Энергетическая теория хрупкого разрушения твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

1Шп

Дунаев Владислав Игоревич

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

0 3 Оп3 2011

Краснодар 2010

4853765

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный консультант академик РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Бабешко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Калинчук

доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Смирнова

доктор физико-математических наук,

профессор H.H. Фролов

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита диссертации состоится «"/^■> февраля 2011 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан PS-dO//.!

Ученый секретарь диссертационного совета,, кандидат физико-математических наук -М.С. Капустин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Построение физико-математических моделей в теории прочности и разрушения твердых тел представляет наиболее актуальную проблему механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и ее приложений в технике. Исследования хрупкого и квазихрупкого разрушения занимают центральное место в решении этой проблемы, поскольку именно этот тип разрушения реализуется в многочисленных практических случаях. Одним из наиболее актуальных направлений математической теории хрупкого разрушения является обоснование концепций для вывода предельных условий (критериев), которые определяются интегральными характеристиками процесса разрушения. Эти обоснования приводят к необходимости термодинамического анализа условий хрупкого разрушения и развития эффективных математических методов решения краевых задач МДТТ для вычисления интегральных значений термодинамических функций, входящих в условия разрушения. Несмотря на значительные успехи исследователей в этой области, начиная с основополагающих работ А. Гриффитса, в последние десятилетия существенно расширился круг проблем и некоторых не решенных задач. Исследованию этих проблем и задач посвящена эта работа. Главный вклад в создании математической теории хрупкого разрушения на основе МДТТ принадлежит А. Гриффитсу, который в двух основополагающих статьях, опубликованных в 20-е годы прошлого столетия, впервые предложил энергетическую модель хрупкого разрушения. Идеи, изложенные в работах А. Гриффитса, породили многочисленные теоретические и экспериментальные исследования в области хрупкого и квазихрупкого разрушения. Наиболее полный обзор этих исследований, выполненный в период до 70-х годов прошлого столетия, содержится в семи томном издании «Разрушение», опубликованном в США под редакцией Г. Либовица. Для исследований выполненных в настоящей работе наибольший интерес представляет том «Математические основы теории разрушения», библиография приведенная в этом томе и, особенно, три основополагающие работы Дж. Гудьера, Г.Си и Г. Либовица, Дж. Райса. В 1998 году Г.П. Черепанов (Fracture, A Topical Encyclopedia of Current Knowledge, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA) изложил свой взгляд на состояние проблемы хрупкого разрушения и опубликовал избранные статьи известных зарубежных исследователей (G.A. Maugin, T.Yokobori, Т. Nishioka, G.C. Sih, H. Liebowitz). Многие отечественные и зарубежные ученные внесли свой вклад в развитие механики хрупкого разрушения. Аналитические и численные методы рсшеппя краевых задач МДТТ, которые используются для исследования концентрации напряжений в деформированных телах с дефектами, были всесторонне изучены в работах В.И. Арнольда, В.А. Александрова, А.Е. Андрейкива, H.H. Афанасьева, В.А. Бабешко, Г.Г. Варенблатта, Н.М. Бородочева, В.Г. Баженова, A.B. Белоконя, B.C. Владимирова, И.И. Воровича, П.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой,

P.B. Гольдштейна, Н.Г. Горячевой, A.M. Гузя, JI.M. Зубова, B.B. Коленчука, Д-М. Климова, A.A. Каминского, М.Я. Леонова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.И. Моссоковского, В.П. Матвиенко, Н.И. Мусхелешвили, Ф.А. Макклинтока, В.В. Новожилова, Л.В. Никитина, И.А. Одинга, В.З. Партона, В.В. Панасюка, О.Д. Пряхиной, Б.Е. Победри, Г.Я. Попова, Л.И. Седова, М.Г. Селезнева, A.B. Смирновой, C.B. Савина, А.Ф. Улитко, И.Б. Уолша, Г.В. Ужика, К.В. Фролова, Е.И. Шимякина и др.

Следуя энергетическому условию хрупкого разрушения А. Гриффитса для оценки прочности и разрушения хрупких материалов, на основе полученных решений краевых задач МДТТ для твердых тел с дефектами (трещинами) предложены эффективные методы вычисления энергии, высвобождающейся при образовании дефекта, особенно, с использованием так называемых коэффициентов интенсивности для модели дефекта в виде математического разреза. Однако, обще известно, что условие А. Гриффитса не применимо для оценки прочности и разрушения хрупких материалов при сжатии, т.е. как раз в той области напряженно-деформированного состояния материала, где целесообразно и использовать его высокие прочностные свойства. Отношение между прочностями при простом сжатии и растяжении по абсолютной величине, в частности, для горных пород колеблется от сорока до ста, для чугуна оно равно, приблизительно, трем-четырем, для органических стекол (полистирол, порошковые пластмассы) оно равно от трех до пяти. Однако, в соответствии с энергетическим условием А. Гриффитса, для задач о разрушении хрупких материалов при одноосном и двухосном равномерном растяжении (сжатии) пластинки при образовании изолированного дефекта (развитии дефекта) пределы прочности при растяжении и сжатии одинаковы по абсолютной величине. Этот результат противоречит экспериментальным данным практически для всех материалов в хрупком состоянии.

Для создания макроскопического критерия хрупкого разрушения материалов при сжатии А. Гриффите отказался от энергетического подхода к разрушению. Он рассмотрел задачу о двухосном сжатии главными напряжениями упругой пластины, ослабленной случайно ориентированной трещиной в виде «узкого» эллипса, большая полуось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При этом он предположил, что разрушение при сжатии происходит в точке на контуре трещины там, где нормальное растягивающее напряжении направлено вдоль контура эллипса достигает критического значения при растяжении (гипотеза «нормального отрыва»). После вычислений, А. Гриффите получил соотношение между прочностями на сжатии и растяжении по абсолютной величине равное восьми для всех материалов, что также противоречит, в общем случае, экспериментам. Эти недостатки энергетической теории хрупкого разрушения А. Гриффитса не были устранены в работах Ф. Макклинтока и И. Уолша, которые предположили, что трещина при сжатии закрывается и между ее поверхностями возникает трение скольжения. Однако, эти же авторы показали, что для объяснения с помощью этого

предположения превышения прочности на сжатие по сравнению с прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях скольжения должен быть неправдоподобно большим.

Энергетический подход к хрупкому разрушению был обобщен в исследованиях основанных на термодинамике. Однако, в этих исследованиях авторы не привели фундаментальных физических и математических предположений из которых следует условие А. Гриффитса. В этих исследованиях необоснованны физические гипотезы и математические допущения на основании которых приращение энтропийной компоненты внутренней энергии, входящей в первый закон термодинамики, было «априори» положено равным нулю.

Цель диссертационной работы

1. Постановка термодинамически «полных» (с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии) условий разрушения при образовании и движении дефекта (трещины). Учет энтропийной составляющей в задачах хрупкого разрушения является основной целью данной работы.

2. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии для двух известных моделей изолированного дефекта. Анализ и обобщение предложенного энергетического условия, применительно к указанным моделям образования изолированного дефекта, а также в случае образования изолированного дефекта при произвольном нагружении внешней границы тела.

3. Разработка эффективного метода вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании (развитии) дефекта (трещины) на основе комплексного представления этих интегралов.

4. Анализ предложенного термодинамического условия хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера. Исследования асимптотического подхода при вычислении интегралов высвобождающейся внутренней энергии (энтропийной составляющей) в случае образования трещины в виде математического разреза.

5. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом разрушении и постоянной температуре. Определение ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений. Сопоставление экспериментальных и теоретических данных.

6. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Разработка макроскопического критерия хрупкого разрушения для случая статической усталости.

8. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Научная новизна работы

В соответствии с целями диссертации научная новизна состоит в следующем:

1. На основе анализа соотношений термодинамики необратимых процессов получены энергетические условия образования новой поверхности (дефекта или трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии. Первое условие представляет собой первый закон термодинамики, второе условие указывает на необратимость процесса разрушения и представляет второй закон термодинамики.

2. Получение энергетическое условие хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта криволинейной формы на основе комплексного представления интегралов внутренней энергии и решения плоских задач теории упругости через две функции комплексного переменного.

4. Получено термодинамически «полное» условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера для геометрической формы трещины в виде математического разреза. Показано, что для вычисления энтропийной составляющей внутренней энергии необходимо учитывать, кроме первого, также и последующие члены асимптотики решения соответствующей задачи теории упругости, в окрестности конца трещины.

5. Получен макроскопический критерий прочности и разрушения для твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Предложено условие для определения ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений для изотропных тел.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

8. Выведено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Практическое значение результатов работы

Полученные энергетические условия хрупкого разрушения и макроскопический критерий разрушения твердых тел в хрупком состоянии могут быть непосредственно применены для решения инженерных задач о разрушении материалов и конструкций.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается применением соотношений термодинамики необратимых процессов, краевых задач МДТТ, а также проверкой полученных результатов на частных задачах, допускающих точные решения.

На защиту выносятся:

1. Термодинамическое условие образования новой поверхности (дефекта, трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Энергетическое условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

5. Макроскопический критерий прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

6. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998г), на V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001г), на Международной конференции «Fracture at Multiple Dimension» (Москва, 2003г), на XXII Международном Конгрессе «Theoretical and Applied Mechanics» (Adelaide, 2008), на «7-tli EUROMECH. Solid Mechanics Conference» (Lisbon, 2009г), на конференции получателей грантов регионального конкурса «Юг» РФФИ и администрации Краснодарского края «Вклад фундаментальных исследований в развитии современной инновационной экономики Краснодарского края» (Проект №08-01-99014, Краснодар 2008-2009г), а также на семинарах института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах, 16 из которых, опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций.

Личный вклад автора

Все новые научные результаты получены автором работы. Постановка теоретических задач, анализ полученных результатов, выводы и положения, выносимые на защиту, принадлежат автору. Соавторам принадлежит развитие, интерпретация и обсуждение полученных результатов.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы.

В первой главе приведены основные соотношения линейной теории термоупругих твердых сред, необходимые для построения энергетической теории разрушения тел, находящихся в хрупком состоянии. В п.п. 1.1-1.3 приведены замкнутые системы уравнений термоупругости, краевые и начальные условия для постановки некоторых задач, решения которых используется при вычислении термодинамических величин, входящих в условие хрупкого разрушения. В п.п. 1.4, 1.5 сформулирована плоская задача теории упругости и представление решений плоских задач термоупругости через две функции комплексного переменного.

Во второй главе предложено энергетическое условие разрушения твердых тел, содержащее энтропийную составляющую внутренней энергии. Проведено сопоставление предложенного условия с энергетическим условием А. Гриффитса. Это сопоставление содержит исходные предпосылки для построения критерия хрупкого разрушения, в котором разрушающие нагрузки при растяжении и сжатии непосредственно находятся из энергетического условия без дополнительных гипотез (например, гипотезы «нормального отрыва»), В п. 2.1 приведены основные понятия термодинамики необратимых процессов. В п. 2.2 сформулированы первый и второй законы термодинамики в виде:

Здесь

(1)

Представляет кинетическую энергию тела с объемом ¥0: м,- означает производную от перемещений и, по времени (,

и= \исЫ

представляет внутреннюю энергию тела, и(х„ /) - удельная внутренняя энергия,

Ар 2 2

и = /ле9е9 +-02+ЗаоКоТов + се(Т-То)

(3)

где // и Л - константы Ламе, - компоненты тензора деформаций,

первый инвариант тензора деформации, ду - символ Кронекера, а0 - линейный коэффициент теплового расширения, К0 - модуль объемного расширения, се - удельная теплоемкость при постоянной деформации , Т- абсолютная температура

еИ =

Л

представляет работу внешних сил на соответствующих перемещениях и1 за время Ж, а у- компоненты тензора напряжений, и, - направляющие косинусы вектора внешней нормали, р - плотность материала, ^ - проекции объемных сил.

{аГс/У

Л

представляет приток тепла в области У0 за время Ж, А - коэффициент теплопроводности, А - оператор Лапласса.

5= ¡ф (4)

представляет энтропию тела, /) - удельная энтропия

7] = 2а0К0в + с£Ы— = За0К0в + с£(Т-Т0)/Т0 (при ^-^-«1)

В п.п. 2.3 предложены термодинамические соотношения для твердых тел с учетом образования новых поверхностей. В п. 2.3.1 содержатся основные гипотезы и предположения касающиеся физической стороны процесса образования новой поверхности, а также термодинамических величии, характеризующих этот процесс:

1. Внутренняя энергия и энтропия тела при образовании дефекта или трещины могут быть представлены в виде суммы внутренней энергии и энтропии тела после образования дефекта и внутренней энергии и энтропии, затраченных на образование дефекта с поверхностью Е.

2. Процесс образования трещины в макрочастице является термодинамическим и необратимым процессом. Из этого допущения следует существование термодинамических параметров необратимого процесса разрушения, определяющих термодинамическое состояние макрочастицы, при образовании в её объеме трещины.

3. Возникновение трещины при хрупком разрушении не порождает на ее поверхности X дополнительных макроскопических напряжений, деформаций, перемещений, тепловых потоков и температур, которые необходимо включать в граничные и начальные условия краевых задач термоупругости для тела с трещиной.

В п. 2.3.2 на основании принятых допущений сформулированы первый и второй законы термодинамики (1), (2) для тел с развивающейся новой поверхностью.

<1к+(Ш+<]и* = ал+а<2 (5)

еЮ + еЮ >Л

Л (6)

Здесь введены обозначения

и* = ^иск, 5* = (7)

Е Е

которые представляют внутреннюю энергию и энтропию соответственно, затраченные на образование дефекта с поверхностью 2, и (х„?)>0 - удельная внутренняя энергия и 77 (х,,() — удельная энтропия, рассчитанные на единицу поверхности дефекта. Площадь 1(?) поверхности 2 и ее характеристики, а следовательно и объем V является функцией времени Л Величины удельных энергий «*(дг»0 и зависят от напряженного и деформированного

состояний в точках образования дефекта, от температуры, от других термодинамических параметров, меняющихся во времени, а также от изменения во времени площади и поверхности трещины. Можно полагать, что рациональная трактовка величин и (дг„?) и /7 (*/,0 в выражениях (5), (6), (7) должна быть основана на теории микроконтинуума.

При допустимых ограничениях на свойства поверхности дефекта Е первый поверхностный интеграл в соотношении (7) сводится к двойному интегралу, для которого применима обобщенная теорема о среднем.

Тогда

и'=/{ 0-2(0 (8)

где /(0 = "*[<?,(?)]. (0 б ^ - удельная внутренняя энергия "в среднем" затраченная на образование единицы поверхности дефекта Е (трещины). Как следует из выражения (8) эта энергия зависит от характерных размеров дефекта, поскольку £, (/) изменяется при изменении поверхности Е.

Соотношение (5) является термодинамическим условием, определяющим образование и распространение трещины. Соотношение (6) указывает на необратимость этого процесса.

Условие (5) является необходимым термодинамическим условием образования и развития трещины. Для вычисления термодинамических параметров и функций, входящих в это условие, необходимо сформулировать и разрешить математические задачи, соответствующие различным моделям, согласно которым возникают и развиваются трещины.

Одной из составляющих физико-математических моделей процесса разрушения является "априори" принятая геометрическая форма дефекта. Если поверхность дефекта может быть определена только одним характерным параметром а (например, полудлина трещины, или большая полуось эллипса при плоской деформации) и другие параметры поверхности дефекта выражены через а, то все функции, входящие в условие (5) зависят от времени и от параметра а, который также зависит от времени. Например, и ~ (У[а(/),/]. Это предположение позволяет, исходя из условия (5), получить в общем случае зависимость параметра а от времени. В данной работе рассматриваются «однопараметрические» модели дефектов. В п. 2.4 сформулировано энергетическое условие хрупкого разрушения (5) при однократном статическом нагружении в изотермическом случае в виде

сПУ = О, IV = (1-А-/-Х (9)

Здесь обозначено Е/ = (/(0'А - А(0> - А1^; Индекс (0) относится к соответствующим величинам до образования в теле новой поверхности, а индекс (1) к величинам, после образования новой поверхности, IV - полная энергия твердого тела при образовании новой поверхности, состоящая из высвобождающейся внутренней энергии и работы внешних сил, и энергии (8), затраченной на ее образование.

Поскольку при статическом деформировании энергия W -W[a(t)] зависит только от изменяющегося во времени характерного параметра дефекта а, условие (9) имеет вид:

аа

Если в условии (10) а = 0 то трещина не распространяется. Тогда критерием возможного развития трещины являются условия

= 0, «>0 (11)

аа

При этом случай а = 0 не может быть исключен и, следовательно, остается неопределенным, произойдет ли движение трещины в действительности. Так как задача рассматривается в статическим приближении, то из условия (11) нельзя найти время, при котором дефект достигнет своего критического размера, а так же вычислить зависимость параметра а от времени.

Термодинамические величины (3), (4), определяющие полную

энергию (9) имеют вид соответственно

« = (12)

т] = 3 а0К0в

Термодинамические функции (12) вычисляются из решения математических задач, соответствующих различным физическим моделям возникновения дефекта (трещины). В частном случае, когда малый по сравнению с размерами тела дефект расположен вдали от внешних поверхностей тела, обычно рассматривают две известные математические модели, в соответствии с которыми происходит образование и развитие такого изолированного дефекта (трещины). В модели (А) на внешней, достаточно удаленной от дефекта поверхности тела Sn, при образовании дефекта, напряжения в теле с дефектом остаются такими же, как в теле без дефекта. Напряжения на поверхности дефекта 2 равны нулю. Согласно этой модели, внешние силы совершают работу на поверхности Sq на перемещениях, вызванных образованием дефекта.

В модели (В) на внешней, достаточно удаленной от дефекта поверхности тела S0, при образовании дефекта, перемещения в теле с дефектом остаются такими же как в теле без дефекта. Напряжения на поверхности дефекта Е также равны нулю. Работа внешних сил на поверхности тела S0 при образовании дефекта равна нулю (А = 0), так как перемещения на поверхности So не изменяются и равны перемещениям, соответствующим приложенной нагрузке, но до того как образовался дефект.

Модели (А) и (В) по разному описывают одно и тоже физическое явление и краевые задачи теории упругости, соответствующие этим моделям, различны. Модель (А) обычно объясняют с помощью принципа Сен-Венана. Модель (В) непосредственно подтверждается экспериментальными исследованиями на плоских образцах с искусственно выполненными разрезами (дефектами) с точностью до разрешимости тензодатчиков. С этой точки зрения модель (В) предпочтительнее, так как она может быть проверена экспериментально. В п. 2.5. сопоставляется предложенное энергетическое условие хрупкого разрушения (9) с известным энергетическим условием А. Гриффитса.

dUp-dA = ypdL (13)

где: Up=U^-Up')~ потенциальная энергия, затраченная на образование

дефекта; ур = const - энергия, необходимая для образования единицы

поверхности дефекта Е, которую полагают равной поверхностной энергии, dA - работа внешних сил.

Общеизвестно что условие (13) неприменимо для оценки прочности при сжатии. В частности, для задачи о разрушении материалов при одноосном и двухосном равномерном растяжении (сжатии) пластины при возникновении изолированного дефекта условие (13) приводит к независимым от

температуры и одинаковым по абсолютной величине критическим напряжениям, что противоречит экспериментальным данным практически для всех известных материалов. Для того чтобы устранить этот недостаток А. Гриффите рассмотрел задачу о двухосном сжатии напряжениями упругой пластины, ослабленной эллиптической полостью, большая ось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При решении этой задачи Гриффите предположил: реальный дефект представляется в виде «узкого» эллипса с соотношением полуосей, значительно меньшим единицы; разрушение при сжатии происходит в точке на контуре дефекта, там, где нормальное растягивающее напряжение, направленное вдоль контура эллипса, достигает критического значения при растяжении (гипотеза нормального отрыва). После вычислений, Гриффите получил соотношение между критическими напряжениями при сжатии и растяжении равное по абсолютной величине восьми для всех материалов, что так же противоречит, в общем случае, экспериментам. В работе В.В. рассмотрена эта же задача, в предположении, что реальный дефект представляется в виде математического разреза. Проведенные вычисления привели к соотношению между прочностью на сжатие и растяжение по абсолютной величине равному 2,66 для всех материалов. Это, практически, не соответствует экспериментам. В частности, для горных пород это соотношение колеблется в пределах от сорока до ста, для чугуна оно равно приблизительно трем, а для неорганических стекол оно порядка шести.

Этот недостаток первоначальной теории Гриффитса не был устранен на основании предположения, введенного в работах Б. Поля, Ф. Макклинтока, И. Уолша, А. Аргона: трещины при сжатии закрываются, благодаря чему на их поверхности возникает трение скольжения. Однако, авторы этих же работ установили, что для того, чтобы с помощью трения можно было объяснить десятикратное по абсолютной величине превышение прочности на сжатие над прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях трещины должен быть неправдоподобно велик.

В многочисленных исследованиях Г.П. Черепанова, Г. Си, Г.Либовица и др., основанных на термодинамике был обобщен энергетический подход к хрупкому разрушению. Однако, в этих исследованиях авторы не приводят фундаментальных физических и математических предположений, приводящих к условию А. Гриффитса (13). В частности, в приведенных исследованиях не обоснованны физические гипотезы и математические допущения, на основании которых приращение энтропийной компоненты (4) внутренней энергии было положено равным нулю. Отметим, что в этих работах, а так же во всех других известных автору работах, опубликованных в течении последних восьмидесяти лет, энтропийная составляющая (4) внутренней энергии "априори" предполагается равной нулю.

Для рассматриваемого случая при Т = Т0= const, dQ = 0 и однократном статическом нагружении dK = О условие хрупкого разрушения (9), с учетом соотношений (8), (12), запишем в виде:

<лир + Т^Б -<М = а[у{аЩа)] (14)

В условии (14), в отличие от условия (13) содержится энтропийная составляющая внутренней энергии = -51'1' и у (а) зависит от размера дефекта и имеет другой физический смысл. Это внутренняя энергия, затраченная на образование единицы поверхности дефекта Е (7). Таким образом, в рамках энергетического подхода, идентичного подходу А. Гриффитса, первый закон термодинамики предписывает сохранение в условиях разрушения (13), (14) в общем случае энтропийной составляющей. Следовательно, условие (13) является термодинамически не полным и поэтому приводит к физически не обоснованным и экспериментально неподтвержденным результатам. Однако, укажем один общий случай, когда эти условия совпадают. Известно, что при достаточно низких температурах для некоторых материалов, например, медь и нержавеющая сталь, коэффициент линейного расширения а0 равен нулю, и, следовательно, энтропийная составляющая внутренней энергии (12) так же равна нулю. Если предположить, что в этих случаях ур=сот1, то условия (13) и (14)

совпадают. Они совпадают так же при абсолютном нуле, т.к. для всех материалов в этом случае а0= 0.

Условия (13) и (14) становятся эквивалентными так же при адиабатическом приближении процесса деформирования. Свободная энергия и энтропия в адиабатическом состоянии имеют вид

1 ,

¥ = №у£у + > 77 = °

Это приближение соответствует введению некоторой фиктивной среды с коэффициентом теплового расширения а0 = 0 и заменой постоянных Ляме адиабатическими постоянными //<,- и Л5, в следствии чего, термодинамические условия разрушения "априори" становятся неполными

В третьей главе исследовано предложенное термодинамическое условие хрупкого разрушения (9), (14) при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Для вычисления термодинамических функций, входящих в условия разрушения (9), (14) и (13) необходимо сформулировать и решить соответствующие краевые задачи теории упругости. В п. 3.1 рассмотрен достаточно общий случай нагружения тела в котором образуется изолированный дефект, когда на одной части внешней поверхности тела заданы только перемещения, а на другой части внешней поверхности заданы только напряжения. Краевые задачи для тела с дефектом и без дефекта (рис.1) имеют вид соответственно:

а п(1)

цЬ. и^+^+ц)--+ рХ1 = 0, др,е ?!,!' = 1,2,3 (15)

О X,-

Л=<=о?Ч=//

д «,(1) 5 м

(и

V А г/'0' + (Л + А)—т"— + = 0, х,. е К0,

дxJ дх> ) 'ди? ди«

yдxJ дх:

п] + Лвтпп = 1,2,3

и,. + Л<9(1,и,=0, е!

5

бх,-

м,(0>=/;, X; е5и

(0)

5 х ■ д х,

а) б)

Рис.1. Общий случай нагружеиия твердого тела при образовании изолированного дефекта (трещин): а - тело без дефекта; б - тело с дефектом

В п. 3.2 рассмотрены две классические модели образования изолированного дефекта при плоском напряженном (деформированном) состоянии. В первой модели (модель (А)) на внешней поверхности тела до и после образования дефекта заданы одни и те же напряжения, а на поверхности дефекта напряжения равны нулю. Во второй модели ( модель(В)) на внешней поверхности тела до и после образования дефекта зафиксированы перемещения, которые соответствуют приложенной нагрузке, но до того как образовался дефект. Объемные силы в обеих моделях полагаются равными нулю. Сформулируем краевые задачи, соответствующие моделям (А) и (В), из решения которых определяются термодинамические величины, входящие в условие (9), (14) и (13).

Напряженно-деформированное состояние твердого тела до образования в нем дефекта соответствует следующей краевой задаче для уравнений теории упругости

лЛ)

//Ди*0)+(Л*+//)—-= 0, х,еК0. / = 1,2 (19)

дх,

при граничных условиях (1.21)

(0) .

ди{0) ди

(0)

дх,

п,.+Л'0(ОЧ, х(е50. 1,7=1,2 (20)

Здесь Я =А для плоского деформированного состояния и Я =2// Я/(2// + Я) для плоского напряженного состояния.

Напряженно-деформированному состоянию твердого тела после образования в нем дефекта для модели (А) соответствует следующая краевая задача теории упругости:

дв^

/Мм,!1' +(Л~ + = х,еГ,, / = 1,2

при граничных условиях

ди,

(1)

О X:

(21)

дх]

п]+Л'бтп1, х; е50, и = 1,2

ди

(1)

5 «У»

--г-

дх, дх,

(22)

+ Хвт п, = 0, X,- еЕ

Отметим, что в задачах (19), (20) и (21), (22) на границе тела заданы только напряжения. Тогда эти задачи могут быть сведены к первым краевым задачам для бигармонического уравнения относительно неизвестной функции напряжения Р.

Напряженно-деформированному состоянию твердого тела после образования в нем дефекта для модели (В) соответствует следующая краевая задача теории упругости:

5

^Ащ'+(Я + — = 0>. х,еУи

ОХ:

-1,2

(23)

при граничных условиях

<=<n,=fi

ди)

■ — +- 1

дх, \ j

дх,

tij.+Л в{\ = 0, Xj е Е, /,_/ = 1,2

Причем, в соответствии с моделью образования дефекта (В) для решения краевой задачи (23), (24) функции и-0* определяются из решения краевой задачи (19), (20).

Для моделей (А) и (В) вычислено приращение полной энергии входящей в предложенное условие разрушения (9). Для модели (А) имеем

W = -fef)uf)njds-yI.

(25)

Подставляя выражение (25) в энергетическое условие (9) получаем критерий Гриффитса (13) в следующей форме (при у = const)

LA.

2 da

ja^njds

VI

n

-у— = 0 r da

(26)

Показано, что для модели (А) энтропийная составляющая высвобождающейся внутренней энергии всегда равна нулю и предложенный критерии разрушения в этом случае совпадает с критерием разрушения А. Гриффитса. Вычисляя приращение полной энергии для модели (В) получаем

W = С/ - у Е = - ja^u^njds + а0Т0кх - у Е

2 г х

Подставляя выражение (27) в условие (9) получаем

У

da

Uafu\\ds + $uf>8unjds

v2x

da

= 0

(27)

(28)

где кх= Е/(1-у) - для плоского напряженного состояния, кх = £/(1 -2у) -для плоской деформации.

Для модели образования дефекта (В) приращение энтропийной составляющей заведомо в ноль не обращается, что является главным существенным отличием предложенного условия разрушения (9), (14), (28) от условия А. Гриффитса (13), (26). В п.п. 3.3.1-3.3.3 для качественного и количественного анализа предложенного условия приведено решение тестовых задач об образовании новой поверхности. В п.3.3.рассматривается задача об образовании дефекта круглой формы в круглой пластине при осесимметричном нагружении. Для модели (А) исходя из условия Гриффитса (13) получаем одинаковые по абсолютной величине критические напряжения при растяжении Р+ и сжатии Р~

Р± = у £(1 -а2 /Ь2)2 /(2а),

(29)

что качественно не соответствует экспериментальным данным. Для модели (В) исходя из предложенного условия (9), (14)

Р± = -а0Т0к, ± л[(ааТ0к1 )2 + уЕ 1(2а) (30)

Таким образом, для модели дефекта (В) энтропийная составляющая внутренней энергии не равна нулю и, вследствие этого, формула (30), в отличие от формулы (29), дает качественно правильные значения критических напряжений (пределов прочности) при всестороннем растяжении Р+, сжатии Р~ в зависимости от физико-механических постоянных материала, линейного коэффициента теплового расширения а0, температуры Т0.

В п. 3.3.2 рассмотрена пространственная задача о хрупком разрушении сферы с центральным дефектом сферической формы при всестороннем растяжении-сжатии, с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии. В п. 3.3.3 вычислена энтропийная составляющая высвобождающейся внутренней энергии для тела нагруженного объемными силами. В п. 3.4 рассмотрено энергетическое условие образования изолированного дефекта при произвольном статическом нагружении. В п. 3.5 в качестве модели тела с изолированном дефектом непосредственно рассматривается полость и разрез в нагруженной плоскости. (В п.п. 3.2-3.4 рассмотрены модели изолированного дефекта в конечных телах и показано, что в частных случаях для приближенного вычисления интегралов внутренней энергии можно использовать решения задач теории упругости для бесконечной области). В п. 3.6 получено условие хрупкого разрушения при образовании краевого дефекта от внутренней границы тела. Оно имеет вид, идентичный условию хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта. В п. 3.7 приведено комплексное представление криволинейных интегралов, входящих в предложенное условие хрупкого разрушения. Это представление осуществляется на основании известных формул Колосова-Мусхелишвили, определяющих компоненты напряжений и перемещений в плоских задачах теории упругости через две аналитические функции комплексного переменного.

»11 =2[р'(г)+ ?'(*)] °22 - <Г\ 1 + Зго-12 = 2[гр"(г) + уг '(г)] 1ц{щ+ш2) = х9^)-2(р\г)-у/ (г) (31)

где % = Ъ-Ау, х~0~ V) /(1 + у) - для плоского деформированного и плоского напряженного состояния соответственно. Тогда интегралы высвобождающейся внутренней энергии в выражении (27), (28) имеют вид

и=-

-Яе (рх{г)\1 <р"0{г) + у/'0{г)] -ср ,(г)[^<г) + <р'0(г)№ I -

4/,

(32)

В выражении (32) функции <р(г) и (//(л) с индексами (1) и (0) определяют напряженное и деформированное состояние тела с дефектом и без дефекта соответственно. В п. 3.8 предложен метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании криволинейного изолированного дефекта с помощью вычетов. Для рассматриваемого случая с учетом функций

<р0(г) = Г г , щ(г) = Г г ,

определяющих однородное напряженно-деформированное состояние пластинки без дефекта из выражения (32) получим

и = _^11е|^[2Г • <рх (2) - Г(2)]ак| -

(33)

2//

Здесь Г = -^(.Р, + Р2), Т' = -^Р1-Р2)е Ъа, Р\ и Р2 главные напряжения,

действующие во взаимно перпендикулярных направлениях, и напряжение Рх составляет с осью Ох угол а.

Заметим, что для вычисления внутренней энергии II по формуле (33) достаточно определить функцию (рх(£) из решения задачи о бесконечной плоскости, ослабленной отверстием, когда на бесконечности заданы напряжения Р\ и Р2. Если функция г = со (ё), осуществляющая конформное отображение внешности единичного круга в плоскости на внешность криволинейного контура 2 в плоскости г, является отрезком степенного ряда

= Д # + (34)

'=1

то функция (р (£) также является отрезком степенного ряда. Коэффициенты этого отрезка степенного ряда а¡, определяющие функцию <р (£) находятся из решения алгебраической системы

аР + "ХО - ¡)с,а1+р + "¿О - 1)с1+ра, + КГсР = Вр (35)

/=1 ;=1

3десьМ°,г

РФ 2

р = 2, p = \,...,N

Переходя к новой переменной в интегралах (33) по формуле (34) и вычисляя интегралы с помощью вычетов получаем

U =■--

2 ц

RdT'R(a2-RTc2)-2TR

RT- 2>мс/+l /=1

ReU

2>/+i CM V i=i

■RT

(36)

AW^AU-M+y-AY.,

(37)

Коэффициенты ah определяющие функцию (с), входящие в выражение для внутренней энергии, находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений (35).

В п.п. 3.9 приведен анализ полученного термодинамического условия на основании подхода Ирвина-Райса-Друкера. В п. 3.9.1 следуя этому подходу условие (9) записано в виде

г Ш о lim-= О,

Да—»о Да

где AU и АА приращения внутренней энергии и работы внешних сил в теле с дефектом, соответственно, при образовании новой поверхности ДХ.

Рассмотрим тело из линейно упругого материала с полостью или вырезом (рис.2) в котором образуется новая поверхность в соответствии с

моделями (А) и (В). Введем обозначения и,-, (Ту, Sy - компоненты перемещений, напряжений и деформации, i,j = 1,2, V - объем тела ограниченного контуром S'0, I - поверхность изолированного дефекта;

еи + Аеи, V{ = V - AV, Е,

«Р = И; + А И;,

crfP =сту+Ао-у,

эти же

У "ij ' '1

обозначения, с учетом приращения дефекта.

Проводя вычисление приращения полной энергии для модели (А) с учетом условия (37) получаем

1 ( Л ^ o-jjAu^jds + jo-ij£ijdv - 2y&Z

\А1 AV )

Следовательно, образование новой поверхности в теле в соответствии с моделью (А) приводит с учетом условия (37) к критерию Гриффитса (38). Проводя вычисление приращения полной энергии AW для модели (В) с учетом условия (37) получаем

lim = - lim

Да->о Да Да—>0 2Да

= 0

(38)

ДЖ ,. 1 иш-= - игп —

До-»0 Дд Дл-»0 Дд

— с{ & Аи.н а".? + — ("ст. ¿•. с/у+

о } У '7 т ] У У

+ «0%

V1.

-/Д1

= 0

Рис. 2. Схема нагружения упругого тела при образовании изолированного дефекта

В критерии (39) приращение полной энергии содержит энтропийную составляющую, в общем случае не равную нулю. Если разрушение происходит в результате развития трещины, то ЛК = 0 и для приращения полной энергии имеем

A W |сгДнгя;Л - а0Т0к^ |дu^S^rtjds + у AS =

дг

JAm t)..« ífe

+ y AS = — JovCAm^ - Дгг )«Vs -

- а0Т0к1 |(Дм+ - Аи~)ЗуП+ск + 2,7 Д£+ гГ

где знаки (+) и (-) относятся к значению величин, взятых на верхнем и нижнем берегах трещины соответственно, пу = -и]".

В п.3.9.2 рассмотрена задача о разрушении пластины при всестороннем растяжении (сжатии) усилиями Р^=Р2=Р с трещиной длиной 2а, расположенной вдоль оси Ох] (рис. 3), края трещины свободны от напряжений.

Проанализировано состояние в окрестности одного конца трещины, так как в силу симметрии задачи учет второго конца приводит к такому же результату. Для этой задачи с учетом выражений (39), (40) получаем критерий

| я+Да а+Аа

— |а"22г4')«'х1 +айТ(]к\ |дм2<&, + / = 0 (41)

Д W 1 lim-= - lim —

Да дя-»оАа

Первый интеграл в условии (41) представляет изменение потенциальной энергии тела при возрастании длины трещины на величину Да. Этот интеграл можно вычислить, если известны поля напряжений и перемещений "вблизи" конца трещины. Первые члены асимптотики для напряжений и перемещений в окрестности точки (а,0) имеют вид

°22 ="

К,

(2 яг)

в

.., eos— 1/2 2

, . в . 39 1 +sin—sin— 2 2

К, ( г Y'2 . в

и7 =—Ч- sin—

2 2Д2я- J 2

20

у + l-2cos — л 2

(42)

i j т

где Кх = Р(п а) - коэффициент интенсивности.

Рис. 3. Тело с трещиной при двухосном растяжении (сжатии)

Подставляя напряжение сг22 (42) при 0 = 0, г = х и перемещение и2 = гД1'

1/2

при К} = Р(ж (а + Аа)) , 0 = я, г = Аа — х в первый интеграл выражения (41) получим

^ Да

Нт- [сго^и^с/х, =

Ла->о2Аа I 22 2 1

ки%+1) г М

я '-иЧтЯ-Ё-Ь+Ц (43)

8л- ц ¿\ £ 16ц что совпадает с точным значением этого интеграла.

Для вычисления второго интеграла в выражении (41) асимптотическое представление для перемещения и2 (42) заведомо грубое, поскольку интегрирование проводится на интервале (0, а + Аа). Из выражения (41) имеем

^ а+Аа |

о:0Т0к{ Нт — ¡(и^ - и2)ск = а0Т0к1 Нт —

Да->0Да д Ла->0Да

а + Да

- |и2С&С О О

т.к. на интервале (а,а + Ла) перемещения в теле до образования новой поверхности равны нулю в силу симметрии задачи. Вычисляя выражение (44) для точных значения и2 и и^ на верхнем берегу разреза

Р(Х +1) П-г I

и2=—^--д/а -х, , приг = хи \хх\<а

4//

ц(1) - + 0+ да)2 _Х)2 ; при 2 = хи |х,|<а + Да

Получаем

«оЗД Ит—

Ля->0 Да

2 а+Да

а0Т0к{4а

V о о

«А

(45)

8//

Учитывая выражения (43), (45) из условия (41) находим

16// 8// Тогда из условия (46) получаем окончательно

Р2 + 2а0ТйкхР--£ = 0,

п (х +1) а

откуда опредеяем критические напряжения при всестороннем растяжении Р+ и всестороннем сжатии Р'

Р± = -а0Т0к1 ± (аМ2 +

причем (47) Р++Р"=-2а0ад, Р+-Р"=--

Формулы (47) могут быть получены и другим методом с использованием условия (9).

Отметим, что асимптотические представления для напряжений и перемещений (42), справедливые в малой окрестности у конца трещины позволяют эффективно вычислять потенциальную составляющую приращения внутренней энергии и дают существенную погрешность при вычислении энтропийной составляющей внутренней энергии. Действительно, вычислим предел (44) используя асимптотическое представление перемещения (42) При г = (а + Да - х), в = к, Кх = Р-^я: (а + Да)

и

(О _

_ Р\1 а + Да *2 ~ 24211 при г = а-х, в = к, Кх =Р^]ка

л1а + Аа-х(х + 1),

Подставляя эти перемещения в выражение (44) находим

а Т к lim 1 "oWCr + D*

Полученное значение больше точного значения (45) приблизительно на 19%.

Проводя вычисление интеграла энтропийной составляющей (44) учитывая последующий член асимптотики (42) для перемещения и2 получаем

т, у 1 ("+U 0U "г л! 17 «oWOr + i)

апТак, lim— Дu\'ax-\u1dx =-^ —---а

0 Лд-»о Да J 2 0J J 30V2 ц

Этот результат отличается от точного значения (45) менее, чем на 1,8%. Таким образом, удерживание в исследуемой асимптотике одного дополнительного члена приводит к практически удовлетворительному результату.

В четвертой главе на основе термодинамического условия хрупкого разрушения сформулирован макроскопический критерий разрушения твердых тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. При дополнительных предположениях относительно формы дефекта и условия изотропии получена кривая разрушения (предельная кривая) в виде эллипса в пространстве главных напряжений и определена ориентация трещины относительно направления действия главных напряжений. Коэффициенты предельной кривой явно зависят от упругих постоянных, температуры, линейного коэффициента теплового расширения и характерного размера дефекта. Приведено сопоставление теоретических и экспериментальных данных для различных хрупких материалов. В п. 4.1 сформулированы общие понятия о макроскопическом критерии хрупкого разрушения и требования, которым он должен удовлетворять. В том случае, когда материал в хрупком состоянии имеет некоторые критические значения прочности (пределы прочности), предполагают существование предельной поверхности или поверхности разрушения в виде

F(PuP2,P3,Cl,...,C„) = О (48)

определяющее все те комбинации главных напряжений Р{, Р2, Р3, которые вызовут разрушение. Здесь С,,...,С„ некоторые константы, которые определяют экспериментально.

Критерий разрушения должен так же удовлетворять некоторым общим требованиям, сформулированным для феноменологических критериев разрушения:

1) критерий дает условия разрушения (начало движения трещин) для макрочастицы материала, находящегося в произвольном сложном напряженном состоянии;

2) в аналитическом выражении критерия наряду с инвариантами тензора напряжений входят скалярные величины, характеризующие прочностные свойства материала;

3) критерий учитывает такую особенность физико-механических свойств материалов, как различие пределов их прочности на растяжение и сжатие;

4) критерий имеет форму инвариантов, образованных из компонент тензора напряжений;

5) критерий учитывает в явном виде влияние температуры и критическую длину трещин (масштабный фактор) на условия разрушения материалов при сложном напряженном состоянии.

Построение критерия разрушения, удовлетворяющего указанным требованиям, основано на следующих принципах:

1) аналитическое выражение критерия может быть представлено в виде предельной поверхности в пространстве напряжений;

2) в соответствии с постулатами A.A. Ильюшина и Д. Друкера предельная поверхность должна быть выпуклой;

3) для материалов, обладающих различными пределами прочности на растяжение и сжатие, критерий наряду с инвариантами четных степеней содержит инвариант нечетных степеней (в частности, первый инвариант тензора напряжений для линейно термоупругих материалов);

4) при увеличении прочностных констант у материалов данного типа предельная поверхность в пространстве напряжений расширяется так, что прежняя предельная поверхность оказывается внутри нее.

При перечисленных требованиях допустим для термоупругих тел существование макроскопического критерия разрушения в виде

F(Pt,P2,P„E,v,TQ,a0,y,at) = 0, (49)

где, как и выше, Е - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона, Г0 -абсолютная температура опыта, ог0 - линейный коэффициент теплового расширения, а, - характерный критический размер образовавшегося дефекта (в частности, размер макрочастицы) при котором возможно начало движения трещин в соответствии с условием (9), у - удельная внутренняя энергия, затраченная на образование единицы поверхности дефекта (8).

В отличие от известных условий вида (48) условие (49) содержит физико-механические параметры E,v,a0, которые полностью определяют физико-механические свойства термоупругого тела при температуре Т0, критический размер трещины а,, при котором возможно начало разрушения и удельную внутреннюю энергию у.

В дальнейшем рассматривается построение критерия хрупкого разрушения (49) для случая плоского напряженно-деформированного состояния. В п. 4.2 предложен макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре и получена предельная кривая в виде эллипса в пространстве

главных напряжений. Для построения предельной кривой рассмотрена задача о разрушении пластинки при образовании изолированного дефекта, имеющего эллиптическое сечение Е с полуосями а, Ь = Ь(а), а>Ь под действием главных растягивающих и (или) сжимающих напряжений Р\, Р2, причем направление действия напряжения Р1 составляет угол а = а(а) с осью (Ц, а направление действия напряжения Р2 составляет с осью 0х{ угол

71

равный а + — (рис. 4). Вычисляя интегралы полной энергии (27) при

помощи вычетов получаем выражение IV = Ж[а,Ь(а)Ма),г(а)] =и~у£=

Сг + 1 )яс

Ьц

(Ъ+РгУ

(1 + т2) +

РгУ

-(/5 -Р2)тсо52а

впТМж + дяс1

2И

Р' + Р- (1 + т2) - (/> - Р2)/исо52а

(50)

а + Ь а-Ь . \ 2-2 т1/2 ,л , Ь где с = —;—, т =-г, E{q)= \^\-qísm¿■ РУ'^Р, q = 1---

о а

2 а + 1

В случае изотропных материалов условие разрушения при каждом фиксированном а> 0 представляет кривую в пространстве переменных Р,, Р2 которая должна быть симметрична относительно прямой Р{ = Р2. Это

выполняется при следующем условии:

1-—7 Бт2а• — = (1- —— ]со52а с1а V о с1а)

(51)

Подставляя в выражение (50) в условие (9) с учетом условия изотропии (51) получаем условие разрушения в виде

Р2 + Р2 -2УР1Р2 + 2а0ЗД(1 - Р)(Р, +Р2) =

Ъ2ц Гэф(а) 1-у-(1 + 2Ыа)

(52)

СГ + 1)*

1-Ь1 /а2

Р2

71 а + — 2

Р]

к 2 Ь

С______"" .а

Р1

Рис. 4. Схема нагружения пластины при образовании дефекта эллиптической формы

Здесь введены обозначения / , (а) =—[у(а) • а ■ Е(д)]

с1а

, (ь лъу, \ъ \<я> ьаъ

\а аа К 2 а 2 аа а аа

-1

= 1 -у (а)

, ьаъУ, 1 ь 1 ¿ь ъаь'

1 +--1 + — +--+--

ас1а)\ 2 а 2 ¿а ас1а.

1+±Ь+1с1Ь + ЬМ V' \-у(\ + 2Ыа) 2 а 2 с/а ас1а I \-Ь21а2

Предполагая в уравнении (52), что для каждого материала существует характерный размер образовавшегося дефекта а = а* = const при любых комбинациях пределов прочности в пространстве главных напряжений Р\,Р2, с учетом равенств (53) и условия Ыа« 1 (разрушение сопровождается образованием трещины) получим макроскопический критерий хрупкого разрушения (предельную кривую) при однократном статическом нагружении

Р' + Рг -2v.PrP2+ 2а()Тпк[(1 - г.+Р2) =

= 32//(1 -у.) Уэф{а.) (54)

Qf+l);r а.

Здесь уэф (а) = а^ 5 Vt = у (а.), а, - представительный размер

da

макрочастицы материала.

В соответствии с постулатами А.А. Ильюшина и Д. Друкера кривая разрушения должна быть выпукла из выражения (54) находим, что v. е (—1,1). При таких значениях v. кривая (54) представляет собой эллипс в пространстве главных напряжений Р, и Р2.

Заметим, что если положить v, = к, = v при плоском напряженном

состоянии и v, = к, = V при плоской деформации, то после

1-v

преобразований выражение (54) принимает вид

+^2)]} = Ма<)> (55) A1-Vi) l2ii J

где Et=E, а01=а0, v, = v для плоского напряженного состояния и

£ к

=-5-, a01 =a0(\ + v), v, =-для плоской деформации.

1-v 1-v

При таком допущении относительно значения v» в критерии (54) выражение в фигурных скобках представляет собой удельную внутреннюю энергию тела без дефекта. Тогда, приращение высвобождающейся внутренней энергии U при образовании дефекта в соответствии с моделью (В) пропорционально внутренней энергии тела без дефекта с коэффициентом пропорциональности, зависящим от характерного размера дефекта а*. Отметим так же, что данное допущение не противоречит условию v„ е (~1;1), поскольку коэффициент Пуассона v g (0;0,5) для известных хрупких материалов.

Поскольку величина v, = v, является физико-механическим параметром материала, то можно предположить, что v(a) = v,для всех а.

Тогда, переходя в первом уравнении (53) к новой функции и = Ыа, а>О, О < V < 0,5, получаем уравнение с разделяющимися переменными

йа = (\-ух)-2ухи а 2[у,м2 +

решение которого при условии Ь(а.) = Ь. имеет вид

b а

(1 -v,)±

(1 -vxf ~4v\+4vx

tí

/1 ч b*

—a—vi)—+v,

'í^T^v1^ "i;— i о, а.

2v,

Исходя из условия —«1 в этом выражении перед радикалом следует а

выбирать знак минус. В п. 4.3 проводится сравнительный анализ критериев хрупкого разрушения для моделей дефектов в виде математического разреза и в виде достаточно узкого эллипса. В п. 4.4 исходя из условия изотропии (51) рассматриваются соотношения, позволяющие определить положение трещины, относительно направления действия главных напряжений. Записывая условие (51) в виде

Ьс1Ь

1--

tg 2а da ■

^da, а{а)Ф~ ЪЛ 4

откуда при — «1, получим

i

|cos2a| = -^-, a>at>0

а(а) =

1

—arceos—

к - arccos-

7Г

О <а<~ 4

к ^л — <а< — 4 2

(57)

Как следует из решений (57), независимо от комбинаций критических напряжений Рх и Р2, соответствующих точкам, лежащим на кривой разрушения, трещина всегда будет ориентирована или перпендикулярно к линии действия растягивающего напряжения, или вдоль сжимающего напряжения. В п. 4.5 получено условие не смыкания берегов трещины, при

выбранной ориентации трещины, относительно направления действия главных напряжений.

~ = +1) < - «1 (58)

4// д

Здесь Л - предел прочности при всестороннем сжатии в условиях плоского напряженного состояния и плоской деформации соответственно.

Отметим, что величина -2Р*1Е{ в выражении (58) для известных хрупких материалов значительно меньше единицы.

В п. 4.6 построен критерий хрупкого разрушения, при образовании дефекта в форме гипоциклоиды (астроиды). Такая форма дефекта может физически соответствовать хрупкому разрушению материалов, в следствие образования пор различной формы. В п. 4.7 рассмотрен макроскопический критерий хрупкого разрушения, при образовании случайно ориентированного дефекта (трещины) с равномерной плотностью распределения ориентации трещины, относительно направления действия главных напряжений. В п. 4.8 предложенный критерий хрупкого разрушения распространяется на случай разрушения при статической усталости. В п. 4.9.1 проводятся теоретические и экспериментальные оценки физико-механических параметров предельной кривой. Параметры кривой разрушения явно зависят от температуры тела физико-механических свойств материала и геометрических характеристик дефекта. Показано, что для построения предельной кривой достаточно получить из экспериментов пределы прочности материала на осевое сжатие и растяжение при заданной температуре опыта.

, ( Рт+Рт

^ а0Т0к1 ^ а также имеют место соотношения

+ ^ = -2а0Т0 (1 - V. )к, , Рт+д ■ Рт~о = -32Д1 - п )уэф [л{% + 1)а. ]"' (60) Отметим, что первое и второе равенства (60) позволяют определить

у ,

величину —через критические напряжения Р ~ и Р~

р\-р2~ (П, + Рт6 Ь +рг)+р{- РЪ, = 0 (59)

а«

Гэф ^ Р^-Р^Х + У ^ аМ% + \)к, Р;а-Рг„

а. 32^(1 -V.) 16 м Рта + ?т~0

Если предположить, что v. = v, = v при плоском напряженном состоянии и у, = v, = —— при плоской деформации, то для построения предельной

кривои достаточно нанти из эксперимента предел прочности только при растяжении или только при сжатии, при заданной температуре опыта.

Р2 + Р22-2УхР,Р2 +2а01Г0£,(Р1 +Р2)-Р;о(2«0,Г0£1 + Р;„)=0 (61)

при этом

Рг; + Р7; = -2а0Т0Е1 , Рг; • Рг; = -4Е,(1 -^М®')-1 (62)

1-

где ЕХ=Е, а01 = а0 для плоского напряженного состояния и Е{ а01 = а0(1 + у) для плоской деформации.

В этом случае для построения предельной кривой (61) достаточно определить из эксперимента предел прочности только при растяжении Р^ . Аналогичное выражение можно записать, если определить из эксперимента Рт . Однако, эксперименты на простое растяжение более просты и

достоверны, чем на сжатие.

При принятом предположении вторая формула (62) имеет смысл физического соотношения между физико-техническими параметрами материала Р^о, Р^о, Е, V и температуре Г0. Это соотношение должно

выполняться для материалов в хрупком состоянии и может быть проверено экспериментально.

Из формулы (62) следует также соотношение

Гзф __ Рт, • Р~т* ___ К (2а0М + Р+ е. 4£,(1 - V,) 4Е1(\-у1)

(63)

Исходя из условия не смыкания берегов трещины (58) получено 2о0)Т0

1-1/,

1 +

1

1 +

а0\Т(>Е\

1+-

рт

Iо

<—«1 а»

(64)

В п. 4.9.2 сформулирован макроскопический критерий хрупкого разрушения в общем случае однородного напряженно-деформированного состояния. Используя представление первых двух инвариантов в плоской задаче теории упругости

I =Р + Р= Р+ Р т = Р.Р=Р+Р-Р2

■Мст 11 т г2 г11 т г22 2а 1 2 11 22 -М2 >

макроскопический критерий (59) записывается в виде

(ри +р22)2~2(1 + у,)(рир21 -р4) + «0гл(1-^Хр„ + Р22)=

Ъ2ц{\ -у.) Уэф (х + 1)л- а.

Выражение (65) допускает геометрическую интерпретацию. При V* е (-1,1) предельная поверхность (65) представляет собой эллипсоид в пространстве переменных Р\\,Р21,Р\г-

Аналогично, из критерия (61) получаем

(Рп +Р22)2 - 2(1 + v,)(Р,,Р22 - Р,2,) + 2атТ0+ Р21)-

(66)

-р;о(2«0ад + р;о)=о

В частном случае при Р,! = Р22 = 0 из выражения (66) получаем связь между пределами прочности при действии касательных напряжений (чистый сдвиг) |р,2 | = |-Р|2| и пределом прочности при одноосном растяжении Р^о с учетом линейного коэффициента теплового расширения а0, модуля упругости Е и коэффициента Пуассона у.

РГ+(2адГ0Е, +РГ+) р± = + ^ 001-V (67)

В п. 4.9.3 проводится теоретическая оценка критического размера дефекта через параметры структуры зернистых материалов. Тогда из формулы (63) можно вычислить эффективную удельную энергию образования трещины,

Р*-Р;л Рт¥(2ааТаЕ, + Р;)я (Л I—^-

г =--г° г° 001----— ул К ■ К (68)

' ф 4Е,(1 — V)) 4Е,(1-у,) Ау/ ' "

в зависимости от макроскопических физико-механических параметров материала ай, V, Е, Р^, Рг~ и температуры Г0, а также в зависимости от

макроскопического параметра структуры зернистых материалов с1, субмикроскопических параметров структуры Ку, Кы, характеризующих тип

кристаллической решетки и заданной точности расчета А у/.

В п. 4.9.4 сопоставлены теоретические и экспериментальные данные (пределы прочности и физико-механические параметры) для ряда хрупких материалов (серые чугуны, порошковые пластмассы, гранит, известняк). Для указанных материалов построены предельные кривые. В Таблице 1 представлены экспериментально определенные физические и механические свойства серых чугунов при Т0 = 293('К. Предел прочности на растяжение Р+ и линейный коэффициент теплового расширения а0 регламентированы

ГОСТ 1412-85. Первые значения предела прочности на сжатие Р~, предела прочности при чистом сдвиге Рп и коэффициент Пуассона у' не регламентированы указанным ГОСТ и получены экспериментально. Значение секущего модуля Е' = Е выбрано с учетом отклонения закона

деформации материала от закона Гука, где Ер секущий модуль упругости

при одноосном растяжении. Вторые значения в Таблице 1 вычислены из теоретически полученных формул для плоского напряженного состояния (62), (67).

Р+ +Р~ =-2яг0Г0£"

Рп=±

или

Е' = -

Р*+Р' 2 а0Т0

У =-

1 +

Р*Р~ 2(1 + У)

Р+Р~

2 Р2

(69)

(70)

Тогда, выражения (69), (70) позволяют вычислить средние значения Е' и у' если слабо нелинейный упругий материал заменить линейно упругим.

Марка Р\МРа Р~,МРа МРа £",СРа У, =У' «о-Ю6, 0 к-1

СЧ 15 150 630/600 194/189 82/86 0,256/0,254 8,90

СЧ 25 250 900/890 300/296 105/109 0,269/0,270 9,50

СЧЗО 300 1000/1040 355/350 125/120 0,275/0,276 10,5

СЧ 35 350 1200/1250 400/412 145/140 0,285/0,286 11,0

Таблица 1. Физико-механические свойства серых чугунов. Из выражения (64) для плоского напряженного состояния получим:

Ь.

2 а0Т0

1-у'

1 + .1 + —--- 1 + -

«0 Т0Е'

2 а0Т0Е'

< —«1 а.

Тогда, например, для серого чугуна СЧ 25 (Таблица 1) оценим значение Ь,/а, как

1 Ъ. .

— < — «1 55 а.

На рис. 5 показаны предельные кривые (61) для серого чугуна при плоском напряженном состоянии,

Р? +Р22 - 2у'РхРг +2а0Т0Е'(Р1 +Р2)-Р+ (2а0Т0Е' + Р+) = 0 имеющего свойства приведенные в Таблице 1.

Рисунок 5. Предельные кривые для серых чугунов.

1-СЧ15,2- СЧ 25, 3- СЧ35; • экспериментальные значения.

Эффективная удельная энергия может быть вычислена из выражения

(68), которая для случая плоского напряженного состояния при Е = Е', v = v' имеет вид:

где

(Л

а.=^к\кш (72)

Ау/ у

Используя выражения (71), (72), были вычислены структурные параметры для серого чугуна узф (Таблица 2).

сМ0Ам Ау/ гас! а, ■ 104л/ уэф ■ 10'2 Дж/лГ 2д./с/ 2,0 0,28 5,42 5,82 5,42

Таблица 2. Структурные параметры и удельная энергия образования трещины для серого чугуна СЧ-15.

Значения в Таблице 2 были вычислены с учетом ферритной структуры металлической основы чугуна. Серый чугун СЧ-15 имеет кубическую кристаллическую решетку (объемно-центрированную) с периодом (а) = 2,866-Ю"10 м. Параметры симметрии решетки:

*„= 1/4, к =1/4

Средний диаметр зерна с/ взят из ГОСТ 59339-65. Допуск Ау/ соответствует различию в ориентации полигональных блоков сетки субграниц зерен в диапазоне ±8 градусов. Устанавливая значения К/а,, которые удовлетворяют условию несмыкания берегов трещины, и определяя значение 2а, ~ I для заданной кристаллической решетки, мы получим геометрические размеры критической трещины, которые соответствуют пределам прочности материала, заданным предельной кривой.

В Таблице 3 приведены экспериментально полученные физико-механические свойства пластмасс с минеральными порошковыми наполнителями.

Мате- Р\МРа ,Р~,МРа Рп, £,СРа V, =У «о -Ю6.

риал, МРа ок-,

60 190 65,7 8,00 0,33 27,7

пластма 45 170 54,0 7,15 0,33 30,0

ссы

30 150 41,1 6,30 0,33 32,5

Таблица 3. Физико-механические свойства порошковых пластмасс.

На рисунке 6 показаны предельные кривые при плоском напряженном состоянии образцов порошковых пластмасс, имеющих свойства, приведенные в Таблице 3.

Используя данные Таблицы 3 (последняя строка) и формулу (64) для плоского напряженного состояния получим оценку для относительных размеров трещины Ь./а,

1 Ы , — < — «1 16 £7,

В Таблице 4 приведены экспериментально полученные физико-механические свойства гранита и известняка.

Мате- Р\МРа Р",МРа Рп> Е',йРа У1 = V «о-Ю6.

риал, МРа °К~1

гранит 3 175 15,20 37,5 0,14 8,1

извести 2 95 9,11 18,0 0,15 8,3

як

Таблица 4. Физико-механические свойства гранита и известняка.

На рисунке 7 показаны предельные кривые при плоском напряженном состоянии образцов из естественных камней, имеющих свойства, приведенные в Таблице 4. Используя формулу (64) для гранита (Таблица 4), получим:

1 Ь. , — < — «1 89 а.

Р2,МРа

\Р{,МРа

Рисунок 6. Предельные кривые для порошковых пластмасс.

1-60 МПа, 2- 25 МПа, 3-45МПа; • экспериментальные значения.

Рисунок 7. Предельные кривые для гранита и известняка.

1- гранит, 2- известняк; • экспериментальные значения.

В пятой главе рассматривается условие хрупкого разрушения для моментной теории упругости. В п. 5.1 приводятся основные соотношения моментной теории упругости. В п. 5.2 сопоставляется энергетическое условие хрупкого разрушения для двух классических моделей ( модель(А) и модель(В)) образования изолированного дефекта. В п. 5.3 приводится анализ хрупкого разрушения методом Ирвина-Райса-Друкера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые предложены термодинамические условия образования новой поверхности с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан эффективный метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Исследовано термодинамически «полное» условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера.

5. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Определена ориентация трещины относительно направления действия главных напряжений.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дунаев В.И. Модель изолированного дефекта и критерий хрупкой прочности для конечных и бесконечных тел. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 4-ой межд.конф. Ростов-на-Дону.: Из-во РГУ, 1998. с.133-136.

2. Дунаев В.И. Об одном критерии хрупкого разрушения типа Гриффитса. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы докл. Воронеж.: Из-во ВГУ, 1998. с.136.

3. Дунаев В.И. Теория хрупкого разрушения твердых тел типа Гриффитса и макроскопический критерий разрушения. // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. Краснодар.: Из-во КубГТУ, №2. 1998.

4. Дунаев В.И. Двумерные задачи хрупкого разрушения для бесконечных тел с изолированным дефектом. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 1998. №3. с.36-39.

5. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Об энергетическом условии разрушения твердых тел. // Доклады РАН. 2000. т.372. №1. с.43-45

6. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 2000. №3. с.60-61.

7. Дунаев В.И. Определяющие соотношения типа Гриффитса в несимметричной теории упругости твердых тел. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы школы-семинара. 4.1. Воронеж: Из-во ВГУ, 2000. с. 132-135.

8. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион, 2001. Спец.выпуск, с. 64-66.

9. Дунаев В.И. Критерий хрупкого разрушения материалов при однократном нагружении. // Металловедение и термическая обработка металлов. М.: МиТОМ, 2001. №11. с.31-32.

Ю.Дунаев В.И. Задача о хрупком разрушении сферы с центральным дефектом сферической формы при всестороннем растяжении-сжатии. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 5-ой межд. конф. Ростов-на-Дону.: Из-во РГУ, 2001. т. 1.

П.Дунаев И.М., Дунаев В.И. Энергетическое условие разрушения твердых тел. // Механика твердого тела. М.: 2003. №6. с.69-81.

12. Dunaev I.M., DunaevV.I. Thermomechanics of brittle fracture // International Conference "Fracture at Multiple Dimensions", Moscow. 2003. p.19.

13. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Analysis of the thermodynamic conditions for brittle fracture. Acadc'mie des sciences. Published by Elsevier SAS. // Comptes Rendus Mecanique 332., 2004. p.789-794.

14. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Thermomechanics of brittle fracture. // Int. J. of Fracture. Kluwer Acodemic Publishers, 128. 2004. p.81-93.

15. Дунаев В.И., Тугуз Т.К. О влиянии форм изолированного дефекта на макроскопический критерий хрупкого разрушения // Экологический вестник научных центров Черноморского Экологического сотрудничества. Краснодар: 2007. №2. с. 46-50.

16. Дунаев В.И. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар.: 2008. №1.

17. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // Abstracts book XXII Int. Cong, of Theor. and Appl. Mech. ICITAM

2008. ADELAIDE, ISBN 978-0-9805142-0-9 p.244.

18. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // CD-ROM Proceedings ICTAM 2008. ADELAIDE, ISBN 978-09805142-1-6.

19. Дунаев В.И. Анализ энергетического условия хрупкого разрушения на основе подхода Райса-Друкера. // Экологический вестник научных центр Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар: 2008. №4. с.43-50.

20. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Macroscopic Cpiterion for Brittle Fructure of Solids // Proc. of the 7-th EVROMECH. Solid Mechanics Conference 2009. Portugal, Lisbon, p. 117-118.

21. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Macroscopic Cpiterion for Brittle Fructure of Solids // CD-ROM Proc. of the 7-th EVROMECH. Solid Mechanics Conference

2009. Portugal, Lisbon, ISBN 978-989-96264-2-3.

Дунаев Владислав Игоревич

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ № 802

350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

1.1. Уравнения термоупругости для изотропного тела.

1.2. Краевые и начальные условия.

1.3. Некоторые постановки задач теории термоупругости.

1.3.1. Задачи термоупругости в адиабатическом приближении.

1.4. Плоская задача теории термоупругости.

1.5 Применение теории функции комплексного переменного. в плоской задаче теории упругости.

Глава 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

2.1. Основные понятия термодинамики сплошных сред.

2.2. Законы термодинамики для термоупругих тел.

2.3 Термодинамические соотношения для твердых тел с учетом. образования новых поверхностей.

2.3.1 Основные гипотезы и предположения.

2.3.2 Законы термодинамики для тела с трещиной.

2.4. Энергетическое условие хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении в изотермическом случае.

2.5. Об энергетическом условии разрушения Гриффитса.

Глава 3. АНАЛИЗ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ОДНОКРАТНОМ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ И ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ.

3.1. Постановка краевых задач для вычисления термодинамических функций в условиях хрупкого разрушения.

3.2. Энергетические условия хрупкого разрушения для двух известных моделей образования изолированного дефекта.

3.3. Некоторые частные задачи для качественного анализа энергетического условия хрупкого разрушения.

3.3.1. Задача об образовании дефекта круглой формы в круглой пластине при осесимметричном нагружении.

3.3.2. Задача о хрупком разрушении сферы с центральным дефектом сферической формы при всестороннем растяжении-сжатии.

3.3.3. Об энтропийной составляющей внутренней энергии для тел, нагруженных объемными силами.

3.4. Энергетические условие образования изолированного дефекта при произвольном статическом нагружении.

3.5. Двумерные задачи хрупкого разрушения для бесконечных тел с изолированным дефектом.

3.6. Условие хрупкого разрушения при образовании краевого дефекта от внутренней границы тела.

3.7. Комплексное представление интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта.

3.8. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта.

3.8.1. Постановка и метод решения задачи.

3.8.2. Вычисление интегралов внутренней энергии.

3.9. Анализ термодинамического условия хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера.

3.9.1. Условия хрупкого разрушения при плоском напряженно-деформированном состоянии.

3.9.2. Задача о разрушении пластины при всестороннем растяжении-сжатии.

Глава 4. МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ И

РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ХРУПКОМ СОСТОЯНИИ.

4.1. Общие понятия о макроскопическом критерии хрупкого разрушения.

4.2. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

4.3. О модели трещины в виде математического разреза.

4.4 Определение ориентации трещины.

4.5. Условие несмыкания "берегов" трещины.

4.6. Критерий хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта, характеризуемого только одним параметром.

4.7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

4.8. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

4.9. Теоретические и экспериментальные оценки физико-механических параметров кривой разрушения.

4.9.1 Идентификация макроскопического критерия хрупкого разрушения.

4.9.2 Макроскопический критерий хрупкого разрушения в общем случае однородного напряженно-деформированного состояния.

4.9.3. Теоретическая оценка критического размера дефекта через параметры структуры зернистых материалов.

4.9.4 Сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

Выводы.

Глава 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАЗРУШЕНИЯ С УЧЕТОМ МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

5.1. Основные соотношения моментной теории упругости.

5.2. Энергетическое условие хрупкого разрушения для двух моделей образования дефекта.

5.3. Анализ условий хрупкого разрушения твердых тел с трещиной.

Актуальность проблемы

Построение физико-математических моделей в теории прочности и разрушения твердых тел представляет наиболее актуальную проблему механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и ее приложений в технике. Исследования хрупкого и квазихрупкого разрушения занимают центральное место в решении этой проблемы, поскольку именно этот тип разрушения реализуется в многочисленных практических случаях. Одним из наиболее актуальных направлений математической теории хрупкого разрушения является обоснование концепций для вывода предельных условий (критериев), которые определяются "интегральными характеристиками процесса разрушения. Эти обоснования приводят к необходимости термодинамического анализа условий хрупкого разрушения и развития эффективных математических методов решения краевых задач МДТТ для вычисления интегральных значений термодинамических функций, входящих в условия разрушения. Несмотря на значительные успехи исследователей в этой* области, начиная с основополагающих работ А. Гриффитса, в последние десятилетия существенно расширился круг проблем и некоторых не решенных задач. Исследованию этих проблем и задач посвящена эта работа. Главный вклад в создании математической теории хрупкого разрушения на основе МДТТ принадлежит А. Гриффитсу, который в двух основополагающих статьях, опубликованных в 20-е годы прошлого столетия, впервые предложил энергетическую модель хрупкого разрушения. Идеи, изложенные в работах А. Гриффитса, породили многочисленные теоретические и экспериментальные исследования в области хрупкого и квазихрупкого разрушения. Наиболее полный обзор этих исследований, выполненных в период до 70-х годов прошлого столетия, содержится в семитомном издании «Разрушение», опубликованном в США под редакцией Г. Либовица. Для исследований выполненных в настоящей работе наибольший интерес представляет том «Математические основы теории разрушения», библиография приведенная в.этом томе и, особенно, три основополагающие работы Дж. Гудье-ра, Г.Си и Г. Либовица, Дж. Райса. В 1998 году Г.П. Черепанов (Fracture, A Topical Encyclopedia of . Current Knowledge, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA) изложил свой взгляд на состояние проблемы хрупкого разрушения и опубликовал избранные статьи известных зарубежных исследователей (G.A. Maugin, T.Yokobori, T. Nishioka, G.С. Sih, H. Liebowitz). Многие отечественные и зарубежные ученные внесли свой вклад в развитие механики хрупкого разрушения. Аналитические И' численные методы решения краевых задач МДТТ, которые используются для исследования концентрации напряжений в деформированных телах с дефектами, были всесторонне изучены в работах В.И. Арнольда, В.А. Александрова, А.Е. Андрейкива, H.H. Афанасьева, В.А. Бабешко, Г.Г. Ба-ренблатта, Н.М. Бородачева, В.Г. Баженова, A.B. Белоконя, B.C. Владимирова, И.И. Воровича, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, И.Г. Горячевой, A.M. Гузя, JT.M. Зубова, В.В. Калин-чука, Д.М. Климова, A.A. Каминского, М.Я. Леонова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.И. Моссаковского, В.П. Матвеепко, Н.И. Мусхелишви-ли, Ф.А. Макклинтока, В.В. Новожилова, Л.В. Никитина, И.А. Одинга, В.З. Партона, В.В. Панасюка, О.Д. Пряхиной, Б.Е.Победри, Г.Я. Попова, Л.И. Седова, М.Г. Селезнева, A.B. Смирновой, C.B. Савина, А.Ф. Улитко, И.Б. Уолша, Г.В. Ужика, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина и др.

Следуя энергетическому условию хрупкого разрушения А. Гриффитса для оценки прочности и разрушения хрупких материалов, на основе полученных решений краевых задач МДТТ для твердых тел с дефектами (трещинами) предложены эффективные методы вычисления энергии, высвобождающейся при образовании дефекта, особенно, с использованием так называемых коэффициентов интенсивности для модели дефекта в виде математического разреза. Однако, обще известно, что условие А. Гриффитса не применимо для оценки прочности* и разрушения хрупких материалов при сжатии, т.е: как раз в той области напряженно-деформированного состояния материала, где целесообразно и использовать, его высокие прочностные свойства. Отношение между прочностями при простом сжатии и растяжении по абсолютной величине, в частности, для горных пород колеблется от сорока до ста, для чугуна оно равно, приблизительно? трем-четырем, для органических стекол (полистирол, порошковые пластмассы) оно равно от трех до пяти. Однако, в соответствии с энергетическим условием А. Гриф-фитса, для задач о разрушении хрупких материалов при одноосном и двухосном-равномерном, растяжении (сжатии)-пластинки, при образовании» изолированного дефекта (развитии дефекта) пределы прочности при растяжении и сжатии одинаковы.по-абсолютной величине. Этот результат противоречит экспериментальным данным практически для всех материалов в, хрупком состоянии.

Для создания макроскопического критерия хрупкого разрушения материалов при сжатии А. Гриффите отказался от энергетического подхода к разрушению. Он рассмотрел задачу о двухосном сжатии главными напряжениями упругой пластины, ослабленной случайно ориентированной трещиной в виде «узкого» эллипса, большая полуось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При этом он предположил, что разрушение при сжатии происходит в точке на контуре трещины там, где нормальное растягивающее напряжение, направленное вдоль контура эллипса, достигает критического значения при растяжении (гипотеза «нормального отрыва»). После вычислений, А. Гриффите получил соотношение между прочностями на сжатие и растяжение по абсолютной величине равное восьми для всех материалов, что также противоречит, в общем случае, экспериментам. Эти недостатки энергетической теории хрупкого разрушения А. Гриффитса не были устранены в работах Ф. Макклинтока и И. Уолша, которые предположили, что трещина при сжатии закрывается и между ее поверхностями возникает трение скольжения. Однако, эти же авторы показали, что для объяснения с помощью этого предположения превышения прочности на сжатие по сравнению с прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях скольжения должен быть неправдоподобно большим.

Энергетический подход к хрупкому разрушению был обобщен в исследованиях основанных на термодинамике. Однако, в этих исследованиях авторы не привели фундаментальных физических и математических предположений из которых следует условие А. Гриффитса. В этих исследованиях необоснованны физические гипотезы и математические допущения, на основании которых приращение энтропийной компоненты внутренней энергии, входящей в первый закон термодинамики, было «априори» положено равным нулю.

Цель исследования

1. Постановка1 термодинамически «полных» (с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии) условий разрушения при образовании и движении дефекта (трещины). Учет энтропийной составляющей в задачах хрупкого разрушения является основной целью данной работы. с

2. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии для. двух известных моделей изолированного дефекта. Анализ и обобщение предложенного энергетического условия, применительно к указанным моделям образования изолированного дефекта, а также в случае образования изолированного дефекта при произвольном нагружении внешней границы тела.

3. Разработка эффективного метода вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании (развитии) дефекта (трещины) на основе комплексного представления этих интегралов.

4. Анализ предложенного термодинамического условия хрупкого разру-рушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера. Исследования асимптотического подхода при вычислении интегралов высвобождающейся внутренней энергии (энтропийной составляющей) в случае образования трещины в виде математического разреза.

5. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Определение ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений. Сопоставление экспериментальных и теоретических данных.

6. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Разработка макроскопического критерия хрупкого разрушения для случая статической усталости.

8. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

Научная новизна

В соответствии с целями диссертации научная новизна состоит в следующем:

1. На основе анализа соотношений термодинамики необратимых процессов получены энергетические условия образования новой поверхности (дефекта или трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии. Первое условие представляет собой первый закон термодинамики, второе-условие указывает на необратимость процесса разрушения и представляет второй закон термодинамики.

2. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта криволинейной формы на основе комплексного представления интегралов внутренней энергии и решения плоских задач теории упругости через две функции комплексного переменного.

4. Получено термодинамически «полное» условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера для геометрической формы трещины в виде математического разреза. Показано, что для вычисления энтропийной составляющей внутренней энергии необходимо учитывать, кроме первого, также и последующие члены асимптотики решения соответствующей задачи теории упругости, в окрестности конца трещины.

5. Получен макроскопический критерий прочности и разрушения для твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом на-гружении и постоянной температуре. Предложено условие для определения ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений для изотропных тел.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

8. Выведено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

Научное и практическое значение результатов работы

Полученные энергетические условия хрупкого разрушения и макроскопический критерий разрушения твердых тел в хрупком состоянии могут быть непосредственно применены для решения инженерных задач о разрушении материалов и конструкций.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается применением соотношений термодинамики необратимых процессов, краевых задач МДТТ, а также проверкой полученных результатов на частных задачах, допускающих точные решения.

На защиту выносятся:

1. Термодинамическое условие образования новой поверхности (дефекта, трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Энергетическое условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирви-на-Райса-Друкера, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

5. Макроскопический критерий прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

6. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998г), на V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001 г), на Международной конференции «Fracture at Multiple Dimension» (Москва, 2003 г), на XXII Международном Конгрессе «Theoretical and Applied Mechanics» (Adelaide, 2008), на «7-lh EUROMECH. Solid Mechanics Conference» (Lisbon, 2009г), на конференции получателей грантов регионального конкурса «Юг» РФФИ и администрации Краснодарского края «Вклад фундаментальных исследований в развитии современной инновационной экономики Краснодарского края» (Проект №08-01-99014, Краснодар 2008-2009г), а также на семинарах института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые предложены термодинамические условия образования новой поверхности с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан эффективный метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Исследовано термодинамически «полное» условие хрупкого разрушеI ния на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера.

5. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Определена ориентация трещины относительно направления действия главных напряжений.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872с.

2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Из-во МГУ, 1990. 310с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т.1. 1976. 535с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567с.

5. Можен Ж.А. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991. 560с.

6. Фрейденталь A.M. Статистический подход к хрупкому разрушению. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.616-645.

7. Ильюшин A.A., Ленский Б.С. Сопротивление материалов. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит., 1959. 371с.

8. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1966. 555с.

9. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Analysis of the thermodynamic conditions for brittle fracture. Acade'mie des sciences. Published by Elsevier SAS. // Comptes Rendus Mecanique 332., 2004. p.789-794.

10. Эринген A.K. Теория микрополярной упругости. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.646-751.

11. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.521-615.

12. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с. 13-82.

13. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.83-203.

14. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.204-335.

15. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наукова Думка, Механика разрушения и прочность материалов. т.2. 1988. 618с.

16. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Энергетическое условие разрушения твердых тел. // Механика твердого тела. М.: 2003. №6. с.69-81.

17. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения. //Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.336-520.

18. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. // Philos. T. Roy. Soc. A. 211, 1920. p.163-198.

19. Griffith A. A. The theory of rupture. // Proc. of the 1-st Int. Congr. on Appl. Mech. Delft, 1924. J.Waltman, Jr., Delf, 1925. p.55-63.

20. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640с.

21. Папасюк В.В. а) О разрушении хрупких тел при плоском напряженном состоянии. // ПМ. М.: 1961. т. 1. №9. б) Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова Думка, 1968. 246с.

22. McClintok F.A., Walsh J.B. In Proceedings of the 4-th U.S. Nat. Congr. of Appl. Mech. 1962. рЛ015-1021.

23. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970.253с.

24. Cherepanov G. (Ed.) Fracture, a Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Krieger, Malabur. Fl. USA. 1998. 483p.

25. Bui H.D. Me'canique de la Rupture Fragile, Masson, Paris. 1977. 215p.

26. Sih G.C., Liebowitz H. On the Griffith energy criterion for britle fracture. // Int. J. Solids. Pergamon Press Ltd. Vol 3. 1967. p.1-22.

27. Maugin G.A. The thermomechanics of Plasticity and Fracture. Cambridge university press, 1992. 350p.

28. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256с.

29. Дунаев В.И. Критерий хрупкого разрушения материалов при однократном нагружении. // Металловедение и термическая обработка металлов. М.: МиТОМ, 201. №11. с.31-32.

30. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Об энергетическом условии разрушения твердых тел. // Доклады РАН. 2000. т.372. №1. с.43-45

31. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Thermomechanics of brittle fracture. // Int. J. of Fracture. Kluwer Acodemic Publishers, 128. 2004. p.81-93.

32. Дунаев В.И. Модель изолированного дефекта и критерий хрупкой прочности для конечных и бесконечных тел. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 4-ой межд.конф. Ростов-на-Дону.: Из-во РТУ, 1998. с.133-136.

33. Дунаев В.И. Об одном критерии хрупкого разрушения типа Гриффитса. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы докл. Воронеж.: Из-во ВГУ, 1998. с. 136.

34. Дунаев В.И. Теория хрупкого разрушения твердых тел типа Гриффитса и макроскопический критерий разрушения. // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. Краснодар.: Из-во КубГТУ, №2. 1998.i

35. Лейбензон М.С. Курс теории упругости. М.: ОГИЗ, 1947. 464с.

36. Дунаев В.И. Двумерные задачи хрупкого разрушения для бесконечных тел с изолированным дефектом. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 1998. №3. с.36-39.

37. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т.2. 1976. 573с.

38. Дунаев В.И. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар.: 2008. №1.

39. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255с.

40. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 2000. №3. с.60-61.

41. Dunaev I.Mi, Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // Abstracts book XXII Int. Cong, of Theor. and Appl. Mech. ICITAM' 2008. ADELAIDE, ISBN.978-0-9805142-0-9 p.244.

42. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // CD-ROM Proceedings ICTAM 2008. ADELAIDE, ISBN* 978-09805142-1-6.

43. Дунаев В.И. Анализ энергетического условия хрупкого ^разрушения на основе подхода Райса-Друкера. // Экологический вестник научных центр Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар: 2008. №4. с.43-50. •

44. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: Из-во МГУ, 1975. 527с.

45. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушенияшолимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294с.

46. Dunaev I.M., DunaevV.I. Thermomechanics of brittle fracture // International Conference "Fracture at Multiple Dimensions", Moscow. 2003. p. 19.

47. Дунаев В.И., Тугуз T.K. O влиянии форм изолированного дефекта на макроскопический критерий хрупкого разрушения // Экологический вестник научных центров Черноморского Экологического сотрудничества. Краснодар: 2007. №2. с. 46-50.

48. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова Думка, 1968. 445с.

49. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел (Термо-флуктуационный механизм разрушения). // Вестн. АН СССР М.: 1968. №3. с.46-52.

50. Журков С.Н., Нарзулаев Б.Н. Временная зависимость прочности твердых тел. // Журн. тех. физ. М.: 1953. т.23, вып. 10, с. 1677-1686.

51. Кошкин Н.И., Ширкевич M.Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука 1972. 255с,

52. Оберт Л. Хрупкое разрушение-горных парод. // Разрушение. М. : Мир, том 7.4.1 1976. с. 59-128. /

53. Каин. Р. Физическое металловедение. Вып. 1. М.: Мир, 1967. 333с.56; Китель Ч; Введение в физику твердого тела: М.: Гос. из-во физ. мат.лит., 1963. 696с.

54. ФридельЖ. Дислокации. М.: Мир, 1967. 643с.

55. Либовиц Е. Разрушение; М.: Металлургия, т.6. 1976. 496с.

56. Самсонов Г.В; Физико-химические свойства элементов. Справочник. Киев: Наукова Думка, 1965. 806с.64; Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П; Материаловедение. ,М;: Машиностроение, 1980.492с.

57. Дунаев В.И; Определяющие соотношения типа Гриффитса в несимметричной теории упругости твердых тел. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы школы-семинара. 4.1. Воронеж: Из-во ВГУ, 2000. с; 132-135.

58. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион, 2001. Спец.выпуск, с. 64-66.