального упругопластич-ного материала. Для оценки эффективности использованного асимптотического подхода проведено сравнение результатов численного решения точных исходных уравнений движения среды с решениями соответствующего модельного уравнения. Рассмотрена задача об эволюции волны деформации в железе (без учёта фазового перехода) при контактном взрыве слоя ВВ. Результаты численного решения модельного уравнения представлены на рис. 10 и 11. На рис.10 показана зависимость амплитуды ударной волны от расстояния (1 - упругопластическая среда, 2 - гидродинамическое приближение); видно удовлетворительное согласие с результатами численного решения точной системы уравнений (точки), полученными в (А.А.Дерибас, В.Ф.Нестеренко и др. - ФГВ, 1979, № 2).

Рис. 10. Зависимость амплитуды ударного импульса от расстояния (пояснения в тексте)

Гидродинамическое приближение, как и следовало ожидать, дает завышенное значение амплитуды давления. На рис. 11 видна динамика образования и эволюция упругого предвестника и упругой разгрузки с увеличением лагранжева расстояния от границы (цифры 1-^8 отвечают значениям

безразмерной лагранжевой координаты соответственно 0; 0,206; 0,488; 0,862; 1,33; 1,9; 2,55; 3,3).

Таким образом, асимптотическая модель адекватно описывает основные особенности волн деформации, присущие исходной системе уравнений упругопластичности. Более того, имеет место количественное совпадение по такому чувствительному параметру, как амплитуда волны. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности рассмотренного класса моделей волн деформации в упрутопластичных средах.

Импульсное нагружение широко используется как инструмент для изучения механохимических и релаксационных процессов в твердых телах. При этом для получения количественной информации о кинетике быстрых механохимических реакций необходимо использовать программированное импульсное нагружение твердого тела; иначе говоря, необходимо управлять формой волны деформации. На практике изменение формы волны деформации удобно осуществлять при помощи последовательности субмик-росекундных импульсов давления. Возникает, однако, вопрос, как следует

варьировать параметры одиночных импульсов и время запаздывания (скважность), чтобы получить желаемые параметры нагружения твердого тела на удалении от границы? Чтобы выяснить это, в п.4.3 рассмотрено взаимодействие нелинейных ударных импульсов в диссипативных конденсированных средах.

Для исследования эволюции цуга ударных импульсов использована наиболее простая модель волн деформации - уравнение Бюргерса, применимое в двух предельных случаях очень большого и очень малого времени релаксации сдвиговых напряжений; второй отвечает гидродинамическому описанию деформации высокопластичных твердых тел. Эволюционная задача для уравнения Бюргерса решается точно, так что исследование сводится к извлечению полезной информации из точного решения. Проведен детальный количественный анализ характеристик взаимодействия ударных импульсов и параметров волн деформации, формирующихся при их слиянии. Показана возможность значительного повышения динамических параметров нагружения вещества на заданном расстоянии от границы за счет выбора времени запаздывания между импульсами. Сделан вывод, что управление запаздыванием при многократном импульсном нагружении твердого тела позволяет существенно понизить диссипацию энергии волн деформации. Хотя количественные оценки получены на простейшей модели уравнения Бюргерса, качественные выводы справедливы и для более сложных моделей волн деформации.

Релаксационные процессы при импульсном нагружении вязкоупру-гих и упругопластичных материалов приводят к диссипации энергии и, следовательно, к затуханию волн деформации. Диссипация при релаксации сдвиговых напряжений обычно подавляет дисперсию. Однако в системах, в которых дисперсия вызвана геометрическими причинами - специфичной структурой материала или протяженного элемента конструкции, - часто

имеет место противоположная ситуация. Если дисперсия относительно велика, то эволюция ударного импульса в основном определяется конкуренцией между нелинейным увеличением крутизны и дисперсионным расплы-ванием его профиля. Диссипация же сказывается на сравнительно большом временном масштабе и в первом приближении может быть проигнорирована. В этом случае для описания волн деформации применимы уравнения Уизема-Бенджамина (УБ) - нелокальные консервативные эволюционные уравнения с нелинейностью конвективного типа.

В п.4.4 рассмотрено модельное уравнение УБ для волн деформации в средах с осцилляторным поведением "внутренних" переменных. Для определенности исследование проведено на примере волн в заполненных сжимаемой жидкостью упругих трубах, хотя полученные результаты применимы для весьма широкого класса систем. Уравнение УБ получено для римановских инвариантов в предположении, что выполнено условие clpjEv «1 (с0- скорость звука в заполняющей трубу жидкости) и в задаче есть два малых параметра - отношение характерного давления в трубе к модулю сжатия жидкости £ = Ар, jр0с\ и параметр взаимодействия жидкость-оболочка р - 2pac2a/Eyh, (а ий- радиус и толщина стенки трубы). При использовании для обезразмеривания частоты собственных радиальных колебаний трубы со0 = -jEr/psa2 получено уравнение УБ вида

^ + = (35)

где r = 4£cj0t/(l + n), i-a>0(t - х/с0), a = pj(\ + n)e,n - показатель степени в уравнении состояния жидкости, а ядро в интегральном операторе определяется фурье-образом

1

1-ю2 +Ога

2

21,2

(36)

Проведено исследование стационарных локализованных решений (35), (36), зависящих только от переменной у = £ + аАт, и удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению

4у4 с!у2 2

(37)

где V = а'уУ+. Уравнение (37) с условиями обращения в нуль функции V со всеми производными при у —> ± со представляет собой задачу на собственные значения параметра А

Фазовый портрет (37) при С2 = 0 для 0 < Я < 1, когда только и существуют локализованные решения, представлен на рис.12. Рассматриваемое уравнение допускает два типа локализованных решений. Первому отвечает гладкая петля в области V > 0, второму - разрывная петля в области У< 0. Гладкое решение характеризуется положительным давлением в импульсе, решение с особенностями - отрицательным давлением и наличием двух точек разрыва производной ¿18/¿у.

с/У

Рис.12. Фазовый портрет уравнения (37) при И2 = 0 (0 < Л < 1, жирными линиями выделены солитонная и кавитонная петли).

В общем случае ненулевой цилиндрической жесткости предложен способ классификации стационарных решений, основанный на методе символьной динамики. Показано, что при "включении" конечных значений параметра Г? происходит распад сплошного спектра экспоненциально локализованных решений, обусловленный расщеплением сепаратрис рис. 12. Кроме того, появляется новое семейство локализованных решений с осциллирующими асимптотиками и непрерывным спектром скоростей.

Для приближенного вычисления дискретных спектров скоростей локализованных решений при малых значениях параметра Б2 использован метод сепаратрисных отображений. Показано, что число солитонов при любом конечном О1 является конечным - точки сгущения в спектре отсутствуют.

Процедура вычисления спектров по смыслу и по форме аналогична квазиклассическому квантованию. Классическим траекториям отвечают локализованные решения при Б2 = 0, роль постоянной Планка выполняет параметр £>.

В предельном случае £>2 = О проведено численное исследование эволюции ударных импульсов при "включении" малой вязкой и длинноволновой (излучателъной) диссипации . Сделан вывод об адиабатическом характере трансформации профиля волны деформации после распада на солитоны. В этой связи важно, что дискретность спектра солитоноподоб-ных решений существенно меняет характер эволюции возмущений. В частности адиабатический дрейф параметров солитонов под влиянием слабых внешних воздействий становится невозможным.

В заключении кратко суммированы итоги, приведены сведения об апробации работы и основных публикациях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны и исследованы некоторые кинетические модели физико-химической механики разрушения - модели роста хрупких и квазихрупких трещин и модели волн деформации в системах, характеризующихся сложной кинетикой внутренних релаксационных процессов. В рамках предложенных моделей изучены статистические характеристики термофлуктуационного роста трещин, особенности кинетики роста трещин при разрушении твердых тел в жидких активных средах и закономерности эволюции ударных импульсов при высокоскоростном нагружении некоторых сложных систем.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан структурно-кинетический подход к построению статистических моделей субкритического роста хрупких и квазихрупких трещин. На основе анализа наблюдаемых закономерностей и современных представлений о микромеханизмах роста предложена трактовка развития таких трещин как марковского случайного процесса. Получено основное кинетическое уравнение относительно зависящей от времени плотности распределения конфигураций двумерной трещины.

2. Предложен набор моделей, отвечающих конкретным сценариям элементарного акта роста трещины. Получены интегро-дифференциальные кинетические уравнения и уравнения диффузионного приближения для огрубленных функций распределения. Показано, что структура основного кинетического уравнения допускает "фрактографическое" описание статистики геометрических характеристик контура двумерной трещины безотносительно к кинетике ее роста. Получены уравнения "фракто-графического" приближения для плотностей распределения геометрических характеристик трещины.

3. В рамках моделей диффузионного приближения изучены статистические свойства контура двумерных трещин. Получены плотности распределения поперечных отклонений контура как функции координаты вдоль макроскопического направления роста. Показано, что корреляционная длина поперечных отклонений расходится, когда отношение внешних напряжений вдоль и поперек направления роста превышает определенное критическое значение - контур трещины приобретает свойство незатухающей статистической памяти. Установлены зависимости дисперсии поперечных отклонений от температуры и величины внешних напряжений. Рассмотрены статистические свойства локальной удельной работы хрупкого разрушения. Показано, что флуктуации этой величины прямо пропорциональны температуре и обратно пропорциональны значению коэффициента интенсивности напряжений.

4. Исследованы статистические свойства квазистационарного роста трещин. Выявлена взаимосвязь локальной в макроскопическом смысле скорости роста и статистических характеристик удельной работы хрупкого разрушения. Определены условия возможности перехода от статистического описания роста к термодинамическому, основанному на использовании кинетических диаграмм. Предсказываемые моделями особенности кинетики квазистационарного роста находятся в качественном согласии с экспериментальными закономерностями.

5. В рамках нелокальных одномерных моделей изучены статистические свойства ускоряющегося роста трещин и долговечности твердых тел. Получены соотношения для плотности распределения координаты вершины хрупких и квазихрупких трещин. Показано, что при хрупком разрушении условные распределения долговечностей хорошо аппроксимируются Г-распределением, что согласуется с известными экспериментальными данными.

6. Проведен анализ закономерностей и существующих модельных сценариев роста трещин при разрушении твердых тел в активных средах. Получены оценки значимости различных механизмов нелокального взаимодействия жидких активных сред с разрушаемым твердым телом. Обоснована необходимость учета нелокальных механизмов при моделировании роста трещин. На этой основе разработан класс полуэмпирических моделей роста, в которых феноменологическое описание физико-химических процессов в вершине трещины сопряжено с последовательным учетом нелокальных взаимодействий.

7. Исследованы кинетические режимы роста трещин в условиях взаимодействия твердых тел с жидкими активными средами. Вычислен период индукции страгивання трещин и кажущееся значение прочности на разрыв при нагружении твердого тела с постоянной скоростью. Предложено объяснение наблюдаемого экспериментально нелокального характера зависимости условий страгивания трещины от напряжений при жидкоме-таллическом охрупчивании. Показано, что предсказываемый моделями вид кинетических диаграмм роста согласуется с результатами экспериментов по жидкометаллическому охрупчиванию и механогидролитическому разрушению твердых тел. Предложено объяснение низких значений энергии активации роста трещин, наблюдающихся на квазистационарной стадии роста. Установлено сосуществование качественно различных режимов роста, обусловленное нелокальным взаимодействием материала с жидкой активной средой.

8. На основе модификации метода многомасштабной факторизации получены модельные уравнения для описания волн деформации в средах, характеризующихся сильной зависимостью скорости релаксационных процессов от напряжений. На примере волн деформации при взрывном нагружении железа показана эффективность модельных уравнений. Исследована

эволюция ударных импульсов в модельных упругопластичных и диссипа-тивных материалах. Показана возможность эффективного управления параметрами нагружения материала за счет использования последовательности мощных ударных импульсов, в частности, возможность значительного снижения диссипативных потерь и увеличения плотности потока энергии через заданную поверхность внутри нагружаемого образца.

9. Предложено модельное уравнение типа Уизема-Бенджамина для описания волн деформации в консервативных системах с колебательным характером эволюции внутренних степеней свободы. Изучены свойства этого уравнения, установлено существование стационарных локализованных решений с дискретным и непрерывным спектром скоростей, гладких решений и решений с особенностями в профиле. Получены асимптотические выражения для спектров скоростей локализованных решений.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Э.И.Андрианкин, А.И.Малкин. - К теории распространения нелинейных волн. - В сб.: Горение и взрыв в Космосе и на Земле. - М.: Изд-во ВАГО при АН СССР, 1980, с. 148-151

2. Э.И.Андрианкин, А.И.Малкин, Н.Н.Мягков. - Распространение цуга ударных импульсов в плотных средах. - ПМТФ, 1982, № 3, с.156-163

3. А.И.Малкин, Н.Н.Мягков. - О возможности образования акустических структур в неравновесной химически-реагирующей среде. - Письма в ЖТФ, 1984, т. 10, вып. 10, с.604-607

4. А.И.Малкин, Н.Н.Мягков. - Особенности применения метода многомасштабных разложений к исследованию нелинейных волн деформации в вязкоупругой максвелловской среде. - В кн.: Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. - Фрунзе, 1985, с.292-293

5. А.И.Малкин, Н.Н.Мягков. - О нелинейных волнах в максвеллов-ской среде. - ПМТФ, 1986, № 5, с.158-163

6. А.И.Малкин, Н.Н.Мягков. - О нелинейных акустических волнах в неравновесной среде. - В кн.: Проблемы нелинейной акустики. Сб.трудов XI Международного симпозиума IUPAP-IUTAM, Т.П. - Новосибирск, 1987, с.72-74

7. A.I.Malkin. - Thermofluctuation Models of Brittle and Quasi-Brittle Crack Growth. - In: Fracture Mechanics: Successes and Problems. Coll. of Abstr. ICF-8. - Lviv, 1993, p.49

8. A.I.Malkin. - On Statistical Theory of Brittle Crack Growth. - In: Computer Synthesis of Structure and Properties of Advanced Composites. Proceedings of US - Russian Workshop. Ed.Yu. G. Yanovsky. - Moscow, Russia, 1994. -p.27-35

9. A.I.Malkin. - Asymptotic Methods for Investigation of Impact - and Explosion - Induced Wave Processes. - ibid, p.103-113

10. А.И.Малкин. - Акустические солитоны в заполненных жидкостью упругих трубах. - ДАН, 1995, т.342, № 5, с.621-625

11. А.И.Малкин. - К статистической теории роста хрупких трещин. -ДАН, 1995, т.343, № 1, с.38-42

12. А.И.Малкин. - Акустические солитоны в заполненных жидкостью упругих трубах. Изв. Академии наук, МЖГ, 1995, № 3, с. 190

13. A.LMalkin. - Ол Statistical Theory of Brittle Crack Growth. - In: VII Int. Conf. on Mechanical Behaviour of Materials. Book of Abstr. - Ed. A.Bakker. -Hague, Netherlands, 1995,p.857-858

14. А.И.Малкин. - Статистические модели роста хрупких трещин. - В сб.: Прочность и пластичность. Труды IX Конференции по прочности и пластичности, т.1. -М., 1996, с.126-131

15. E.M.Podgaetsky, A.I.Malkin. - The kinetics of edge crack growth with fluid. - ibid, t.2. -M., 1996, c. 142-147

16. А.И.Малкин, А.А.Дячкин, Н.В.Никитин. - Кинетические модели роста трещин и статистика долговечности твердых тел. - ДАН, 1997, т.354, № 3, с.327-330

17. А.И.Малкин, Э.М.Подгаецкий. - О кинетике роста затопленных поверхностных трещин. - ДАН, 1998, т.358,№ 1, с.35-39