Классификационные задачи линейной алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

ки1вський УН1ВЕРСИТЕТ 4м. ТАРАСА ШБВЧБНКА

На правах рукопиау

СЕРГЙЧУК Володимир Васильевич КЛАСИФ1КЩ1ЙН1 ЗАДАЧ! Л1Н1ЙЮ1 АЛГЕБРИ

01.01.06 - математична лог1ка, алгебра I твор!я чиовл

Автореферат диовргацП на здобуття наукового огупеня докгора ф1зико-математичних наук

Ки1в - 1993

Дио8ртац1ею е рукопиа

Робота виконаяа в 1нотитут! математики АН Укра!аи 0ф1ц!йн1 опоненти - доктор $Iзико-матаматичнюс наук,

ПровIдна оргал1зац1я - Санкт-ПатарбурэыиШ ун1вароитег

Захиот в1дбудатьая 22 листопада 1993 року о 14-й годив! на зао!данш спадал! зоваяо! вчано! ради Д 01.01.01 при Ки!воькому ун!вероитвт1 !мен! Тараоа Шавчанка за адрооою: 252127, Ки!в-127, проапект Академ!ка Глушкова б, махан!ко-матоматичндй факультет.

3 диоертад!ею мокна озпайомитиоя у <51бд1отац! ун!варои-тату (вул. Володимираька, 62).

Автореферат роз!оланий /5 жовтня 1993 року.

профаоор ГШВОК П.М.

доктор ф1зшсо-матаматичних наук, профеоор ЗЛВАДСЬКИЙ О.Г.

доктор ф1зико-ыатематичних наук профооор КИРИЧЕНКО В.В.

Вчаний оакратар оп8ц!ал!зовано1 вчано! ради

0ВС16НК0 С.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОьОТИ

Актуадьн1огь гама. В дясс. та'цН розглядаютьоя задач1 про клааи51кац1н оиотем }орм I лппйиах в!добра>кбнь.

1. Слогамагнча-з вавчання оиогвм л1нН1нах ягдображень баре св1 й початок з робота Габр!еля с П, в нк1П вводиться аоняття кол чаяу 1 його зобрааань. Колчан - ор1енто£заииг! гра£. Вважаемо.що зображання колчану задано, якщо з кожною його вершиною оп^тав-ляетьоя он1нчз)шовйм1ряйй веиг'рний лроот!р, з кояною отр!лкою -л1н!йно в!дображеннл з!дпов!дних проогор!в. Габр!вль показав, що зв'язний нолчая, яккй мае сн!нченна чиоло (т1зод4ор1ш1Х нврозклад-Н11Х зображань, л№ла одернати ор1 еа ею ребер схеми Динкхна без крагних зв'язк1в 1 розм1рноог! Його нерозкладних зображвяь оп1в-пвдалть з додатиши коранямл аооц1йовано? нал1впроаю1 алгебра Л».

Л.А.Назарова с 2э I, назалохно, Донован ! $ройол!х tЗJ зна-йшли аналогч ;ну в1дпов1дн1огь м!х нвдикими (тобто такими, що на м!отять в соб| чадачу про клаоиф^а^ю пар л!нШнх опаратор1в

С^'О ) колчана/,1и, як! мають неок1нчэшт чиоло на1зомор.£-

нах нерозкладних зобракень , 1 розшираними охамаш Динк1на.

Й8оаод(ванам атав отраманий В.Г.Кацом С43 опио во!х розм1р-ноотей нерозкладних зобракень будь-якого колчану.

Клао матрачних задач, як! задаютьоя колчанами, надоотатнь^ широкий: явдо привести до канон!чного внгляду одну з матрлць эо бражання колчану ( збвр1гаючимц Я допустимыми ператворанняма приводим !нп1 маг^лц!, то для пах, як правило, отрл'.уемо задачу, що на задаетьоя нодшш колчаном. Тому наобх!дно 1..;вча1и б(льи марок! клаон матрпчндх задач (див.с5э).

2. В!льямсон, Р1м ! Р.С&рлау сб - 7: з ножною негшродхено» б1л1н1йиою формою В оа1вотавали визна^'/вана ; овою

- бггг.и) л)н!Р,на в1добра;5внняб^ .так зваьу аоиме-.Лю, I осюлЬчо-

вн!ать @>1,..., £^ симегричних, або коооо.метрачиах, обо врьитових форм, I довали, ад £орми В { С дыНвалентн! год! I т!льки тод!, як . под!бя1 аоилетрИ , с I попер-

uo окв1Еалентя! в!дло>э!дн! 1м форлш: c1 , ... , ~ Випадок вароджзно! нерозкладно! бШн^но! форма розглянув Габ-р!ель С8з.

Сметами форм розглядалиоь лтаа для пар $орм, коана з яких оиметрачна або косое; этрична, ado ерлнтова. Eiдал! тпмо, що вае задач! про клаап$1кац!ю пар б1л!н!йних форм а ) тр!Яок нвадра--ччних $орм е дикими.

3. Система форм i .niuiilHiix в!дображань визчалиаь, як правило, коли одна а форм визначас о-калярнай добуток.

В нкзц! podii (дав. огдяд Х.Шал!ро с9"3 ) пропонуюгьоя алгоритма зведвнпя до канон{41!ого вигляду матриц! лluIИного оператора в ук!торному npooropi. Отчет салюопрянзних операторов вив-чалиоя В.Л. ^отповськыл i Ю.С.СамоЙленком dOi.

В моиографП В.Иарлау сIIj показано, що клаоиф!кац!я набо-р!в (\/,в, А , ... , А п ), як! окладаються з аевнрод&ено! <5fлI—

hIChoI форма В i оамоолряжеяях лШйшис оператор!» А1 , ...

.... , в rrooTopi зводиться до клааиф!кацН е-

-ер.Лтових форм ! п -нок л!н!йних оператор!е.

Першов зшстобною роботою з дов!льних онохен форм i л1н!Я-нах в!добраяень е сгатгя А.В.РоЯтсра [121. В Hiй д р о к г и м ! н в о л ю т и в н и м колчаном називаеться колчан

О , в якому KOxHiii ввршан! If ставиться у в!дповГ,;я!оть вор-

шина V* , кожнШ oipiflu! J : U —> V - отр!лка i

rr * —» и * , причому V V гг= vы V ~ * Самоопряяе-

н и м зобраавнням талого колчану називаеться зобра-ження, яке з! опряженою вершиною оп!вотавляе спряжений npoorip, з! опряженою огр!лкою - спряжена л!н!йие воображения. 1зомор-фпм ф : А —> В оамоопр....<аних зображень А 1 В аази-

< - i

ваетьоя конгруентн!отю, якщо - *Ргг Для кожко! вершини

V , Показано, що над алгебоа!чно замкненим полем характерио-тпки уь 2 !з !зоморф1зму оамоспряхених зображень вилливае ix конгруентн!огь.

Цей результат таким чином пов'язаний з оиотемами £орм 1 л!-мi Яних в1дображень..

Орохамою назпемо граф з ребрами трьох тип! в: неор!-ентованкми, ор1ентопаними 1 дв 1 чI ор^енювашши (пнгляду *—» ). 3 о б р а ж е н а я м А .¡ахеми в над полем К назйсуо наб!р, якнй оклндаеться з векторпих проотор1в А ( гт - вер-ияна 5 ), л1н1йш«х в!дображень А^ : Аи -»■ А ъ ( :

иV - ор1ентоване ребро), <Ял!н1йннх форм А : А^ »

К . А» г К* А1 -* К ( р: и — V , у :

и'«™* т/ - неор^ентована 1 дв!ч1 ор!ентоване ребра). За ор-

охомою 5 лобудуемо проогий (шязлютлвнш! колчан Б , зам!ниь-

ша коану вершину и пароо ввршип т/ , V * , коше ребро и :

м —* V або р. : и — гг , або Ъ : и <—* V

парою отр1лок ^ : и —» V , и' : 'У*—и", або /?. ;

рг: V або » : «у —-» гт , ; у*

-»и, в!дпо^!дно. Напрпнлад,

и

Б <*

и

гг

¿г*

Очевидно, зобраганням /А орсхеми пов!дають омоспряяон! зобраасеиня Я

А

V

К

взаемно однозначно с -колчану 5 (бШнП!-

вганачае пару вэагччо опряхених

Л ( ? х) £ А * - А '

Л» ' • ' ^ 1Г

гг'

па форма : Аи, в!дображень ; Хе А

: У е ^-.г ^ V ? • * > е = ^ « ' 1зо«ор$к» эоЭра-

кеяня орсхе^м 5 будамо ааэаватп в о " г р у . н т н п ч я, cor.il втдпогЛдягть коягрузнтнм зсбраЕончям колча., 5 .

робота: ареста класп?1кац|г> зобралепь ор.схг;"1 Ъ пчд плоп_К хярактзрастяка * 2 до клясоПкацП л<у5р*\*чнь к'^чэяу S ппд г! и К 1 ер'итггпх 1/1 о" нтд т I ■>^■4,1. „о е скЬ1"ин<?о?ия}рйамп ос? ягтенч тми ««-чт. .• Чгн X ■

- перенести на зобракення орохам закон ¡нерцЛ для квадратично! форма 1 теорему В.Г.Каца про розм!рност! нерозкладнах зо-бражань колчану,

- заотооуватп отрамане зведення до задач про клаоиф1кад1и швюралШйнях *орм, пар ор;.итових форм, оалюопряжених 1 !зома-гричних опаратор!в в просторах з невиродчено» е, Пговою формою, отримати !х канон!ча! матриц} над 1Н1 , € , 1Н ,

- дата апаюг1ч 'з зведення для олмоопрякаппх г бражень л!-н!йно! иатегорЛ з (аволкшею 1 опшграчних зображень алгебр з Ь1Волюц|его,

- отримати алгоритма зведення до канон!чного вягляду маг-риць як звпчайного, т&к 1 унитарного (з вершиною ошватавляетьоя ун!тарная ппоот!р) зображошш колчану, ошюати мнохиду розм!рно-отей I знало п эаметр!в нерозкладних' ун^тарних I евкл!довях зо-брялань колчану,

- перанеоги на поле з дифераицшванням теорему Кронекера про пучок матрпць, довести ^голоморфну окв1валентн1сть "в ;;руз! о»~ отеми л!н!йних д.чфаренцгальнкх р1внянь з мзрол.орфншли коефшен-талг оиотом! з дробово-раШональниш кооф!ц!еятамя.

Ко годика доолгддень. В диоертацЛ використовуються понлгтя I методи Л11пйно1 ачгебря, теорп категорий I теорИ зобратапь.

Наукова новизна I практичпе значения. Результату, отрима-н! в диоартацп, е новимп I можугь бути корисшшн для математика, як! Ц1кавляться питаниями клааифп<ащI в лШЕНий алгебр!, хвор! I эобранеаь, теорЛ груп, теорП дифероашальних р1вняль, а такой при виклзданн! загальних ! спещальних курсив з алгзбри.

Апробац!я робоги. Результата диоертацЛ иеодноразово допо-в!далноь на оам!нар! з георП зобракань в 1нститут! математики АН 'кра!ни, на алгебра!чних се,.лнарах в йпвському, Мооковоькому I Укгсродському уи1вераитвтах, доаов1далаоь або були предотавле-¡11 на "5, 16, 1?, 19 воаооюзних алгебра!чнпх конференц!ях, 5 ! 5 всеооюзних оимлоз!умэх - таорЛ к!лаць, алгебр ! модул!в, но м!хлародних алгебра!чних конфорен^ях в Новосиб1рську ! Барнаул!, а такох'викориотовувалиоь при читали! загального ! опец!-ольного курсив з алгебри в Кшвському ун!верситег!.

Публ!кац! i. Результат диоертацП опубл!ковая1 в роботах С17 - 283.

Обгем ! структура робйти. Диаертащя обоягом 23S oroptHoic машшюшюу. Складасться з! вотупу, трьох роздШв, розбитнх на 14 параграфа. Список л!тератури м!стить .107 найманувань.

змгст дхнртащ!

В паршому р о з д I л i розробл^сться метод клаои-ф!кацП снотем форм i л1н1йних в!дс.;ражень,який базуетьоя на робот! А.В.Ройтера С12J. Основна теорема отримана в § 1 (нумера-ц1я параграфов, теорем ! леи в кожному роздал! овоя).

Заф!коушо т!ло К характеристика yt 2 з !нволюц!ею о*-*

I—* О (як'до К - пола, то !лводец!я /ложа бута трнв1альною).

Зобрахення очными над т!лом К будемо задавата гак само, як ! ран1„е, але неор1еятовашш i дв1ч1 ор!ентованим ребрам будемо ставши у вдаов^ншгь П1вторал1н!йн! форма, над!влп1: hi по пеотому аргументу i Л1Н1ЙН1 по дсугому.Спряжении до простору V

вважаемо npooTip V ва!х нашвлШЯних форм V —» К .

Нвхай Г* - зображвння, { : М —* N - морф!зм ЗОбр -

жань i нзолитивного колчану S . Означимо опряявнв забран о н н я '1 ! спряжений м о р ф i з и

: А/'-^Л?0, поклавша К'К* • М1 ' М>- • ^V ~ ^V * лля во'х В9РШШ1 ^ i отр!лок > .

Заф!коуемо повну систему ¿>?<У( S ; не1зо".г>рфннх нарозклад-них аобратонь колчану S . Коме з.обршг.с пя is cW / S > ,

!зоморфне самоолряхеному, зам!ншдо на самоопряадно, 1х ш<«"чу позначимо ( ^ . В кно.тс:шу ' S ) включило not зо-брэжзння з md ( S ) _ 1зоморфн! опрятному, ала но с.июопрл-гкчому, 1 по одному з koshoI пари I М .' ) - iftdг S \ t tf * Мс * К

За коашим зобраконшш М € ¿пс!^ ( £J визначимо зобрахеп-ня М орохеми Б , поклавши М4 = М ^ св М ^

мя вз (х вершин -у 1 ребер : ^ —► гг , р : и — V ,

г> : и V.

За кокпйм эобраконнлм N <г Г 5 > 1 Кого салюопряжвним

автоморфизмом £ Р" виэначамо зобрахеппя N орохеми S

I 1зоморф1гч д : —поклапша N ^ =■- ,

= ' ( ^ - вориина 5), Л//-» :

- отр!лка В ).

Множила Я лозворог/пх елемент) в к!лын елдолюр^э^в

Л - С-^с// А/ > ' А/е ¿тс10( 5 )) е ¡¡ого радикалом, а тому

1 {N ) - г!ло з !нволюц1ею - ( Я . Для кожного

еламепту 0 / I ^ £ % Т ( М) за>I коусмо пвтомор^зм ^ - -Р /

! визначимо N 1 - . Мпожину { N ( I Р/- - < Т( N > }

назвомо о р б I то» зоб ратания N . Для кояно! £рм1тево1 '{орми

ф/ос)--. х"^ счг, лг," Цх, _ Р;, I. = е Т( А/)

аогптчимо Л/*'*'» Л/1'®...® А/г* .

Ооновна теорема. Кожне яобрпненвл орохеми Б над IIдом К характеристики 2 конгруойтно прям!й оум!

/ ф ... е> М Ф А/ ф ... Ф Д/

*1

Дй

М ■ е ¿»-><У. г ? ' А/ б" ;

/у, АЛ _ и о и J у- у иппма стмя шь

значаегьоя однозначно з гочн!отю до перестановка доданк!в i за, / Iр. / ос ) ., • f ос )

м!ни N. J на А/■ у , де t у. ( > -

j . J 1 J J

екв1валонтн1 ерм!тов! форми над т!лом Т^ ДА >.

Категор!я илях!в на 1нволютивному колчан! S в л1н1йна категор!я з !нволюц!ею, а тому ооновна теорема - чаотинний ви-падок теорема 1.1, в як1й класиф!кац!я э точн!отю конгруент-hoqtî оамоопряженях зобракень jmii.tnol кагагор!I з пшолюц ю зводатьоя до класиф1кацН звнчяйнк зображень ц!е! Kaieropi î t арм!тових форм над т1лами.

Haojjдок (закон 1нерцН для зобршхень орохам). НехаЯ К -одне з таких Т1л:

а) поле £ з трив1альною 1нБ0лэд1ею або т!ло кватарн!-

ohtb IHI ai стандартною ¡нволюц}ею О + 6 I + <J t olê I—*

Q - éi - С j - d & ,

б) поло € з тр.тв1альною !нволюц1ею або Т1ло IHI з нестандартною г'волщ!ею,

а) поле IR .

Тод1 над гiлом К кожнз зображення орсхеми S конгруент-не визнач'^ван1й однозначно з точн!стю до перестановки до£анк1в прям!Я сум1_зображвнь вигляду, в!дпов!дно, ( M s <W\ ( 5 >. fj е 1гн)с г S) ) .

a) M\ N\

b) M■ t Nl t дд i = -f y випадку, коли Ti M > - поле <f з тривгальною !нволюц!е» або т!ло № з ивотглдар-тною 1нволюц1ею, t € { ^, ~ ^ 1 в ус!х !ншах пии-дках.

В теорем! 1.2 тако* розглядаеться в:шадок ск' ченнсго поля К , в п. 2.6 § 2 - випадок « = О .

В багатьох конкрагннх кл аа и i код t йп их задачах рочглядлугьг.я » на во! зображення орсхзмп S , а ляпе так i, то задоао/ьняать пчв-Hi оп!вв!дноп1е|1ня. Ui П13э!дноце:и1Я .w-.^ib ригляд ртюная л!-н! "них ксмб!нац!й вЦобрааекь, як! cnih- .апляятьоя атрМк*»* гол-

чана о . Наприклад, зображення орохем з! оп1вв1дношаннями

ч/О (т)

О V Ор </ = Е" * " (?)

¿рр ^ = с/"/ - еуз'

^ = V /»Г = (4)

( , 5 - елвмвнги центра т!ла К , е! = 5<5 = ± ) в1дпов!дно, -

а) п1вюрал1н1йн1 форма над Т1ло.ч К (орсхема (1)),

0) пари форм, одна з яких £ -срм1това, а друга - & -ер-м1това (орохема (2)),

в) 1зом8тричн( (3) 1 оамоопряхеш (4) опаратори в простор! з невиродканою £ -ерм1тово» формою.

Для зображень орохем э! оп1вв!дношвнаями справедлива_оонов-на теорема, необх1дно г!лька при означеннг множен ¿ис/0 с й ) ,

( в ) обмежуватиоь зображеннями колчану 5 , як! задо-вольнягогь сп1вв1дноазнням 0]>схеми I 1х оп ряжен им < наприклад, сшв-в1дношешш' Ууь = 1 ^ опряхеяе <ш1вв1дношення уз'** - -/ , ).

В § 2 - 3 над полам. характеристики ^ 2 даетьоя класиф1кад1я э точн!отю до клаоиф!кацИ ерм! тових форм над сктн-ченнам розширенням поля К зображень орохем (1) - (4), а також пар п1дпроогор!в в просторах з! окаляр..лм добутком (вони

в1дпов!дшоть зобрахенням орсхеми ^^'О71 .

Наведено отриману клаоиф!кац1ю для орахема (1) (для 1нших орохем зона аналог1чна).

За многочленом -Г(ос)= зс" + . + ап е К »

визначимо многочлен - а^* (ав + ос +... > о^^ для

кл1т/ни Фробен1уса над полем К через 7-ср1Х> ' Рср'Х) позначнмо характернотичний многочлен I його незвЦн д1лышк, через <Р - ф! ксовану невиродкену матрица, яка вдоволыше умо-

^ ^ V

¿У ф = Й3 . (в георем! ¿Л отримано И вигляд I умови ¡с-нування: ' ~ '1,якщо 1иволюц!я на К трнв1а-

льна, то. ос- >.

Дема 2.2. Нехай р(эсу - незв1днш! шюгочлен

отепеня 2 "г. або 2 ч ■+ 1 над полем К . Тод| кожннП на-рухомий елем^нт поля К К Сл-т/рсх > з Ь1волюц1ею

-Р (о* - Лл'г'оже бути представлений единим чином у вигл/ш ^ > .Да

^сос) = 4-... + аи * -х , (5)

ао , .... , е К , причому у випадку с1еур,.,>,

- 2 *г ваконуеться умова: якщо {нволюцЫ на пол! К т;

в!альна, ю = О ; якщо ж нетрив1альна, то а^ - а^ при

р/0)1 V, ^ = - а,г при

Теорема 2.1. 3 ск!аченновим1риому векторьому проагор! над

полем К характеристики ^ 2 для кожно1 д!пторал1нЬи|о! Iср-ма знайдеться базио, в якому II матраця е пря/ль ."-.'ма сл-.гриць отупнах тап!в:

1) внродаена клхтина ФробеШуоа, ¡0 £ \

2) ^ } , де - невироджана клггича у-

оа, для яко! не 1снуе ■ , кл^ини <Р I С о/.«с го

розм!ру,

Si

3) Cpc^ftp) , да С^ГОС) О вигляду (5).

Доданка визначагатьоя з такою точшотю: типу 1) - однозначно,

типу 2) - з T04HÍ0TD до зампш клхтини Я3 клттиною Фробешуоа , де % 'Х) - ^^ < ocj ,

типу 3) - з точн1оты до зам!ни во leí групи доданк1в

yv jÇ-

Ф з од.^аковою кл1 тиною Ф на ф (Ф) ,

Да У~ i^ 1 У~ \ (ъп - акв1валвнтн1

erMÍTOBi Форми над полем Kf^ey- Ксос^/р rx>3 1нволюц1ею

fr^e = г f^í'1 ) • Зокрема, якщо К - алгебра!чно замкне-

на пола з трив1альною ¡нволгошею, то доданки типу 3) можна взяти

piBHiiMH V . Якщо ж К - алгабраГчпо замкнена поле з нетри-в!альцою !нволюц1ею або д!йоне замкнена поле, то доданки талу 3)

/N

можла взяти р1вними ± . Так! доданки за п1вгорал1н!йною

фор ">ю визиачаютьоя однозначно.

В ¿ 4 отримана клаоиф!кад!я зображань орохем (Î) - (4) над tí лом кватврн!о!пв. Зокрема, для зображань орохеми (1) доведана

Теорема 4.1. Вкладамо поле € в т!ло IHÍ тш</"м чином,.

щоб ф!коована в IHI 1нволвд1я д!яла на L опряженням. В

о к1нч а нловии i рному npooTopi над H для koiího! niBTopaniHiñHOí форма знайдотьоя базио, в якому !î матриця е пряма оума матриць такого вигляду: в

Î) вироджена клттина «Гробенгуса ,

2^ (çp q j » де ~ KJIÍTJ1Ha Фробен!уоа над полем Í

з алаонпм числом ^V, = Q +■ ^ <- < ё > О , ' \ > 1,

3) £ Ф , де ¿P - -.ni тина Фробен' оа над полем С 8 олаошш числом = Р + ¿ <•' . ^ % 0 > I = , причому е = i 4 при отяндартнШ 1нволюиН на M , i е = -/ при нестандарт-

л!й !нвал»цЯ. Пряма о ума за п!вторал!н!;!ло!0 Формою виэначазгься одчозаачно з точн1отю до перестановки додашив.

В § 5 проводиться клаоиф!кац!я б!л!и!йиях *орм над алгебра-Гчно замкнсним полем характеристики 2. Покаь^но, но над' таким полем для кокно! 61лШйно1 форма энаЯдетьоя базио, в яксму II матриця мае вягляд

/С Е\ [О £\ л ,

ур, о/ о) '

де Ф , У- - невиооджоя! клттини Еордана, Ф- ^ для

* Я к <7

т\х I,] , Эд - вяроджена клттина дордааа. Така пряма оу-ма за б!л!ц!йною формою визначаеться однозначно э точа!отю до перестановки додавав 1 зам!пи в клттиш ¿Р- ал ас них чисел

Л на Иатряця У - ф!ксован.'1л розв'язок р!внлння

X - ХТ ^ I }снус т-д! I т!льки год!, коли Vх непарного розм!ру з влас ним числом 1 .

В § 6 вивчаготьоя зобрачшшш орохем з1 сп!вв!даошеннлма ви-гляду ^ = е °< * Сабо з пусид множиною сп!вв!днопень), де ее { при тривиальны 1нволюц!Г на поле К , £ = ^ при нетрив!алып;1 !лволхщП. Сл!вв1дношення с/= е«'* будемо задавай, розм!отявпт в петл! </ число € , так! орсхеми б; ;емо називати в I д м ! ч в н а м и. Множину вершин орсхеми 5 будемо позначати 5 , множину ребер - С>1 . Орохему 3 на-звемо ручною, якщо I! колчан з! сп!вв!даопеннями в ру-чний»

Формою I I I о а в!дм1чеяо1 орсхеми 5 наз змо квадранту форму

да ы , ^ 2 - вериани, з'едяувал! ребром л <? <~>1 , £ = / при пеп!дм!ченому «< , £ ,, - -'.'г ¿ри в!дм!чепо-

му Л (тобто ).

Теорема 6.1. Для эв'язно! в!дм1чено5 орохема гак! умова р1внос!1яья1:

1. Орохема мае ручнай г ад.

2. 5орка Turca орехе мл невц;' емно означена.

3. Орохема отрадуеться шляхом opteHiaqil ребер в одн!й 3i охем Динк1на А п , , £6 , В , £" , розашрених схем Дшшна А „ , Dn , Е ¿ , Е7 , Fs , або в одн1й 3i охам

.—.—• • .—•—<Г7) (6)

\----------.-<<7) (7)

Г

(±т>—«—• •• ■ •—•—<£i) (в)

Р о з м I р н i с i ю зображваня Л орохема S назвало вектор (d¿m Л ) с . Коранам ручно! в}д-

V <~ о 0

м1чено! орохема S назвемо иенульовай вектор z - (zv ^.э

Шлсчаслорчми нев!д' емнлма коорданатащ i такай, що vp rzj í < , а кщо 5 огримуехься шляхом орЮнтацП охема (7), то 2 Ф- (О , й, с,... , с ) t да о _ непарно число, 6-QH,

с - 6 ± 1 . Типом кореня z назвемо число ф <'.z), воно (". :е дор1шь,зати т!лыш 0, 1/2, 1. Кножана tW^ ' S j, ¿fd^rS) ввакаемо ф1кооваш1ма. Зображоння N + ( М е / 5 ) ) назвемо к р и х к и м и.

Теорема 6.2. Нехай К - поле Характеразтаки ^ 2, S ■• ручна в!дм1чзна орохема.

а) Якио ^ - nciiib типу I, ю iciwe точно о дне кряхке г<обра*ення роам1рноот1 z i немае ор">1т яоэрамнь роз-

MtpHOOTi z ,

б) Якщо Z - Kopinb типу 1/2 , то e точно одна крике зобраяеняя розм1рноот! 2 i або л точно одна орб!та зебра-жень роз1.йрноот1 z , або а (лиие для орохем м!ткох>- 1) точно одно кряхка эображеняя рози!раоот1 2 г .

в) Якщо z - KOplüb типу 0 , то е хоча б одно крпхкг зобрамння розм!рност! «_ i можуть бута opötia зобра^ень роз-MlpHOOTi z •

г) Bot крихк! зобраиення i орб!тп зобразеиь орехами 3 парераховая! в пунктах а) - в).

В пл. S.2 - 6.3 § G noBufoiK) перарахован! крпхк! зобра-яшння i opöfra зобрааднь ручних в!дм!чеппх охам.

В § 7 теорема З.Г.Каца про ррзм!рнос*1 неро'зкладяях зобра-г.ень колчану узагальнюетьоя па орехеми без сп!вб!дпомнь. Через

ч.е г ' ¿/у . с Л ( Ь ) i А ± < э 1 позначщ.ю мнояана дод^пшх д1"онпх I

додатнях уявних корен!в гра<1а S ,

Теорема 7.1. Hexaft К - алгебра?чно замкнено пола характеристика -ф 2 , S - ор.хема боз сп!вв!дношень, z = = ( ')Ve 5 - вектор з нав1д' синими ц!лсчяолова\ш кое-J} агентами. Тод!

а) для Z ф f ^ilI на 1снуе нерозклочдяо-го зобраяеняя розм1рност! z. ,

16 tr

б) для z. ел * < -з ) iciiye едина з точн1отю до кон-груентноот! нероз-ладне зобра-хення розм!рноот! z ,

в) для z «г ¿ь1'" ( S ) ¡снують хоча б двя некс.^руентнпх нарозкладпах зобпя?ень розм!рноот! .

В § 8 вивчаються зобраченяя if : А —»■ End<" 1/> ал-гебря Л з !нволюц!ео над полем К олораг ами векторного

проотору V над К з! скалярним добутком, чо задаетьоя новиродкеною £ -ерм! товою формою, при яких спряжений елемеш переходить в спряжений оператор: (ъ* ) - Так! зображення

називаються оиметричнами ! з'язляються, налриклад, прд впвчзшп уштарних зображень груп.

Нехай алгебра А задаетьоя 1в!рними 7*г>... I визна-чальними оп(вв!д..ошеннямл , \ >--■)- О , де ^ . - ш, ко-

му гативн! многочлена. 1нволюц!я в алгебр! може бути задана сп!в-в1дношеннями > ■ ,. .) . Тод! оимзтрачн! зображення

алгебри А можна ототожнити з зображенняш орохеми

^ О, = о.

Внасл1Док ссаовно! теорема. це дозволяв клаоиф!кац!ю олмегрпчних зображень ,.1гебри з ¡нволюц!ею звеоти до класи§1кацП II звичай-шь. зобх.ажень 1 класиф1кац11 врм!товзх форм (теорема 8.1).

В § 9 робляться налй тки п!дходу до вшчення систем тензо-р!в дов!лыю1 валентноот1 (оистема тензор1в валонтност! 2 зо^оакекня с. 1хом). Наводитьоя наступав узагальяен"^ закону

гнерцП: система 1ензор!в валентност! > 2 над полями !

£ однозначно з точн!огю до 1зоморф!зму доданшв може бути предо давлена у внгляхЛ прямо1 сума нерозкладннх п!дсиотем.

Д р у г и й розд!л м!стить так! розучьтати.

В § 1- вивчаягься ,,н!тарн! (овшпдов!) зобра«.ешш к.-дча-ну, тобто пабори ун!тарнах (евшМдопих) простор!в; як) с «.являть-

^ V

оя у в1даов1дн1огь веркинам колчану, ! лпййних п!дойражань, як1 о! тлятьая у в1дповш1!сгь стртлкач.

В п. 1.1 даегьоя алгоритм эвздення до канон!чного взгляду матриць уц|тарного зобрслення колчану.

3 п. 1.2 вивчаетьоя будова ке:юн1чно1 г.аграц! д}н!*ного оператора в ун!тарному простор!.

3 п. 1.3 опнаустьг~ мнолмла роэ.м1рнооте,! парозкладчг.х ук.-гаряпх лобратепь колчану. ШзхаЯ & - зв' язнп.'1. колчан э ооряи-

наш ' , 2, ... , ю ,в1лмпшкл в!д одн!с! точки • I в!д

.—»-. . /снуе нерозгслздгш ун!гарне зобраяаняя розшрносг!

е Nn год! 1 т!лькл ход!, кип А г ? г . , де А =

= (.а-

о■ _ V

члсло сгр/лок взгляду

'у • v ---------'.........

Чиоло дхйоних парн?.ч<тр!л в цьому зоб даже ши лотяипсе

г

£

2. - -1 , максимальна члоло комллекснпх парамотр!з дср!в-

ате

1 - Л, ( г

!

2 г__ •■ , Дв

ма Т1таа.

В л. 1.4 в!шча:птьоп епг гдот зобрахоння колчану. Виберо-мо поэну с йог ему на1зог.юр^них нсрозкладндх у/н тарнлх зобрахень колчану, як! задан! матрицами лШГ-иах в1добра"бИЬ, то от -гплть-оя у вгдловг л'ють "ого дтр!л::зг-!. Я кеда в цп; о ко тем I иояну яар„

{А, А) , Л V 'I , взаог.но спряглнлх зобракень з^-палт' ¡1а

1х лря'.!у л ус/у /1 ч> , го отр/ютело повяу 01:с ге.му яорозклзд-

ише не!зо;лор;ши евтипдовнх зобрау.пнь колчану, "пожени розм!рно-ностей нерозклишпх уп!тарнкх I пероэкледних евюндовах зобра-тань колчану оп!впадачгь. '

В § 2 пропонусться алгоритм введения до канои!чного Вигля-ду квадратно! ».«тпац! r^i'-.lк^■-'."<^ пт-етверчпмя А -р^чМиоот!, и» б.",".7'.'тт,1.п на робог! Г.Г.1"'- ••.•'.ьг.сго (.101. Дп1 матриц! М, А/€

К'"

'И и;

i* .-.)!, >.-г. 1:1 ' "и пп.пр.т! «"» » к>

-т.'II

л г * .( л '1 (1 ( 'А| - и!дазгебра

над аггпбр'зТч!:'; зачтя Д'"НК01 нпчиро-

г-то ■ ' г д/

€

давно! матриц! 5 £ Л . Алгоритм дозволяе'матриц! зображень колчану, звдчайно1 або додовнено! частково влорядковано! множила, боксу, модуля над категор!его тоцо зводита до канон!чного вигля-ду. Матрац! канон!чного в иг л яду представлен! у в игл яд! прямо! сума нерозкладнох, а тому алгоритм зручнай у заотосуваннях.якщо потр!бно перев1рати нврозю1адн!сть зображення.

У р о з д л 1 Ш розглянуг! тря задач! з георП дафе ренц!аиышх ¡нвнянь.

Калон1ч. Л вагляд оиотемя лШйних диференщальних р!внянь

з поста йими ксефпцентами А у ' ->- В у = 0 в!дноано множення на

начародяену г.:атрнцю Я 1 I зам!на ^ - 3 ;

(Я"1 А 5 I й-" ) -г. = О

отрицания Кронекором (задача про пучок магриць, див. с14 з).

В § 1 розглядаеться аналог!Чна задача для систем лШйнах дифереш^ачьних р!в1шнь з мероморфними коеф!ц!ентами. В цьому ви-падку пере твореная маюгь ваг^.41,

Показано, „о пара < Л, .-5 > зводитьоя до прямо! оуми нарозклад-пар ¿¡ц-ля'',;-

дз , ..- , „ - кооф!ц!еяти нврозщ!плюваного кооого многочлену % 'ОС) = ОС эс + ы е- Г ц эг,/.'и над полем мероморфних функцП*. Прям! доданки визначаються однозначно з точи! о то до зам!ни кооого многочлену £/аг > нод!б-шш многочленом. Цей результат доводиться з б!льзок) загальн!стю - для пспвдолт! 1'лих пучк1в матриць над тьюм К о автог.шттН з-мом I/> I (р -даферанцтюсачнчм 5 (теорема 1.1, для 5 = С ця теорема була доведена Дяабом I Рмнгелем ).

В § 2 показано, р;о система днференц!апышх ргваянь

с!у /с!{ = А({ ) у з мероморфпою матрицею А ( { ■> в будь-

якому комплексному круз! 1 £ ^ < мояо бути ператворз 1

в оно тему з дробово-рац1оналы1има ковфщ1енгамп галяхе. зам!яи

у - Б (1 ) г. з голоморфною матрицею = Е + • ■

Локальний внпадок цго! теоремл (б окол! особливо! точки типу полипа) був доведении Г.Б^ркгофом з покилкою [ 153. Помилка внправг лена Ф.Р.Гаятмахером [ 143 в околг простого полюса ; Территином [161 в о;сол1 полюса.

3 § 3 доведено, цо задача гатоиф1кац1 Т голоморф"'1Х матраць в!дноано голоморфно! лодМноот! е дикою.

1. Gabriel P. Under-le^tere Larstf;llungen. 1//Kanuscripta :.;ath.-19?2.-C.- Й.71-103.

2. НаяароВ;! Л.А. ;1редстав гения колчанов бесконечного типа// Лав.АН ^ЗСР. Jep.мат.-5у?3.-37. № 4.- С.752-791.

3. Donovan Р., preislich Ü. The representation theory of finite graphs end associated algebras.- Ottavt., 1973.

4. Kac V.O. Sotiie remarks on representations of quivers and infinite root ay3teraa//Lect.Kotee ~ th.-19e0.-63g.-

i'. 311-; Ji:.

5. Gabriel I., Hoiter A.V. hopresentatifcns of x'inite-dimen-eicntil algebras.-Springr . 1992.

6. iiiehn C. The equivalence of bilinear foiuis/A'. Algebra.-1974.-,^.- 1.45-66.

7. ¿charlau R. Zur Klassifikation von bilinearforoien unU von Isometrien über ..Jrptrn//idath.Z.-19Sl.-178.- S.359-373.

8. Gabriel 1. Regenerate bilinear fora:5//J .Algebra,-1574.-31.- P.67-72. .

9. Shapiro K, A survey of cenonical forme an invariante for unitary similar!ty//Linear Algebra and Appl.-1991.-147.-P.101-167.

10. Ostrove'sii V.L., Sanoi^enlco Yu.E. Stiuoture theorems lor

a pair of unbounded selfeojoiut operators satisfying quadratic relation.- Киев, 1Э91.- С.1-25,- (Препр./АЛ Украины. Й!-т математики: 91.4) .

11. fchbrlau W. Quadratic and üerraitien forme.-Springer, 1985.

.2. РоЛтер A.B. Боксч с 1Швол»хи1ей//Представ1ения к квадратичные форг.ы.-Ккев: Иа-т математики АН УССР. 197Э.-С.124-12*.

13. Еелпцк;:;; Г.?. Нотегачьнке ioTMi ттрлц//Анализ в бескочеч-номег"чх пространствах г. теория оператооов.- Кирз: 1!а7К. думка. 1ü93 — С.3-1 5.

14. Гантмахср •!>.?. Теория матриц.- 3 изд.- У.: Нау.а. 19в7.

15. Birkhoff G,D. Equivalent circular points of ordinary live-ar differential equations//ijitb.Ann.-1913.-74.- 1.134-13936. Turritin K.L. Redu-tion of ordinary differential pactions to the Birkhoff canonical Гсг-га77г«"»*. f ""»».If«*?».!>?c.-1963.-103, no. 3.

Ochobhí положения дисертац1 г опублгковшп в наступи их роботах:

17. Сергейчук В.В. Представления простых иняолтивных колчанов// (Тредстааяения и квадратичные {¡орда.- Киев: Ин-т математики ЛИ УССР, 1979.- С. 127-148.

10. Сергейчук З.В. Мредстэв1ения орехем// Линейная алгебра и теория представление.- Киев: Ин-т математики Ml /ССР. 1983.- С.110-134.

19. Сергейчук B.Ü. [Сяассл$икационпне задачи для систем линейных отображений п полуторалинейных форм.- Киев: Киев, ун-т, 1983,- 59 о.-Два.в /крШШТЛ. .4 196/К-Д84.

30. Сергейчук В.В. Классификация линейных операторов в конечномерном унитарном проотранстве//!:ушщи0н.анатиз л его прил.- 1904.-18, 3,- а.57-62.

21. ."^ергчйчук З.В. Канонический виц матрицы билинейной формы над алгебраически замкнутым полем характеристики 2 // Лат.заметки.- 1987 -Ц, № б.- С.781-788.

22. Серг°йчук З.В. Классификационные задачи для систем форм и лпнерчх отобра'*енкЯ//Кзв.АН ('СЗР. Сер.мат.- 1987.-51, 5 6,- С.1170-1190.

21. Сергейчук 8.3. Голоморфная эквивалентность системы линейных дифференциальных уравнений с меромоофннки коэффициентами системе с дообно-рацисналышми коэффициентами/, Ди{>*е&енц.уравнения.- 1988.-24, N» 6.- С. 1054-1066.

24. Сергейчук З.В. Псевдолинейные пучки матриц и системы ли нейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффи-циентамк//Дифференц.уравнения,- 1989.-25. № 10.- С.1721-1727.

25. Сергейчук 3.3. Классификация пар подпространств в пространствах со скалярным.лроизведением//Укр.мат.журн.-1990.-42, 'ё 4.- С.549-554.

Сергейчта 3.3. Классификация полуторалинейных topv пар эпмитовнх форм. самосопряженных и изометрических операто-оов над течем кэлте^гснс'/^ят.япметки.- 1991.-42. № 4.115-123.

27. Сергейчук В.В. Замечание о классификации голоморфных матриц с точностью до подо5ия//Функцион.анализ и его прил.-1991 .-25, №2.- С.65.

28. Соргейчук В.В. Симметрические представления алгебр с ин-волюцией//Мат.заметки.- 1991 .-50. № 4.- С. 108-113.

-ЛД11. до друку Ш0.93 . Формат 60x84/16. Папгр друк. С$с. друк. У:-, друк. арк. 1,39. Ум. фарбо-вЦб. 1,89. Обл.-вид.арк. 0,95. Тирах; 100 пр. Зам. ЗУ7 Бозкоштовно.

Шддруковано г. 1нститут4 МЗТСМй гики АН УкраТня 252601 Ки!в 4, ГСП, Бул. Терещешииоька, 8